Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthet és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik HÁZI FELADATOK. félév. konferencia Komple számok Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás 4.4. Végezze el az alábbi komple számokkal a kijelölt műveleteket algebrai alakban: a) ( j) + (5 4j) c) ( j) (5 j) e) ( 4 + j) (5 j) 4 + j g) 5 j. egység: önálló feladatmegoldás 4.. Végezze el az alábbi műveleteket a megadott komple számok trigonometrikus alakjával, és az eredményt írja fel algebrai alakban: a) ( 3 + j ) ( + j) Útmutatás a feladat megoldásához:. A két komple számot ábrázoljuk a komple számsíkon: Im j Re. Kiszámítjuk a két komple szám abszolút értékét és fokban mért szögét. (A számítások eredményét ellenőrizzük az ábrán!) z ϕ kiszámítása:
z ϕ kiszámítása: 3. A két komple számot felírjuk trigonometrikus alakban: z z 4. A trigonometrikus alakban felírt komple számokkal elvégezzük a kijelölt műveletet: z z 5. Az eredményt ábrázoljuk a komple számsíkon: Im Hosszegység: j ϕ Re 6. Kiszámítjuk az eredmény valós és képzetes részét, a számítások eredményét ellenőrizzük az ábrán, majd az eredményt felírjuk algebrai alakban: Re ( z z ) Im ( z z ) z z c) + 5j 4j
e) 4 3 j g) 3 ( + j) ( + 5j) 3. egység: önálló jegyzet készítése és feladatmegoldás Önálló jegyzet A komple szám eponenciális alakjának értelmezése: Kapcsolat a komple szám trigonometrikus és eponenciális alakja között: 3
Szorzás, osztás, pozitív egész kitevőjű hatványozás és gyökvonás műveletek a komple szám eponenciális alakjában: 4.. Végezze el az alábbi műveleteket a megadott komple számok eponenciális alakjával: Útmutatás a feladatok megoldásához: Mivel a komple szám trigonometrikus és eponenciális alakban egyaránt az abszolút értékével és az irányszögével van megadva, ezért felhasználhatjuk az előző feladat megoldása során elért eredményeket, azonban a szög fokban megadott nagyságát ívmértékké kell átalakítani! a) ( 3 + j ) ( + j) 4
c) + 5j 4j e) 4 3 j g) 3 ( + j) ( + 5j) 5
Értékelés:. konferencia Az egyváltozós valós függvény határozatlan integráljának kiszámítása. egység: önálló jegyzet készítése Néhány fontos integráltípus F( a + b ). Két példa az f ( a + b )d + C típusú integrálási szabály alkalmazására: a.. példa: d A példa szerint f ( a + b ) ahol: a és b A fentiek alapján: f ( ) Az f ( )d F( ) + C alapján: d Az F( a + b ) f ( a + b )d + C alapján, a példa megoldása: a d.. példa: α. Két példa az f ( ) f ) d α + f ( ) + C α + típusú integrálási szabály alkalmazására:.. példa: d A példa szerint f ( ) illetve f ) és α α Az f ( ) f ) d α + f ( ) + C alapján, a példa megoldása: α + 6
.. példa: d 3. Két példa az f ( ) + f d ln f ( ( ) ) C típusú integrálási szabály alkalmazására: 3.. példa: d A példa szerint f ( ) illetve f ) Az f ( ) + f d ln f ( ( ) ) C alapján, a példa megoldása: d 3.. példa: 4. Két példa az f ( g( )) g ( ) d F( g( )) + C típusú integrálási szabály alkalmazására: 4.. példa: d A példa szerint, a belső függvény: g( ) illetve g ( ) Alkalmazva az g ( ) u helyettesítést, f ( g( )) f ( u ) Az f ( u )du F( u ) + C alapján: du u g( ) helyettesítéssel, az f ( g( )) g ( ) d F( g( )) + C alapján, a megoldás: d 4.. példa: 7
8 3. egység: önálló feladatmegoldás 8.. + + + d 5 4 3 8.5. + + + + + d e ) ( e e e ln 3 3 8.6. + + d ) ( sin cos sin cos 5 3 3
3 8.5. + d 4 8.8. d ( + ) 3 8.33. d 4 5 6 8.44. tg d 8.45. sin 3 d 9
Értékelés: 3. konferencia Egyéb integrálási módszerek, továbbá az egyváltozós valós függvény határozott integráljának kiszámítása és a határozott integrál alkalmazásai. egység: önálló feladatmegoldás 8.49. sin d Legyen f ) sin g( ) Ekkor f ( ) g ( ) A parciális integrálás szabályát alkalmazva: sin d d Legyen f ) g( ) Ekkor f ( ) g ( ) Ismét alkalmazva a parciális integrálás szabályát: sin d d 8.50. ( + )cos d 3 8.5. ( )e d 0
