Gyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz

Gyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz

Függvények. Viszgaljuk meg, hogy az alabbi fuggvenyek kozuk melyik injektv, szurjektv, illetve bijektv? F : N N, n n b) F : Q Q, c) F : R R, d) F : N N, n n e) F : N N, n n 3 f) F : Z Z, n n 3 g) F : R R, n n 3. Vizsgaljuk meg az alabbi fuggvenyeket! (Hatarozzuk meg a gyokoket, hatarertekeket, azokat az intervallumokat, ahol monoton novekv}o illteve csokken}o, konve, illetve konkav, vegul abrazoljuk a fuggvenyt!) f() = 8( 3 9), g() = ( ) ( + 3), h() = +, i() = +, j() = ( ), k() = ( 3) 3, Komple számok. Mennyi az alabbi komple szamok valos es kepzetes resze? 7 + 3i, 8, 3i, 4 + 5i,, 7i +. Szamtsuk ki a kovetkez}o osszegeket! i + 3i, (5 + 4i) + (7 + 3i), (3 i) + (3 + i), ( + i) + 4i + (3 + 3i) 3. Vegezzuk el a kovetkez}o szorzasokat! 4 ( i), ( i) ( i), (3 i) i, (3 i) (3 + i), (5 + 7i) ( i) 4. Szamtsuk ki a kovetkez}o hanyadosokat: 4i i, 3 + i 3 + i, i 3 i, 8 7i, 6 + 3i 4 + i 5. Abrazoljuk a kovetkez}o komple szamokat a komple szamskon! + i,,, i, i,, i, 3 + i, 3 i 6. Irjuk at az alabbi komple szamokat trigonometrikus alakba!, i,, i, i, + i, + 3 i, 3 i 7. Legyen u = (cos 7 + i sin 7 ) es v = 5 (cos 4 + i sin 4 ). Mennyi az u v, u/v, u, u 3, u, u, (u v)? 8. Rajzoljuk fel a komple szamskra -nek az n-edik gyokeit n =, 3, 4 es 5-re. 9. Oldjuk meg az alabbi egyenleteket a komple szamok koreben! ( + 3i)z 4i =, b) z + =, c) z + z + =,

Sorozatok. Allaptsuk meg, hogy az alabbi sorozatok kozul melyek konvergensek, melyek divergensek! a n = ( n ), b n = n, c n =, 3, d n = 8 sin(n 7, ), e n = log (n + n), f n = n + 7n 3, g n = n3 5n, h n = sin(π n ),. Hatarozzuk meg a kovetkez}o sorozatok hatarerteket, amennyiben az letezik: 3. Adjunk peldat olyan sorozatra, mely a n = n5 3n 7 3n 5, b) a n = n3 3n 7 8 3n 5 + 4n 7, ( ) n + n+7 c) a n = d) a n = n4 + 3 n n 9 +, ( monoton novekv}o es felulr}ol nem korlatos; (b) monoton novekv}o es felulr}ol korlatos; (c) nem monoton es nem korlatos; (d) nem monoton es korlatos; Sorok konvergenciája. Szamtsuk ki a kovetkez}o vegtelen sorok osszeget! 5 k, b) 3 5 k, c) 5 k+,. Szamtsuk ki a kovetkez}o hatvanysorok konvergenciasugarat es konvergeciaintervellumat! k b) 3 k k c) 3 k k Függvények határértéke, folytonossága. Hatarozzuk meg kovetkez}o hatarertekeket: lim 3 3 5 + 6 b) lim 3 + + a c) lim a 3 + a 3

Egyváltozós függvények deriváltja. Derivaljuk a kovetkez}o fuggvenyeket! f() =, g() = + 4 5, h() = +, i() = sin, j() = sin cos, k() = sin 3, l() = sin cos, m() = ln sin, n() =, o() = tan, p() = arcsin ( + 5), q() = arctg ( 6) + r() =, sin sin s() = ln 3 + 5, t() = +cos, u() = (ln ) 3, v() = + (sin ) sin, w() = (3 ) 3 4, Taylor polinom. Legyen g() = 6 6 5 5 + 8 4 9 3 + 4 +. Irjuk fel a fuggveny = helyhez tartozo Taylor-formulajat.. Irjuk fel az f() = e fuggveny = koruli negyedfoku Taylor polinomjat! Szamtsuk ki =.5-ben az f() kozelt}o erteket! A maradek tagra vonatkozo formula segtsegevel becsuljuk meg a kozeltes hibajat! 3. Irjuk fel az f() = e fuggveny = koruli harmad-, otod- es hetedfoku Taylor polinomjat! Ezek segtsegevel szamtsuk ki a e = e segtsegevel becsuljuk meg a kozeltesek hibajat! kozelt}o ertekeit! A maradek tagra vonatkozo formula 4. Kozeltsuk az f() = cos fuggvenyt az = ponthoz tartozo hatodfoku Taylor polinomaval. Legfeljebb mekkora hibat kovetunk el, ha [, ]? 5. Tekintsuk az f() = sin fuggveny = π-beli otodfoku Taylor polinomat. Mekkora lehet a hiba a sin 3 illetve sin kiszamolasakor? 3

