Kitűzött feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 69 1. KITŰZÖTT FELADATOK Határozd meg az összes szigorúa mooto f:z Z függvéyt, amely teljesíti az f ( xy) = f ( y), x, y Z összefüggést és létezik k Z, k, amelyre f ( k) = k.. Az f, g:n N függvéyek teljesítik az f ( ) = g( ) egyelőséget mide N eseté. Bizoyítsd be, hogy ha f bijektív, akkor g() = 1, N 3. Határozd meg az összes f:r + R + bijektív függvéyt, amelyre 1 1 ab ( af ( a) + bf ( b)), a, b R+ 4. Határozd meg az összes olya elsőfokú f: R R függvéyt, amelyre f f... f = f 5. Határozd meg azokat a másodfokú f: R R függvéyeket, amelyekre f ( x + 1) = f (, R 6. Ha a R egy rögzített valós szám, bizoyítsd be, hogy az 1+ f ( x + a) = 1 egyeletet mide x R -re teljesítő függvéyek periodikusak Adjál példát ilye függvéyre 7. Adjál példát olya f:r R függvéyre, amely teljesíti az p f ( x + T ) = + p f ( egyelőséget mide x R eseté Bizoyítsd be, hogy mide ilye függvéy periodikus 8. Határozd meg az összes olya bijektív f: N N függvéyt, amelyre a g:n R x g ( = függvéy övekvő 9. Határozd meg az össze mooto és bijektív f:r R függvéyt, amelyre f x + f 1 ( ) ( = x, R 10. Legye P egy valós együtthatójú poliom. Határozd meg az összes olya f:r R függvéyt, amelyre f ( x + t) = P(, R ( t R rögzített) 11. 1. Bizoyítsd be, hogy em létezik olya f : R + R +, + + f ( x + y) = y, x y R Bizoyítsd be, hogy em létezik olya P R[ x] bijekció, amelyre, poliom, amelyre P ( x + ) + P( = P( x + 1), x R ( P 0)
70 Kitűzött feladatok. Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 13. Bizoyítsd be, hogy ha az f:r R függvéy teljesíti az f ( x + y) + f ( x y) = f ( y) egyeletet, mide x R eseté, akkor 14. 15. 1, x R vagy f( 1, x R Határozd meg az összes f:r R mooto függvéyt, amelyre f f f = 1R. A g : Z Z függvéy teljesíti a g ( x + y) g( + g( y), x, y Z, g ( 1) = g( 1) = 1 valamit g ( 0) = 0 összefüggéseket. Bizoyítsd be, hogy g( ) = (Helyi olimpia, 1985., Valeti Matroseco) 16. Szerkesszél olya f: R R függvéyt, amelyre f( f( )= 9x+ 1986 és az f grafikoja egyetle valódi szakaszt sem tartalmaz (Helyi olimpia, 1986., Ştefa Alexe) 17. Határozd meg azokat az f, g : N N függvéyeket, amelyek teljesítik az f ( g( ) = g( ) = x + 1 összefüggést mide x N eseté (Helyi olimpia, 1989., Arad megye, I. Crişa) 18. Létezek-e olya függvéyek, amelyek teljesítik az f ( y + ) = x + yf ( x + y) összefüggést bármely x, y R eseté? (Helyi olimpia, 1989., Dolj megye, Marcela Popescu) 19. Határozd meg az összes olya g : R R függvéyt, amelyre ( f g)( x + 1985) f ( g( + 1985), R, ha f:r R egy szigorúa mooto (rögzített) függvéy (D.M. Bătieţu) 0. Az f: R R ijektív függvéy teljesíti a következő feltételeket: o 1 f ( r) = r, r Q \ 1 ; o { } f ( x + y) = + f ( y),, y R ; o 3 f ( xy) = f ( y),, y R. a) Bizoyítsd be, hogy > 0, x R+, és hogy f szigorúa övekvő b) Határozd meg az összes ilye függvéyt (Helyi olimpia, 1985., Galaţi, C. Ursu) 1. Határozd meg az összes f: R R függvéyt, amelyre f f f = 1R és a g: R R, g ( = x + + f ( ) függvéy ijektív. a) Határozd meg az összes f:r R ijektív függvéyt, amelyre f ( ) =, R b) Határozd meg az összes g: R R szürjektív függvéyt, amelyre g g = g 3. Legye A P(E) egy rögzített halmaz és f ( X ) = A X, X P(E). Bizoyítsd be, hogy f bijektív és határozd meg az iverzét 4. Az f,g, h: R R függvéyek teljesítik a következő feltételeket: 1) g bijektív; ) 1 f ( g( + f ( g ( ) 6x + = 0, R ; 3) + f ( g( ) 6g( + 5 = 0 ; 4) h f = f h.
