11. MEREV TESTEK MECHANIKÁJA

Hasonló dokumentumok
8.1. A rezgések szétcsatolása harmonikus közelítésben. Normálrezgések. = =q n és legyen itt a potenciál nulla. q i j. szimmetrikus. q k.

Tehetetlenségi nyomatékok

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek

Lineáris programozás

Kardos Montágh verseny Feladatok

Kényszereknek alávetett rendszerek

A térbeli szabad vektorok V halmaza a vektorok összeadására, és a skalárral való szorzásra vonatkozóan egy háromdimenziós vektorteret alkot.

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Megoldás: Először alakítsuk át az a k kifejezést: Ez alapján az a 2 a n szorzat átírható a következő alakra

TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK...

PPKE ITK Algebra és diszkrét matematika DETERMINÁNSOK. Bércesné Novák Ágnes 1

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): ---

(2) Határozzuk meg a következő területi integrálokat a megadott halmazokon: x sin y dx dy, ahol T : 0 x 1, 2 y 3.

9. HAMILTON-FÉLE MECHANIKA

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN

mateksoft.hu ( ) 2 x 10 y 14 Nevezetes azonosságok: Hatványozás azonosságai Azonos kitevőjű hatványok: + 9 ( 2x 3y) 2 4x 2 12xy + 9y 2

V. Deriválható függvények

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK

Matematika A1 vizsga elméleti kérdések

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

Minta feladatsor I. rész

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer

A Gauss elimináció M [ ]...

a) b) a) Hengeres forgórészű és b) kiálló pólusú szinkron gép vázlata

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén

A + B = B + A A B = B A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( A B ) C = A ( B C ) A ( B + C ) = ( A B ) + ( A C ) A + ( B C ) = ( A + B ) ( A + C )

Heves Megyei Középiskolák Palotás József és Kertész Andor Matematikai Emlékversenye évfolyam (a feladatok megoldása)

Differenciálszámítás. Lokális szélsőérték: Az f(x) függvénynek az x 0 helyen lokális szélsőértéke

A valós számok halmaza

Az integrálszámítás néhány alkalmazása

Lineáris programozás

1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2

A Hamilton-Jacobi-egyenlet

SMART, A TÖBBSZEMPONTÚ DÖNTÉSI PROBLÉMA EGY EGYSZERŰ MEGOLDÁSA 1

Közelítő és szimbolikus számítások haladóknak. 9. előadás Numerikus integrálás, Gauss-kvadratúra

2014/2015-ös tanév II. féléves tematika

Egy szép és jó ábra csodákra képes. Az alábbi 1. ábrát [ 1 ] - ben találtuk; talán már máskor is hivatkoztunk rá.

SOROZATOK. A sorozat megadása. f) 2; 5; 10; 901 g) 2 ; 2 5 ; h) a 1. ; j) 1; -2; 3; -30. = 203. Legyen a sorozat két szomszédos eleme a k

2010/2011 es tanév II. féléves tematika

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05

x + 3 sorozat első hat tagját, ha

V. Koordinátageometria

Matematika A2a - Vektorfüggvények elméleti kérdései

18. Differenciálszámítás

Koordinátageometria összefoglalás. d x x y y

Gyakorló feladatsor 11. osztály

Kinematika: A mechanikának az a része, amely a testek mozgását vizsgálja a kiváltó okok (erők) tanulmányozása nélkül.

Differenciálgeometria feladatok

1. Hibaszámítás Hibaforrások A gépi számok

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Olimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009

= λ valós megoldása van.

Emlékeztető: az n-dimenziós sokaság görbültségét kifejező mennyiség a Riemann-tenzor (Riemann, 1854): " ' #$ * $ ( ' $* " ' #µ

1.2. Ütközés Ütközési modell, alapfeltevések Ütközés 3

Versenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr.

GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET

1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok

1. NAP 9. OSZTÁLY. Lackó József, Csíkszereda 2. Az ab,, a b

2. ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET

5. SZABAD PONTRENDSZEREK MECHANIKAI ALAPELVEI, N-TESTPROBLÉMA, GALILEI-

A FUNDAMENTÁLIS EGYENLET KÉT REPREZENTÁCIÓBAN. A függvény teljes differenciálja, a differenciális fundamentális egyenlet: U V S U + dn 1

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.

1. Fejezet A sorozat fogalmának intuitív megközelítése

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI október 25. KÖZÉPSZINT I.

