. feladatsor () Határozzuk meg a következő területi itegrálokat a megadott téglalapoko: ( (x + y) dx dy, ahol T : x, y 3. ( T T x si y dx dy, ahol T : x, 2 y 3. (2) Határozzuk meg a következő területi itegrálokat a megadott halmazoko: x ( dx dy, y A ahol A az y = x, y = 2x, x =, x = 2 egyeesek által határolt trapéz. ( (x 2 + y 2 ) dx dy, H ahol H az a háromszög amiek csúcspotjai (, ), (, ) és (, ). (3) Vázold az itegrálási tartomáyt és számítsd ki a területi itegrált! ( ( 2 x 2 x+2 2y y dy dx (4) Számísd ki az alábbi itegrálokat! ( (x + y) dx dy, ahol A = {(x, y) x, y, x 2 + y 2 4}, A (az origo középpotú, 2 sugarú körlap, első egyedbe eső része.) ( x2 y 2 dx dy, ahol A = {(x, y) x, x 2 + y 2 4}, A (az origo középpotú, és 2 sugarú körvoalak által határolt körgyűrű bal félsíkba eső része.) (5) Számoljuk ki az alábbi térfogatokat. ( A 2x + y + z = 2 sík által az első oktásból levágott háromszög alapú gúla térfogata. ( Az x 2 + y 2 = hegerpalást és a z = és z = 3 x y síkok által határolt csoka heger térfogata.
2. feladatsor. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét!, 3 2. 5 log 2 d) 2 + 3 + e) 2 2 + 3 + 4 + f) + g) ( + ) h) ( 2 ) i) ( + ) 3 2. Az alábbi a sorozatokra, add meg s = a i értékeit ha =, 2, 3, 4. Tippeld meg mi lesz s határértéke. i= a = 2 a = a = 2 + 3. A q < háyadosú végtele mértai sor összegét: = q = q összegképletét haszálva add meg az alábbi sorok ( ) = 5 =2 3 2 4 + 5 = 9 4. Kovergesek-e a következő sorok? Haszáld a következő tesztek valameyikét: -ik tag -hoz tart-e; háyados-kritérium; itegrál-kritérium. d) = = 2! e) = = 2 2 3 f) = = 2 l Példa: a = 3. 2 3 4... a 8 27 64... s 9 36...
3. feladatsor. Számoljuk ki a következő hatváysorok kovergecia sugarát: ( + )x = ( ) x = = (2)! (!) 2 x 2. Adjuk meg az alábbi függvéyek T (x) Taylor poliomjait körül =, 2, 3, 4 értékeire és adjuk meg a körüli Taylor-sorukat! l( + x) x d) cos x 2 + x 3. Fejtsük hatváysorba az f(x) = x 2 + x + függvéyt -körül; -körül. 4. Legye f(x) = x. Add meg f(x) körüli Taylor-sorát! Add meg f (x) körüli Taylor-sorát! Add meg xf (x) körüli Taylor-sorát! d) Add meg a = umerikus sor értékét! 3 5. Add meg az alábbi függvéyek Taylor soráak első három em-ulla tagját a Taylor formula alapjá! ( + x) /3 si 2 x x 6. Add meg az alábbi függvéyek Taylor soráak első három em-ulla tagját! (Vezesd vissza a feladatot az alapfüggvéyek ismert Taylor-sorára.) x x + x 2 x + l( x) x 2 d) cos(2x) e) e x2 f) si x x
Bevezető matematika kémikusokak 2. 27. ősz 4. feladatsor. Számoljuk ki az A + B, A B, 2A + 3B mátrixokat, ahol 2 3 4 2 A = 4 2, B = 5 3 2 5 2 2 2 3 2. Számoljuk ki az AB BA mátrixot, ha 2 3 A = 2 3 2, B = 2 4 5 3 3. Legye 3 2 2 3 4 A = 2 3, B = 2 4 3 4 5 6 5 6 2 ( Melyik mátrix szorzás végezhető el az alábbiak közül? ( Számoljuk ki a C = AB szorzatot. AB, BA, A T B, B T A 4. Számoljuk ki a következő determiások értékét: 2 2 det 3 2 2 2 det 2 2 2 2 2 3 3 5. Számoljuk ki a következő mátrixok iverzét: ( ) 2 3 2 2 A = A = 2 A = 4 2 2 5 2 d) A =
5. feladatsor 5, 6,, 7. Az A = 2 3 mátrix iverze A =, 6, 4, 2. 4 9, 2, 3, Oldd meg az Ax = b egyeletet, ha 3 b = b = 2 4 2. Legye A = [ ] [ ]. A következő vektorok közül melyek sajátvektorai az A mátrixak? 3 [ ] [ ] d) [ ] 2 e) [ ] 2 3. Keressük meg az alábbi mátrixok sajátértékeit és sajátvektorait: [ ] [ ] 2 2 A = B = C = 2 3 [ ] 4. Keressük meg az alábbi mátrixok sajátértékeit és sajátvektorait: 2 2 2 2 A = B = C = 2 3 [ ] 2 5. Legye A =. Határozzuk meg a A,A 2 2, A, A és A 3I sajátértékeit és sajátvektorait.
