OPERÁTOROK HILBERT-TEREKBEN

OPERÁTOROK HILBERT-TEREKBEN A továbbiakba H adott Hilbert-teret jelöl, és operátoro H H lieáris leképezést értük. K a valós vagy komplex számok halmazát jelöli. 1. A fukcioálaalízis alaptételei A tételeket és a hozzájuk szükséges fogalmakat az adott H Hilbert-tér operátoraira modjuk ki, de értelemszerűe igazak Baach-terek közötti lieáris leképezésekre is. Ezeket a tételeket em bizoyítjuk. Defiíció. Egy operátort yíltak evezük, ha az értékkészlete yílt. Állítás. (Baach-féle yíltleképezés-tétel) Egy mideütt értelmezett folytoos operátor potosa akkor yílt, ha szürjektív. Eek a tételek a legfotosabb következméye, hogy ha az A folytoos operátor bijektív, akkor A 1 is folytoos. Defiíció. Egy operátort zártak evezük, ha a grafikoja zárt. A defiícióból azoal következik, hogy az A operátor potosa akkor zárt, ha mide olya (x ) N Dom(A)-beli koverges sorozat eseté (x := lim x ), melyre az (Ax ) N sorozat is koverges (y := lim Ax ), az teljesül, hogy x Dom(A) és y = Ax, azaz A lim x = lim Ax. Érdemes leíri a folytoosság feltételét, hogy jól összehasolíthassuk a zártság feltételével. Az A operátor potosa akkor folytoos, ha mide olya (x ) N Dom(A)-beli koverges sorozat eseté, amelyre x := lim x Dom(A), az (Ax ) N sorozat is koverges (y := lim Ax ), az teljesül, hogy y = A(x), azaz A lim x = lim Ax. Ezekből azoal adódik: (i) Zárt operátor magtere zárt, (ii) Zárt operátor és folytoos operátor és egy ála em szűkebbe értelmezett folytoos operátor összege zárt. Defiíció. Egy A operátor lezárható, ha a grafikojáak a lezártja egy operátor grafikoja, azaz ha létezik A operátor úgy, hogy Graph(A) = Graph(A); ekkor az A zárt operátort az A lezártjáak evezzük. Nyilvávaló, hogy ha va egy olya B zárt operátor, amelyre A B teljesül, akkor A lezárható, és A B. Állítás. (Zártgrafiko-tétel) Egy A operátorra a következő tulajdoságok közül bármely kettő maga utá voja a harmadikat: Dom(A) zárt, A zárt, A folytoos. Egyszerű téyek a következők az A zárt operátorra: αa is zárt mide α számra, ha F folytoos operátor, akkor A + F is zárt, ha A ijektív, akkor A 1 is zárt operátor. A magja (a ulláak az A általi ősképe) zárt lieáris altér ősképe) zárt lieáris altér. A magtér zártságához kevesebb is elég. 1

Állítás. (Baach-Steihaus-tétel) A folytoos operátorok egy H halmaza potosa akkor korlátos (a folytoos lieáris leképezések ormája szerit), ha mide x H eseté az {Ax A H} halmaz korlátos H-ba. 2. Operátorok adjugáltja Legye A sűrű értelmezett operátor. Ekkor mide y H eseté y A : Dom(A) K, x y, Ax lieáris leképezés. Ha ez a leképezés folytoos, akkor egyértelműe kiterjeszthető H- értelmezett folytoos lieáris leképezéssé, azaz H duálisáak elemévé. A Riesz-féle reprezetációs tétel szerit létezik egyetle, A y-gal jelölt vektor H- ba, amelyre A y, x = y, Ax. mide x Dom(A) eseté. Nyilvávaló, hogy lieáris altér H-ba, és az Dom(A ) := {y H y, A folytoos} A : Dom(A ) H, y A y leképezés lieáris. Defiíció. A -ot az A operátor adjugáltjáak evezzük. Jegyezük meg, hogy csak sűrű értelmezett operátorak va adjugáltja, továbbá a feti egyelőség akkor és csak akkor áll, ha x az A értelmezési tartomáyába, y az A értelmezési tartomáyába va. Erre midig figyeli kell, hisze a bal oldali kifejezés akármilye x-re, a jobb oldali pedig akármilye y-ra is értelmes. Végül megemlítjük azt az egyszerű téyt, hogy id H = id H. Állítás. Ha A mideütt értelmezett, folytoos operátor, akkor A is mideütt értelmezett, folytoos operátor, és A = A. Bizoyítás Ha A mideütt értelmezett, folytoos operátor, akkor yilvávaló, hogy Dom(A )=H. Mide x, y H eseté sup A y = sup y 1 y 1 sup x 1 A y, x = sup sup x 1 y 1 A y, x = = sup amit bizoyítai akartuk. sup x 1 y 1 Állítás. Mide adjugált operátor zárt. y, Ax = sup Ax = A < +, x 1 2

Bizoyítás Legye A sűrű értelmezett operátor, és (y ) N sorozat Dom(A )- ba, mely kovergál egy H-beli y-hoz, úgy, hogy az (A y ) N sorozat is kovergál egy H-beli z-hez. Ekkor x Dom(A) eseté z, x = lim A y, x = lim y, Ax = y, Ax, következésképpe y Dom(A ) és z=a (y), így A zárt. Állítás. Legyeek A és B sűrű értelmezett operátorok. (1) Ha Dom(A+B)=Dom(A) Dom(B) sűrű, akkor (A+B) A +B, és ha A vagy B egyike mideütt értelmezett és folytoos, akkor egyelőség va. (2) Ha Dom(AB)=B 1 [Dom(A)] sűrű, akkor (AB) B A, és ha A mideütt értelmezett és folytoos, akkor egyelőség va. (3) Ha Dom(A ) sűrű, akkor A A. (4) λ K eseté és ha λ 0, akkor egyelőség va. (5) Ha A B, akkor B A. (λa) λ A, Bizoyítás (1) Ha y Dom(A +B ), akkor y A és y B folytoosak, ezért y (A+B) = y A+ y B is folytoos, tehát y Dom((A+B) ). Továbbá x Dom(A+B) eseté (A +B )(y), x = A y, x + B y, x = = y, Ax + y, Bx = y, (A+B)x, így (A+B) A +B. Ha például A mideütt értelmezett és folytoos, akkor y Dom((A+B) ) eseté y (A+B)= y A+ y B folytoos, és mivel y A folytoos, y B is az, tehát y Dom(A ) Dom(B )=Dom(A +B ). (2) Ha y Dom(B A ), akkor y Dom(A ) valamit A y Dom(B ), így y A és A y B= y AB folytoosak, tehát y Dom((AB) ). Továbbá x Dom(AB) eseté B A y, x = A y, Bx = y, ABx, tehát (AB) B A. Ha A mideütt értelmezett és folytoos, akkor y Dom((AB) ) eseté y AB folytoos, és Dom(A ) = Dom(A)=H miatt A y B= y AB folytoos, tehát A y Dom(B ), vagyis y Dom(B A ). (3) Ha x Dom(A), akkor x A = Ax folytoos A értelmézési tartomáyá, tehát x Dom(A ). Továbbá x Dom(A ) eseté Ay, x = y, A x = A y, x, 3

tehát A A. (4) és (5) bizoyítása ayira egyszerű, hogy az Olvasóra hagyjuk. Az elöbbi (5) tulajdoság következméye, hogy ha A sűrű értelezett és folytoos, akkor A = A. Az előbbi eredméyük szerit, ha A és B mideütt értelmezett, folytoos operátorok, és λ K, akkor (A+B) =A +B, (λa) =λ A, (AB) =B A, A =A, A = A. Állítás. Ha A mideütt értelmezett, folytoos operátor, akkor A A = A 2. Bizoyítás Az operátororma tulajdosága és a 16.2.(ii) állítás miatt Továbbá mide x H eseté A A A A = A 2. Ax 2 = Ax, Ax = x, A Ax A A x 2, ezért Ax A A x, így A A A, tehát A 2 A A. Állítás. Ha A sűrű értelmezett operátor, akkor Ker(A ) = Ra(A). Bizoyítás y Ker(A ) ekvivales azzal, hogy y Dom(A ) és A y=0, azaz mide x Dom(A) eseté 0= A y, x = y, Ax, amiből y Ra(A). Következméy A potosa akkor ijektív, ha Ra(A) sűrű H-ba. Állítás. Ha A olya sűrű értelmezett operátor, hogy A ijektív és Dom(A 1 )= Ra(A) sűrű, akkor (A 1 ) =(A ) 1. Bizoyítás Mid AA 1 mid A 1 A sűrű értelmezett, és az idetitásak a leszűkítései, tehát az adjugáltjuk maga az idetitás. A szorzatok adjujugálásáak szabályából (A 1 ) A (AA 1 ) = id H, A (A 1 ) (A 1 A) = id H. Azt kell már csak megmutatuk, hogy a bal oldalako álló szorzatok értelmezési tartomáya a megegyezik a hátul álló operátor értelmezési tartomáyával, azaz Ra(A ) Dom(A 1 ) és Ra(A 1 ) Dom(A ). Íme: ha z Ra(A ), akkor va olya y Dom(A ), hogy z = A y. Ekkor z A 1 = A y A 1 y A A 1 y, 4

