KIEGÉSZÍTÉS A VONALINTEGRÁLHOZ

KIEGÉSZÍTÉS A VONALINTEGRÁLHOZ BSC MATEMATIKATANÁR SZAKIRÁNY 28/29. TAVASZI FÉLÉV Az lábbikbn z el dáson vonlinterálról ill. primitív füvényr l elhnzottk közül zok olvshtók, mik Lczkovich-T. Sós: Anlízis II. jeyzetben nincsenek vy másképp vnnk benne.. Folytonos füvény primitív füvénye létezésének elésées feltétele.. Állítás. H : [α, β] Ω R p, 2 : [β, γ] Ω és (β) = 2 (β) ún. cstolt örbék, kkor leyen 2 : [α, γ] Ω z ún. eyesített örbe, melyre ( 2 ) [α,β] = és ( 2 ) [β,γ] = 2. Ekkor bármely f : Ω R p füvényre f = 2 f + f, 2 h z interálok léteznek. Bizonyítás. A vonlinterál deníciójából dódik..2. Állítás. H : [α, β] Ω R p örbe, kkor z : [α, β] Ω, (t) := (α+β t) leyen z ellentétesen irányított örbe. Ekkor h ey f :Ω R p füvény esetén létezik f, kkor létezik f is, és f = f. Bizonyítás. Mivel z f deníciójábn f( (c i )), (t i ) (t i ), (.) α = t < t < < t i < t i < < t n = β, c i [t i, t i ] lkú közelít összeek szerepelnek, ezért elé meondolni, hoy minden ilyen közelít össze eyenl ey, z f interált közelít össze mínusz eyszeresével, és fordítv. Mivel (t) = (α+β t) teljesül, zért fenti (.) közelít össze z lábbivl eyenl : f(( c i )), ( t i ) ( t i ), α = t n < t n < t i < t i < t = β, c i [ t i, t i ],

2 BSC MATEMATIKATANÁR SZAKIRÁNY 28/29. TAVASZI FÉLÉV hol x = α+β x. Íy f( (c i )), (t i ) (t i ) = f(( c i )), ( t i ) ( t i ), hol α = t n < t n < t i < t i < t = β, c i [ t i, t i ]. Tehát z osztópontok átsorszámozás után z f ey közelít összeének mínusz eyszeresét kpjuk. A mefordítás uyníy meondolhtó. Az el dáson beláttuk vonlinterálr vonkozó Newton-Leibniz tételt, vyis hoy h : [α, β] R p (folytonos és) rektikálhtó örbe, továbbá f : R() R p olyn füvény, melynek z F : R p R primitív füvénye R()-n (vyis F dierenciálhtó és F = f R()-n), kkor f = F ((β)) F ((α)). (.2) Az állításnk mefolmztuk két közvetlen következményét is. Az eyik, hoy primitív füvénnyel rendelkez füvény zárt örbén vett vonlinterálj. A másik pedi, hoy ilyen füvény vonlinterálj füetlen z úttól, vyis uynolyn vépontokkl rendelkez örbéken vett vonlinterálji meeyeznek. Az lábbikbn memuttjuk, hoy h f-r l feltesszük, hoy folytonos, kkor ezen állítások mindeyike mefordíthtó, vyis bármelyikb l következik, hoy f-nek vn primitív füvénye. A továbbikbn örbe ltt mindi folytonos és rektikálhtó örbét értünk..3. Tétel. Leyen Ω R p, f : Ω R p folytonos. Ekkor ekvivlensek: (i) Minden : [α, β] Ω zárt örbe (vyis (α) = (β)) esetén f =. (ii) Minden olyn :[α, β ] Ω és 2 :[α 2, β 2 ] Ω örbék esetén, melyekre (α )= 2 (α 2 ) és (β )= 2 (β 2 ) is iz (vyis két örbe értékkészletének vépontji meeyeznek), teljesül, hoy f = f. 2 (Másképp: vonlinterál füetlen z úttól.) (iii) f-nek létezik primitív füvénye Ω-n, vyis létezik olyn F : Ω R dierenciálhtó füvény, melyre D i F (x) = f i (x), i =,..., p, x Ω. Bizonyítás. (i) (ii). Leyenek : [α, β ] Ω és 2 : [α 2, β 2 ] Ω olyn örbék, melyekre (α ) = 2 (α 2 ) és (β ) = 2 (β 2 ). Feltehet, hoy α 2 = β (pl. 2 átprméterezésével). Ekkor z.2. Állítás szerint 2 : [α 2, β 2 ] Ω, 2 (t) := 2 (α 2 +β 2 t) ellentétesen irányított örbével 2 : [α, β 2 ] Ω

