6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási pontja). Azt mondjuk, hogy f-nek van (véges) határértéke az x 0 pontban, ha van olyan a R szám, hogy minden ɛ > 0-hoz van olyan δ(ɛ) > 0, hogy f(x) a < ɛ ha 0 < x x 0 < δ(ɛ) és x D Az a R számot az f függvény x 0 pontbeli határértékének nevezzük, és jelölésére az a = f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. Állítás. A határérték, ha létezik, akkor egyértelmű. Bizonyítás. Tegyük fel, hogy f-nek létezik véges határértéke x 0 -ban, de nem egyértelmű. Akkor van két olyan szám a, a R, a a hogy minden ɛ > 0-hoz vannak olyan δ(ɛ), δ (ɛ) > 0 számok, melyekre f(x) a < ɛ ha 0 < x x 0 < δ(ɛ) és x D f(x) a < ɛ ha 0 < x x 0 < δ (ɛ) és x D. Ebből 0 a a = a f(x) + f(x) a < 2ɛ ha 0 < x x 0 < min{δ(ɛ), δ (ɛ)} és x D. Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva állításunkat. Megjegyzés. Határérték létezhet az x 0 pontban akkor is, ha a függvény nincs értelmezve a pontban de torlódási pontja annak (egy halmaz torlódási pontja ui. nem feltétlenül pontja a halmaznak). Éppen emiatt lényeges a definícióban a 0 < x x 0 feltétel, ez biztosítja azt, hogy x x 0. Átviteli elv. Legyen f : D R R és x 0 D. f(x) = a akkor és csakis akkor, ha x x0 bármely (x n ) : N D, x 0 x n x 0 (n ) sorozat esetén f(x n ) a (n ). Másképpen megfogalmazva: az f függvény értelmezési tartományának egy x 0 torlódási pontjában akkor és csakis akkor lesz f határértéke az a szám, ha az értelmezési tartományból bármely x 0 - hoz konvergáló x n sorozatot véve, melynek elemei x 0 -tól különbözőek, a függvényértékek f(x n ) sorozata a hoz konvergál. Bizonyítás. Ha a definíció teljesül és x 0 x n x 0 (n ), akkor δ(ɛ) > 0-hoz van olyan N (δ(ɛ)) > 0, hogy x n x 0 < δ(ɛ) ha n > N (δ(ɛ)), 1
2 így f(x n ) a < ɛ ha n > N (δ(ɛ)), ami azt jelenti, hogy f(x n ) a (n. Indirekt bizonyítást használunk. Tegyük fel, hogy bármely (x n ) : N D, x 0 x n x 0 (n ) sorozat esetén f(x n ) a (n ), de a definíció nem A definíció (ɛ > 0) (δ(ɛ) > 0) (x D) [(0 < x x 0 < δ(ɛ)) ( f(x) a < ɛ)] tagadása azt jelenti, hogy (ɛ > 0) (δ(ɛ ) > 0) (x D) [(0 < x x 0 < δ(ɛ )) ( f(x) a ɛ )]. Innen δ(ɛ ) = 1 -t véve n (x n D) [( 0 < x n x 0 < 1 ) ] ( f(x n ) a ɛ ) n de akkor x 0 x n x 0 (n ) és f(x n ) a (n ), ami ellentmondás. Megjegyezzük, hogy a P Q implikáció ekvivalens ( P ) Q-val, így tagadása (P Q) = (( P ) Q) = P ( Q) lesz (itt a tagadás műveletének logikai jele). Példák. ld. előadás. Átfogalmazás. f(x) a < ɛ f(x) G(a, ɛ) 0 < x x 0 < δ(ɛ) x D x G(x 0, δ) (D \ {x 0 }) ahol G(a, ɛ) az a pont ɛ sugarú környezetét jelöli. Ennek segítségével a definíció átfogalmazható: f(x) = a, ha a bármely G(a, ɛ) környezetéhez van x 0 -nak olyan G(x 0, δ) környezete, hogy ha x G(x 0, δ) (D \ {x 0 }), akkor f(x) G(a, ɛ). Ez az átfogalmazás lehetőséget ad a határérték definíciójának kiterjesztésére. Azt mondjuk, hogy ( ) torlódási pontja D R-nek, ha ( ) bármely környezetében van D-beli pont (ami nyilvánvalóan mindig különböző ( )-től). 1. A definíció kiterjeszthető arra az esetre, amikor x 0, a R b. Például, az x 0 =, a = esetben a határérték definíciója: legyen x 0 = torlódási pontja D-nek, akkor f(x) = x azt jelenti, hogy hogy bármely környezetéhez van -nek olyan környezete, hogy ha x-et ezen utóbbi környezet és D közös részéből vesszük, akkor f(x) benne lesz előbbi környezetében. Vagy, ami ugyanaz, bármely K < 0 számhoz van olyan δ(k) > 0 szám, hogy f(x) < K ha x > δ(k), és x D. 2. Jobb- és baloldali határérték (csak x 0 R-ben).