Bevezetés az elméleti zikába

44. HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MATEMATIKAVERSENY MEZŐKÖVESD, 2015 Szóbeli feladatok megoldásai. Megoldás: 6

A vezetői munka alapelemei - Döntéselmélet, döntéshozatal lehetséges útjai

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok

1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok

Komplex számok (el adásvázlat, február 12.) Maróti Miklós

1. Gyökvonás komplex számból

Háromszög n egyenlő területű szakaszra osztása, számítással és szerkesztéssel. Bevezetés

Szoldatics József, Dunakeszi

Matematika B4 I. gyakorlat

2. Gauss elimináció. 2.1 Oldjuk meg Gauss-Jordan eliminációval a következő egyenletrendszert:

Egy látószög - feladat

KÖRMOZGÁS, REZGŐMOZGÁS, FORGÓMOZGÁS

Emelt szintő érettségi tételek. 3. tétel: Nevezetes ponthalmazok síkban és térben

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a

Metrikus terek. továbbra is.

2. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Triesz Péter, egy. ts.; Tarnai Gábor, mérnök tanár) Erők eredője, fölbontása

EGY ABLAK - GEOMETRIAI PROBLÉMA

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...

1. Sajátérték és sajátvektor

II. ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET

Energetikai gazdaságtan 3. gyakorlat Gazdasági mutatók

FELVÉTELI VIZSGA, július 15.

n természetes szám esetén. Kovács Béla, Szatmárnémeti

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

Folytonos idejű rendszerek stabilitása

2. REZGÉSEK Harmonikus rezgések: 2.2. Csillapított rezgések

Vektortér fogalma vektortér lineáris tér x, y x, y x, y, z x, y x + y) y; 7.)

XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február II.forduló -10. osztály

1. ábra. 24B-19 feladat

Átírás:

. MEREV TESTEK MECHANIKÁJA.. Merev test defiíciój Oly test, melyek bármely két potj közti távolság mozgás folymá álldó. Modell: Merev potredszer: m,, m, r,, r A tömegpotokt kössük össze súlytl merev rudkkl. r i r j =d ij mozgás sorá álldó i, j=,, Ez merev test egy holoom, szkleroom potredszer. A szbd merev test helyzetéek megdásához 6 függetle dt szükséges. (Kivétel lieáris merev testet, hol 5 függetle dt is elegedő.) A merev test 6 szbdsági fokkl redelkezik (6 függetle dt) Bizoyítás: ) A merev test egy tetszőleges potják megdás O és z iráyultság megdás összese 6 dt. Legye K ierciredszer (lbortóriumi redszer): O, e, e, e Legye K merev testhez rögzített redszer: O, e, e, e Aháy dt K helyzetéek meghtározásához szükséges, yi dttl tudom leíri merev test helyzetét. m i r i K-be yugszik O : R ( dt), e, e, e (szimmetri dt), mert { e dt } e dt például: Euler-szögek e = e e b) Egy merev test helyzetéek megdásához elég em egy egyeesbe eső potják megdás r, r, r : 9 dt, melyek közül csk 6 függetle, mivel egyeletek fe kell álli d = r r ; d = r r ; d = r r

.. Kiemtik lptétele Egy merev test tetszőleges elmozdulás felbothtó egy trszlációr (eltolásr) és egy rotációr (forgtásr). A bizoyítást ifiitezimális (végteleül) kicsiy elmozdulásr végezzük el. Felhszáljuk forgó votkozttási redszerre votkozó összefüggéseket (ld.:4. Fejezet). K z együttforgó redszer. r,,, r = Rr e i = e i ; i=,, K r = R K r K = V O v r, potji yuglomb vk. mivel merev testhez rögzített redszerbe merev test A merev test egy tetszőleges potják sebessége: v = V O r, illetőleg elmozdulás dt idő ltt: trszláció rotáció v dt=d r = V O dt dt r d r =d R d r d R d r Az első tg trszláció, második pedig rotáció... Dimik A merev test fázistere dimeziós (f=6), dimiki egyelet -edredű közöséges differeciálegyelet redszer, melyet z impulzustétel és z impulzusyomték-tétel szolgáltt: P= F külső ; L O = M O külső, hol P r ; L O r r Írjuk fel merev test impulzusát: P r V O r = m [ V O r tkp ]= r tkp ; r tkp z O illetve O -ből tömegközéppotb húzott vektor [ tömegközéppot defiíciój: r tkp = Írjuk fel merev test impulzusyomtékát is: L r V O r = = = r tkp V O r ] r tkp V O m v tkp r = R r r r = J