KIEGÉSZÍTÉS A VONALINTEGRÁLHOZ 3 zárt örbe lesz, uynis ( 2 )(α ) = (α ) és ( 2 )(β 2 ) = 2 (β 2 ) = 2 (α 2 ), és feltétel szerint (α ) = 2 (α 2 ). Íy (i) és z.2. Állítás lpján = f = 2 f + f = 2 f f, 2 tehát f = f. 2 (ii) (ii). Rözítsünk ey Ω pontot. Leyen F : Ω R, F (x) := f,,x hol,x jelöljön ey -t x-szel összeköt sim örbét. Leyen e i R p (i =,2,..., p) z i-edik eysévektor. x x+se i e i. ábr. Ekkor F (x+se i ) F (x) D i F (x) = lim = lim f. x,x+sei ( ) = lim f f =,x+sei,x Felhsználv, hoy x,x+sei (t)=x+t e i, t [, s] folytonosn dierenciálhtó, x,x+se i (t)=e i, z el dáson belátott tétel lpján kpjuk, hoy D i F (x) = lim s f(x+te i ), e i dt = lim s f i (x+te i )dt.

4 BSC MATEMATIKATANÁR SZAKIRÁNY 28/29. TAVASZI FÉLÉV Az Riemnn-interálnál tnultk lpján ey h:[, b] R folytonos füvény esetén létezik olyn θ [, b], melyre b h = h(θ) (b ), (vyis füvény ltti terület ey b és h(θ) oldlhosszúsáú téllp területével eyezik me). Felhsználv, hoy [, s] t f i (x+te i ) füvény folytonos (mivel f z), létezik olyn θ [, s], melyre D i F (x) = lim s mivel s esetén θ és f i folytonos. Tehát f i (x+te i )dt = lim f i(x+ϑe i ) s = lim f i (x+ϑe i ) = f i (x), s D i F (x) = f i (x), x Ω. Mivel i tetsz lees volt, és f i folytonos, ebb l z is következik, hoy D i F folytonos Ω-n minden i-re. Íy következik, hoy F dierenciálhtó Ω-n és F = f. (iii) (i) A vonlinterálr vontkozó (.2) Newton-Leibniz-tételb l következik..4. Mejeyzés. A fenti bizonyítás (ii) (iii) részében felhsználtuk, hoy bármely, x Ω esetén létezik -t x-szel összeköt, Ω-bn futó sim örbe. Ez csk kkor iz, h Ω-ról feltesszük, hoy ún. összefü hlmz. H Ω nem összefü, kkor z eyes összefü séi komponenseire lklmzv bizonyítást, z F primitív füvény z íy kpott füvényekb l el állíthtó. 2. Folytonosn differenciálhtó füvény primitív füvénye létezésének elésées feltétele 2.. Prméteres interál. Leyen h : [, b] [c, d] R folytonos füvény (hol most [, b] és [c, d] vlós intervllumok). A H : [c, d] R, H(y) := b h(x, y)dx füvényt prméteres interálnk nevezzük (y prméter). 2.. Tétel. Leyen h : [, b] [c, d] R folytonos füvény. Teyük fel, hoy D 2 h létezik és folytonos [, b] [c, d]-n. Ekkor H : [c, d] R, H(y) := b (x, y)dx füvény dierenciálhtó (c, d)-n és minden y (c, d) esetén H (y) = b D 2 h(x, y)dx.

