Megoldások. 25. x y Aszimptoták: y = ±x 29. Aszimptoták: y = ±x. 31. Aszimptoták: y = ±2x 33. Aszimptoták: y = ± x 2

Hasonló dokumentumok
Írja át a következő komplex számokat trigonometrikus alakba: 1+i, 2i, -1-i, -2, 3 Végezze el a műveletet: = 2. gyakorlat Sajátérték - sajátvektor 13 6

Kétváltozós függvények ábrázolása síkmetszetek képzése által

Többváltozós analízis gyakorlat, megoldások

Koordinátarendszerek

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és

1) Adja meg a következő függvények legbővebb értelmezési tartományát! 2) Határozzuk meg a következő függvény értelmezési tartományát!

Matematikai analízis II.

7. Kétváltozós függvények

VIK A3 Matematika, Gyakorlati anyag 2.

Matematika II. Feladatgyűjtemény GEMAN012B. Anyagmérnök BSc szakos hallgatók részére

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx

15. Többváltozós függvények differenciálszámítása

Egyváltozós függvények differenciálszámítása II.

MAGYARÁZAT A MATEMATIKA NULLADIK ZÁRTHELYI MINTAFELADATSOR FELADATAIHOZ 2010.

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!

Kettős és többes integrálok

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Függvények. 1. Nevezetes függvények A hatványfüggvény

Inverz függvények Inverz függvények / 26

Gyakorló feladatok a 2. zárthelyihez. Kidolgozott feladatok

Teljes függvényvizsgálat példafeladatok

1 1 y2 =lnec x. 1 y 2 = A x2, ahol A R tetsz. y =± 1 A x 2 (A R) y = 3 3 2x+1 dx. 1 y dy = ln y = 3 2 ln 2x+1 +C. y =A 2x+1 3/2. 1+y = x.

5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11

A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss)

cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4

Matematika OKTV I. kategória 2017/2018 második forduló szakgimnázium-szakközépiskola

Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport

Elemi függvények. Nevezetes függvények. 1. A hatványfüggvény

Többváltozós függvények Feladatok

Statika gyakorló teszt I.

Másodfokú függvények

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

Bodó Bea, Somonné Szabó Klára Matematika 2. közgazdászoknak

1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?

Kettős integrál Hármas integrál. Többes integrálok. Sáfár Orsolya május 13.

NULLADIK MATEMATIKA szeptember 7.

Az f ( xy, ) függvény y változó szerinti primitív függvénye G( x, f xydy= Gxy + C. Kétváltozós függvény integrálszámítása. Primitívfüggvény.

A fontosabb definíciók

10. Differenciálszámítás

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET

0, különben. 9. Függvények

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok

Matematika III előadás

A Descartes derékszög½u koordinátarendszert az i; j; k ortonormált bázis feszíti ki. Egy

Felületek differenciálgeometriai vizsgálata

Feladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =

A statika és dinamika alapjai 11,0

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy

ANALÍZIS II. Példatár

Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7.

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,

Szabadsugár. A fenti feltételekkel a folyadék áramlását leíró mozgásegyenlet és a kontinuitási egyenlet az alábbi egyszerű alakú: (1) .

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n

Többváltozós függvények Riemann integrálja

Koordináta-geometria alapozó feladatok

Kalkulus II., harmadik házi feladat

6. Folytonosság. pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények

Analízis II. gyakorlat

2014/2015. tavaszi félév

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Matematika I. NÉV:... FELADATOK:

1. Lineáris transzformáció

Matematika III előadás

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek

Analízis III. gyakorlat október

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Kalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt

Kalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat

Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )

1. Analizis (A1) gyakorló feladatok megoldása

A fő - másodrendű nyomatékok meghatározása feltételes szélsőérték - feladatként

A loxodrómáról. Előző írásunkban melynek címe: A Gudermann - függvényről szó esett a Mercator - vetületről,illetve az ezen alapuló térképről 1. ábra.

Líneáris függvények. Definíció: Az f(x) = mx + b alakú függvényeket, ahol m 0, m, b R elsfokú függvényeknek nevezzük.

Gyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz

a.) b.) c.) d.) e.) össz. 4 pont 2 pont 4 pont 2 pont 3 pont 15 pont

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék. oktatási segédanyag

Kinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek

Analízis IV. gyakorlat, megoldások

Serret-Frenet képletek

Mechanika. II. előadás március 4. Mechanika II. előadás március 4. 1 / 31

Dierenciálgeometria feladatsor

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek

1 2. Az anyagi pont kinematikája

8. előadás. Kúpszeletek

(x + 1) sh x) (x 2 4) = cos(x 2 ) 2x, e cos x = e

I. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25)

HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai

a térerősség mindig az üreg falára merőleges, ezért a tér ott nem gömbszimmetrikus.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Megjegyzés: jelenti. akkor létezik az. ekkor

Átírás:

Megoldások. fejezet.... Kúpszeletek és másodfokú egenletek. = 8, F,, vezéregenes: = 5. + = 7. Aszimptoták: = ± 9. Aszimptoták: = ±. = 6, F, /, vezéregenes: = / 5. 9 =, F±,, V±,, aszimptoták: = ± 7. + =, F±,, V±, 9... Aszimptoták: = ±. Aszimptoták: = ±. 5. 5. = 7. 9 6 = 9. a tengelpont:,, fókusz:,, vezéregenes: = 7. 9.

5 Megoldások. a fókuszok: ± 7,; tengelpontok: 8, és,, középpont:, 7. 77. + 7 7+ = 79. + + =. A pont a kör belsejében van. 8. :. a centrum:, ; fókuszok: 7, és,, tengelpontok: 6, és,; aszimptoták: = ± 8. Hosszúság:, szélesség:, terület: 85. π 87.,6/π.. Kúpszeletek osztálozása ecentricitásuk alapján. e = /5, F±,, = ±5/. e = /, F,±, = ± 5. e = /, F,±, = ± 5. + = +, V,, F,, vezéregenes: = 7. = 8+7, V, 7, F, 5, vezéregenes: = 9 + 9. 6 + + 9 =, F ±, V,±, C, 5. + =, F, és F,, V± +,, C, 5. 5 =, C,, F5, és F,, V, és V,; aszimptoták: = ± 5 55. + + =, C,, F, és F,, V, és V, ; aszimptoták: + = ±+ 57. C,, a = 59. V,, F, 6. Ellipszis: + 5 + =, C,, F, és F,, V 5, és V 5, 6. Ellipszis: + =, C,, F, és F,, V +, és V +, 65. Hiperbola: =, C,, F+, és F,, V, és V,; aszimptoták: = ± 67. Hiperbola: 6 =, C,, F,6 és F,, V, 6+ és V, 6+; aszimptoták: = + vag = + 69. 7. 7. e = /, F±,, = ± 9. 7 + 6 =. 85 + 9 =. e = 5, 9 + = 5. e = /, 6 + 8 = 9. + 9 =, F,+± 5, e = 5/, = ±9 5/5. a =, b =, c =, e = /. e =, F±,, = ±/ 5. e =, F,±, = ± 7. e = 5, F±,, = ±/ 9. e = 5, F,±, = ±/. 8 =. 8 = 5. e =, 8 8 = 7. e =, = 9. 6 6 5 =.. Másodfokú egenletek és forgatások. hiperbola. ellipszis 5. parabola 7. parabola 9. hiperbola. hiperbola. ellipszis 5. ellipszis 7. =, hiperbola 9. + 6 =, parabola. =, párhuzamos egenesek. + 8 =, parabola 5. + = 9, ellipszis 7. sinα = / 5, cosα = / 5

. fejezet kiválasztott feladatainak megoldásai 5 9. A =,88, B =,, C =,, D =,7, E =,, F = ;88 +, +,7, =, ellipszis. A =,, B =,, C = 5,, D =, E =, F = 5; 5, 5 = vag = ±,, párhuzamos egenesek. A = 5,5, B =,, C =,5, D = 5,7, E = 6,8, F = ; 5,5,5 5,7 6,8 = =, hiperbola 5. a b + a = a b = c + = a d = m e = m + b m. = a bcosθ + bcos a b b θ = a bsinθ bsin a b b θ 5. = asin t tgt, = asin t 7.,.5. Polárkoordináták. a, e; b, g; c, h; d, f. 7. a = = a. a parabola 5. a hiperbola a c d, π + nπ és, π +n+π, n egész szám, nπ és,n + π, n egész szám, π + nπ és, π +n+π, n egész szám,n + π és, nπ, n egész szám c =, = + 5. a,, c, d, e, f, g, h, 7. 9... Kúpszeletek és paraméteres egenletek; a ciklois.... 5. 7. 5. 7. 9.. 9... =, a, ponton átmenő függőleges egenes 5. =, az -tengel 7. =, a, ponton átmenő vízszintes egenes 9. + =, egenes, m =, b =