L= = = { r tkp V O R r tkp }J = Rr tkp R V O r tkp v tkp =R P = r tkp V O J m r tkp V O J = H O -t tömegközéppotb helyezzük, kkor L O = r tkp P J pályimpulzusyomték Mith test teljes tömege bele lee sűrítve tömegközéppotb és z mozog. A J = r r meyiség merev test perdülete. A formulából látszik, hogy perdület szögsebesség homogé lieáris függvéye. J r r =, hol homogé lieáris trszformáció z ú. tehetetleségi tezor. A tehetetleségi tezor kompoesei K-b illetve K-be: J i r r r r i r i j x j j x i r j = x i e i ; i j= j ij ( szumm jeleket kéyelmi okokból em midig írjuk ki) J i j= = r ij x i x j j ij j j = Mátrix jelöléssel: J tehetetleségi tezor J J = Itt bevezettük tehetetleségi tezor kompoeseire ij r ij x i x j jelölést. Ebből közvetleül leolvshtó, hogy tehetetleségi tezor szimmetrikus: ji = ij A digoális kompoesek tegelyekre votkozttott tehetetleségi yomtékok: Az -es tegelyre votkozttott tehetetleségi yomték: r x x x

A -es tegelyre votkozttott tehetetleségi yomték: r x x x A -s tegelyre votkozttott tehetetleségi yomték: r x x x A em-digoális elemek z ú. deviációs yomtékok: = = x x ij = ji = x i x j ; i j H folytoos tömegeloszlást tételezük fel, kkor tömegpotokr vett összegzés helyett test térfogtár vett itegrálásokt kell hszáli: dv V Például: = xx = y z = x, y, z y z dv V 4

.4. Merev test mozgási eergiáj T m v m V O r = m V O V O m tkp r T rot Az első tg trszlációs, vgy hldási eergi, második tg z ú. kölcsöös eergi, hrmdik pedig rotációs, vgy forgási eergi: T rot = i, j r r r = r ij x i x j r cos ; r = i j = i, j T rot = =,, ij i j T =T trszlációs T kölcsöös T rotációs H z O -t tömegközéppotb tesszük, kkor r tkp és így mozgási eergiát z össztömeg hldási és forgási eergiáj dj..5. A tehetetleségi tezor tuljdosági J= tehetetleségi tezor defiíciój, kompoesei K-b: K : O ; e ; e ; e : O ij [ r ij x i x j ] (időbe változó). H kompoeseket K-be írjuk fel, kkor: K : O ; e ; e ; e : O i j [ r i j x i x j ] = kompoesek időbe álldók. Emitt, h mást em moduk, tehetetleségi tezor kompoeseit z együttforgó redszerbe djuk meg. r i x i e i x i e i i = Az együttforgó redszerre votkozttott kompoeseket tömegeloszlás és geometri htározz meg. 5

[ Pl.: ; b; c; féltegelyű homogé ellipszoidr ] (Az itegráláshoz hszáljuk gömbi polárkoordiátát!) =álldó= m V, V =4 b c xx = m 5 b c Tuljdoságok: szimmetrikus: i j = j i pozitív T rot = = J T rot = = J m r 0 Következméyek: Sjátértékei vlósk és pozitívk (kivéve lieáris merev test) Midig v oly K, melybe i j digoális (ú. főtehetetleségi redszer), melybe digoálisb tehetetleségi tezor sjátértékei:,, 0 állk.,, -ból háromszög szerkeszthető i j k y z? z x x y Szimmetriák: H merev testek v tükörsíkj, kkor z egyik főtegely merőleges tükörsíkr, h merev testek v forgástegelye (szimmetritegelye), kkor z főtegely. Steier-tétel: O i j = i j tkp m [ r tkp i j x tkp i x tkp j ] Bizoyítás: r =r tkp r i j De [ r i j x i x j ] = [ r tkp r i j x tkpi x i x tkp j x j ]= [ r i j x i x j ] [ r tkp r i j x tkp i x j x i x tkp j ] r, így z utolsó szumm ullát d. [ r tkp i j x tkp i x tkp j ] A és B testek legyeek diszjuktk (külöállók) és legyeek mereve összecstolv: O v egy A B testük: AB = O O A B vgyis tehetetleségi tezor dditív 6

