VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK

VÉGTELEN SOROK, HATVÁNYSOROK írta: SZILÁGYI TIVADAR. VÉGTELEN SOROK.. Alapfogalmak, a végtele mértai sor, további példák Az aalízisek a végtele sorok cím fejezete abból a problémából fejl dött ki, hogy mit értsük végtele sok tagú összege. Ezzel a problémával az ember általába a végtele tizedestörtekkel való ismerkedés közbe találkozik el ször. Azt például mide érettségiz ek tudia kell, hogy 0, 3 = 3 0 + 3 00 + + 3 0 + = 3, vagy azt, hogy 0, 9 = 9 0 + 9 00 + + 9 0 + = aélkül, hogy a középe álló végtele sok tagú összegek jeletésével potosa tisztába lehete. Általába, ha (x ) tetsz leges valós számsorozat, akkor kézefekv a következ módo próbáli értelmet adi az x + x + x 3 + + x + végtele összegek: képezzük azt az újabb sorozatot, amelyek -edik tagja egyel a k= x k összeggel, és ha eek va határértéke, akkor a végtele sok tagú összeg deíció szerit legye egyel ezzel a határértékkel. Mit láti fogjuk, aak, hogy hogya deiáljuk a végtele sor fogalmát, semmi jelet sége em lesz, ugyais külö-külö foguk értelmet adi midazokak a kifejezésekek, illetve modatfajtákak, amelyekbe a végtele sor szókapcsolat el fordul. Eek elleére megadjuk a végtele sor fogalmáak egy lehetséges deícióját:.. Deíció. Az (x ) számsorozatból képezett végtele soro azt a redezett párt értjük, amelyek els kompoese az (x ) sorozat, második kompoese pedig az az (s ) sorozat, melyre mide eseté s := k= x k. Az (x ) sorozatból képezett végtele sorak melyek jelölésére a (x ) szimbólumot haszáljuk az -edik tagja az x szám, -edik részletösszege az s szám, részletösszegsorozata az (s ) sorozat... Deíció. Egy végtele sort attól függ e evezük kovergesek, illetve divergesek, hogy részletösszeg-sorozata koverges vagy diverges..3. Deíció. Ha a (x ) végtele sor részletösszeg-sorozatáak va (véges vagy végtele) határértéke, akkor ezt a határértéket a végtele sor összegéek evezzük, és a = x szimbólummal jelöljük.

Szilágyi T.: Végtele sorok, hatváysorok.4. Megjegyzés. Végtele sort em csak a Z + halmazo értelmezett sorozatokból képezhetük: tetsz leges M emegatív egész eseté az M-él em kisebb egészek halmazá értelmezett (x ) sorozatokból is; ekkor persze a feti szummák midegyikébe k = helyett k = M-t l idul az összegzés, és a részletösszeg-sorozat értelmezési tartomáya ugyaaz, mit az (x ) sorozaté..5. Tétel. A (q ) sorozatból képezett végtele sor potosa akkor koverges, ha a q valós szám abszolút értéke kisebb, mit ; mide q (, +) eseté q = q. Bizoyítás. A mértai sorozat els + tagjáak összegére voatkozó képlet szerit mide emegatív egész eseté az -edik ( idex ) részletösszeg { q + s = q, ha q, +, ha q =. Ie a részletösszeg-sorozatra voatkozóa leolvasható el ször is az, hogy q = eseté diverges (határértéke + ), másodszor az, hogy q eseté potosa akkor koverges, amikor az ( q + ) sorozat, vagyis ha q <, harmadszor az, hogy amikor koverges, lévé ebbe az esetbe lim(q + ) = 0, akkor amivel a tétel bizoyítását befejeztük. lim s = q,.6. Megjegyzés. Teljese hasolóa bizoyítható (vagy akár következméyek is tekithet ), hogy a (a q ) végtele sor potosa akkor koverges, ha a = 0 vagy q < ; továbbá, hogy tetsz leges a valós szám és q (, +) eseté aq = a q, és aq = a q q. A fejezet két bevezet példájába éppe ez utóbbi állítás két speciális esetével találkoztuk, q értéke midkét példába /0, a értéke az els be 3, a másodikba 9 volt..7. Deíció. Ha a R és q R, akkor az (a q ) sorozatból képezett végtele sort végtele mértai sorak evezzük. A következ hat példába régi ismer seiket láthatjuk viszot új kötösbe (lásd a Nevezetes sorozat-határértékek cím jegyzetrészletbe található utolsó határértéket, a Lagrage-maradéktagos Taylor-formula következméyeit és a végtele tizedestörtek tárgyalását):.8. Példa. Az (/) sorozatból képezett végtele sor (az úgyevezett harmoikus sor) diverges és összege +..9. Példa. Mide valós x eseté az (x /!) sorozatból képezett végtele sor koverges, és x! = = e x.

Szilágyi T.: Végtele sorok, hatváysorok 3.0. Példa. Mide valós x eseté a (( ) x /()!) sorozatból képezett végtele sor koverges, és ( ) ()! x = cos x... Példa. Mide valós x eseté a (( ) x + /( + )!) sorozatból képezett végtele sor koverges, és ( ) ( + )! x+ = si x... Példa. Mide [/, ]-beli x eseté a (( ) + (x ) /) sorozatból képezett végtele sor koverges, és ( ) + (x ) = l x. =.3. Példa. Ha x 0 emegatív egész és mide pozitív egész k-ra x k 0-él kisebb emegatív egész, akkor az a kijeletés, hogy a emegatív y szám (egyik) végtele tizedestört-el állítása egyeérték azzal, hogy x 0, x x... x..., y = x k 0 k. Az utolsó el tti példához kapcsolódva jegyezzük meg, hogy emsokára (.0.) igazoljuk a következ ket: azokak az x valós számokak a halmaza, amelyekre ez a sor koverges, egyel a (0, ] itervallummal, és a sorösszeg értéke mide ilye x eseté l x. Az els példához kapcsolódva pedig azt tisztázzuk, hogy melyek azok a valós r számok, amelyekre a (/ r ) sor koverges, majd az r = esetbe a sorösszeget is megadjuk..4. Példa (hiperharmoikus sorok). A (/ r ) végtele sor potosa akkor koverges, ha az r kitev -él agyobb. Bizoyítás. Ha r, akkor a mide pozitív egész k eseté feálló /k /k r egyel tleségb l és a + -hez tartó sorozatokra voatkozó miorás kritériumból következik, hogy a vizsgált sor részletösszeg-sorozata + -hez tart. Ha r >, akkor elég a yilvá mooto öv (S ) részletösszeg-sorozat felülr l korlátos voltát bizoyítai. Azt fogjuk megmutati, hogy a p := r jelöléssel az + /p szám fels korlátja a részletösszeg-sorozatak. Legye ugyais k tetsz leges -él agyobb egész, és alkalmazzuk a Lagrage-féle középértéktételt a p kitev j hatváyfüggvéy /p-szeresére az [k, k] itervallumo: [ (k ) p k p] = p p [k p (k ) p ] = c r k > k r, Végezzük k szerit összegzést k = -t l k = -ig ( > egész): p > p [ ] = p p [ (k ) p k p] > k= k= k r = S, ie S < + p.