5 Megoldások. + =, kör, C,, a sugár. -tengel, -tengel, origó. = 5, egenes, m =, b = 5 5. =, parabola, tengelpontja a, pont, jobbról nitott 7. = e, a természetes alapú logaritmusfüggvén grafikonja 9. + = ±, két egenes vonal, meredekségük, az - tengelt a b = ± pontokban metszi. + + =, kör, C,, sugár. + = 6, kör, C,, sugár 5. + =, kör, C,, sugár 7. + = 9. r cosθ = 7 5. θ = π/ 5. r = vag r = 55. r cos θ + 9r sin θ = 6. -tengel, -tengel, origó 5. origó 7. A,π/ pontban a meredekség, a, π/ pontban, r = + cos 57. r sin θ = cosθ 59. r = sinθ 6. r = 6r cosθ r sinθ 6 6.,θ, ahol θ valamilen szög, 9. Az,π/ pontban a meredekség, a, π/ pontban, a,π/ pontban, az, π/ pontban.6. Ábrázolás polárkoordinátákban. -tengel. -tengel. a 5. -tengel 7. -tengel. a 9. -tengel, -tengel, origó 5. 7.

. fejezet kiválasztott feladatainak megoldásai 55.,,,π/,,π/ 5..,,,π/,, π/ 5.,±π/6,,±5π/6 7., π/,, 5π/,, π/,, 7π/. a 5. = 6 9.7. Terület és hosszúság polárkoordinátákban. 8π. π/8 5. π 7. 9. 5π 8. π π. + 5. π 9 7. a π 9. 9/. 8. +ln+ π 5. 8 + 8 7. π 9. π. π 7. 56 a, 57. Bolgó Perihélium Afélium Merkúr,75 AU,667 AU Vénusz,78 AU,78 AU Föld,98 AU,67 AU Mars,87 AU,666 AU Jupiter,95 AU 5,58 AU Szaturnusz 9, AU,57 AU Uránusz 8,977 AU,6 AU Neptunusz 9,85 AU,65 AU Plútó 9,659 AU 9,5 AU 59. a + =, =.8. Kúpszeletek polárkoordinátákban. r cosθ π/6 = 5, = +. r cosθ π/ =, = / 5. = 7. = /+ 9. r cos θ + π =. r cos θ π = 5. r = 8cosθ 5. r = sinθ 7. C,, a sugár = 9. C,π, a sugár =. 6 + = 6, r = cosθ. + 5 = 5, r = sinθ 6. r = /+cosθ 6. A tűk egmástól cm-re legenek. 65. r = asinθ kör 67. r cosθ a = p egenes Gakorló feladatok.. 5. + + =, r = cosθ 7. ++/ = /, r = sinθ 9. r = /+cosθ. r = / 5sinθ. r = /+cosθ 5. r = /5 sinθ 7. 9. 5. e = / 7. e =.. 9. =, V,, F,; vezéregenes: = 6 +. 9 + +5 5 =, C, 5, V, és V,, F, és F, 9

56 Megoldások. 8 =, C,, V, és V,, F, + és F, + ; aszimptoták: = + és = ++ 5. Hiperbola: =, F ± 5,, V ±,, C,; aszimptoták: = ± Az anag alaposabb elsajátítását segítő további feladatok. 7. Parabola: = 6 +, V,, F 7,; vezéregenes: = 9. Ellipszis: + 6 + 9 =, F± 7,, V±,, C,. Kör: + =, C,, sugár: =. Ellipszis 5. Hiperbola 7. Egenes 9. Ellipszis, 5 + =. Hiperbola, =. + 8+ = 5.,± 7. a 6 8 = 6+ 5 75 =... 5. 5. 7. 7. 9. d. l. k 5. i 7., 9.,,,±π/ 5. A grafikonok egbeesnek.,π/ 5. 55. = / 57. = 59. = / 6. ++ = 6. + = 65. r = 5sinθ 67. r = cosθ 69. 7. 7. r = +cosθ 75. r = +sinθ 77. 9π/ 79. +π/ 8. 8 8. π 85. π 87. a π 6π 9. = a+bcosθ bcos a+b b, θ = a+bsinθ bsin a+b b θ. a r = e θ 5 e π π π. 5 5. r = +cosθ 7. r = +sinθ 9. a.,6 7 km. e = / 5. Igen, eg parabola. 7. a r = a +cosθ π. π/ 7. 5. π/ 5. π/. fejezet.. Sorozatok r = cosθ 8 c r = +sinθ,± π, π. a =, a = /, a = /9, a = /6. a =, a = /, a = /5, a = /7

. fejezet kiválasztott feladatainak megoldásai 57 5. a = /, a = /, a = /, a = / 7.,, 7, 5 8, 6, 6, 7 6, 8 55, 5 56, 5 9.,,,, 8, 6,, 6, 8, 56.,,,,5,8,,,,55. a n = n+,n 5. a n = n+ n,n 7. a n = n,n 9. a n = n,n. a n = + n+,n. Konvergens, 5. Konvergens, 7. Konvergens, 5 9. Divergens. Divergens. Konvergens, 5. Konvergens, 7. Konvergens, 9. Konvergens,. Konvergens,. Konvergens, 5. Konvergens, 7. Konvergens, 9. Konvergens, e 7 5. Konvergens, 5. Konvergens, 55. Divergens 57. Konvergens, 59. Konvergens, 6. Divergens 6. Konvergens, e 65. Konvergens, e / 67. Konvergens,, > 69. Konvergens, 7. Konvergens, 7. Konvergens, / 75. Konvergens, π/ 77. Konvergens, 79. Konvergens, 8. Konvergens, / 8. Konvergens, 85. n = n 87. a f =,,56, f = tg, π/,7859865, c 89. f = e, divergens 97. Növekvő, korlátos 99. Korlátos. Konvergens, Weierstrass tétele. Konvergens, Weierstrass tétele 5. Divergens, definíció 9. Konvergens. Konvergens. N = 69, a n = n,5, L =. N = 65, a n =,9 n, L = 5... Végtelen sorok. s n = /n, /. s n = /n / n, / 5. s n = n+, 7. + 6 6 +..., 5 7 9. + 7 6 + 7 6 +..., 7 5. 5++ + 5 + + 5 + 9 8 + +..., 7. ++ + 5 + 5 8 +..., 7 5 6 5. 7. 5 9.. ln. Konvergens, + 5. Konvergens, 7. Divergens e 9. Konvergens, e. Konvergens, /9. Konvergens, / 5. Divergens 7. Divergens 9. Konvergens, π π e. a =, r =, ha <, akkor /+-hez konvergál. a =, r = /, ha,, akkor 6/ -hez tart 5. <, 7. < <, + 9. k+ π,k egész szám; sin 5. /99 5. 7/9 55. /5 57. / 59. a n= n+n+5, n= n+n+, c n=5 n n 69. a r = /5, r = / 7. r <, +r 7. 8 m 75. 8 m r 77. a n, A n = A+ A+ 9 A+...+ 9 n A, A =, lim A n = /5 n.. Az integrálkritérium. Konvergens: mértani sor, r =. n Divergens: lim n n+ = 5. Divergens: p-sor, p < 7. Konvergens: mértani sor, r = 8 < 9. Divergens: integrálkritérium. Konvergens: mértani sor, r = / <. Divergens: integrálkritérium 5. Divergens: lim n n n+ 7. Divergens: lim n n/lnn 9. Divergens: mértani sor, r = ln >. Konvergens: integrálkritérium. Divergens: n-edik tag 5. Konvergens: integrálkritérium 7. Konvergens: integrálkritérium 9. Konvergens: integrálkritérium. a =. kb., 55 5. Igaz

