Analízis I. Kidolgozta: Ábrahám Róbert Dr. Szili László előadásai alapján július 10.

Alízis I. Kidolgozt: Ábrhám Róbert Dr. Szili László elődási lpjá 200. július 0.

Trtlomjegyzék. A vlós számok struktúráj 3.. Az R Dedekid-féle xiómredszere (872:................................ 3.2. R részhlmzi:................................................ 4.2.. Természetes számok hlmz:.................................... 4.2.2. További részhlmzok:........................................ 5.3. A teljességi xióm következméyei:.................................... 5.3.. Szuprémum-elv:........................................... 5.3.2. Arkhimédeszi tuljdoság:...................................... 7.3.3. Ctor-tuljdoság:......................................... 8 2. Függvéyek és relációk 0 2.. Redezett pár:................................................ 0 2.2. Függvéyek:.................................................. 0 2.2.. Függvéyek megdás:........................................ 2.2.2. Függvéyek ivertálhtóság:.................................... 2.2.3. Függvéyek kompozíciój:...................................... 2 3. Vlós soroztok 5 3.. Sorozt megdás:.............................................. 5 3.2. Példák soroztokr:.............................................. 6 3.2.. Számti sorozt:........................................... 6 3.2.2. Mérti (vgy geometrii sorozt:................................. 6 3.2.3. Hrmoikus sorozt:......................................... 6 3.3. Műveletek:.................................................. 6 3.4. Elemi tuljdoságok:............................................. 6 4. Kovergeci, htárérték 7 4.. Motiváló példák:............................................... 7 4.2. Kovergeci:................................................. 7 4.3. Htárérték:.................................................. 8 4.3.. Kitütetett diverges soroztok:.................................. 9

TARTALOMJEGYZÉK 2 4.3.2. A htárérték defiícióják egyszerű következméyei:...................... 20 4.4. Részsoroztok:................................................ 20 4.5. A redezés és htárérték kpcsolt:................................... 2 4.6. Műveletek koverges soroztokkl (lim( = A R:.......................... 22 4.6.. Nullsoroztok:............................................ 22 4.6.2. Műveletek koverges soroztokkl:................................ 23 4.6.3. Nevezetes soroztok:......................................... 24 4.7. Mooto sorozt htárértéke:........................................ 24 4.7.. Nevezetes soroztok:......................................... 25 4.8. Rekurzív sorozt htárértéke:........................................ 26 4.9. A műveletek és htárérték kpcsolt:.................................. 27 4.9.. Elméleti szempotból fotos eredméyek:............................. 28 4.9.2. Cuchy-kritérium:.......................................... 29 4.0. Végtele sorok (speciális képzésű soroztok:............................... 30 4.0.. Pozitív tgú sorok:.......................................... 32 4.0.2. Leibiz-típusú sorok:......................................... 33 4.0.3. Tizedestörtek:............................................. 35 4.0.4. P-dikus törtek:........................................... 35 4.0.5. Műveletek sorokkl:......................................... 36 Sorok zárójelezése (sszocitivitás:................................. 36 Algebri műveletek sorokkl:.................................... 37 4.0.6. Htváysorok:............................................ 39 Alitikus függvéyek:........................................ 4 Műveletek htváysorokkl:..................................... 4 Elemi függvéyek:.......................................... 42 Függvéyek htárértéke:....................................... 44 Függvéyek folytoosság:...................................... 52 Szkdási helyek osztályozás:................................... 56

. fejezet A vlós számok struktúráj Megjegyzések: A számfoglom fejlődése (AF/40. oldl; Bevezetés mtemtikáb: felépítették R-et; mi most csk felsoroljuk z R meghtározó tuljdoságit... Az R Dedekid-féle xiómredszere (872: Elfogdjuk, hogy létezik R-rel jelölt hlmz, mire: I. Testxiómák: I/: R-e összedás: R R R függvéy, mire: Kommuttív: x, y R : x + y = y + x Asszocitív: x, y, z R : (x + y + z = x + (y + z ullelem: 0 R : x R : x + 0 = x elletett: x R : ( x R : x + ( x = 0. I/2: R-e szorzás: R R R függvéy, mire: Kommuttív: x, y R : x y = y x Asszocitív: x, y, z R : (x y z = x (y z egységelem: R \ {0} : x R : x = x reciprok: x R\ {0} : x R : x x = I/3: Disztributivitás: x, y, z R : (x + y z = x z + y z. 3

. FEJEZET. A VALÓS SZÁMOK STRUKTÚRÁJA 4 II. Redezési xiómák: II/: R-e egy lieáris redezési reláció, zz: x x ( x R (reflexív Redezési reláció: x y és y x = x = y (tiszimmetrikus x y és y z = x z (trzitív Lieáris: { x, y R : x y vgy y x (bármely két elem összehsolíthtó; trichotóm: x < y vgy x = y vgy x > y II/2: A műveletek és kpcsolt: H x, y R és x y, kkor z R : x + z y + z; H x, y R és x y, kkor z 0 : x z y z. III. Teljességi xióm (vgy Dedekid-féle, vgy szétválsztási xióm: H A, B R, A, B, A és b B : b, kkor ξ R : ξ b ( A, b B, hol ξ-t szétválsztó elemek evezzük (.. ábr... ábr. szétválsztó elem (ξ Rövide: R egy lieáris redezett, teljes test..2. R részhlmzi:.2.. Természetes számok hlmz:.. defiíció. Iduktív hlmz: A H R hlmz iduktív hlmz, h: 0 H x H = x + H.. tétel. Iduktív hlmzok tuljdosági:. R iduktív hlmz; 2. Akárháy iduktív hlmz metszete is iduktív hlmz..2. defiíció. Természetes számok hlmz: N := H; zz N legszűkebb iduktív hlmz. Ekkor N-et természetes számok hlmzák evezzük. H R H iduktív Megjegyzés: N = {0,, 2, 3,...}

. FEJEZET. A VALÓS SZÁMOK STRUKTÚRÁJA 5.2. tétel. Teljes idukció: Tegyük fel, hogy A( egy állítás N-re, és:. A(0 = igz; 2. H A( igz, kkor A(+ is igz. Ekkor A( mide -re igz. Bizoyítás. Legye S := { N A( = igz} N (jelölés. De: 0 S, h S = + S, vgyis S egy iduktív hlmz, tehát - mivel N legszűkebb iduktív hlmz - N S = N = S..2.2. További részhlmzok: Egész számok hlmz (Z Rcioális számok hlmz (Q Irrcioális számok hlmz (Q := R \ Q Vlós számok hlmz (R Midezt z.2. ábrá foglltuk össze:.2. ábr. további részhlmzok.3. A teljességi xióm következméyei:.3.. Szuprémum-elv: Ehhez szükségük v mximum és miimum defiíciójár..3. defiíció. Mximum [miimum]: H R hlmzk v mximum [miimum], h α H : x H : x α [α x]. Jele: mx H := α; H mximális eleme [mi H := α; H miimális eleme].

. FEJEZET. A VALÓS SZÁMOK STRUKTÚRÁJA 6 Péld: H := { =, 2,...} itt v miimum (0, de ics mximum. H R hlmzk ics mximum α H : x H : x > α, zz mide H -beli elemél v gyobb H -beli elem. Hsoló állítás érvéyes, h H hlmzk ics miimum..4. defiíció. Felülről [lulról] vett korlátosság: = H R hlmz felülről korlátos (f.k., h K R : x H : x K. Hsoló defiiáljuk z lulról vett korlátosságot..5. defiíció. Korlátosság: A H R hlmz korlátos, h lulról és felülről is korlátos..3. tétel. Felső [lsó] korlátok tuljdosági:. H H R felülről korlátos és K felső korlát, kkor K > K is felső korlát; 2. A H R korlátos K 0 : x K ( x H..4. tétel. Szuprémum-elv: Tegyük fel, hogy H R felülről korlátos. Ekkor H felső korlátji között v legkisebb, zz: mi {K R K felső korlát (f.k.}. Bizoyítás. Adott: H felső korlát hlmz. A := H, B := {K R K f első korlátj H k}. Ekkor A, B : A és K B : K = ξ R : ξ K ( A, K B ( teljességi xióm szerit. Ez ξ legkisebb felső korlát, ugyis: x H : x ξ (ξ felső korlát Legkisebb is, mivel K B : K ξ..5. tétel. Leggyobb lsó korlát: Tegyük fel, hogy H R lulról korlátos. Ekkor H lsó korlátji között v leggyobb..6. defiíció. Szuprémum, ifimum: A legkisebb felső korlátot H szuprémumák evezzük, és sup H-vl jelöljük; A leggyobb lsó korlátot H ifimumák evezzük, és if H-vl jelöljük..7. defiíció. Kibővített vlós számok hlmz: R := R { +, } Redezés: x R : < x < +.8. defiíció. Felső [lsó] korlátok hiáy:. H H felülről em korlátos, kkor sup H := + ; 2. H H lulról em korlátos, kkor if H :=. Megjegyzés: H H R felülről korlátos, kkor: mx H vgy v, vgy ics; sup H midig létezik.

