3... Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg az f() = 4 deriváltját az = helyen.pt. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt lim n 8n 5 n, n ( ) n n + 3 (ii) lim. n n 5 3. A tanult módon ábrázoljuk az f() = ln függvényt. pt Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, szélsőérték. (iv) Második derivált, konveitás, infleió. (v) Függvényábrázolás, értékkészlet. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: e 3 d, (ii) e e v ln v dv. Segédlet: α d = α+ + C, (α ), d = ln + a + C, ( a) α + + a cosd = sin + C, sin d = cos + C, cos d = tg + C, sin d = ctg + C, d = arctg + C, + d = arcsin + C, a d = a + C, ( < a ), lna + a d = ln tg + + a + C, sin d = ln + C.
Definiáljuk a következő fogalmakat: Az {a n } sorozat határértéke. (ii) Az f() függvény folytonos a 3 pontban. (iii) Az f() függvény szigorúan monoton növő az [a, b] n. (iv) A környezetes definíció alapján lim f() = 4. (v) Riemann féle integrálközelítő összeg (részletesen). Az elégséges érdemjegyhez a feladat részből legalább 3, a definíció részből legalább pontot el kell érni. Tiltott eszközök használata esetén az érdemjegy elégtelen és ezt követően a hallgató már csak szóban vizsgázhat!
3..7. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n (n > ) rekurzív sorozatot. pt. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt ( lim 3 n + 3 3 n + ) 5 n ( ) n, (ii) lim n n 3 n 4 n. 3. A tanult módon ábrázoljuk az f() = e / függvényt. pt Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, szélsőérték. (iv) Második derivált, konveitás, infleió. (v) Függvényábrázolás, értékkészlet. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 3 t lntdt, (ii) + 4u u + du. Segédlet: α d = α+ + C, (α ), d = ln + a + C, ( a) α + + a cosd = sin + C, sin d = cos + C, cos d = tg + C, sin d = ctg + C, d = arctg + C, + d = arcsin + C, a d = a + C, ( < a ), lna + a d = ln tg + + a + C, sin d = ln + C.
Definiáljuk a következő fogalmakat: Az {a n } sorozat konvergens. (ii) Az f() függvény differenciálható a pontban. (iii) Az f() függvény folytonos az pontban. (iv) A környezetes definíció alapján lim f() =. (v) A korlátos E számhalmaz infimuma. Az elégséges érdemjegyhez a feladat részből legalább 3, a definíció részből legalább pontot el kell érni. Tiltott eszközök használata esetén az érdemjegy elégtelen és ezt követően a hallgató már csak szóban vizsgázhat!
4..7. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Határozzuk meg az f() = függvénynek az = koordinátájú pontjához húzott érintő egyenesének egyenletét. pt. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt lim n n + 3 3 n4 n + 3, ( ) n+ n (ii) lim. n 3n + 4 3. A tanult módon ábrázoljuk az f() = 3 függvényt. pt Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, szélsőérték. (iv) Második derivált, konveitás, infleió. (v) Függvényábrázolás, értékkészlet. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: π 3u sinu du, (ii) 3 v + v dv. Segédlet: α d = α+ + C, (α ), d = ln + a + C, ( a) α + + a cosd = sin + C, sin d = cos + C, cos d = tg + C, sin d = ctg + C, d = arctg + C, + d = arcsin + C, a d = a + C, ( < a ), lna + a d = ln tg + + a + C, sin d = ln + C.
Definiáljuk a következő fogalmakat: Az {a n } sorozat határértéke -. (ii) Az f() függvény lineárisan approimálható a 3 pontban. (iii) Az f() függvény monoton csökkenő az [a, b] n. (iv) A környezetes definíció alapján lim 4 f() =. (v) Az f() függvény integrálfüggvénye. Az elégséges érdemjegyhez a feladat részből legalább 3, a definíció részből legalább pontot el kell érni. Tiltott eszközök használata esetén az érdemjegy elégtelen és ezt követően a hallgató már csak szóban vizsgázhat!
4..7. Kalkulus I. NÉV:... B csoport EHA:... FELADATOK: n 3 n +. Definíció alapján igazoljuk, hogy lim =. pt n 3n + n. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt lim n ( n n + n + 3n + ), (ii) lim n sin n n. 3. A tanult módon ábrázoljuk az f() = + 3 3 ( + ) függvényt. pt Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, szélsőérték. (iv) Második derivált, konveitás, infleió. (v) Függvényábrázolás, értékkészlet. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: e e ln d, (ii) 3 y + y y dy. Segédlet: α d = α+ + C, (α ), d = ln + a + C, ( a) α + + a cosd = sin + C, sin d = cos + C, cos d = tg + C, sin d = ctg + C, d = arctg + C, + d = arcsin + C, a d = a + C, ( < a ), lna + a d = ln tg + + a + C, sin d = ln + C.
