1. Általános valószínűségelmélet

Átírás

1 1. Általáos valószíűségelmélet 1.1. Eseméyek Valyamely fizikai (vagy egyéb, például gazdasági) redszer leírásához ituitív képük va arról, mik lehetek a redszer lehetséges eseméyei és az azok közötti kapcsolatok. A legegyszerűbbe, a szokásos módo a kockadobálással világíthatjuk meg az idevágó fogalmakat. A lehetséges eseméyek az 1-től a 6-ig a számok (ezek az úgyevezett elemi eseméyek), aztá a 4-él kisebb szám, a 2-él agyobb szám, páros szám, stb. Rövide: az {1,..., 6} halmaz összes lehetséges részhalmaza. Az egész halmaz (bármely szám) a biztos eseméy, az üres halmaz (semmilye szám) a lehetetle eseméy. Tudjuk, mit jelet az hogy, egy eseméy maga utá vo egy másik eseméyt (ha 2, akkor páros), két eseméy együttese (4-él kisebb és 2-él agyobb), két eseméy akármelyike (4-él agyobb vagy 2-él kisebb), egy eseméy elletettje (a 4-él kisebb elletettje a 4-él agyobb vagy egyelő). Általába sokkal több (végtele sok) eseméy va. A klasszikus valószíűségelméletbe azt teszik fel, az eseméyek egy alaphalmaz jelöljük T -vel bizoyos halmazaiak σ-algebrája jelöljük ezt B(T )-vel, ami azt jeleti, hogy az egész halmaz, az üres halmaz bee va B(T )-be, továbbá a B(T ) megszámlálható sok eleméek a közös része és egyesítése is bee va B(T )-be, valamit a B(T ) mide eleméek a komplemetere is bee va B(T )-be. Ekkor, ha A, B B(T ), A B(T ) ( N), akkor A B fejezi ki, hogy az A eseméy maga utá voja a B eseméyt, A jeleti az eseméyek együttesét, A jeleti az eseméyek akérmelyikét, A := T \ A az A elletettje. Egy ilye σ-algebráak alapvető tulajdosága (a halmazelméleti műveletek tulajdosága szerit) a disztributivitás: A (B C) = (A C) (A C), A (B C) = (A C) (A C). A kvatummechaika a klasszikus valószíűségelmélet eredméyeitől eltérő eredméyekre vezetett. Ezért általáosítai kell az eseméyek feti struktúráját a következőképpe. Egy S halmazo egy redezés a szimbólummal jelölt reláció, amely reflexív, azaz a a, atiszimmetrikus, azaz ha a b és b a, akkor a = b, trazitív, azaz ha a b és b c, akkor a c b az S bármely a, b, c elemére. Korlátosak modjuk a redezést, ha va az S-ek egy 1-gyel és egy 0-val jelölt legagyobb, illetve legkisebb eleme, azaz mide más a elemre a 1 és 0 a teljesül. Az a, b elemek legkisebb felső korlátja, ha létezik, az az a b-vel jelölt elem, amely agyobb-egyelő mid a-ál és b-él, és az ilye tulajdoságú elemek közül a legkisebb; hasolóa értelmezzük a b-t, az a és b legagyobb felső korlátját. Hagsúlyozzuk, em akármilye redezés eseté létezek bármely

2 két elemre az így értelmezett korlátok. Hasolóképpe értelmezzük em csak kettő, haem akárháy elem legkisebb felső és legagyobb alsó korlátját. 1. Defiíció. Az L halmazt ortomoduláris σ-hálóak hívjuk, ha adott rajta egy korlátos redezés úgy, hogy bármely megszámlálható sok elemek létezik legkisebb felső és legagyobb alsó korlátja azaz mide a L ( N) eseté létezik és a, a egy L L, a a ortokomplemetáció az (i) (a ) = a, (ii) ha a b, akkor b a, (iii) a a = 0, a a = 1 valamit az ortomodularitásak evezett (iv) ha a b, akkor b = a (b a ) tulajdosággal. a b eseté haszáljuk a b \ a := b a jelölést. Ha a b (és ezzel egyidejűleg b a ), akkor azt modjuk, hogy a és b ortodiszjukt, jelölésbe a b. Ige egyszerű beláti, hogy 0 = 1, 1 = 0. Továbbá, ha a b, akkor a b = 0. Fotos viszot, hogy fordítva em feltétleül igaz: a b em voja maga utá, hogy a b. Nyilvávaló, hogy egy halmaz-σ-algebra ortromoduláris σ-háló a halmazelméleti redezéssel és komplemetációval. Az a fotos, hogy általába egy ortomoduláris σ-háló em disztributív, azaz például a (b c) em feltétleül egyezik meg (a b) (a c)-vel. Az ortomodularitás a disztributivitásak egy ige gyegített változata, ugyais ha a defiiáló tulajdoságot kifejtjük a disztributivitás szerit, egyelőséget kapuk: a (b a ) = (a b) (a a ) = b 1 = b. 1. Állítás. Ha a L ( N), akkor ( a ) = a, ( a ) = a. Bizoyítás Az első egyelőséget bizoyítjuk, a második már következik ebből az ortokomplemetáció tulajdoságaiból. Mide m-re a m a, ezért ( a ) a m, amiből ( a ) m N a m. Másrészt mide -re m N a m a, ezért a ( m N a m) ), amiből a ( m N a m) ), azaz m N a m ( a ). 2. Defiíció. Az L ortomoduláris σ-háló egy L o részhalmazát részobjektumak hívjuk, ha mide a, a L o ( N) eseté a, a és a is a L o eleme. Egyszerű téy, hogy a feti defiícióba szereplő első és második tulajdoságból következik a harmadik, illetve az első és harmadik tulajdoságból következik a második.