. FEJEZET. A VALÓS SZÁMOK STRUKTÚRÁJA 7.6. tétel. Szuprémum [ifimum] létezése: Legye H R. Ekkor:. mx H sup H H. Ekkor mx H = sup H; 2. mi H if H H. Ekkor if H = mi H. Megjegyzés: { H (pl. : H = {si α α ], + [} sup H / H ( pl. : H = { =, 2,...}.7. tétel. Felső korlát és szuprémum kpcsolt: Tegyük fel, hogy = H R felülről korlátos. Ekkor ξ = sup H ábr. Így ε > 0 : x H : ξ ε < x ξ. { x H : x ξ (ξ felső korlát ξ legkisebb felső korlát (.3..3. ábr. legkisebb felső korlát.8. tétel. Alsó korlát és ifimum kpcsolt: Tegyük fel, hogy H R lulról korlátos. Ekkor ξ = if H x H : ξ x (.4. ábr. Így ε > 0 : x H : ξ x < ξ + ε..4. ábr. leggyobb lsó korlát.9. tétel. Teljességi xióm és szuprémum-elv kpcsolt: A teljességi xióm szuprémum-elv. Bizoyítás. Ehhez tételhez em trtozik részletes bizoyítás. = : Láttuk; =: Nem bizoyítjuk..3.2. Arkhimédeszi tuljdoság: > 0 és b R : N : b <

. FEJEZET. A VALÓS SZÁMOK STRUKTÚRÁJA 8.5. ábr. rkhimédeszi tuljdoság Szemléletes jeletése: b < ; < b (.5. ábr. Bizoyítás. Idirekt: tegyük fel, hogy > 0 és b R : N : b. Legye H := { N}. Ekkor H és felülről korlátos (pl.: b egy felső korlát, emitt sup H =: ξ. ξ legkisebb felső korlátj H -k, így ξ em felső korlát, zz 0 N : 0 > ξ = ( 0 + > ξ, ez pedig elletmodás, ugyis ξ felső korlát. Következméyek:. ε > 0 : N : < ε (ugyis = ε, b = ; 2. N felülről em korlátos hlmz, zz K R : N : > K ( =, b = K; 3. H K N, K, kkor K -k v miimum. Bizoyítás. Érdeklődőkek..3.3. Ctor-tuljdoság: Tegyük fel, hogy N-re dott z [, b ] R korlátos és zárt itervllum úgy, hogy: [, b ] ( N. Ekkor [, b ]. N [ +, b + ] Megjegyzés: Egymásb sktulyázott itervllumok (.6. ábr..6. ábr. egymásb sktulyázott itervllumok Bizoyítás. (Teljességi xióm szerit legye A := { R N}, B := {b R N}. Ekkor A, B és b m (, m N, ugyis:. H m, kkor m b m ; 2. H > m, kkor b b m. Így teljességi xióm feltételei teljesülek, emitt pedig ξ R : ξ b m (, m N, ezért ξ b ( N = ξ [, b ] ( N = ξ [, b ] = [, b ]. N N

. FEJEZET. A VALÓS SZÁMOK STRUKTÚRÁJA 9 Megjegyzés: A feltételek léyegesek! H z itervllumok em zártk, kkor + = ( 0, =. H z itervllumok em korlátosk, kkor N [, + =..0. tétel. Teljességi xióm, rkhimédeszi tuljdoság és Ctor-tuljdoság kpcsolt: Teljességi xióm rkhimédeszi+ctor-tuljdoság. Bizoyítás. Ehhez tételhez em trtozik részletes bizoyítás. = : Láttuk; =: Nem bizoyítjuk. Megjegyzések: Teljességi xióm szuprémum-elv rkhimédeszi+ctor-tuljdoság. (872; bármelyik lehete xióm.

2. fejezet Függvéyek és relációk 2.. Redezett pár: Legye,b tetszőleges dolog. 2.. defiíció. (Szemléletes: (,b, hol z első, b második kompoes; Meghtározó tuljdoság: (, b = (x, y = x és b = y. 2.2. defiíció. (Hlmzelméleti: Legye és b két hlmz. Ekkor (, b := {{}, {, b}}. 2.3. defiíció. Descrtes-szorzt: Legye A, B két hlmz. Ekkor két hlmz Descrtes-szorztá z A B := {(, b A, b B} (A kereszt B hlmzt értjük. 2.4. defiíció. Reláció: Az r A B hlmzt relációk evezzük. A relációk két fotos összetevőjét külöböztetjük meg:. A D r := { A b B : (, b r} hlmzt reláció értelmezési trtomáyák (É.T. evezzük; 2. Az R r := {b B A : (, b r} hlmzt reláció értékkészletéek (É.K. evezzük. 2.2. Függvéyek: 2.5. defiíció. Függvéy: Legye A, B két hlmz. Az f A B relációt függvéyek evezzük, h x D f :!y B : (x, y f. Az f(x := y számot z f függvéy x-helye vett helyettesítési értékéek evezzük (f z x-hez z y = f(x elemet redeli. Megjegyzés: Vessük össze ezt defiíciót középiskoláb tult függvéy-foglomml! Jelölések: f : A B : f A B : { f A B D f = A { f A B D f A (függvéy (f z A hlmzból B-be képező függvéy; (értelmezési trtomáy (függvéy (f z A-ból B-be képező függvéy. (értelmezési trtomáy 0

2. FEJEZET. FÜGGVÉNYEK ÉS RELÁCIÓK 2.2.. Függvéyek megdás:. f : R R, például: x x 2 ; 2. f(x := x 2 (x R. 2.6. defiíció. Hlmz képe, ősképe: Legye f : A B. Továbbá legyeek:. C A : f [C] := {f(x B x C}; 2. D B : f [D] := {x A f(x D}. Ekkor z f [C] hlmzt C hlmz f függvéy áltl létesített képéek, z f [D] hlmzt pedig D hlmz f függvéy áltl létesített ősképéek evezzük. Péld: f(x = x 2 (x R eseté f [[0, 2]] = [0, 4], f [[, 4]] = [ 2, ] [, 2] (2.. ábr. Megjegyzés: Az igzolás meggodoldó. 2.. ábr. z f(x = x 2 függvéy 2.2.2. Függvéyek ivertálhtóság: A függvéyek ivertálhtóság egyváltozós művelet. 2.7. defiíció. Ivertálhtóság: Az f : A B függvéy ivertálhtó (vgy ijektív, h külöböző értelmezési trtomáybeli elemekhez külöböző értékkészletbeli elemeket redel, zz: x, y D f, x y = f(x f(y (2.2. ábr. A em-ivertálhtó függvéyek szemléltetése 2.3. ábrá láthtó. 2.. tétel. Ijektivitás: f : A B ijektív x, y D f, f(x = f(y x = y. 2.8. defiíció. Függvéy iverze: Tegyük fel, hogy f : A B függvéy ijektív, zz y R f :!x D f : f(x = y. Ekkor z f : R f D f (y x függvéyt z f függvéy iverzéek evezzük. Megjegyzés: D f = R f, R f = D f.

2. FEJEZET. FÜGGVÉNYEK ÉS RELÁCIÓK 2 2.2. ábr. ivertálhtó f függvéy 2.9. defiíció. Bijekció: Az f : A B függvéy z A és B hlmzok közötti bijekció, h:. f ijektív; 2. R f = B. 2.2.3. Függvéyek kompozíciój: A függvéyek kompozíciój kétváltozós művelet. H {x D g g(x D f }, kkor lépezhető kompozíció (2.4. ábr. 2.0. defiíció. Függvéyek kompozíciój: Legye f : A B, g : C D, és tegyük fel, hogy {x D g g(x D f } =. Ekkor z f g (f kör g : {x D g g(x D f } B : (f g(x := f(g(x függvéyt z f és g függvéyek kompozícióják (vgy összetett függvéyéek evezzük. Péld: Legye f(x := x, (x, g(u := u 2 (u R. Ekkor: (f g(u := u 2 ( u ; (g f(x := x (x. A két függvéyt 2.5. ábrá láthtjuk. Az ábrá jól láthtó, hogy függvéyek kompozícióják képzése em kommuttív művelet (f g g f, tehát fotos sorred! Az Alízis feldt külöféle függvéyek jellemzése, tuljdoságik leírás.