58 Megoldások.. Összehasonlító kritériumok. Divergens, vö. / n. Konvergens, vö. / n 5. Divergens: vö. n-edik tagok sorozata 7. Konvergens: n n n+ < nn n = n 9. Divergens: vö. /n. Konvergens: vö. /n. Divergens: vö. /n 5. Divergens: vö. /n 7. Divergens: integrálkritérium 9. Konvergens: vö. /n /. Konvergens: n n n. Konvergens: n + < n 5. Divergens: vö. /n 7. Konvergens: vö. lim/n 9. Konvergens: arctgn < π/ n, n,. Konvergens: vö. /n. Divergens: vö. /n 5. Konvergens: vö. /n.5. A hánados- és a gökkritérium. Konvergens: hánadoskritérium. Divergens: hánadoskritérium 5. Konvergens: hánadoskritérium 7. Konvergens: vö. /,5 n 9. Divergens: lim n = e n n. Konvergens: vö. /n. Divergens: vö. /n 5. Divergens: vö. /n 7. Konvergens: hánadoskritérium 9. Konvergens: gökkritérium. Konvergens: gökkritérium. Konvergens: gökkritérium 5. Konvergens: vö. /n 7. Konvergens: hánadoskritérium 9. Divergens: hánadoskritérium. Konvergens: hánadoskritérium. Konvergens: hánadoskritérium 5. Divergens: a n = /n! 7. Konvergens: hánadoskritérium 9. Divergens: gökkritérium. Konvergens: gökkritérium. Konvergens: hánadoskritérium 7. Igen.6. Alternáló sorok, abszolút és feltételes konvergencia. Konvergens: 6. Tétel. Divergens: a n 5. Konvergens: 6. Tétel 7. Divergens: a n 9. Konvergens: 6. Tétel. Abszolút konveergens: a tagok abszolútértékei mértani sort alkotnak. Feltételesen konvergens: / n, de divergens n= n 5. Abszolút konvergens: vö. /n n= 7. Feltételesen konvergens: /n +, de n= n+ divergens vö. /n n= 9. Divergens: +n 5+n. Feltételesen konvergens: + n n, de +n/n > /n.. Abszolút konvergens: hánadoskritérium 5. Abszolút konvergens: integrálkritérium 7. Divergens: a n 9. Abszolút konvergens: hánadoskritérium konver-. Abszolút konvergens: n +n+ < n. Abszolút konvergens: cosnπ n n = n+ n = / n / gens p-sor 5. Abszolút konvergens: gökkritérium 7. Divergens: a n 9. Feltételesen konvergens: n+ n = / n+ n+, de a tagok abszolútértékeiből álló sor divergens vö. / n. Divergens: a n /. Abszolút konvergens: sechn = e n +e n az utóbbi konvergens mértani sor tagja 5. hiba <, 7. hiba < 9.,5 5. a a n a n+, / = en e n + < en e n = e n,

. fejezet kiválasztott feladatainak megoldásai 59.7. Hatvánsorok. a, < <, < <, c sehol sem. a /, / < <, / < <, c sehol sem 5. a, 8 < <, 8 < <, c sehol sem 7. a, < <, < <, c sehol sem 9. a,,, c sehol sem. a, minden -re, minden -re, c sehol sem. a, minden -re, minden -re, c sehol sem 5. a, <, < <, c = 7. a 5, 8 < <, 8 < <, c sehol sem 9. a, < <, < <, c sehol sem. a, < <, < <, c sehol sem. a, =, =, c sehol sem 5. a, <, < <, c = 7. a,,, c sehol sem 9. a /, /, /, c sehol sem. a, π < π, π < < π, c = π. < <, /+ 5. < < 6, / 7. < <, / 9. < < 5, / ; < < 5, /. a cos =! +! 6 6! + 8 8!! +... minden -re konv. és c! + 5 5 5! 7 7 7! + 9 9 9!! +.... a + + 6 5 + 78 5 + 75, π < < π + + + 76 5 + 68 5 +..., π < < π.8. Talor- és Maclaurin-sorok. P =, P =, P =, P = +. P =, P =, P = + 8, P = + 8 6 5. P =, P = + π, P = + π P = + π, π π 7. P =, P = +, P = + 6, P = + 6 + 5 9. n = + n= n!!! +!... π.. n n = + +... n= n n+ n+ n= n+! 7. n n= n! 9. 5+. 8+ +6 + 5. 7 n n n= n!. 6++5+ 8+ ++ 5. n n+ n 7. n=. L =, Q = / 5. L =, Q = + / 7. L =, Q = n= e n n!.9. A Talor-sorok konvergenciája, Talor tétele.. 5. 7. 9. 5 n = 5+ 5 5 +... n= n!!! 5 n n+ n= n+! = n= = 5+ 5! 55 5! + 57 7!... n + n n= n! 5 n+ n+ n+! n+ = + + n= n!! +! + 5! +... n n = n= n!! 6 6! + 8 8!! +.... π! + π 5!. + n n n= n! π6 7 6! = = +... = n π n n+ n= n! =! +! 6 6! + 8 8!... 5. n = + + +... n= 7. n n = ++ + +... n= 9. <,6 /5 <,56968. hiba < /6 <,67, < <. hiba <,, /6 <,87 5., 965 7. <,. sin, =,, sin,. arctg, = π/ 5. e sin = + + 5 6 9...

5 Megoldások. a Q = +k+ kk, ha < / 9. a, / +i, c i 5. + + 5..., minden -re konvergens. f = n+ sinn n= n.. Hatvánsorok alkalmazása. + 8 + 6. + + 8 + 5 6 5. + 7. + 6 8 59 6 9. + 8 + 6. + = ++6 + +. = 6+ 8 5. = n n = e 7. = n= n! n /n! = e n= 9. = n /n! = e n=. = n n= n n! = / e 5. = n+ n= n+! = sh 7. = + n+ n n= n! 9. = n n= n! n+ n= n+!. = n = n=. = a+b+ 6 a b5 5 7 6 6 7 + a8 7 8 + b9 5 8 9...., 67 5., 7., 9996 9.,. / 6!,. 7! 7 + 5! 5. a + 5 6 6 7 8 8 +...+ 5 7. / 9. / 5. / 5. 55. 59. 5 tag 6. tag 6. a + 6 + 5 + 57, konvergenciasugár = π 6 + 5 57 65. + +... 7. c /.. Fourier-sorok. f = 5. e π π + cosn n= n + n= nsinn n + 7. f = cos+ n+ π n n= n sinn Gakorló feladatok. Konvergens, a határérték. Konvergens, a határérték 5. Divergens 7. Konvergens, a határérték 9. Konvergens, a határérték. Konvergens, a határérték e 5. Konvergens, a határérték 5. Konvergens, a határérték ln 7. Divergens 9. /6. /. e/e 5. Divergens 7. Feltételesen konvergens 9. Feltételesen konvergens. Abszolút konvergens. Abszolút konvergens 5. Abszolút konvergens 7. Abszolút konvergens 9. Abszolút konvergens. a, 7 <, 7 < <, c = 7. a /, /, /, c nincs ilen 5. a, minden, minden, c nincs ilen