Kitűzött feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 71 a) Határozd meg f-et és g-t b) Bizoyítsd be, hogy létezik olya x 0 R, amelyre h ( h( x0 )) = x0 5. Határozd meg az összes olya f: R R ijektív függvéyt, amelyre ( f f... f )( + ( f f... f )( =, x R, m+ 1 ahol m N rögzített. (Helyi olimpia, Bukarest, 1990., D.M. Bătieţu) 6. Létezik-e olya f:r R ijektív függvéy, amelyre 3 3 3 4 3 f ( x ( x x + 1)) f ( x ( x x + 1)) + 4, R? 7. m Bizoyítsd be, hogy potosa akkor létezik olya f:r R függvéy, amelyre a f (( a + 1) af ( x + a ) + 1 0, R,, ha a { 11} 8. Bizoyítsd be, hogy az f ( x + y) = max(, y) + mi( f ( y),, egyeletet teljesítő f:r R függvéyre x, y R = x, x R (Megyei olimpia 1990.) 9. Bizoyítsd be, hogy ha f, g:r R és g f = f g valamit g-ek egy vagy két fix potja va, akkor f f -ek va legalább egy fix potja 30. Bizoyítsd be, hogy em létezik olya f: N N szürjektív függvéy, amelyre f ( ) a, N, ha a > 0 (Jeică Crâgau) 31. Bizoyítsd be, hogy végtele sok olya f: N N bijektív függvéy létezik, amelyre ( f f... f )( x mide x N és N eseté (Io Savu) 3. Bizoyítsd be, hogy em létezik olya f: R R bijektív függvéy, amelyre Q vagy f ( x ) Q mide x R eseté (Jeică Crâgau) 33. Legye k N egy rögzített szám. Bizoyítsd be, hogy ha az f: R R függvéyre teljesül az ( f P)( = ( P f )( összefüggés mide x R eseté és mide k-ad fokú P poliom függvéyre, akkor = x, R (Sori Dăscălescu) 34. Határozd meg az összes olya övekvő f : R [ 0, függvéyt, amelyre a h : R [ 0,, h ( = függvéy övekvő mide g : R [ 0, övekvő g( függvéyre (M. Piticari) 35. Az f:n N bijektív függvéy teljesíti az f ( + 1) = f () + 1 összefüggést mide N -re. Bizoyítsd be, hogy f ( ) + páros mide N -re (Ali Pop) 36. Bizoyítsd be, hogy mide f : Z ( 0, függvéyre létezek olya g( g, h : Z ( 0, övekvő függvéyek, amelyekre f ( x ) =, x Z h( 37. Határozd meg az összes olya f: N N mooto függvéyt, amely teljesíti a következő feltételt: N m N úgy, hogy ( f f... f )( = x (D.M. Bătieţu, Ali Pop)
7 Kitűzött feladatok. Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 38. Határozd meg az összes szigorúa mooto f: R R függvéyt, amelyre f ( x + f ( y)) = f ( x + y) + 1,, y R (Megyei olimpia, 1993., Hargita megye) 39. Az f:n N övekvő függvéyre létezik olya x N, hogy f( < x. Bizoyítsd be, hogy va olya y N, amelyre f ( y) = y Adjál példát ilye függvéyre (Megyei olimpia, 1994., Szebe, M. Gârjoabă) 40. Bizoyítsd be, hogy ha az f, g: R R szigorúa mooto függvéyekre f f = g és g g = f, akkor f = g (Megyei olimpia, Călăraşi, 1993.) 