2. FEJEZET. FÜGGVÉNYEK ÉS RELÁCIÓK 3 2.3. ábr. em-ivertálhtó f függvéy 2.4. ábr. függvéyek kompozíciój

2. FEJEZET. FÜGGVÉNYEK ÉS RELÁCIÓK 4 2.5. ábr. z f és g függvéyek kétféle kompozíciój

3. fejezet Vlós soroztok Most speciális függvéyeket, soroztokt foguk vizsgáli. 3.. defiíció. Vlós sorozt: Az : N R függvéyt vlós soroztk evezzük (D = N. Az ( := számot sorozt -edik tgják evezzük, hol z -edik tg idexe. Szemléltetés: Például legye = ( =, 2,.... Az így kpott soroztot 3.. ábrá szemléltetjük. Megjegyzés: 3.. ábr. z = sorozt A sorozt kezdőtgját tetszőleges elemtől kezdődőe lehet idexeli, zz: r Z rögzített: { N r} R függvéyt is soroztk tekitjük. 3.. Sorozt megdás: A soroztok megdás háromféleképpe törtéhet:. Idexek trzformációjávl (pl.: := 3 2 + 2 ( =, 2,...; 2. Eset-szétválsztássl ( pl. : := { 2 2, h = 0, 2, 4,..., h =, 3,... ; 3. Rekurzív módo (pl.: 0 =, =, = + 2 = 2, 3,...; Fibocci-sorozt. 5

3. FEJEZET. VALÓS SOROZATOK 6 3.2. Példák soroztokr: 3.2.. Számti sorozt: α, d R : := α + d ( N Rekurzív módo: 0 = α; + = + d ( N 3.2.2. Mérti (vgy geometrii sorozt: α, q R : := α q ( N Rekurzív módo: 0 := α; + := q ( N 3.2.3. Hrmoikus sorozt: := ( =, 2,... 3.3. Műveletek: = (, b = (b : + b := ( + b ; λ := (λ (λ R; b := ( b ; H 0 / R b, kkor b := ( b. 3.4. Elemi tuljdoságok: 3.2. defiíció. Korlátosság: Az = ( sorozt:. felülről korlátos, h K R : N : K, 2. lulról korlátos, h k R : N : k, 3. korlátos, h lulról és felülről is korlátos. 3.. tétel. Sorozt korlátosság: Az ( sorozt korlátos K R : N : K. 3.3. defiíció. Mootoitás: Az ( sorozt:. mooto övekvő (, h N : +, 2. szigorú mooto övekvő (, h N : < +, 3. mooto csökkeő (, h N : +, 4. szigorú mooto csökkeő (, h N : + <, 5. mooto, h teljesül vlmelyik z előző 4 feltétel közül.

4. fejezet Kovergeci, htárérték Az Alízis lpvető foglmi 4.. Motiváló példák:. := ; 2. := ( ; { 3. := pártl + ; páros 4. := (. Az -2. potb muttott példákt első-, 3-4. potb látottkt pedig második sűrűsödési helyek evezzük. Midezt 4.. ábrá szemléltetjük. 4.. ábr. Motiváló példák 4.2. Kovergeci: Léyegébe z első sűrűsödési hely megevezésekor beszélhetük kovergeciáról. 7

4. FEJEZET. KONVERGENCIA, HATÁRÉRTÉK 8 4.. defiíció. ε-sugrú köryezet: A R, ε > 0 : k ε (A := (A ε, A + ε z A szám ε-sugrú köryezete (4.2. ábr. 4.2. ábr. z A szám ε-sugrú köryezete Megjegyzés: k ε(a A < ε 4.2. defiíció. Koverges sorozt: Az ( sorozt koverges, h A R : ε > 0 : 0 N : 0 ( N : A < ε. Megjegyzés: Az A mide ε > 0 köryezeté kívül soroztk csk véges sok tgj v. 4.3. Htárérték: 4.. tétel. Htárérték: H ( koverges, kkor defiícióbeli A szám egyértelmű, és ezt számot sorozt htárértékéek evezzük (zt is modjuk, hogy ( A-hoz trt. Jelölése: lim( = A, lim = A vgy A ( +. Bizoyítás. Idirekt: tegyük { fel, hogy A A 2, és z előző defiíció (4.2 teljesül. Ekkor 0 < ε < A A2 N : : A < ε 2 : 2 N : 2 : A 2 < ε ( N. Legye 0 := mx{, 2 }, ekkor 0 : 0 < A A 2 = (A + ( A 2 A + A 2 < 2ε < A A 2, ez pedig elletmodás. 4.2. tétel. Sorozt htárértékéek meghtározás: { ε > 0 : 0 N : 0 ( N : lim( = A ε > 0 : { N / k ε (A} véges soroztk véges sok tgj v. Megjegyzés: Pogyolá: lim( = A sorozt gy idexű tgji A-hoz közel vk. A < ε (*zz A mide köryezeté kívül 4.3. defiíció. Diverges sorozt: Az ( sorozt diverges, h em koverges, zz ( 4.2-es defiíció feltételei em teljesülek: A R : ε > 0 : 0 N : 0 ( N : A ε / k ε (A. Fotos péld: (( diverges, ugyis A R-hez z ε > 0 megválszthtó úgy, hogy vgy / k ε (A (4.3. ábr.

4. FEJEZET. KONVERGENCIA, HATÁRÉRTÉK 9 4.3. ábr. diverges sorozt 4.3.. Kitütetett diverges soroztok: Például: := vgy :=. 4.4. defiíció. Végtele htárérték:. Az ( sorozt htárértéke: + (jelölés: lim( = +, h P R : 0 N : 0 ( N : > P ; 2. Az ( sorozt htárértéke: (jelölés: lim( =, h p R : 0 N : 0 ( N : < p. Példák: lim( 2 = + ; lim( 2 =. 4.5. defiíció. Végtele ε-sugrú köryezete: Legye ε > 0. Ekkor:. k ε ( + := ( ε,+ ; 2. k ε ( := (, ε. Ezt ± ε-sugrú köryezetéek evezzük. Megjegyzések: A htárérték - zz A R - egyértelmű; Soroztok kovergeci tuljdoságik összefogllás: 4.. táblázt. Jelölések: Koverges soroztok Diverges soroztok Htárérték: A R Htárérték: ± Oszcillálv divergesek (pl.: := ( V htárérték Nics htárérték 4.. táblázt. soroztok kovergeciáj. lim( = A R (zz véges htárérték és sorozt koverges; 2. lim( = A R (zz ( -ek létezik htárértéke. Átézedő: AF 42-49. feldtok!

4. FEJEZET. KONVERGENCIA, HATÁRÉRTÉK 20 4.3.2. A htárérték defiícióják egyszerű következméyei: 4.3. tétel. Hsoló soroztok htárértéke: Tegyük fel, hogy (, (b -re N N : N ( N : = b. Ekkor ( -ek létezik htárértéke (b -ek létezik htárértéke, és ekkor lim( = lim(b. Bizoyítás. A defiícióból következik. Megjegyzés: Véges sok tg em befolyásolj sorozt htárértékét. 4.4. tétel. A kovergeci egy szükséges feltétele: H ( koverges, kkor korlátos is (véges htárérték. Bizoyítás. lim( = A R (véges. Ekkor z A ε-sugrú köryezeté kívül véges sok tg v, és ε = : 0 N : 0 ( N : A <. 4.4. Részsoroztok: 4.6. defiíció. Részsorozt: Legye = ( tetszőleges sorozt és ν : N N szigorú övekvő idexsorozt. Ekkor z ν = ( ν sorozt z ( -ek ν áltl meghtározott részsorozt. Megjegyzés: D = N, zz ( ν vlób sorozt. 4.5. tétel. Részsoroztok htárértéke: H z ( soroztk létezik htárértéke, kkor tetszőleges ν idexsorozt eseté z ( ν részsoroztk is v htárértéke, és lim( ν = lim(. Bizoyítás. Legye ε > 0. Ekkor: { / k ε (A} véges, és ε > 0 : { ν / k ε (A} is véges. Ebből pedig következik, hogy lim( ν = A. Következméy: Legye = ( tetszőleges, és tegyük fel, hogy ν, ν 2 idexsorozt, melyekre: lim( ν lim( ν 2. Ekkor = ( -ek em létezik htárértéke. Bizoyítás. Idirekt. Péld: := ((. Ekkor ( -ek ics htárértéke, ugyis: 2 = ( + ; 2+ = ( +.

4. FEJEZET. KONVERGENCIA, HATÁRÉRTÉK 2 4.5. A redezés és htárérték kpcsolt: 4.6. tétel. Közrefogási elv [redőr-elv]: Tegyük fel, hogy (, (b, (c soroztokr teljesülek z lábbik: N N : N ( N : b c ; lim( = lim(c = A R. Ekkor lim(b és lim(b = A. Bizoyítás.. A R véges: ( : ε > 0 : N : ( N : A ε < < A + ε; (c : ε > 0 : 2 N : 2 ( N : A ε < c < A + ε. ε > 0 : 0 := mx{, 2, N} és 0 ( N : A ε < b c < A + ε = b k ε (A = lim(b = A. 2. A = + : Tekitsük ( soroztot: lim( = + = P R : N : ( N : > P. Legye 0 := mx{, N}. Ekkor 0 : b > P = lim(b = +. 3. A = : Tekitsük (c soroztot: lim(c = = p R : N : : c < p. Legye 0 := mx{, N}. Ekkor 0 : p > c b = lim(b =. 4.7. tétel. Két sorozt htárértékeiek kpcsolt: Tegyük fel, hogy lim( = A R, lim(b = B R. Ekkor:. H A > B, kkor N N : N ( N : > b ; 2. H N N : N ( N : b, kkor A B. Megjegyzések:. A két állítás mjdem egymás megfordítási; 2. A megfordítások em igzk, zz: ( > b = A > B (például: legye =, b = 2 ; (b A B = b (például: legye = 2, b =. Bizoyítás.. ( A, B R végesek: 0 < ε < A B 2 : ( : (ε > 0 : N : ( N : A ε < < A + ε; (b : (ε > 0 : 2 N : 2 ( N : B ε < b < B + ε. Ebből pedig z következik, hogy 0 := mx{, 2 } : b < B + ε < A ε <. (b A = +, B R: (b : ε > 0 : N : ( N : B ε < b < B + ε; ( : lim( = + = P = B + ε, 2 N : 2 ( N : > B + ε. Ebből pedig z következik, hogy N := mx{, 2 } : > B + ε > b. (c A = +, B = : ( + = P R : N : ( N : > P ; (b = P R : 2 N : 2 ( N : b < P. Ebből pedig z következik, hogy N := mx{, 2 } : > P > b.

