II. FEJEZET SZÁMLÁLÁSI FELADATOK, A KOMBINATORIKA ELEMEI

44 Számlálási feladato, a ombiatoria elemei II FEJEZET SZÁMLÁLÁSI FELADATOK, A KOMBINATORIKA ELEMEI II Gyaorlato és feladato (4 oldal) Háy darab legfeljebb hatjegyű természetes szám létezi? megoldás Mide, legfeljebb hatjegyű természetes szám felírható hat számjegy segítségével, ha az elejére -at íru Így a felírható alaba, tehát mide, legfeljebb hatjegyű szám azoosítható az A A A A A A Descartes szorzat potosa egy elemével, ahol A {,,,, 4, 5,, 7, 8, 9} Ebből övetezi, hogy ilye szám létezi megoldás A legagyobb legfeljebb hatjegyű szám a 999999 és a legisebb a, tehát összese ilye szám létezi Háy darab olya természetes szám létezi, amelye a hetes számredszerbeli reprezetációja potosa hét számjegyet tartalmaz? megoldás Az első számjegye az {,,, 4, 5, } míg az összes többi számjegy a B {, } A halmazba ell leie,,,, 4, 5, halmaz bármelyi eleme lehet Így az A B B B B B B halmaz elemeie számát ell meghatározi Ez 7, tehát a hetes számredszerbe 75894 hétjegyű szám létezi megoldás A legisebb hétjegyű szám az ( 7 ) és a legagyobb a ( 7), tehát összese ( 7) ( 7) 75894 ( ) ilye szám létezi Egy helyőrség özatoája, altisztje, égy rádiósa és három tisztje özül i ell választai egy égytagú ülöítméyt, és i ell jelöli a ülöítméy vezetőjét A ülöítméy ell tartalmazzo egy özatoát, egy rádióst, egy altisztet és egy tisztet, és a vezetője csa a rádiós vagy a tiszt lehet Háy ülöböző módo választható i egy ilye ülöítméy? Megoldás A égytagú ülöítméy (vezető élül) 4 módo választható i Mide ilye égytagú csapatba a vezetőt ét ülöböző módo választhatju i, tehát a ülöítméye száma 4 48 4 Vizsgáld meg a övetező egyelősége helyességét: a) ( A B) ( A ) ( B ) ; b) ( A\ B) ( A ) \( B ) ; c) ( A B) ( A ) ( B ) { } Megoldás a) ( A B) ( x, c) / x Avagy x B {( xc, )/ x A} { ( xc, )/ x B} ( A ) ( B ) b) ( A\ B) {( x, c) / x Aés x B} {( xc, )/ x A} \{( xc, )/ x B} ( A ) \( B )

Számlálási feladato, a ombiatoria elemei 45 { } c) ( A B) ( x, c) / x Aés x B {( xc, )/ x A} { ( xc, )/ x B} ( A ) ( B ) 5 Írd egyszerűbb alaba az ( A A) ( A ) ( B A) ( B ) ifejezést (csa egy diret szorzat szerepelje bee) Megoldás Az előbbi feladat c) potjához hasolóa ( A A) ( A ) A ( A ) és ( B A) ( B ) B ( A ), tehát ( A A) ( A ) ( B A) ( B ) ( A ( A ) ) ( B ( A ) ) ( A B) ( A ) Egyszerre dobu három ülöböző szíű dobóocával Mi a valószíűsége aa, hogy a három szám özül az egyi a mási ettő összege? Megoldás Az összes lehetősége száma, mert a dobóocá ülöböze A edvező esetebe a övetező számo jelehete meg: {,, }, {,, }, {,, 4 }, {, 4, 5 }, {, 5, }, {,, 4 }, {,, 5 }, {, 4, }, { },, A szíeloszlás szerit az első, a hatodi és a ilecedi számhármas edvező esetet származtat, míg a többi számhármas midegyie edvező esetet Így a edvező 45 5 esete száma + 45, tehát a eresett valószíűség 4 7 Egy Las Vegas-i aszió egyi játégépé három orog forog Midegyi orog oldalát 4 egyforma részre osztottá, és mide részre ráfestetté a övetező hat rajz valamelyiét, oly módo, hogy midegyi potosa égyszer szerepelje midegyi orogo: A orogo egymástól függetleül foroga és a játéos midig egy-egy ábrát láthat mide orogról A játéos aor yer, ha midhárom orogo ugyaazt az alazatot látja Meyi a valószíűsége aa, hogy már az első játéál yerü? Ha cet egy játé, megéri-e a aszióa, ha égy dollárt fizet egy yereségért? Megoldás Az összes esete száma 4 Ebből 4 edvező, tehát a eresett 4 valószíűség 4 Ez azt jeleti, hogy hosszú távo játszmára jut egy yereség A aszióa tehát, hosszú távo cet bevétel utá 4 cetet ell fizetie Ez em yereséges számára 8 a) Egy elemű számhalmaz elemeiből háy ülöböző módo állíthatu össze egy olya számpárt, amelye az elemei ülöböze?

