18. előadás ÁLLANDÓ KÖLTSÉGEK ÉS A KÖLTSÉGGÖRBÉK Kertesi Gábor Világi Balázs Varian 21. fejezete átdolgozva
18.1 Bevezető A vállalati technológiák sajátosságainak vizsgálatát eg igen fontos elemzési eszköz, a költséggörbe segítségével végezzük el. Mint az előző előadás végén említettük, a költséggörbe nem más, mint eg egszerűsített költségfüggvén, melben a w 1 és w 2 inputárakat rögzítettük, és csak az outputot (-t) változtatjuk. Vagis c() költséggörbe nem más, mint c () = c ( w ~, ~ 1 = w1 w2 = w2 ). Más szóval: a költség csak a kibocsátási szint függvéne. 18.2 Állandó költségek Az eddigiekben azzal a ki nem mondott feltevéssel éltünk, hog a c( w1, w2, ) költségfüggvénhez tartozó c() költséggörbe c () = c ( w ~, ~ 1 = w1 w2 = w2 ) az origóból indul, azaz zérus értékű kibocsátáshoz zérus költség tartozik. 18.1 fólia A valóságban azonban a legtöbb technológiánál ez nincs íg. Eg heli vezetékes telefonszolgáltatónak minden eges beszélgetés csak minimális pótlólagos költséggel jár: némi elektromos áramot igénel, meg néhán karbantartó készenlétben tartását, akik elhárítják az esetleges üzemzavarokat. Viszont mindaddig be sem indulhat a szolgáltatás, amíg fel nem épül eg megfelelő telefonközpont, és ki nem húzzák a vezetékeket. Mindezt már azelőtt ki kell építeni a szolgáltatónak, hog akár csak egetlen másodpercni beszélgetés lezajlana. Ha a beszélgetések összidejét méri az, akkor már = 0 esetén is jelentős költségek terhelik a szolgáltatást nújtó vállalatot. Eg városi metróvonal beindításához költséges alagút fúrása szükséges még jóval a közlekedési szolgáltatás beindítása előtt. De még a legegszerűbb kisvállalkozások beindítása esetén sem lehet elkerülni bizonos előzetes ráfordításokat. Ha mást nem, akkor a cégbejegzés költségeit. Összefoglalva: a legtöbb termelési technológia működtetésének szükséges feltétele a termelés volumenétől, azaz az output nagságától független ráfordítások megléte. Ezeket a ráfordításokat állandó vag fix költségnek fogjuk nevezni. Algebrailag ezt úg fejezzük ki, hog a költségfüggvént két komponensre bontjuk: 18.2 fólia Az output alakulásától független részt állandó ( F ( w, w 1 2) ), az output alakulásától függő részt pedig a korábbi elnevezésekkel összhangban változó költségnek ( c v ( w1, w2, ) ) fogjuk nevezni. A két komponens összegére a félreértések elkerülése érdekében mint teljes költségre fogunk hivatkozni. A változó költség szimbólumához tartozó kis v index különbözteti meg őt a teljes költségtől. Ha az 2
inputárakat rögzítettnek tekintjük, akkor a szokásos módon ábrázolhatjuk a költséggörbéket: a változóköltség-görbét és a teljesköltséggörbét. 18.3 fólia Rögzített inputárak esetén az állandó költség F konstanssá egszerűsödik. A teljesköltséggörbe ábrája anniban tér el az eddig megszokottól, hog a költséggörbe nem az origóból indul, hanem F egséggel el van tolva a függőleges tengel mentén. Az állandó költségek megléte nagban befolásolja eg adott technológia hozadéki viszonait. Tegük fel, hog a technológiának a változó költségekkel összefüggő része állandó mérethozadékú. Ilen például a telefon- vag a metrószolgáltatás. Elég tág határok között kétszer anni beszélgetés vag kétszer anni metrókocsi közlekedtetése kétszer anni változó költséggel jár. Mint az előző órán láttuk, ilen esetben a változóköltség-görbét eg origóból induló félegenes reprezentálja, azaz: c ( ) = a. Ábrázoljuk a teljesköltséggörbét, azaz toljuk el fix költség mértékével a függőleges tengel mentén a félegenest. 