KIEGÉSZÍTÉS A VONALINTEGRÁLHOZ 5 Bizonyítás. Leyen y (c, d) tetsz lees. Ekkor s (c, d), s y esetén b H(s) H(y) D 2 h(x, y)dx = = ( b b ) h(x, s)dx h(x, y)dx = = = b b b (h(x, s) h(x, y))dx D 2 h(x, η)()dx (D 2 h(x, η) D 2 h(x, y))dx, b b b D 2 h(x, y)dx = D 2 h(x, y)dx = D 2 h(x, y)dx = hol z utolsó el tti sorbn lklmztuk Lrne-féle középértéktételt h-r 2. változóbn, η (s, y) vy η (y, s) (és η tuljdonképpen fü x-t l, de ennek továbbikbn nem lesz szerepe). Mivel D 2 h folytonos [, b] [c, d]-n, ezért ε > δ >, hoy (x, s), (x, y) [, b] [c, d], melyre (x, s) (x, y) = < δ, teljesül, hoy D 2 h(x, s) D 2 h(x, y) < ε. Mivel η z y és s között vn, íy η y < δ is fennáll, mib l D 2 h(x, η) D 2 h(x, y) < ε is következik. Leyen s (c, d), s y olyn, hoy < δ. Ekkor fenti eyenl séb l H(s) H(y) b b D 2 h(x, y)dx D 2 h(x, η) D 2 h(x, y) dx < Ez éppen zt jelenti, hoy lim s y H(s) H(y) és H H(s) H(y) (y) = lim = s y b D 2 h(x, y)dx. b εdx = ε(b ). Ezt tételt prméteres interál deriválás néven szokták emleetni, és formálisn zt mondj, hoy d b b h h(x, y)dx = (x, y)dx, dy y zz kell en sim füvény esetén z interál prméter szerinti deriválását z interál ltt is el lehet véezni. 2.2. Folytonosn dierenciálhtó füvény csilltrtományon. A következ kben szintén ey, z el dáson belátott tétel mefordítását fojuk izolni. Meondoltuk, hoy h Ω R p, f : Ω R p dierenciálhtó, és f-nek létezik F : Ω R primitív füvénye, kkor D i f j (x) = D j f i (x), i, j =,..., p, x Ω. (2.) Az lábbikbn memuttjuk, hoy h Ω ún. csilltrtomány és f folytonosn dierenciálhtó Ω-n, kkor fenti (2.) feltételb l következik, hoy f-nek vn primitív füvénye.

6 BSC MATEMATIKATANÁR SZAKIRÁNY 28/29. TAVASZI FÉLÉV 2.2. Deníció. Leyen Ω R p. Az Ω trtomány csilltrtomány, h létezik olyn Ω pont, hoy minden x Ω esetén z [, x] := {+t(x ) R p : t [,]} Ω (z pontból z Ω minden pontjához el lehet látni... ). 2.3. Tétel. Leyen Ω R p csilltrtomány. Leyen f : Ω R p folytonosn dierenciálhtó, vyis f dierenciálhtó és minden i, j =,2,..., p esetén D i f j folytonos Ω-n. Ekkor ekvivlensek: (i) Minden x Ω esetén D i f j (x) = D j f i (x), i, j =,..., p, zz f (x) R p p szimmetrikus mátrix. (ii) f-nek létezik primitív füvénye Ω-n, vyis létezik olyn F : Ω R dierenciálhtó füvény, melyre D i F (x) = f i (x), i =,..., p, x Ω. Bizonyítás. (i) (ii) Leyen x Ω, x tetsz lees. Leyen z pontot x-szel összeköt örbe z,x (t) := +t(x ) Ω, t [,]. Az,x örbén vett vonlinterál leyen F füvény x-beli értéke, zz deniálj z F : Ω R füvényt F (x) := f, x Ω.,x Ekkor F (x) = f(+t(x )), x dt, mivel,x(t) = x. Memuttjuk, hoy F primitív füvénye z f-nek. Leyen i {,2,..., p} tetsz lees index. Ekkor minden x Ω esetén p D i F (x) = D i f(+t(x )), x dt = D i f j (+t(x ))(x j j )dt. Most lklmzzuk prméteres interál deriválásáról szóló 2.. Tételt. A prméter most x i, z i. változó lesz. Íy folyttv számolást: ( p ) D i F (x) = {D i f j (+t(x )) t} (x j j )+f i (+t(x )) dt, j= hiszen h j i, kkor D i (x j j ) =. Most hsználjuk ki, hoy D i f j = D j f i. Íy kpjuk, hoy ( p D i F (x) = ) {D j f i (+t(x )) t} (x j j )+f i (+t(x )) dt. (2.2) Tekintsük j= j= Φ : R R, Φ(t) := f i (+t(x )) t

KIEGÉSZÍTÉS A VONALINTEGRÁLHOZ 7 füvényt. A feltevések mitt Φ dierenciálhtó (mivel f i z), és kompozíciófüvény deriválási szbály lpján Φ (t) = f i(+t(x )), (x ) t+f i (+t(x )) = p = D j f i (+t(x )) t (x j j )+f i (+t(x )). j= Veyük észre, hoy (2.2) interál ltt éppen Φ (t) áll. Ezért: D i F (x) = Φ (t)dt = [Φ(t)] = Φ() Φ() = f i (+x ) = f i (x). Tehát D i F (x)=f i (x). Mivel f i folytonos Ω-n, ezért D i F folytonos minden i-re, mib l már következik, hoy F dierenciálhtó. Íy vlóbn F z f primitív füvénye. (ii) (i) Az állítás Youn-tételb l dódik, felhsználv, hoy D i F =f i dierenciálhtó Ω-n minden i =,..., p esetén (ld. el dás).