azaz z bee va (A 1 ) értelmezési tartomáyába. Ha z Ra(A 1 ), akkor va olya y Dom(A 1 ), hogy z = (A 1 ) y. Ekkor z A = (A 1 ) y A y A 1 A y, azaz z bee va A értelmezési tartomáyába. Most egy kis techikai közbevetés: H H Hilbrt-tér az skalárszorzattal, és ((x 1, x 2 ), (y 1, y 2 )) x 1, y 1 + x 2, y 2 V : H H H H, (x, y) ( y, x) leképezés lieáris, izometrikus bijekció, amelyre V 1 = V. Állítás. Ha A sűrű értelmezett operátor, akkor Graph(A )=(V [Graph(A)]). Bizoyítás A Hilbert-tér x és y vektorára (x, y) (V [Graph(A)]) akkor és csak akkor teljesül, ha mide z Dom(A) eseté (x, y), V (z, Az) =0 áll fö; azoba (x, y), V (z, Az) = x, Az + y, z miatt ez ekvivales azzal, hogy mide z Dom(A) eseté x, Az = y, z, következésképpe x Dom(A ) valamit y=a x, tehát (x, y) Graph(A ). Ez az eredméyük magába foglalja azt a korábbit, A zárt operátor, hisze látjuk, hogy A grafikoja zárt lieáris altér. Mivel V izometrikus, megtartja az ortogoalitást, ezért V [(V [Graph(A)]) = (V V [Graph(A)]), így az is igaz, hogy V [Graph(A )] = (Graph(A)). Állítás. Ha Z sűrű értelmezett zárt operátor, akkor Dom(Z ) sűrű. Bizoyítás Ha z Dom(Z ), akkor y Dom(Z ) eseté z, y =0, következésképpe (0, z), V (y, Z y) = z, y =0, ezért (0, z) (V [Graph(Z )]) = Graph(Z) = Graph(Z), (ugyais Graph(Z) zárt lieáris altér), így z=z(0)=0, tehát Dom(Z ) ={0}, azaz Dom(Z ) sűrű. Állítás. Az A sűrű értelmezett operátor potosa akkor lezárható, ha A sűrű értelmezett, és ekkor A = A. Bizoyítás Ha A lezárható, akkor A A, következésképpe (A) A ; mivel (A) sűrű értelmezett, A is az. Ha A sűrű értelmezett, akkor Graph(A ) = (V [Graph(A )]) = Graph(A) = Graph(A), így A lezárható, és A=A. 5

3. Speciális típusú operátorok 3.1. Izometrikus operátorok Állítás. Egy V : H H operátorra a következők egyeértékűek: (i) V x = x mide x Dom(V ) eseté, (ii) V x, V y = x, y mide x, y Dom(V ) eseté. Bizoyítás (ii)-ből yilvávalóa következik (i), az pedig a azért voja maga utá (ii)-t, mert a skalárszorzatot a orma a 10.1. állítás szerit meghatározza. Tehát egy operátor potosa akkor izometrikus, ha skalárszorzattatrtó. Megjegyezzük, hogy ha V izometrikus operátor, akkor V folytoos, V = 1, V ijektív, és V 1 is izometrikus. Állítás. Egy V izometrikus operátorra a következők egyeértékűek: (i) Dom(V ) zárt, (ii) Ra(V ) zárt, (iii) Graph(V ) zárt. Bizoyítás Legye Dom(V ) zárt. Vegyük egy (y ) N koverges sorozatot Ra(V )-be. Ekkor mide -re va olya x Dom(V ), hogy y = V x. Mivel x m x = y m y, az (x ) N sorozat Cauchy-féle, ezért koverges, x := lim x Dom(V ). Mithogy V x y = x x, az igaz, hogy lim y = V x Ra(V ), azaz Ra(V ) zárt. A V 1 izomertrikus operátorra alkalmazva az előbbi eredméyt látjuk, ha Ra(V ) zárt, akkor Dom(V ) is zárt. V folytoossága és a zártgrafiko-tétel szerit Graph(V ) zártsága egyeértékű Dom(V ) zártságával. Állítás. Egy mideütt értelmezett V operátor potosa akkor izometrikus, ha és ekkor V V = id H, V V = P Ra(V ) (ahol az utolsó szimbólum a Ra(V ) zárt lieáris altér ortogoális projektorát jelöli). Bizoyítás Ha V izometrikus, akkor mide x, y H eseté x, y = V x, V y = V V x, y, amiből a 11.4-be modottak szerit V V = id H. egyelőség teljesül, akkor mide x, y H eseté Ha viszot ez az utóbbi x, y = x, V V y = V x, V y. Ha z Ra(V ), akkor létezik x H úgy, hogy z = V x, és V V z = V V V x = V x = z. Ha z (Ra(V )) = Ker(V ), tehát V V z = 0. Összegezve: V V a Ra(V )- az idetitás, (Ra(V ) -o a ulla, tehát V V az állított ortogoális projektor. 6

Defiíció. Egy bijektív izometrikus operátort uitérek hívuk. Egy izometrikus operátor, mégha mideütt is va értelmezve, em szükségképpe uitér. Példa erre l 2 -be a jobbra tolás operátora, amely midehol értelmezett, izometrikus, azoba em szürjektív, ezért em uitér: az (1, 0, 0,... ) vektor ics bee az értékkészletébe. Állítás. Egy sűrű értelmezett U operátor potosa akkor uitér, ha U =U 1. Bizoyítás Ha U uitér, akkor az előzőállítás szerit U U = id H, UU = P Ra(U) = id H, tehát valóba az U adjugáltja az iverze is egybe. Ha U sűrű értelmezett, és U = U 1, akkor mide x Dom(U) eseté Ux 2 = Ux, Ux = U Ux, x = x, x = x 2, így U izometrikus. U 1 zárt, mert egy adjugált operátorral egyelő; de ekkor U is zárt. Korábbi állításuk szerit ekkor Dom(U) zárt, azaz U mideütt értelmezett. Ekkor viszot U is mideütt értélmezett, azaz H = Dom(U 1 ) = Ra(U). Midet egybevetve U izometrikus bijekció, azaz uitér. 3.2. Szimmetrikus operátorok Defiíció. Az S sűrű értelmezett operátor (1) szimmetrikus, ha S S, (2) öadjugált, ha S=S. Mivel bármely operátor adjugáltja zárt, öadjugált operátor szükségképpe zárt. Ezért egy öadjugált operátor a zártgrafiko-tétel szerit potosa akkor folytoos, ha mideütt értelmezett. Egy S szimmetrikus operátor lezárható, hisze S S ; ugyaeze tartalmazás szerit S sűrű va értelmezve, ezért korábbi állításaik szerit S = S és S S ; továbbá S zárt operátor, ezért (S ) = S ; midezek azt eredméyezik, hogy a szimmetrikus operátor lezártja is szimmetrikus: S=S S =(S ) =(S ) =(S). Egy szimmetrikus operátort léyegébe öadjugáltak evezük, ha lezártja öadjugált. Az S szimmetrikus operátor potosa akkor léyegébe öadjugált, ha S =S teljesül. Ha az S szimmetrikus operátor a T szimmetrikus operátor kiterjesztése, akkor T S S T teljesül. Ebből következik, hogy öadjugált operátor maximális szimmetrikus operátor, azaz ics valódi szimmetrikus kiterjesztése. Ha tehát T és S öadjugált operátorok és T S, akkor T = S. Állítás. Ha S folytoos (tehát mideütt értelmezett) öadjugált operátor, akkor S = sup x, Sx. x 1 Bizoyítás Nyilvávaló, hogy α := sup x, Sx S. x 1 7

Mide x, y H létezik λ T úgy, hogy y, Sx =λ y, Sx = λy, Sx. Ekkor speciálisa λy, Sx R, így λy, Sx = 1 ( ) x+λy, S(x+λy) x λy, S(x λy), 4 következésképpe, ha x 1 és y 1, akkor ezért S α. y, Sx α 4 ( x+λy 2 + x λy 2 ) = α 2 ( x 2 + y 2 ) α, 3.3. Projektorok Defiíció. Egy mideütt értelmezett operátort projektorak hívuk, ha KerP és RaP kiegészítő zárt lieáris alterek. A projektor ortogoális, ha KerP és RaP ortogoálisak. Egy projektor folytoos, mert az értelmezési tartomáya és értékkészlete is zárt. Állítás. A sűrű értelmezett P operátor potosa akkor ortogoális projektor, ha P 2 =P =P teljesül. Bizoyítás Ha P 2 =P =P és x Dom(P ), akkor P x Dom(P ) = Dom(P ), ezért P x 2 = P x, P x = P P x, x = P x, x P x x, azaz P x x, tehát P folytoos, emellett P =P miatt zárt is, következésképpe Dom(P ) zárt, ezért P mideütt értelmezett. Tehát P folytoos projektor, és Ker(P )=Ker(P )=Ra(P ) miatt ortogoális. Legye P ortogoális projektor. Ekkor P 2 = P, és (P ) 2 = (P 2 ) = P, tehát P is folytoos projektor. Továbbá és Ker(P ) = Ra(P ) = Ker(P ), Ra(P ) = Ker(P ) = Ker(P ) = Ra(P ). P és P folytoos projektorok, így Ra(P ) és Ra(P ) zártak, ezért Ra(P ) = Ra(P ), tehát P és P képterei és magterei megegyezek, következésképpe P =P. 3.4. Normális operátorok Defiíció. Egy N sűrű értelmezett zárt operátort ormálisak evezük, ha NN =N N. Nyilvávaló, hogy az uitér és az öadjugált operátorok ormálisak. Állítás. Ha N ormális operátor, akkor (1) Dom(N )=Dom(N), (2) mide x Dom(N) eseté N x = Nx. 8

