Vigé Dr. Lecsés Áges egyetemi doces PTE TTK Matematika Taszék Néháy godolat a valós számsorozatok taításáról (Híd a közoktatás és a felsoktatás között.) I. Problémafelvetés A felsoktatásba, ahol matematikát taulak - tudomáyegyetemek, taárképz fiskolák matematika szakjai, teljes mszaki felsoktatás, közgazdaságtaal kapcsolatos egyetemek, fiskolák, agrártudomáyi egyetemek, fiskolák BSC képzései. -, ott a matematika tudomáyterületei közül az aalízissel kezdeek foglalkozi, rögtö az els félévbe. Azzal az aalízissel, amellyel mit a matematika fejldéstörtéetébl tudjuk - az emberiség szellemi óriásai is sok évszázado ( évezrede ) keresztül foglalkoztak és csak a XVII-XVIII. századra sikerült a változó meyiségek matematikáját kordába fogiuk, megalkoti logikailag tiszta formába az aalízis fogalmait. Az aalízis defiíciói redkívül boyolultak, összetettek a matematika más területei szerepl defiíciókhoz képest. A felsoktatásba ezekkel a deduktív úto kialakított fogalmakkal, defiíciókkal, a felsoktatásba megszokott hagyomáyos eladás formájába szembesítjük a középiskolából éppe kilépett hallgatót. Azt a hallgatót, aki középiskolába szite csak iduktív fogalomalkotással találkozott a komplex fukciós középiskolai matematika óráko. A középiskolai órák sokfukciósak. Egy órá belül zajlik az új ayag feldolgozása, az ismeretelsajátítás, alkalmazás, ellerzés, értékelés, számokérés, osztályozás. Szembe a felsoktatással, ahol eladáso közöljük, leadjuk az elméletet, és ezt követi gyakorlato sokszor több héttel lemaradva- az alkalmazás. Sok éves mszaki fiskolai és tudomáyegyetemi oktató mukám sorá megélt kudarcok idítottak arra, hogy az aalízis oktatására hatékoyabb megoldást dolgozzak ki a szakirodalmak áttaulmáyozása alapjá. Ebbe a dolgozatba az aalízis témakörei közül a valós számsorozatok taításáaktaulásáak egy lehetséges didaktikai megoldását mutatom be. Egyrészt azért, mert a valós számsorozatok az aalízis els témaköre, erre épül a függvéyhatárérték, a valós számsorok, függvéysorok és a Riema-itegrál tárgyalása. Másrészt azért, mert ez a téma bizoyos szite szerepel a középiskolai ayagba, így hidat építhete a felsfokú taulmáyok kezdeté a két képzési szit között. A feltételes mód haszálata idokolt, mert a középiskolába a számsorozat témába a tárgyalás a számtai és mértai sorozatok felé tolódik el. Ez a szemléletmód uralkodik, így elveszik a témából adódóa a függvéy-és számfogalom fejlesztéséek lehetsége, valamit a sorozatok függvéytai tulajdoságaiak felismertetése. Tehát a középiskolából hozott sorozatokkal kapcsolatos ismeretekre való ráépítéshez a felsoktatásba szükség va alapos korrekcióra is. A dolgozatba bemutatásra kerül didaktikai megoldásredszer egyrészt megkísérli kiküszöböli a középiskolai komplex fukciós matematika órákról a felsoktatás eladásgyakorlat szisztémájára váltásból adódó ehézségeket, másrészt az aalízis ehéz fogalmaiak elsajátítását a deduktív fogalomalkotás helyett (sok esetbe csak defiíciók