Definiáljuk a következő fogalmakat: Az {a n } sorozat monoton növő. (ii) Az {a n } sorozat Cauchy-sorozat. (iii) Az f() függvény konve az I intervallumon. (iv) A környezetes definíció alapján lim f() =. (v) Darbou féle alsó integrálközelítő összeg. Az elégséges érdemjegyhez a feladat részből legalább 3, a definíció részből legalább pontot el kell érni. Tiltott eszközök használata esetén az érdemjegy elégtelen és ezt követően a hallgató már csak szóban vizsgázhat!
4..4. Kalkulus I. NÉV:... FELADATOK: A csoport. Monotonitás és korlátosság szempontjából vizsgáljuk az a n = n + 3 n + inf a n és sup a n értékeket. EHA:... sorozatot. Továbbá adjuk meg az pt. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt ( n lim 3n 3 n, (ii) lim 3 + + ). n 3. A tanult módon ábrázoljuk az f() = ln /3 függvényt. pt Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, szélsőérték. (iv) Második derivált, konveitás, infleió. (v) Függvényábrázolás, értékkészlet. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: π/ 3u sin u du, (ii) e d. Segédlet: α d = α+ + C, (α ), d = ln + a + C, ( a) α + + a cosd = sin + C, sin d = cos + C, cos d = tg + C, sin d = ctg + C, d = arctg + C, + d = arcsin + C, a d = a + C, ( < a ), lna + a d = ln tg + + a + C, sin d = ln + C.
Definiáljuk a következő fogalmakat: Az {a n } sorozat szigorúan monoton csökkenő. (ii) Az {a n } sorozat torlódási pontja. (iii) Az f() függvény korlátos az [a, b] n. (iv) A környezetes definíció alapján lim + f() = 3. (v) Darbou-féle felső integrál. Az elégséges érdemjegyhez a feladat részből legalább 3, a definíció részből legalább pontot el kell érni. Tiltott eszközök használata esetén az érdemjegy elégtelen és ezt követően a hallgató már csak szóban vizsgázhat!
4..4. Kalkulus I. NÉV:... B csoport EHA:... FELADATOK: n n +. Definíció alapján igazoljuk, hogy lim n n =. pt 3. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt lim n n 7 n 9, (ii) lim tg 3 4. 3. A tanult módon ábrázoljuk az f() = 3 e /3 függvényt. pt Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, szélsőérték. (iv) Második derivált, konveitás, infleió. (v) Függvényábrázolás, értékkészlet. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 3 t + 3 3 t + 4t dt, (ii) s 5 s 3 ds. Segédlet: α d = α+ + C, (α ), d = ln + a + C, ( a) α + + a cosd = sin + C, sin d = cos + C, cos d = tg + C, sin d = ctg + C, d = arctg + C, + d = arcsin + C, a d = a + C, ( < a ), lna + a d = ln tg + + a + C, sin d = ln + C.
Definiáljuk a következő fogalmakat: Az {a n } sorozat felülről korlátos. (ii) Az {a n } sorozat részsorozata. (iii) Az f() függvénynek az a = pontban minimuma van. (iv) A környezetes definíció alapján lim f() =. (v) Az f() függvény integrálközepe [a, b] n. Az elégséges érdemjegyhez a feladat részből legalább 3, a definíció részből legalább pontot el kell érni. Tiltott eszközök használata esetén az érdemjegy elégtelen és ezt követően a hallgató már csak szóban vizsgázhat!
4... Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a =, a n = 3a n (n > ) rekurzív sorozatot. pt. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt lim n + ( n + n + 3), n ( ) 3n 3n + (ii) lim. n 4n 3. A tanult módon ábrázoljuk az f() = e ( ) függvényt. Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, szélsőérték. (iv) Második derivált, konveitás, infleió. (v) Függvényábrázolás, értékkészlet. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: pt e lnt t dt, (ii) + z z dz. Segédlet: α d = α+ + C, (α ), d = ln + a + C, ( a) α + + a cosd = sin + C, sin d = cos + C, cos d = tg + C, sin d = ctg + C, d = arctg + C, + d = arcsin + C, a d = a + C, ( < a ), lna + a d = ln tg + + a + C, sin d = ln + C.