Bizoyítás Mide y Dom(N N) eseté Ny 2 = Ny, Ny = N Ny, y = NN y, y = N y, N y = N y 2, tehát N y = Ny. Legye x Dom(N). Ekkor a 16.12. állítás szerit létezik (y ) N sorozat Dom(N N)-be úgy, hogy (x, Nx)= lim (y, Ny ). Mide m, N eseté N y N y m = Ny Ny m, így (N y ) N Cauchy-sorozat H-ba, következésképpe létezik lim N y =:z. Mivel N zárt, ez maga utá voja, hogy x Dom(N ) és z=n x, ezért N x = z = lim N y = lim Ny = Nx. Emellett azt kaptuk még, hogy Dom(N) Dom(N ). N és N szerepét felcserélve, N =N miatt (ugyais N zárt) Dom(N ) Dom(N) is igaz, azaz Dom(N ) = Dom(N). Következméy Ha N ormális operátor, akkor Ker(N) = Ker(N ) = Ra(N). Ha S öadjugált és ijektív, az iverze is öadjugált: (A 1 ) =(A ) 1 =A 1 miatt A 1 öadjugált. Természetese uitér operátor iverze is uitér. Most megmutatjuk, ormális operátorra is hasoló igaz. Állítás. Az N ormális operátor potosa akkor ijektív, ha Ra(N) sűrű, és ekkor N 1 ormális. Ha Ra(N)=H, akkor N 1 folytoos. Bizoyítás Ker(N)=Ra(N) miatt N akkor és csak akkor ijektív, ha Ra(N) sűrű, és ekkor N 1 (N 1 ) =N 1 (N ) 1 =(N N) 1 =(NN ) 1 =(N ) 1 N 1 =(N 1 ) N 1, tehát N 1 ormális. Ha Ra(N)=H, akkor N 1 a zárt grafiko tétele szerit folytoos. Állítás. Ha N folytoos (tehát mideütt értelmezett) ormális operátor, akkor N 2 = N 2. Bizoyítás A Hilbert-tér mide x elemére az előzőek szerit N 2 x = N Nx, amiből azoal adódik, hogy N 2 = N N ; már csak ehy korábbi állításukat kell figyelembe veük, hogy a bizoyítás végére érjük. 4. Differeciálás-operátorok 4.1. L 2 ([, π], C)-be Emlékeztetük arra, hogy ha I R (em szükségképpe korlátos) itervallum, akkor egy ϕ : I C függvéyt abszolút folytoosak eveztük, ha létezik η : I C lokálisa Lebesgue-itegrálható függvéy és a I úgy, hogy ϕ(x) = ϕ(a) + x a 9 η (x I).

Ha ϕ ilye függvéy, akkor η Lebesgue-majdem mideütt egyértelműe meghatározott. A ϕ abszolút folytoos függvéy deriváltjá bármely olya η függvéyt értük, amelyre a feti egyelőség teljesül. Az L 2 (I, C) Hilbert-tér elemei függvéyosztályok, oha úgy beszélük róluk, mit függvéyekről. Egy függvéyosztályba, tudjuk csak egy folytoos függvéy lehet, ezért jól meghatározott értelme va aak, ha azt modjuk, hogy legye az L 2 (I, C) egy eleme folytoos, speciálisa abszolút folytoos. Ha ϕ abszolút folytoos, akkor a deriváltja em, de a deriváltjáak a majdem mideütti egyelőséggel meghatározott függvéyosztálya egyértelmű. Defiíció. Legye α T, és és Dom(D):={ϕ L 2 ([, π], C) ϕ abszolút folytoos, ϕ L 2 ([, π], C)}, Dom(P α ):={ϕ Dom(D) ϕ()=αϕ(π)}, Dom(P 0 ):={ϕ Dom(D) ϕ()=ϕ(π)=0}, D :Dom(D) L 2 ([, π], C), ϕ iϕ, P α :Dom(P α ) L 2 ([, π], C), ϕ iϕ, P 0 :Dom(P 0 ) L 2 ([, π], C), ϕ iϕ. Ezeket a lieáris leképezéseket a differeciálás-operátorokak evezzük. Midhárom operátor sűrű értelmezett, hisze P 0 P α D, és P 0 értelmezési tartomáya tartalmazza a végteleszer differeciálható, ] π, π[-be kompakt tartójú függvéyeket. Állítás. P 0 =D. Bizoyítás ψ Dom(D) és ϕ Dom(P 0 ) eseté ψ, P 0 ϕ = ψ ( iϕ ) = i[ψ ϕ] π + (ψ ) (iϕ) = ( iψ ) ϕ = Dψ, ϕ, következésképpe D P0. Ha ψ Dom(P0 ), akkor P0 ψ L 2 ([, π], C), és tudjuk, hogy véges mértékű halmazo a égyzetese itegrálható függvéyek itregrálhatók, tehát jól értelmezett az η := i δ + P0 ψ, függvéy, ahol δ C olya, hogy ϕ Dom(P 0 ) eseté i π (ψ η)=0. ψ ϕ = ψ, P 0 ϕ = P 0 ψ, ϕ = következésképpe π (ψ η) ϕ =0. 10 (P 0 ψ) ϕ = Nyilvávaló, hogy η Dom(D). ( iη ) ϕ = i η ϕ,

Legye ϕ:= (ψ η). Ekkor δ választása miatt ϕ Dom(P 0 ), tovább ϕ = ψ η, így az előzőek szerit π ψ η 2 = 0, következésképpe ψ Lebesguemajdem mideütt megegyezik az η Dom(D) függvéyel, ezért ψ Dom(D). Ezzel beláttuk, hogy P 0 D, azaz P 0 =D. Állítás. D =P 0. így Bizoyítás Nyilvávaló, hogy P 0 P 0 =D, és P 0 D miatt D P 0 =D. Legye ψ Dom(D ) és ϕ Dom(D). Ekkor i ψ ϕ = ψ, Dϕ = D ψ, ϕ = Dψ, ϕ = i [ψ ϕ] π = (ψ ϕ + (ψ ) ϕ) = 0. (ψ ) ϕ, Ez az egyelőség a D értelmezési tartomáyáak mide mide ϕ elemére igaz. ϕ:=id [,π] +π Dom(D), amelyre ϕ()=0 és ϕ(π)=2π 0, így ψ(π)=0. Hasolóa, a ϕ:=id [,π] Dom(D) függvéyel azt kapjuk, hogy ψ()=0, azaz ψ Dom(P 0 ). Ezzel beláttuk, hogy D P 0, következésképpe D =P 0. Állítás. P α=p α. Bizoyítás P 0 P α miatt P α P 0 =D. Legye ϕ, ψ Dom(P α ). Ekkor ψ, P α ϕ = ugyais ψ ( iϕ ) = i[ψ ϕ] π + ψ iϕ = ( iψ ) ϕ = P α ψ, ϕ, [ψ ϕ] π = ψ (π)ϕ(π) ψ ()ϕ() = ψ (π)ϕ(π) α ψ (π)αϕ(π) = 0, következésképpe P α P a. Ha ψ Dom(P α) és ϕ Dom(P α ), akkor ezért i ψ ϕ = P α ψ, ϕ = ψ, P α ϕ = i [ψ ϕ] π = mide ϕ Dom(P α ) eseté, azaz (ψ ϕ +ψ ϕ) = 0 ψ ϕ, 0 = ψ (π)ϕ(π) ψ ()ϕ() = ψ (π)ϕ(π) ψ (π)αϕ(π), 11