41. Az f : [ 1, R szigorúa övekvő függvéy teljesíti az egyelőséget mide [ 1, ( f f f )( = x x + x -re. Számítsd ki f () 1 -et (Gh. Lazăr emlékversey, 199., Szász Róbert) 4. Az : N N függvéyekkel ( i = 1, k ) szerkesztett h f i 1 ( = max{ f i ( i = 1, k} és ( = mi{ f i ( i = 1, k} hogy h1 szürjektív és h ijektív. Bizoyítsd be, hogy f1 = f =... = f k (Matlap verseye, Kovács Lajos és Adrás Szilárd) 43. Határozd meg az összes olya f és g függvéyt (f, g: Z Z ), amelyekre f ( g( + y) = g( f ( y) +,, y Z és g bijektív 44. Határozd meg az összes f :{ x1, x,..., x } { x1, x,..., x } ijektív függvéyt, amelyre f( x ) x = f( x ) x =... = f( x ) x, ha 3 páratla és 1 1 h függvéyekről tudjuk, x i R, i =1, (Országos olimpia, 199., Botoşai, Ilie Romeo) 45. Bizoyítsd be, hogy ha az f: R R függvéy teljesíti az f ( x 3 ) és 3 3 f ( x ) 3 f ( x ) összefüggéseket mide x R eseté, akkor f em ijektív 46. Létezik-e olya em kostas függvéy, amelyek mide irracioális szám periódusa? Hát olya, amelyek mide racioális szám periódusa? 47. Bizoyítsd be, hogy ha f( x+ 1) f( + f( x+ 1) + 1 = f(, x R, akkor f periodikus 48. Az f: R R periodikus függvéyek T>0 egy periódusa. Bizoyítsd be, hogy ha az f (N) halmaz végtele, akkor T Q 49. Bizoyítsd be, hogy em létezik egyetle bijektív függvéy sem (f: N N ), amelyre f ( m) = f ( m) + f ( ) + 3 f ( m) f ( ), m, 1 (Balká olimpia 1991.) 50. Határozd meg az f: R R függvéyt, amely teljesíti a 4f ( + f ( + + f( + + 1= 4f( ( 1+ f( + ) egyeletet x R eseté (Bolyai Jáos emlékversey, 1993., Becze Mihály)
Kitűzött feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 73 51. Határozd meg az összes f: N N ijektív függvéyt, amelyre ( f( + 1) f( )) 1, N Ezek közül melyek bijektívek? (Laureţiu Duica emlékversey, 1997., Romeo Ilie) 5. Az f: R R függvéy teljesíti az ( f f )( = x egyelőséget mide x R - re. Ha f ( 0) = 0 számítsd ki f (1) -et (G.M. 10-11/1997., Cristiel Mortici) 53. Adjál példát olya bijektív f: N N függvéyre, amely teljesíti az f( 3m+ m+ ) = 4f( m) f( ) + f( m) + f( ) egyelőséget mide m, N -re és em idetikusa ulla (Nemzetközi olimpiára javasolt feladat, 1996.) 54. Az f: R R övekvő függvéyre f ( ) = si x, π 0,. Bizoyítsd be, π hogy létezik a 0,, amelyre f ( a) > 1 (G.M. 6/1997., Lucia Dragomir) 55. Az f: R R, f ( x + a + b) + = f ( x + a) + f ( x + b) egyelőséget mide a x R -re teljesítő függvéy korlátos. Bizoyítsd be, hogy ha Q, akkor f b periodikus (Nemzetközi olimpiára javasolt feladat, 1997.) 56. Legye A N egy halmaz és f:a A egy függvéy, amely külöbözik az idetikus függvéytől. Bizoyítsd be, hogy ha f ( m) f ( ) = m, m, A, akkor A végtele halmaz (G.M. 9/1996., Mircea Becheau) 57. Létezek-e olya f: R R ijektív függvéyek, amelyekre abf ( x a f (x ) b, R, ha a 0? (RMT 1/1997., Ştefa Alexe) 58. Legye m és két azoos paritású rögzített természetes szám és f: R R egy szigorúa mooto függvéy. Bizoyítsd be, hogy ha ( m) ( ) + = 3x, x R, akkor f = 1 R vagy f f = 1R (Avram Iacu emlékversey, 1996., Doria Popa) 59. Határozd meg az összes f: A A csökkeő függvéyt, amelyre f ( x + y) = + f ( y), y 0, és A = ( 0, ] (RMT 1/1997., Răzva Tudora) 60. Határozd meg az összes f: R R ijektív függvéyt, amelyre ( f f )( = a, R ( a R -rögzített) (Gh. Vrâceau emlékversey, 1988.) 61. Határozd meg az összes f: Q Q függvéyt, amelyre f ( xy + f ( y)) = y + f ( xy),, y Q.