18.4 fólia Ha a teljesköltséggörbe tetszőleges pontját összekötjük az origóval, akkor láthatjuk, hog az átlagköltség mindvégig csökkenő, vagis a technológia növekvő hozadékú, jóllehet a változó költséghez tartozó résztechnológia állandó hozadékú volt. Tehát, ha eg állandó mérethozadékú technológiát fix költséggel párosítunk, akkor növekvő mérethozadékhoz jutunk. Az állandó költség megléte még a csökkenő mérethozadékú technológiát is képes, bizonos határok között, növekvő hozadékúvá transzformálni. Tekintsük a következő ábrát, ahol a változóköltség-görbéhez tartozó technológia csökkenő hozadékú. Ehhez társul F fix költség. 18.5 fólia A teljesköltséggörbe alapján látható, hog például az 1 pont körnezetében a fix költség hatására a technológia növekvő hozadékúvá válik: az összköltség az output növekedésénél lassabb ütemben nő, s íg az átlagköltség csökken. Az 2 pontban azonban, ahol az állandó költség hatása már jóval kevésbé érezhető, a technológia továbbra is csökkenő hozadékú marad: az output növekedését már eg azt meghaladó mértékű költségnövekedés kíséri: az átlagköltség nő. Későbbi tanulmánaink során még találkozni fogunk a természetes monopóliumok, illetve a természetes monopóliumok szabálozásának problémájával. Az ott felmerülő problémák eg része éppen a magas állandó költségekre és a velük összefüggő növekvő hozadékokra vezethető vissza. Az állandó költségeket tovább bonthatjuk visszatérülő (recoverable costs) és vissza nem térülő (sunk costs) költségekre. A visszatérülő költségek az állandó költségek azon részei, ameleket a vállalkozás leállítása esetén vissza tudunk nerni. A vissza nem térülő költségeket a vállalkozás beszüntetése után nem áll módunkban visszanerni. Az állandó költségekhez hasonlóak a majdnem állandó 3
(quasi-fixed costs) költségek. Ezeknek a nagsága is független a kibocsátás nagságától, de csak pozitív kibocsátás mellett merülnek fel. Hosszú távon a hosszú táv definíciójából adódóan nincsenek állandó költségek. Ennek ellenére a majdnem állandó költségek hosszú távon is felmerülhetnek. Ha eg meghatározott összeget ki kell fizetni, mielőtt bármi kibocsátás történt volna, akkor jelen vannak a majdnem állandó költségek. 18.3 A költséggörbék és tulajdonságaik A továbbiakban az inputárakat rögzítettnek tekintjük, és csak az output () változásának hatásait vizsgáljuk a költségekre. A költségfüggvén helett a költséggörbére (és annak geometriai tulajdonságaira) összpontosítunk. Az eddigiek során már találkoztunk a határ-, illetve az átlagköltséggörbék fogalmával. Most e görbék tulajdonságait vesszük alaposabban szemügre. A költséggörbék diszkussziója során nag figelmet fordítunk az állandó költségek szerepére. Lássuk mindenekelőtt a mikroelméletben leginkább használatos költséggörbék definícióját! 18.6 fólia A határköltséggörbét egaránt megkaphatjuk a teljesköltséggörbéből vag a változóköltség-görbéből, hiszen ez utóbbi az előbbitől éppen csak eg konstansban különbözik. A konstans deriváltja pedig mint ismeretes nullával egenlő. A következőekben összefoglaljuk e költséggörbék fontosabb matematikai tulajdonságait: 18.7 fólia Fogalmazzuk meg szóban is e tulajdonságokat! 1. A teljesköltséggörbe a kibocsátás teljes tartománában a változóköltség-görbe fölött helezkedik el. Analóg összefüggés jellemzi az átlagköltséggörbe és az átlagos változó-költséggörbe helzetét: az átlagköltséggörbe a kibocsátás teljes tartománában az átlagos változóköltség-görbe fölött helezkedik el. 2a. Az átlagos változóköltség-görbe, csökkenő szakaszában, a határköltséggörbe alatt, növekvő szakaszában pedig a határköltséggörbe felett helezkedik el. A határköltséggörbe az átlagos változóköltség-görbe szélsőértékénél (annak minimumpontjában) metszi el azt. 2b. Hasonló összefüggések jellemzik az átlag- és a határköltséggörbe helzetét. Az átlagköltséggörbe, csökkenő szakaszában, a határköltséggörbe alatt, növekvő szakaszában pedig a határköltséggörbe felett helezkedik el. A határköltséggörbe az átlagköltséggörbe szélsőértékénél (annak minimumpontjában) metszi el azt. 3a. Az átlagos állandó költség értéke zérus kibocsátásnál a végtelen felé, a végtelennél pedig zérus felé tart. 3b. Zérus kibocsátásnál az átlagos változóköltség értéke megegezik a határköltség értékével. 4