. fejezet kiválasztott feladatainak megoldásai 5 7. a, < <, < <, c nincs ilen 9. a e, e < < e, e < < e, c üres halmaz 5. +,, 5 5. sin, π, 55. e, ln, 57. 6. n n 59. n= n 5n 6. n= n! 65. +! + +! + 9+ 5! +... n= 67. + 69. = n+ n = e n= n! 7. = n n n = e n= n! n π n+ n+ n+! π/ n n= n! 7. = + n /n! = e n= 75. = ++ n /n! = e n= 77., 897 79., 8758 8. 7/ 8. / 85. 87. r =, s = 9/ 89. hiba < sin/ <,8, a becslés alsó, mivel a maradék pozitív 9. / 9. ln n+ n, a sor összege ln 95. a, a =, b = 97. Konvergál 5. n= sinn n π cosn sinn 7. n= πn + n= n Az anag alaposabb elsajátítását segítő további feladatok. Konvergens: összehasonlító kritérium. Divergens: a tagokból álló sorozatra vonatkozó kritérium 5. Konvergens: összehasonlító kritérium 7. Divergens: a tagokból álló sorozatra vonatkozó kritérium 9. a = π/-mal cos = π π. a = -val e = ++! +! +.... a = π-vel + π +... cos = π +! π 6! π6 +... 5. Konvergens, a határérték b 7. π/. b = ±/5 5. a =, l = 7/6 9. Igen 5. a n n, 6, c /q n= 7. a R n = C e kt e nkt / e kt, R = C e kt / e kt = C /e kt R = /e,68, R = R e R,999956,5895, R,5898, < R R /R <, c 7. fejezet.. Háromdimenziós koordináta-rendszerek. A,, ponton átmenő egenes párhuzamos a z-tengellel.. Az -tengel 5. Az -sík + = köre. 7. Az + z = kör az z-síkon. 9. Az + z = kör az z-síkon.. Az + = 6 kör az -síkon.. a Az -sík első síknegede. Az -sík negedik síknegede. 5. a Az origó középpontú, sugarú gömbtest. Az összes olan pont, amel -nél nagobb távolságra van az origótól. 7. a Az sugarú, origó középpontú felső félgömb. Az sugarú, origó középpontú felső félgömbtest. 9. a = = c z =. a z = = c =. a + =, z = + z =, =

5 Megoldások c + z =, = 5. a =, z = =, z = c =, = 7. + + z = 5, z = 9. z. z. a + +z < + +z > 5. 7. 7 9.. C,,, a =. C,,, a = 5. + +z = 7. + + + z = 9. C,,, a = 8 5. C,,, a = 5 5. a + z + z c + 55. 7+ +6.. Vektorok. a 9, 6. a, 5. a, 9 55 7. a 5, 97 5 5 9.,.,., 5., 7.,, 9., 6,., 5, 8. v vízszintes, w függőleges vektor, u 5 szöget zár be a vízszintessel. A vektorokat méretaránosan kell megrajzolni. a c 5. i+ j k 7. 5k 9. i j k d. a i k c j+ k d 6i j+k 5. 7 i 5k 5. a 5 i+ 5 j k /,,5/ 7. a i j k 9. A,,5. a =, b = 5. 8, 95, 75, 6 5, 7, 9 7. a 5cos6,5sin6 5 =, 5. 5 i, 5k 5cos6 + cos5,5sin6 + sin5 = 5+ =, 5 9. a i+ j k i+j k c,,.. Skalárszorzat. a 5, 5, 5 c 5 d i+j 5k. a 5, 5, 5 5. a, c 5 d i+j k 9 c 7. a 7, 6, + 7 56 c d 5j k 7 + 7 d + 7 5i+j 6 6 9.,75 radián.,77 radián. Az A csúcsnál lévő szög = arccos 6,5 fok, a 5 B csúcsnál lévő szög = cos 5, fok, a C csúcsnál 5 lévő szög = cos 5 6,5 fok. 7. 9. i+ j + i+ j+k 8 i+ j k + i 6 j k. Két egenlő hosszúságú vektor összege mindig merőleges a különbségükre, amint az a v +v v v = v v +v v v v v v = v v = azonosságból látható. 7. A vízszintes összetevő 96 m/s, a függőleges összetevő 55 m/s. 9. a Mivel cosθ, ezért u v = u v cosθ u v = u v. Egenlőséget akkor kapunk, ha cosθ = vag ha u és v legalább egike nulla. Ha a vektorok nem nullák, akkor egenlőséget θ = vag π esetén kapunk, azaz amikor a vektorok párhuzamosak.

. fejezet kiválasztott feladatainak megoldásai 5. a 5. + = 7. + =. a Egik sem u és w 5. Nm. 7. a Igaz Nem mindig igaz c Igaz d Igaz e Nem mindig igaz f Igaz g Igaz h Igaz 9. a proj v u = u v v v v c ±u v w ±u v d u v w 9. + =. =. 5 J 5. 6 J 7. π 9. π 6 5., 5. π és π minden pontra. 55.,-ban π ;,-ben π és π.. Vektoriális szorzat. u v =, az irán i + j + k; v u =, az irán i j k.. u v =, az irán nincs meghatározva; v u =, az irán nincs meghatározva. 5. u v = 6, az irán k; v u = 6, az irán k. 7. u v = 6 5, az irán 5 i 5 k; v u = 6 5, az irán 5 i+ 5 k. 9... a igen nem c igen d nem. Nem, v-nek nem feltétlenül kell egenlőnek lennie w-vel. Például, i+j i+j, de i i+j = i i+i j = +k = k és i i+j = i i+i j = +k = k. 5. 7. 9. /. 5/. Ha A = a i+a j és B = b i+b j, akkor i j k A B = a a b b = a a b b k és a háromszög területe: A B = ± a a b b. A + előjelet kell használni, ha az -síkon a A-tól B felé mutató iránított szög az óramutató járásával ellentétes, és a előjelet, ha az óramutató járásával azonos iránú..5. Egenesek és síkok a térben. = +t, = +t, z = +t. = +5t, = 5t, z = 5t 5. =, = t, z = t 7. =, =, z = +t 9. = t, = 7+t, z = t. = t, =, z =. = t, = t, z = t, t. 5. =, = +t, z =, t 5. a 6 ± 6 i+j+k 7. a ± i j 9. 8. 7

5 Megoldások 7. =, = t, z =, t 7. 9. 9. = t, = t, z = t, t... z =. 7 5 z = 6 5. ++z = 7.,,, ++z = 7 9. +z =. +z =. 5. 7. 9 7 9.. 9/5. 5/ 5. 9/ 7. π/ 9.,76 radián 5.,8 radián 5.,, 55.,, 5. 7. 57. = t, = +t, z = 59. =, = +6t, z = +t 6. L metszi L-t; L párhuzamos L-mal; L és L kitérők. 6. = +t, = t, z = 7+t; = t, = +/t, z = /t 65.,,,,,,,, 69. Több válasz lehetséges. Az egik: + = és + z = 7. 7. /a + /b + z/c = az összes síkot leírja az origón átmenő síkok és a koordinátatengelekkel párhuzamos síkok kivételével. 9...6. Hengerek és másodrendű felületek. d ellipszoid. a henger 5. l hiperbolikus paraboloid 7. henger 9. k hiperbolikus paraboloid. h kúp. 5.. 5.

. fejezet kiválasztott feladatainak megoldásai 55 7. 9. 6. 6. 65. 67... 69. 7. 5. 7. 7. 75. 9. 5. 77. a π9 c 9 8π c πabc 8. Csúcspont:,,c /b, fókusz:,,c /b a /c Gakorló feladatok 5. 55.. a 7,. a 6, 8 5., feltételezve 7. 8, 7 7 az óramutató járásával ellentétes forgásiránt 9. A hosszúság =, az irán i+ j. 57. 59.. vπ/ = i. A hosszúság = 7, az irán 7 i 7 j+ 6 7 k. 5. 8 i j+ 8 k. 7. v =, u =, v u = u v =, v u = i + j k, u v = i j+k, v u =, θ = arccos = π, u cosθ =, proj v u = i+j 9. i+j k 5i+j+k

56 Megoldások. u v = k 75.. 7 5. a 9. 78/. = t, =, z = +7t. 5. ++z = 5 7. 9++7z = 9.,,,,,,,,. π/. = 5+5t, = t, z = t 5. = t, = 9/+5t, z = /6+6t 7. Igen, v párhuzamos a síkkal. 9. 5. j + k 5. 5i j k 55. 9, 6 5 9 9, 7 57.,, ; = 5t, = +t, z = +t 59. +7+z+ = 6. a nem nem c nem d nem e igen 6. / 7 65. 67. Az anag alaposabb elsajátítását segítő további feladatok. 6,, /. F = 8.6N 7. a BD = AD AB AP = AB+ AD. i+ j k 5. a, i j+6k 9i j+7k c i 6j+k, i j k d i k, i j 8k 5. a F = GMm d + n i= igen i + /. fejezet.. Vektorfüggvének. =, v = i+j, a = j. = 9, v = i+j, a = i+8j 5. t = π : v = i j, a = i t = π : v = j, a = i j; 69. 7. 7. 7. t = π : v = i, a = j; t = π : v = i j, a = i 9. v = i+tj+k, a = j, sebesség:, irán: i+ j+ k, v = i+ j+ k

