Vlós számok, komplex számok A vlós számok hlmz A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!
Vlós számok, komplex számok A vlós számok hlmzák lpvető tuljdosági A vlós számok hlmzák zoosításár lklms z láik felsorolt tuljdoságok összessége. A tuljdoságok (xiómák) 3 csoportj: test xiómák redezési xióm teljességi xióm Megjegyzés Ezeket tuljdoságokt mideki természetes módo hszálj számolások sorá. A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!
Vlós számok, komplex számok 3 Test xiómák Értelmezve v egy :R R R művelet (összedás), melyre feállk következő tuljdoságok: kommuttív, zz mide, R eseté sszocitív, zz mide,,c R eseté ( ) c ( c ) Létezik dditív egység, zz létezik 0 R elem, melyre mide R eseté 0 Létezik dditív iverz, zz mide R eseté létezik oly (-) R elem, melyre (-) 0 A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!
Vlós számok, komplex számok 4 Értelmezve v egy :R R R művelet (szorzás), melyre feállk következő tuljdoságok kommuttív, zz mide, R eseté sszocitív, zz mide,,c R eseté ( ) c ( c ) Létezik multipliktív egység, zz létezik R elem, melyre mide R eseté Az dditív egysége kívül mide elemek létezik multipliktív iverze, zz mide 0 R eseté létezik oly - R elem, melyre ( - ) A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!
Vlós számok, komplex számok 5 Az összedás és szorzás műveleteket összekpcsolj disztriutivitás, zz mide,,c R eseté ( c) c Megjegyzés Továi jelölések: Kivoás: (-) Osztás: / - A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!
Vlós számok, komplex számok 6 Redezési xióm Az R hlmzo értelmezve v egy oly redezési reláció, mely z összedásés szorzás műveletekkel következő kpcsolt v: ármely,,c R eseté h, kkor c c h 0és 0, kkor 0 Megjegyzés Továi jelölések: Azt, hogy és úgy jelöljük, hogy < A pozitív számok hlmz: R { x R 0<x } A egtív számok hlmz: R - { x R x<0 } A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!
Vlós számok, komplex számok 7 Az test xiómákt és redezési xiómát teljesítő hlmzokt redezett testekek evezzük. A vlós számok hlmz mellett például rcioális számok hlmz is redezett test. A vlós számok hlmzák itt leírt xiómredszerhez trtozó tuljdoságok közül egyedül teljességi xiómát em teljesíti rcioális számok hlmz. Redezett hlmz ármely két elem összehsolíthtó, így értelmezhető z lsó és felső korlát, vlmit korlátosság foglm. A teljességi xióm megfoglmzás előtt korlátosság foglmát kell defiiáluk. A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!
Vlós számok, komplex számok 8 Defiíció: felülről korlátos hlmz Az A R hlmz felülről korlátos, h v oly K vlós szám, mely gyo vgy egyelő z A hlmz mide eleméél (mide A eseté K) Defiíció: lulról korlátos hlmz Az A R hlmz lulról korlátos, h v oly k vlós szám, mely kise vgy egyelő z A hlmz mide eleméél (mide A eseté k ) A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!
Vlós számok, komplex számok 9 Megjegyzések. Vegyük észre, hogy korlát em feltétleül eleme hlmzk!. H z A R hlmz felülről korlátos, kkor végtele sok felső korlátj v. Defiíció: szupremum A legkise felső korlátot (h v ilye) potos felső korlátk (vgy szupremumk) evezzük. Jelölése: sup A A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!
Vlós számok, komplex számok 0 Megjegyzés H z A R hlmz lulról korlátos, kkor végtele sok lsó korlátj v. Defiíció: ifium A leggyo lsó korlátot (h v ilye) potos lsó korlátk (vgy ifiumk) evezzük. Jelölése: if A A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!
Vlós számok, komplex számok Teljességi xióm A vlós számok hlmzá ármely em üres, felülről korlátos részhlmzk v vlós potos felső korlátj. Vgyis potos felső korlát foglm em mutt ki hlmzól, szeme például rcioális számok hlmzávl (lásd késő). Megjegyzések. A teljességi xiómáól z is következik, hogy R ármely em üres, lulról korlátos részhlmzák v R-eli potos lsó korlátj.. A teljességi xióm szemléletes trtlm: vlós számok hlmz kitölti számegyeest, míg rcioális számok hlmz lyukcsos hgyj. A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!