Az 1. tulajdonság bizonítása triviális, hiszen a teljesköltséggörbe és változóköltség-görbe közötti különbség, definíció szerint, éppen az állandó költség. A 2a. tulajdonság az analízis segítségével können belátható: ha AVC() csökkenő, akkor akkor a deriváltja kisebb vag egenlő nullával, vagis formálisan: 18.8 fólia Természetesen az ellenkező iránú egenlőtlenséget hasonló módon lehet bizonítani, és a szélsőérték esetén fennálló egenlőséget is. 18.9 fólia A 2b. tulajdonság uganezeket a tulajdonságokat fogalmazza meg az átlagköltséggörbére vonatkozóan. A bizonítás is hasonló, azzal a különbséggel, hog a változóköltség-görbe (c v ()) helére a teljesköltséggörbét (c()-t) írjuk, valamint felhasználjuk azt, hog c() deriváltja éppen MC()-vel egenlő. 18.10 fólia Az átlagos állandóköltség-görbe tualjdonságainak (3a.) bizonítása megint csak nagon egszerű: 18.11 fólia A 3b. tulajdonságot, mel kimondja, hog az átlagos változó- költség-görbe és a határköltséggörbe zérus kibocsátás esetén uganazt az értéket veszi fel, a l Hôspital -szabál segítségével láthatjuk be. A következő ábrán összefoglaljuk, hog eg tipikus technológia esetén a fentebb ismertetett tulajdonságok milen költséggörbéket eredméneznek. 18.12 fólia Az 1. tulajdonság következméne, hog az átlagköltség-görbe az átlagos változóköltség-görbe felett található. A 3a. tulajdonság következméneként simul hozzá az AC görbe az AVC-hez, ahog a végtelenbe tart. A 3a. tulajdonság következméne az is, hog az AC görbe a végtelenbe tart, ha a nullához közelít. Az, hog az MC és az AVC görbe az = 0 pontban uganott metszi a függőleges tengelt, az a 3b. tulajdonságból adódik. Végül az, hog az MC görbe a minimumértékénél metszi az AVC, illetve az AC görbét, az a 2a. és a 2b. tulajdonságok következméne. Az átlagköltséggörbék alakja szoros kapcsolatban áll a technológia hozadéki viszonaival. Mint tudjuk eg mindenütt állandó mérethozadékú technológiát a c ( ) = a alakú függvén reprezentálja. Ebből adódik, hog a hozzá tartozó átlagköltségfüggvén konstans: AC ( ) = c( ) / = a. A következő ábra eg 5
állandó, eg növekvő és eg csökkenő mérethozadékú technológiához tartozó költséggörbét és átlagköltséggörbét mutat, illetve eg olan esetet, ahol technológia először növekvő, majd csökkenő hozadékú. 18.13 fólia Az ábrán látható, hog az először növekvő, majd csökkenő mérethozadékú technológia következméne az U-alakú átlagköltséggörbe. 18.14 fólia Az átlagköltséggörbék segítségével ismét szemléltethetjük azt az összefüggést, hog az állandó költség jelenléte kezdetben növekvő hozadékhoz vezet. Képzeljük el, hog a változó-költség-görbénk ( c v () ) csökkenő hozadékú résztechnológiát képvisel. Az AVC görbe ilenkor monoton növekvő. Ha állandó költségek is vannak, akkor az AC görbe az AFC és AVC görbe összege lesz. Minthog azonban a 3a. tulajdonság következtében az AFC értéke a végtelenben elhanagolható, nullában viszont végtelen nag, az AC görbe U-alakú lesz, bár az AVC nem volt az, amint azt a 18.14. ábra szemlélteti. Ennek a résznek a lezárásaként tekintsük a költséggörbéknek eg újabb, az előbbieknél talán kevésbé fontos, de hasznos tulajdonságát! 18.15 fólia Ez az állítás nem mond egebet, mint, hog a változóköltség-görbe értéke ~ -ban megegezik a határköltséggörbe alatti területtel a [ 0, ~ ] intervallum fölött. 