közlése), iduktív fogalomalkotással megoldva képez hidat a középiskolai sorozatokkal kapcsolatos ismeretek és az aalízis valós számsorozatok témaköre között. II. A valós számsorozatok téma matematikai-didaktikai elemzése A valós számsorozatokat a forgalomba lév szakirodalmak többféle felépítési módba tárgyalják. A téma taayagbeli elhelyezkedése az aalízistaítás egyik alapkérdéséhez kapcsolható, mégpedig: a függvéyhatárérték fogalmát a Heie-féle (sorozatos) vagy a Cauchy-féle (ε,δ s, köryezetes) defiícióra alapozzuk-e. A tapasztalat azt mutatja, hogy a két értelmezés ekvivaleciájáak megmutatásával a diákok számára egyszerbb a függvéyhatárértékkel kapcsolatos ismeretek átviteli elv segítségével való tárgyalása, mit ha az általáosabb függvéyhatárérték speciális esetekét ismerkedek a sorozatok kovergeciájával.(tehát a sorozatok mitegy eszközkét szolgálak a függvéyhatárérték tárgyalásához.) Azért is célszerbb a sorozatokkal való ismerkedés a függvéyhatárérték tárgyalása eltt, mert a valós számsorozatok a valós változós valós érték függvéyekek egy részhalmazát képezik (speciális valós függvéyek), így a függvéyfogalom elmélyítését szolgálják. Tehát a diákok számára a valós függvéyek emcsak a teljes számegyeese vagy aak részitervallumai értelmezett függvéyeket jeletik, haem a diszkrét számhalmazo (itt N + -o) értelmezett függvéyeket is. A sorozatok középiskolai tárgyalásáak hagyomáyos részéhez tartozak a számtai és mértai sorozatok, így a vizsgálat tárgya em a diszkrét számhalmazo értelmezett függvéyek tulajdoságai. A sorozatok egésze helyett az els tagot vizsgálják, tehát itt a módszertai felépítéskor korrigáli kell, em szabad megszakítai a sorozatok függvéytai tulajdoságaiak megismerési folyamatát speciális sorozatok tárgyalásával! A számfogalom fejlesztésébe rejl lehetség a sorozatok tárgyalásába a középiskolába általába kiakázatla marad. Midayia tapasztalhattuk az általáossá vált hibát, hogy a diákok számára az irracioális számok csak a gyökszámokat jeletik. Tehát szükséges a racioális számok halmazá a sorozatok kovergeciájáak átfogalmazása, a Cauchy-féle kovergecia bevezetése, a racioális számok halmazá korlátlaul el em végezhet mveletek áttekitése. Majd ezek közül ki kell választai azokat a mveleteket, amelyek csak akkor végezhetk el korlátlaul egy kibvített számhalmazo ha az a számhalmaz éppe a valós számok halmaza. A felsoktatás matematikai tárgyaiba találkozak a hallgatók az algebrai struktúrákkal és az axiómatikus módszerekkel. A sorozatok hozzájárulak a vektortér fogalmáak kialakításához, de fleg elmélyítéséhez. Ugyais, ha a sorozatok tárgyalásakor a függvéytai tulajdoságokra helyezzük a hagsúlyt, megmutathatjuk, hogy vektorteret alkotak például a korlátos valós számsorozatok, a koverges valós számsorozatok, a számtai sorozatok stb, ha két sorozat összegét a megfelel elemek összeadásával, számszorosát az elemekéti szorzással értelmezzük ( elle pl.: mértai sorozatok halmaza em alkot vektorteret ugyaezekre a mveletekre). III. A valós számsorozatok tárgyalása A témába az eladásokat és gyakorlatokat lácszer kapcsolatba építjük fel. Kihaszáljuk a gyakorlatok eladást elkészít fukcióját, biztosítva a gyakorlat oldaláról a lácszer kapcsolatot. Az eladásoko az ayaggal kapcsolatba megoldadó feladatokat, 2