Vlós számok, komplex számok Péld Tekitsük rcioális számok hlmzát és eek részhlmzát! A { x Q x < π } Az A hlmz felülről korlátos (például 4 Q felső korlátj A- k), de A-k még sics potos felső korlátj rcioális számhlmzo elül. A potos felső korlát csk π szám lehete, de z em rcioális szám. A rcioális számhlmz tehát lyuks hgyj számegyeest π-él. A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!
Vlós számok, komplex számok 3 Defiíció: mximum Legye A R. M A z A hlmz leggyo eleme (mximum), h mide A eseté M. Jelölés: M mx A Defiíció: miimum m A z A hlmz legkise eleme (miimum), h mide A eseté m. Jelölés: m mi A A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!
Vlós számok, komplex számok 4 Megjegyzés: összefüggés potos korlátok és miimum, mximum között Nem üres, felülről korlátos vlós számhlmzk midig v potos felső korlátj ( teljességi xióm mitt), de em feltétleül v leggyo eleme. Nem üres, lulról korlátos vlós számhlmzk midig v potos lsó korlátj ( teljességi xióm mitt), de em feltétleül v legkise eleme. H viszot létezik leggyo (legkise) elem, kkor z egyelő potos felső (lsó) korláttl. A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!
Vlós számok, komplex számok 5 Példák A[,] B],[ if A sup A mi A mx A if B sup B mi A em létezik mx A em létezik A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!
Vlós számok, komplex számok 6 Természetes számok hlmz, teljes idukció elve Defiíció: iduktív hlmz Az A R hlmz iduktív, h A A A Iduktív hlmz például: R, [, [ Defiíció: természetes számok hlmz A legszűke iduktív hlmzt (vgyis z összes iduktív hlmz metszetét) természetes számok hlmzák evezzük. Jelölés: N. A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!
Vlós számok, komplex számok 7 Defiíció: sorozt Legye A. Egy f:n A függvéyt z A hlmz elemeiől képzett soroztk evezük. (Bármelyik em üres hlmz elemeiől képezhető sorozt.) Az f:n A sorozt tömör jelölése: (f ) Sorozt eseté z értelmezési trtomáy elemeit idexkét is hszálhtjuk, felhszálv zok természetes sorredjét. f() f sorozt -edik eleme f() f() : f() : f f : f : A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!
Vlós számok, komplex számok 8 A teljes idukció elve A teljes idukció elve kkor lklmzhtó, h állítások egy soroztáról kruk vlmit igzoli. A izoyítási mód léyege, hogy z egymást követő állítások között kimuttott kpcsolt lpjá z állítás igzság utomtikus dódik midegyik állításr. Defiíció: teljes idukció Tekitsük állítások egy (T ) soroztát. H T igz és T igz T igz ( N), kkor T igz mide N eseté. A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!
Vlós számok, komplex számok 9 Megjegyzés A izoyítási módszer lklmzás tehát két részől áll:. Az első állítás igzságát ki kell mutti.. Igzoli kell, hogy egy állítás igzságáól következik z őt követő állítás igzság ( öröklődés). A következő példák muttják, hogy izoyítás két része egymástól függetle, és csk együtt dják z állítássorozt izoyítását. A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!
Vlós számok, komplex számok 0 Péld Péld rr, hogy kárháy (de véges sok) állítás igzságát elleőrizzük is, ól még em következik teljes állítássorozt igzság. Állítás: Az 000 000 000 000! számk ármely természetes szám osztój. (A! jel fktoriálist jelet.) Vizsgált: Az első 000 000 000 000 természetes számr kipróálv z állítást yilvávló igzk tláljuk. (Persze eyi számot legfelje csk számítógépes progrmml tudák kipróáli.) Az állítás mégsem igz mide természetes számr, hisze például z 000 000 000 000-ál gyo prímszámok egyikére sem igz. A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!