Tehetetleségi yomték defiíciój: A merev testek O - átmeő tegelyre votkozttott tehetetleségi yomtéká = O kvdrtikus lkot értjük. Ez megegyezik szokásos defiícióvl: = i i j j i [ r i j x i x j ] j = i, j = i, j [ r i i j j i x i x j j i, j r [ r r ] l r r ] hol l z távolság forgástegelytől. = H ismerjük tehetetleségi tezort, kkor köye kiszámolhtjuk egy tetszőleges iráyú tegelyre votkozó tehetetleségi yomtékot: cos, cos, cos xx xy xz cos,, =cos, cos, cos yx yy yz zx zy zz cos= xx cos xy cos xz cos =cos, cos, cos yx cos yy cos yz zx cos zy cos zz cos= = xx cos yy cos zz cos xy cos cos xz cos cos yz cos cos A Steier-tétel szokásos lkj pedig: O =? tkp m s i, j = tkp m [ r tkp r tkp ] s O -höz trtozó tehetetleségi ellipszoid: x O x= i O i j j = i [ tkp i j m r tkp i j x tkp i x tkp j ] j = x y b z c = x y z = K főtehetetleségi redszerbe: ~ 0 0 0 0 0 0 7

0 0 x, y, 0 z 0 x z y = 0 0 x D O x D =; x D =d d O = d =.6. Egy potjáb rögzített merev test (pörgettyű) mozgásegyeletei Helyezzük K és K origóját egyrát rögzített potb, és írjuk fel z O-r votkozó impulzusyomtékot (perdületet) és z impulzusyomték-tételt! f = K, e, e, e K, e, e, e e i = e i L O =J = L O = M O külső szbd kéyszer = M O külső szbd A kéyszererők forgtóyomték ull, mivel kéyszererők rögzítési potb htk, így forgtóyomtékuk rögzítési potr votkozó ull. A kéyszererők z O-b támdk M O kéyszer J K = M O szbd Térjük át z együttforgó K redszerre: J K = J K J = M O külső szbd K legye főtehetetleségi redszer:,, J = ; J = ; J = ( vesszőket elhgyjuk) J = ; J = ; J = J = J J = = A pörgettyűk Euler-egyelete: =M =M =M 8

Az,, szögsebesség kompoesek kifejezhetők z Euler-szögekkel (áltláos koordiáták), vlmit zok időderiváltjivl (áltláos sebességek). Az Euler-egyeletek megoldás segítségével z Euler-szögek időfüggésére tuduk felíri elsőredű differeciálegyeletet. A következőkbe pörgettyűk legegyszerűbb esetét tárgyljuk..7. Erőmetes szimmetrikus pörgettyű Aimáció: http://www.youtube.com/wtch?v=wukulhp67a&feture=relted oldlo. Nicseek külső szbderők, (külső) kéyszererők O=O -be támdk M O kéyszer J K = M J=álldó K -b: e J (A hrmdik tegelyt iráyítsuk J -vel párhuzmos!) Térjük vissz K redszerre: = ( megfelelő -kl átosztuk) = = = Aimáció: http://www.youtube.com/wtch?v=wukulhp67a&feture=relted oldlo. Szimmetrikus: v egy szimmetritegelye (forgtásr): főtegely e e sjátvektor tehetetleségi tezork, hozzátrtozó sjátértéke ~ 0 0 0 0 = szimmetrikus pörgettyű (Még speciálisbb esetek: ) = = : gömbi pörgettyű, b) lieáris test: test tömege z e meté helyezkedik el, (rúd)) Mivel =, ezért : z vetülete szimmetritegelyre álldó: =c Jelölés: =álldó 9

= = = = ; Megoldás: = cos t = = si t = si t = c =álldó = c =álldó cos= c c = cos t e si t e c e. Állítás: és x szöge álldó: egy félyílásszögű kúpo forog szimmetritegely körül. A forgás szögsebessége: = J = = cos t J = si t= si t J = c J =J e J e J e = cos t e si t e c e J = c e J = c =álldó. Állítás: J, és e egy síkb v mide időpilltb. J, e = cos= J e J e = J J =álldó utációs kúp. Állítás: A szimmetritegely J körül pr = J szögsebességgel egyeletes precessziót végez ( utációs kúpo). 0