74 Kitűzött feladatok. Ijektivitás és egyéb tulajdoságok (Gh. Vrâceau emlékversey, 1994.) 6. Az f: R R függvéy teljesíti az f ( ) = x összefüggést mide x R -re. Számítsd ki f (0) -t majd bizoyítsd be, hogy ha 0, R, akkor f ijektív (Spiru Haret Gh. Vrâceau emlékversey, 1995.) 63. f, g : 0, 0, ijektív függvéyt, amelyre Határozd meg az összes ( ) ( ) f ( xf ( y)) = f ( y), 1, y ( 0, és g ( xg( y)) =, g( yg( ), y ( 0, (Helyi olimpia, 1991., Kostaca, Gh. Adrei) 64. Szerkessz olya f: N N függvéyt, amely mide N -re az értéket - szer veszi fel (Grigore Moisil emlékversey, 199.) 65. Legye g : R R egy szürjektív függvéy. Határozd meg az összes f: R R függvéyt, amelyre f g = g (Grigore Moisil emlékversey, 1997.) 66. Határozd meg az összes f:q Q függvéyt, amelyre f ( P( ) = P( ), Q és mide egész együtthatós P poliomra (Traia Lalescu emlékversey, 1985., M. Diacoescu) 67. Bizoyítsd be, hogy em létezek olya f: R R ijektív függvéyek, 1 1 f + f + 1 x x amelyekre f ( ax + b), R, 3 ha a, b R, a 0 és b > 4a (Megyei olimpia, Argeş, 1997., Cristiel Mortici) 68. Határozd meg azokat a szigorúa mooto f: R R függvéyeket, amelyekre f ( x + f ( y)) = f ( x + y) + 1,, y R (Megyei olimpia, Bacău, 1997.) 69. Az f ( x ax + b) = a + b egyelőséget teljesítő f: R R függvéy lehet-e ijektív, ha a, b R és f ( x a) + a, x R? (Megyei olimpia, Brassó, 1997., Sori Cocoroadă) 70. Bizoyítsd be, hogy az f ( ) = x egyelőséget mide x R -re teljesítő f: R R függvéy bijektív (Megyei olimpia, Brăila, 1997.) 71. Bizoyítsd be, hogy ha a h: R R h ( = f ( g( )) függvéy bijektív, akkor f és g (f, g: R R ) is azok (Megyei olimpia, Buzău, 1997.) 7. Ha f: R R és ( f f f )( = x 9x + 5, számítsd ki f (5) -t (Megyei olimpia, Călăraşi, 1997., F. Cojocaru) 73. Határozd meg az f : R [ 1,1 ] függvéyt, ha f ( 3 + 4 f ( + = si x( + cos, R. (Megyei olimpia, Dolj, 1997., Euge Radu)
Kitűzött feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 75 74. Legye f: R R egy olya ijektív függvéy, amelyre létezik a, b R úgy, hogy f (1 = f ( ax + b), R. Lehet-e f szürjektív? (Megyei olimpia, Iaşi, 1997.) 75. Az f, g: R R függvéyek teljesítik az f ( ) = g( egyelőséget mide x R -re. a) Bizoyítsd be, hogy ha g szürjektív, akkor f ( 0) = 0. b) Igazold, hogy ha g ijektív, akkor igaz a következő kijeletés: f potosa akkor ijektív, ha f( 0, x R \ { 0}. (Megyei olimpia, Suceava, 1997., Da Popescu) 76. a) Bizoyítsd be, hogy létezik két (f és g ) poliom függvéy úgy, hogy x + 1 + (3x + 1) = g (, R b) Igazold, hogy f és g együtthatói em lehetek mid racioálisak (Maria Elea Paaitopol) 77. Bizoyítsd be, hogy mide függvéy felírható egy páros és egy páratla függvéy összegekét Egyértelmű-e ez a felírás? 