Tegyük fel, x 0 a D [x 0, [ (illetve a D ], x 0 ]) halmaz torlódási pontja. Ha a D [x 0, [ (illetve D ], x 0 ]) halmazra leszűkitett függvény határértéke az x 0 pontban az a szám, akkor azt mondjuk, hogy f jobboldali (ill. baloldali) határértéke a, és ezt f(x) = a (ill. f(x) = +0 0 a)-val jelöljük. Másképpen fogalmazva, legyen x 0 a D [x 0, [ halmaz torlódási pontja. Akkor mondjuk, hogy az f : D R R függvénynek az a szám a jobboldali határértéke az x 0 pontban, ha minden ɛ > 0-hoz van olyan δ(ɛ) > 0, hogy f(x) a < ɛ ha 0 < x x 0 < δ(ɛ) és x D Legyen most x 0 a D ], x 0 ] halmaz torlódási pontja. Akkor mondjuk, hogy az f : D R R függvénynek az a szám a baloldali határértéke az x 0 pontban, ha minden ɛ > 0-hoz van olyan δ(ɛ) > 0, hogy f(x) a < ɛ ha δ(ɛ) < x x 0 < 0 és x D Definíció. Legyenek f, g : D R R, akkor e függvények (pontonkénti) összegét, f c R- szeresét, szorzatukat, hányadosukat az (f + g)(x) : = f(x) + g(x) (x D) (cf)(x) : = cf(x) (x D) (fg)(x) : = f(x)g(x) (x D) (f/g)(x) : = f(x)/g(x) (x D, g(x) 0) képletekkel értelmezzük. 1. TÉTEL[határérték, monotonitás és műveletek] Legyenek f, g : D R R, x 0 D, és tegyük fel, hogy Akkor bármely c R mellett f(x) = a, x x0 g(x) = b. (f + g)(x) = a + b, (cf)(x) = ca, (fg)(x) = ab, (f/g)(x) = a/b, ha b 0. Ha f(x) g(x) (x D), akkor a b. Ha f(x) h(x) g(x) (x D), és a = b, akkor h(x) = a. x x0 Bizonyítás. Az átviteli elv alapján sorozatok határértékének tulajdonságaiból következik. A tétel akkor is igaz, ha a, b R b, x 0 R b, de ekkor meg kell követelnünk, hogy a jobboldali kifejezések (a + b, ca, ab, a/b) értelmezve legyenek. Definíció. A h(x) := g (f(x)) (x D) függvényt, ahol f : D R R, g : f(d) R, az f és g függvényekből összetett függvénynek nevezzük, f a belső, g a külső függvény. h jelölésére használjuk h = f g-t is (itt f(d) = { f(x) :], ], x D } az f függvény értékkészlete). 3
4 2. TÉTEL[összetett függvény határértéke] Legyen f : D R R, g : f(d) R, és h(x) := g (f(x)) (x D). Ha x 0 D, f(x) = a, a / f (D \ {x 0 }), és g(x) = b y a akkor h(x) = b. Bizonyítás. Legyen x 0 x n x 0 (n ) akkor y n := f(x n ) a (n ) és y n f (D \ {x 0 }) ezért y n a, így h(x n ) = g(y n ) b (n.) 6.2 Függvény folytonossága Definíció. Az f : D R R függvényt értelmezési tartományának x 0 D pontjában folytonosnak nevezzük, ha bármely ɛ > 0-hoz van olyan δ(ɛ) > 0, hogy f(x) f(x 0 ) < ɛ ha x x 0 < δ(ɛ) és x D Ha x 0 D D akkor f folytonos x 0 -ban akkor, és csakis akkor, ha x x0 f(x) = f(x 0 ). Ha x 0 D x 0 / D akkor x 0 a D izolált pontja, izolált pontokban f a definíció alapján mindig folytonos. Átviteli elv függvény folytonosságára. Az f : D R R függvény folytonos az x 0 D pontban akkor és csakis akkor, ha bármely (x n ) : N D, x n x 0 (n ) sorozat esetén f(x n ) f(x 0 ) (n ). Környezetes átfogalmazás. Az f : D R R függvény folytonos az x 0 D pontban akkor és csakis akkor, ha f(x 0 ) bármely G(f(x 0 ), ɛ) környezetéhez van x 0 -nak olyan G(x 0, δ) környezete, hogy ha x 0 G(x 0, δ), akkor f(x) G(f(x 0 ), ɛ). 2. TÉTEL[folytonosság es műveletek] Ha f, g : D R R folytonosak az x 0 D pontban, akkor f + g, cf, fg, f/g (ha g(x 0 ) 0) is folytonosak x 0 -ban. Továbbá, a h(x) = g (f(x)) (x D) összetett függvény (ahol f : D R R, g : f(d) R) folytonos x 0 -ban, ha f folytonos x 0 -ban és g folytonos az y 0 := f(x 0 ) pontban. 6.3 Folytonos függvények globális tulajdonságai Definíció. Az f : D R R függvényt alulról (felülről) korlátosnak nevezzük, ha értékkészlete alulról (felülről) korlátos.