amiből ψ()=αψ(π), azaz ψ Dom(P α ). Ezzel beláttuk, hogy P α P α, és így P α=p α. Foglaljuk össze eredméyeiket! P 0 zárt, mert a D-ek az adjugáltja; P 0 szimmetrikus de em öadjugált; P 0 -ak legalább kotiuum sok öadjugált kiterjesztése va: mide α T eseté P α. Mivel az öadjugált operátorok maximális szimmetrikusok (ics szimmetrikus kiterjesztésük), mide olya operátor, amely valamely P α -ak a kiterjesztése, em szimmetrikus. Ilye például a D, amely zárt, mert a P 0 -ak az adjugátja. Megjegyzés A kvatummechaika szerit (a [, π] itervallummal reprezetált) egydimeziós dobozba zárt részecske impulzusát egy P öadjugált differeciálásoperátorral kell leíri, eergiáját pedig a P 2 2m operátorral, ahol m a részecske tömege. A szokásos tárgyalásokba em határozzák meg potosa, mely differeciálás-operátorról va szó, holott láttuk, legalább kotiuum sok külöböző öadjugált differeciálás-operátor va. Az eergiaoperátort azoba részletese kifejtik, és bizoyos meggodolásokkal arra jutak, hogy az értelmezési tartomáyába olya függvéyekek kell leiük, amelyek a határo ulla értéket veszek föl, a deriváltjukra azoba már ics semmi kikötés. Ebből végül is a { 1 1 π si x, cos 2 1 } x π 2 N = { 1 = π si + 1 } { x 1 2 N 0, páratla π cos + 1 } x 2 0, páros úgyevezett zárt végű állóhullámokra jutak, amelyek teljes ortoormált redszerek L 2 ([, π])-be. A zárt végű állóhullámok deriváltjai a { 1 1 1, cos x, si 2 1 } { } x 1 2π π π 2 N = 2π { cos + 1 } { x 1 2 0, páratla π si + 1 } x 2 N 0, páros, yitott végű állóhullámok számszorosai, kivéve a kostas függvéyt. Ezekből azoal adódik, hogy eergiaoperátorak a DP 0 2m operátort veszik. DP 0 öadjugált (az érdeklődő olvasó ezt be tudja bizoyítai), de ics olya öadjugált differeciálás-operátor, amelyek a égyzete vola. (Va olya öadjugált operátor, amelyek a égyzete, de az em diffreciálás-operátor.) 4.2. L 2 (R, C)-be Defiíció. L 2 (R, C)-be a és Dom(P ) := {ϕ L 2 (R, C) ϕ abszolút folytoos, ϕ L 2 (R, C)}, P : Dom(P ) L 2 (R, C), ϕ iϕ, formulákkal meghatározott operátort differeciálás-operátorak evezzük. 12

P sűrű értelmezett, hisze Dom(P ) tartalmazza a végteleszer differeciálható, kompakt tartójú függvéyeket. Állítás. Ha ϕ Dom(P ), akkor lim + ϕ= lim ϕ=0. Bizoyítás ϕ Dom(P ) eseté ϕ L 2 (R, C), így (ϕ ) ϕ és ϕ ϕ Lebesgueitegrálható, következésképpe létezik tehát C:= lehetséges. lim x x ± 0 ((ϕ ) ϕ+ϕ ϕ ) = [ lim ϕ 2 ] x = lim x ± 0 x ± ϕ(x) 2 ϕ(0) 2, lim x ± ϕ(x) 2 = ϕ(0) 2 +C, azoba ϕ 2 itegrálhatósága miatt csak Állítás. P =P. lim x ± ϕ(x) 2 = 0 Bizoyítás Legye ϕ, ψ Dom(P ); ekkor ψ, P ϕ = ψ ( iϕ ) = i (ψ ) ϕ = ( iψ ) ϕ = P ψ, ϕ, R R következésképpe P P. Legye ψ Dom(P ); ekkor P ψ L 2 (R, C), és tudjuk, hogy égyzetese itegrálható függvéyek véges mértékű halmazo ( itegrálhatók, ezért mide a, b R, a<b eseté jól értelmezett az η := i δ + ) P ψ, függvéy, ahol δ C a olya, hogy b a (ψ η)=0 teljesüljö. η abszolút folytoos, és η = ip ψ. Ha ϕ Dom(P ) tartója része az [a, b] itervallumak, akkor b i a következésképpe A ψ ϕ = ψ, P ϕ = P ψ, ϕ = b a (ψ η) ϕ =0. ϕ : R C, b a b = [iη ϕ] b a i a R (P ψ) ϕ = b η ϕ = i a b a ( iη ) ϕ = η ϕ, x (ψ η), ha x [a, b], x a 0, ha x/ [a, b] függvéy bee va P értelmezési tartomáyába, tartója része az [a, b] itervallumak, így b a ψ η 2 =0, következésképpe ψ az [a, b]- Lebesgue-majdem mideütt egyelő η-val, tehát ψ az [a, b]- abszolút folytoos, továbbá (ψ [a,b] ) = ip ψ [a,b]. Ez mide [a, b] itervallumra igaz, így ψ abszolút folytoos és ψ =ip ψ, azaz ψ Dom(P ). Ezzel beláttuk, hogy P P, és így P =P. 13

5. A függvéyel való szorzás-operátorok Defiíció. Legye (X, A, µ) σ-véges mértéktér, és f : X C mérhető függvéy. A Dom(M f ) := {ϕ L 2 µ(x) fϕ L 2 µ(x)}, M f : Dom(M f ) L 2 µ(x), ϕ fϕ formulákkal meghatározott M f -et az f-fel való szorzás operátoráak evezzük. Állítás. Dom(M f ) L 2 µ(x) sűrű lieáris altér. Bizoyítás Nyilvávaló, hogy Dom(M f ) lieáris altere L 2 µ(x)-ek. Ha ϕ L 2 µ(x), akkor mide N eseté F :={ f } X mérhető halmaz, és fχ F ϕ χ F ϕ miatt χ F ϕ Dom(M f ). A (χ F ϕ) N sorozat potokét ϕ- hez kovergál, és ϕ égyzetese itegrálható majorása, így a Lebesgue-tétel szerit (χ F ϕ) N ϕ-hez kovergál L 2 µ(x)-be is. Állítás. Legye f és g két X C mérhetőfüggvéy. M f =M g potosa akkor teljesül, ha f és g µ-majdem mideütt egyelők. Bizoyítás Nyilvávaló, hogy ha f és g µ-majdem mideütt egyelők, akkor M f =M g. Tegyük fel, hogy f és g em µ-majdem mideütt egyelők, és zárjuk ki a µ = 0 triviális esetet. Ekkor létezik E A, amelyre > µ(e) > 0, és E {f g}. Mide N eseté H := E { f } { g } mérhető halmaz, H =E, ezért létezik olya m N, hogy µ(h m )>0. Ekkor N fχ Hm m χ Hm és gχ Hm m χ Hm miatt χ Hm Dom(M f ) Dom(M g ). Az fχ Hm és a gχ Hm függvéyek em µ-majdem mideütt egyelők, tehát M f χ Hm M g χ Hm, és így M f M g. Állítás. M f potosa akkor folytoos, ha f µ-korlátos, és ekkor M f = f. Bizoyítás Legye f µ-korlátos. Ekkor mide ϕ L 2 µ(x) eseté fϕ L 2 µ(x), azaz Dom(M f )=L 2 µ(x), és M f ϕ 2 = fϕ 2 dµ ( f ) 2 ϕ 2, X következésképpe M f korlátos, és M f f. Legye α olya szám, hogy f >α. Ekkor µ({ f >α}) 0, így létezik E A olya, hogy 0<µ(E)<, és E { f >α}. A ψ := χ E L 2 µ(x) µ(e) függvéy olya, hogy ψ =1 és fψ >α, tehát M f > α, így M f f. Tegyük fel, hogy f em µ-korlátos. Ekkor mide N eseté létezik olya m N és E A, amelyre 0<µ(E )<, és E { f >} { f <m }. A ψ := χ E µ(e ) L2 µ(x) 14

függvéyek olyaok, hogy ψ =1, ψ Dom(M f ) és fψ >, tehát M f em korlátos. Állítás. (M f ) =M f. Bizoyítás Ha ϕ, ψ Dom(M f )=Dom(M f ), akkor ϕ, M f ψ = ϕ fψdµ = (f ϕ) ψdµ = Mf ϕ, ψ, X X következésképpe M f (M f ). Ha ϕ Dom((M f ) ) és ψ Dom(M f ), akkor ((M f ) ϕ) ψdµ = (M f ) ϕ, ψ = ϕ, M f ψ = X X ϕ fψdµ = X (f ψ) ψdµ, így ((M f ) ϕ f ϕ) ψdµ=0. Legye N eseté F := { f }, és X ψ := χ F ((M f ) ϕ f ϕ). (M f ) ϕ L 2 µ(x), és az f ϕχ F χ F ϕ egyelőtleség szerit f ϕχ F L 2 µ(x), következésképpe ψ L 2 µ(x). Másrészt az fψ = fχ F ψ χ F ψ egyelőtleség miatt fψ L 2 µ(x), tehát ψ Dom(M f ), és így X (M f ) ϕ f ϕ 2 χ F dµ = 0, N ezért (M f ) ϕ=f ϕ az F halmazo µ-majdem mideütt. Ez tetszőleges N eseté igaz, és F =X, így (M f ) ϕ=f ϕ µ-majdem mideütt, következésképpe ϕ Dom(M f )=Dom(M f ). Ezzel beláttuk, hogy (M f ) M f, azaz végül is (M f ) =M f. Következméy M f zárt operátor mide f : X C mérhetőfüggvéy eseté, ugyais M f =(M f ). Tehát a zártgrafiko-tétel miatt M f potosa akkor mideütt értelmezett, ha folytoos, ami viszot a 21.3. állítás szerit azzal egyeértékű, hogy f L µ (X). Egyszerű téy, hogy M 1 = id H, M 0 = 0, és mide 0 λ K eseté M λf = λm f (természetese 0 = M 0f 0M f ). Továbbá igaz még a következő két összefüggés is. Állítás. Legyeek f, g : X C mérhető függvéyek. Ekkor (i) M f+g M f +M g és egyelőség áll, ha M f és az M g közül az egyik folytoos, (ii) M fg M f M g, a jobb oldal értelmezési tartomáya Dom(M g ) Dom(M fg ), és egyelőség áll, ha M g folytoos. 15