Vlós számok, komplex számok Péld Péld rr, hogy z öröklődés igzolásáól ömgá em következik z állítássorozt igzság. Állítás: 7 osztój 3 5 számk ármely természetes szám eseté. Vizsgált ( tuljdoság öröklődőséek kimuttás): Tegyük fel, hogy 7 3 5 k vlmely k természetes szám eseté. Köye eláthtjuk, hogy eől következik, hogy 7 3 5 k hisze: 3 5 k 5 (3 5 k ) márpedig, h szorzt egyik téyezője osztht egy számml, kkor szorzt is. Az öröklődés tehát működe. De kipróálv z első állítást, vgyis mikor, látjuk hogy em igz. Sőt köye eláthtó, hogy vlójá egyetle természetes szám eseté sem igz z állítás. A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!
Vlós számok, komplex számok A teljes idukció elvéek egy lklmzás: Biomiális tétel izoyítás Jelölés: fktoriális H pozitív egész szám, kkor! 3 (-) Továá defiíció szerit: 0! Jelölés: iomiális együtthtók H pozitív egész szám, k pedig em egtív egész szám és k, kkor k! k!( k)! A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!
A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel! Vlós számok, komplex számok 3 H pozitív egész szám, és vlós számok, kkor Tétel: iomiális tétel k k 0 k k ) ( Részletezve:... 0 ) ( 0 0...
A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel! Vlós számok, komplex számok 4 Példák 3 0 0 3 3 3 3 3 3 0 3 ) ( 3 3 3 3 Megjegyzés A iomiális tétel állítás kéttgú összegek pozitív egész kitevős htváyiról szól. Úgy is szoktuk foglmzi, hogy formul htváy kifejtéséek módját muttj. Második htváyr emelés: 0 0 0 ) ( Hrmdik htváyr emelés:
A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel! Vlós számok, komplex számok 5 A iomiális együtthtók két tuljdoság k k k k k A defiíció lpjá midkét egyelőség köye elleőrizhető. A izoyítás felhszáljuk iomiális együtthtók lái tuljdoságit:
Vlós számok, komplex számok 6 Bizoyítás. lépés: z első állítás elleőrzése eseté z állítás yilvávló feáll: (). lépés: z öröklődés igzolás Eél lépésél zt próáljuk kimutti, hogy h z állítás igz lee vlmely -re, kkor igz lee ()-re is. Fotos megértei, hogy itt em zt igzoljuk, hogy z állítás igz ()-re, hem zt, hogy h feltételezésük feáll, kkor igz ()-re. A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!
A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel! Vlós számok, komplex számok 7 Tegyük fel, hogy z állítás igz vlmely pozitív egész számr, zz 0 0... 0 ) ( Ahhoz, hogy tétel állítását teljes idukció elve lpjá izoyítsuk zt kell megmutti, hogy z elői feltételezésől következik z állítás igzság z számr is, zz 0 0... 0 ) ( Eek megmuttásához z utói egyelőség jo oldlát lkítjuk célszerűe úgy, hogy feltétele szereplő összefüggést fel tudjuk hszáli.
A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel! Vlós számok, komplex számok 8 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0... 0 0 3... 0 Az egyelőség jo oldlá lévő tgokt célszerűe csoportosítv, és felhszálv iomiális együtthtók tuljdoságit, éppe kívát formát kpjuk z () kifejezésre: 0 0... 0 ) ( k k k
Vlós számok, komplex számok 9 Továi speciális hlmzok Egész számok hlmz: Z N {0} { - N } Rcioális számok hlmz: Q { p / q p Z, q N } A vlós számok ővített hlmz: R R { - } { } A - és szimólumokkl em lehet úgy számoli, mit vlós számokkl. Vk zo oly esetek, mikor formális műveleteket végezhetük ezekkel is. A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!
Vlós számok, komplex számok 30 Bizoyos körülméyek között, például htárérték-számításál, - és szimólumokkl formális elvégezhetük műveleteket. Például: h x R, kkor h 0<x R, kkor továá Számolás - és szimólumokkl - < x <, x ( ), x - ( ) -, x / ( ) x / (- ) 0 x ( ), x (- ) - ( ) ( ) ( ), ( ) (- ) (- ), (- ) (- ) ( ) A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!
Vlós számok, komplex számok 3 Aszolút érték függvéy x x, x, h h x x < 0 0 x R Tuljdoságok: x 0, ( x 0 x0) x -x λx λ x xy x y A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!
