Dr Tóth László, Kombiatoria (PTE TTK, 7 5 Kombiáció 5 Feladat Az,, 3, 4 számo özül válasszu i ettőt (ét ülöbözőt és írju fel ezeet úgy, hogy em vagyu teitettel a iválasztott eleme sorredjére Meyi a lehetősége száma? Megoldás Hat lehetőség va, eze a övetező: 3 4 3 4 34 5 Defiíció Legye adott ülöböző elem ( Válasszu i özülü elemet, ahol és írju fel ezeet úgy, hogy em vagyu teitettel a iválasztott eleme sorredjére Ezeet az elemsorozatoat az elem -adosztályú ombiációia evezzü Jelölje C az elem -adosztályú ombiációia a számát Ha az,,, eleme -adosztályú ombiációit teitjü, aor a számoat (általába agyságredi sorredbe írju Az 5 Feladatba C 4 Kérdés: Meyi C? 53 Tétel Ha, aor C V, C ( ( ( P! Ha, aor C!!(! Bizoyítás Teitsü egy tetszőleges, rögzített ombiációt Ha az ebbe szereplő elemet permutálju, aor em apu új ombiációt Ugyaaor eze elem -adosztályú variációia teithető Íly módo a rögzített -adosztályú ombiációból! számú -adosztályú variációt apu, s így a C számú ombiációból!c számú variációhoz jutu Eze a variáció mid ülöbözőe és mide variációt megapu, ezért V!C, azaz C V /! V /P A többi éplet a V -ra voatozó előbbi épleteből adódi Ha, aor ie C!!, ami megfelel aa, hogy elemből számú elemet egyféleéppe választhatu i: úgy, hogy egy elemet se veszü 54 Tétel (Szimmetria-tulajdoság Ha, aor C C Bizoyítás Azoali az 53 Tétel utolsó éplete szerit Másépp: Az elemből elemet iválasztai ugyaazt jeleti, mit a többi elemet em iválasztai Ezt ayiféleéppe lehet, aháyféleéppe az elemet i tudju választai Figyeljü meg, hogy mide -re C C, C C, C C (, C 3 C 3 ( (, Ha >, aor em lehet ombiációat épezi, ezért > eseté célszerű haszáli, hogy C A elem -adosztályú ombiációi számáa más jelölése (, olvasd alatt Tehát C!!(!,, ezeet a számoat biomiális számoa vagy biomiális együtthatóa is evezzü, lásd ésőbb a biomiális tételt Itt ( (, P, lásd 4 Ez az egyelőség özvetleül is belátható Teitsü elemet, amelye -adosztályú ombiációit épezzü Írju midegyi elem alá -et vagy -t aszerit, hogy iválasztottu a ombiáció épzéseor vagy sem Pl ha 5, az eleme a, b, c, d, e és 3, aor az a, c, d és a, d, e ombiáció eseté legye:, ill Így mide -adosztályú ombiációa megfelel egy számú -esből és számú -ból álló ismétléses permutáció, és ülöböző -adosztályú ombiációa ülöböző ilye ismétléses permutáció felele meg ( A övetező defiíció is adható: 55 Defiíció Egy elemű halmaz elemű részhalmazait elem -adosztályú ombiációia evezzü Egy elemű halmaz elemű részhalmazaia a száma tehát ( ( Így a elemű részhalmazo száma, ez az üres halmaz (, a elemű részhalmazo száma,, a elemű részhalmazo száma (, ez az adott halmaz 5
Dr Tóth László, Kombiatoria (PTE TTK, 7 5 Tétel Legye Egy elemű halmaz összes részhalmazaia a száma ( ( ( ( Bizoyítás A részhalmazoat úgy apju, hogy az adott halmaz bizoyos elemeit iválasztju a részhalmazba, a többit pedig em Így mid az elemre ét lehetőség va: vagy iválasztju, vagy sem Így a lehetősége száma, és ezzel együtt a részhalmazo száma } {{ } szer Az pot azoali övetezméye 57 Feladat Legye A {,,, }, B {,,, } Háy f : A B szigorúa övevő függvéy létezi? Megoldás Legye f( a B, f( a B,, f( a B Feltétel: a < a < < a Ez csa aor lehetséges, ha és eor a lehetősége száma, tehát az f : A B szigorúa övevő függvéye száma éppe C (a defiíció szerit Ee alapjá az,,, eleme -adosztályú ombiációi úgy is defiiálható, mit az f : A B szigorúa övevő függvéye 58 Feladat Igazolju, hogy mide -re egymásutái egész szám szorzata osztható!