Definiáljuk a következő fogalmakat: Az {a n } sorozat korlátos. (ii) Az f() függvény egyenletesen folytonos az I intervallumon. (iii) Az f() függvény konkáv az [a, b] intervallumon. (iv) A környezetes definíció alapján lim f() =. (v) Az [a, b] intervallum egy beosztása, a beosztás finomsága. Az elégséges érdemjegyhez a feladat részből legalább 3, a definíció részből legalább pontot el kell érni. Tiltott eszközök használata esetén az érdemjegy elégtelen és ezt követően a hallgató már csak szóban vizsgázhat!
4... Kalkulus I. NÉV:... B csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg az f() = deriváltját az = helyen. pt. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt lim n n 5n 4 n + 3 n, (ii) lim n 3n sin 5 n. 3. A tanult módon ábrázoljuk az f() = ln függvényt. pt Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, szélsőérték. (iv) Második derivált, konveitás, infleió. (v) Függvényábrázolás, értékkészlet. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 3u e udu, (ii) z z + z + dz. Segédlet: α d = α+ + C, (α ), d = ln + a + C, ( a) α + + a cosd = sin + C, sin d = cos + C, cos d = tg + C, sin d = ctg + C, d = arctg + C, + d = arcsin + C, a d = a + C, ( < a ), lna + a d = ln tg + + a + C, sin d = ln + C.
Definiáljuk a következő fogalmakat: Az {a n } sorozat határértéke. (ii) Az {a n } sorozat torlódási pontja. (iii) Az f() függvénynek helyi minimma van 3 ban. (iv) A környezetes definíció alapján lim f() =. (v) Darbou féle felső integrálközelítő összeg (részletesen). Az elégséges érdemjegyhez a feladat részből legalább 3, a definíció részből legalább pontot el kell érni. Tiltott eszközök használata esetén az érdemjegy elégtelen és ezt követően a hallgató már csak szóban vizsgázhat!
4..8. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK: 3n 4n +. Definíció alapján igazoljuk, hogy lim n n = 3. pt. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt ( lim n n + 3 ( ) n+ 3n + 4 n + 3n ), (ii) lim. n n 3n 3. A tanult módon ábrázoljuk az f() = + e / függvényt. pt Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, szélsőérték. (iv) Második derivált, konveitás, infleió. (v) Függvényábrázolás, értékkészlet. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: π sin t t dt, (ii) 5 u + 3 du. Segédlet: α d = α+ + C, (α ), d = ln + a + C, ( a) α + + a cosd = sin + C, sin d = cos + C, cos d = tg + C, sin d = ctg + C, d = arctg + C, + d = arcsin + C, a d = a + C, ( < a ), lna + a d = ln tg + + a + C, sin d = ln + C.
Definiáljuk a következő fogalmakat: Az {a n } sorozat monoton csökkenő. (ii) Az {a n } sorozat Cauchy-sorozat. (iii) Az f() függvénynek a ban helyi minimuma van. (iv) A környezetes definíció alapján lim 3 + f() =. (v) Az f() függvény Riemann-integrálható [a, b]-n. Az elégséges érdemjegyhez a feladat részből legalább 3, a definíció részből legalább pontot el kell érni. Tiltott eszközök használata esetén az érdemjegy elégtelen és ezt követően a hallgató már csak szóban vizsgázhat!
4..8. Kalkulus I. NÉV:... B csoport EHA:... FELADATOK:. Határozzuk meg az f() = 3 + függvénynek az a = pont körüli harmadrendű Taylor féle polinomját, segítségével becsüljük meg 3 3/ értékét és a hiba nagyságát. pt. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt lim n n n 8 ( ) +n n +, (ii) lim. n 3n 4 3. A tanult módon ábrázoljuk az f() = ln( + ) + függvényt. Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, szélsőérték. (iv) Második derivált, konveitás, infleió. (v) Függvényábrázolás, értékkészlet. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: pt z arctg zdz, (ii) e / d. Segédlet: α d = α+ + C, (α ), d = ln + a + C, ( a) α + + a cosd = sin + C, sin d = cos + C, cos d = tg + C, sin d = ctg + C, d = arctg + C, + d = arcsin + C, a d = a + C, ( < a ), lna + a d = ln tg + + a + C, sin d = ln + C.
Definiáljuk a következő fogalmakat: Az {a n } sorozat korlátos. (ii) Az f() függvény lineárisan approimálható az pontban. (iii) Az f() függvény szigorúan monoton növő az I intervallumon. (iv) A környezetes definíció alapján lim f() =. (v) Az E korlátos számhalmaz supremuma. Az elégséges érdemjegyhez a feladat részből legalább 3, a definíció részből legalább pontot el kell érni. Tiltott eszközök használata esetén az érdemjegy elégtelen és ezt követően a hallgató már csak szóban vizsgázhat!