Definíció. Az f : D R R függvényt monoton növekvőnek (csökkenőnek) nevezzük D n, ha bármely x 1 < x 2, x 1, x 2 D esetén f(x 1 ) f(x 2 ) ( f(x 1 ) f(x 2 )). Ha bármely x 1 < x 2, x 1, x 2 D esetén f(x 1 ) < f(x 2 ) ( f(x 1 ) > f(x 2 )) teljesül, akkor az f : D R R függvényt szigorúan monoton növekvő (csökkenő) függvénynek nevezzük. Definíció. Azt mondjuk, hogy az f : D R R függvénynek lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha van olyan ɛ > 0 hogy f(x 0 ) f(x) (f(x 0 ) f(x)) teljesül minden x G(x 0, ɛ) D esetén. Azt mondjuk, hogy az f : D R R függvénynek szigorú lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha van olyan ɛ > 0 hogy f(x 0 ) > f(x) (f(x 0 ) < f(x)) teljesül minden x G(x 0, ɛ) D, x x 0 esetén. Azt mondjuk, hogy az f : D R R függvénynek globális (abszolút) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha f(x 0 ) f(x) (f(x 0 ) f(x)) teljesül minden x D esetén. Azt mondjuk, hogy az f : D R R függvénynek szigorú globális (abszolút) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha 5 esetén. (x 0 ) > f(x) (f(x 0 ) < f(x)) teljesül minden x D, x x 0 Állítás. Folytonos függvény jeltartó, azaz ha f : D R R folytonos az x 0 D pontban, és f(x 0 ) 0 akkor van olyan δ > 0 hogy sg f(x) = sg f(x 0 ) ha x G(x 0, δ) D, ahol sg a szignum (előjel) függvényt jelöli, melynek definíciója 1 ha x > 0 sg x = 0 ha x = 0 1 ha x < 0 Bizonyítás. A folytonosság miatt ɛ := f(x 0 ) /2-höz van olyan δ > 0, hogy f(x) f(x 0 ) < f(x 0 ) /2 ha x x 0 < δ(ɛ) és x D. Legyen pl. f(x 0 ) > 0, akkor az előző egyenlőtlenséget részletesen kiírva kapjuk, hogy f(x 0 )/2 < f(x) f(x 0 ) < f(x 0 )/2, vagy f(x 0 )/2 < f(x) (< 3f(x 0 )/2), ha x G(x 0, δ) D, ami mutatja állításunk helyességét. Definíció. Azt mondjuk, hogy az f : D R R függvény folytonos az A D halmazon, ha f az A halmaz minden pontjában folytonos. 1. TÉTEL. Korlátos zárt intervallumon folytonos függvény korlátos. Azaz ha f : [a, b] R folytonos [a, b]-n, akkor vannak olyan k, K R amelyekre k f(x) K minden x [a, b] mellett.