Vlós számok, komplex számok 3 Defiíció: vlós számok távolság A d(x,y) x y értéket z x és z y vlós számok távolságák evezzük. Tuljdoságok: mide x,y R eseté d(x,y) 0 ( d(x,y) 0 xy ) d(x,y) d(y,x) d(x,y) d(x,z) d(z,y) (háromszög egyelőtleség) A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!
Vlós számok, komplex számok 33 Defiíció: vlós számok gyság Az x értéket z x vlós szám ormáják (gyságák) evezzük. Tuljdoságok: mide x,y R eseté x 0 ( x 0 x0 ) λx λ x xy x y A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!
Vlós számok, komplex számok 34 Defiíció: vlós számhlmz korlátosság Egy A R hlmz korlátos, h v oly K R melyre mide x A elem eseté x K (z A-eli elemek gyság em gyo, mit K) Megjegyzés Egy A R hlmz potos kkor korlátos, h v lsó és felső korlátj. A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!
Vlós számok, komplex számok 35 Vlós számhlmz korlátosságák foglmávl köye defiiálhtó vlós értékű függvéyek korlátosság: Defiíció: vlós értékű függvéy korlátosság Az f:a R függvéy korlátos, h z R f hlmz (z f függvéy értékkészlete) korlátos. A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!
Vlós számok, komplex számok 36 Defiíció: yílt köryezet Legye x R, 0<r R. Az x elem r sugrú (szimmetrikus) köryezete: G(x,r) { h R x h < r} Megjegyzés Ez em más, mit z ]x-r, xr[yílt itervllum. A - köryezetei ]-,[ típusú yílt itervllumok ( R). A köryezetei z ], [ típusú yílt itervllumok ( R). A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!
Vlós számok, komplex számok 37 Defiíció: első pot x A z A hlmz első potj, h x-ek v oly G(x,r) yílt köryezete, melyre G(x,r) A (A pottl együtt k egy yílt köryezete is ee v hlmz.) Defiíció: htárpot x A z A hlmz htárpotj, h x ármely G(x,r) yílt köryezete trtlmz A-eli és R\A-eli potot egyrát A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!
Vlós számok, komplex számok 38 Defiíció: torlódási pot Legye A R. x R z A hlmz torlódási potj, h x ármely G(x,r) yílt köryezete trtlmz x-től külööző A-eli potot Megjegyzések. A torlódási pot em feltétleül eleme hlmzk.. A első potok egye torlódási potok is. A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!
Vlós számok, komplex számok 39 Példák Az ],[ yílt itervllum mide potj első pot mide potj torlódási pot z és végpotok torlódási potok Az [,] zárt itervllum eseté z és végpotok htárpotok végpotok kivételével mide pot első pot z itervllum mide potj torlódási pot A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!
Vlós számok, komplex számok 40 Komplex számok A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!
Vlós számok, komplex számok 4 Defiíció A CR hlmzt komplex számok hlmzák evezzük, meyie z összedás és szorzás műveletek következő módo vk defiiálv: H (,) C és (c,d) C, kkor (, ) ( c, d ) ( c, d ) (, ) ( c, d ) ( c d, d c ) Megjegyzés C test feti műveletekkel. Lásd test xiómákt vlós számok című fejezete. A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!
Vlós számok, komplex számok 4 Defiíció: evezetes komplex számok Additív egység: (0,0) 0 Multipliktív egység: (,0) Imgiárius egység: (0,) i A komplex számok hlmzák defiíciójá szereplő szorzás művelet szerit: zz: i (0,)(0,) (-,0) - i - (, ) ( c, d ) ( c d, d c ) A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!
Vlós számok, komplex számok 43 Megjegyzések. A (0,-) komplex számk is - égyzete.. A komplex számok hlmzá gyökvoás hogy zt későieke láti fogjuk korlátlul elvégezhető, így például egtív vlós számokól égyzetgyök vohtó. Például (-6)-k égyzetgyöke 4i, hisze (4i) 6i 6(-) -6 A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!
Vlós számok, komplex számok 44 Tétel A komplex számok hlmzák { (,0) R } részhlmz zoosíthtó vlós számok hlmzávl z (,0) megfeleltetés lpjá. Ee z érteleme vlós számok hlmz komplex számhlmz részhlmzák tekithető. A továik (,0) helyett egyszerűe -t íruk. Megjegyzés H (,) C, kkor (,) (,0) (,0) (0,) i (, ) ( c, d ) ( c d, d c ) A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!