Szilágyi T.: Végtele sorok, hatváysorok 4.5. Tétel. = =, π 6 = =. π ( ) 8 Bizoyítás. Elég a második állítást bizoyítai, ugyais ha az els sor összegét A-val, -edik részletösszegét s -el jelöljük, akkor a második sor részletösszeg-sorozatáak -edik tagja ( = (k) miatt) s 4 s 4, következésképp a határértéke 3 A, másképpe modva, az els sor összege a 4 4/3-szorosa a második sor összegéek. A második állítás bizoyítása céljából el ször azt igazoljuk, éspedig teljes idukcióval, hogy mide pozitív egész -re = 4 k=. si (k )π + = -re ez azért igaz, mert si π/4 = /. Az idukciós lépés végrehajtása céljából alkalmazzuk az x := (k )π számokra a például mide (0, π/)-beli x-re érvéyes + azoosságot: si x = cos x + si x 4 si x cos x = [ 4 = 4 k= = 4 + = si (k )π + k= [ 4 + si x k= + si (k )π + + cos x ] = [ 4 si x + [ + si (k )π si ( π (k )π + si [ π ( + (k )) ] + ] si ( π x) + ) Mithogy a -él em agyobb pozitív egészek halmazá értelmezett m + (m ) véges sorozat értékkészlete éppe a és + közötti páratla pozitív egészek halmaza, m= si [ π ( + (m )) ] = + k= + ], si (k )π + tehát az állítás helyett + -re is igaz. Abból, hogy mide π/-él kisebb pozitív t-re 0 < si t < t < tg t, reciprokra való áttéréssel és égyzetre emeléssel a következ adódik: si t > t > ctg t = si t si t Az utóbbit alkalmazva (t := (k )π/ + ) 4 k= 4 + (k ) π < = 4 k= következésképpe si (k )π + < 4, ezért k= (. ] t < si t < t +. 4 + (k ) π + < 8 π (k ) <. k= = ) = + 4 k= 4 + (k ) π, Alkalmazva a közrefogási elvet, majd a közrefogott sorozatot beszorozva a π /8 kostassal, azt kapjuk, hogy a részletösszeg-sorozat egy részsorozata tart π /8-hoz, eélfogva a részletösszegsorozat határértéke is csak π /8 lehet.

Szilágyi T.: Végtele sorok, hatváysorok 5.. A kovergecia szükséges feltétele, a Cauchy-féle feltétel, abszolút kovergecia Az alábbi tétel szerit koverges végtele sort csak ullsorozatból lehet képezi..6. Tétel. Ha az (x ) sorozatból képezett végtele sor koverges, akkor lim(x ) = 0. Bizoyítás. Az -edik részletösszeget szokás szerit s -el jelölve, mid az (s ), mid az (s ) sorozat tart a végtele sor összegéhez, emiatt a külöbségük a (x ) sorozat tart a ullához. Az imét említett (/) sor példája mutatja, hogy a lim(x ) = 0 feltétel csak szükséges, de em elégséges feltétele a (x ) végtele sor kovergeciájáak. Ezzel szembe a most bizoyítadó Cauchy-féle kovergeciafeltétel egyszerre szükséges is és elégséges is:.7. Tétel. A (x ) végtele sor potosa akkor koverges, hamide egyes ε pozitív számhoz található olya M pozitív egész, hogy az M < m < feltételekek eleget tev és egészekb l álló (m, ) párokra k=m+ x k < ε. Bizoyítás. Vegyük észre, hogy az utóbbi egyel tleség bal oldalá s s m áll, és alkalmazzuk az (s ) sorozatra a számsorozatok kovergeciájáról szóló Cauchy-féle feltételt; ekkor éppe azt kapjuk, amit akartuk, hisze ha az s s m < ε egyel tleség teljesül az M < m < feltételekek eleget tev párokra, akkor s m s = s s m, illetve s m s m = 0 miatt teljesül az M < m, M < feltételekek eleget tev összes Z + Z + -beli (m, ) párra..8. Deíció. A (x ) végtele sort akkor evezzük abszolút kovergesek, ha a ( x ) végtele sor koverges, és akkor evezzük feltételese kovergesek, ha koverges, de em abszolút koverges..9. Tétel. Mide abszolút koverges végtele sor koverges. Bizoyítás. Ha ( x ) koverges és ε tetsz leges pozitív szám, akkor az el z tétel (mit szükséges feltétel) szerit va olya M pozitív egész, hogy az M < m < feltételekek eleget tev és egészekb l álló (m, ) párokra k=m+ x k < ε; itt a bal oldal ahol a küls abszolútértékjel elhagyható a háromszög-egyel tleség alapjá alulról becsülhet a k=m+ számmal, tehát a Cauchy-féle feltételb l, mit a kovergecia elégséges feltételéb l adódik, hogy a (x ) végtele sor koverges..0. Megjegyzés. A most bizoyított tétel em fordítható meg: a hamarosa bizoyítadó Leibiz-tételb l (.47.Tétel) következik, hogy például a (( ) /) sorozatból képezett végtele sor koverges, de mit már tudjuk em abszolút koverges. x k

Szilágyi T.: Végtele sorok, hatváysorok 6 Most megézzük, hogy a megszámlálhatóa végtele sok tagú összeg fogalmát sikerült-e úgy értelmezük, hogy számértéke e függjö a tagok sorredjét l. Nevezzük a (x ) végtele sor átredezéseiek az olya (x p ) alakú sorozatokból képezett végtele sorokat, amelyekre a (p ) sorozat a pozitív egész számok halmazáak ömagára való ijektív leképezése... Tétel (Riema-féle átredezési tétel). Mide feltételese koverges végtele sorhoz és az α β feltételek eleget tev R-beli (α, β) redezett párok midegyikéhez található a sorak olya átredezése, melyre teljesül az, hogy az átredezett sor részletösszeg-sorozatáak alsó határértéke α, fels határértéke β. Bizoyítás vázlata. A feltételes kovergecia egyszer következméye, hogy egyrészt a sorak végtele sok pozitív és végtele sok egatív tagja va, másrészt, ha az -edik egatív tagot x -el és az -edik emegatív tagot y -el jelöljük, akkor a x, y végtele sorok divergesek és összegük, illetve +. Rögzítsük egy α-hoz tartó (a ) és egy β-hoz tartó (b ) sorozatot úgy, hogy mide pozitív egész -re max{a, a + } b legye. Például: ha α = β =, akkor a := b :=, ha α = β = +, akkor a :=, b := +, ha α = és β = +, akkor a := és b :=, ha α = és β valós, akkor a := β és b := β, ha α valós és β = +, akkor a := α és b := α +, végül ha α és β egyarát valós, akkor a := α, b := β. Rekurzív módo deiáljuk a (q ), (p ) idexsorozatokat, potosabba a (q, p ) párok sorozatát, majd az átredezett sort abból a sorozatból képezzük, amelyek az értelmezése a következ : a sorozat els q tagja x, x,..., x q, a következ p számú tag: y, y,..., y p, a következ q q számú tag: x q +,..., x q, a következ p p tag: y p +,..., y p, és így tovább. A q 0 := p 0 := 0 megállapodás mellett mide pozitív egész -re legye q a legkisebb olya q -él agyobb i egész, amelyre i x k + k= p k= y k < a és p a legkisebb olya p -él agyobb j egész, amelyre q k= x k + j y k > b k= (azért létezik ilye i és j, mert k= x k = és k= y k = + ). Ekkor tehát az átredezett sor (s ) részletösszeg-sorozatára a következ k teljesülek: s q+p < a s q +p és s q+p b < s q+p. Az utóbbiakból 0 < a s q +p x q és 0 < s q +p b y p, következésképpe s q+p α és s q+p β adódik, ugyais az eredeti sor kovergeciája miatt mid az (x ), mid az (y ) sorozat ullsorozat, így ezek részsorozatai is ullsorozatok. Abból, hogy az (s ) sorozatak egy-egy részsorozata tart α-hoz, illetve β-hoz, következik, hogy em lehet sem α-ál agyobb lokális alsó, sem β-ál kisebb lokális fels korlátja. Ezek utá elég azt igazoli, hogy α eseté mide α-ál kisebb A szám lokális alsó, és β + eseté mide β-ál agyobb B szám lokális fels korlátja az (s ) sorozatak. Rögzítsük egy A (A, α) és egy B (β, B) számot. 0 > x 0, 0 y 0, a α és b β miatt va olya m pozitív egész, melyre teljesül, hogy az (x ) sorozatak az m-él agyobb idex tagjai agyobbak mit A A, az (y ) sorozatak az m-él agyobb idex tagjai kisebbek mit B B, az (a ) sorozatak az m-él