. fejezet kiválasztott feladatainak megoldásai 57. v = sinti+costj+k, a = costi sintj, sebesség: 5, irán: / 5 i+ / 5 k, vπ/ = [ 5 / 5 i+ / ] 5 k. v = i+tj+tk, a = t + t + sebesség: 6, irán: v = 6 i+ j+ 6 6 6 i+ j+ k 6 6 k, 6 5. π/ 7. π/ i+j+k, 9. t =, π, π. /i+7j+/k π +. j+k 5. lni+lnj+lnk t t t 7. rt = + i+ + j+ + k 9. rt = t + / i+ e t + j+lnt + +k. rt = 8ti+8tj+ 6t + k. = t, =, z = +t 5. = at, = a, z = πb+bt 7. a i: konstans ii: igen iii: iv: igen i: konstans ii: igen iii: iv: igen c i: konstans ii: igen iii: iv: nem, a, -ből d i: konstans ii: igen iii: iv: igen e i: változó ii: nem iii: iv: igen 9. rt = t + 6 t + i+ t + t + t + t j+ + k = = t + t i j+k+i+j+k. v = 5i+ 5j. ma v =, min v =, ma a =, min a =.. Eg lövedék röppálájának leírása. 5 s. a 7, s, 5,5 m m c 678 m 5. t,9 s, 9,96 m 7. a v 9,9 m/s α 8, vag α 7,6 9. 8,9 m/s. A golflabda nekimeg a fának.. a 5, m/s,5 s 5. 9,9 vag 5,7 7., m/s.,9 s,,5 m., m,,8 m/s 5. v -nak feleznie kell az AOR szöget. 7. a Feltéve, hog az = helen történik az ütés: rt = ti+tj, ahol t =,67cos7 t és t =,+,67sin7 t,9t. t,97 másodpercnél, a maimális magasság, m. c A labda t, másodperc múlva, m távolságra ér földet. d t,5 és t,7 másodpercnél, amikor 9 és,8 méter távolságra van az ütés helétől. e Igen, a megemelt háló felett nem meg át a labda.. a rt = ti +tj, ahol t = e,8t 7cos 5,6 és,8 7 t = + e,8t sin +,8 9,8 +,8,8t e,8t. t,5 másodpercnél, a maimális magasság, m. c A labda t, másodperc múlva 9,8 m távolságra ér földet. d t,88 és t, másodpercnél, amikor, és 78,6 méter távolságra van az ütés helétől. e Nem. Legalább,9 m/s erősségű, az ütéssel egező iránú széllökés szükséges ahhoz, hog a labda átmenjen a kerítés felett... Ívhossz és a normált érintővektor. T = 5 sint i+ cost j+ k, π. T = t i+ k, +t +t 5. T = costj +sintk, cost t sint sint +t cost t / 7. T = i+ j+ k, t + t + t + π + π 9., 5, π. st = 5t, L = 5π. st = e t, L = 5. +ln + 5

58 Megoldások 7. a A henger + =, a sík +z =. és c π d L = +sin t dt e L 7,6.. Görbület és a normált főnormális. T = costi sintj, N = sinti costj, κ = cost. T = +t i +t j, N = t +t i +t j, κ = +t 5. cos 7. N = et +e t i+ +e t j c N = t i+tj 9. T = cost i sint 5 5 j+ k, N = sinti costj, 5 κ = 5 cost sint. T = N =. T = cost + sint i+ j, cost sint i+ κ = e t t t + i+ t + j, N = κ = tt + / 5. T = N = cht/a th t a i+ κ = a ch t/a i+ th t j, a cht/a sint + cost j, j, i t + tj t +,.5. Torzió és a normált binormális. B = 5 cost i 5 sint j 5 k, τ = 5. B = k, τ = 5. B = k, τ = 7. B = k, τ = 9. a = a N. a = T+ 5 N. a = N π π 5. r = i+ j k, T = i+ j, π π N = i j, B = k, simulósík: z =, normálsík: + =, rektifikáló sík: + = 7. Igen. Ha az autó kanarban halad κ, akkor a N = = κ v és a. ds. F = κ m dt. κ = /t, ρ = t 9. v =,87,,789,,, v =,6, a =,696,,7,, T =,86,,7,,7, N =,,,8998,,69, B =,59,,998,,889, κ =,56, τ =,8, a T =,776, a N =,598. v =,,,,69, v =,66, a =,,,,86, T =,9967,,,8, N =,7,,,,86, B =,8,,86,,9967, κ =,8, τ =,, a T =,7, a N =,.6. Bolgómozgás és műholdpálák. T = 9, perc. a = 676 km 5. D = 65 km 7. a 68 km 5789 km c Sncom, GOES és Intelsat 5 9. a = 8 km a Föld középpontjától, vag körülbelül 768 km a Föld felszínétől..,97 9 sec /m, 9,9 sec /m, 8,5 sec /m Gakorló feladatok. 6 + = 9. /b. π + =. κ = 5. κ = + / sin +cos / A t = -ban: a T =, a N =, κ = ; A t = π -ben: a T = 7, a N =, κ = 7.. v ma = 5. κ = /5 7. d/dt =,

. fejezet kiválasztott feladatainak megoldásai 59. A súlgoló a földön van, körülbelül 9,5 méterre a dobás helétől. 5. a 8, m/s,7 m/s 9. κ = πs π. + π 6 + ln π + + π 6. T = i j+ k, N = i+ j, B = i+ j+ k, κ =, τ = 6 5. Tln = 7 i+ 7 j, Nln = 7 i+ 7 j, Bln = k, κ = 8 7 7, τ = 7. a = T+6N 9. T = cost i sintj+ cost k, N = sint i costj sint k,. π/ B = i k, κ =, τ =. = +t, = t, z = t 5. 597 km,,69 7 km, a Föld,%-a látható. fejezet.. Többváltozós függvének. a Az -sík minden pontja Minden valós c Az = = c egenesek d Nincsenek határpontok e Nílt is és zárt is f Nem korlátos. a Az -sík minden pontja z c f, = -ra z origó, f, -ra ellipszisek, nagtengelük az -, kistengelük az -tengelen d Nincsenek határpontok e Nílt is és zárt is f Nem korlátos 5. a Az -sík minden pontja Minden valós c f, = = -ra az - és -tengel, f, -ra hiperbolák, ameleknek a koordinátatengelek az aszimptotáik d Nincsenek határpontok e Nílt is és zárt is f Nem korlátos 7. a Minden,, amire fennáll + < 6 z / c Origó középpontú körök négnél kisebb sugárral d A határ az + = 6 kör e Nílt f Korlátos 9. a,, minden valós c Origó középpontú körök pozitív sugárral d A határ egetlen pont,, e Nílt f Nem korlátos. a Minden,, amelikre π/ z π/ c = c alakú egenesek, ahol c d A határ két egenes: = +, = + e Zárt f Nem korlátos Az anag alaposabb elsajátítását segítő további feladatok. a rt = 85 t + t i+ t + j; m dθ. a πgb dt = θ=π a + b θ = c vt = gbt a + b, z = gb t a + b gbt a + b,. f 5. a 7. d 9. a z z = z. a z = + z = z = z = z = z = z = z = z = d r dt = bg bgt a + b T+a a + b N A B iránú komponens egütthatója. 7. a d dt = ṙ cosθ r θ sinθ, dr = ẋcosθ + ẏsinθ, dt r d dt = ṙ sinθ + r θ cosθ dθ = ẋsinθ + ẏcosθ dt 9. a a = 9u r 6u θ, v = u r + u θ 6,5 cm. a z = + z z = z = z =. c v = ṙu r + r θu θ + żk, a = r r θ u r +r θ + ṙ θu θ + zk