Bizoyítás (i) Ha ϕ Dom(M f + M g ), akkor fϕ és gϕ égyzetese itegrálható, így (f + g)ϕ is égyzetese itegrálható, tehát igaz a kijeletett tartalmazás. Ha például M g folytoos, azaz g L µ (X), és ϕ Dom(M f+g ), akkor (f + g)ϕ és yilvávalóa gϕ is égyzetese itegrálható, tehát f ϕ is égyzetes itegrálható, azaz ϕ Dom(M f + M g ), tehát végül is M f+g = M f + M g. (ii) Ha ϕ Dom(M f M g ), akkor gϕ és f(gϕ) = (fg)ϕ égyzetese itegrálható, tehát igaz a kijeletett tartalmazás. Az is yilvávaló ekkor, hogy a jobb oldal értelmezési tartomáya része Dom(M g ) Dom(M fg )-ek. Ha viszot ϕ ez utóbbi halmazak az eleme, akkor gϕ és (fg)ϕ = f(gϕ) égyzetese itegrálható, tehát ϕ Dom(M f M g ). Ha M g folytoos, akkor mideütt értelmezett, ezért az értelmezési tartomáyokra az ímét belátott öszefüggés szerit M fg = M f M g. Állítás. M f ormális operátor. Bizoyítás Ha ϕ Dom(M f 2), akkor ϕ L 2 µ(x) és f 2 ϕ L 2 µ(x), így a szorzatuk f 2 ϕ 2 µ-itegrálható, azaz fϕ L 2 µ(x). Ez azt jeleti, hogy ϕ az M f értelmezési tartomáyáak is eleme. Arra jutottuk tehát, hogy Dom(M f 2) Dom(M f ) = Dom(M f ). Alkalmazva az előbbi állítás (ii) potját a g:=f függvéyre azt kapjuk, hogy azaz M f ormális. M f M f = M f 2 = M f M f, Állítás. Az M f operátor potosa akkor (i) öadjugált, ha f = f µ-majdem mideütt (azaz f µ-majdem mideütt valós értékű), (ii) uitér, ha f = 1 µ-majdem mideütt, (iii) projektor, ha létezik E A úgy, hogy f = χ E µ-majdem mideütt (azaz f µ-majdem mideütt 0 és 1 értékű). Bizoyítás Azoal adódak a kívát összefüggések az alábbi formulák alapjá. (i) M f = (M f ) = M f (ii) M 1 = id H = M f (M f ) = M f M f = M f 2. (iii) M f 2 = (M f ) 2 = M f. 6. A Heiseberg-féle felcserélési reláció Legye P a differeciálás-operátor a H:=L 2 (R, C) Hilbert-tére, és Q:=M idr. Ekkor P és Q em folytoos öadjugált operátorok, P Q QP sűrű értelmezett, mert a kompakt tartójú végteleszer differeciálható függvéyek bee vaak az értelmezési tartomáyába, és P Q QP i id H. Legye P valamelyik öadjugált differeciálás-operátor a H:=L 2 ([, π], C) Hilbert-tére (P = P α valamely α-ra) és Q:=M id[,π]. Ekkor P em folytoos, Q folytoos öadjugált operátor, P Q QP sűrű értelmezett, és feáll rá az előbbi összefüggés. 16

Midkét idézett esetbe csak tartalmazás áll. Felmerül a kérdés, hogy létezik-e egyáltalá olya P és Q öadjugált operátor valamely H Hilberttérbe, hogy teljesül a P Q QP = i id H úgyevezett Heiseberg-féle felcserélési reláció. Ha P és Q ilyeek, akkor mideütt értelmezettek, így zártságuk miatt folytoosak. A következő állítás azt modja, hogy a feti egyelőség folytoos (em szükségképpe öadjugált) operátorokra em teljesülhet. Állítás. Ha A és B folytoos operárotorok, amelyekre AB BA = λid H teljesül valamely λ K eseté, akkor λ=0. Bizoyítás Ha A és B eleget tesz az állításba kirótt feltételek, akkor idukcióval megmutatható, hogy mide N eseté A B BA =λa 1. Tegyük fel először, hogy létezik olya N, hogy A =0, de A 1 0. Ekkor λa 1 =A B BA =0, következésképpe λ=0. Tegyük fel most, hogy A 0 mide N eseté. Ekkor λ A 1 A B + BA 2 B A 1 A, így 2 A B λ mide -re, következésképpe λ=0. A kvatummechaika alapaxiómájakét szokás feltei, hogy egy tömegpot P impulzusát és Q helyzetét olya operátorokkal kell leíri, amelyek teljesítik a Heiseberg-féle felcserélési relációt. Láttuk, ez lehetetle. Ha helyette azt követeljük meg, hogy csak egy sűrű liáris altére álljo fö az egyelőség, akkor már em kíváuk lehetetlet, amit azt a bevezető példák mutatták. Ekkor azoba éppe ezekek a példákak a bősége okozza a kellemetleséget: legalább kotiuum sok uitér iekvivales lehetőség va. Potosa megmagyarázzuk, mit értük eze. Legye P és Q olya öadjugált operátor valamely H Hilbert-térbe, hogy egy sűrű lieáris altére teljesül a P Q QP = i id H összefüggés, P és Q olya öadjugált operátor valamely H Hilbert-térbe, hogy egy sűrű lieáris altére teljesül a P Q Q P = i id H összefüggés. Azt modjuk, hogy a (P, Q) pár uitér ekvivales a (P, Q ) párral, ha va olya olya U : H H uitér leképezés (azaz izometrikus lieáris bijekció), hogy P = UP U 1, Q = UQU 1. Az uitér ekvivales párokat és csak azokat ugyaolyaokak, fizikailag egyeértékűekek tekitjük. Ha tehát kotiuum sok iekvivales lehetőség va, akkor ugyaeyi fizikailag em egyeértékű kvatummechaika. Később a spektrumokkal kapcsolatba láti fogjuk, hogy az L 2 ([, π])-beli (P α, M id[,π] ) és (P α, M id[,π] ) párok uitér iekvivalesek, ha α α. A Heiseberg-féle felcserélési relációból formális átalakításokkal, összegzéssel yerhető az e iap e ibq = e iab e ibq e iap (a, b R), Weyl-féle reláció, ahol az expoeciálosokak jól meghatározott értelme va (em sorösszeg!). Neuma Jáos megmutatta, hogy ha a (P, Q) pár eleget tesz a feti relációak és irreducibilis, azaz csak a triviális zárt alterek a ulla és az egész ivariásak mid P -re, mid Q-ra, akkor ez a pár uitér ekvivales az 17

L 2 (R)-beli differeciálás-operátorból és az id R -vel való szorzás-operátorból álló párral. 7. Operátorok spektruma 7.1. Általáos tudivalók A véges dimeziós vektortére megismert fogalmakat alkalmazzuk most Hilbertterekre. Defiíció. A λ K az A operátor sajátértéke, ha Ker(A λid H ) {0}, és ekkor a Ker(A λid H ) altér az A-ak a λ-hoz tartozó sajátaltere, amelyek em ulla elemei az A-ak λ-hoz tartozó sajátvektorai. Jelölje Eig(A) az A sajátértékeiek halmazát. Tehát λ K potosa akkor sajátértéke A-ak, ha az A λid H lieáris leképezés em ijektív, és x Dom(A)\{0} potosa akkor λ-hoz tartozó sajátvektora A-ak, ha Ax=λx. Ugyaúgy, mit véges dimeziós vektorterek eseté, egy operátor külöböző sajátértékű sajátvektoraiból álló redszer lieárisa függetle. Állítás. Egy zárt operátor mide sajátaltere zárt lieáris altér. Bizoyítás Ha Z zárt operátor és λ K, akkor Z λid H zárt operátor, így magtere lieáris altér. Speciálisa, mideütt értelmezett és folytoos operátor sajátalterei zártak. Tudjuk, hogy véges dimeziós komplex vektortére mide operátorak va sajátértéke. Végtele dimezióba ez em igaz. Most a sajátérték fogalmáak általáosításával foglalkozuk. Defiíció. λ K az A operátor reguláris értéke, ha az A λid H operátor (i) ijektív, (ii) értékkészlete sűrű, (iii) iverze folytoos. Jelölje Reg(A) az A reguláris értékeiek halmazát. halmazt az A spektrumáak evezzük. A Sp(A):=K\Reg(A) Nyilvávaló, hogy Eig(A) Sp(A). Ha H véges dimeziós, akkor Sp(A) = Eig(A), mivel ekkor mide H H ijektív lieáris leképezés bijekció, melyek iverze, lévé lieáris, folytoos. A spektrum potjait a sajátértékeke kívül aszerit osztályozzuk, hogy a reguláris értékekre felsorolt (ii)-(iii) tulajdoságok közül melyik em teljesül. Sp c (A) := {λ K \ Eig(A) Ra(A λid H ) sűrű, (A λid H ) 1 em folytoos}, Sp r1 (A):={λ K\Eig(A) Ra(A λid H ) em sűrű, (A λid H ) 1 folytoos}, Sp r2 (A):={λ K\Eig(A) Ra(A λid H ) em sűrű, (A λid H ) 1 em folytoos}. Tehát Sp(A)=Eig(A) Sp c (A) Sp r1 (A) Sp r2 (A). Sp c (A)-t az A folytoos spektrumáak szokás evezi, Sp r1 (A) Sp r2 (A)- t pedig a maradékspektrumáak. 18