Szilágyi T.: Végtele sorok, hatváysorok 7 agyobb idex tagjai agyobbak, mit A, és a (b ) sorozatak az m-él agyobb idex tagjai kisebbek, mit B. Ekkor az (s ) sorozatak legfeljebb az els q m + p m tagja lehet kisebb mit A, és legfeljebb az els q m + p m tagja lehet agyobb mit B. A tétel yilvávaló következméye, hogy ha egy végtele sor mide átredezése koverges, akkor ez a sor abszolút koverges. Az alábbi tételb l következik, hogy utóbbi állítás meg is fordítható... Tétel. Egy végtele sor potosa akkor abszolút koverges, ha mide átredezése koverges, abszolút koverges sor mide átredezése abszolút koverges, abszolút koverges sor mide átredezéséek ugyaayi az összege. Bizoyítás. I. El ször az abszolút koverges sorok átredezéseiek abszolút kovergeciáját igazoljuk. Tegyük fel, hogy (x ) abszolút koverges és (p ) a pozitív egészek halmazáak ömagára való ijektív leképezése. Az x p sorozatból képezett végtele sor koverges voltát a Cauchykritérium segítségével igazoljuk. Legye ε tetsz leges pozitív szám, N olya pozitív egész, amelyre az N < m < feltételekek eleget tev (m, ) idexpárok midegyikére k=m+ x k < ε, N p pedig a legagyobb olya i pozitív egész, amelyre p i N. Ha az i, j egészekre N p < i < j, akkor az i, j-beli k egészek midegyikére p k agyobb, mit N, ezért x pi + x pi+ +... + x pj < ε, hisze m := mi{p k : k i, j} > N, és ez az összeg az := max{p k : k i, j} jelöléssel felülr l becsülhet a k=m+ x k összeggel. II. Ha vola olya em abszolút koverges sor, melyek mide átredezése koverges, akkor, tekitve, hogy maga az eredeti sor is átredezése saját magáak, ez a végtele sor feltételese koverges vola, tehát az el z tétel szerit voláak diverges átredezései (legye α < β!). III. Legye (x ) abszolút koverges, (p ) a pozitív egészek halmazáak ömagára való ijektív leképezése, A az eredeti sor összege, továbbá mide pozitív egészre s := x k és S := k= x pi. Az (S ) sorozat A-hoz tartását kell igazoluk. Vegyük tetsz leges ε pozitív számot; ehhez egy olya N pozitív egészt, amelyre egyrészt s N A < ε/, másrészt az N < i < j feltételek eleget tev i, j egészek párjaira x i +... + x j < ε/ (az A szám deíciója szerit s A, a (x ) sor abszolút koverges volta miatt pedig a ( x ) sor teljesíti a Cauchy-féle kovergeciafeltételt). Az N szám utóbbi tulajdosága miatt bárhogy vesszük az (x ) sorozatak véges számú N-él agyobb idex tagját, ezek összegéek abszolút értéke (s t még e tagok abszolút értékeiek összege is) kisebb, mit ε/. A (p ) sorozat értékkészlete a feltétel szerit egyel az összes pozitív egészek halmazával, így va N számú N-él em agyobb tagja eek a sorozatak, jelöljük e tagok idexeiek legagyobbikát M-mel, erre tehát teljesül az, hogy i > M eseté p i > N, és persze az is, hogy M N. Ezek szerit mide M-él agyobb egészre az y := S s N szám el áll az (x ) sorozat véges számú olya tagjáak összegekét, amelyek idexe agyobb, mit N, ezért az imét tett megjegyzésük szerit az abszolút értéke kisebb, mit ε/, következésképp a háromszögegyel tleségb l ezt kapjuk: S A = S s N + s N A y + s N A < ε/ + ε/ = ε. i=

Szilágyi T.: Végtele sorok, hatváysorok 8.3. Végtele sor kovergeciája és az alapm veletek.3. Tétel. Ha az (x ) sorozatból képezett végtele sor koverges és c tetsz leges valós szám, akkor (cx ) is koverges és cx = c = x. Bizoyítás. A (cx ) végtele sor részletösszeg-sorozata éppe a c-szerese a (x ) végtele sor részletösszeg-sorozatáak, tehát alkalmazható a koverges sorozat kostasszorosáról szóló tétel..4. Tétel. Ha mid az (x ), mid az (y ) sorozatból képezett végtele sor koverges, akkor ugyaez modható az (x + y ) végtele soról is, és (x + y ) = = = x + = y. Bizoyítás. A (x + y ) végtele sor részletösszeg-sorozata egyel az x k + k= sorozattal, tehát koverges, és határértéke egyel a másik két részletösszeg-sorozat határértékéek összegével..5. Megjegyzés. Egy (x y ) alakú sorozatból képezett végtele sor kovergeciájához em eleged a (x ) és (y ) végtele sorok kovergeciája. Leibiz kés bb bizoyítadó tételéb l (.47.Tétel) következik például, hogy (( ) / ) koverges, ebb l és az.8.példából következik, hogy x := y := ( ) / jó ellepélda. A Cauchy-féle kritérium kétszeri alkalmazásával szükséges feltételkét az ( y ), elégséges feltételkét az ( x y ) sorozatból képezett végtele sorra alkalmazva igazolható viszot, hogy ha (x ) korlátos és (y ) abszolút koverges, akkor (x y ) abszolút koverges. A (x y ) végtele sor kovergeciájához persze em is szükséges az, hogy a (x ) és (y ) végtele sorok közül akár csak az egyik koverges legye, amit jól mutat az x := y := / példa..4. Végtele sorok szorzata A végtele sor kovergeciája és szorzás témaköréhez kapcsolódik aak a kérdések a vizsgálata is, hogy mit lehet modai a ( m i=0 ) ( m ) x i y j = j=0 k= y k = (i,j) 0,m x i y j (0, m := 0, m 0, m) azoosságak a végtele sok tagú összegek esetére való általáosításáról. Ebbe a szakaszba a végtele sorokat midig a emegatív egészek halmazá értelmezett sorozatokból képezzük, a emegatív egészek halmazát N-el jelöljük, idexsorozato emegatív egész tagú, szigorúa mooto öv sorozatot értük.