4. FEJEZET. KONVERGENCIA, HATÁRÉRTÉK 22 (d A R, B = : ( : ε > 0 : N : ( N : A ε < < A + ε; (b = P = A ε : 2 N : 2 ( N : b < A ε = N := mx{, 2 } : > A ε > b. 2. Idirekt: tegyük fel, hogy A < B es szerit = N N : N ( N : < b, mi elletmodás. 4.6. Műveletek koverges soroztokkl (lim( = A R: 4.6.. Nullsoroztok: 4.7. defiíció. Nullsorozt: Az ( ullsorozt, h lim( = 0, zz: ε > 0 : 0 N : 0 ( N : 0 = < ε. 4.8. tétel. Nullsoroztok tuljdosági:. lim( = 0 lim ( = 0; 2. lim( = A lim( A = 0; 3. H ( ullsorozt, és c : N, kkor lim(c = 0. Bizoyítás. Közvetleül defiícióból. 4.9. tétel. Műveletek ullsoroztokkl: Tegyük fel, hogy lim( = 0 és lim(b = 0. Ekkor:. ( + b is ullsorozt; 2. H (c korlátos, kkor ( c ullsorozt; 3. ( b ullsorozt. Bizoyítás. -es bizoyítás: ε > 0 : N : : ( N : < ε 2 ; ε > 0 : 2 N : 2 ( N : b < ε 2. Ebből pedig z következik, hogy ε > 0 : 0 := mx{, 2 } : 0 ( N : + b + b < ε 2 + ε 2 = ε, ebből pedig következik továbbá, hogy lim( + b = 0. 2-es bizoyítás: (c korlátos = K R : N : c K (K > 0; lim( = 0 = ε > 0 : N : ( N : < ε K. Ebből pedig z következik, hogy ε > 0 : 0 := mx{, 2 } : 0 ( N : c c < ε K K = ε, miből következik, hogy lim( c = 0. 3-s bizoyítás: lim(b = 0 = (b korlátos, miből (2-es szerit következik, hogy lim( b = 0. Megjegyzés: -es külöbségre is igz: lim( = lim(b = 0 = lim( b = 0; 2-es háydosr em igz: h lim( = lim(b = 0, kkor ( b htárérték szempotjából bármi lehet.

4. FEJEZET. KONVERGENCIA, HATÁRÉRTÉK 23 Példák: 2 = 0; 2 = +. Kicsi számok háydos bármi lehet: c = c c (c R; 2 = ; ( = ( h.é. 4.6.2. Műveletek koverges soroztokkl: 4.0. tétel. Műveletek koverges soroztokkl: Tegyük fel, hogy lim( = A R, lim(b = B R. Ekkor:. ( + b is koverges, és lim( + b = A + B; 2. ( b is koverges, és lim( b = A B; 3. H még 0 / R b és B 0, kkor ( (b koverges, és lim ( b = A B. Bizoyítás. -es bizoyítás: lim( = A lim( A = 0; lim(b = B lim(b B = 0. Ebből pedig z következik, hogy [( A + (b B] = [( + b (A + B]. Nullsorozt eseté: lim( + b = A + B. 2-es bizoyítás: Igzoljuk, hogy ( b AB ullsorozt, ugyis: b AB T RÜKK = b Ab + Ab AB = b ( A + A(b B b A + A b B = ( b AB ullsorozt = lim ( b AB = 0 }{{}}{{}}{{}}{{} korlátos ullsorozt korlátos ullsorozt } {{ } ullsorozt = lim ( b = AB. 3-s bizoyítás: 4.. tétel. (segédtétel: ( H (b koverges, és lim(b = B 0 (0 / R b, kkor b korlátos. Bizoyítás. Feltehető, hogy B > 0, lim(b = B. Ekkor ε = B 2 = B 2 > 0 : 0 N : b B < B 2. b = (b B + B = B (B b B B b B B 2 = B 2 ( b b. 3-s bizoyítás (folyttás: ( Igzoljuk, hogy b A B ullsorozt: A + A b }{{} B b }{{} ullsorozt }{{}}{{} korlátos korlátos b A B b B }{{} ullsorozt korlátos }{{} ullsorozt ( pedig következik, hogy lim b = A B. = B Ab b B ( = b T RÜKK = B AB+BA Ab b B = B( A+A(B b b B A B ullsorozt = lim ( b A B = 0, ebből

4. FEJEZET. KONVERGENCIA, HATÁRÉRTÉK 24 4.6.3. Nevezetes soroztok:. Kosts sorozt: c R : lim(c = c; 2. lim ( = 0, ugyis: ε > 0 : 0 N : 0 0 < ε = lim ( = 0; 3. k =, 2,... : ( (b lim + (k = + ; ( lim k + = 0; k 4. Mérti/geometrii sorozt: q R, (q : 0, h q < lim (q, h q = = + +., h q >, h q < ε (rchimédeszi tuljdoság = 0 ( N : 0 Bizoyítás. q = eseté z állítás triviális. q > eseté q = + h (h > 0 : q = ( + h + h h (Beroulli. Ekkor P R : 0 N : 0 ( N : q h > P, h 0 = [ ] P h +, miből következik, hogy lim (q = +. q < eseté: h q = 0, kkor z állítás triviális; h q 0, kkor 0 < q = (+h + Beroulli q >, miből z következik, hogy q = + h ebből z következik, hogy lim( q = lim + ( q = +h h (h > 0. A közrefogási elv lpjá }{{ } 0 (q = 0. q eseté: h q =, kkor em létezik htárérték (( ; h q <, kkor sem létezik htárérték (páros idexű részsorozt eseté sorozt + -hez trt, pártl idexű részsorozt eseté pedig -hez. 5. lim ( = ( > 0. + Bizoyítás. = eseté z állítás triviális. > eseté < = + h (h > 0. Ekkor = ( + h + h = }{{} 0 0 = = < h < }{{} 0 ( + >. = 6. lim ( =. + Bizoyítás. < = + h (h > 0 (biomiális. Ekkor = ( + h = ( ( 2 h 2 = (+ 2 h 2. Ebből következik, hogy 0 }{{} 0. lim(h = 0 lim ( = lim( + h = + lim(h = + }{{}. 0 < < eseté: 0 < h }{{} 0 2 + } {{ } 0 ( 0 + h + ( 2 h 2 +... + ( h ( +. Ekkor lim(h = 0 = lim( = 7. lim (! = +. + Bizoyítás.! ( 4, = 4, 5,...; ez teljes idukcióvl igzolhtó. Ekkor! 4 > P, h 0 = [4P ]+( N. Ez mide P-re igz. Ebből pedig z következik, hogy lim(! = +. 4.7. Mooto sorozt htárértéke: 4.2. tétel. Mooto sorozt htárértéke:

4. FEJEZET. KONVERGENCIA, HATÁRÉRTÉK 25. H ( sorozt mooto övekvő [csökkeő] és felülről [lulról] korlátos, kkor ( koverges és lim( = sup { N} [lim( = if { N}]; 2. H ( sorozt mooto övekvő [csökkeő] és felülről [lulról] em korlátos, kkor ( diverges és lim( = + [lim( = ]. Bizoyítás.. Tegyük fel, hogy ( felülről korlátos. Ekkor sup { N} =: A, mivel A legkisebb felső korlát. Ebből pedig következik, hogy: N : A; ε > 0 : 0 N : A ε < 0 A. DE: ( mooto övekvő, miből következik, hogy 0 ( N : A ε < 0 A < A + ε lim( = A [ másik hsoló igzolhtó]. 2. Tegyük fel, hogy ( felülről NEM korlátos. Ekkor P R : 0 N : 0 > P. DE: ( mooto övekvő, miből következik, hogy 0 ( N : 0 > P = lim( = + [lim( = hsoló igzolhtó]. 4.7.. Nevezetes soroztok:. Az e szám bevezetése: 4.3. tétel. Az := ( + ( =, 2,... sorozt mooto övekedő és felülről korlátos, miből következik, ( hogy z ( sorozt koverges. Ekkor z e := lim + számot Euler-álldók evezzük (748. + Megjegyzések: Az e szám mtemtik egyik legfotosbb álldój; Igzolhtó, hogy: e irrcioális; e trszcedes. Vessük össze π-vel! Bizoyítás. Mooto övekvő: TRÜKK!, +,... + (számti-mérti közti egyelőtleséggel igzolhtó. Ekkor = ( ( ( + ( +... + +(+ < + ( + +2 + = + = + + = +. F első korlát = 4. TRÜKK! 2, 4 = 2 2 ( +... ( + Következméy: 2 ( + = 2 e 4. Megjegyzés: e 2, 78.... < ( 2, +,... + (számti-mérti közép közti egyelőtleséggel. Ekkor +2 =... =, miből következik, hogy < 4 ( =, 2,.... 2 + 2 +(+ +2 2. k!, h gy. Kérdés: melyik gyobb?, 00000 vgy,00000? Válsz: z előbbi. 4.4. tétel. Nevezetes soroztok htárértékeiek ( kpcsolt: ( H >, k =, 2,..., kkor lim + = 0; (b H q <, k =, 2,..., kkor lim + ( k q = 0; (c R : (d ( lim! + = 0. ( lim +! = 0;