6 Bizonyítás. Tegyük fel állításunkkal ellentétben, hogy pl. f nem korlátos felülről. Akkor minden n N-hez van olyan x n [a, b], hogy f(x n ) > n. Tekintsük az A := { x n : n N } halmazt. Ha A véges halmaz, akkor van olyan x k0 eleme A-nak, hogy x n = x k0 véges sok n index kivételével, azaz, x n = x k0 ha n > n 0. Ha A végtelen halmaz, akkor a Bolzano-Weierstrass tétel alapján A-nak van (legalább egy) x 0 torlódási pontja. x n [a, b] és [a, b] zártsága miatt x 0 [a, b]. Vegyünk az x 0 pont G(x 0, 1) környezetéből egy x 0 -tól különböző A-beli x n1 pontot. Ezután az x 0 pont G(x 0, d 1 ) környezetéből, ahol d 1 = x n1 x 0, válasszunk egy olyan x 0 -tól különböző x n2 A pontot melyre n 2 > n 1 legyen (ilyen biztosan van, mert az x 0 pont bármely környezete végtelen sok A-beli pontot tartalmaz, egyébként x 0 nem lehetne A torlódási pontja). Az x n3 pontot a G(x 0, d 2 ) környezetéből választjuk, ahol d 2 = x n2 x 0, úgy, hogy x n3 x 0, és n 3 > n 2 legyen. Hasonlóan folytatva, egy olyan x nk A (k N) sorozatot kapunk mely x 0 -hoz konvergál. (Az x nk (k N) sorozatot az x n (n N) sorozat részsorozatának nevezzük). Mivel véges A esetén x nk := x k (k N), x 0 := x k0 -t véve ugyanez a helyzet, így mondhatjuk, hogy az x n (n N) sorozatból mind véges, mind végtelen A esetén kiválasztható egy x 0 [a, b]-hez konvergáló részsorozat. Mivel feltevésünk szerint f(x nk ) > n k (k N) így k -vel f x 0 -beli folytonossága miatt kapjuk, hogy f(x 0 ), ami ellentmondás, bizonyítva állításunkat. 2. TÉTEL. Korlátos zárt intervallumon folytonos függvény felveszi a függvényértékek szuprémumát és infimumát függvényértékként. Azaz ha f : [a, b] R folytonos [a, b]-n, és m := inf{ f(x) : x [a, b] }, M := sup{ f(x) : x [a, b] } akkor vannak olyan x m, x M [a, b] amelyekre f(x m ) = m, f(x M ) = M. Azt is mondhatjuk, hogy korlátos zárt intervallumon folytonos függvénynek van maximuma és minimuma ezen az intervallumon. Bizonyítás. Azt mutatjuk meg, hogy van olyan x M [a, b] melyre f(x M ) = M, a másik állítás igazolása hasonló. Tetszőleges n N esetén M 1 n nem felső korlátja a függvényértékeknek, igy van olyan x n [a, b], hogy M 1 n < f(x n) M (n N). Az előző tétel bizonyításához hasonlóan, kiválasztható az x n (n N) sorozatból egy olyan x nk (k N) részsorozat, mely valamely x M [a, b] elemhez konvergál. De akkor M 1 n k < f(x nk ) M (k N), amiből k -vel a folytonosság miatt M f(x M ) M
7 adódik, azaz f(x M ) = M. Definíció. Azt mondjuk, hogy az f : D R R függvény egyenletesen folytonos a D 1 D halmazon, ha bármely ɛ > 0-hoz van olyan (csak ɛ-tól függő) δ(ɛ) > 0 amelyre f(x) f(y) < ɛ ha x y < δ(ɛ) és x, y D 1 Ha f csupán folytonos D 1 -en akkor a bármely ɛ > 0-hoz és bármely y D 1 -hez van olyan (y-tól is függő) δ(ɛ, y) > 0 amelyre f(x) f(y) < ɛ ha x y < δ(ɛ, y) és x D 1 3. TÉTEL. [Cantor tétele] Korlátos zárt intervallumon folytonos függvény ott egyenletesen folytonos. Bizonyítás.- 4. TÉTEL. Egy intervallumon folytonos függvény felvesz bármely két függvényérték közötti értéket is függvényértékként. Azaz, ha f : I R folytonos az I intervallumon, és f(α) y 0 f(β) valamely α, β I-re, akkor van olyan x 0 az α, β között, amelyre f(x 0 ) = y 0. Ebből következik, hogy egy intervallumon folytonos függvény értékkészlete is egy intervallum. Bizonyítás. Feltehető, hogy f(α) < y 0 < f(β). A határozottság miatt tegyük fel, hogy α < β és legyen A = { x [α, β] : f(x) < y 0 }. A felülről korlátos, nemüres halmaz, így van pontos felső korlátja: sup A = x 0 [α, β]. Megmutatjuk, hogy f(x 0 ) = y 0. Ha f(x 0 ) > y 0 volna, akkor az x f(x) y 0 függvény x 0 -beli jeltartósága miatt x 0 egy [α, β]- ba eső környezetében is f(x) > y 0 volna, de akkor x 0 csak ugy lehetne felső korlátja A-nak, ha x 0 = α, amiből f(α) = f(x 0 ) > y 0 adódik, ami ellentmond feltételezésünknek. Ha f(x 0 ) < y 0 volna, akkor az x f(x) y 0 függvény x 0 -beli jeltartósága miatt x 0 egy [α, β]-ba eső környezetében is f(x) < y 0 volna, de akkor x 0 csak ugy lehetne felső korlátja A-nak, ha x 0 = β, amiből f(β) = f(x 0 ) < y 0 adódik, ami ismét ellentmond feltételezésünknek. Így csak f(x 0 ) = y 0 lehet, bizonyítva állításunkat. 5. TÉTEL. Egy intervallumon folytonos, szigorúan monoton függvény injektív, és inverze is folytonos, és szigorúan monoton (ugyanolyan értelemben mint az eredeti függvény).