4 Számlálási feladato, a ombiatoria elemei b) Egy elemű számhalmaz elemei özül háy ülöböző módo állíthatu össze egy olya számpárt, amelye az elemei egyelő is lehete? Megoldás a) Mide szám ( ) más számmal alothat ilye számpárt Ez összese ( ) párt jelet, de így mide lehetséges számpárt étszer számoltu, ( ) tehát számpár létezi b) Itt az A { x, x, x,, x } halmaza ömagával való Descartes szorzatáa számosságát ell meghatározu, tehát a válasz 9 Egy tíz őt és harmic férfit tartalmazó űrhajós csoportból háyféleéppe lehet iválasztai egy olya öttagú csapatot, amelybe ét ő és három férfi va? Megoldás A tíz ő özül ettőt iválasztai 9 ülöböző módo lehet (lásd 9 8 8/a)-t) A harmic férfi özül a három férfit módo választhatju i, tehát az öttagú csoporto száma 45 4 87 Igaz-e, hogy ha az természetes száma d természetes osztója va és az természetes száma d, aor az száma d d osztója va? Milye feltételre va szüség ahhoz, hogy az állítás igaz legye? Megoldás Az állítás em igaz, mert az természetes száma osztója, az természetes száma 4 osztója és az 7 száma osztója va A α α taöyv és feladata alapjá az p α p p száma ( α + ) ( α + )( α + ) darab osztója va Így az állítás csais aor igaz, ha - e és -e ics özös prím osztója, azaz ha relatív príme Egy börtöbe cella va -től -ig számozva, és mide celláa az ajtajá egy olya zár, amelye három betű látható (lásd a melléelt ábrát) Az ajtó aor yíli i, ha az a betű va legfelül Miutá a rabo elalszaa, a börtöőr - szer örbejárja a celláat A -adi örútja alalmával mide - adi cella zárjá fordít egyet (trigoometriai iráyba -ot) Reggel háy zár lesz yitva? Melye eze? Megoldás A börtöőr az -edi cella zárjá potosa aor fordít, ha a örútjáa sorszáma osztója -e Az ábra alapjá mide ajtó yitva va az első örút előtt Eszerit azo a cellá lesze reggel is yitva, amelyere a sorszámu osztóia száma osztható -mal Az előbbi feladatba említett összefüggés alapjá ez potosa aor övetezi be, ha az prímtéyezős felbotásába va legalább egy ( + ) alaú itevő Az ilye számo 5 prímtéyezős felbotásába a övetező számo valamelyie ell szerepelje:,, 8 5,,, 5, 7,,, 7, 9,, 9, Az előbbie alapjá a övetező számoat apju (az aláhúzott számoat már egyszer megaptu, így em ell őet számításba vei):

Számlálási feladato, a ombiatoria elemei 47,, 5,, 49 (5 darab) 5, 5 5, 5,, ( darab) 8, ( darab),, 4, 5 7, 8,,, 5 5 5,, 4 5, 5, 5,, 4,, (7 darab) ( darab) 5,, 5, 7, 7, 7, 5 4, 5,, 5 7, 5 8, 5 9, 5, 5, 5 9 (9 darab) 7 4, 7 5, 7, 7 8, 7 9,, 7 9 (5 darab),,,,,, 4, 5,, 7, 8 (7 darab) 4, 5 (4 darab) 7, 7, 7 ( darab) 9, 9 ( darab) ( darab) 9 ( darab) ( darab) Ez összese 8 szám, tehát 8 celláa lesz ismét yitva az ajtaja II4 Gyaorlato és feladato ( oldal) Egy aadályverseye résztvevő csapato a melléelt térépvázlatot aptá Feladatu, hogy A-ból a B, és D poto éritésével visszajussaa A-ba Melyi a legrövidebb útvoal? Megoldás A övetező hat útvoal lehetséges: A B D A A B D A A D B A 4 A D B A 5 A B D A A D B A Eze ettesével csoportosíthatóa, hisz az ) és ) ugyaolya hosszú (egyi a másia fordítottja) Hasolóa a ) és ) illetve a 4) és 5) ugyaolya hosszúságú, tehát elégséges az ), ) és 4) hosszát iszámoli A megfelelő úthossza a övetező: 7 + 4 + 5 + 45 5 7 + + 5 + 7 4 + 4 + + 45 95 A legrövidebb útvoal tehát az )-es és a )- os

48 Számlálási feladato, a ombiatoria elemei Egy osztályba láy és fiú taul Találomra iválasztu versmodásra, szíházjegyvásárlásra és tűzoltósági felészítőre ét-ét láyt és egy-egy fiút Háyféle lehet az így összeállított ilecfős csapat? Megoldás Versmodásra a ét láyt, az egy fiút módo választhatju i, tehát ülöböző versmodó-csapatot tudu összeállítai A megmaradt láy és fiú özül jegyvásárló-csapat és a többieből tűzoltóbrigád állítható össze Így a ilecfős csapat 9 ülöböző összetétellel redelezhet Két egyforma ocával egyszerre dobu Meyi a valószíűsége aa, hogy a ét megjeleő szám összege 7? Megoldás A melléelt táblázatba feltütettü az összes lehetséges esetet és szürére szíeztü a edvező esetee megfelelő mezőet {, } {, } {, } {, 4} {, 5} {, } {, } {, } {, 4} {, 5} {, } {, } {, 4} {, 5} {, } {4, 4} {4, 5} {4, } {5, 5} {5, } {, } 9 A táblázat alapjá a lehetséges esete száma, és a edvező esete száma, tehát a eresett valószíűség 7 4 Változi-e az előbbi érdésre adott válasz, ha em egyforma ocáal dobu? Megoldás Ha em egyforma ocáal dobu, aor az alábbi táblázathoz jutu: {, } {, } {, } {, 4} {, 5} {, } {, } {, } {, } {, 4} {, 5} {, } {, } {, } {, } {, 4} {, 5} {, } {4, } {4, } {4, } {4, 4} {4, 5} {4, } {5, } {5, } {5, } {5, 4} {5, 5} {5, } {, } {, } {, } {, 4} {, 5} {, }