kérdéseket kapak az eladást követ gyakorlatra, ezzel is segítve az elméleti ayag öálló taulását. Az eladások a hagyomáyos ismeretközl eladás helyett problémafelvet ill. koverzatórium jellegekké tesszük, mely a kétiráyú iformációcsere biztosításával fejleszti a godolkodási képességeket. ; Sorozat fogalma, megadása, szemléltetése A diákok függvéyekre voatkozó redezett ismereteibl kiidulva a valós változós, valós érték függvéyek értelmezési tartomáyaiak vizsgálatával, majd azo függvéyek eseté, melyekek értelmezési tartomáya a pozitív egészek halmazára leszkíthet, a leszkítés végrehajtásával jutuk el a valós számsorozat fogalmához. (Például 2 x 3 2 f ( x) = x, 2, x,,cos x,log 2 x,lgsi x, x, 9 x, ). x 2 2 9 x Ezzel megjelöljük a célt: az f: R R halmaz azo részhalmazával foglalkozuk, melybe a függvéyek értelmezési tartomáya a pozitív egész számok halmaza. Ezutá a függvéy leírási módjaira támaszkodva a hozzáredelési mód formái szerit a sorozat megadási lehetségeit vizsgáljuk ( speciális függvéy volta miatt lehet pl. függvéyekét képlettel, utasítással, rekurzív defiícióval). A szemléletes kép érdekébe kétféle ábrázolási módot haszáluk a speciális értelmezési tartomáy miatt. Szemléltetjük koordiáta-redszerbe a sorozatok éháy elemét, és megállapítjuk, hogy a grafiko diszkrét potokból áll. Kiemeljük, hogy ayi számsorozat létezik, aháyféleképpe a koordiáta-redszerbe az x=,x=2,x=3,.. egyeeseke potot lehet kijelöli. Majd a speciális értelmezési tartomáy miatt a számegyeese való szemléltetési lehetséget is haszáljuk. 2; A valós számsorozatok függvéytai tulajdoságai Az eddigiekbe a figyelem középpotjába a sorozat fogalma állt, eze belül is az értelmezési tartomáy. A továbbiakba a számsorozatok függvéytai tulajdoságaiak megállapításakor az értékkészlet válik a vizsgálat tárgyává. Ehhez egy sorozatkészletet célszer összeállítai, hogy megfelel tapasztalati ayag álljo redelkezésre. a = a =, a = a + a ha 3 () 2 2 (2) a = 5, a = a + 3 ha 2 (3) a = 5, a = 3 a ha 2 (4) a = 2, a = a ha 2 (5) a = 3 (6) a = (7) a = (8) a =, a = 2 a ha > (9) π alsó közelít törtjei (0) a = ( ) () (2) a a = 5 3 = 2 3
3 + (3) a = + 2 ( ) (4) a = 2 + A felírt sorozatokat a tault függvéytulajdoságok alapjá összehasolítjuk, csoportosítjuk (a diákok várhatóa szóba hozzák a mootoitást, korlátosságot, periodicitást, szélsértéket, esetleg ituitíve a határértéket is). Matematikai szempotból a korlátosság, a mootoitás és a határérték érdekes. A korlátosság vizsgálata az értékkészlet egészére voatkozik, a mootoitásál az egész értelmezési tartomáyo vizsgáljuk az értékkészlet elemeit. A korlátosságra és mootoitásra voatkozó defiíciókat célszer a diákokkal megfogalmaztati, mivel ezek a megfelel függvéytai tulajdoságok sorozat yelvére törté lefordítását jeletik. A fogalmak viszoyát Ve-diagramo szemléltetjük. Mivel a sorozatkészlet egyes példái többe észreveszik a határérték létezését, em ehéz a figyelmet a sorozatok kovergeciájára iráyítai. Szemlélet és ábrázolás alapjá jól megállapíthatók, melyek kovergesek és mi a határértékük. A diákok idoklásaiból kirajzolódik a precíz ε, N-s meghatározás. Több példa (a sorozatkészletbe (4),(5),(7),(9),(),(3),(4)) elemzése utá rögzíthet csak a sorozat kovergeciájáak fogalma, és bevezethetk a jelölések. A példákhoz kapcsolódva kiemeled, hogy N em függvéye ε-ak, mert ha ε > 0-hoz található N küszöbidex, akkor bármely N-él agyobb természetes szám is jó küszöbszámak, valamit az, hogy a sorozat kovergeciájáak fogalma alapjá a sorozat határértékét em tudjuk kiszámítai. A sorozat kovergeciájáak fogalma ehézek bizoyul a diákokak és a felsoktatásba a hallgatókak, ezért a gyakorlato a határérték fogalom elmélyítésére állítások igaz-hamis voltát is vizsgáltuk és idokoltuk. A sorozatkészlet példáit szétválogatva most már kovergecia szerit, közölhet a diverges sorozat elevezés is. Ehhez kapcsolódva észrevetetjük a diákokkal, hogy egy sorozatak em lehet két határértéke, st vaak olya sorozatok (mit a (0)-es), amelyek em kovergesek, de kivehet bellük koverges sorozat. Eze észrevételek utá bizoyítható a sorozat határértékéek egyértelmsége és a részsorozatokra voatkozó tétel. 