8.57. sin cos d Útmutatás: az integrandus átalakítására alkalmazzuk a sinα cos β sin( α + β ) + sin( α β ) trigonometrikus azonosságot! ( ) 8.58. cos cos 3 d Útmutatás: az integrandus átalakítására alkalmazzuk a cosα cos β cos( α + β ) + cos( α β ) trigonometrikus azonosságot! ( )
. egység: önálló feladatmegoldás 8.8. e d 8.84. e ln d
4. konferencia Közönséges differenciálegyenletek Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás. Oldja meg az alábbi, közvetlenül integrálható differenciálegyenleteket: a) y + e 5 b) y cos+ cos 0.. y y( ) 0.3. y y 0 y( ) 4 Kifejezzük a differenciálegyenletből y -t: 3
y Alkalmazzuk az dy d dy y helyettesítést: d Szétválasztjuk a változókat, és mindkét oldalon kijelöljük az integrálást: dy d ln c alakban, csak a jobbol- Mindkét oldalon elvégezzük az integrálást, de konstanst, dalhoz adunk hozzá: Kifejezzük y -t, amely a differenciálegyenlet általános megoldása: y A kezdeti feltételt behelyettesítjük a differenciálegyenlet általános megoldásába: 4 Megoldva a kapott egyenletet, kiszámítjuk c értékét: c c kiszámított értékét visszahelyettesítve a differenciálegyenlet általános megoldásába, megkapjuk a differenciálegyenletnek a megadott kezdeti feltételt kielégítő partikuláris megoldását: y p 0.. y + ( + 3) y 0 4
0.6. ( + y )d ( 4 ) dy 0. egység: önálló feladatmegoldás 0.8. y y + Felírjuk a homogén differenciálegyenletet és megoldjuk, mint szétválasztható változójú differenciálegyenletet. Eredményül a homogén differenciálegyenlet általános megoldását kapjuk: Y Y 0 Y Az állandó variálásának módszerét alkalmazva, megkeressük az inhomogén differenciálegyenlet egy partikuláris megoldását. Legyen y p k( ) Kiszámítjuk y p -t: y p 5
y p -t és y p -t behelyettesítjük az inhomogén differenciálegyenletbe: Elvégezzük az összevonásokat, majd k ( )-et kifejezzük: k ) Megoldjuk az így kapott, közvetlenül integrálható differenciálegyenletet, azonban a szokásos állandót nem adjuk hozzá az integrálással kapott függvényhez: k ( ) Az inhomogén differenciálegyenlet általános megoldása, a homogén általános és az inhomogén partikuláris megoldásának összege: y Y + y p 0.84. y y 4 e 0.86. y y sin 6
3. egység: önálló feladatmegoldás 0.305. Y + Y 5Y 0 Felírjuk a homogén differenciálegyenlethez tartozó karakterisztikus egyenletet: A karakterisztikus egyenlet megoldása: λ λ A homogén differenciálegyenlet alapmegoldásai: Y Y A homogén differenciálegyenlet általános megoldása: Y cy + c Y 0.306. Y 6 Y + 8Y 0 0.308. Y + Y + Y 0 7
0.309. 9 Y + 4Y + 6Y 0 0.30. Y + 4 Y + 9Y 0 0.3. Y + 4 Y + 9Y 0 0.37. y + 5 y + 6y Felírjuk a homogén differenciálegyenletet és megoldjuk: 8
A homogén differenciálegyenlet általános megoldása: Y Az állandó variálásának módszere szerint, kifejezzük k )-et és k ) -et az azokat tartalmazó egyenletrendszerből: k ) ) k Megoldjuk az így kapott, közvetlenül integrálható differenciálegyenleteket, azonban a szokásos állandót nem adjuk hozzá az integrálással kapott függvényekhez: k ( ) k ( ) Az inhomogén differenciálegyenlet általános megoldása, a homogén általános és az inho- 9
mogén partikuláris megoldásának összege: y ( c + k( )) Y + ( c + k ( )) Y 0.30. y + 6y + 34y 7 6 + 3 0.3. y y 4 cos 0
0.37. y + y + sin 0
Értékelés: 5. konferencia Kétváltozós valós függvények differenciál- és integrálszámítása. egység: önálló feladatmegoldás 3.0. a) 3 f ( ; y ) 6 y + y f ; y ) f y ; y ) b) f ( ; y ) ln y f f y ; y ) ; y ) c) f ( ; y ) (sin )ln y + (ln )cos y f f y ; y ) ; y ) d) f ( ; y ) y e f f y ; y ) ; y )
e) f ( ; y ) cos y f f y ; y ) ; y ) 3. egység: önálló feladatmegoldás 3.58. Számítsa ki az alábbi integrálokat: b) d dy 0 0 + y 4 y c) dy d 3
d) d 9 0 0 dy 3.59. Számítsa ki az alábbi függvények integrálját a H téglalapon: a) ( ; y ) y f H {( ; y ) R 0 ; 0 y } Ábrázoljuk az integrálási tartományt és kiszámítjuk az integrált: y 0 0 y d dy 4
b) f ( ; y ) + + 3y 4y H {( ; y ) R ; 0 y 3} c) f ( ; y ) sin y H ( ; y ) R π ; 0 y 5