18.4 Rövid és hosszú távú költségek A termelési folamat során többnire nem azonos nehézség árán lehet változtatni a különböző termelési ténezők felhasználását. A piac igéneinek megfelelően elég szabadon változtatható bizonos forgóeszközök vag a felhasznált üzemanag mennisége. A munkafelhasználás mértéke már nehezebben változtatható, hiszen időbe telik, míg az adott feladathoz megtalálják a megfelelő embert, illetve amíg az újonnan felvett embert betanítják a megfelelő feladatra. Az elbocsátásokat pedig a különböző munkajogi szabálok teszik nehézkessé. 1 A munkaerőnél is nehezebben változtatható a speciális, nag értékű gépek és berendezések felhasználása. E berendezések beszerzését gakorta hosszas elemzés, esetleg versentárgalás előzi meg. Még ennél is hosszabb időt vesz igénbe a gárépületek kiépítése, átalakítása vag bővítése. 1 Természetesen nag különbségek vannak a különböző minőségű munkafajták között. Kvalifikálatlan mezőgazdasági idénmunkára nem nehéz megfelelő embert találni, és mivel az ilen munkaerő gakran feketén van foglalkoztatva, megszabadulni sem nehéz tőle. Eg megfelelő vállalatvezetőt találni viszont nem egszerű feladat, tőle megszabadulni pedig szintén nehézkes, ha másért nem, a végkielégítések miatt. 6
Közgazdasági szempontból a különböző időtávok megkülönböztetése azon múlik, hog az inputténezők közül melek milen időtáv alatt változtathatók. Nagon rövid távon elképzelhető, hog minden ténező mennisége rögzített, vag csak nagon kevés ténező van, ami változtatható. Nagon hosszú távon valamenni ténező felhasználása változtatható: évek alatt a legnagobb gárat is fel lehet építeni. Hog adott esetben pontosan mi számít rövid vag hosszú, esetleg középtávnak, az minden esetben a konkrét technológiától függ, és a vizsgálódás célja szabja meg, hog milen időtávokat érdemes megkülönböztetnünk. Mivel mi általában kétféle inputot különböztetünk meg, ezért két időtávot, eg rövid és eg hosszú távot fogunk megkülönböztetni. Rövid távon azt értjük, amikor az egik input mennisége rögzített, a másiké szabadon változtatható, hosszú távon pedig azt, hog mindkét input mennisége szabadon változtatható. Hosszú távon emellett még azt is feltehetjük, hog az állandó költségek sem rögzítettek. Hosszú távon mindig fennáll a vállalat számára a lehetőség a piac elhagására, tevékenségének felszámolására. Ilenkor állandó költségek sincsenek. Vizsgáljuk meg, hog miként viszonulnak egmáshoz a rövid és hosszú távú költséggörbék! A hosszú távú költséggörbét a következő már jól ismert feladat definiálja: 18.16 fólia * * Mivel x 1 ( ) és x 2( ) az optimális költségminimalizáló megoldások, természetes, * hog ha x2( ) -t tetszőleges x 2 -re cseréljük, akkor az outputhoz tartozó minimális költségnél (vagis c()-nál) nagobb költséget kapunk. Az is * nilvánvaló, hog ha x 2 éppen megegezik x2( ) -nal, akkor az eredeti c() minimális költséget kapjuk. Amenniben definiálunk eg olan rövid távú költségfüggvént, amiben x ~ 2 = x 2 rögzített, akkor az előbbiekből szükségszerűen adódik, hog: c( ) c (, ~ s x2). Másrészt, ha létezik eg olan * kibocsátási szint, * * ami mellett x 2 ( ) = x2 éppen optimális megoldása lenne a hosszú távú feladatnak * * * is, akkor c( ) = cs(, x2). Mindez azzal a következménnel jár, hog a rövid távú költséggörbe a hosszú távú görbe felett húzódik, és az * pontban érinti azt. Ez természetesen igaz a belőlük származtatott átlagköltséggörbékre is. 18.17 fólia Az előző ábrán jól látható, hog a hosszú távú átlagköltséggörbe alsó burkológörbéje a különböző x 2 szintekhez tartozó rövid távú átlagköltséggörbéknek. A rövid távú átlagköltséggörbe pontosan úg viszonul a rövid távú határköltséggörbéhez, mint a hosszú távú átlagköltséggörbe a hosszú távú határköltséggörbéhez. Az eddig tanultak alapján mindkét esetben elmondhatjuk: a határköltséggörbék a megfelelő átlagköltséggörbék csökkenő szakaszai alatt, illetve növekvő szakaszai felett helezkednek el, továbbá az átlagköltséggörbéket azok minimumpontjaiban metszik el. A következő órán a költséggörbék itt megismert tulajdonságait felhasználjuk a vállalati kínálati görbe meghatározásához. 7