5 Megoldások 5. a z = + z 6 z = 6 z = 5. Közelítsünk =, >, ill. =, < mentén 7. Közelítsünk = k mentén, ahol k konstans 9. Közelítsünk = m mentén, ahol m konstans. Közelítsünk = k mentén, ahol k konstans z =. Nem 5. A limesz 7. A limesz 9. a f, =m = sinθ, ahol tgθ = m 5. 5. Nem létezik 55. π/ 57. f, = ln 59. δ =, 6. δ =,5 6. δ =,5 65. δ =,5 7. a z = ½½ z,, z = z = z = z = z =.. Parciális deriváltak.. 5. =, = = +, = =, = 9. + = 7. =, + = +. arctg+arctg = arctg. 7. z f,, z = + + z = z f,, z = + = 5. 9. z f,, z = + z = 9... 5. 7. 9. = +, = + =, = = e++, = e++ = +, = + = sin cos, = 6sin cos, =, = ln. = g, = g. f =, f =, f z = z 5. f =, f = + z /, f z = z + z / 7. f = z z, f = z z, f z = z. lnz =. + z = ln 5. Igen, 7. 6 km.. Határérték és foltonosság magasabb dimenzióban. 5/. 6 5. 7. / 9... 5. - 7. 9. /. 9/. 5. 7. a Minden, Minden,, kivéve, 9. a Minden,, kivéve, ahol = Minden,. a Minden,,z Minden,,z, kivéve az + = henger belsejét. a Minden,, z ahol z Minden,,z, ahol + z 9. f = ++z, f = ++z, f z = ++z. f = e + +z, f = e + +z, f z = ze + +z. f = /ch ++z, f = /ch ++z, f z = /ch ++z 5. t = π sinπt α, α = sinπt α h h h 7. = sinφ cosθ, = ρ cosφ cosθ, = ρ sinφ sinθ ρ φ θ 9. W p P,V,δ,v,g = V, W V P,V,δ,v,g = P+ δv g, W δ P,V,δ,v,g = V g v, W vp,v,δ,v,g = V g δv, W g P,V,δ,v,g = V δv g.. = +, = +, f =, f = f = f =, g g = +cos, = sin+sin, g = sin, g = cos,

. fejezet kiválasztott feladatainak megoldásai 5 g = +cos r 5. = +, r = +, r =, r =, + + r = r = + w 7. = +, w = +, w = w = 6 + w 9. = + +, w = + +, w = w +6 + w u w u w u z 9. = z t t + z t, z s = z s + z s z w w z w 5. a először először c először d először e először a először z z z z 5. f, =, f, = 55. 57. - t t t s s s 59. A a = a bcsina 6. v = lnv lnulnv A b = ccosa b bcsina w. s = dw du u s, w t = dw du u t w w 77. Igen dw du dw du.. A láncszabál u u s u u t. a dw dt =,. a dw dt =, dw dt π = dw dt = 5. a dw dt = t arctgt +, dw dt = π + 7. a z u = cosvlnusinv+cosv, z v = usinvlnusinv+ ucos v sinv z u = ln+, z v = ln 9. a w w u = u+uv, v = v+u w w u =, v =. a u u =, = z, u z z = z u u =, dz. dt = z d dt + z = d dt z d dt z t z d dt =, u z = w 5. u = w u + w u + w z z u, w v = w v + w v + w z z v w w w u u u w z z u w 7. u = w u + w u, w v = w v + w v z w w w w z z z s t w. r = w d dr + w d dr = w d d dr, mivel dr = w s = w d ds + w d ds = w d d ds, mivel ds = w r w r w = r w = s w s w 5. / 7. /5 9. z =, z = z z. =, =. 5. 7 z z 7. =, u v = 9.,5 A/s 5. cos, sin, és cos, sin, 7. a Maimum, -nél és minimum, -nél és Ma.=6, Min.= 9. 8 + + t + dt s, -nél,, -nél..5. Iránmenti deriváltak és gradiens vektor. D f = i + j, =., D g = i + j =

5 Megoldások 5. f = i+j k 7. f = 7 6 i+ 5 j 5 k 9.. /. 5. 7. u = i+ j, D u f P =, u = i j, D u f P = 9. u = i 5 j k, D u f P = u = i+ 5 j+ k, D u f P =. u = i+j+k, D u f P =, u = i+j+k, D u f P =. + = f i j, = + 5. D = 7. u = 7 5 i 5 j, u = 7 5 i+ 5 j f = i + j 9. Nem, a változás maimális gorsasága 85 <. 7 5 =,.6. Érintősíkok és differenciálok. a ++z = = +t, = +t, z = +t. a z = = t, =, z = +t 5. a ++z = = t, = +t, z = +t 7. a ++z = = t, = +t, z = t 9. z =. +z =. =, = +t, z = t 5. = t, =, z = + t 7. = +9t, = 9t, z = 9. d f = 9 8,8. dg =. a sin cos,95 sin cos,87 5. a L, = L, = + 7. a L, = +5 L, = +5 9. a L, = + L, = + π. L, = 7+ 6;,6. L, = ++;,8 5. L, = +;, 7. a L,,z = ++z ; L,,z = +z c L,,z = 9. a L,,z = ; L,,z = + c L,,z = + + z. a L,,z = + L,,z = z+ π + c L,,z = z+ π +. L,,z = 6 z+6;, 5. L,,z = + z ;,5 7. Maimális becslési hiba, 9. Maimális hiba százalékban ±,8% 5. A két dimenzió közül a kisebbnek kell több figelmet szentelni, mert az eredménez nagobb parciális deriváltat. 5. a,% 55. f a legérzékenebb d változására. 57. Q a h-beli változásokra a legérzékenebb. 6. π -nél π ; -nál ; π -nél π.7. Szélsőértékek és neregpontok. f, = 5, lokális minimum. f, =, lok.ma. 5. f,, neregpont 7. f 65, 5 69, neregpont 9. f,, neregpont. f, = 6, lok.min.. f,, neregpont 5. f,, neregpont 7. f,, neregpont; f, = 7 7, lok.min. 9. f, =, lok.min.; f,, neregpont. f,, neregpont; f 9, = 6 8, lok.min.. f,, neregpont; f, =, lok. min.; f, =, lok.ma.; f,, neregpont 5. f,, neregpont; f, =, f, =,lok.ma. 7. f, =, lok.ma. 9. fnπ,, neregpont; fnπ, = minden n-re. Absz.ma.:,,-nál; absz.min.: 5,,-nél. Absz.ma.:,,-nél; absz.min.:,,-nál 5. Absz.ma.:,,--nál; absz.min.:,,--nél 7. Absz.ma.:,,-nál; absz.min.:,, π -nél,, π -nél,, π -nél,, π -nél 9. a =, b =. Legmelegebb: leghidegebb,, -nál., -nél és, -nél; a. a f,, neregpont f,, lok.min. c f,, lok.min.; f,, neregpont 9. 6,, 55 6 5. a A félkörön ma f =, t = π/-nél, min f =, t = π-nél. A negedkörön ma f =, t = π/-nél, min f =, t =,π/-nél. A félkörön ma g =, t = π/-nél, min g =, t = π/- nél. A negedkörön ma g =, t = π/-nél, min g =, t =,π/-nél. c A félkörön ma h = 8, t = -nál, π-nél, min h =, t = π/- nél. A negedkörön ma h = 8, t = -nál, min h =, t = π/-nél. 55. i min f = /, t = /-nél; ma nincs; ii ma f =, t = nél, t = -nál; min f = /, t = /-nél, iii ma f =, t = -nél; min f =, t = -nál. 57. = + 9, = = 7 59. = + 6, = = 7 6