Bizoyítás: = pr l A szimmetritegely mekkor szögsebességgel forog J körül? v p = r p = pr r p A precesszió szögsebessége pr def. = e = pr e = pr cos J = = J J pr = J cos cos = cos = J =álldó 4. Állítás: J, = T rot = J J = c =álldó= T rot cos = J J = T rot J =álldó 5. Állítás: test szimmetritegely körül l szögsebességgel forog. Aimáció: http://www.youtube.com/wtch?v=wukulhp67a&feture=relted oldlo..8. Forgás rögzített tegely körül Rögzített tegely: v egy fix helyzetű egyees (ez z egyees legye egyelő e =e -vel és z O=O pot legye rjt). f = : z elfordulás szöge z áltláos koordiát. külső szbd kéyszer L= M = e = e = = A kéyszererők tegely meté támdk, ezért forgtóyomtékuk merőleges tegelyre, vgyis hrmdik kompoesük ull: M külső kéyszer d dt =M külső szbd

= =M szbd.9. Szbdtegelyek Tétel: Bármely merev testek leglább szbdtegelye v, mégpedig tömegközéppoto átmeő főtehetetleségi tegelyek. Szbdtegely: Oly forgástegely, mely körül mgár hgyott merev test egyeletes forgást végezhet. Keressük meg k feltételét, hogy e kellje kéyszererőt lklmzi forgástegely megtrtásához ( forgástegely mgától is helyé mrdjo)! Rögzített tegelyél: =álldó J = ; = e = e = J = = J = J K J = M kéyszer J = J K Első kompoes: kéyszer J = J J =M =M kéyszer Második kompoes: kéyszer J = J J =M =M kéyszer

Ak feltétele, hogy e kellje kéyszererőt lklmzi z, hogy -s tegelyre votkozó deviációs yomtékok eltűjeek: : : Ak szükséges feltétele tehát, hogy -s tegely szbdtegely legye: ~ 0 0 0 0, zz -s tegelyek főtegelyek kell leie. Tömegközéppotot-tétel: m r tkp F külső szbd kéyszer H tömegközéppot ics forgástegelye, kkor körpályá mozog, ezért gyorsul, vgyis, hogy e kellje erőt lklmzi, szükséges feltétel, hogy r tkp tegelye legye. A -s tegely tehát szbdtegely, h átmegy tömegközéppoto és főtehetetleségi tegely iráyáb mutt..0. A gömböc, potos két egyesúlyi helyzettel redelkező merev test V.I. Arold sejtése szerit létezik oly homogé (tehát egy ygból készült test), mely kizárólg egy stbil és egy istbil helyzettel redelkezik. Az ismert gyerekjáték, keljfeljcsi például vlób midig ugybb helyzetbe tér vissz, zz egy stbil potj v, de em homogé, hisz visszgurulást bee lévő ehezék, például ólom biztosítj. A Gömböc léyegéek megértéséhez tisztázi kell z egyesúlyi helyzetek jeletőségét is. Egy kockák például ht stbil egyesúlyi helyzete v ht lpj. H ezekre fektetve tesszük le, biztos ott mrd. Istbil egyesúlyi helyzet lkul ki z élek meté: ezeke egy ideig megáll kockák, de előbb-utóbb eldől, és vlmelyik stbil potjáb (lpjá) állpodik meg. Arold professzor sejtette, hogy v oly test, melyek egy stbil és egy istbil potj v, Domokos Gábor, pedig godolkodott rjt, és közbe keresett ilye formákt természetbe is. Egy rhodoszi yrlás ltt például kétezer kvicsot válogtott át feleségével ( ez már mjdem válóok jegyzi meg viccese Domokos), de feltételek megfelelőt egyet sem tláltk. Gömböc meglkotásához végül Várkoyi Péter dt z ötletet. Mide testek v lposság és hosszúság, e tuljdoságok számszerűsíthetők. A miimális érték természetese egy midkét jellemző esetébe. A kuttók bebizoyították, hogy csupá egy stbil és egy istbil pottl redelkező test legikább gömbhöz hsolít, tehát lposság és hosszúság is miimum, zz - értéket kp. Az új form ie kpt Gömböc evet. Gömböc egyébkét két egymásr merőleges szimmetrisíkkl redelkezik. A gömböcre votkozó részleteket megtlálj http://www.geogrphic.hu/idex.php? ct=pi&rov=&id=8798 holpo. A gömböc mozgását http://www.gomboc.eu/site.php holpo tekitheti meg.