78. Bizoyítsd be, hogy bármely f, g : [ 0,1] R függvéyekre létezik x, y 1 úgy, hogy + g( y) xy 4 79. Határozd meg az f, g, h: R R függvéyeket úgy, hogy teljesüljö a ( h g f )( x + y + z) + ( g f )( y + z) + f ( z) = x + y + 3z egyelőség mide x, y, z R eseté (G.M. 5/1983., Viorel Bădilă) 80. Bizoyítsd be, hogy ha a, b R+ és az f : R [ 0, b] függvéy teljesíti az f ( x a) + f ( x + a) = b egyelőséget mide x R eseté, akkor f periodikus Adjál példát ilye függvéyre (Gheorghe Adrei) 81. Az f :R 01, függvéy teljesíti az [ ] + f ( x+ a) + f ( x+ 3a) + f ( x+ 5a) =1 egyelőséget mide x R -re. ( a R -rögzített). a) b) c) Bizoyítsd be, hogy a g ( = f Igazold, hogy f periodikus Adjál példát ilye függvéyre ( + f ( x + a) függvéy periodikus 8. Bizoyítsd be, hogy az f: R R f ( x + 1) + f ( x 1) = egyelőséget mide valós x-re teljesítő f függvéy periodikus 83. Va-e az ( f f )( = x, R függvéyegyeletek em bijektív megoldása? Hát szigorúa mooto megoldása? Számítsd ki f ( 0) -t f, = ax + bx + c ( a, b, c R, a 0) függvéy. a) Bizoyítsd be, hogy a és a + c 5 84. Adott az : [ 1,1 ] [ 1,1 ] [ 0,1]
76 Kitűzött feladatok. Ijektivitás és egyéb tulajdoságok b) Határozd meg a legagyobb a-t, amelyre f ijektív c) Ha a = 1 határozd meg b -t és c -t úgy, hogy f szürjektív legye d) Bizoyítsd be, hogy a + b + c 4 e) Igazold, hogy a + b + c 5 f : 0,, f( xy) = f( + f( y) egyeletet 85. Bizoyítsd be, hogy az ( ) R teljesítő függvéy ijektív, ha 0, ( 0, \ { 1} Adjál példát ilye függvéyre 86. Létezek-e olya f és g függvéyek, amelyekre ( f g)( = x és ( g f )( = x, x R? (Aurel Ee) 87. Határozd meg az f ( + y) = f ( x + y) + f (0) egyelőséget mide 88. x, y R -re teljesítő ijektív függvéyeket (f:r R) Va-e olya : ( 0, ) ( 0, f bijektív függvéy, amelyre ( 0 + f ( x + y) = y,, y,? 89. Bizoyítsd be, hogy bármely f: R R függvéy felírható két ( f1, f : R R ) szürjektív függvéy összegekét 90. Az f: R R függvéy teljesíti az f ( ) = x + 1 egyeletet mide x R eseté. Bizoyítsd be, hogy a g( = x függvéy em ijektív 91. 9. 93. Határozd meg az összes : R [ 1, f szürjektív függvéyt, amelyre f ( x + f ( y)) = + xf ( y) + f ( y),, y R. Bizoyítsd be, hogy em létezik olya f: R R ijektív függvéy, amelyre f (1, R. Határozd meg az összes olya f: R R szigorúa övekvő függvéyt, amelyre f ( x + f ( y)) = f ( x + y) + 1,, y R. 94. a) Szerkesszél olya szürjektív függvéyt [ 1,1 ] -ről [ 11], -re, amely mide értékét végtele sokszor veszi fel b) Szerkessz olya f: N N szürjektív függvéyt, amely mide értékét végtele sok külöböző helye veszi fel és igazold, hogy mide ilye f-re létezik g: N N, amely szité redelkezik ezzel a tulajdosággal és a h: N N N, h ( = (, g( ) függvéy bijektív (Gh. Ţiţeica emlékversey, 1988.) f : 0,1 0, ] függvéy mide x, y [ 0, 1] és + y [ 0, 1] -re teljesíti az f ( + y = + f ( y) egyelőséget Bizoyítsd be, hogy 95. Az [ ] [ 1 f ( ) =, [ 0,1] Adjál példát ilye függvéyre 96. Az f: R R függvéy teljesíti az f( 0) = 1, f( 1) = és f ( + 1) f ( 1) = f ( ) + ( 1), N összefüggéseket. Bizoyítsd be, hogy f szigorúa övekvő és f ( + 1) f ( 1) = f ( ) m, N