3 Nyilvávaló, hogy részobjektumok metszete részobjektum, ezért értelmes az L bármely R részhalmaza által geerált részobjektum, mit az R-et tartalmazó legszűkebb részobjektum. Érdemes megjegyezi, hogy egy R részhalmaz elemeiből a, és műveletekkel képezett összes lehetséges elem bee lesz az R által geerált részobjektumba, de általába aak em mide eleme állítható elő így. 3. Defiíció. Az L ortomoduláris σ-háló egy e elemét atomak hívjuk, ha abból, hogy a e, a = e vagy a = 0 következik. Halmaz-σ-algebrákba az egypot-halmazok az atomok. 4. Defiíció. Legye K és L ortomoduláris σ-háló. Egy u : K L leképezést orto-σ-homomorfizmusak hívuk, ha u(h ( ) = u(h) ), u h = u(h ), ( ) u h = u(h ) mide h, h K ( N) eseté. Egyszerű téy, hogy a feti defiícióba szereplő első és második tulajdoságból következik a harmadik, illetve az első és harmadik tulajdoságból következik a második. Ez azért fotos, mert ha egy leképezésről be akrjuk láti, hogy orto-σ-homomorfizmus, akkor elég az első és második, vagy első és harmadik tulajdoságot bizoyítai. Ige egyszerű beláti, hogy u(0) = 0, u(1) = 1, és ha a b, akkor u(a) u(b). Továbbá u értékkészlete az L részobjektuma; fotos tudivaló, hogy ha az u értelmezési tartomáya disztributív, akkor az értékkészlete disztributív részobjektum. Ugyacsak egyszerű beláti, hogy ha az u és v orto-σ-homomorfizmusok megegyezek egy halmazo, akkor megegyezek a halmaz által geerált részobjektumo is. Feltesszük, hogy a fizikára alkalmazott általáos valószíűségelméletbe az eseméyek egy L ortomoduláris σ-hálót alkotak. Eszerit a továbbiakba L-t egyszerűe eseméyalgebráak elemeit eseméyekek evezzük; az atomok az elemi eseméyek. Az ortodiszjukt eseméyeket egymást kizáróak modjuk Fizikai meyiségek Egy véges dimeziós V vektortér (sőt affi tér) Borel-halmazaiak B(V )-vel jelölt összessége a yílt halmazok által geerált σ-algebra; yilvávalóa ez megegyezik a zárt halmazok geeráltal σ-algebrával. A klasszikus valószíűségelméletbe ahol az eseméyalgebra B(T ), amelyről (ezért is jelöltük így) feltesszük, hogy Borel-féle σ-algebra válószíűségi változóak a T - értelmezett valós értékű Borel-mérhető függvéyeket evezek; általáosabba, valószíűségi vektorváltozó a T - értelmezett V értékű Borelmérhető függvéy. Egy f : T V függvéy Borel-mérhető, ha mide E B(V ) eseté 1 f (E) B(T ). Tudjuk és egyszerűe bizoyítható, hogy 1 f