. fejezet kiválasztott feladatainak megoldásai 5 6. =,+,59 Gakorló feladatok 8 6. Értelmezési tartomán: minden, ; értékkészlet: z ; szintvonalak: ellipszisek, nagtengel az -tengelen, kistengel az -tengelen 6. a z = 9 =,7K + 76,8 c 78.8. Lagrange-multiplikátorok. ±,, ±,. 9 5.,± 7. a 8 6 9. r = cm h = cm. Hossz=, szélesség=. f, = min., f, = ma. 5. Legalacsonabb=, legmagasabb=5 7.,, 5 9..,,,,,. f,,5 = ma., f,, 5 = min. 5.,, 7.,, egség 9. ±/, /, /. U8, = $8. f/,/, / = 5.,, 7. Maimum=+6, ± 6,,-nél; minimum= 6, ± 6,,-nél 9. Ma.=,, ± -nél; min.=, ±,±,-nál. Értelmezési tartomán: minden, amire, ; értékkészlet: z ; szintvonalak: hiperbolák, aszimptotáik az - és -tengel 5. Értelmezési tartomán: minden,, z pont; értékkészlet: minden valós szám; szintfelületek: forgásparaboloidok, tengelük a z-tengel 7. Értelmezési tartomán: minden,, z, ahol,, z,, ; értékkészlet: pozitív valós számok; szintfelületek: gömbök, origó középponttal, pozitív sugárral. z =.9. Feltételes parciális deriváltak. a +z c +z. a U P + U T 5. a 5 5 7. r θ = cosθ r VnR U nr P V + U T = +.. Kétváltozós Talor-formula. Másodfokú: +; harmadfokú: ++. Másodfokú: ; harmadfokú: 5. Másodfokú: + ; harmadfokú: + + 6 + 7. Másodf.: + = + ; harmadf.: + 9. Másodfokú: ++++ harmadfokú: ++++ ++. Másodfokú: ; E,, 9.. /. 5. Legen = k, k 7. Nem; lim,, f, nem létezik 9.. g g = cosθ + sinθ, = r sinθ + r cosθ r θ R =, R R =, R R = R. P n = RT V, P R = nt V, P T = nr V, P V = nrt V 5. 7. g =, g =, g = g = f = +, f =, f + = f =

5 Megoldások dw t= 9. dt = w r,s=π,. r =, w s = π r,s=π, d f. dt = sin+cossin+ t= +cos + coscos sin + cossin d 5. d =,=, 7. Leggorsabb növekedés irána: u= leggorsabb csökkenés irána: u = D u f = ; D u f = i+ i j; j; ; D u f = 7, ahol u = v v 9. Leggorsabb növekedés irána: u= 7 i+ 7 j+ 6 7 k; leggorsabb csökkenés irána: u = 7 i 7 j 6 7 k; D u f = 7; D u f = 7; D u f = 7, ahol u = v v. π/. a f, = f, = /5 5. + + z = z Ñf½,, = j + k 75. Absz.ma.: 8,,-nál; absz.min.:,,-nál 77. Absz.ma.:,,-nál; absz.min.:,, -nél 79. Absz.ma.:,, ±-nél és,-nál; absz.min.:,,-nál 8. Ma.: 5,,-nél; min.: /,, /-nál 8. Ma:,,, -nál; min:,,, -nál 85. Szélesség: c V ab /, mélség: b V ab /, magasság: a V ab / 87. Ma.:,, -nél és min.:,,,, -nél;, -nél -nél és, 89. a + ze z e z z c + e z 9. w = cosθ w r sinθ r 97. t, t ±,t, t valós w θ, w w = sinθ r cosθ r w θ Ñf½,, = j Ñf½,, = j k Az anag alaposabb elsajátítását segítő további feladatok. f, =, f, = 7. Érintősík: 5z = ; normálegenes: = +t, = t, z = 5t 9. z = 5. Érintő: + = π + ; normálegenes: = π + = + + = + = + sin 5. = t, =, z = /+t 55. A válasz f, f, f -ra megállapított felső korláttól függ. Ha M = /, akkor E,. Ha M =, E,. 57. L,,z = z, L,,z = + z 59. Ügeljünk nagon az átmérőre. 6. di =,8, %-os változása I-nek: 5,8%, érzékenebb a feszültségre 6. qbf a 5% 65. lokális minimum: 8,, -nél 67. Neregpont,-nál, f, = ; lok.ma.:/, /, /-nél 69. Neregpont,-nál, f, = ; lok.min.:,,-nél; lok.ma.:,, -nál; neregpont, -nél, f, = 7. Absz.ma.: 8,,-nál; absz.min.: 9/, /,-nál 7. Absz.ma.: 8,, -nél; absz.min.: 7/,, /- nél 7. c r = + + z. V = 7. f, = +, g, = + 9 9. = ln sin +ln abc. a 5 i+7j 997 98i 7j+58k. w = e c π t sinπ 5. fejezet 5.. Kettős integrál. 6. π 5. + 7. 8ln8 6+e

5. fejezet kiválasztott feladatainak megoldásai 55 9. e 9.. ln. /6 5. / 7. 8 9. π.. 65 5. 6 7. 9. + ln 5. 5. π 55. 57. 9 59. + dd =. / d d. dd 6. T azon, pontok halmaza, amelekre + < 5. e ln dd 7. 9 9 / 6dd 6. Nem, Fubini tétele szerint a két megoldásnak uganaz az eredméne kell legen. 67.,6 69., 9. dd. 5.. Terület, nomaték, tömegközéppont. dd = vag dd =. e 5.. dd = 9 5. ln e dd = 7. /8π 7. dd = 9..65.5,.65 =.5

56 Megoldások.. 5. a π 7. 8 9. = 5 5 8. = 6 5, = 5/7. =, = /π 5. = = a/π 7. I = I = π,i = 8π 9. =, = /. I = 5 6,R = 7. = /8, = 7/6 5. = /, = /7,I =,R = 7. =, = /,I = 7/5,R = / 9. =, = 7/;I = 9/,I = /,I = 6/5; R = 6,R =,R = 5. e ln7/ 9. Ha < a 5/, akkor a szerkezetnek 5 -nál nagobb szögben kell megdőlnie, hog felboruljon. 5., = π, 7. a / Uganazok. 5. a 7/5, / 9/7, 8/7 c 9/, 9/8 d /, /6 55. Ahhoz, hog a tömegközéppont a határon legen, h = a kell legen. Hog belül legen, h > a 5.. Kettős integrálás polárkoordinátákkal. π/. π/8 5. πa 7. 6 9. lnπ. ln π/. π/+ 5. πln 7. π 9. π. π 8 +. 5. 6 π 7. = 5/6, = 9. a. a. π e 5. + 5π 8 7. a 9. π ln, nem. a + h 5.. Hármas integrál derékszögű koordináta-rendszerben. /6. / dz dd, z/ ddz d, / π / dzdd, z/ z/ dd dz, 5. / / z/ ddzd, Mind a hat integrál értéke. 8 dzdd, + 8 dzdd, z/ / z/ d ddz. + 8 8 z z ddzd+ 8 z ddzd, z 8 8 z 8 z z z dddz+ 8 z 8 z z dddz, z 8 8 z z ddzd+ ddzd 8 z z 8 8 8 z z z dddz+ dddz 8 8 z z z Mind a hat integrál értéke 6π. π 7. 9.. cos. 8 5. 7/6 7. 9. 8 π. a ddzd z z dddz c z dddz d e ddzd dzdd. / 5. / 7. 9. 6/. 8π. 5. π 7. / 9.. sin. 5. a = vag a = / 7. Az értelmezési tartomán mindazon,, z pontok halmaza, amelekre + + z. 5.5. Tömeg és nomaték három dimenzióban. R = b +c,r a = +c,r a z = +b. I = M b + c,i = M a + c,i z = M a + c 5. = =, z = /5, I = 79/5 75,8, I = 8/6 76,7, I z = 56/5 5,69 7. a = =,z = 8/ c = 9. I L = 86,R L = 77. I L =,R L = 5. a / = /5, = z = /5

5. fejezet kiválasztott feladatainak megoldásai 57 5. a 5/ = = z = 8/5 c I = I = I z = /6 d R = R = R z = 5 7. 9. a g g. a I tkp. = abca +b,r tkp. = I L = abca +7b,R L = 7. a h = a h = a a +b a +7b 5.6. Hármas integrálok henger- és gömbi koordináta-rendszerben. π 7π. 5 7. π π 9. π r. a r dzdr dθ. 5. 7. 9. π π r dr dzdθ + r π c r dθ dzdr π/ π/ π π/ π/ π/ cosθ sinθ r fr,θ,zdz r dr dθ r sinθ fr,θ,zdz r dr dθ +cosθ fr,θ,zdz r dr dθ secθ r sinθ. π. 9. 8 5 π. a π π/6 π fr,θ,zdz r dr dθ π ρ sinφ dρ dφ dθ + π π/ + cscφ π/6 arcsin/ρ π/6 5. π6 8 r dr dzdθ 5. 5π 7. π ρ sinφ dρ dφ dθ ρ sinφ dφ dρ dθ +. 5. 7. π π/ π π π π/ π/ 9. a 8. a cosφ π + cosφ π/ cosφ π/ π/ 8 c 8 π π c π/6 ρ sinφ dφ dρ dθ ρ sinφ dρ dφ dθ = π 6 ρ sinφ dρ dφ dθ = 8π ρ sinφ dρ dφ dθ = π ρ sinφ dρ dφ dθ r r dzdr dθ dz dd π/ secφ r ρ sinφ dρ dφ dθ r dzdr dθ dzdd d 5π/. 8π/ 5. 9/ 7. 9. 55. 6. πa π π8 π 8 5. 5π/ 5. π/ 57. 6π 59. 5π/ 6. / 65. / 67. = =,z = /8 69.,,z =,,/8 5 7. = =,z = 5/6 7. I z = π,r z = a hπ 75. I = π/ 77. 79. a,,z =,, 5,I z = π,r z =,,z =,, 5 6,I z = π 5,R z = 8.,,z =,, h + h h+6,i z = πa h + h,r z = a 85. M πr