Számlálási feladato, a ombiatoria elemei 49 Itt a lehetséges esete száma és a edvező esete száma, tehát a valószíűség 5 Háy ülöböző módo lehet embert egy ere asztal öré leülteti? Megoldás Az asztal örül csa az számít, hogy i ie a szomszédja, tehát ha a helyeet és az embereet megszámozzu, aor mide lehetséges ülésred darab P permutációt származtat Így az ülésrede száma 9 Háy háromszög látható a melléelt ábrá: Háy háromszöget fogsz láti, ha az alapot egyelő részre osztju? Megoldás Az alapo megjeleő 7 pot özül i ell választai ettőt Ez a ettő és a felső csúcs meghatároz egy háromszöget, tehát 7 háromszög látható az ábrá Ha az alapot egyelő részre osztju, háromszög lesz látható 7 Háy téglalap látható a melléelt ábrá? + Megoldás Az ábrá látható mide téglalapot egyértelműe meghatároz az oldalaia az AB-re és B-re eső vetülete A D II ábra B Eszerit az AB- is és a B- is i ell választai ét-ét potot Ezt 5 9 módo tehetjü meg, tehát téglalap látható az ábrá Általába egy m -es égyzetháló m+ + téglalap látható 8 Az,,, 4, 5,, 7, 8 és 9 számjegyeből háy darab olya ilecjegyű szám észíthető, amelye számjegyei egymástól ülöbözőe és a) az -es özvetleül a -es előtt áll? b) az -es előbb áll, mit a -es? Megoldás a) Mide ilye szám teithető a,, 4, 5,, 7, 8 és 9 számo permutációjáa, tehát 8 ilye szám létezi b) Mide ϕ permutációhoz hozzáredeljü azt, amelyiet a ϕ -ből úgy apu, hogy az -est és a -est felcseréljü Így az,,, 4, 5,, 7, 8 és 9 számo

5 Számlálási feladato, a ombiatoria elemei permutációit ettesével csoportosítottu Mivel mide csoportból potosa egy 9 származtat eü megfelelő számot, a ívát számo száma 9 Egy pézérmét -szer feldobu Háy ülöböző, potosa darab fejet tartalmazó fej-írás dobássorozat lehetséges? Megoldás Az hosszúságú sorozatba potosa darab fej ell legye Eze helyét módo választhatju i, tehát darab, potosa fejet tartalmazó, dobássorozat létezi A {,,,,, } halmaz elemei özül találomra iválasztu egyet Meyi a valószíűsége aa, hogy a iválasztott szám a) -e hatváya? b) biáris számjegyeie összege potosa? Megoldás a) A lehetséges esete száma, a ettő-hatváyo száma, tehát a eresett valószíűség b) Az adott halmaz mide eleme a ettes számredszerbe egy hosszúságú jelsorozattal írható le Például, A számjegye összege potosa aor, ha ebbe a jelsorozatba darab egyes szerepel, tehát a edvező esete száma, a eresett valószíűség pedig Határozd meg az A {( X, Y) X, Y {,,,, }, X Y, X Y {,,,, } } és B {( X, Y) X, Y {,,,, }, X Y {,,,, } } halmazo elemeie számát Az A számosságáa meghatározása megoldás Az A halmaz azoat az (X, Y) halmaz-pároat tartalmazza, amelye az {,,, } halmaza egy partícióját alotjá Egy ilye (X, Y) halmazpárt úgy is leírhatu, hogy az {,,, } a halmaz-páro száma mide eleméről megmodju, hogy X-be vagy Y- ba va Az A mide elemée feleltessü meg -t, ha X-be va és -et, ha Y-ba va Így mide hosszúságú jelsorozat egy ilye ( XY, halmazpárt ír le, tehát megoldás Vizsgálju meg, háy olya halmaz-pár létezi, amelybe X-e eleme va A feltétele alapjá Y { } ),,, \ X, tehát mide X-hez potosa egy Y tartozi Így potosa darab olya halmaz-pár létezi, amelye első tagja Egy szám biáris számjegyei az illető szám ettes számredszerbeli felírásába megjeleő számjegye