Szilágyi T.: Végtele sorok, hatváysorok 9.6. Deíció. A (z ) végtele sor (m ) idexsorozathoz tartozó zárójelezésé (vagy zárójelezett sorá) az N m k=m + z k (m := ) sorozatból képezett végtele sort értjük. (w ) zárójelezése a (z ) végtele sorak, ha valamely idexsorozathoz tartozó zárójelezése. Vegyük észre, hogy az (m ) idexsorozathoz tartozó zárójelezés -edik részletösszege az eredeti sor m -edik részletösszege, tehát a zárójelezett sor részletösszeg-sorozata részsorozata az eredeti sor részletösszeg-sorozatáak. Ebb l következik, hogy ha a (z ) végtele sorak va összege, és ez A, akkor bármely zárójelezéséek is va, és az is A. Diverges sorak is lehetek koverges zárójelezett sorai, például legye z := ( ), m := + : az eredeti sor em ullsorozatból képezett sor, tehát diverges, a zárójelezett sor mide tagja ulla, tehát koverges..7. Deíció. A (x ) és (y ) végtele sorok szorzatsorai azok a (x i() y j() ) alakú sorok, ahol az i : N N, j : N N függvéyekre teljesül az, hogy az (i(), j()) hozzáredelés bijekció N és N N jözött. Arról va szó tehát, hogy a szorzatsorokat f ϕ alakú sorozatokból képezzük, ahol f az (i, j) x i y j hozzáredeléssel értelmezett N N R függvéy, ϕ pedig tetsz leges N N N bijekció. Vagy kissé pogyolább módo fogalmazva: olya sorozatokból, amelyekek a tagjai az x i y j alakú szorzatok valamilye sorredbe. Most szorzatsorok két evezetes fajtájáról és ezek bizoyos zárójelezett sorairól lesz szó. A fogalmak megértését talá köyebbé teszi, ha a precíz deíciók midegyike el tt egy kissé lazább fogalmazású változatot közlük. A (x ) és (y ) végtele sorok tégláyszorzata az x 0 y 0 + (x 0 y + x y + x y 0 ) + (x 0 y + x y + x y + x y + x y 0 ) +... + +(x 0 y + x y +... + x y + x y + x y +... + x y + x y 0 ) +..., a Cauchy-szorzatuk pedig az x 0 y 0 + (x 0 y + x y 0 ) + (x 0 y + x y + x y 0 ) +... + (x 0 y + x y +... + x y + x y 0 ) +... végtele sor..8. Deíció. A (x ) és (y ) végtele sorok tégláyszorzatá, illetve Cauchy-féle szorzatá az N x i y j, illetve az N max{i,j}= sorozatból képezett végtele sort értjük. A (x ), (y ) végtele sorok egy szorzatsorát akkor evezzük égyzetes típusúak, ha ulladik tagja x 0 y 0, a következ három tagból álló sorozat vagy (x 0 y, x y x y 0 ), vagy (x y 0, x y, x 0 y ), a következ öt tagb l álló sorozat vagy (x 0 y, x y, x y, x y, x y 0 ), vagy (x y 0, x y, x y, x y, x 0 y ), és így tovább, és akkor evezzük Cauchy-típusúak, ha ulladik tagja x 0 y 0, a következ két tagja x 0 y és x y 0 akármilye sorredbe, a következ három tagja x 0 y, x y és x y 0 akármilye sorredbe, és így tovább. i+j= x i y j

Szilágyi T.: Végtele sorok, hatváysorok 0.9. Deíció. A (x ), (y ) végtele sorok egy szorzatsorát akkor evezzük égyzetes típusúak, ha ulladik tagja x 0 y 0, és az ( + ) =: m jelöléssel mide pozitív egész -re az m -él agyobb de m -él em agyobb idex tagjaiak halmaza az max{i, j} = feltételek eleget tev x i y j alakú szorzatok halmaza, és ezek a tagok vagy az vagy az sorredbe követik egymást. x 0 y, x y,..., x y, x y,..., x y 0, x y 0, x y,..., x y, x y,..., x 0 y.30. Deíció. A (x ), (y ) végtele sorok egy szorzatsorát akkor evezzük Cauchy-típusúak, ha az ( + )( + )/ =: m idexsorozathoz tartozó zárójelezése a Cauchy-szorzat, vagyis ha a ulladik tagja x 0 y 0 szorzat, és mide pozitív egész -re az m -él agyobb de m -él em agyobb idex tagjaiak halmaza az i + j = feltételek eleget tev x i y j alakú szorzatok halmaza. Kezdjük két pozitív és egy egatív eredméyel az imét bevezetett speciális szorzatokkal, illetve szorzatsorokkal kapcsolatba..3. Tétel. Ha (x ) és (y ) koverges, összegük A, illetve B, akkor a két sor tégláyszorzata is, és midegyik égyzetes típusú szorzatsora is koverges, és mideze sorok összege AB. Bizoyítás. Foglalkozzuk el ször a tégláyszorzattal. Bevezetve az a := x k, b := jelöléseket, a két sor tégláyszorzatáak -edik (azaz idex ) részletösszege egyel a b -el, és koverges sorozatok szorzata tart a határértékek szorzatához. Áttérve tetsz leges égyzetes típusú szorzatsorra, legye ε akármilye pozitív szám, K olya pozitív szám, amely mide emegatív egész eseté agyobb az a, b számokál (mide koverges sorozat korlátos), N pedig olya pozitív egész, amelyek a égyzetét l kezdve mide k egészre x k < ε/(4k), y k < ε/(4k) (mide koverges sor ullsorozatból képezett sor) és a k b k AB < ε/4. Ha k (N + ) és az a pozitív egész, amelyre k < ( + ), akkor > N és a vizsgált soruk idex részletösszege a b, ami bee va AB ε/4 sugarú köryezetébe, így elég azt igazoli, hogy a sor k idex és idex részletösszege külöbségéek abszolút értéke felülr l becsülhet a 3ε/4 számmal. Ha 0 k =: i, akkor a égyzetes típusú szorzatsor deíciója szerit a két részletösszeg külösége a i y vagy b i x alakú, eek abszolút értéke < ε/4 (az els téyez abszolút értéke K-val, a másodiké ε/(4k)-val becsülhet felülr l). Ha < i, akkor a vizsgált külöbség vagy a y + x (y +... + y i ) = a y + x b x b i (b := 0), vagy b x + y a y a i (a := 0), eek abszolút értékét midkét esetbe a háromszög-egyel tleséggel lehet becsüli, midhárom tag abszolút értéke kisebb, mit ε/4. y k