58 Megoldások 89. A felszín r = fz egenlete mutatja, hog az r,θ,z = = fz,θ,z pont minden θ esetén a felületen van. fz,θ + +π,z a felületen van, ha fz,θ,z a felületen van, íg a felület szimmetrikus a z-tengelre. ln7 9. sin.. / 5. / 7. / 9. = = ln. I =. I = δ,r = 5. M =,M =,M = 7. π 9. = π, =. a = 5π+ 6π+8, = 5.7. Helettesítés többes integráloknál. a = u+v v u, = ; Háromszögtartomán, határai: u=, v=, u + v =. a = 5 u v, = v u; Háromszögtartomán, határai: v=u, v=u, u + v = 7. 6/5 9. u+v u 5 dudv = 8+ v ln πaba + b.. + e,687 5. a cosv usinv sinv ucosv = ucos v+usin v = u sinv ucosv cosv usinv = usin v ucos v = u 9.. Gakorló feladatok. 9e 9. 9/ a b c 6. π 5. 7. 8/5 9. π/.. a 5. 7. π π/ c π8 π π/ secφ + 5/ dzdd + ρ sinφ dρ dφ dθ ρ sinφ dρ dφ dθ = π z dzdd+ 9. a 8π 5 5. I z = 8πδb5 a 5 5 z dzdd 8π 5 Az anag alaposabb elsajátítását segítő további feladatok 5. dd = 7. / 9 dd = 9. a c 5/ 6 dd. π 5. π/ 6 dz dd + 7. a Luk sugara =, gömb sugara =. π 9. π/. ln ba 5. / 7. Tömeg = a b arccos b a a b, I = a b arccos b a a b b 6 a b /

6. fejezet kiválasztott feladatainak megoldásai 59 b 9. ab ea. c 5. h = cm, h = [ ] 6 cm 7. π 6. fejezet 6.. Vonalintegrál. c ábra. g ábra 5. d ábra 7. f ábra 9... 5. 6 5 5+9 7. ln ba 9. 5. 8. 5. a + ln+ 7. I z = πδa, R z = a 9. a I z = π δ, R z = I z = π δ, R z =. I = π,r = 6.. Vektormezők, cirkuláció, munka, áramlás. f = i+j+zk + + z /. g = i j+e + + z k 5. F = k + / i k + / j,bármel k > 7. a 9/ / c 9/ 9. a / - /5 c. a / c /. / 5. π 7. 69/ 9. 9/. 5/6. a cirk =, cirk = π, flu = π, flu = cirk =, cirk = 8π, flu = 8π, flu = 5. cirk =, flu = a π 7. cirk = a π, flu = 9. a π c.. a G = i+j G = + F 5. F = i+j + 7. 8 9. π.. 6.. Útfüggetlenség, potenciálfüggvén, konzervatív vektormező. Konzervatív. Nem konzervatív 5. Nem konzervatív 7. f,,z = + + z +C 9. f,,z = e +z +C. f,,z = ln +tg++ ln + z +C. 9 5. 6 7. 9. 9ln.. 7. F = 9. a c. a. a c = b = a c = b = 5. Bármelik utat választhatjuk. A munka mindig uganakkora, mivel a mező konzervatív. 7. Az F erő konzervatív, mivel az M, N és P parciális deriváltja mind nulla. f,,z = a + b+cz +C; A = a,a,za és B = b,b,zb. Ezért F dr = fb fa = ab a+ + bb a+czb za = F AB. 6.. Green-tétel a síkban. fluus =, cirk. = πa. fluus = πa, cirk. = 5. fluus =, cirk.= 7. fluus = 9, cirk. = 9 9. fluus = /, cirk. =/. fluus = /5, cirk. = /. 5. / 7. 9. 6π. πa. 8 π 5. a π, ha C pozitív iránítású h k a tartomán területe 5. a 6.5. Felület felszíne és felületi integrál. π. 5. 6 6 7. π c + 9. π 6 7 7 5 5. +ln. 9a abc 5. ab+ac+bc 7. 9. 8 πa. πa 6. πa 5. 7. 9.. a. a, a, a 5.,,z =,, 9, Iz = 5π δ, R z =

5 Megoldások 7. a 8π a δ π a δ 9. π 6. 5π. 5 5 6.6. Paraméteresen adott felületek. rr,θ = r cosθi+r sinθj+r k, r, θ π. rr,θ = r cosθi+r sinθj+r/k, r 6, θ π/ 5. rr,θ = r cosθi+r sinθj+ 9 r k, r /, θ π; tehát rφ,θ = sinφ cosθi+sinφ sinθj+cosφk, φ π/, θ π 7. rφ,θ = sinφ cosθi+ sinφ sinθj+ + cosφk, π/ φ π/, θ π 9. r, = i+j+ k,,. ru,v = ui+cosvj+sinvk, u, v π. a rr,θ = r cosθi+r sinθj+ r cosθ r sinθk, r, θ π ru,v = ucosv usinvi+ucosvj+usinvk, u, v π 5. ru,v = cos vi+uj+cosvsinvk, u, π/ v π/; Más módon: ru,v = +cosvi+uj+sinvk, u, v π 7. 9... 5. π 5 π π 5 r dr dθ = r 5dr dθ = 8π 5 π du dv = 6π π u u + du dv = 5 5 6 π π π/ sinφ dφ dθ = + π π. S 5 z dσ = π = u cos v u + u u + dv du = π = u u + cos v dv du = π πa 5. 7. a 6 9. 6. π/. 7π/6 5. a/, a/, a/ 7. 8δπa / 9. 5. π π [ 55. A = a b sin φ cos φ + b c cos φ cos θ + 57. + = 5 6.7. Stokes-tétel + a c cos φ sin θ ] / dφ dθ. π. 5/6 5. 7. 6π 9. πa. π 5. π/ 7. 5π 5. 6I + 6I 7. 9.. S S dσ = u u + du dv = 7 7 dσ = z dσ = π π S amenniben = u, = v sin φ cos θ dφ dθ = π u v dv du = 6.8. Gauss Osztrogradszkij-tétel.. 5. 6 7. 8π 9. π. /. π 5. π. Az integrál értéke soha nem haladja meg a felület felszínét.

6. fejezet kiválasztott feladatainak megoldásai 5 Gakorló feladatok. Út: ; Út: +. a 5. 7. 8π sin 9.. π. π abc 5. + + 7. 5 a b c 9. rφ,θ = 6sinφ cosθi+6sinφ sinθj+6cosφk, π 6 φ π, θ π. rr,θ = r cosθi+r sinθj++rk, r, θ π. ru,v = ucosvi+u j+usinvk, u, v π [ +ln+ ] 5. 6 7. π 9. Konzervatív. Nem konzervatív. f,,z = + z++z 5. Út : ; út : 8/ 7. a e π e π 9.. a +ln+.,,z =, 6 5, ; I = 5, I = 6 5, I z = 56 9, R = 9 5, R =, R z = 7 5 5. z =, I z = 7 7, R z = 7.,,z =,,9/, I z = 6π, R z = 9. fluus: /; cirk.: / 5. 55. π 7 8 57. 59. π Az anag alaposabb elsajátítását segítő további feladatok. 6π. / 5. a F,,z = zi+j+k F,,z = zi+k c F,,z = zi 7. 6πR 9. a =, b =. A flu minimuma.. 6 g c Munka = g ds = g. c πw 9. Akkor, ha F = i+j. C C ds = 6 g