Integrál. Szamtsuk ki a kovetkez}o integralokat! d, b) d c) + d) g) j) + d, e) + d, h) (8 + 7) 3 e d, k) d f) ( 4) 3 ( + 3 d, i) ) 3 e d, l) + d 8 7 4 7 + d ( + ) d, sin d, m) p) 3 d, n) ( + ) 4 e d, q) d, o) 3 tg 3 d, r) e 4 + e d, + + + 3 d,. Szamtsuk ki a kovetkez}o hatarozott integralokat! 3 e d, b) ( d, c) ) 7 π π 3 cot d, d).5 d, e) 3 e d, f) 4 d, g) e e 4 d, h) + e 4 3 d, 3. Leteznek-e az alabbi improprius integralok? Ha igen, akkor szamoljuk ki }oket! d, b) d, c) d, d) d, e) d, f) d, g) d, h) d, i) d, Differenciálegyenletek. Oldja meg a kovetkez}o dierencialegyenleteket! y = 5 7, b) y = 5 7y, c) y = 5 7y, 4

. Oldja meg a kovetkez}o linearis dierencialegyenleteket! y + y = 3 + 6 b) y y = sin c) y + y = e d) y + 3 y = 3. Oldja meg az y = 3 y dierencialegyenletet az y() = kezdeti ertek feltetel mellett! Többváltozós függvények. Hatarozza meg a kovetkezo fuggvenyek els}o parcialis derivaltjait: f(, y, z) = y z 3 + + y + zy b) f(, y, z, u, v) = e u+vy z c) f(, y, z, u, v) = cos(yz + u + v) d) f(, y, z, u, v, w) = sin 3u cos(v + yz)w. Vizsgaljuk meg a kovetkez}o fuggvenyeket, allaptsuk meg, hogy van-e szels}oertekuk, s ha igen, akkor hol, es ezek mekkorak! f(, y)= +y y, g(, y) = ( ) +(+y) 4, h(, y)= y 3y+y 4 Mátriok, determinánsok. Legyen -3 - ( A = 3 4, B = -5 3, C = 4 5 6 5 6 4 3 Szamtsuk ki az A + B, A B, 3A B, AC, CA, (A + B)C es AC + BC matriokat.. Hatarozzuk meg az alabbi determinansok erteket: 3 4, b) i 3 i, c) 3 4 6, d) 3 3 e), f) 3 5. 3 5 3 3 ). 3 3 5, 3. Allaptsuk meg a determinans segtsegevel, hogy invertalhato-e az A matri, ahol A =. Szamtsuk ki az A matri inverzet. 5

Lineáris egyenletrendszerek. Oldjuk meg Gauss eliminacio segtsegevel a kovetkez}o linearis egyenletrendszereket! + 4 = 5 + = b) + 3 = 6 + 3 = 5 3 + + 5 3 = 3 c) 3 + + 3 = 4 6 3 = 7 3 + 6 3 = 4 d) 3 + + 3 = 4 6 3 = 7 5 + 3 =. Oldjuk meg a Cramer-szabaly alkalmazasaval a kovetkez}o linearis egyenletrendszereket! + 4 + 3 = 5 3 + + 3 = 4 3 = b) + 3 = + 3 3 = 5 + 3 + 4 3 = 6 Vektorterek, vektorrendszerek. Vizsgaljuk meg, hogy az A := {a, a, a 3 } vektorrendszer bazis-e R 3 -ban, ahol a = (,, ), a = (,, ), a 3 = (,, );. Vizsgaljuk meg, hogy mekkora az A = {a, a, a 3, a 4, a 5 } vektorrendszer rangja, ahol a = (, ), a = (, ), a 3 = (, ), a 4 = (, ), a 5 = (3, 7); Lehetseges-e a megadott A vektorrendszer alkalmas vektorainak felhasznalasaval megadni R egy bazisat? Lineáris leképezések. Tekintsuk a ϕ : R 3 R 3 linearis lekepezest, ahol ϕ(, y, z) := (, + y, + y + z). Hatarozzuk meg a ϕ bazisat az A := {a, a, a 3 } bazisra vonatkozoan, ahol ( a = (,, ), a = (,, ), a 3 = (,, ), (b) a = (,, ), a = (,, ), a 3 = (,, ),. Legyen ϕ, ψ : R 3 R 3 linearis lekepezes, ahol ϕ(, y, z) := ( + y, y, y + 3z), ψ(, y, z) := ( + z, + y, 4y + 3z). Irjuk fel a ϕ, ψ, ϕ + ψ, ϕ ψ, 3ϕ, 3ϕ + ψ, ϕ ψ, es a ψ ϕ kanonikus bazisra vonatkozo matriat. 3. Tekintsuk a kovetkez}o linearis transzformaciokat: ϕ : R R ϕ (, ) := ( +, ) ϕ : R R ϕ (, ) := (, 4 ) ϕ 4 : R 3 R 3 ϕ 4 (,, 3 ) := ( +,, 3 ) Hatarozzuk meg a transzformaciok sajatertekeit es sajatvektorait. 6