Mgyr Eszter Emelt szitő érettségi tétele 0. tétel zámsorozto orozt: Oly függvéy, melye értelmezési trtomáy pozitív egész számo hlmz. zámsorozt éphlmz vlós számo hlmz. f : N R f () jelöli sorozt -ei tgját. orozt megás: - éplettel ) explicit éplet, pl: ) reurzív éplettel: - szöveggel z -ei pozitív páros szám > orozto ábrázolás: erészögő ooriátreszerbe (e cs potot). orozto jellemzése: mootoitás: { } sorozt mooto övı, h. (szigorú, h < < <.) { } sorozt mooto csöeı, h. (szigorú, h > > >.) { } sorozt mooto, h égy vlmelyiét ielégíti. orlátosság: { } sorozt felülrıl orlátos, h v felsı orlátj, zz K R re K. { } sorozt lulról orlátos, h v lsó orlátj, zz L R re L { } sorozt orlátos, h lulról és felülrıl is orlátos. megjegyzés: - h egy sorozt lulról orlátos, or létezi leggyobb lsó orlátj (ifimum) - h egy sorozt felülrıl orlátos, or létezi legisebb felsı orlátj (szuprémum) htárérté: Az { } sorozt z A számhoz overgál, h ε >0-hoz 0 üszöbiex, hogy > 0 eseté (A ε;aε), zz Jelölés: A, vgy lim A. Pélául: lim 0 A < ε.
Mgyr Eszter Emelt szitő érettségi tétele Az { } sorozt végtelehez trt, h K-hoz 0, hogy > 0 eseté >K. Jelölés:, vgy lim. Pélául: lim Az { } sorozt míusz végtelehez trt, h L-hez 0, hogy > 0 eseté <L. Jelölés:, vgy lim. Pélául: lim { } overges, h A R, hogy A, zz h létezi véges htárértée. { } iverges, h em létezi htárértée, vgy h htárértée ±. Pélául iverges. Tétel: Mie overges sorozt orlátos. Tétel: Korlátos és mooto sorozt overges. Tétel: Mooto sorozt miig v htárértée. - H orlátos, or overges (v véges htárértée). - H em orlátos, or vgy -. Htárértée meghtározási mószerei - efiícióvl, becsléssel - reır-elv - ismert htárértéere vló visszvezetéssel - mőveleti szbályo lpjá ( ritius htárértée átlítás) - gyöteleítés, evezı leggyobb tgjávl vló egyszerősítés zámti sorozt: Defiíció: sorozt számti sorozt, h szomszéos tgji ülöbsége álló, zz: > re álló (iffereci). zz: (reurzív éplet) h >0 : szigorú mooto ı, < < < 4 < h 0 : osts, 4 h <0 : szigorú mooto csöe, > > > 4 > Állítás: Bizoyítás: teljes iucióvl. -re -re (ef). Tegyü fel, hogy: r igz zz: ell, hogy re is igz legye, zz: efiíció iuciós feltétel
Mgyr Eszter Emelt szitő érettségi tétele Állítás:, vgyis Bizoyítás: Állítás: Egy számti sorozt három szomszéos tgj özül özépsı ét szélsı számti özepe, zz: ( > eseté) Bizoyítás: (efiíció lpjá) Megjegyzés: ez szimmetrius tgor szité igz: h > Állítás: Egy számti sorozt elsı tgjá összege Bizoyítás: Guss-mószere lpjá. viszot: r Tehát, mibıl ói tétel. Mérti sorozt: Defiíció: sorozt mérti sorozt, h szomszéos tgji háyos álló, zz: álló re > (vócies), hol 0 és 0. Tehát: (reurzív éplet) - h > és >, or szigorú mooto ı és így lulról orlátos és <, or szigorú mooto csöe és így felülrıl orlátos - h, or osts (orlátos és mooto) - h 0<< és >0, or szigorú mooto csöe és orlátos és <0, or szigorú mooto ı és orlátos - h - <0, or em mooto, e orlátos - h <-, or em mooto, és em is orlátos
Mgyr Eszter Emelt szitő érettségi tétele Állítás: Bizoyítás: teljes iucióvl. -re -re (ef). Tegyü fel, hogy: r igz zz: ell, hogy re is igz legye, zz: efiíció iuciós feltétel Állítás:, vgyis Bizoyítás: : mivel 0 ezért eloszthtju z egyeleteet Tétel: Egy mérti sorozt három szomszéos tgj özül özépsı bszolút értée ét szélsı mérti özepe, zz:, vgy iább Bizoyítás: / (efiíció lpjá) Megjegyzés: ez szimmetrius tgor szité igz: h > Állítás: Egy mérti sorozt elsı tgjá összege persze h Bizoyítás: /, zz 4 ebbıl ivov -t, így mivel Megjegyzés:, h
Mgyr Eszter Emelt szitő érettségi tétele Nevezetes sorozto: ) Fibocci-sorozto: oly sorozto, melyél z elsı ét tg ott, és mie zt övetı tg z elızı ettı összege. > eseté. ) H és, or speciel c, htárértée e, illetve c lim e 5 5 5 5 (jj) Allmzáso: - virágszirmo szám gyr Fibocci-szám (liliom, vrózs 5; vérpipcs 8, örömvirág, cióri, útilpú 4) - feyıtoboz, ász, rfiol, mál Fibocci spirálb reezıi - btériumo szporoás Fibocci-sorozt szerit törtéhet - mtszámítás - összegzési problémá - pézügyi számításob - mtos mt számításor - törlesztés évi részletée számításáb - épességöveeés (mérti sorozt)