6. feladatsor. Oldjuk meg a következő szétválasztható változójú (szeparálható) differeciálegyeleteket! Elleőrizzük a megoldást! ( x 2 )y + ( y 2 ) = xy + y 2 = x + yy = xy(y xy ) d) y 2 ( + x) + x 2 ( y)y = 2. A kemecéből kivett keyér hőmérséklete 2 perc alatt C ról 6 C-ra csökke. A levegő hőmérséklete 25 C. A hűtés kezdetétől számítva meyi idő alatt csökke a keyér hőmérséklete 3 C-ra? 3. Oldjuk meg a következő elsőredű lieáris differeciálegyeleteket! Elleőrizzük a megoldást! y y x = 2x2 + x y + y = e x y + 2xy = d) y + y tg x = si 2x 4. Az ember perc alatt átlag 8 szor lélegzik, midayiszor 2 cm 3 levegőt lehel be és ki. A kilehelt levegő 4 % CO 2 -t tartalmaz. Egy 4 m 3 térfogatú előadóterembe 5 személy tartózkodik. A szellőzőberedezések l perc alatt 4 m 3 friss levegőt szállítaak. (A friss levegő, 4% CO 2 t tartalmaz). Állítsuk fel differeciálegyeletet ami ezt modellezi. Oldjuk meg a diffeereciálegyeletet!
7. feladatsor. Adott egy oldat, mely etil-acetátot és átrium-hidroxidot tartalmaz. A két ayag között az alábbi egyesúlyra vezető reakció megy végbe: CH 3 CO 2 C 2 H 5 + NaOH C 2 H 5 OH + CH 3 CO 2 Na a reakciótermékek: átrium-acetát és etil-alkohol. A kiidulási ayagok kezdeti kocetrációja: c a (etil-acetát) =.mol/dm 3, c b (átrium-hidroxid) =, 2mol/dm 3. Az etil-acetát kocetrációja 23 perc alatt %-kal csökke. A kémiai egyeletből látható, hogy a reakcióba az ayagok : aráyba veszek részt. Ha m(t) jelöli a t időpotig a reakcióba résztvevő etil-acetát illetve átrium- hidroxid ayagmeyiségét, K pedig a reakció egyesúlyiálladója, akkor a folyamatot a dm = K(a m)(b m) dt differeciálegyelet írja le. Meyi idő alatt csökke a kocetráció 5 %-kal? 2. Oldjuk meg a következő álladó együtthatós lieáris differeciálegyeleteket! Elleőrizzük a megoldást! y + y = y 5y + 6y = y 6y + 9y = d) y y 6y = x 2 e) 4y + 4y + 37y = si x f) y 4y = e x 3. Oldjuk meg a következő differeciálegyeletredszereket! Elleőrizzük a megoldást! ẋ y z = ẋ y z = 2 ẏ 5x y + z = ẏ x z = 2 ż y z = ż x y = 2 4. Állítsuk fel az alábbi reakciók differeciálegyelteit! k H 2 2H C 2 H 4 + H k 2 C 2 H 5 E + S k k ES C 2 H 5 + H k 3 C 2 H 6 ES k 2 E + P 5. Valamely A ayag felbomlik két ayagra: P -re és Q-ra. Az egyes ayagok keletkezéséek sebessége aráyos a még fel em bomlott ayag meyiségével. Legye x és y a P, illetve a Q ayagak a t időpotig keletkezett meyisége. Határozzuk meg ezekek a változási szabályát, ha tudjuk, hogy a kezdeti pillaatba x =, y =, órával később pedig x = 3 8 a, y = 8 a, ahol a az A ayag kezdeti meyisége.