3; Kovergecia szükséges feltétele, eleged feltétele, Cauchy-kritérium A sorozatkészlet haszosak bizoyul abból a szempotból is, hogy a diákok észreveszik a sorozatok eddig külö tárgyalt- tulajdoságai közötti összefüggéseket is. ( Koverges sorozat korlátos; Mooto és korlátos sorozat koverges.) Ezek utá a kovergecia szükséges feltételét, majd elégséges feltételét tételbe fogalmazzuk és bizoyíthatjuk. A két tétel tárgyalása jó lehetséget biztosít egy feltétel szükségességéek, ill. eleged voltáak megvilágítására. A sorozatkészlet megfelel példáival illusztrálhatjuk, hogy a két tétel megfordítása em igaz. Majd a tárgyalt tételek alapjá célszer ismét Ve-diagrammal szemlélteti a három sorozat-tulajdoság viszoyát. A szükséges feltétel és az eleged feltétel tárgyalásából adódik a következ kérdés: Vajo megadható-e szükséges és elégséges feltétel a sorozat kovergeciájára voatkozóa? Valamit más oldalról közelítve: sokszor em sejtjük a sorozat határértékét, vagy ics is rá szükség, csak azt szereték tudi, hogy koverges-e a sorozat. Vajo meghatározható-e a kovergecia fogalma úgy, hogy e tartalmazza a határértéket? Eze problémafelvetés utá a figyelmet a koverges a sorozatra iráyítjuk. Ha elég agy - ekre az a és az A határérték eltérése kicsi, akkor szükséges, hogy eze sorozat elemek közti külöbség is kicsi legye. Eek észrevétele utá fogalmazható meg a sorozat kovergeciájáak szükséges és eleged feltétele, a Cauchy-féle kovergecia kritérium. 4
A feltétel szükségességéek igazolásakor a határérték ε,ν s defiícióját, az elegedség bizoyításához a Bolzao-Weierstrass- tételt haszálhatjuk fel. Ezutá már megválaszolható az iduláskor felvetett két probléma. A szükséges és elégséges feltétel a kovergecia defiiálására is alkalmas. Ez utóbbi tétel tárgyalása és bizoyítása ikább csak a felsoktatásba jellemz. A hallgatók számára ez em csak egy feltétel szükséges és elégséges voltáak illusztrálása miatt fotos, haem azért is, mert a bizoyítás a hallgatókat bevezeti az aalízis módszereibe. Fotosak tartom azért is, mert a Cauchy-féle kovergecia a valós számok bevezetését idokoló mvelet és így eek tárgyalása a számfogalom fejlesztését szolgálja. ( Ugyais a Cauchykritérium a valós számok halmazá áll fe, de a racioális számok halmazá em, mert pl. a π-ek alsó közelít törtjeit véve olya racioális számokból álló sorozatot kapuk, amely kielégíti a Cauchy-kritériumot, de a racioális számok halmazá em létezik határértéke. Megkülöböztetésül az ilye sorozatokat Cauchy-sorozatak evezik. Tehát a π alsó közelít törtjeiek sorozata a racioális számok halmazá Cauchy-sorozat, de közöséges értelembe em koverges a racioális számok halmazá.) A racioális számok halmaza emcsak a szakaszok mérése, haem a határérték-képzés mvelete szempotjából is tökéletle, és ez idokolja logikailag a valós számok bevezetését. 