Szilágyi T.: Végtele sorok, hatváysorok.3. Lemma. Ha (x ) abszolút koverges végtele sor és (z ) ullsorozat, akkor lim x k z k = 0, s t: mide pozitív ε-hoz található olya N pozitív egész, melyt l kezdve mide -re a feti összeg tetsz leges számú tagjáak abszolútérték-összege kisebb, mit ε. Bizoyítás. Legye ε tetsz leges pozitív szám, K pedig olya pozitív szám, amely agyobb a ( z ) sorozat midegyik tagjáál, továbbá a x sorösszegél is. A Cauchy-kritérium és (z ) ullához tartása alapjá válasszuk olya m pozitív egészt, amelyél agyobb egészek midegyikére z < ε és x m+ +... + x < ε K K. Mide m-él agyobb egészre m > m, így az alábbi els összeg mide tagjába a második téyez idexe agyobb mit m, ezért m x k z k + k=m+ x k z k m x k z k + k=m+ x k z k < ε K m x k +K k=m+ x k < ε + ε. Nyilvávaló, hogy ez a godolatmeet a lemma kiegészít állítását is bizoyítja: ha az abszolútértékösszeg éháy tagját elhagyjuk, azzal ezt az összeget em öveljük..33. Tétel (Mertes tétele). Ha (x ) abszolút koverges, összege A, (y ) koverges és összege B, akkor a két sor Cauchy-féle szorzata is koverges és összege AB, s t, ugyaez érvéyes a két sor akármelyik Cauchy-típusú szorzatsorára. Bizoyítás. Az els, illetve a második sor részletösszeg-sorozatát jelölje (a ), illetve (b ). A Cauchy-szorzat -edik részletösszege x 0 y 0 + (x 0 y + x y 0 ) + (x 0 y + x y + x y 0 ) +... + (x 0 y +... + x y 0 ) = x 0 b +x b +...+x b +x b 0 = a B +x 0 (b B)+x (b B)+...+x (b B)+x (b 0 B). Ezek szerit a részletösszeg-sorozat el áll az AB-hez tartó (a B) sorozat, és egy a lemma szerit 0-hoz tartó sorozat összegekét (z := b B). Legye a tetsz leges Cauchy-típusú szorzatsor részletösszeg-sorozata (s ), legye ε > 0 és ehhez N olya küszöbidex, amelyt l kezdve mide k egészre a k B AB < ε/3, k x i (b k i B) < ε 3, i=0 és az x 0 y k, x y k,..., x k y 0 szorzatok közül tetsz leges számúak az összege kisebb, mit ε/3. A második és a harmadik követelméy a lemma (z := b B), illetve a lemma kiegészít állítása (z := y ) szerit érhet el. Ha j (N + )(N + )/, és az a pozitív egész, amelyre ( + )( + )/ j < ( + )( + 3)/, akkor N, az m := ( + )( + )/ jelöléssel s m éppe a Cauchy-szorzat -edik részletösszege. Ezért, felhaszálva a bizoyítás els részébe látható átalakítást, valamit azt, hogya választottuk az N számot: az els és a második követelméyt az alábbi három tagú összeg harmadik, illetve második tagjáak becsléséhez (k:=), a harmadik követelméyt az alábbi els tag becsléséhez tudjuk haszáli (k:=+), ebb l adódik. s j AB s j s m + s m a B + a B AB < ε 3 + ε 3 + ε 3

Szilágyi T.: Végtele sorok, hatváysorok.34. Megjegyzés. El fordulhat, hogy két koverges végtele sor Cauchy-szorzata még csak em is ullsorozatból képezett végtele sor, tehát diverges. Például, ha x := y := ( ) / +, akkor a szorzatsor midegyik tagjáak abszolút értéke legalább, ugyais a evez kbe lév mértai közepeket a számtai közepekkel felülr l becsülve, k, illetve k + idex tagok esetébe k+ k + i= i(k + i) k +, illetve k+ k + i= i(k + 3 i) k + 3 >..35. Tétel. Bármely két abszolút koverges sor midegyik szorzatsora abszolút koverges, és midegyik szorzatsoráak összege egyel a két sorösszeg szorzatával. Bizoyítás. Az els állítást elég emegatív tagú sorokra bizoyítai, hisze ez a speciális eset aztá alkalmazható az abszolútérték-sorozatokból képezett sorokra. Az el z két tétel alapjá tudjuk, hogy emegatív tagú koverges sorokak vaak koverges szorzatsorai, persze ezek is emegatív tagúak, tehát abszolút kovergesek is. Két végtele sor bármely két szorzatsora közül egyik a másikak átredezése, hisze ha (x ) és (y ) a két végtele sor, f : N N R az (i, j) x i y j hozzáredelés, a szorzatsorok pedig az f ϕ, illetve az f ψ sorozatból képezett sorok, ahol persze a szorzatsor deíciójáak megfelel e, ϕ és ψ bijekciók N és N N között, akkor f ψ = (f ϕ) (ϕ ψ), és ϕ ψ bijekció N és N között. Ebb l az.. Tétel alapjá következik, hogy midegyik szorzatsor abszolút koverges. Mertes tétele szerit a szorzatsor összegére voatkozó állítás a Cauchy-típusú szorzatsorokra igaz, s ha újra felhaszáljuk, hogy bármely szorzatsor átredezése egy Cauchy-típusúak, akkor ismét elég az.. Tételre hivatkozi..5. A kovergecia és a divergecia elégséges feltételei Az alábbi tételt összehasolító (kovergecia)kritériumak, majorás kritériumak, vagy Weierstrass-kritériumak szokták evezi..36. Tétel. Ha az (x ) és (y ) sorozatokra teljesül a következ két feltétel: (a) valamely M küszöbidex fölötti mide egyes egészre x y, (b) a (y ) végtele sor koverges, akkor a (x )végtele sor abszolút koverges. Bizoyítás. A Cauchy-féle feltételt, mit elégséges feltételt (.7) fogjuk alkalmazi az ( x ) sorozatra. Legye tehát ε tetsz leges pozitív szám; a (b) feltételb l és a.7. Tételb l, mit szükséges feltételb l következik egy olya M küszöbidex létezése, melyre az M < m < feltételekek eleget tev mide egyes (m, ) idexpár teljesíti a k=m+ y k < ε egyel tleséget. Legye max{m, M } =: M < m < ; ekkor k=m+ x k = k=m+ x k k=m+ y k = k=m+ y k < ε kihaszálva, hogy az x k, valamit a áluk em kisebb y k számok emegatívak.

Szilágyi T.: Végtele sorok, hatváysorok 3.37. Következméy (háyados-majorás kritérium). Ha (z ) pozitív tagú koverges végtele sor, N pedig olya pozitív egész, amelyt l kezdve mide k egészre x k+ x k akkor a (x ) végtele sor abszolút koverges. z k+ z k, Bizoyítás. A feltételbe szerepl egyel tleséget tetsz leges N-él agyobb mellett k = N-re, k = N + -re,..., k = -re felírva, majd összeszorozva ezeket, azt kapjuk, hogy mide N-él agyobb -re x x N z z N, ezért alkalmazhatjuk az el z tételt az ( x N /z N )z (=: y ) majorás sorozattal. Az alábbi tételt összehasolító (divergecia)kritériumak, vagy miorás kritériumak evezzük..38. Tétel. Ha az (x ) és (y ) sorozatokra teljesül a következ két feltétel: (a) valamely M küszöbidex fölött mide egészre x y, (b) akkor = x = +, = y = +. Bizoyítás. Azt bizoyítjuk, hogy az (y ) sorozat részletösszeg-sorozatáak tagjai (az M+ küszöbidext l kezdve) alulról becsülhet k egy + -hez tartó sorozat ugyaolya idex tagjaival, éspedig az (x ) sorozat részletösszeg-sorozatáak és egy kostas sorozatak az összegével: ha > M egész, akkor k= y k M y k + k= tehát az iméti állításuk valóba teljesül. k=m+ x k = M (y k x k ) + k= x k,.39. Következméy (háyados-miorás kritérium). Ha (z ) pozitív tagú diverges sor, N pedig olya pozitív egész, amelyt l kezdve mide k egészre y k > 0 és akkor a (y ) sor is diverges. y k+ y k z k+ z k, Bizoyítás. A feltételbe szerepl egyel tleséget tetsz leges N-él agyobb mellett k = N-re, k = N + -re,..., k = -re felírva, majd összeszorozva ezeket, azt kapjuk, hogy mide N-él agyobb -re y z, y N z N ezért alkalmazhatjuk az el z tételt az (y N /z N )z (=: x ) miorás sorozattal..40. Tétel (gyökkritérium). Legye (x ) valós számsorozat; I. ha az ( x ) sorozatak va -él kisebb lokális fels korlátja, akkor a (x ) végtele sor abszolút koverges, II. ha végtele sok -re x, akkor a (x ) végtele sor diverges, s t, (x ) em ullsorozat. k=