Számlálási feladato, a ombiatoria elemei 5 elemű Az A elemeie számát megapju, ha az előbbi eredméyt összegezzü a, értéere Így A A B számosságáa meghatározása megoldás Az ( X Y) {,,, } egyelőség alapjá az {,,, } halmaz mide eleme vagy csa X-hez, vagy csa Y-hoz, vagy midettőhöz tartozi Mide elemhez -t redelü, ha az csa X-hez, -et, ha csa Y-hoz és -t, ha X-hez is és Y- ) hoz is hozzátartozi Így mide ( XY, halmaz-pár leírható egy hosszúságú jelsorozattal és mide jelsorozathoz tartozi egy ( XY, ) halmaz-pár Így a halmazpáro száma megoldás Ha X, aor Y felbotható az {,,, } \ X -re és, az X egy részhalmazára X rögzítése módo lehetséges, az X részhalmazáa iválasztására lehetőség va, tehát az ( XY, ) pár rögzítésére mód va A B elemeie számát megapju, ha a B számoat összeadju, eseté (Newto biomiális tételéből) A sí potja legfeljebb háy ülöböző egyeest határoz meg? A sí égy potja háy ülöböző egyeest határozhat meg? Megoldás A sí potja aor határoz meg a legtöbb egyeest, ha a poto özt ics három egy egyeese Ebbe az esetbe mide potpár meghatároz egy ( + ) egyeest, tehát az egyeese száma A sí égy potja legtöbb 4 egyeest határozhat meg, ha ics három ollieáris öztü (II ábra) Ha három pot ollieáris, és a egyedi ics az általu meghatározott egyeese, aor 4 egyeest határoza meg (lásd II ábra) Ha mid a égy pot egy egyeesre esi, aor csa egy egyeest határoza meg, tehát égy pot, 4 vagy egyeest határozhat meg II ábra II ábra

5 Számlálási feladato, a ombiatoria elemei Oldd meg az alábbi egyeleteet a) ; b) + ( + ) 4 ; c) + ( ) ; d) ( + ) ( ) ; ( ) e) ; f) V 5 V 8 ; ( + ) g) + ; h) ; + 4 4 5 + i) + ; j) + + 9 Megoldás a) 5, tehát ics megoldás b) + ( + ) 4 ( + + ) 4 ( + ) 4 7, tehát ics megoldás + ( ) c) ( + ) ( ) d) ( ) e) ( + ) ( ) ( + ) ( + )( ) + ( + ) 5 ( ) ( + ), tehát 4 f) V 5 8, V V ( + ) 5 V ( 4)( )( )( ) és ( 5) ( ) ( ), tehát ( 4) ( )( )( ) 8( ) ( ) ( 4)( )( ), tehát ics megoldás g) A létezési feltétel 4 4 5 4 5 ( 4 ) ( 5 ) ( ) ( 4 ) ( 5 ) ( ) ( 5 ) ( ) ( 4 ) 4 5 5 5 ( 5 )( ) ( 5 ) ( 5 )( ) 5 + 5 + 7 +

Számlálási feladato, a ombiatoria elemei 5 7 ± 7 7 ±, 5 és Viszot 4, tehát + h) + 4 + ( + ) ( + )( +) + 5 4 ( + ) 5± 5+ 5 5± 9, övetezi, hogy 7 + i) + + és 7 Mivel, + + 4 5 ( 5) ( + ), 5 Az előbbie alapjá {,,,,, 4, 5} eseté, -ra, -re 9 9, -re, 5 9 7 5 9 4 5 -ra 5 45, 4 -re 8 858 és 7 8 4 5 7 5 eseté, tehát az egyetle megoldás az j) A feltétele alapjá 5 ( ) + + 9 ( ) + + 9 ( ) ( 5) ( 4) ( ) + ( 4)( ) + ( )( ) 8 ( ) + ( )( ) 8 ( ) + ( ) 8 + + 8 8 ± 9 + 4 ± 49, Tehát ics megoldás Megjegyzés Aszerit, hogy a, illetve V számot milye és értéere teitjü értelmezette, más megoldásoat is aphatu A taöyv 4 és értelmezése szerit előfordulhat, hogy > Ebbe az esetbe Például a g) potba a 4 azért szüséges, mert elleező esetbe valamelyi tört evezője lee Tehát a 4 feltétel em a 4 létezési feltétele, haem az törte Az f) 4 potba, ha em feltételezzü, hogy, aor az is megoldás, mert 5 Az i) potba az + V 8V + + feltétel em a + létezéséhez szüséges, haem ahhoz, hogy ez a ifejezés -tól ülöbözzö A j)

54 Számlálási feladato, a ombiatoria elemei potba {, 4} eseté is értelmezhető a bal oldali ifejezés Ezere az értéere sem apu 9-cet 4 Oldd meg a övetező egyeletredszereet Vm 8 V a) m x + y ; b) m 8 m x y Megoldás a) Vm 8 Vm, m és m m 8 m ( m) ( m) 8 m + 8 ( m + ) ( m + ) 8 ( m) ( m) 8 m + ( ) ( m + ) ( ) ( m + ) 5 Mivel m + 5 m 5, tehát ( m, ) ( 5, 5) b) Ha >, aor és a redszer összeférhetetle, tehát feltételezhetjü, hogy A törte létezéséhez szüséges, hogy, } {, Az első egyeletet -val, a másodiat -gyel szorozzu, majd összeadju a ét egyeletet: x + ( ) ( ) De + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ( + ) ( ) ( ) ( ), ( )( ) tehát x Ezt visszahelyettesítjü és ifejezzü y-t: y ( ) 5 Oldd meg az alábbi egyelőtleségeet a) 4 > ; b) 5 > + Megoldás a) Ahhoz, hogy a > egyelőtleség teljesülhesse em lehet, tehát eseté >, míg eseté az egyelőtleség a övetezőéppe alaítható:

Számlálási feladato, a ombiatoria elemei 55 > > ( ) ( + ) ( ) > 8, 9, Ha -t -re is értelmezette teitjü, aor az is megoldás b) Ha, aor az egyelőtleség a övetezőéppe alaítható: ( + ) 5 ( + ) ( + ) 5 > > ( ) 4 ( ) 4( ) >, tehát { } ( ) > ( + )( + ) 4 > + + 7 +4 < 7 ± 7 4 4 7 ± 7, 7 7 + 7 7 A fetie alapjá,,, tehát { 4, 5,, 7, 8, 9,,,, } p p+ i p p i m + m i + + i m p + Bizoyítsd be, hogy : p m p p+ i p p+ i m m+ i, ha + i p + és p a b a ( a b) b a b + Megoldás Általába, tehát a b a a b ( a b + ) ( b ) bizoyítadó egyelőség evivales a övetezőéppe alaítható: m p + m + i ( p + i) + ( ) ( ) : p + +i p + i + + p + i p p i p m + m + i + + + + i + : i + p p + p p + i ( m + )( p + i) p( m + i + ) p( p + i) p( p + i) ( + )( p + i) p( + i + ) mp + mi + p + i pm pi p i( m + p) m p + p + i + p + i p pi p i ( + p) p + 7 Számítsd i a övetező összegeet: a) ; b) ( + ) ;

5 Számlálási feladato, a ombiatoria elemei c) ( + ) ; d) + ; + ( + ) + ( + ) e) ; f) ; + g) ( + ) ( + ) ( + ) ; h) ( ) ( + ) ( + ) Megoldás a) ( + ) ) + + + ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) b) c) d) e) + 4 + + + + + ( ) ( ) ( ) (( ) ( ) ) ( ) ( + ) ( ) + + + + ( ) + ( + ) + + + ( + ) + ( + ) + + + ( + )( + ) + ( ) ( ) + ( + ) ( + ) ( + ), tehát + + ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) + + + 4 ( ) ( ) + + ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + ( ) + ( ) + ( ) ( ) ( ) + ( ) ( + ) ( + )

Számlálási feladato, a ombiatoria elemei 57 f) + + + + + + ( ) + + ( ) + + + + g) ( + )( + )( + ) ( + )( + )( + ) ( ) + + + ( ) ( ( ) ) ( ) + + + + + ( + ) + + ( + )( + )( + ) ( + ) ( ) ( + )( + )( + ) ( 4 5 + ) + + ( )( )( ) + + + + + + + + + + + + + + + ( )( )( ) ( ) + + ( + + 4) ( + )( + )( + ) h) ( ) ( ) ( )( ) + + ( + )( + ) ( ) + ( ) + ( + )( + ) ( 4 + + ( ) + + + + + ) ( + )( + ) ( ) + + ( )( ) + + + + ( + + 4 ) ( ) ( + )( + ) ( + )( + ) ( + ) ( + )( + ) ( +) 8 Bizoyítsd be legalább ét ülöböző módszer segítségével a a b a+ b (Vadermode féle) azoosságot megoldás Két cserészcsapat tagjai özül válasszu i egy tagú csapatot Ha az első csapatba a, a másodiba b tag va, aor ezt módo tehetjü meg Másrészt a b azoa az tagú csapatoa a száma, amelye az első cserészcsapatból potosa tagot tartalmaza Így a az összes tagú csapatoa a számát adja, tehát a b a + b a+ b a b összeg ugyacsa

58 Számlálási feladato, a ombiatoria elemei megoldás Newto biomiális tétele alapjá ( + x) a + x + x + + a x a és Az tagjáa együtthatója éppe a a a b b x b b b b ( + x) + x + x + + ( + x+ x + + x a a )( + x+ x + + x b b ) Másrészt a a a b b b a) ( ) ; b) ( ) ; c) ( ) ; d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Megoldás a) ; a b a+ b a b a+ b x x x a+ b a + b ( + ) ( + ) ( + ) ( + x) + x + x + x + x és x szorzat -ed foú, tehát az -ed foú tag együtthatója A ét poliom azoosságából övetezi, hogy a b + a b 9 Számítsd i az alábbi összegeet b) ; c) ; d) Az x ( x) x + x x + ( ) ifejezése összeszorzásáál az -ed foú tag együtthatója ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + x ( x) ( ) ( ) x x Másrészt ( ), tehát, ha páratla; ( ), ha páros ( ) ( ) Bizoyítsd be a övetező azoosságoat: a) m + + + + + + + m+ ; b) ( ) + + + ;