4 megtartja a halmazművele-teket, azaz halmazok metszetéek, uiójáak az f általi ősképe az ősképek metszete, illetve uiója, egy halmaz komplemeteréek az ősképe az őskép komplemetere. Más szóval 1 f : B(V ) B(T ) orto-σhomomorfizmus. A klasszikus mechaika és statisztikus fizika szokásos megfogalmazásába az eseméyek a fázistér Borel-halmazai, és a fizikai meyiségek a fázistére értelmezett vektor értékű függvéyek. A fizikai meyiségektől bizoyos jó tulajdoságokat például folytoosság, differeciálhatóság szokás megköveteli. A legáltaláosabb ilye követelméy a Borel-mérhetőség. Tehát a klasszikus fizikai meyiségek a valószíűségelmélet fogalmaival valószíűségi vektorváltozók. Eek megfelelőe, a fizikára alkalmazott általáos valószíűségelmélet L eseméyalgebrája eseté fizikai meyiségek egy u : B(V ) L orto-σhomomor-fizmust evezük. 5. Defiíció. Egy u : B(V ) L fizikai meyiség tartója a Supp(u) := {v V u(g) 0, v G, G yílt} halmaz. s V az u éles potja, ha u({s}) 0; az éles potok összességét a Sharp(u) jelöli. Egyszerű téyek a következők: Sharp(u) Supp(u), Supp(u) = {G yílt u(g) = 0}, Supp(u) = {F zárt u(f ) = 1}. Egy éles pot jeletése: va olya eseméy, amelyek bekövetkeztekor a fizikai meyiség a szóba forgó értékét veszi fel. Egy tartóbeli pot jeletése: va olya eseméy, amelyek bekövetkeztekor a fizikai meyiség léyegébe a szóba forgó értékét veszi fel; potosa: a tartó adott potját tartalmazó bármely (kis) yílt halmazhoz va olya eseméy, amelyek bekövetkeztekor a fizikai meyiség az értékét abba a yílt halmazba veszi fel. Ha L = B(T ) és u = 1 f, akkor Sharp(u) = Ra(f) és Supp(u) = Ra(f). A klasszikus valószíűségelméletbe valószíűségi változók (a klasszikus fizikába fizikai meyiségek) egymáshoz való viszoyát is szokták vizsgáli úgy, hogy az f i : T V i (i = 1,..., ) függvéyek f := (f 1,..., f ) : T V 1 V együttes függvéyt tekitik. Jelölje pr i : V 1 V V i az i-dik kompoesre való vetítést. Nyilvávaló, hogy f i = pr i f, amiből 1 f i = 1 f pr 1 i. Ez idokolja a következő meghatározásukat, ahol természetes szám. 6. Defiíció. Az u i : B(V i ) L (i = 1,..., ) fizikai meyiségek együttese egy olya u : B(V 1 V ) L orto-σ-homomorfizmus, amelyre u i = u pr 1 i teljesül mide i eseté. Általába fizikai meyiségek együttese em feltétleül létezik. Ha létezik, akkor egyértelmű, ugyais a defiícióból következőe meg va határozva a szorzattér Borel-oldalú téglái, amelyek geerálják a szorzattér Borel-halmazait (ugyais például R bármely yílt halmaza előáll a bee levő racioális koordiátájú potok körüli yílt téglák megszámlálható uiójakét).

5 Ra(u i ) midegyike disztributív részobjektum, és ha u létezik bee va az ugyacsak Ra(u) disztributív részobjektumba. Ezért a fizikai meyiségek együttese csak akkor létezhet, ha az u i -k kompatibilisek az alábbi meghatározás szerit. 7. Defiíció. Az u i (i = 1,..., ) fizikai meyiségek kompatibilisek, ha a i Ra(u i) geerálta részobjektum disztributív. Tehát az együttes fizikai meyiség létezéséek szükséges de általába em elégséges feltétele a kompatibilitás. A klasszikus valószíűségelméletbe valószíűségi változók összegét, szorzatát is szokták tekitei. Az f 1 : T V és f 2 : T V függvéyek összege em más, mit a függvéyek f := (f 1, f 2 ) együtteséek a + : V V V összeadásssal vett kompozíciója. Áttérve a teljes iverzekre látjuk, hogy eek megfelelőe az u 1 : B(V ) L és u 2 : B(V ) L fizikai meyiségek összege akkor értelmezhető, ha létezik a meyiségek u együttese, és ekkor az összegük az u 1 + : B(V ) L fizikai meyiség. Értelemszerűe hasolóa határozzuk meg fizikai meyiségek szorzatát Állapotok A klasszikus valószíűségelméletbe az eseméyek bekövetkezéséek relatív gyakoriságát egy a B(T )- értelmezett, értékeit a [0, 1] itervallumba felvevő mértékkel jellemzik. Ez a valószíűségi mérték függ a vizsgált redszer aktuális körülméyeitől. Godoljuk a kockadobálásra: ha a szokásosa végezzük, akkor mide elemi eseméy valószíűsége 1 6 ; ha úgy ejtjük le a kockát körülbelül 4 cm magasról, hogy kezdetbe midig a 6-os va felül, akkor a 6-os valószíűsége jóval agyobb lesz 1 6-ál, az 1-es valószíűsége pedig eleyészőe kicsi. A havazás, szélvihar stb. valószíűsége a légkör aktuális viszoyaitól állapotától függ. A modottak idokolják a következő meghatározást. 8. Defiíció. Az L eseméyalgebrá egy p : L [0, 1] leképezést állapotak hívuk, ha p(1) = 1, ha a ( N) egymást párokét kizáró eseméyek, akkor ( ) p a = p(a ). p(a) az a valószíűsége a p állapotba. 2. Állítás. Ha p állapot, akkor (i) p(0) = 0, (ii) a b eseté p(a) p(b). Bizoyítás (i) 0 1, így p(1) = p(0 1) = p(0) + p(1). (i) Az ortomodularitás szerit b = a (b a ) és yilvá a (b a ), ezért p(b) = p(a) + p(b a ). 9. Defiíció. Egy állapotot szórásmetesek hívuk, ha csak a 0 és 1 értéket veszi fel.