Szilágyi T.: Végtele sorok, hatváysorok 4 Bizoyítás. I. A tétel feltétele szerit va olya q (0, ) és M küszöbidex, melyél agyobb egészek midegyikére x q, így a tétel els állítása az összehasolító kritériumból következik. II. A feltétel szerit mide pozitív egész M-hez található olya M-él em kisebb, melyre x, azaz x, ezért (x ) em lehet ullsorozat (ε = -hez ics jó küszöbidex). Az alábbi tételbe a vizsgált végtele sor abszolút kovergeciája ismét egy koverges mértai sorral való majorálhatóságból következik..4. Tétel (háyadoskritérium). Ha az (x ) sorozat mide tagja ullától külöböz, és az ( x + /x ) sorozatak I. va -él kisebb lokális fels korlátja, akkor a (x ) végtele sor abszolút koverges, II. lokális alsó korlátja az szám, akkor a (x ) végtele sor diverges, s t, (x ) em ullsorozat. Bizoyítás. I. Legye q (0, ) és M Z + olya, hogy mide M-él agyobb k egész eseté x k+ /x k q, azaz x k+ q x k. Ha az így adódó egyel tleséget valamely M-él agyobb eseté felírjuk mide egyes k M, egészre, majd az utóbbiakat összeszorozzuk, végül a közös téyez ket midkét oldalról elhagyjuk, akkor ezt kapjuk: x q M x M = x M q M q. Tehát ha a jobb oldal els téyez jét c-vel jelöljük, akkor alkalmazható az összehasolító kritérium az y := c q szereposztással. II. A feltételb l következik, hogy valamely M-t l kezdve mide -re x + x, így az ( x ) sorozatak az Z [M, + ) halmazra való lesz kítése (pozitív tagú és) mooto öv, ezért em lehet ullsorozat. A gyökkritériumak, illetve a háyadoskritériumak többyire csak azt a speciális esetét alkalmazzuk, amelybe fel va téve, hogy a megfelel segédsorozatak va határértéke:.4. Következméy. I. Ha valamely (x ) sorozatra létezik a lim( x ) =: A határérték, akkor az A < feltétel eleged a (x ) sor abszolút kovergeciájához, míg az A > feltétel eleged a (x ) végtele sor divergeciájához. II. Ha valamely (x ) sorozat tagjai 0-tól külöböz k és létezik a lim( x + / x ) =: A határérték, akkor az A < feltétel eleged a (x ) sor abszolút kovergeciájához, míg az A > feltétel eleged a (x ) végtele sor divergeciájához. Bizoyítás. Ha A <, akkor a határérték deícióját célszer egy ( A)-ál kisebb ε hibakorlátra alkalmazi; egy ehhez választott M küszöbidexre és a q := A+ε számra alkalmazható a.40., illetve a.4. Tétel I. állítása. Ha A (, + ), akkor ayiba módosul a helyzet, hogy a hibakorlátot (A )-ek célszer választai, s az el z két tétel egyikéek persze em az I., haem a II. állítását kell alkalmazi. Végül az A = + esetbe a + -hez tartó sorozat deícióját alkalmazzuk a K := korláttal, majd ismét az el z két tétel egyikéek II. állítását..43. Megjegyzés. Mid a lim( x ) =, mid a lim( x + /x ) = feltételek eleget tev sorozatok között va olya is, melyre (x ) koverges, és olya is, melyre (x ) diverges (lásd a (/ p ) alakú végtele sorokat a.4.példába). Az x + / x esetbe (is) el fordulhat, hogy az alább tétel segítségével el lehet dötei a végtele sor abszolút kovergeciájáak kérdését:

Szilágyi T.: Végtele sorok, hatváysorok 5.44. Tétel (Raabe-kritérium). Tegyük fel, hogy mide pozitív egész -re a > 0, és legye ( ) a R :=. a + I) Ha az (R ) sorozatak va -él agyobb lokális alsó korlátja, akkor a (a ) végtele sor koverges, II) ha az szám lokális fels korlátja az (R ) sorozatak, akkor a (a ) végtele sor diverges. Bizoyítás. I) A feltétel szerit va olya pozitív r és olya pozitív egész N, amelyél em kisebb k egészek midegyikére ( ) ak k + r. a k+ Található olya (N-él em kisebb) M küszöbidex is, amelyt l kezdve mide k-ra + r > k ( ( + ) +r ) = k ( + k) +r k (ugyais az utóbbi egyel tleség jobb oldalá álló sorozat határértéke + r, ami az átviteli elvb l, valamit abból a téyb l következik, hogy az + r kitev j hatváyfüggvéy deriváltja az helye + r), ezért mide k N eseté ( a k + ) +r = a k+ k ( k + k ) +r, azaz a k+ a k (k+) +r. k +r Ie a (a ) végtele sor kovergeciája a háyados-majorás kritérium (.37) alapjá adódik: a majorás sor -edik tagja / +r. II) Az R k egyel tleség átredezésével most azt kapjuk, hogy a k /a k+ (k + )/k, azaz mide k N egészre a k+ a k k k+ k k + = Ie, a ( ) sor pozitív tagú diverges voltából, és a háyados-miorás kritériumból (.39) következik, hogy a végtele soruk diverges..45. Következméy. A tétel jelöléseit haszálva, tegyük fel, hogy létezik a lim(r ) =: A. Ha A >,akkor a végtele sor koverges, ha A <, akkor a végtele sor diverges..46. Példa. Az ( α ) =: a sorozatból képezett végtele sor potosa akkor koverges, ha α 0. Bizoyítás. Ha α emegatív egész, akkor az (a ) sorozatak az α-ál agyobb idex tagjai mid ullával egyel k, így a részletösszeg-sorozat azért koverges, mert egy küszöb fölött kostas. Ha α midegyik emegatív egészt l külöböz valós szám, akkor az (a ) pozitív tagú sorozat, s megmutatjuk, hogy a hozzá tartozó Raabe-féle (R ) segédsorozat koverges: ha > α, akkor a = + a + α = α + α + α. = + α + α,