Számlálási feladato, a ombiatoria elemei 59 + + c) + ; d) p p+ + p+ m m+ m m m ( ) + + + + e) ( ) ( ) m + m + m + m + + m m + m + + + + + + m ; m + m m m m m Megoldás a) Írju fel a egyelőséget a övetező értéere: + + + + m m + + + m+ m + m + m + + + + b) A matematiai idució módszerét haszálju: -re ( ) ( ) -re ( ) ( ) + ( ) + Feltételezzü, hogy ( ) + + ( ) + ( ) ( + ) + + ( ) + ( ) + ( ) + + + + + ( ) + + + + tehát a matematiai idució elve szerit ( ) bármely * eseté c) A matematiai idució módszerét haszálju: -ra p + p p + igaz Ha az összefüggés igaz -re, aor + + + + + + + ( + ) + p+ p+ p+ p+ + p+ + p+ + + p+ + p+ + p+ ( + ) +, tehát a matematiai idució alapjá az egyelőség mide eseté teljesül m m + m m m m m m m d)

Számlálási feladato, a ombiatoria elemei m m m m m Másrészt m m m + m m m m m m m m m m m + + + m m + m+ m m m m m m m + + m m m m S + ( ) ( ) ( ) m m m m ( ) ( ), tehát e) ( ) ( ) ( ) + ( ) + + ( ) + ( ), tehát A 9/d) feladathoz hasolóa m m m m S ( ) ( ) ( ) és így m m+ m m m ( ) ( ) ( ) Határozd meg a) a ( x + y ) ifejtés együtthatóia összegét 9 b) a x + x ifejtés hatodi tagját c) az értéét, ha a + T7 ifejtésébe T d) az + ) ifejtés legagyobb tagját e) az ( + 5 ifejtés racioális tagjait f) az x együtthatóját az ( + x) + ( + x) ifejtésébe (a tago összevoása utá), ha a ifejtésbe megjeleő biomiális együttható összege 5 g) az m értéét ha a ( + m) m ifejtés legagyobb tagja a tizedi tag h) az ( x + x ifejtés háyadi tagjáa a legagyobb az együtthatója? ) Megoldás a) Az együttható összege ( ) 9 9 9 b) x 9 ( x) + x x ( T 9 )9 + x x, tehát c) T ( ) Mivel 5 4 5 5 4 5 5 T 9 ( x) 5 9 x x 9 x 9 x x 7, ( ), övetezi, hogy T 5 5

Számlálási feladato, a ombiatoria elemei ( ) T 7 ( ) T 5, tehát, és így 9 d) T +, ahol T + ( + ) Ebből övetezi, hogy 8 -re T T < + T és 8 -re T > T +, tehát a legagyobb tag T e) ( 5) T + 5 Ez potosa aor racioális, ha, tehát a ( + ) -edi tag racioális, 7 -re f) ( ) ( ) ( ) + x + + x x + x + x + x 9 Az együttható összege +, tehát a + 5 egyeletet ell megoldau Az egyelet egyetle megoldása az Ebbe az esetbe x együtthatója: + 9 7 8 9 84 94 9 7 8 9 + + 4 4 + m g) T + m T + m( m + ) m, tehát T T Látható, hogy rögzített m-re -ba elsőfoú egyelőtleséghez vezet a + egyelőtleség, tehát a tago egy ideig öveede, majd csöee Így elégséges a T T és T T egyelőtleségeet megoldai Az egyetle természetes szám, 9 amely teljesíti az m( m 9) és m( m 8) 8 egyelőtleségeet az m h) Ha E a -adi tag együtthatója, aor E +, tehát E + Ebből övetezi, hogy 7 -re E+ E és 8 -ra E, tehát a legagyobb együttható a 8-adi tag együtthatója E + E Bizoyítsd be, hogy a ( ) ( ) 8 hogy a ( + ) szám egészrésze páratla + + ifejezés értée egész szám és, Megoldás Matematiai iducióval igazolju, hogy létezi olya A, B, amelyre T

Számlálási feladato, a ombiatoria elemei ( ) ( ) + A + B és A B -re A és B, -re A 7 és B 4 Ha ( + ) ( A + B ) és ( ) A B, aor + ( ) ( A B )( ) ( A B) ( A B) + + + + + +, és + ( ) ( A B )( ) ( A B) ( A B) + +, tehát A+ A + B ( ) és B A + ( ) + B Az előbbie alapjá ( + ) + ( ) A bármely eseté, tehát -re is (, ) tehát ( ) (, ) Így ( + ) egész része A és ez páratla 4 Legalább háy irracioális tagja va a ( + ifejtése ha természetes szám és em írható fel egyetle természetes szám egyedi hatváyaét sem? 4 4 4 4 Megoldás ( ) ( ) + T Ha em teljes égyzet, aor meg ell vizsgáli, hogy milye {,,,,} ) - re természetes szám a 4 4 aor osztható 4-gyel, ha 4 p + 4 4 alaú, tehát -a 5 ülöböző értéére Ebből övetezi, hogy 4 5 5 irracioális tagja va a ifejtése Ha teljes égyzet, aor 4 ell természetes szám legye, és így csa irracioális tag létezi 4 Egy oldalú ovex soszögbe meghúzzu az átlóat Legtöbb háy belső metszéspot eletezhet? Megoldás A soszöge bármely égy csúcsa potosa egy belső metszéspotot 4 határoz meg, tehát a belső metszéspoto maximális száma 5 A hadsereg fegyverratára a melléelt ábrá az R-el jelölt mező található, míg a hadtest a H-val jelölt mező állomásozi A ratárból egy fegyverszállítmáyt ell eljuttati a hadtesthez A szállítmáy mide mezőről a jobboldali vagy az alatta elhelyezedő szomszédos mezőre juthat át Néháy gerilla aláaázta a szürével befestett mezőet Ha a szállítmáy egy ilye mezőre erül, aor felrobba Meyi a valószíűsége aa, hogy a hadtest megapja a szállítmáyt?