6 10. Defiíció. A párokét külöböző p ( N) állapotok σ-kovex kombiációja egy λ p alakú, potokét értelmezett függvéy, ahol λ 0 és λ = 1. Triviális a σ-kovex kombiáció, ha egy kivételével az összeg mide tagja ulla. 3. Állítás. Állapotok σ-kovex kombiációja állapot. ( ) Bizoyítás Nyilvávaló, hogy λ p (1) = 1. Továbbá egymást kizáró eseméyek eseté a potokéti értelmezés szerit ( λ p ) ( m N a m ) = ( ) λ p a m = m N = λ p (a m ) = ( ) λ p (a m ). m N m N Megjegyezzük azt az egyszerű téyt, hogy ahol egy σ-kovex kombiáció az 1, illetve a 0 értéket veszi fel, ott a bee szereplő em ulla együtthatójú állapotok is az 1, illetve a 0 értéket veszik fel. 11. Defiíció. Egy állapotot tisztáak hívuk, ha em áll elő em triviális σ-kovex kombiációkét. Az előbbi megjegyzésükből azoal következik: 4. Állítás. Szórásmetes állapot tiszta. Klasszikus esetbe egy állapot p : B(T ) [0, 1] szokásos mérték. A tartóját azok a t T elemek alkotják, amelyekre igaz, hogy bármely a t-t tartalmazó N yílt halmazra p(n) 0. Külööse érdekesek a Dirac-féle mértékek, amelyekek a tartója egyetle pot. δ t -vel jelöljük azt a Dirac-mértéket, amelyek a tartója {t}, azaz bármely E B(T ) eseté p(e) = 1, ha t E és p(e) = 0, ha t / E. 5. Állítás. Klasszikus esetbe egy állapotra a következő igaz: Dirac-féle szórásmetes tiszta. Bizoyítás Dirac-féle állapot yilvá szórásmetes, az pedig tiszta. Tehát csak azt kell, belátuk, hogy egy tiszta állapot Dirac-féle. Tegyük fel, hogy a p tiszta állapot em Dirac-féle, azaz a tartójába va két külöböző t 1 és t 2 pot. Legye N 1 és N 2 olya diszjukt yílt halmaz, hogy t 1 N 1, t 2 N 2. Ekkor p(n 1 ) 0, p(n 1 ) p(n 2 ) 0. Defiiáljuk a p 1 (E) := p(e N 1), p 2 (E) := p(e N 1 ) p(n 1 ) p(n 1 ) állaptokat. Nyilvá p 1 p 2 és p = p(n 1 )p 1 + p(n 1 )p 2, azaz p em tiszta, ami elletmodás.

7 1.4. Várható érték, szórás Klasszikus valószíűségelméletbe az f : T R valószíűségi változóak a p valószíűségi mértékre voatkozó m-ik mometumát az f m -ek (m N) a p szeriti itegráljakét értelmezik (feltéve, hogy az itegrál létezik). Az ismert itegráltraszformációs formula szerit T f m (t)dp(t) = R r m d(p 1 f )(r). Valószíűségi vektorváltozókra az 1 < m-ik mometum defiíciója körülméyesebb; az egyszerűség kedvvért maraduk a valós esetél, a léyeget ez is jól mutatja. A modottak alapjá fogadjuk el a következő meghatározásokat. 12. Defiíció. Az u : B(R) L fizikai meyiségek a p : L [0, 1] állapotbeli eloszlása a p u : B(R) [0, 1] valószíűségi mérték. 13. Defiíció. Az u fizikai meyiségek a p állapotbeli m-ik mometuma η p (m) (u) := R idm R d(p u), feltéve, hogy az itegrál létezik, várható értéke az első mometuma, η p (u) := η p (1) (u), szórása σ p (u) := η p (2) (u) ( η p (u) ) Állítás. Szórásmetes állapotba bármely fizikai meyiség eloszlása Dirac-féle mérték, szórása ulla. Bizoyítás Mivel a p szórásmetes állapot csak a 0 és 1 értéket veszi fel, igaz ez p u-ra is bármely u eseté. Ha {s} a p u tartója, akkor η p (m) (u) = s m, amiből következik, hogy a szórás ulla. 2. Kvatumvalószíűség Ebbe a fejezetbe H egy komplex Hilbert-teret jelöl. I a H idetititás-operátora Eseméyek: zárt lieáris alterek Legye M(H) a Hilbert-tér zárt lieáris altereiek összessége. Jól ismert, hogy egy M zárt lieáris altér ortogoális kiegészítője szité zárt lieáris altér, amelyet szokásosa M jelöl. Ha a zárt lieáris alterek között értelmezzük a redezést a halmazelméleti tartalmazással, az ortokomplemetációt az ortogoális kiegészítővel, akkor M(H) ortomoduláris σ-háló lesz:

8 M N := M N, 1 = H, 0 = {0}, M, M = ( ) M = Spa M, M = M, ahol Spa( ) az adott halmaz által geerált zárt lieáris alteret jelöli, és yilvávalóa igaz, hogy ha M N, akkor N = M (N M ). Ige fotos, hogy ha dim H > 1, akkor (H) em disztributív. Legye ugyais M és N olya külöböző egy dimeziós altér, amelyek em ortogoálisak egymásra. Ekkor M N = {0}, N M = H, és ezért (M N) M = M H = (M M ) (N M ). Megjegyezzük, (H) teljes ortomoduláris háló, azaz em csak megszámlálható sok, haem tetszőleges számosságú zárt lieáris altérek is létezik legkisebb felső korlátja és legagyobb alsó korlátja. Az elemi eseméyek az egy dimeziós lieáris alterek Eseméyek: ortogoális projektorok 14. Defiíció. A P : H H folytoos operátort ortogoális projektorak evezzük, ha P 2 = P és P = P. Érdemes megjegyezi a defiícióból eredő következő, gyakra haszált összefüggéseket: mide x, y H eseté. y, P x = P y, x = P y, P x 7. Állítás. Ha P ortogoális projektor, akkor Ra(P ) és Ker(P ) zárt lieáris alterek és Ra(P ) = Ker(P ). Bizoyítás Folytoos operátor magja zárt lieáris altér, értékészlete lieáris altér. Ezért Ker(P ) zárt lieáris altér. Ha P x = x, akkor x Ra(P ); és ha x Ra(P ) akkor va olya y, hogy x = P y, és P x = P 2 y = P y = x. Tehát Ra(P ) az I P operátor magtere, és így zárt. A mide x H esetére feálló 0 = y, P x = P y, x egyelőségből azoal adódik, hgoy y Ra(P ) potosa akkor, ha y Ker(P ). Eredméyeikből rögtö következik, hogy ha P 0, akkor P = 1, és P x = x potosa akkor, ha P x = x. Ha M zárt lieáris altér, akkor a Riesz-féle felbotási tétel szerit létezik egyértelműe egy x M M és egy x M M vektor úgy, hogy x = x M + x M.

9 8. Állítás. Ha M zárt lieáris altér, akkor a P M :H H, x x M leképezés ortogoális projektor, Ra(P M )=M és Ker(P M )=M. Bizoyítás Egyszerű téy, hogy P M lieáris. Defiícója szerit P M (x) M az egyetle olya vektor, melyre x P M (x) M teljesül. Ezért mide x H eseté P M (x) P M (P M (x)) M M = {0}, következésképpe P M (x)=p M (P M (x)), azaz P M projektor. Nyilvávaló, hogy Ra(P M )=M. Továbbá P M (x)=0 defiíció szerit ekvivales azzal, hogy x M, tehát Ker(P M )=M. Tehát a zárt lieáris alterek és az ortogoális projektorok kölcsööse egyértelműe megfeleltethetôk egymásak. Ugyais, ha M zárt lieáris altér, akkor P M olya ortogoális projektor, hogy Ra(P M )=M. Ha P ortogoális projektor, akkor Ra(P ) zárt lieáris altér és P Ra(P ) =P. Ezért az ortogoális projektorok összessége ortomoduláris σ-háló a zárt lieáris alterek műveleteiek az átvételével: P Q := Ra(P ) Ra(Q), 1 = I, 0 = 0, Ra(P ) projektora, P = Ra(P ) projektora, P = P =(Ra(P )) projektora. A továbbiakba az egyszerűség kedvéért csak projektort moduk ortogoális projektor helyett; összességüket P(H) fogja jelelöli. Az eddigiekből yilváaló, hogy P = I P. 9. Állítás. P Q potosa akkor, ha P Q = QP = P Bizoyítás Az értelmezés szerit P Q egyeértékű azzal, hogy QP x = P x mide x vektorra, azaz QP = P. Továbbá P Q = P Q = (QP ) = P = P. 10. Állítás. (i) Ha P Q = QP, akkor P Q = P Q és P Q = P + Q P Q, (ii) P Q eseté Q \ P := Q P = Q P, (iii) P Q akkor és csak akkor, ha Q = QP = 0. Bizoyítás (i) Ha P Q = QP, akkor (P Q) 2 = P Q és (P Q) = P Q, azaz P Q = QP projektor, amelyek az értékkészelete része Ra(P )-ek és Ra(Q)-ak is, tehát P Q P Q, amelyek az értékkészlete tartalmazza Ra(P ) és Ra(Q) metszetét (ugyais ha P x = x és Qx = x, akkor P Qx = x), tehát P Q P Q. Továbbá P Q Q = (P Q ) = I (I P )(I Q) = P + Q P Q. (ii) Nyilvávaló az előzőekből. (iii) P Q akkor és csak akkor P = P (I Q) azaz P = P P Q, ami egyeértékű azzal, hogy azaz P Q = 0.