Állítás. Ha Z zárt operátor, akkor λ Reg(Z) ekvivales azzal, hogy Z λid H ijektív, az iverze mideütt értelmezett és folytoos (azaz Li(H) eleme). Bizoyítás Ha Z zárt, akkor λ Reg(Z) eseté (Z λid H ) 1 sűrű értelmezett folytoos lieáris leképezés, mely egybe zárt is, így a zárt grafiko tétele szerit mideütt értelmezett. Ha tehát λ Reg(Z), akkor Ra(Z λid H ) = H. Speciálisa igaz ez mideütt értelmezett folytoos operátorra, azaz Li(H) elemére. Állítás. Ha A Li(H), akkor Sp(A) része a ulla körüli A sugarú zárt gömbek (tehát Sp(A) kompakt részhalmaza K-ak). Bizoyítás Legye λ K olya, hogy λ > A. Ekkor λ 1 A <1 és miatt A λid H ijektív, és A λid H = λ(id H λ 1 A) R A (λ) = (A λid H ) 1 = =0 1 λ +1 A Li(H). Következésképpe λ Reg(A), így Sp(A) {λ K λ A }. A feti formulából közvetleül látszik az is, hogy R A végtelebe eltűő, azaz ullához tart, ha λ tart a végtelehez. Állítás. Ha A sűrű értelmezett operátor és Eig(A ) Eig(A), akkor Ra(A λid H ) sűrű, vagy ami ugyaaz, Sp r1 (A)=Sp r2 (A)=. Bizoyítás Legye λ K\Eig(A). Ekkor λ / Eig(A), így λ / Eig(A ), következésképpe A λ id H =(A λid H ) ijektív, így tehát Ra(A λid H ) H sžrž. Ra(A λid H ) = Ker(A λid H ) = {0}, Defiíció. λ K az A operátor általáosított sajátértéke, ha λ / Eig(A) és létezik (x ) N sorozat Dom(A)-ba úgy, hogy valamely K>0 és mide N eseté x K, és lim (A λid H )x = 0. ( ) Állítás. λ K \ Eig(A) potosa akkor általáosított sajátértéke A-ak, ha létezik (x ) N sorozat Dom(A)-ba úgy, hogy mide N eseté x = 1 és a ( ) egyelőség teljesül. Bizoyítás Nyilvávaló, hogy ha a sorozat tagjai mid egységvektorok, akkor a K := 1 számmal teljesül a defiíció feltétele. Ha viszot a sorozat alulról korlátos, akkor az y := x sorozat tagjai egységvektorok, és x tehát a bal oldal határértéke ulla. (A λid H )y 1 K (A λid H)x, 19

Állítás. λ K \ Eig(A) potosa akkor általáosított sajátértéke A-ak, ha (A λid H ) 1 em folytoos. Bizoyítás λ K\Eig(A) miatt A λid H ijektív, és, mit tudjuk, (A λid H ) 1 potosa akkor em folytoos, ha if (A λid H)x = 0. x Dom(A), x =1 Ha λ általáosított sajátérték, akkor az előzőek szerit a feti egyelőség yilvávalóa igaz. Ha viszot ez az egyelőség áll, akkor az ifimum alaptulajdosága szerit létezik (x ) N egységvektorokból álló sorozat, amelyre ( ) teljesül. 7.2. Normális operátorok spektruma Állítás. Ha N ormális operátor, akkor Eig(N )=Eig(N), és a λ Eig(N) illetve a λ Eig(N ) sajátértékekhez tartozó sajátalterek megegyezek. Bizoyítás Legye λ K. Ekkor N λ id H ormális, így Ker(N λ id H ) = Ker(N λ id H ) =Ker(N λ id H ). Megjegyzés Ha N ormális, akkor a feti eredméy és egy korábbi állításuk alapjá Sp r1 (N)=Sp r2 (N)=, tehát Sp(N)=Eig(N) Sp c (N), azaz ormális operátor spektrumába csak sajátértékek és általáosított sajátértékek vaak. Más szóval, ha N λ id H ijektív és az iverze folytoos, akkor λ Reg(N). Ha N ormális operátor, akkor mide λ K eseté N λid H akkor és csak akkor ijektív, ha értékkészlete sűrű, így tehát λ Eig(N) eseté Ra(N λid H ) em sűrű. Állítás. Legye V izometrikus és T szimmetrikus operátor. Ekkor (1) Eig(V ) T és Eig(V ) Eig(V ), és mide λ Eig(V ), x H eseté, ha V x=λx, akkor V x=λ x; (2) Eig(T ) R és Eig(T ) Eig(T ). Bizoyítás (1) Legye λ Eig(V ), és 0 x H olya, hogy V x=λx. Ekkor x, x = V x, V x = λx, λx = λ 2 x, x, következésképpe λ =1. Továbbá, V V =id H miatt x = V (V x) = V (λx) = λv x, így V x=λ 1 x=λ x, tehát λ Eig(V ). (2) Legye λ Eig(T ), és 0 x H olya, hogy T x=λx. Ekkor λ x, x = λx, x = Sx, x = x, Sx = x, λx = λ x, x, következésképpe λ =λ, azaz λ R. Mivel T T, Eig(T ) = Eig(T ) Eig(T ). 20

Állítás. Ha az A operátor ormális, szimmetrikus vagy izometrikus, akkor A külöböző sajátértékeihez tartozó sajátalterei ortogoálisak egymásra. Bizoyítás Legye λ és µ az A két külöbözősajátértéke, és x, y H\{0} olyaok, hogy Ax=λx és Ay=µy. Ekkor az előzőek szerit A y=µ y, így ezért λ µ miatt y, x =0. µ y, x = µ y, x = A y, x = y, Ax = λ y, x, Állítás. Legye U uitér és S öadjugált operátor. Ekkor (1) Sp(U) T és Eig(U) =Eig(U ), (2) Sp(S) R és Eig(S) =Eig(S ). Bizoyítás (1) U ormális, így Eig(U) =Eig(U ). Továbbá λ Sp(U) eseté λ U =1. Legye λ K, λ <1. Ekkor, mithogy U 1 Li(H), valamit 1 λid H = λ <1 = U 1, az U λid H operátor ivertálható, azaz λ/ Sp(U). (2) S ormális, így Eig(S) =Eig(S ). Legye λ=α+iβ, ahol α, β R és β 0. Ekkor λ/ Eig(S), és x Dom(S) eseté (S λid H )x 2 = (S αid H )x 2 + β 2 x 2 β 2 x 2, ezért (S λid H ) 1 folytoos, így λ Reg(S). Állítás. Legye N ormális operátor és (x i ) az N sajátvektoraiból álló ortoormált redszer: mide eseté Nx i =λ i x i (λ i em szükségképpe külöbözik λ j -től, ha i j). Ekkor tetszőleges (c i ) lk 2 (I) eseté c i x i Dom(N) potosa akkor, ha c i 2 λ i 2 <+, és ekkor ( ) N c i x i = c i Nx i = c i λ i x i. Bizoyítás Legye c i 2 λ i 2 <+. Ekkor létezik c iλ i x i H, és mide x Dom(N ) eseté c i x i, N x = c i x i, N x = c i Nx i, x = = c i λ i x i, x = c i λ i x i, x, ami az adjugált operátor defiíciója szerit éppe azt jeleti, hogy c iλ i x i Dom(N )=Dom(N) és ( ) N c i x i = c i λ i x i = c i Nx i. 21

Tegyük most fel, hogy c ix i Dom(N). Az I mide véges F részhalmazára x F := i F c iλ i x i Dom(N)=Dom(N ), és x F 2 = i F c i 2 λ i 2 miatt egyrészt ( ( ) c i x i, N x F = N c i x i ), x F N c i x i x F, másrészt c i x i, N x F = c i x i, N x F = c i λ i x i, x F = x F 2 miatt ( ) c i 2 λ i 2 = x F N c i x i, i F és ez azt jeleti, hogy c i 2 λ i 2 <+. Állítás. Legye N olya ormális operátor, melyek sajátalterei által kifeszített zárt lieáris altér az egész tér. Ekkor Sp(N) = Eig(N). Bizoyítás Tudjuk, hogy Eig(N) Sp(N). Ha λ K\Eig(N), akkor α:=d(λ, Eig(N))>0. Legye (x i ) az N sajátvektoraiból álló teljes ortoormált redszer, eseté Nx i =λ i x i. Ha x= c ix i E, akkor az előző állítás szerit (N λid H )x 2 2 = c i (λ i λ)x i = = c i 2 λ i λ 2 α 2 c i 2 = α 2 x 2, következésképpe (N λid H ) 1 folytoos, így λ Reg(N), azaz λ K\Sp(N). Állítás. Ha P ortogoális projektor, P 0, P id H, akkor Sp(P )=Eig(P )={0, 1}. Bizoyítás Ha P x = λx, akkor λx = P x = P 2 x = λ 2 x, ezért Eig(P ) {0, 1}. Ha P 0, akkor Ra(P ) 0, és mide x Ra(P ) eseté P x = x, tehát 1 Eig(P ). Ha P id H, akkor Ker(P ) 0, és mide x Ker(P ) eseté P x = 0, tehát 0 Eig(P ). Az ortogoális projektor öadjugált, sajátalterei kifeszítik az egész teret, a sajátértékek halmaza zárt, ezért a spektruma az előző állítás szerit a sajátértékeke kívül más potot em tartalmaz. Megjegyzés Sp(id H )=Eig(id H )={1}, és Sp(0)=Eig(0)={0}. 22