Számlálási feladato, a ombiatoria elemei R H Ha csa egy mezőt tudáa aláaázi a gerillá, és ez em lehet a vastag voalaal beerített része, melyi mezőt érdemes aláaázi ahhoz, hogy a szállítmáy felrobbaásáa valószíűsége a lehető legagyobb legye? 7 Megoldás Az R-ből H-ba vezető uta száma 5 A hadtest aor apja meg a szállítmáyt, ha az olya úto halad, amely em ériti az egyi befestett mezőt sem Az alábbi ábrá az ilye utaat számoltu össze: 4 5 7 8 5 8 4 5 8 4 5 5 5 7 7 98 5 5 9 88 45 8 7 4 4 8 84 7 4 44 5 75 4755 A eresett valószíűség 4755 7 74% 45 49 Ha csa egy mezőt aáza alá, aor megszámolju azoat az utaat, amelye áthalada e mező Ha az m-edi sor és -edi oszlopba levő, A-val jelölt, mezőt aázzá alá, aor az R-ből A-ba vezető uta száma és az A-ból H-ba vezető 8 8 uta száma Így az A- áthaladó uta száma, és aa a 7 m valószíűsége, hogy a szállítmáy felrobba + m + m 7 m 8 + m 7 m 7 5 8 + m 7 m A melléelt táblázatba mide mezőre ráírtu a szorzat értéét A táblázatba szürére festettü azoat a mezőet, amelyeet a legérdemesebb aláaázi Abba az esetbe, ha a ijelölt égy mező egyiét aázzu alá, a eresett valószíűség értée 5 5 % 7 9 45 5

4 Számlálási feladato, a ombiatoria elemei 495 5 45 9 5 8 588 9 79 848 5 5 9 7 54 5 89 45 45 89 5 54 7 9 5 5 848 79 9 588 8 5 9 45 5 495 Egy csomag fracia ártyát megevertü majd egyesével ihúzzu a lapoat Háyadi helye a legvalószíűbb a másodi ász ihúzása? Megoldás Aa valószíűsége, hogy a másodi ászt az -edi helye húzzu i 4 V48 ( ) ( 5 ) ( 5 ) Ez a valószíűség V 49 5 5 5 5 aor a legagyobb, ha a ( ) ( 5 )( 5 ) szorzat a legagyobb Mivel a téyező összege, a szorzat aor maximális, ha a téyező a lehető legözelebb vaa egymáshoz Ez aor teljesül, ha 8, tehát a 8-i helye a legvalószíűbb a másodi ász ihúzása 7 Lehetséges-e ét ocát úgy cieli, hogy a feldobásu utá a apott számoat összeadva azoos valószíűséggel jeleje meg mide lehetséges összeg? Megoldás Tegyü fel, hogy a ocáat cieltü és az egyi ocával való dobásál az,,, 4, 5 és -os valószíűsége redre p, p, p, p4, p5 illetve p, a mási ocáál pedig q, q, q, q, q és q A 4 5 ( )( p + px+ px + px + px + px q + qx+ qx + qx + qx + qx 4 5 4 4 5 4 5 szorzatba x együtthatója éppe aa a valószíűsége, hogy az összeg + Ha a ívát cielés lehetséges vola, aor ez a szorzat egyelő ellee legye 4 5 x ( + x + x + x + x + x + + x )-el, azaz -gyel Mivel a ( x ) baloldalo található ötödfoú poliomoa va legalább egy valós gyöe, és a jobb oldalo álló polioma ics, a ívát cielés lehetetle 8 Meyi a valószíűsége aa, hogy ét egyforma ocával dobva 4 dobásból lesz egy dupla hatosu? 5 )