Kitűzött feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 77 (Titu Adreescu) 97. Legye α egy irracioális szám. Bizoyítsd be, hogy az f : N [ 0,1) f ( ) = { α} függvéy ijektív 98. Bizoyítsd be, hogy az : R [ 0,1) f, ( { x } f = függvéy em ijektív ( N -rögzített páratla szám) 99. Határozd meg az összes olya f: N N szürjektív függvéyt, amelyre f ( ) + ( 1), N 100. Lehet-e egy másodfokú függvéy R \ Q -ra való leszűkítése ijektív? Hát a Q- ra való leszűkítése? 101. Határozd meg az f és g (f, g: R R) bijektív függvéyeket, amelyekre 1 + f ( g( ) g( = 3, x R és f ( g( ) + f ( g ( ) x = 4, x R 10. 103. 104. { } x 3 1 (1989) a) Ha =, R \ 3,0, számítsd ki -et x + 3 1 ( ) b) Ha = x + számítsd ki -et x Határozd meg az összes olya f: N N függvéy, amelyre f ( 0) = 0 és f ( x y ) = f ( y), > y eseté Az f: N N függvéy teljesíti az f( xy) = f( f( y) egyelőséget mide x, y N -ra. Meyi lehet f(05), ha f ( 154) < 601 és f szigorúa övekvő? 105. Jelöljük A-val azokak a bijektív f { 1,,..., } { 1,,..., } : függvéyekek a f (1) f () f ( ) halmazát, amelyekre.... Bizoyítsd be, hogy ha 1 f1, f A -ra f 1 f A, akkor A-ba legtöbb két elem va 106. Határozd meg az összes f: Z Z függvéyt, amelyre f ( x + y) = + f ( y),, y Z Ezek közül melyek bijektívek? Mi törtéik, ha f:q Q alakú függvéyeket keresük? 107. Bizoyítsd be, hogy em létezik f:r Q bijektív függvéy úgy, hogy f ( xy) = f ( y),, y R 108. a) b) c) d) e) f) g) Legye A és B két véges halmaz és A = m, B =. f : A B ijektív m ; f : A B szürjektív m ; f : A B bijektív m= ; Háy ijektív függvéy létezik? ( f : A B ) Háy bijektív függvéy létezik? ( f : A B ) Háy szürjektív függvéy létezik? ( f : A B ) Háy szigorúa övekvő függvéy létezik? ( f : A B )
78 Kitűzött feladatok. Ijektivitás és egyéb tulajdoságok h) 109. Háy övekvő függvéy létezik? Határozd meg az összes olya egész együtthatójú bijektív poliomiális függvéyt, amelyre = f ( x ) + a, R (G.M. 10/1996.) 110. Határozd meg az összes olya f: R R függvéyt, amelyre f( A1) + f( A) +... + f( A ) = 0, ha A 1, A,..., A egy szabályos oldalú sokszög csúcsaiak koordiátái ( rögzített) (Válogatóversey, 1996., Gefry Barad) 111. Az f1, f,..., f : R R additív függvéyekre f1 ( f (... f ( = ax, R. Bizoyítsd be, hogy létezik R i 1,,..., úgy, hogy f i ( = bx bármely b és { } x R -re (Válogatóversey, 1996., Mihai Piticari, Sori Rădulescu) 11. Legye α egy sík és f :α α egy függvéy, amely megőrzi a háromszögek 113. 114. 115. kerületét (mide A B, C α K( f ( A) f ( B) f ( C) ) K( ABC ) ha (A,B,C em kollieárisak). Bizoyítsd be, hogy Szerkesszél olya, = f : Q + Q + f ( A) f ( B) = AB, A, B α (Országos olimpia, 199.) függvéyt, amelyre f ( xf ( y)) =, x, y Q+ y (Nemzetközi olimpiára javasolt feladat, 1990.) Határozd meg az összes olya f: R R függvéyt, amelyre f ( x + f ( y)) = y + ( ),, y R (Nemzetközi olimpiára javasolt feladat, 199.) Létezik-e olya f: N N függvéy, amely teljesíti az alábbi összefüggéseket: a) f ( 1) = ; b) f ( f ( )) = f ( ) + ; c) f ( ) < f ( + 1), N? (Nemzetközi olimpiára javasolt feladat, 1993.) 