-sal Megoldás Feltehetjü, hogy az adott számo mid pozitíva, legyee eze (fordított sorredbe,,,, ahol Aor szorzatu ( (!C Itt C egész szám és övetezi, hogy ( ( osztható!-sal Ee övetezméyeét adódi, hogy ét egymásutái egész szám szorzata osztható -vel, három egymásutái egész szám szorzata osztható -tal, stb Ismétléses ombiáció Feladat Az,, 3, 4 számo özül válasszu i ettőt úgy, hogy ugyaazt az elemet étszer is vehetjü, de em vagyu teitettel a iválasztott eleme sorredjére Meyi a lehetősége száma? Megoldás A övetezőet apju: A lehetősége száma 3 4 3 4 33 34 44 Defiíció Legye adott ülöböző elem ( Válasszu i özülü elemet, ahol úgy, hogy ugyaazt az elemet többször is vehetjü és írju fel ezeet úgy, hogy em vagyu teitettel a iválasztott eleme sorredjére Ezeet az elemsorozatoat az elem -adosztályú ismétléses ombiációia evezzü Jelölje C az elem -adosztályú ismétléses ombiációia a számát Ha az,,, eleme -adosztályú ismétléses ombiációit teitjü, aor a számoat (általába agyságredi sorredbe írju úgy, hogy ismétlődése is lehete A Feladatba C 4 Kérdés: Meyi C? 3 Tétel Ha,, aor C C, C Ha,, aor C (!!(! ( ( (! Bizoyítás Megmutatju, hogy bijetív leépezés létesíthető elem -adosztályú ismétléses ombiációi és elem -adosztályú (ismétlés élüli ombiációi özött Ie övetezi fog, hogy C C Teitsü az,,, eleme egy tetszőleges, rögzített a i, a i,, a i ismétléses ombiációját, ahol a i a i a i Adju hozzá az elemehez redre a,,,, számoat, azaz legye a i, a i,, a i ( Ez az,,, elemee egy ismétlés élüli ombiációja, mert itt a i < a i < < a i ( Mide ilye ismétlés élüli ombiációt megapu és potosa egyszer Fordítva,
Dr Tóth László, Kombiatoria (PTE TTK, 7 ha b i, b i,, b i az,,, eleme egy ismétlés élüli ombiációja, aor b i, b i,, b i ( az,,, eleme egy ismétléses ombiációja lesz A többi éplet a C számora voatozó orábbi épleteből adódi Ha, aor ie C!!, ami megfelel aa, hogy elemből számú elemet egyféleéppe választhatu i: úgy, hogy egy elemet se veszü Az elem -adosztályú ismétléses ombiációi számáa más jelölése Tehát C ( ( (, C! ( ( (,! ahol a evező egyelőe, a számlálóba pedig midét esetbe egymásutái szám szorzata áll -től ezdve lefelé, illetve -től ezdve felfelé 4 Feladat Háy olya domió va, amelye midét felé a poto száma -tól 8-ig terjed, lásd 47 Feladat Megoldás A domióat a poto számáa megfelelőe xy-al jelöljü, ahol x y 8 A lehetősége száma defiíció szerit C 9 9 45 5 Feladat Legye A {,,, }, B {,,, } Háy f : A B övevő függvéy létezi? Megoldás Legye f( a B, f( a B,, f( a B Feltétel: a a a A lehetősége száma, tehát az f : A B övevő függvéye száma mide, eseté éppe C (a defiíció szerit Ee alapjá az,,, eleme -adosztályú ismétléses ombiációi úgy is defiiálható, mit az f : A B övevő függvéye Szoásos a övetező jelölés is: ha x valós szám és természetes szám, aor [x] x(x (x (x Így C []! (( (! 7 A biomiális tétel Az (a b a ab b, (a b 3 a 3 3a b 3ab b 3 éplete általáosításaét igazolju, hogy 7 Tétel Ha a, b tetszőleges omplex számo és egész szám, aor (a b a b Bizoyítás Itt (a b (a b(a b (a b A szorzáso elvégzése érdeébe az zárójel midegyiéből vagy az a-t vagy a b-t ell választai, ezeet össze ell szorozi, majd a apott szorzatoat össze ell }{{} szer adi Így egy olya összeget apu, amelye mide tagja a b alaú, ahol Ez a tag ayiszor szerepel, aháyszor az számú b özül számú b-t választu és ez éppe C ( Kiírva a tagoat (a b övetező ifejtését apju: (a b a a b a b b Figyeljü meg, hogy a ifejtésbe tag va, az a itevői -től -ig csöee, a b itevői pedig -tól -ig öveede Az együttható a biomiális együttható (a biom görög eredetű szó, jeletése ét tag, ez az a b éttagú összegre voatozi 7 Tétel Ha, aor, ( Bizoyítás A biomiális tételbe legye a b, ill a, b 7