4. FEJEZET. KONVERGENCIA, HATÁRÉRTÉK 26 Megjegyzések: (-ból következik, hogy ε > 0 : 0 : 0 : 0 < k < ε. ε kicsi, miből következik, hogy k, h gy; (, (c, (d: > eseté }{{} k P oliomiális }{{} Expoeciális övekedésű!, h gy. 4.8. defiíció. H lim( = lim(b = +, kkor zt modjuk, hogy (b gyorsbb (vgy erősebbe trt ( + -hez, mit (, h lim + b = 0. Jelölés: b, h gy. 4.5. tétel. (Segédtétel z előző tétel bizoyításához: Tegyük fel, hogy (x oly sorozt, hogy: N : x > 0; ( x+ x sorozt koverges; ( lim x+ + x = A <. Ekkor lim (x = 0. + Bizoyítás. 4-es, 5-ösért (lásd: AF 79. Bizoyítás. (z előző tétel bizoyítás: ( (+ k ( + = + k k < ( + (+ segédtétel; }{{} (b z (-ból következik: k q = ( q ; (c (d + (+!! = + 0 < ( + ; (+! (+ +! = ( + = (+ e < Megjegyzés: e 2, 78 > 2 >. 4.8. Rekurzív sorozt htárértéke: Megjegyzés: például x 0 =, x + = 2x + 5 ( N. V-e htárértéke soroztk? Nem midig! Egy sokszor lklmzhtó módszer, h igzoljuk, hogy h (x mooto és korlátos, kkor (x koverges. Ekkor lim(x egyértelműe meghtározhtó. 4.6. tétel. Gyökvoás:. Legye m 2 természetes szám. Ekkor A > 0 :!α > 0 : α m = A (α: z A m-edik gyöke; α = m A =: A m ; { x0 > 0 tetszőleges 2. Az ( x + := m + (m x A x m ( = 0,,... rekurzív sorozt koverges, és lim(x = α. Bizoyítás. A bizoyítás több lépésbe törtéik:. lépés: (x jól defiiált, ugyis x > 0 ( N; 2. lépés: egyértelműség, ugyis 0 < α < α 2 = α m < α m 2 ; 3. lépés: (x korlátos, és em övekvő, miből következik, hogy (x koverges. Korlátosság: 0 egy lsó korlát, ( A m de következő feltétel teljesülése is szükséges: x m x + = m +x +...+x m A x x m... x = A = x m + A > 0 ( N. Mootoitás: igzoljuk, hogy x + x x+ x ( = 2, 3,...:

4. FEJEZET. KONVERGENCIA, HATÁRÉRTÉK 27 x + x = m ( A x m + m = m ( A x m x m + m = ( A x m 0 m x + = x + m x ( = 2, 3,..., miből következik, hogy (x mooto csökkeő, tehát (x koverges (jelölése: α := lim(x. Mivel x > 0 ( N, ezért α 0, de α = 0 em lehet, így α > 0; 4. lépés: igzoljuk, ( hogy α m = A: x + = A m + (m x x m tehát α m = A. ( +. Ekkor α = m ( A α m + (m α, vgyis mα m = A+(m α m, Megjegyzés: Miért fotos tétel? Legye m = 2, A = 2, α = 2 (mi tudjuk, hogy irrcioális. Ekkor (x 0 > 0 tetszőleges rcioális szám x + = 2 (rcioális számok hlmz; = 0,,...; x 2, tehát irrcioális számok közelíthetőek rcioális számokkl! ( 2 x + x Q 4.9. A műveletek és htárérték kpcsolt:. +, b + = ( + b + ; 2., b + = ( b +. Ezek lpjá érdemes értelmezi R = R { +, }-o műveleteket, például: ( + + ( + := +, ( + := +, de vigyázi kell! Például ( + + ( -t em célszerű defiiáli, ugyis: } + b = ( + b eseté htárérték szempotjából bármi előfordulht! Egyszerű példák: AF 68-80. 4.9. defiíció. Műveletek R hlmzo:. Az R-beli műveletek megmrdk; 2. Összedás: x R eseté: ( x + ( + := ( + + x := + ; (b x + ( := ( + x := ; (c ( + + ( + := + ; (d ( + ( := ; 3. Szorzás: ( H x > 0: i. x ( + := ( + x := + ; ii. x ( := ( x := ; (b H x < 0: i. x ( + := ( + x := ; ii. x ( := ( x := + ; (c ( + ( :=, ( + ( + := +, ( ( := + ; x 4. Osztás: x R : + := x := 0. Nem értelmezzük: ( + + (, 0 ( ±, ± ±, 0 0.

4. FEJEZET. KONVERGENCIA, HATÁRÉRTÉK 28 4.7. tétel. A htárérték és műveletek kpcsolt: Tegyük fel, hogy lim( = A R, lim(b = B R. Ekkor:. H A + B értelmezve v, kkor lim( + b és lim( + b = A + B; 2. H A B értelmezve v, kkor lim( b és lim( b = A B; ( ( 3. H 0 / R (b és A B értelmezve v, kkor lim b és lim b = A B. Megjegyzések: Kritikus htárértékek (ekkor tétel em hszálhtó: ( + + (, 0 ( ±, A kovergeciához képest sok új esetet trtlmz feti tétel: Összegél: A R A = + A = B R A + B koverges + B = + + + - B = - Szorztál: A > 0 A = 0 A < 0 A = + A = B > 0 + B = 0 A B koverges - B < 0 + B = + + - + ± ±, 0 0, 0 ; B = + + Osztásál: hsoló. Bizoyítás. Például:. Összegre: A = +, B R : +, b B R. Ekkor b B R = (b lulról korlátos, miből z következik, hogy M R : N : M b. + = P R : 0 N : 0 : > P M, miből következik, hogy 0 : + b > P M + M = P = lim( + b = + ; 2. Szorztr: A = +, B > 0, B R, +, b B > 0, miből z következik, hogy b B > 0, ebből pedig következik, hogy ε = B 2 > 0 : N : : b > B 2 > 0. Ekkor +, miből következik, hogy P R : 2 N : 2 : > P Ebből z következik, hogy 0 = mx {, 2 } = b > 3. ( ( b = ( b. Itt elég megmutti, hogy b ± = b N : 0 : b > ε > 0 = 0 : 0 < < ε = lim b P B/2 B/2 = P, miből következik, hogy lim(b =+ ; B/2. 0. Tegyük fel, hogy b + = ε > 0 : 0 + ( b = 0. 4.9.. Elméleti szempotból fotos eredméyek: 4.8. tétel. Bolzo-Weierstrss-féle kiválsztási tétel: Mide korlátos soroztk létezik koverges részsorozt. Bizoyítás. A bizoyításhoz először ki kell moduk egy segédtételt: 4.9. tétel. (segédtétel: Mide soroztk létezik mooto részsorozt. Bizoyítás. A segédtétel bizoyításához defiiáljuk egy tetszőleges sorozt csúcsát: 4.0. defiíció. Az 0 z ( sorozt csúcs, h 0 : 0. Két eset lehetséges:

4. FEJEZET. KONVERGENCIA, HATÁRÉRTÉK 29. ( -ek végtele sok csúcs v. Ebből z következik, hogy 0 N : 0 csúcs = 0 : 0. Ekkor 0 : is csúcs, miből következik, hogy : 0. Ekkor 2 : 2 is csúcs: 2 : 2 0, és így tovább. Ebből pedig következik, hogy csúcsokk v egy 0,, 2,... 0 2... ( k mooto csökkeő részsorozt; 2. ( -ek véges sok csúcs v. Ekkor N N : N : em csúcs. Ekkor: ( H em csúcs, kkor > : > ; (b H em csúcs, kkor 2 > : 2 > ; (c H 2 em csúcs, kkor 3 > 2 : 3 > 2 ; és így tovább. Ebből pedig z következik, hogy < 2 < 3 <... = ( k mooto övekvő részsorozt. Most rátérhetük Bolzo-Weierstrss-tétel bizoyításár: h ( korlátos, kkor ( k mooto részsorozt. A mootoitásból és korlátosságból pedig z következik, hogy sorozt koverges. 4.20. tétel. Tegyük fel, hogy ( felülről [lulról] em korlátos. Ekkor ( k : lim ( k = + [lim ( k = ]. Bizoyítás. Tegyük fel, hogy ( felülről em korlátos. Ekkor K R : 0 N : 0 > K, vgyis: K 0 = 0 eseté 0 N : 0 > 0; K := mx {, 0 } eseté N ( > 0 : > K ; K 2 := mx {2, 0, } eseté 2 N ( 2 > : 2 > K 2 2; K j := mx { j, 0,,..., j } eseté j N ( j > j : j > K j j. Ebből pedig z következik, hogy ( j részsorozt, melyre j j ( j N, emitt pedig lim ( j = +. j + [ ( lim j = igzolás hsoló. ] 4.9.2. Cuchy-kritérium: 4.. defiíció. Cuchy-sorozt: Az ( Cuchy-sorozt, h ε > 0 : 0 N :, m 0 (, m N : m < ε. Megjegyzés: pogyolá foglmzv, gy idexű tgok közel vk egymáshoz. Példák:. ( Cuchy-sorozt, ugyis: m = m m = m m < ε; 2. ((, ( em Cuchy-soroztok. A formális bizoyítás meggodoldó! 4.2. tétel. Cuchy-féle kovergeci kritérium: Az ( sorozt potos kkor koverges (véges htárértékű, h z ( Cuchy-sorozt. Megjegyzések: Ez z Alízis egyik legfotosbb tétele; Jeletősége, hogy kovergeciár oly szükséges és elégséges feltételt d, melybe cskis sorozt tgji szerepelek, htárérték em;