8 Azaz ha f : I R folytonos, szigorúan monoton az I intervallumon akkor f injektív, és az f 1 : J I (létező) inverz függvény folytonos J-n, és ugyanolyan értelemben monoton, mint f (ahol J := f(i) = { f(x) : x I } az f függvény értékkészlete). Szigorú monotonitás helyett injektivitást feltéve is folytonos az inverz függvény. 6. TÉTEL. Egy intervallumon folytonos és injektív függvény inverze is folytonos. Azaz ha f : I R folytonos és injektív az I intervallumon és J := f(i) = { f(x) : x I } az f függvény értékkészlete, akkor az f 1 : J I inverz függvény folytonos J-n. Bizonyítás.- Bizonyítás.- 6.4 Az elemi függvények folytonossága Definíció. Az f(x) = c (x R), (ahol c R tetszőleges konstans), f(x) = x (x R), f(x) = e x (x R), f(x) = sin x (x R) függvényeket, és ezekből a 4 alapművelet (összeadás, kivonás, szorzás, osztás), inverz és összetett függvény képzése, leszűkítés egy intervallumra operációk véges sokszori alkalmazásával keletkező függvényeket elemi függvényeknek nevezzük. Példák. ln x := az e x függvény inverze, ln :]0, [ R, a x := e x ln a (x R) ahol a > 0, log a x := az a x függvény inverze, ahol 0 < a 1, log a :]0, [ R, arcsin x := a sin [ π 2, π 2 ] x függvény inverze, arcsin : [ 1, 1] [ π, ] π 2 2, arccos x := a cos [0,π] x függvény inverze, arccos : [ 1, 1] [0, π], arctan x := a tan ] π 2, π 2 [ x függvény inverze, arctan : R ] π 2, π 2 [, arcctg x := a ctg ]0,π[ x függvény inverze, arcctg : R ]0, π[ TÉTEL. Az elemi függvények folytonosak. Bizonyítás. Elég az f(x) = c, x, e x, sin x függvények folytonosságát igazolni. Ez az első két függvény esetén a definíció alapján nyilvánvaló.
9 A sin függvény folytonossága sin x sin x 0 = 2 sin x x 0 2 cos x + x 0 2 x x 0 < ɛ ha x x 0 < δ(ɛ) = ɛ miatt következik. Az exponenciális függvény folytonosságat nehezebb igazolni, itt nem bizonyitjuk. 6.5 Nevezetes függvényhatárértékek TÉTEL. (1 + x) 1 x = e, x 0 e x 1 x 0 x = 1, sin x x 0 x = 1. Bizonyítás. Az első állítás a sorozatok határértékére vonatkozó (1 + x n) 1 xn = e ha 0 xn 0 (n ) n egyenlőségből következik. A másodikat úgy igazolhatjuk, hogy y = e x 1 transzformációval y 0 ha x 0, így e x 1 y = x 0 x y 0 ln(y + 1) = 1 = 1 y 0 ln(1 + y) 1 y ln e = 1. Az utolsó igazolásához felhasználjuk a geometriai meggondolásból adódó sin x < x < tg x ha 0 < x < π 2 egyenlőtlenséget. Ebből sin x-szel való osztással 1 < x sin x < 1 cos x, és x 0-val a rendőrtétel alapján adódik állításunk.