116. Létezik-e olya f: N N függvéy, amelyre f ( + 1) > f ( f ( )) + 1, N? (Octogo 1/1998., Tuzso Zoltá) 117. Határozd meg az összes olya f: R R függvéyt, amelyre f ( x + f ( y) + z) = y + + xf ( z),, y, z R (Octogo 1/1997., Becze Mihály, Flori Popovici)
Kitűzött feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 79 π π 118. Határozd meg az összes olya f :, R+ függvéyt, amelyre π π π π f ( x + y) f ( y) mide olya x, y,, amelyekre x + y, π valamit π cos x, x, (Octogo 1/1999., Becze Mihály, Flori Popovici) 119. Határozzuk meg azokat az f ( poliomokat, amelyekhez található olya P ( poliom, amely kielégíti az f x ) = P( ) azoosságot (Kömal 5/1997.) 10. Határozd meg az összes olya f: N N függvéyt, amelyre f ( m + f ( )) = f ( f ( m)) + f ( ) (Nemzetközi olimpia, 1996.) 11. Határozd meg az összes olya f: R R függvéyt, amely mide valós x és y eseté kielégíti az f (( x y) ) = ( ) xf ( y) + y függvéyegyeletet (Kömal 5/1996.) 1. Igazold, hogy ics olya f: R R függvéy, amely mide valós x eseté kielégíti az f ( 1 + ) = 1 x, és f ( ) = x feltételeket ( 13. Legye f 1, f,..., f a valós számoko értelmezett valós értékű függvéyek egy tetszőleges (végtele) sorozata. Bizoyítsátok be, hogy létezek olya ϕ 1, ϕ,..., ϕ1994 függvéyek, amelyekkel bármelyik f előállítható úgy, hogy éháyukat valamilye sorredbe egymás utá alkalmazzuk (Kömal 4/1995.) 14. Írd fel az = si x, f:r R függvéyt két szigorúa övekvő függvéy külöbségekét 15. Határozd meg az összes P:R R poliom függvéyt, amelyre ( P( ) ( P( y)) = P( x + y) P( x y), x, y R 16. 17. Adjál példát olya f, g:c C függvéyekre, hogy f 1, f g, g 1 C C Adott az = 4x x, f :[ 0,1] [ 0,1] x 0 [ 0,1] függvéy és az f f = g, g g = f és x = f ( x + 1 sorozat, ahol. Bizoyítsd be, hogy végtele sok x 0 -ra az ( x ) N sorozat periodikus 18. a) Szerkessz olya P egész együtthatós poliomot, amelyek gyöke + 3 b) Szerkessz olya egész együtthatós P poliomot, amelyek gyöke + 3 3 19. Létezik-e olya P Z[] x poliom, amelyre P( 7 ) = 5 és P ( 15) = 9? 130. Határozd meg az összes olya egész együtthatós P poliomot, amelyre 16P( x ) = ( P(), R 131. Határozd meg az f ( x + y) + f ( xy) = cos y egyeletet mide x, y R eseté teljesítő f függvéyeket )
80 Kitűzött feladatok. Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 3 13. Határozd meg az f ( x + y) + f ( x y) = + 6xy3 f ( y) + x egyelőséget mide x, y R eseté teljesítő függvéyeket 133. Az f: N R függvéyt az f ( + 1) = f ( ) + 3 f ( ) 3 összefüggésekkel értelmeztük. Bizoyítsd be, hogy és f ( 1) = f ( ) N mide N -ra 134. Bizoyítsd be, hogy ha az f: R R additív függvéy korlátos valamely valódi itervallumo, akkor f lieáris