Számlálási feladato, a ombiatoria elemei 5 Megoldás Aa a valószíűsége, hogy egy dobásból em lesz dupla hatosu 4 Aa a valószíűsége, hogy 4 dobás utá ics dupla hatosu, tehát aa a valószíűsége, hogy 4 dobásból lesz legalább egy dupla hatosu 4,8 Ha a ocáat em teitjü egyformáa, aor az eseméy 4 5 valószíűsége,49 9 Bizoyítsd be, hogy ha egy pézérmét -szor feldobu, aor 95%-ál agyobb aa a valószíűsége, hogy lesz legalább hat egymás utái fej vagy hat egymás utái írás Megoldás Jelöljü x -el az hosszúságú dobássorozato özül azoa a számát, amelye tartalmaza legalább hosszúságú csupa fej vagy csupa írás sorozatot Az ilye sorozatoat evezzü jó sorozat -a A jó sorozat -oat az első legalább -os fej vagy írássorozat első elemée sorszáma szerit számolju és célu egy reurziót felíri az x sorozat elemeire Az ötlet a övetező: a -os fej vagy írássorozat vagy már az első dobásba beövetezett, vagy az utolsó dobás egyforma és hátulról a 7-i dobás ezetől eltér, valamit az első 7 dobásba ics -os fej vagy írássorozat Ha, aor a dobássorozatba em lehet ét ülöböző és diszjut legalább -os fej vagy írássorozat, tehát a -os fej vagy írássorozat vagy már az első dobásba beövetezett, vagy az utolsó dobás egyforma és hátulról a 7-i dobás ezetől eltér Az első esetbe x dobás lehetséges, míg a másodiba dobás, tehát érvéyes a övetező összefüggés: x x +, ha 7 Ha, aor a másodi esetbe jó sorozat létezi, tehát ( ) 7 x x + x 7, ha x b A b sorozatra átírva a apott relációt, a b b összefüggéshez 4 jutu (b aa a valószíűsége, hogy a sorozat em jó sorozat ) A b sorozat ( x 7 csöeő, tehát a b < b és így b < b <,75,,45 4 4 Ebből övetezi, hogy egy hosszúságú fej / írás dobássorozat több mit 95%-os valószíűséggel tartalmaz legalább hosszúságú csupa fej vagy csupa írás sorozatot Számítsd i az S ( ) összeget ) 79 (Megyei olimpia, 997, Maros megye)

Számlálási feladato, a ombiatoria elemei Megoldás az együtthatója x -e az ( + x ifejtésébe, tehát ( ) ) az x együtthatója ( ) ( + x) ifejtésébe Így az S összeg az x együtthatója a ( x) ( ) + összegbe Másrészt tehát x együtthatója ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( x) + + + ( + x) (( + x) ) x ( + x), Bizoyítsd be, hogy a,,, és számo legagyobb özös osztója potosa aor ettő, ha az ettőe hatváya Megoldás A Pascal háromszögbe a páros számo helyére írju -t és a páratlao helyére -et Így mide számot a -vel való osztási maradéával helyettesítü, tehát a, és szabályo szerit a háromszög épzési szabálya megmarad A melléelt ábra alapjá látható, hogy az 5 és 8 sor özt a szélee megismétlődi az első égy sor (lásd a beeretezett háromszögeet) és a özépső háromszögbe csupa áll A 9 és sor özt a szélee megismétlődi az első yolc sor és özépe csupa ulla áll Hasoló módo a + + és soro özt a szélee megismétlődi az első sor és özepébe csupa ulla lesz (ha ez így műödi -ig, aor a sorba a ét szélső szám ivételével csupa áll, tehát a övetező sorba özépe csupa fog álli és így a ét széle ugyaaz törtéi, mit az első sorba, hisz talál a ezdőérté és a épzési szabály) Ez alapjá a ét szélső szám ivételével aor j apu csupa -t, ha a sor száma +, tehát a j, számo csais aor mid párosa, ha Ebbe az esetbe a szám em osztható éggyel és a, tehát a legagyobb özös osztó A bizoyítás teljességéhez elégséges igazoli, hogy em osztható 4-gyel

Számlálási feladato, a ombiatoria elemei 7 ( ) tehát ( ) (( )) prímtéyezős felbotásába hatváyitevője + + + + +, -be a hatváyitevője ( ) + + + + + + + + Ha m,, és m jelöljü -mel a + + + + m S m összeget Bizoyítsd be, hogy S + + + S S + (Országos olimpia, 99) Megoldás j j j j S j j j j j j j j j j ( Sj ) ( Sj ) j j j j j + ( ) j Sj + Sj j j j S + S + x sorozat általáos tagjáa épletét, ha x N x Ebből övetezi, hogy, tehát Határozd meg az ( ) + + +, 4 ( ) és x+ x + x, + (Hegyi Lajos emléversey, 998) megoldás Matematiai iducióval igazolható, hogy x megoldás (Szabó Vass Melida megoldása) Keressü az általáos tagot x a alaba Visszahelyettesítés és egyszerűsítés utá a reurzió a övetező alaba írható: ( + ) a ( + ) a + ( ) a Ha midét oldalhoz hozzáadu a -et, aor az előbbi összefüggés ( + ) a + a ( + ) a + ( ) a alaba írható Ha ezt az egyelőséget -re is felírju és a ét egyelőséget ivoju egymásból, az ( + ) a ( ) a ( + ) a ( ) a + egyelőséghez jutu Ebből övetezi, hogy ( + ) a ( + ) a ( ) a ( ) a,, tehát ( + ) a ( + ) a a 5a, vagy + ( + ) a + ( + ) a a a Eszerit a a, tehát

8 Számlálási feladato, a ombiatoria elemei a ( ) ( ) és így x, 4 Az alábbi háromszög épzési szabálya ugyaaz, mit a Pascal háromszöge csa az -edi sor első és utolsó eleme mide -re éppe Határozd meg az -edi sor -adi elemée épletét 4 4 7 7 4 5 4 5 5 5 Megoldás A melléelt ábrá látható, hogy az első háromszög ülső elemeit elhagyva és a maradé táblázat mide eleméből ivova a Pascal háromszög megfelelő elemét éppe a vizsgált háromszöghöz jutu 4 4 5 5 5 5 4 4 Így az -edi sor -adi eleme igazolhatju + + Ezt a matematiai idució módszerével