.. Feldtok... Az m tömegű, l hosszúságú homogé rúd vízszites tegelyű csuklóvl kpcsolódik z szögsebességgel forgó függőleges tegelyhez. ) Írj fel Lgrge-függvéyt! b) Írj fel mozgásegyeleteket! c) Htározz meg 0 egyesúlyi helyzet körüli kis rezgések frekveciáják függését z -tól ( 0 = cos t!)... Az r sugrú homogé heger egy R sugrú hegerfelület belsejé gördül. ) Adjuk meg mozgási eergiát! b) Írjuk fel Lgrge-függvéyt! c) Htározzuk meg z egyesúlyi helyzet körüli kis rezgések periódusidejét!... Az m tömegű l hosszúságú rúd függőleges tegelyhez v rögzítve fix 0 szög ltt. Mekkor forgtóyomtékkl kell trti függőleges tegelyt, h forgás szögsebessége?..4. Egy és b oldlú sík tégllpot z átlój, mit tegely körül álldó szögsebességgel forgtuk. Milye iráyú és mekkor forgtóyomtékkl tudjuk forgástegelyt fixe trti?..5. A Föld forgási ellipszoidk tekithető, melyek féltegelyei kb. =670 km, ill. b=60 km. Az erőmetes szimmetrikus pörgettyűre votkozó eredméyek lpjá milye becslés dhtó precesszió periódusidejére? (Meyi idő ltt fordul körbe Föld forgástegelye Föld polártegelye körül?)..6. Htározzuk meg H, HD és D molekulák tömegközéppotr votkozó tehetetleségi yomtékik ráyát, feltéve, hogy kötéstávolság midhárom esetbe zoos!..7. Mutssuk meg egyszerű megfotolások segítségével, hogy egy szbályos tetréderek tömegközéppotjár votkozó fő tehetetleségi yomtéki egyelőek!..8. Egy merev test egy rjt átmeő tegely körül forog. A tegely trtás közbe mit érzékelük következő esetekbe: ) tegely em megy át test tömegközéppotjá, de párhuzmos z egyik fő tehetetleségi tegellyel; b) tegely átmegy tömegközéppoto, de em esik egybe egyik fő tehetetleségi tegellyel sem; c) tegely átmegy tömegközéppoto és egybeesik vlmelyik fő tehetetleségi tegellyel?..9. Htározzuk meg z m tömegű, R sugrú, h mgsságú kúp tehetetleségi yomtékát egyik lkotójár votkozttv!..0. Egy merev, l hosszúságú és elhygolhtó tömegű rúd végeire M és M tömeget helyezek.( M és M méretei l -hez képest elhygolhtók.) A rudt reá merőleges tegely körül forgásb hozzák. A rúd mely potjá kell tegelyek keresztülhldi hhoz, hogy rúd szögsebességgel vló megforgtásához szükséges muk miimális legye? 4

... m tömegű, homogé rudt z egyik végétől x távolságr levő, rúdr merőleges tegely körül szögsebességgel forgtuk. Mekkor x eseté lesz kietikus eergi miimális?... Elhygolhtó méretű rúd két végére m tömegű testeket erősítük. Az így kpott súlyzót súlypotjá átmeő, rúddl szöget bezáró tegely körül szögsebességgel forgtjuk. Számíts ki ) súlyzó impulzusmometumát; b) súlyzór htó forgtóyomtékot; c) cetrifugális erő forgtóyomtékát!... Htározz meg z m tömegű, l hosszúságú rúd forgási eergiáját, h ) középpotjá átmeő, rúddl szöget bezáró tegely körül forgtjuk; b) z előzővel párhuzmos oly tegely körül forgtjuk, mely súlypottól d távolságr metszi rudt!..4. m tömegű, R sugrú, elhygolhtó vstgságú homogé körlpot súlypotjá átmeő tegelyre rögzítük úgy, hogy körlp síkj szöget zárjo be tegellyel. Htározzuk meg körlp kietikus eergiáját, h szögsebességgel forgtjuk tegelyt!..5. Egy létr tetejére egy M tömegű, két szárák másik végpotjihoz egy-egy m tömegű testet erősítük. (A létr szár elhygolhtó tömegű.) Mekkor sebességgel ér földet z M tömegű test? 5