10 11. Állítás. A P és Q projektorra P Q potosa akkor teljesül, ha x, P x x, Qx mide x H eseté. Bizoyítás Ha P Q, akkor x, Qx = x, Q(P + (I P ))x = x, P x + x, (Q P )x x, P x. Ha x, P x, Qx, akkor x Ra(P ) eseté x = P x Qx x, tehát mideütt egyelőségek kell állia, ami azt jeleti, hogy x Ra(Q). Emlékeztetük arra, hogy az S és T pozitív öadjugált operátorra az S T relációt azzal szokás defiiáli, hogy x, Sx x, T x mide x-re. Továbbá, ha S ( N) pozitív öadjugált operátorok mooto övekvő (csökkeő), felülről (alulról) korlátos sorozata, akkor létezik (s) lim S, amely szité pozitív öadjugált operátor. Láttuk, hogy a projektorok (amelyek pozitív öadjugált operátorok) redezése megegyezik a az idézett redezéssel. Ezt haszáljuk fel az alábbiakba. 12. Állítás. Tekisük a P ( N) projektorsorozatot, amelybe P P m = P m P mide, m eseté. Ekkor (i) P = (s) lim P. (ii) P = (s) Bizoyítás (i) A jobb oldali szimbólum az Q := P 1 P 2... P sorozat potokéti határértékét jeleti. Előző erdméyeik szerit Q = P i i=1,..., és 0 Q +1 Q. Ezért létezik a P := (s) lim Q öadjugált operátor. Továbbá P 2 = P is teljesül, mert P Q m = ( (s) lim Q ) Qm = (s) lim Q Q m = (s) lim Q = P ( ) P. mide m-re (ugyais Q Q m = Q ha m), és ezért P 2 = P (s) lim Q = (s) lim (P Q ) = P. P tehát projektor, amely ( ) szerit kisebb-egyelő, mit Q m mide m-re, tehát P Q m =. m N P amelyek az értékkészlete tartalmazza Ra(Q m )-ek metszetét (ugyais ha Q m x = x mide m-re, akkor P x = (s) lim m Q m x = x), tehát = P Q m P. m N (ii) A jobb odlali szimbólum az Q := P 1 + P P sorozat potokéti határértékét jeleti. Előző erdméyeik szerit Q = P i i=1,..., és Q Q +1 I. Ezért létezik a P := (s) lim Q öadjugált operátor. Továbbá P 2 = P is teljesül ugyaúgy, mit az (i) potba, és teljese hasoló érvelések szerit vezetek a szükséges végereméyhez. Az előbbiekhez hasolóa köye adódik:

11 13. Állítás. Legye P ( N) olya projektorsorozat, hogy P P +1 ( N). Ekkor P = (s) lim P. Két felcserélhető projektorra és egyszerű algebrai műveletekkel kifejezhető. Nem felcserélhetőkre is ismert egy formula (em lesz szükségük rá), amelyet bizoyítás élkül közlük: P Q = (s) lim (P Q) = (s) lim (QP ) = (s) lim (QP Q) = (s) lim (P QP ). 14. Állítás. A P(H) egy részobjektuma akkor és csak akkor disztributív, ha kommutatív. Bizoyítás Ha a részobjektum kommutatív, akkor az előző eredméyeik alapjá (P R) (Q R) = (P + R P R)(Q + R QR) = P Q + P R P QR + RQ + R 2 RQR P RQ P R 2 + P RQR = P Q + R P QR = (P Q) R. Ha a részobjektum disztributív, akkor bármely P, Q eleme eseté P (P Q) = P (P Q ) = (P P ) (P Q ) = P Q Q. tehát P (P Q) = P P Q ortogoális Q-ra, tehát (P P Q)Q = Q(P P Q) = 0, amiből (P Q)Q = Q(P Q) = P Q alapjá P Q = QP. 15. Állítás. P(H) párokét felcserélhető projektorokból álló R részhalmaza által geerált részobjektum disztributív. Bizoyítás Az R által geerált az A egységelemes operátoralgebra kommutatív. Eek az erős topológiába vett A lezártja is kommutatív; ugyais, ha A, B A, akkor A = (s) lim i A i, B = (s) lim j B j, ahol A i, B j A álaláosított sorozatok elemei, és a szorzás meg az erős limesz felcserélhetősége szerit AB = BA. Az eddigi eredméyeik alapjá az A-beli projektorok összessége disztributí részobjektuma P(H)-ak, amely tartalmazza R-et. A Hilbert-hálók orto-σ-homorfizmusairól kevés jól haszálható eredméy va, kivéve egy ige fotosat, amelyet bizoyítás élkül közlük. Ismert: Hilbert-terek közötti skalárszorzat-tartó lieáris bijekciót uitérek hívuk. 15. Defiíció. Legye H és H Hilbert-tér. Egy U : H H leképezést atiuitérek hívuk, ha bijekció, kojugált lieáris, azaz U(αx + βy) = α UIx + β Uy, skalárszorzat-fordító, azaz Ux, Uy = y, x. Ha U : H H uitér, vagy atiuitér, akkor yilvávaló, hogy M(H) M(H ), M U[M] orto-σ-izomorfizmus, továbbá U és λu ugyaazt az ortoσ-izomorfizmust határozza meg mide λ egységyi abszolút értékű komplex szám eseté. Eek bizoyos fordítottja is igaz: 16. Állítás. (Wiger tétele) Legye H és H kettőél agyobb dimeziós Hilberttér, és u : M(H) M(H ) orto-σ-izomorfizmus. Ekkor egységyi abszolút értékű szorzó erejéig egyértelműe létezik U : H H uitér vagy atiuitér leképezés úgy, hogy u(m) = U[M].