Szilágyi T.: Végtele sorok, hatváysorok 6 ezért R = (α + ) α α +, tehát az el z Következméy szerit a bizoyítást befejeztük. A további elégséges feltételek már csak a kovergeciára adak elégséges feltételt, az abszolút kovergecia vizsgálatára em alkalmasak..47. Tétel (Leibiz tétele). Ha (x ) olya számsorozat, amely teljesíti a következ három feltételt: (a) (x ) ullsorozat, (b) ( x ) mooto, (c) mide pozitív egész -re x x + < 0, akkor I. (x ) koverges, II. Mide Z + eseté k= x k Bizoyítás. Legye mide pozitív egész -re s := k= x k x +. x k, a := s, b := s. k= A (c) feltételb l következik, hogy az (x ) sorozatak vagy mide páratla idex tagja pozitív és mide páros idex tagja egatív, vagy mide páratla idex tagja egatív és mide páros idex tagja pozitív. Foglalkozzuk egyel re az utóbbi esettel. I. Ekkor mide -re a + a = x + + x = x + + x 0 (egy emegatív tagú mooto ullsorozat biztosa mooto fogyó), b + b = x + + x + = x + x + 0 és b a = x = x 0, tehát az (a ), (b ) sorozatok teljesítik a Cator-féle axióma feltételeit, s t, lim(x ) = 0 miatt még a közöspottétel feltételeit is. E két sorozatak va tehát egy közös c határértéke. Ebb l következik, hogy c = lim(s ) (ha valamely ε hibakorlát eseté az (a ), (b ) sorozatokhoz jó a közös M küszöbidex, akkor az (s ) sorozathoz jó a M küszöbidex). II. Becsüljük meg el bb a páratla, majd a páros idex részletösszegekek a c-t l való eltérését: s c = c a b a = x, s c = b c b a + = x + = x +. Ha mide -re x = ( ) + x, akkor a ( x ) sorozatra alkalmazhatjuk az eddig bizoyítottakat; ezek utá felhaszálva azt a téyt, hogy a ( x ) végtele sor részletösszeg-sorozata a ( s ) sorozat abból, hogy lim(s ) = lim( s ), illetve s lim(s ) = s ( lim(s )) x + = x +, következik az I., illetve a II.állítás az (x ) sorozatra voatkozóa is..48. Megjegyzés. A bizoyításból kiolvasható, hogy ha ( x ) szigorúa mooto fogyó, akkor a II. egyel tleségbe a jelet kicserélhetjük <-re (ugyais ha a Cator-féle közöspottételbe szerepl (a ), (b ) sorozatok szigorúa mooto sorozatok, akkor a zárt [a, b ] itervallumok egyetle közös potja a yílt (a, b ) itervallumokak is eleme).

Szilágyi T.: Végtele sorok, hatváysorok 7.49. Következméy. Mide t (, 0) eseté az ( t ) =: x sorozatból képezett végtele sor koverges. Bizoyítás. Mide emegatív egész -re x + x = t + = + t + + (, 0), tehát (x ) teljesíti Leibiz tételéek (b) és (c) feltételét. Aak bizoyítása céljából, hogy az (a) feltételt is teljesíti, vagyis azt, hogy ( x ) ullsorozat, a(z -él agyobb számokból képezett) többtéyez s szorzat esetére általáosított Beroulli-egyel tleséget alkalmazzuk, valamit azt a téyt, hogy az k= sorozat határértéke +, s így a reciproka ullsorozat: k = ( ) t =! t t... t + [ (t + ) + (t + )] [ (t + ) + (t + )]... [ (t + ) + (t + )] [ (t + )] [ (t + )]... [ (t + )] = k= [ ] t + + k (t + ) + (t + ) k= = k (t + ) t + k A most bevezeted fogalom a következ két tételbe fog szerephez juti..50. Deíció (korlátos változású számsorozat). Az (x ) számsorozatot akkor evezzük korlátos változásúak, ha az (x + x ) sorozatból képezett végtele sor abszolút koverges..5. Megjegyzés. Ha (x ) korlátos változású, akkor koverges, hisze a ( x + x ) sor kovergeciájából következik a (x + x ) sor kovergeciája, és az utóbbi az x + x sorozat kovergeciáját jeleti..5. Feladat. Bizoyítadó, hogy egy számsorozat potosa akkor korlátos változású, ha el állítható két koverges mooto öv sorozat külöbségekét. A bizoyításhoz segítségkét ayit jegyzük meg, hogy ha (x ) korlátos változású és a := k= x k x k (x 0 := 0), akkor az a x sorozat mooto öv..53. Tétel (Dirichlet tétele). Ha az (y ) sorozat (s ) részletösszeg-sorozata korlátos, és (x ) korlátos változású ullsorozat, akkor mid a (s (x x + )), mid a (x y ) végtele sor koverges, s a hozzájuk tartozó sorössszegek egyel k. Bizoyítás. A s (x x + ) végtele sor abszolút koverges (.5.), tehát koverges. Bevezetve az s 0 := 0 jelölést, mide pozitív egész k-ra y k = s k s k, ezért k=. = x k y k = x k (s k s k ) = x k s k x k s k = x k s k x k+ s k = k= k= k= k= k= k=

Szilágyi T.: Végtele sorok, hatváysorok 8 következésképp lim k= x k y k = lim x s + = x s + s k (x k x k ), k= s k (x k x k+ ) = k= s k (x k x k+ ). k=.54. Következméy. Ha (x ) korlátos változású ullsorozat (például mooto ullsorozat), és t R, akkor mid az (x si t), mid az (x cos t) sorozatból képezett végtele sor koverges. Bizoyítás. A t si kt függvéy mide pozitív egész k eseté π szerit periodikus, ezért feltehet, hogy 0 t < π, s t, a t = 0 esetet is kizárhatjuk a továbbiakba, hisze ekkor a sor kovergeciája triviális módo teljesül (a részletösszeg-sorozat azoosa ulla). Dirichlet tétele szerit elég azt igazoli, hogy mid a (si t), mid a (cos t) sorozat részletösszeg-sorozata korlátos. Kokréta azt lehet igazoli, hogy midkét esetbe midegyik részletösszeg abszolút értéke felülr l becsülhet a si t/ szám reciprokával. Legye például y := si t, ekkor si kt = si t si kt si t = [ ( si t cos k k= k= k= = si t cos t ( cos + ) t [ si t cos t + cos ) t cos ( + ) ] t ( k + ) t] si t. Ha y := cos t, akkor a részletösszegek abszolút értékéek becslése közbe em a si kt si t szorzatot alakítjuk át a kosziuszfüggvéyre voatkozó addíciós képlet segítségével, haem a cos kt si t szorzatot a sziuszfüggvéyre voatkozó addíciós képlet segítségével..55. Tétel (Abel tétele). Ha a (y ) végtele sor koverges és (x ) korlátos változású sorozat, akkor a (x y ) végtele sor koverges. Bizoyítás. Az el z tétel bizoyítását az utolsó lépésig másolhatjuk, majd ott a lim(x s ) helyébe em a 0 számot, haem a téyez k határértékeiek szorzatát, vagyis a k= y k sorösszegek és a lim(x ) számak a szorzatát írhatjuk.. HATVÁNYSOROK Ebbe a fejezetbe az x paramétert tartalmazó (a (x c) ) alakú sorozatokból képezett végtele sorokkal foglalkozuk, ezeket evezzük hatváysorokak. Itt sorozato általába a emegatív egészek halmazá értelmezett függvéyt értük. Vizsgáli fogjuk, hogy adott (a ) sorozat (együtthatósorozat) és c R (a hatváysor középpotja) eseté mit lehet állítai azokak az x valós számokak a KH c (a ) halmazáról, amelyekre ez a végtele sor koverges (ezt a hatváysor kovergeciahalmazáak evezzük, ie a KH rövidítés), milye tulajdoságai vaak a KH c (a ) x a k (x c) k =: S(x) függvéyek, melyet a hatváysor összegfüggvéyéek evezük, majd azt vizsgáljuk, hogy kokréta adott f függvéyhez és c számhoz lehet-e találi, s ha ige, hogya lehet találi olya (a ) sorozatot, amelyre a feti S függvéy éppe az f-et, vagy aak egy lesz kítését adja. =