7.3. Operátor poliomjáak spektruma Tekitsük egy p = i=0 c iid i C poliomot és legye A folytoos operátor. Ekkor p(a) := i=0 c ia i. Állítás. Az előbbi jelöléssel Sp(p(A)) = p[sp(a)]. Bizoyítás Legye λ Sp(A). Mivel λ gyöke a p p(λ) poliomak, va olya q poliom, hogy p p(λ) = (id C λ)q. Eek megfelelőe p(a) p(λ)id H = (A λid H )q(a) = q(a)(a λid H ). Tegyük fel, hogy p(λ) / Sp(p(A)). Ekkor a feti egyelőségből adódik, és ezekkel q(a) ( p(a) p(λ)id H ) 1 = ( p(a) p(λ)idh ) 1q(A) id H = (A p(λ)id H ) ( p(a) p(λ)id H ) 1 = = ( p(a) p(λ)id H ) 1q(A)(A p(λ)idh ) = = q(a) ( p(a) p(λ)id H ) 1(A p(λ)idh ), ami azt jeleti, hogy A p(λ)id H -ek va mideütt értelmezett folytoos iverze, azaz λ / Sp(A); eze elletmodás szeriht tehát p[sp(a)] Sp(p(A)). Legye most λ Sp(p(A)). A p λ poliomak a ξ i (multiplicitással számított) gyökeivel a gyöktéyezős alak szerit p(a) λid H = α(a ξ 1 id H )... (A ξ id H ) Ha ξ i / Sp(A) mide i-re, akkor a jobb oldal mide téyezőjéek, és így az egész jobb oldalak, és ezért a bal oldalak is va mideütt értelmezett folytoos iverze, ami elletmodás. Tehát va olya i 0, hogy ξ i0 Sp(A). Lévé p(ξ i0 ) λ = 0, azaz λ = p(ξ i0 ), így Sp(p(A)) p[sp(a)]. 8. Operátorsorozatok kovergeciája Defiíció. A mideütt értelmezett folytoos operátorok (A ) N sorozata ormába (vagy uiform) koverges, ha létezik A mideütt értelmezett folytoos operátor úgy, hogy lim A A = 0, és ekkor az A = (u) lim A jelölést haszáljuk; erőse koverges, ha létezik A mideütt értelmezett folytoos operátor úgy, hogy lim A x = Ax mide x H eseté, és ekkor az A = (s) lim A jelölést haszáljuk (vagyis az erős kovergecia a potokéti kovergecia); gyegé koverges, ha létezik A mideütt értelmezett folytoos operátor úgy, hogy lim y, A x = y, Ax mide x, y H eseté, és ekkor az A = (w) lim A jelölést haszáljuk. Egyszerű feladat bebizoyítai: 23

Állítás. Ha az operátorsorozat ormába koverges, akkor erőse is koverges és (s) lim A =(u) lim A, erőse koverges, akkor gyegé is koverges és (w) lim A = (s) lim A. Viszot fordítva em áll. Legye l 2 -be a jobbra tolás operátora R : l 2 l 2, (a 1, a 2, a 3,... ) (0, a 1, a 2, a 3,... ), és a balra tolás operátora L : l 2 l 2, (a 1, a 2, a 3, a 4,... ) (a 2, a 3, a 4,... ). Köyű megmutati, hogy az (L ) N sorozat ormába em koverges, de (s) lim L = 0, az (R ) N sorozat erőse em koverges, de (w) lim R = 0. A ormába koverges operátorsorzat tudvalevőleg korlátos, és a Baach Steihaus-tételből azoal következik, hogy ez igaz az erőse koverges operátorsorozatra is: Állítás. Ha (A ) en ormába vagy erőse koverges, akkor va olya α szám, hogy A α mide -re. Állítás. (i) Az operátorok lieáris műveletei felcserélhetők az előzőfeladatba értelmezett midhárom határértékkel, azaz ha A = (.) lim A és B = (.) lim B, akkor A + B = (.) lim (A + B ), és hasoló igaz a számmal szorzásra. (ii) Az operátorok szorzása felcserélhetőaz egyeletes és az erős határértékkel, azaz ha A = (u) lim A és B = (u) lim B, akkor AB = (u) lim (A B ), és ugyaez igaz az erős limeszre is. (iii) Az adjugálás felcserélhetőaz egyeletes és a gyege határértékkel, azaz ha A = (u) lim A, akkor A = (u) lim A, és ugyaez igaz a gyege limeszre is. Bizoyítás (i) yilvávaló (ii) Az A B x ABx A B x A Bx + A Bx ABx egyelőtleségek biztosítják a kovergeciát. (iii) A ormába való kovergeciát mutatja, a gyege kovergeciát pedig A B x Bx + B A x Ax α B x Bx + B A x Ax A A = (A A) = A A y, A x y, A x = y, (A A )x = y, (A A) x = (A A)y, x. Viszot a gyege határértékre (ii) em teljesül: (w) lim L = (w) lim R = 0, de L R = id H mide -re. Az erős határértékre pedig (iii) em teljesül: (s) lim L = 0, de az (L ) = R sorozatak em létezik erős határértéke. 24

9. Kompakt operátorok 9.1. Véges ragú operátorok Defiíció. Az A folytoos operátort véges ragúak evezzük, ha Ra(A) véges dimeziós, és ekkor rk(a) := dim(ra(a)) az A ragja. Nyilvávaló, hogy a véges ragú operátorok összessége lieáris altér: ha A, B véges ragú és λ K\{0}, akkor Ra(A+B)=Ra(A)+Ra(B) és Ra(λA) = Ra(A), továbbá Ra(0A)={0} miatt így A+B, λa, 0A is véges ragú. rk(a+b) rk(a) + rk(b), rk(λa) =rk(a), rk(0a) =0, Állítás. Ha az A és B operátorok közül legalább az egyik véges ragú, akkor AB és BA véges ragú, és rk(ba) mi(rk(a), rk(b)), rk(ba) mi(rk(a), rk(b)). Bizoyítás Ra(AB)=A[Ra(B)] miatt az állítás yilvávaló. Állítás. Ha A véges ragú operátor, akkor A is véges ragú, és Bizoyítás rk(a ) = rk(a). Egyszerű téy, hogy mide A Li(H) eseté A Ra(A) ijektív és A [Ra(A)]=Ra(A ). Ha A véges ragú, akkor Ra(A) zárt, mert véges dimeziós altér; következésképpe A Ra(A) lieáris bijekció Ra(A) és Ra(A ) között, ezért A véges ragú, és ragja megegyezik A ragjával. 9.2. Kompakt operátorok tulajdoságai Defiíció. Az A folytoos operátort operátort kompaktak, vagy teljese folytoosak evezzük, ha mide H-beli korlátos halmaz A általi képe prekompakt (azaz a lezártja kompakt). Nyilvávaló, hogy A akkor és csak akkor kompakt, ha A[G 1 (0)] prekompakt. Állítás. Legye A folytoos operátor. (1) Ha A véges ragú, akkor kompakt. (2) Ha A kompakt és Ra(A) zárt, akkor A véges ragú. Bizoyítás (1) A folytoos, ezért A[G 1 (0)] korlátos halmaz, amely a véges dimeziós Ra(A) része, így relatív kompakt. (2) Ha Ra(A) zárt, akkor teljes, így a yílt leképezés tétele szerit A:H Ra(A) yílt, következésképpe A[G 1 (0)] köryezete a 0-ak Ra(A)-ba, emellett a lezártja kompakt, ezért Ra(A) véges dimeziós. Állítás. A kompakt operátorok zárt lieáris alteret alkotak. 25