18. előadás ÁLLANDÓ KÖLTSÉGEK ÉS A KÖLTSÉGGÖRBÉK MELLÉKLET Kertesi Gábor Világi Balázs 8
18.1 Origóból induló költséggörbe 9
18.2 Költségfüggvén állandó költséggel ( w,w,) = F( w,w ) c ( w,w,) c 1 2 1 2 + v 1 2 10
18.3 Költségfüggvén állandó költséggel 11
18.4 Állandó mérethozadékú változóköltség-görbe 12
18.5 Csökkenő mérethozadékú változóköltség-görbe 13
18.6 A költséggörbék definíciója Költséggörbe: c() = F + c () Átlagos változóköltség-görbe: Átlagos állandóköltség-görbe: AVC() = AFC () = c v F v () c() Átlagköltséggörbe: AC () = = AFC() + AVC() Határköltséggörbe: MC() = dc() d dcv() = d 14
18.7 A költséggörbék fontosabb tulajdonságai 1 c() c () és AC() AVC() v 2a Ha AVC () csökkenő AVC() MC() Ha AVC () növekvő AVC() MC() Ha AVC () szélsőértéket vesz fel AVC () = MC() 2b Ha AC () csökkenő AC() MC() Ha AC () növekvő AC() MC() Ha AC () szélsőértéket vesz fel AC () = MC() 3a AFC (0) = és AFC ( ) = 0 3b AVC (0) = MC(0) 15
18.8 A 2a tulajdonság bizonítása Definíció szerint: AVC() cv() = (1) Differenciáljuk (1)-et! Ekkor: davc() d cv() c v() cv() = = (2) 2 Ha föltesszük, hog AVC() csökkenő, vagis ha: davc() d akkor (2)-t (3)-ba helettesítve, ezt kapjuk: 0, (3) c v () c 2 v () 0 (4) Szorozzuk végig (4)-et 2 -tel, és rendezzük át! c () c v v () = AVC() (4 ) 16
18.8 A 2a tulajdonság bizonítása (foltatás) Definíció szerint igaz, hog: (5)-öt (4 )-be helettesítve: c v () = c () = MC() (5) c v () c () (4 ) Vagis: AVC() MC() (6) Hasonló módon igazolható az is, ha (3): davc() d davc() d 0 AVC() MC() = 0 AVC () = MC() 17
18.9 A 2b tulajdonság bizonítása Definíció szerint: c() AC () = (1) Differenciáljuk (1)-et! Ekkor: dac() d c() c () c() = = (2) 2 Ha föltesszük, hog AC() csökkenő, vagis ha: dac() d akkor (2)-t (3)-ba helettesítve ezt kapjuk: 0 (3) c() MC () = c () = AC() (4) Analóg módon igazolható a 2b tulajdonság többi eleme is. 18
18.10 A 3a tulajdonság bizonítása AFC(0) = lim 0 F = AFC( ) = lim F = 0 19
18.11 A 3b tulajdonság bizonítása c v () AVC(0) = lim AVC() = lim. 0 0 Mivel a számláló és a nevező határértéke is zérus, a l Hospital-szabált alkalmazzuk: lim 0 c v () = c v () lim 0 () = lim 0 MC() 1 = MC(0) Vagis: AVC (0) = MC(0) 20
18.12 Eg tipikus technológia költséggörbéi és a tulajdonságok, melekből a költséggörbék alakja következik 21
18.13/1 A különböző mérethozadékú technológiákhoz tartozó költséggörbék 22
18.13/2 A különböző mérethozadékú technológiákhoz tartozó költséggörbék 23
18.14 Csökkenő hozadékú változóköltség-görbék 24
18.15 A változó költség és a határköltség kapcsolata 25
18.16 A hosszú és rövid távú költséggörbék kapcsolata A hosszú távú költséggörbe definíciója (rögzített w 1, w 2 mellett): { w x + w x, kf :f(x,x ) } c() = min 1 1 2 2 1 2 =. (1) A feladat megoldása: x 1 () és x 2 (). (2) A költséggörbe definíciójából következik, hog tetszőleges x -vel: 2 x2 2 1x1() w 2x2 c () w + Ha = x (), akkor (3) egenlőségre teljesül.. (3) A rövid távú költséggörbe definíciója (rögzített w 1, w 2 mellett): { w x + w x~, kf :f(x, x~ ) } cs (, x~ 2 ) = min 1 1 2 2 1 2 =, (4) ahol x~ 2 eg tetszőleges rögzített érték. 26
18.16 A hosszú és rövid távú költséggörbék kapcsolata (foltatás) (3)-ból és (4)-ből egüttesen következik, hog: c s 2 () c (, x~ ). (5) = 2 x 2 Ha létezik olan kibocsátás, amel mellett x ( ) épp megoldása lenne a hosszú távú feladatnak, akkor: ( ) = c (, x ). (6) c s 2 Ebből következik az is, hog: LAC() SAC(, x~ 2 ), (7) LAC = Long run Average Cost (AC()) SAC = Short run Average Cost AC (, x~ ) ( s 2 27
18.17 Rövid és hosszú távú átlag- és határköltséggörbék 28