4. FEJEZET. KONVERGENCIA, HATÁRÉRTÉK 30 A tétel ± htárértékre em igz. Bizoyítás. = : tegyük fel, hogy ( koverges és lim( = A R. Ekkor m = ( A + (A m A + m A < ε 2 + ε 2 = ε (h, m 0. Tehát z ( Cuchy-sorozt. =: tegyük fel, hogy ( Cuchysorozt. Ekkor bizoyítás több lépésbe törtéik:. Az ( korlátos: mivel ( Cuchy-sorozt, ezért ε = -hez 0 N :, m 0 (, m N : m <, ebből pedig z következik, hogy 0 ( N : = ( 0 + 0 + 0 = K := mx { + 0, 0,,..., 0 } ( N; 2. A Bolzo-Weierstrss tételből következik, hogy ( k koverges részsorozt, vgyis lim ( k = A R; 3. Igzoljuk, hogy A z egész sorozt htárértéke is! Ekkor A = ( k + ( k A k + k A. lim ( k = A, vgyis ε > 0 : N : ( N : k A < ε 2. ( Cuchy-sorozt: ε > 0 : N :, k (, k N : k < ε 2, tehát ε-hoz 0 := mx {, } : 0 ( N : A < ε 2 + ε 2 = ε, ebből pedig z következik, hogy lim( = A. 4.0. Végtele sorok (speciális képzésű soroztok: Problém: hogy értelmezzük végtele sok szám összegét + 2 + 3 +...? Egy természetes lehetőség: s = ; s 2 = + 2 ; s 3 = + 2 + 3, és így tovább. H (s sorozt koverges, kkor értelmezzük z összeget, és + 2 +... + értelmezzük. = lim(s, h (s diverges, kkor pedig em 4.2. defiíció. Az ( soroztból képzett végtele soro z s = ; s 2 = + 2 ; s = + 2 +... + soroztot értjük, és ezt így jelöljük: vgy + 2 + 3 +... = s : sor -edik részletösszege. 4.3. defiíció. A sor koverges, h z (s részletösszeg-sorozt koverges (véges htárértéke. Ekkor lim(s -t összegéek evezzük, és ezt így jelöljük: := lim(s. A sor diverges, h (s diverges. Megjegyzés jelölésekhez: + egy soroztot jelöl, egy vlós szám. = = Példák evezetes sorokr: =

4. FEJEZET. KONVERGENCIA, HATÁRÉRTÉK 3. Geometrii (vgy mérti sor: Legye q R : (q. A q sor potos kkor koverges, h q <, és ekkor q = + q + q 2 +... + q = q. Bizoyítás. s = + q + q 2 +... + q = { q q q q =, ugyis b = ( b( + 2 b +... + b, hol =, b = q. Ekkor lim(s = q (ugyis q 0, h q <. H q =, lim(s = +, kkor (s em koverges. 2. Teleszkopikus sor: A + (+ sor koverges, és (+ =. = = Bizoyítás. s = 2 + 2 3 + 3 4 +... + (+. Ötlet: k(k+ = k k+. Ekkor s = ( ( 2 + 2 3 + ( ( 3 4 +... + + = + = lim(s = = + (+. 3. A 2 sor koverges, és = 2 2. Bizoyítás. s = 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 +... + 2 + ebből pedig z következik, hogy (s felülről korlátos (s mooto övekvő 2 + 2 3 + = =0 3 4 +... + ( = + = 2 < 2 ( N, } + = (s koverges, és lim(s = 2. 2 = + Megjegyzés: igzolhtó, hogy 2 = = π2 6. 4. A hrmoikus sor diverges. Bizoyítás. Igzoljuk, hogy (s felülről em korlátos, zz s +! Ötlet: s = + 2 + ( 3 + ( 4 + 5 +... + 8... + 2 k 2 k +2 k diverges. +... + ( 2 k + + 2 k +2 +... + 2 k +2 k +... +. Ekkor 2 k + + 2 k +2 + 2 k +2 k = 2, miből következik, hogy mide csoportb z összeg leglább 2, így s +, zz 4.22. tétel. Szükséges és elégséges feltétel kovergeciár (Cuchy-féle kritérium sorokr: A sor potos kkor koverges, h ε > 0 : 0 N : m > 0 (m, N : + + +2 +... + m < ε. Bizoyítás. A sor potos kkor koverges, h (s koverges, mi kkor és csk kkor teljesül ( Cuchyféle kritérium szerit, soroztr lklmzv, h ε > 0 : 0 N : m > 0 (m, N : s m s = ( + 2 +... + m ( +... + = + + +2 +... + m < ε. 4.23. tétel. Szükséges feltétel kovergeciár: H koverges, kkor lim( = 0. Ez feltétel em elégséges, ugyis lim( = 0 koverges ( pl. :. Bizoyítás. H koverges, kkor ε > 0 : 0 N : > 0 : + + +2 +... + m < ε. Legye m = +. Ekkor + < ε = lim( = 0. 4.4. defiíció. A sor bszolút koverges, h koverges. 4.24. tétel. H bszolút koverges, kkor koverges. Megjegyzés: fordítv ez em igz, zz z bszolút kovergeci kovergeciáál erősebb foglom!

4. FEJEZET. KONVERGENCIA, HATÁRÉRTÉK 32 Bizoyítás. Tegyük fel, hogy bszolút koverges. Ekkor koverges, miből Cuchy-féle kritérium lpjá következik, hogy ε > 0 : 0 N : m > 0 (m, N : + + +2 +... + m < ε, ebből pedig z következik, hogy + + +2 +... + m + +... + m < ε, miből következik, hogy koverges. 4.0.. Pozitív tgú sorok: 4.5. defiíció. A pozitív tgú sor, h 0 ( N. 4.25. tétel. A pozitív tgú sor potos kkor koverges, h z (s részletösszeg-sorozt korlátos (ugyis z (s mooto övekvő. 4.26. tétel. Összehsolító kritérium: Tegyük fel, hogy (, (b oly soroztok, melyekre N N : N ( N : 0 b (*. Ekkor:. H b koverges, kkor is koverges (Mjorás kritérium; 2. H diverges, kkor b is diverges (Miorás kritérium. Bizoyítás. Legye (s : részletösszeg-sorozt, (s b : b részletösszeg-sorozt. Ekkor:. H b koverges, kkor (s b is korlátos ((s b mooto övekvő, így (* mitt (s korlátos és mooto övekvő, miből z következik, hogy (s koverges, így is koverges; 2. H diverges, kkor (s felülről em korlátos, miből pedig z következik (* mitt, hogy (s b felülről em korlátos, így b diverges. 4.27. tétel. Cuchy-féle gyökkritérium: Tegyük fel, hogy sorr lim =: A. Ekkor: + H 0 A <, kkor sor bszolút koverges, tehát koverges is; H A >, kkor diverges; H A =, kkor lehet koverges is, diverges is. ( Bizoyítás. Tegyük fel, hogy 0 A <. Ekkor q : A < q < : lim = A = q hoz 0 N : 0 : q, miből z következik, hogy 0 : q (0 < q <, így q koverges, miből Mjorás kritérium lpjá következik, hogy koverges, zz bszolút koverges, miből következik, hogy koverges is. Tegyük fel, hogy A > : lim = A. Ekkor A > q > hez 0 N : 0 : q = q, így q > mitt lim( 0 = diverges. Tegyük fel, hogy A =. Ekkor: ( diverges; lim 2 ( = lim = ( ( koverges; lim = lim 2 ( = 2 4.28. tétel. D Alembert-féle háydoskritérium: Tegyük fel, hogy sorr:

4. FEJEZET. KONVERGENCIA, HATÁRÉRTÉK 33 0 ( N; lim =: A R. Ekkor: ( + H 0 A <, kkor sor bszolút koverges, tehát koverges is; H A >, kkor sor diverges; H A =, kkor sor lehet koverges is, diverges is. Bizoyítás. Tegyük fel, hogy 0 A <. Ekkor lim ( + = A = q : 0 N : Legye 0. Ekkor + q q 2... q + 0 0 = 0 q 0 + q < ( 0. q. Mivel ( mjorás kritérium }{{} c lpjá 0 q <, ezért c q koverges, tehát is koverges, zz bszolút koverges. Tegyük fel, hogy A >. Ekkor lim ( + = A = q : 0 N : + q ( 0. Legye 0. Ekkor + q q 2... q + 0 0. Mivel q >, ezért lim ( + = +, zz lim( 0, ebből pedig következik (szükséges feltétel, hogy diverges. Tegyük fel, hogy A =. Ekkor: ( diverges, és lim 2 + ( = lim ( ( koverges, és lim + 2 ( 2 + =. = ; 4.0.2. Leibiz-típusú sorok: 4.6. defiíció. Leibiz-típusú sor: Tegyük fel, hogy 0 + ( N. Ekkor z 2 + 3... = =( + sort Leibiz-típusú sork evezzük. 4.29. tétel. Leibiz-tétel:. Kovergeci: ( + Leibiz-típusú sor potos kkor koverges, h lim( = 0; 2. Hibbecslés: tegyük fel, hogy ( + Leibiz-típusú sor koverges. Legye Ekkor A s = A ( k+ k. k= + = ( + =: A. Bizoyítás. = : A ( + potos kkor koverges (szükséges feltétel, h lim ( ( + = 0 = lim( = 0. = : Tegyük fel, hogy ( + Leibiz-típusú és lim( = 0. Legye s = 2 + 3... ± ( N (4.4. ábr. Mivel ( mooto csökkeő, ezért (s 2+ részsorozt is mooto csökkeő, és s 2 s 2+ s ( N. Ebből pedig következik kovergeci, zz: lim(s 2+ =: B, továbbá (s 2 mooto övekvő, és s 2 s 2 s ( N, miből szité következik kovergeci, és lim(s 2 =: A.

4. FEJEZET. KONVERGENCIA, HATÁRÉRTÉK 34 4.4. ábr. Leibiz-sor = s 2 }{{} Mivel s 2+ }{{} B A ( + koverges. + 2+ }{{} 2 Hibbecslés : tegyük fel, hogy A = 0 ( N; +, ezért A = B, így (s koverges, miből z következik, hogy + = A s 2+ s 2+ s 2 = 2+, ezért A s ( N. 4.7. defiíció. Abszolút/Feltételese koverges sor:. A sor bszolút koverges, h sor koverges; 2. A sor feltételese koverges, h: ( A sor koverges; (b A sor diverges. ( +. Ekkor A s 2 s 2+ s 2 = 2+ 2. Mivel Péld: A = ( + = 2 + 3... sor feltételese koverges, ugyis: Koverges, mert Leibiz-típusú; ( + = diverges. 4.30. tétel. H sor bszolút koverges, kkor koverges. Megjegyzés: visszfele tétel már em feltétleül igz, például: ( +. Alklmzás: Például: 2 2 + 3 2 4 2 +... koverges, ugyis: Leibiz-típusú; Abszolút koverges ( 2 koverges ; Sőt: + 2 2 + 3 2 + 4 2 +... tetszőleges előjelezése is koverges.

4. FEJEZET. KONVERGENCIA, HATÁRÉRTÉK 35 4.0.3. Tizedestörtek: 4.3. tétel. Legye ( : N R : {0,, 2,..., 9} ( N. Ekkor 0 sor koverges, és α := = [0, ], hol α =: 0, 2 3... z α tizedestört lkj. Bizoyítás. Legye 0 9 ( N. Ekkor 0 0, így = 9 0 0 =. Kérdés: Mide [0, ]-beli szám felírhtó-e ilye lkb? 9 9 0 = 9 0 = 0 = ( + 0 + 0 + 2 0 +... geom. = 3 4.32. tétel. x [0, : ( : N R : {0,,..., 9} ( N : = 0 = x. Bizoyítás. Legye x [0, :. Lépés: [0, -et 0 egyelő részre osztjuk. Ekkor {0,,..., 9}, és I = [ + 0 ; 2. Lépés: I -et osztjuk 0 egyelő részre. Ekkor 2 {0,,..., 9}, és I 2 = [ 0 + 2 0 x 2 0 + 2+ 0, és így tovább; 2 0, + 0 ], x I : 0 + 2 0, 2 0 + 2+ 0 x 0 2 ], x I2 :. Lépés: I -et 0 részre osztjuk. Ekkor {0,,..., 9}, és I = [ 0 + 2 0 +... + 2 0, 0 +... + ] + 0, x I : 0 +... + 0 x 0 +... + + 0, miből következik, hogy ( x 0 +... + 0 0 0 ( +. 4.0.4. P-dikus törtek: Megjegyzés: P = 2, 3,.... 4.33. tétel. Tegyük fel, hogy ( : N R : {0,,..., P } ( N. Ekkor = P sor koverges és = P [0, ]. 4.34. tétel. x [0, : ( : N R : {0,,..., P } ( N : Megjegyzés: egyértelműségről áltláb ics szó. Például: ( + 0 + 0 2 +... = 4 0 + 9 0 2 = 5 0 = 2. Megjegyzés - Elevezések: A 0, 2 3... tizedestört: 0. Véges: 0 N : 0 : = 0; 2. Végtele (em véges: ( Szkszos: 0,... mb... b s...; (b Nem szkszos. Meggodoldó: = P = x. 2 = 0, 5; 2 = 0, 4999..., ugyis 4 0 + 9 0 2 + 9 0 3 +... = 4 0 + 9 0 2 4.35. tétel.. x [0, ] Q potos kkor teljesül, h tizedestört lkj véges, vgy végtele, szkszos; 2. x [0, ] Q potos kkor teljesül, h tizedestört lkj végtele, em szkszos.

4. FEJEZET. KONVERGENCIA, HATÁRÉRTÉK 36 4.0.5. Műveletek sorokkl: Megjegyzés: sorok véges összegek áltláosítás. Kérdés: Véges összegek tuljdosági (kommuttivitás, sszocitivitás megmrdke sorokr (végtele összegekre? Dllm : áltláb NEM, de bszolút koverges sorokr IGEN! 4.8. defiíció. Sorok átredezése (kommuttivitás: Legye (P : N N bijekció (z N egy átredezése. A sor (P áltl meghtározott átredezésé P ( sort értjük. 4.36. tétel. Riem-tétel: Tegyük fel, hogy sor feltételese koverges. Ekkor:. A R : (P átredezés : P ( = A; = 2. Létezik oly (P átredezés, hogy P ( diverges. Bizoyítás. Ehhez tételhez em trtozik bizoyítás. Péld: 2 + 3 4 +.... Emlékeztető: végtele sorok átredezése! 4.37. tétel. H sor bszolút koverges, kkor (P : N N bijekció eseté P átredezett sor bszolút koverges, és z összeg sem változik: = P. = = Megjegyzés: véges összeg sszocitív (( + 2 + ( 3 + 4 + (... +... + (, zz tetszőlegese csoportosíthtó (vgy zárójelezhető: A zárójelek elhelyezhetők; elhgyhtók. Sorok zárójelezése (sszocitivitás: Megjegyzés: ( + 2 +... + m + ( m+ +... + m2 +... ; (m : N N szigorú mooto övekvő (idexsorozt. }{{}}{{} α α 2 4.9. defiíció. ( : N N; (m : N N szigorú mooto övekvő (idexsorozt. A sor (m sorozt áltl meghtározott zárójelezésé m α sort értjük, hol: α := i ( N; m 0 = 0. 4.38. tétel. Zárójelek elhelyezése: i=m + H sor koverges, kkor mide lehetséges zárójelezése is koverges, és z összeg zárójelezéssel em változik. Bizoyítás. Tekitsük, α sorokt: sor α zárójelezett sor!! s = +... + σ = α +... + α = s m (σ : z (s egy részsorozt Ekkor lim(s = A = lim( = lim (s m = A. Megjegyzés: zárójelek áltláb em hgyhtók el. Például: ( + ( + ( +... koverges; + + +... diverges.