Bizoyítás Triviális, hogy kompakt operátor számszorosa is kompakt. Legye A és B jkompakt operátor, és H H korlátos halmaz. Ekkor (A+B)[H] A[H]+B[H] A[H]+B[H], így (A+B)[H] prekompakt, mert két kompakt halmaz összege kompakt, tehát A+B is kompakt operátor. Legye a T folytoos operátor a kompakt operátorok halmazáak éritkezési potja. Ekkkor mide ε>0 eseté létezik A kompakt operátor úgy, hogy T S <ε/3. Mivel A[G 1 (0)] prekompakt, létezik x 1,..., x eleme G 1 (0)-ak úgy, hogy A[G 1 (0)] G ε/3 (ax k ). k=1 Legye x G 1 (0). Ekkor létezik k {1,..., } úgy, hogy Ax ax k <ε/3, tehát T x T x k T x Ax + Ax Ax k + Ax k T x k < ε, így T [G 1 (0)] G ε (T x k ), k=1 ezért T [G 1 (0)] prekompakt, azaz T kompakt operátor. Állítás. Ha az A és B folytoos operátorok közülük legalább az egyik kompakt, akkor AB és BA kompakt. Bizoyítás Tegyük fel, hogy A kompakt, és legye H H[ korlátos ] halmaz. Ekkor A[H] kompakt halmaz, így, mivel B folytoos, B A[H] is kompakt [ ] halmaz, és B[A[H]] B A[H], következésképpe B[A[H]] relatív kompakt, tehát BA kompakt operátor. B folytoos, ezért B[H] korlátos halmaz, következésképpe A[B[H]] relatív kompakt, tehát AB kompakt operátor. Állítás. A véges ragú operátorok sűrű lieáris alteret alkotak a kompakt operátorok zárt lieáris alterébe. Bizoyítás Megmutatjuk, hogy bármely A kompakt operátor mide ε>0 sugarú köryezetébe va véges ragú operátor. A[G 1 (0)] prekompakt halmaz, ezért létezik x 1,..., x eleme G 1 (0)-ak úgy, hogy A[B 1 (0)] G ε (Ax k ). k=1 M := Spa{Ax 1,..., Ax } véges dimeziós (tehát zárt) altér, és ha P M jelöli az M-re vetítő ortogoális projektort, akkor P M A véges ragú operátor. Mide x B 1 (0) eseté létezik k {1,..., } úgy, hogy Ax Ax k <ε, ezért Ax P M Ax = (id H P M )(Ax Ax k ) id H P M Ax Ax k < ε, hisze (id H P M )=P M ortogoális projektor, így ormája 1. Tehát A P M A ε. 26

Következésképpe mide kompakt operátor előáll véges ragú operátorok sorozatáak határértékekét. Állítás. Ha A kompakt operátor, akkor A is kompakt. Bizoyítás Az előzőeredméy szerit létezik véges ragú operátorok (A ) N sorozata úgy, hogy lim A = A ormába. Mivel a folyatoos operátoroko az adjugálás izometrikus bijekció, lim A = A ormába. Mivel mide A véges ragú, így az előző állítás alapjá A is kompakt operátor. 9.3. Kompakt operátorok spektruma Ebbe a fejezetbe A egy adott kompakt operátort jelöl. Ha H végtele di- Állítás. λ K\{0} eseté Ker(A λid H ) véges dimeziós. meziós, akkor 0 Sp(A). Bizoyítás N:=Ker(A λid H ) zárt lieáris altér, és A N =λid N kompakt operátor, melyek értékkészlete λ 0 miatt N, így a 32.2. állítás szerit N véges dimeziós. Tegyük fel, hogy 0 Reg(A). Ekkor Ra(A)=H, így H véges dimeziós. Állítás. λ K\{0} eseté Ra(A λid H ) zárt lieáris altér. Bizoyítás M:=Ker(A λid H ) zárt lieáris altér, S:=(A λid H ) M ijektív lieáris leképezés, és Ra(S)=Ra(A λid H ). Tegyük fel, hogy S 1 em folytoos. Ekkor if Sx = 0, tehát létezik (x ) N sorozat M-be x M, x =1 úgy, hogy mide N eseté x =1 és lim Sx =0. Mivel A kompakt operátor, létezik i:n N idexsorozat úgy, hogy (Ax ik ) k N koverges; legye y 0 M a határértéke. Ekkor lim Sx ik = 0 miatt y 0 =λ lim x ik, így y 0 = λ 0, és k k emellett Sy 0 =λ lim Sx ik =0, ami elletmod aak, hogy S ijektív. Tehát S 1 k folytoos, így, mivel zárt operátor, Dom(S 1 ) = Ra(S) zárt. Állítás. Mide ε > 0 eseté E ε :={λ Eig(A) λ >ε} véges halmaz. Bizoyítás Tegyük fel, hogy valamely ε > 0 eseté E ε végtele. Ekkor létezik (λ ) N ijektív sorozat E ε -ba. Legye N eseté 0 e az A-ak λ sajátértékű sajátvektora (azaz e Ker(A λ id H )), és M az {e 1,..., e } halmaz lieáris burka. Ekkor (a) M valódi altere M +1 -ek, (b) A[M ] M, (c) (A λ +1 id H )[M +1 ] M. Ugyais (b) és (c) yilvávaló, és az is hogy M M +1. Mivel a λ sajátértékek külöbözők, mide N eseté {e 1,..., e +1 } lieárisa függetle, így M M +1. Mide -re létezik y +1 M +1 M úgy, hogy y +1 =1. Ekkor mide x M és α K eseté αy +1 x 2 = α 2 y +1 2 + x 2 α 2. Ha m, akkor z := Ay m (A λ +1 id H )y +1 M, 27

így Ay +1 Ay m = λ +1 y +1 z = λ +1 ε. ( ) Következésképpe az (Ay ) 2 sorozatak ics sűrűsödési helye, holott (y ) 2 korlátos sorozat, ez pedig elletmot A kompaktságáak. Állítás. Ha 0 λ Eig(A), akkor Ra(A λid H ) H. Bizoyítás Tegyük fel, hogy Ra(A λid H ) = H. Az M :=Ker((A λid H ) ) ( N) zárt lieáris alterekre az előbbi bizoyításba felsorolt (a)-(b)-(c) tulajdoságok teljesülek a λ +1 := λ defiícióval. Ugyais (b) és (c) yilvávaló, és az is hogy M M +1. Mivel λ sajátértéke A-ak, létezik 0 x 1 M 1, és mivel A λid H szürjektív, létezik (x ) N sorozat H-ba úgy, hogy mide N eseté (A λid H )x +1 =x. Ekkor (A λid H ) x +1 =x 1 0 és (A λid H ) +1 x +1 =0, azaz x +1 M +1 \M. Tehát M M +1. Ezutá ugyaúgy érvelhetük, mit az előbb, csak a ( ) összefüggésbe ics, és em is kell ε. Állítás. λ K\{0} eseté a következő alterek véges és azoos dimeziósak: Ker(A λid H ), Ra(A λid H ), Ker(A λ id H ), Ra(A λ id H ). Bizoyítás Legye S:=A λid H, és tegyük fel, hogy dimker(s) > dimra(s) Mivel Ker(S) véges dimeziós, létezik L:Ker(S) Ra(S) lieáris szürjekció, mely em ijekció. F :=A+L P Ker(S) kompakt operátor (kompakt és véges ragú összege) és F λid H =S+L P Ker(S). Ezért {0} =Ker(L) Ker(F λid H ), tehát λ Eig(F ), és Ra(F λid H ) H. Azoba, és (F λid H )[Ker(S) ] = S[Ker(S) ] = Ra(S), (F λid H )[Ker(S)] = L[Ker(S)] = Ra(S), így Ra(F λid H )=H, ami elletmodás, tehát dimker(s) dimra(s). Alkalmazzuk ezt az eredméyt az A kompakt operátorra: Azoba dimker(s ) dimra(s ). dimra(s ) = dimker(s) dimra(s) = dimker(s ), ez pedig csak úgy lehetséges, ha eze égy altér dimeziója megegyezik. Állítás. Sp(A) legfeljebb megszámlálható halmaz, melyek csak a 0 K lehet torlódási potja. A spektrum mide emulla eleme sajátérték, és a megfelelő sajátalterek véges dimeziósak. 28

Bizoyítás Ha λ 0 em sajátértéke A-ak, akkor A λid H ijektív, így a 33.5. állítás alapjá szürjektív, és ekkor iverze, lévé zárt operátor, folytoos, következésképpe λ Reg(A). Tehát Sp(A)\{0} Eig(A). A 33.3. állítás szerit Sp(A)\{0} = Eig(A)\{0} = NE 1/ legfeljebb megszámlálható halmaz, melyek csak a 0 lehet torlódási potja, így Sp(A) is ugyailye tulajdoságú. A em ulla sajátértékekhez tartozó sajátalterek a 33.1. állítás szerit véges dimeziósak. 9.4. Nyomoperátorok Defiíció. A K kompakt operátort yomperátorak hívjuk, ha tetszőleges (x i ) teljes ortoormált redszer eseté létezik Tr(K) := x i, Kx i, amely függetle az ortoormált redszertől, és amelyet a K yomáak hívuk. Legye W öadjugált yomoperátor, {λ N} a sajátértékei mulitplicitással számolva, e a λ -hez tartozó sajátvektor, úgy választva, hogy a sajátvektorok ortoormált redszert alkossaak. Ekkor W = (u) λ e e, ahol (u) az uiform (operátorok ormájára voatkokzó) összegzést jelöli. A spektráltételből azoal adódik a gyege összegzési formula, azaz hogy mide x és y vektorra y, W x = λ y, e e, x, és ebből em ehéz becsléssel megkapjuk a ormára voatkozó kovergeciát is. Ha W a feti alakú yomoperátor, akkor Tr(W ) = λ, ugyais Tr(W ) = x i, W x i = i λ x i, e e, x i ; az összegzés sorredjéek megfordítása adja a kívát eredméyt. Állítás. Ha W öadjugált yomoperátor és A korlátos operátor, akkor AW és W A is yomoperátor, és Tr(AW ) = Tr(W A). Bizoyítás Legye W a feti alakú, és x i (i I) teljes ortoormált redszer. Vizsgáljuk meg a λ x i, Ae e, x i x i, AW x i = i 29