12 A projektorokra átvive, az izomorfizmusra a P(H) P(H ), P UP U 1 képletet kapjuk. Ugyais ha az M altér projektora P, az U[M] projektora P, akkor x U[M] eseté P x = x, P U 1 x = U 1 x és UP U 1 x = x. Két dimeziós Hilbert-térre em igaz az állítás. Íme az ellepélda: legye M 0 egy dimeziós altér; az M 0 M 0, M M (M M 0 ) leképezés ortoσ-izomorfizmus, de yilvávalóa em lehet uitér vagy atiuitér operátorral megadi Fizikai meyiségek Q 1 K i (id R ) = ˆQ(K i ). Hasoló modható az impulzusról, Az általáos defiícióak megfelelőe a P(H) eseméyalgebra eseté egy fizikai meyiség valamely véges dimeziós V vektortér (vagy affi tér) Borel-halmazai értelmezett P(H) értékű orto-σ-homomorfizmus, vagyis projektormérték. A spektráltétel szerit valós projektormértékek és öadjugált operátorok között természetes kölcsööse egyértelmű kapcsolat áll fe az id R -ek a projektormérték szerit itegrálása által. Ez magyarázza, miért bukkaak fel öadjugált operátorok a kvatummechaikába. Meg kell azoba jegyezi, hogy a em valós projektormértékhez em lehet öadjugált operátort társítai. Például a sokat haszált (emrelativisztikus) helyzetvektor fizikai meyisége Q : B(E) P(H) projektokrmérték, ahol E az abszolút térszerű vektorok összessége. Persze, ha egy bázis szerit koordiátázuk és K i : E R az i-ik koordiátafügvéy, akkor a helyzet i-ik koordiátája a Q i := Q K 1 i valós projektormérték, amelyhez tartozó öadjujgált operátor amely P : B(E ) P(H) projektormérték. Egy fizikai meyiség projektormérték éles potjaiak és tartójáak a jeletését ismerjük. Ez magyarázza egy öadjugált operátor sajátértékeiek és spektrumáak valószíűségelméleti jeletőségét: ezek a spektrálfebotásáak az éles potjai, illetve a tartója. Két öadjugált operátor mit fizikai meyiség akkor kompatibilis, ha erőse felcserélhetők. Fotos, hogy a formális felcserélhetőségből em következik az erős felcserélhetőség. Ezt azért érdemes hagsúlyozi, mert fizikai alkalmazásokba formális felcserélhetőséget szoktak tekitei (mert azt egyszerű bizoyítai), és abból állítják, hogy a meyiségek kompatibilisek. A fizikai meyiségek kompatibilitása projektormértékek felcserélhetősége elegedő ahhoz, hogy legye együttesük (amit a projektormértékek szorzatáak szokás evezi). Legye P a P 1 és P 2 (az egyszerűség kedvéért valós) felcserélhető projektormértékek szorzata. Ez B(R 2 )- va értelmezve és az jellemzi, hogy P (E 1 E 2 ) = P 1 (E 1 )P 2 (E 2 ); természetese P i = P pr 1 i (i = 1, 2). Ha öadjugált operátorba godolkozuk, akkor S i := ˆP i (id R ) = ˆP (pr i ). Általába értelmeztük két olya fizikai meyiség összegét, amelyekek va együttese. Tehát az előbbi P 1 és P 2 felcserélhető projektormértékek mit fizikai meyiségek összege a P 1 + projektormérték. Öadjugált operátorokba: S := ˆP (+) és S 1 + S 2 S. Vagyis általába em az öadjugált operátorok összege maga fizikai meyiség, haem az összeg egy öadjugált kiterjesztése.

13 Érdekes, hogy em kommutáló S és T öadjugált operátorokak, mit fizikai meyiségekek az összegét is tudjuk értelmezi bizoyos feltételek mellett. Kíálja magát az S + T összeg, csakhogy ez általába em öadjugált, csak szimmetrikus ((S + T ) S + T = S + T ). Az összeg fizikai meyiség csak akkor értelmezhető, ha S+T -ek va öadjugált kiterjesztése. Viszot általába az ilye kiterjesztés em egyértelmű, tehát kérdéses, melyik kiterjesztést fogadjuk el fizikailag értelmesek. Kivétel, ha S + T léyegébe öbadjugált, azaz egyetle öadjugált kiterjesztése va Állapotok Legye e H, e = 1. Egyszerű téy, hogy p e : P(H) [0, 1], P e, P e = P e 2 (1) σ-additív leképezés, azaz állapot. Ez az állapot az e által kifeszített egy dimeziós altér projektorá az 1 értéket veszi veszi fel, az erre ortogoális projektoroko a 0 értéket; mide egyéb projektoro pedig 0-ál agyobb, de 1-él kisebb értéket. Tehát egy ilye állapot em szórásmetes. Világos, hogy p e = p e akkor és csak akkor, ha e = αe, ahol α = 1. Ilye állapotok σ-kovex kombiációja is állapot. Nem bizoyítjuk a következő ige fotos eredméyt: 17. Állítás. (Gleaso tétele) Ha H szeparábilis és dimh > 2, akkor P(H)- mide állapot egységvektorok meghatározta állapotok σ-kovex kombiációja. Két dimeziós Hilbert-térre em igaz az állítás. Legye ugyais P 0 egy dimeziós projektor; az az állapot ad egy ellepéldát, amely P 0 -hoz és 0-hoz ullát P 0 -hoz és I-hez 1-et redel, mide más P projektorhoz 1/2-et. 18. Állítás. Kettőél agyobb dimeziós Hilbert-tér eseté ics szórásmetes állapot. Az egységvektorok meghatározta állapotok tiszták. Bizoyítás A em-szórásmetesség yilvávaló. Tegyük fel, hogy az e egységvektorhoz létezek e ( N) egységvektorok és 0 λ 1 számok, λ = 1 úgy, hogy p e = λ p e. Ekkor az e kifeszítette altér P projektorára 1 = λ P e, ami csak úgy lehet, hogy P e = 1, azaz e = α e ( α = 1), ha λ 0, tehát p e = p e : a szóba forgó állapot tiszta. Elletétbe a klasszikus esettel, kettőél agyobb dimeziós szeparábilis Hilbert-tér eseté Gleaso tétele értelmébe icseek szórásmetes állapotok, mide állapot tiszta állapotok σ-kovex kombiációja. Általába egy állapot em határozza meg egyértelműe azokat a tiszta állapotokat, amelyekek a σ-kovex kombiációja. Valóba, legye például e 1 és e 2 em párhuzamos egységvektor, és p := 1 2 (p e p e 2 ). A ξ := e 2, e 1 jelöléssel az ( e 1 1 := 2 e 1 ξ ) ( ) 1 ξ ξ e 2, e 1 ξ 2 := ξ ξ e 1 + e 2 egységvektorok ortogoálisak egymásra, és 1 ξ 1 + ξ p = p e p e 2 2.