Bevezető matematika kémikusokak 2. 27. ősz 8. feladatsor. Számoljuk ki a következő térgörbék éritőiek egyeletét a megadott helyeke: r(t) = (t 3)i + (t 2 + )j + t 2 k r(t) = si t i + cos t j + cos t k t = 2 P (,, ) 2. Határozzuk meg az alábbi síkgörbék ívhosszát: y = x (ciklois) (arkhimédeszi spirális) x a x = r(t si t) y = r( cos t) t 2π r = aϕ ϕ 2π 3. Határozzuk meg az alábbi felületek éritősíkjait az adott helyeke: r(u, v) = (u 2 v)i + (u v 3 )j (u + v) k; u = ; v = 2 z = x 2 + y 2 ; x = ; y = 2 4. Számoljuk ki az alábbi felületdarabok felszíét: r(u, v) = u cos v i + u si v j + u k; z = x2 2y ; x ; y 2 u ; v π 5. Számoljuk ki a következő skalármezők gradiesét. Itt r = xi + yj + zk, és a egy rögzített álladó vektort jelöl: u(r) = a r u(r) = a r u(r) = r 2 + d) u(r) = r 2 r
9. feladatsor. Számoljuk ki a következő vektormezők derivált tezorját, divergeciáját és rotációját, itt a egy rögzített álladó vektort jelöl: v(r) = r a v(r) = (a r) r v(r) = r a 2. Határozd meg az alábbi kifejezések értékét! ( f, ahol f(x, y, z) = x 2 + y cos(xz) ( rot F ahol F = zi + zj + k ( div G ahol G = e x si y i + y cos y j + arctg x k (d) div rot H, ahol H = si(x 2 y) i + l(x 4 + z 4 ) j + (z+)exy z 2 +25 k 3. Határozd meg, hogy az alábbi vektormezők kozervatívak-e, és add meg a poteciálfüggvéyt ha létezik. ( X = x i + x j ( X = 3x 2 y 2 i + 2x 3 y j ( X = 2xy i + x 2 + 2yz j + y 2 + 2z k (d) X = 3x 2 z i + z 2 j + x 3 + 2yz k 4. Határozd meg az alábbi voalitegrálok értékét! ( C y dx + x dy, ahol C az r(t) = cos ti + si tj, t π ( C F dr, ahol F = grad exyz és C az r(t) = te t i + j + si tk, t π/2. 5. Határozzuk meg az alábbi voalitegrálokat: ( (x 2 2xy) dx + (y 2 2xy) dy C : y = x 2 ( x ) ( ( C C C (x + y) dx + (x y) dy C : a 2 + y2 b 2 = { x = a cos t y dx + z dy + x dz C : y = a si t z = bt 6. Határozzuk meg a primitív függvéyt: ( dz = (x 2 + 2xy y 2 ) dx + (x 2 2xy y 2 ) dy ( du = (x 2 2yz) dx + (y 2 2xz) dy + (z 2 2xy) dz x 2 t 2π
. zh. mitafeladatok. Legye D az y = x 2 4x + 3 és y = x grafikook által közbezárt tartomáy. Határozza meg az x dxdy kettős itegrál értékét! D 2. Legye D = {(x, y) : x 2 + y 2 4}. Határozza meg az x 2 + y dxdy 2 kettős itegrál értékét! 3. Határozza meg a határértéket és a végtele sor összegét! 3. lim 2 + 5, =? D = 2 + ( 3) 7 =? 4. ( Add meg a f(x) = l(cos x) függvéy másodredű Taylor poliomját körül. ( Add meg a g(x) = e x2 függvéy Taylor sorát. 2 2 5. Adottak az A = 2 és B = 3 4 mátrixok. 3 2 Számítsa ki az AB BA mátrixot! Számítsa ki a det A determiást! 5, 6,, 7 6. Az A = 2 3 mátrix iverze A =, 6, 4, 2. 4 9, 2, 3, Oldja meg az Ax = b egyeletet, ha 3 b = b = 2 4 ( ) 6 7. Határozza meg az M = mátrix sajátértékeit és sajátvektorait! 8
Bevezető matematika kémikusokak 2. 26. tavasz Zárthelyi-2 ( ) 6. Add meg a mátrix sajátértékeit és sajátvektorait! 2 7 ( ) 28 45 2. A WolframAlpha szerit az M = mátrix sajátértékei λ 8 29 = 2 és λ 2 =. ( ) ( ) 3 5 A λ -hez tartozó sajátvektor v =, a λ 2 2 -hez tartozó sajátvektor v 2 =. Eze 3 iformációk felhaszálásával add meg az redszer általáos megoldását! ẋ + 28x 45y = ẏ + 8x 29y = 3. A forrásba levő vízből kivett tojás hőmérséklete 5 perc alatt C ról 6 C-ra csökke. A levegő hőmérséklete 2 C. A hűtés kezdetétől számítva meyi idő alatt csökke a tojás hőmérséklete 3 C-ra? 4. Add meg az alábbi differeciálegyelet általáos megoldását! y 4y + 3y = x + 5. Határozd meg az alábbi kifejezések értékét! ( rot F ahol F = y 2 i + z 2 j + x 2 k ( div G ahol G = e x si y i + e x cos y j + xyz k 6. Határozd meg az t [, π/2] görbe. C 2x dx + 2y dy, voalitegrál értékét, ahol C az r(t) = cos t i + si t j, 7. Határozd meg, hogy az alábbi vektormezők kozervatívak-e, és add meg a poteciálfüggvéyt ha létezik. ( X = e y i + (xe y + ) j ( X = (2x 3) i z j + cos z k