Szilágyi T.: Végtele sorok, hatváysorok 9.. Deíció. Ha egy hatváysor együttható-sorozata (a ), akkor a hatváysor kovergeciasugarát így értelmezzük, illetve jelöljük: R(a ) := 0, ha ( a ) felülr l em korlátos, ha ( a ) ullsorozat, ha lim sup( a ) pozitív szám. +, lim sup( a ),.. Tétel (CauchyHadamard-tétel). Bármely (a ) valós számsorozat, c R és x R eseté I. x c < R(a ) (a (x c) ) abszolút koverges, II. x c > R(a ) (a (x c) ) diverges. Bizoyítás. Mithogy yilvá KH c (a ) = {c} + KH 0 (a ), az általáosság csorbítása élkül feltehet, hogy c = 0. I. Legye x < R(a ) és K ( x, R(a )). A kovergeciasugár deíciójába szerepl három eset közül az els most em állhat fe (a emegatív x em lehet kisebb, mit 0), de az ( a ) sorozat fels határértéke akár ulla, akár pozitív szám, /K lokális fels korlátja eek a sorozatak, mert agyobb a fels határértékéél, így az -él kisebb x /K szám lokális fels korlátja az ( a x ) = ( x a ) sorozatak, amib l a gyökkritérium alapjá adódik az állítás. II. Tegyük fel most, hogy x > R(a ). Ekkor x szükségképpe pozitív szám, és a reciproka kisebb, mit lim sup( a ), ezért / x em lehet lokális fels korlátja az a ) sorozatak, azaz végtele sok pozitív egészre teljesül az / x < a ( < x a ) egyel tleség. Ie ismét a gyökkritériumból ezúttal mit divergeciakritériumból következik az állítás. E tétel utá elméletileg csak két yitott kérdés maradhat a kovergeciahalmaz melyet ett l kezdve kovergeciaitervallumak is evezhetük meghatározását illet e, az is csak akkor, ha R := R(a ) pozitív szám, evezetese az, hogy a c ± R számok bee vaak-e a kovergeciahalmazba. Mide egyes pozitív R eseté mid a égy variáció el fordulhat, például: KH 0 ( R KH 0 ( ( ) R ) ( ) = [ R, R], KH 0 = [ R, R), R ) ( ) R = ( R, R], KH 0 = ( R, R), abba a három esetbe, ahol a feti formula evez je = 0 eseté ullát ada, értelmezzük a ulladik tagot például ulláak. Az összegfüggvéy (egy lesz kítéséek) diereciálhatóságáról szóló tétel el készítéseképpe megmutatjuk, hogy bármely hatváysor kovergeciasugara megegyezik a bel le tagokéti k-szoros deriválással származtatható k-adik derivált sor kovergeciasugarával:.3. Lemma. Bármely (a ) valós számsorozat és mide egyes k pozitív egész eseté R(a ) = R ( a +k ) k ( + i) i=. Bizoyítás. k szeriti teljes idukciót alkalmazuk. k = eseté, amikor azt kell igazoli, hogy R(a ) = R(( + )a + ), el ször az R(( + )a + ) R(a ) egyel tleséget bizoyítjuk, vagyis azt, hogy mide valós x-re x < R(( + )a + ) x R(a ), amihez az el z tétel szerit elég azt igazoli, hogy ha az x helye a derivált sor abszolút koverges, azaz (( + ) a + x ) koverges, akkor a ( a x ) sor is koverges. Abból, hogy a derivált sor az x helye abszolút

Szilágyi T.: Végtele sorok, hatváysorok 0 koverges, következik, hogy a (( + ) a + x + sor is koverges, ami egyeérték azzal, hogy a ( a x ) végtele sor koverges, ie a majorás kritérium alapjá következik, hogy a a x végtele sor is koverges. Idirekt úto folytatjuk: tegyük fel, hogy R(( + )a + ) < R(a ), és rögzítsük e két kovergeciasugár között egy p, és egy ála agyobb r számot. Ekkor q := p/r (0, ) miatt q 0, ezért va olya N küszöbidex, amely fölött mide egészre q, következésképpe ( p ) a p = a r a r. r Ie a majorás kritérium segítségével következtethetük arra, hogy a ( a p ) sor koverges, vagyis arra, hogy a (( + ) a + p + ) sor koverges, tehát a (( + ) a + p ) sor koverges, ami elletmod az el z tételek, hisze p agyobb a derivált sor kovergeciasugaráál. Ha egy k pozitív egészre az állítás igaz, akkor alkalmazhatjuk a k = esetre bizoyítottakat az a k := k a +k i= sorozathoz tartozóval, ami éppe azt jeleti, hogy az állítás k helyett k + -re is igaz. ( + i) sorozatra: az ehhez tartozó kovergeciasugár egyel az ( + )a k + = a k+.4. Tétel. Ha a (a (x c) ) hatváysor kovergeciasugara em ulla, akkor az összegfüggvéye végtele sokszor diereciálható a kovergeciaitervallumáak belsejébe, és a derivált függvéyeket tagokéti deriválással kaphatjuk, potosabba: ha k pozitív egész és u c < R(a ), akkor S (k) (u) = ( )... ( k + )a (u c) k = =k [ k ] ( + i) a +k (u c). Bizoyítás. I. El ször az egyszeres diereciálhatóságot, és az els deriváltra voatkozó formulát igazoljuk. Most is feltehetjük, hogy c = 0, hisze ha a c = 0-hoz tartozó összegfüggvéyt S 0 - lal jelöljük, akkor az S(x) = S 0 (x c) azoosságból és S 0 diereciálhatóságából következik S diereciálhatósága, és az, hogy S (x) = S 0(x c). Legye tehát u tetsz leges bels potja a kovergeciaitervallumak, azaz legye u < R(a ), rögzítsük egy olya r pozitív számot is, amelyre u + r < R(a ), végül vezessük be az A := a u = jelölést. A tétel el tt bizoyított lemma szerit ez egy jól deiált valós szám, azt kell igazoluk, hogy S 0 diereciálható az u helye és S 0(u) = A. Ha az eredeti sor együtthatósorozatára és k = - re a lemmát, majd a (0 középpotú) második derivált sorra a CauchyHadamard-tételt alkalmazzuk, akkor azt kapjuk, hogy a második derivált sor abszolút koverges az u + r helye. Vagyis az = (( + )( + ) a + ( u + r) ) sorozatból képezett végtele sor koverges, ami akár úgy is kifejezhet, hogy az ( ( ) a ( u + r) ) = sorozatból képezett végtele sor koverges. Jelöljük az utóbbi sor összegét B-vel. Mide - él agyobb egész eseté alkalmazzuk a másodred maradéktagos Taylor-formulát az x x i=