Vlós számok, komplex számok 45 Defiíció: lgeri lk A z(,) C komplex szám lgeri lkjá kifejezést értjük. z i A komplex számok árázolás, komplex számsík Képzetes tegely Vlós tegely A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!
Vlós számok, komplex számok 46 Defiíció: vlós és képzetes rész A z (,) i C komplex szám Vlós része: Re(z) Képzetes része: Im(z) Defiíció: kojugált A z i komplex szám kojugáltj: z i A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!
Vlós számok, komplex számok 47 Műveletek z lgeri lk Példák (4i) (3-5i) 7 3i (4i) (3-5i) 7i (4i) (3-5i) 0i 6i 0i 4i 4 3 i 5i 4 3 i 5i 3 3 5i 5i 0i 6i 9 5i 0i 6i 34 34 6 34 i A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!
Vlós számok, komplex számok 48 Defiíció: szolút érték, rgumetum A z i komplex szám szolút értéke (gyság): r z z z rgumetum (szöge): ϕ, tgϕ ϕ [0,π[ A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!
Vlós számok, komplex számok 49 Defiíció: trigoometrikus lk A z i komplex szám trigoometrikus lkj, z r z jelölés, vlmit z rcosϕ és rsiϕ összefüggések felhszálásávl: z i r cosϕ r siϕ i r ( cosϕ i siϕ ) A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!
Vlós számok, komplex számok 50 Megjegyzés A komplex szám szögéek megdásár hszálhtó fok és rdiá is. Például: 80 o π (rdiá) vgy z 4 ( cos 0 o i si 0 o ) z 4cos π isi 3 π 3 FIGYELEM! A szögfüggvéyeke (si, cos, tg, ctg) kizárólg z esete hszálhtó fok, h z kifejezette egy szög gyságát jeleti. Az említett szögfüggvéyek áltláos defiíciójá, illetve e függvéyek grfikojá z értelmezési trtomáyeli elemek em jeleteek fokot! A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!
Vlós számok, komplex számok 5 Tétel: műveletek trigoometrikus lk szorzás r (cosϕ i siϕ) r (cosϕ i siϕ htváyozás ) r r (cos( ϕ ϕ) i si( ϕ ϕ)) [ ] r (cosϕ i si ϕ) r (cos ϕ i si ϕ) osztás r (cosϕ i si ϕ ) r (cos( ϕ ϕ) i si( ϕ r (cosϕ i si ϕ ) r ϕ )) A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!
Vlós számok, komplex számok 5 Tétel: gyökvoás Egy komplex számk dr külööző -edik gyöke v (,3, ): r(cosϕ i si ϕ) r cos ϕ k π i si ϕ k π k 0,,,, - Megjegyzés Egy komplex szám -edik gyökei komplex számsík egy origó középpotú körö, egy szályos szög csúcsi helyezkedek el. A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!
Vlós számok, komplex számok 53 Péld Htározzuk meg z 6 ( cos60 o isi60 o ) komplex szám egyedik gyökeit! 6(cos 60 i si 60 4 o o ) 4 6 cos 60 4 o k 360 4 o i si 60 4 o k 360 4 o ( o o o o cos(5 k 90 ) i si(5 k 90 )) ( k 0,,,3 ) k0 z (cos5 o isi5 o ) k z (cos05 o isi05 o ) k z 3 (cos95 o isi95 o ) k3 z 4 (cos85 o isi85 o ) A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!
Vlós számok, komplex számok 54 Péld: hrmdik egységgyökök A z komplex szám hrmdik gyökeit hrmdik egységgyökökek evezzük: 3 3 (cos 0 i si 0) cosk π 3 i sik π 3 k 0,, z 0 cos0 i si 0 z z π cos 3 4π cos 3 π i si 3 π i si 3 3 3 i i A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!
Vlós számok, komplex számok 55 Defiíció: távolság A z i és z i komplex számok távolság: d(z,z) z z ( ) ( ) Defiíció: köryezet A w i komplex szám r (>0) sugrú (yílt) köryezete: G(w,r) { z C : w z < r } A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!