Dr Tóth László, Kombiatoria (PTE TTK, 7 A biomiális együttható összegére voatozó összefüggést már láttu az 5 Tételbe A másodi, a biomiális együttható váltaozó előjelű összegére voatozó éplet így is írható: 4 3, 5 tehát rögzített felső idex mellett a páros alsó idexű biomiális együttható összege egyelő a páratla alsó idexű biomiális együttható összegével, és egyelő -gyel, mert az összes biomiális együttható összege A biomiális együttható egy mási fotos tulajdosága a övetező: ( ( 73 Tétel (Addiciós éplet Ha, aor Bizoyítás Az {a, a,, a, } halmazból háyféleéppe választhatu i elemet? Egyrészt ( - féleéppe Másrészt, rögzítsü egy elemet, pl az a -et A iválasztott eleme özött a vagy szerepel vagy sem Ha szerepel, aor az {a, a,, a } halmazból választau ell még számú elemet, ez ( - féleéppe törtéhet Ha em szerepel, aor az összes elemet az {a, a,, a } halmazból ell választau Ez ( ( ( -féleéppe lehetséges Összese tehát a lehetősége száma Ez egy tipius ombiatorius bizoyítás, elletétbe a 7 Tétel előbbi bizoyításával, amely algebrai bizoyítás, ott ics semmi szerepe a ( biomiális együttható jeletésée, csa az algebrai tulajdoságaiat haszáltu i Természetese mide (hibát em tartalmazó bizoyítás helyes és jó, de gyara a ombiatorius bizoyításo szebbe, jobba rávilágítaa a tulajdoság léyegére Ugyaaor soszor ehéz ilyeeet találi A 73 Tétel algebrai bizoyítása: ( ( (!!(! (! (!( (!(!!(! (!!(!!!(! Ez egy reurzív éplet, amelye segítségével iszámítható a biomiális együttható A övetező táblázat a biomiális együtthatóat tartalmazza: ( ( ( ( ( ( ( 3 4 5 3 3 3 4 4 4 5 5 5 5 5 Táblázat Biomiális együttható A reurzív éplet szerit itt mide belső szám egyelő az előző sorba a szám felett álló és az attól balra álló ét szám összegével A biomiális együttható így is megadható, ezt Pascal-háromszöge evezzü: 3 3 4 4 5 5 5 5 Táblázat Pascal-háromszög 8
Dr Tóth László, Kombiatoria (PTE TTK, 7 Ebbe az elredezésbe mide belső szám egyelő a szám felett álló ét szám összegével Ee alapjá a táblázat öye iegészíthető további soroal Mivel ( (, A Pascal-háromszög soraiba a széletől egyelő távolságra álló számo egyelőe 74 Feladat Adju meg a Pascal-háromszög övetező három sorát 75 Feladat Adju meg (a b 7, (a b 8, (x, ( x 3 y ifejtéseit 7 Feladat Igazolju, hogy, ahol! Megoldás!(! (! (!(!, a biomiális együttható összegére voatozó éplet szerit ( ( ( ( ( Másépp: Legye S( ( A biomiális ( ( ( ( együttható szimmetria-tulajdosága miatt S( ( Összeadva: ( ( ( ( S( (, ahoa S( A biomiális éplete érvéyes a övetező általáosítása, amelyet általáosított biomiális éplete evezzü: ( x λ λ(λ λx x λ(λ (λ ( λ x x,! ahol λ, x R, x < és ( λ λ(λ (λ,,,,, az általáosított biomiális! együttható 77 Feladat Igazolju, hogy az általáosított biomiális együtthatóra is igaz a ( ( λ λ addiciós éplet Megoldás Közvetle számolással 78 Feladat Adju meg az általáosított biomiális épletet λ eseté Megoldás Ha λ, aor ( ( és azt apju, hogy: ( x x x x 3 x 4 ( x ( λ 9