4. FEJEZET. KONVERGENCIA, HATÁRÉRTÉK 37 4.39. tétel. Zárójelek elhgyás: Legye ( : N R, és tegyük fel, hogy:. (m : N N szigorú mooto övekvő; 2. (m + m sorozt korlátos; 3. lim( = 0; 4. A sor α zárójelezése koverges. Ekkor α sorb zárójelek elhgyásávl kpott sor is koverges, és α =. = = Algebri műveletek sorokkl: Sorok összege, számszoros: 4.40. tétel. Tegyük fel, hogy, b koverges. Ekkor:. A ( + b sor is koverges, és ( + b = + b ; = = = 2. λ R : λ sor koverges, és λ = λ. = = Bizoyítás..: A := A + B A + B. k A, B := k=0 b k B; ( + b : C := k=0 ( k + b k = k=0 k + b k = k=0 k=0 2.: Hsoló igzolhtó. Sorok szorzás: Emlékeztető: véges összegek szorzás: ( 0 + +... + (b 0 + b +... + b m = 0 b 0 + 0 b +... + b m (mide tgot mide tggl megszorzuk. Sorokr:, (4.2. táblázt; =0 =0b Két fotos speciális esetet külöböztetük meg:. Tégláy-szorzt; 0 2 3... b 0 0 b 0 b 0 2 b 0 3 b 0... b 0 b b 2 b 3 b... b 2 0 b 2 b 2 2 b 2 3 b 2... b 3 0 b 3 b 3 2 b 3 3 b 3........... Ebből sokféleképpe képezhető végtele sor, miből z következik, hogy sokféleképpe értelmezhető sorok szorzt. 4.2. táblázt. Sorok szorzás

4. FEJEZET. KONVERGENCIA, HATÁRÉRTÉK 38 2. Cuchy-szorzt. 4.20. defiíció. Tégláy/Cuchy-szorzt: A és sorok: =0 =0b. Tégláy-szorzt: =0t sor, hol t := i b j, = 0,, 2,...; 2. Cuchy-szorzt: =0 mx{i,j}= c sor, hol c := i b j, = 0,, 2,.... i+j= 4.4. tétel. H és b sorok kovergesek, kkor t Tégláy-szorzt is koverges, és. b =0 =0 t = =0 Bizoyítás. N ( N ( N!! t = b b =0 =0 =0 =0 =0. Megjegyzés: feti állítás Cuchy-szorztr NEM igz, például: ( + zob diverges (lásd: AF 275! 4.42. tétel. Cuchy-tétel: Tegyük fel, hogy és b sorok bszolút kovergesek. Ekkor:. A t Tégláy-szorzt is bszolút koverges; 2. A c Cuchy-szorzt is bszolút koverges; koverges (Leibiz sor, ömgávl vett Cuchy-szorzt 3. Az összes i b j (i, j = 0,, 2,... szorztból tetszés szeriti sorredbe és csoportosításb képzett d végtele sor is bszolút koverges, és d = t = c =. =0 =0 N Bizoyítás. 3.: A N := A (ugyis N bszolút koverges, B N := b B (ugyis b =0 + =0 + bszolút koverges. Tekitsük d sort: d = ( N I ( J i b j. Legye σ N := d!! b A B; I : mx i idex d 0, d,..., d N be, J : mx j idex d 0, d,..., d N be. Ekkor (σ N koverges, miből következik, hogy d bszolút koverges, így c, t is bszolút koverges, miből következik továbbá, hogy t = ( Tégláy-szorztr votkozó tétel lpjá, DE bszolút koverges is, így =0 =0 =0 b tetszőlegese átredezhető, csoportosíthtó z összeg megváltozttás élkül, emitt pedig t = c = d. =0 =0 =0 Megjegyzés: tétel feltételei gyegíthetők Cuchy-szorzt eseté. =0 =0 =0 =0 b =0 =0 =0 =0 b =

4. FEJEZET. KONVERGENCIA, HATÁRÉRTÉK 39 4.43. tétel. Mertes tétele: Tegyük fel, hogy bszolút koverges, és b koverges. c =. b =0 =0 =0 Ekkor c Cuchy-szorzt koverges, és 4.0.6. Htváysorok: (Poliomok áltláosítás végtele sor tgr Adott egy A R hlmz és N : f : A R függvéy. Ekkor (f függvéysorozt, és =0f : f k ; = k=0 0,, 2,... függvéysor: ( { } Kovergecihlmz: KH f := x A f (x számsor koverges ; =0 =0 Összegfüggvéy: ( f : KH f x f (x. =0 =0 =0 4.2. defiíció. Az dott (α : N R és R számml képzett =0α (x = α 0 + α (x + α 2 (x 2 +... (x R függvéysort középpotú htváysork evezzük. Megjegyzések: Htváysor részletösszegei poliomok ( jól kezelhetők, például: f (x := x (x R, = 0,, 2,...; =0x = +x+x 2 +... (x R geometrii sor: ( KH x = (, ; =0 + Összegfüggvéy: x = x =0 (x (, ; Tetszőleges htváysor kovergecihlmz midig egy itervllum! 4.44. tétel. Áltláos Cuchy-Hdmrd-tétel: Tetszőleges α (x (x R htváysor eseté következő 3 eset egyike lehetséges:. 0 < R < + : htváysor bszolút koverges: x : x < R, diverges: x : x > R; 2. A htváysor csk z x = -b koverges (ekkor R := 0; 3. A htváysor ( x R koverges (R = + ; R: htváysor kovergecisugr. Rövide: R : ( R, + R KH α (x [ R, + R] (megjegyzés: végpotokb bármi lehet. =0 Bizoyítás. Feltehető, hogy = 0, zz (* α x = α 0 + α x + α 2 x 2 +... (x R. 4.45. tétel. Segédtétel: Tegyük fel, hogy α x htváysor bszolút koverges x 0 = 0-b. Ekkor x : x < x 0 potb htváysor szité bszolút koverges.

4. FEJEZET. KONVERGENCIA, HATÁRÉRTÉK 40 Bizoyítás. Tegyük fel, hogy α x 0 koverges. Ebből z következik, hogy lim ( α x 0 = 0 (szükséges feltétel, miből következik továbbá, hogy (α x 0 korlátos. Ekkor M > 0 : α x 0 M ( N. Legye x < x 0. Ekkor α x = α 0 x 0 x x 0 M x x 0 ( N. DE: x x 0 < és M x x 0 (geometrii sor koverges, miből z következik ( mjorás kritérium lpjá, hogy α x koverges, így α x bszolút koverges. A tétel bizoyítás: Tekitsük α x sort. Ez z x = 0-b koverges, miből következik, hogy 0 KH ( α x = sup KH ( α x = R R és R 0. A következő esetek lehetek:. 0 < R < + (ekkor tételbeli -es: legye x < R = x 0 KH (... : x < x 0 < R ( szuprémum defiíciój lpjá. A htváysor x 0 -b koverges, így ( segédtétel lpjá x -be is koverges, α x pedig bszolút koverges. Legye x > R = x 0 : R < x 0 < x = α x 0 diverges, így ( segédtétel lpjá (α x is diverges, miből z következik, hogy α x is diverges; 2. Tegyük fel, hogy R = 0. Igzoljuk, hogy x R \ {0} eseté d x diverges! Ekkor, h x 0-r α x bszolút koverges, kkor x 0 < x -re is koverges. Ez x 0 0-r em teljesül; 3. Tegyük fel, hogy R = +. Igzoljuk, hogy x R eseté α x bszolút koverges! Legye x R tetszőleges, és x 0 : x < x 0. Mivel R = +, ezért α x 0 bszolút koverges, így ( segédtétel lpjá x-be is z. Megjegyzés: z R kovergecisugár bizoyos esetekbe kiszámolhtó. 4.46. tétel. Cuchy-Hdmrd I. Tegyük fel, hogy ( α (x htváysorb lim α = A R. Ekkor R := A 0 < A < + 0 A = + + A = 0 htváysor kovergecisugr, zz: x : x < R eseté htváysor bszolút koverges, x : x > R eseté htváysor diverges. Bizoyítás. α (x számsorr gyökkritérium: α (x = α x A x < > =. 4.47. tétel. Cuchy-Hdmrd II. Tegyük fel, hogy dott ( α (x α htváysor, α 0 ( N, és lim + α =: A R (A 0. Ekkor A 0 < A < + R := 0 A = + htváysor kovergecisugr. + A = 0 Bizoyítás. A háydoskritérium lpjá. Példák:. KH ( x = (, (±-be diverges; 2. KH ( x 2 = [, ] (±-be koverges, ugyis: R = eseté teljesül gyök/háyídoskritérium; x = +-be 2 koverges;

4. FEJEZET. KONVERGENCIA, HATÁRÉRTÉK 4 x = -be ( 2 bszolút koverges; 3. KH ( x R = ; = [, : x = -be diverges; x = -be ( ( 4. KH ( x = (, ]; 5. KH ( x = {0}; 6. KH ( x = R. koverges; Alitikus függvéyek: (Poliomok áltláosítási 4.22. defiíció. Alitikus függvéy: Tegyük fel, hogy α (x htváysor R kovergecisugr pozitív (R > 0. Ekkor z f(x := α (x (x k R ( összegfüggvéyt lítikus függvéyek evezzük. =0 Műveletek htváysorokkl: Két (ugyoly középpotú htváysor összege is htváysor; Két htváysor Tégláy-szorzt em htváysor! Két htváysor Cuchy-szorzt viszot htváysor (ezért (is fotos Cuchy-szorzt. 4.48. tétel. Htváysorok műveleteire votkozó tételek: Tegyük fel, hogy α (x és β (x htváysorok kovergecisugrir R α > 0, R β Tekitsük z összegfüggvéyeket: > 0 teljesül. f(x := α (x (x k Rα (; =0 g(x := β (x (x k Rβ (. =0 Ekkor:. f(x + g(x = (α + β (x, x k R (; R = mi {R α, R β }; =0 2. f(x g(x = γ (x, x k R (; γ = α i β i =0 (zz két htváysor Cuchy-szorzták z összege egyelő z összegek szorztávl. i=0