4; Sorozatokkal végzett mveletek, a határátmeet szabályai A sorozatok függvéytai áttekitése utá, a sorozatokkal végzett mveletek következek. Mivel a függvéyek kapcsá szerepeltek a mveletek, itt eleged csak egy mvelet értelmezését megadi, a többit a diákok eek mitájára elvégzik. Újra kiemeled, hogy a kovergecia defiíciója a határérték kiszámítására em ad lehetséget, ahhoz olya tételek szükségesek, amelyek kimodják, hogy az eredeti sorozatok határértékébl a külöféle mveletekkel képzett sorozatok határértéke hogya számítható ki. Az összeg -, külöbség-, szorzat- és háyados sorozat határértékére voatkozó tételt, a redr-szabályt modjuk ki és bizoyítjuk. A bizoyítások egy részét a hallgatók öállóa végezhetik, mivel ezek is a kovergecia fogalmáak elmélyítését szolgálják. Itt tárgyaltuk és bizoyítottuk a diverges sorozatokkal kapcsolatos aalóg tételeket, valamit a -be divergáló sorozatokak a ullsorozatokkal való kapcsolatára voatkozó tételeket is. Eze ismeretek agy részéek elsajátíttatása már jobbára a felsoktatás feladata. Meggodoladó, hogy meyit, és milye mélységbe dolgozhatuk fel középiskolai taítváyaikkal. 5; Nevezetes sorozatok Végül ahhoz, hogy sorozatok határértékét ki lehesse számítai, szükség va éháy sorozat, az u. evezetes sorozatok határértékéek ismeretére. Az a = / sorozat kovergeciáját az archimedeszi axióma alapjá idokoltuk. Majd a sorozatkészletbl a hallgatók középiskolás ismereteik alapjá kiválogatták a mértai sorozatokat. Ezeket megvizsgáltuk, milye quocies eseté hogya viselkedek, ezutá fogalmaztuk állításukat tétel formájába és esetekre botva bizoyítottuk a Beroulliegyeltleség felhaszálásával. A evezetes sorozatok közül még tárgyalásra került az a a = a, a =, a = +, a =.! Végül gyakorló feladatok következtek külöböz sorozatok határértékeiek kiszámítására. A evezetes sorozatokál tárgyalhatók a Sorozatok címe középiskolába hagyomáyosa feldolgozott számtai és mértai sorozat. 5
A valós számsorok tárgyalása a külöböz felsoktatási tatervekbe egyes esetekbe követi a számsorozatok tárgyalását, más esetekbe több hét, esetleg hóap külöbséggel kerülek el. Eze utóbbi esetbe is érdemes a mértai sorozatok kapcsá ebbe az ayagrészbe bepillatást tei, aál is ikább mivel ezt a középiskola is megteszi. Ezt azért lee érdemes itt megtei, mert ez a sorokra való kitekités lehetvé teszi aak igazolását, hogy mide szakaszos végtele tizedes tört racioális szám, azaz felírható két egész háyadosakét. A problémát Zéo apóriájáak kicsit módosított változatával idítva, felvethet végtele sok tag összegzéséek problémája. A példa megbeszélése alapjá tisztázható a mértai sor, a részletösszegek sorozatáak, a sor összegéek és kovergeciájáak fogalma, majd bizoyítható a mértai sor kovergeciájára voatkozó tétel. A híd építéséek másfajta voatkozása, a részletek, evezetese a fogalomalkotás, a tételek felfedeztetése valamit a bizoyítási stratégiák tudatos alkalmaztatása a sorozatok taításába egy következ dolgozatom témája. Irodalomjegyzék: ; Megyesi László- Peller József: A taulók matematikai tevékeységéek tervezése és iráyítása a középiskolába VI. Taköyvkiadó Bp.,989 2; Vigé Lecsés Áges: A középiskolai és a mszaki fiskolai oktatás közti átmeet problémái (Didaktikai és szakmódszertai eltérések és ezek megoldási lehetségei matematikából) PhD Értekezés 998, BME 3; Szeréyi Tibor: Aalízis Taköyvkiadó Bp., 972 4; Schipp Ferec: Aalízis I. JPTE Pécs, 994 5; Középiskolai taköyvek 978-tól apjaikig 6
7