14 Egy kicsit kéyelmesebbe kezelhető formába ötjük az állapotokat. Idézzük fel az operátorok yomára voatkozó ismerteiket. Jelölje e e az e egységvektor alterére vetítő projektort. Ekkor bármely P projektorra P e e yomoperátor, hisze tetszőges x i (i N) teljes ortoormált redszer eseté x i, (P e e) x i = x i, P e e, x i = e, P e i i a Parseval-formula szerit; ezért p e (P ) = e, P e = Tr(P e e ). Tehát a p e állapotot az e e öadjugált yomoperátorrral reprezetálhatjuk úgy, hogy az általa meghatározott valószíűségeket a feti yom-képettel számíthatjuk. A λ p e σ-kovex kombiációhoz pedig a (s) λ e e öadjugált yomoperátort redelhetjük úgy, hogy a valószíűségek operátorok yomakét jeleik meg. (Nyomoperátorokra voatkóaz lásd a mellékletet.) Ezzel átfogalmazhatjuk Gleaso tételét: 19. Állítás. Ha H szeparábilis és dimh > 2, akkor P(H)- mide p állapothoz létezik egy egyértelműe meghatározott W p egység yomú öadjugált yomoperátor eve: Gleaso-operátor úgy, hogy bármely P eseméy (projektor) valószíűségét p(p )Tr(P W p ) = Tr(W p P ) adja meg. A továbbiakba kéyelmes lesz magát a W Gleaso-operátort állapotak hívi, és az általa meghatározott valószíűséget p W -vel jelöli. Egy Gleaso-operátor a spektráltétel szerit előáll (u) λ e e alakba, ahol a λ -k a sajátértékei (multiplicitásssal számítva) és az e -ek sajátegységvektorai. Ez mutatja, hogy egy em tiszta állapotot midig felfoghatuk egymásra ortogoális egységvektorokhoz tartozó tiszta állapotok σ-kovex kombiációjáak. Ha a Gleaso-operátorak valamely em-ulla sajátértékéek a multiplicitása agyobb 1-él, akkor em egyértelműek azok a tiszta állapotok, amelyek a σ-kovex kombiációba szerepelek. A tiszta állapotok és az elemi eseméyek között a fetiek szerit természetes egy-egy értelmű kapcsolat va. Az e e tiszta állapotba egy P eseméy valószíűségét a (1) képlet adja meg. Ha P elemi eseméy, azaz P = x x valamely x egységvektorral, akkor p e ( x x ) = e, x 2. (2) e e tiszta állapot helyett értelemszerűe midig tekithetjük az e egységvektort; így szokás a fizikába. Ezért a feti képletet két állapot egymásra voatkozó relációjáak, úgyevezett átmeeti valószíűségek evezik (erről majd még szót ejtük).

15 2.5. Várható érték, szórás Mit tudjuk, egy valós fizikai meyiség (valószíűségi változó) egy P ( ) : B(R) P(H) projektormérték. Legye A := ˆP (id R ) a hozzá tartozó öadjugált operátor. Az általáos defiíció szerit a fizikai meyiség eloszlása a W = λ e e állapotba az E Tr(P (E)W ) = λ e P (E)e valószíűségi mérték. Legye µ (E) := e P (E)e (a projektormérték szerit itegrálásál haszált jelöléssel µ = µ e,e ). A fizikai meyiség eloszlását tehát λ µ alakba írhatjuk. Az A öadjugált operátorral reprezetált fizikai meyyiség m-ik mometuma a W állapotba ( ) η (m) W (A) = id m R d λ µ, R feltéve, hogy az itegrál létezik. Ebből azoal adódik, hogy ha W véges összeg, és mide e bee va az A m értelmezési tartomáyába vaak, akkor létezik az m-ik mometum (lásd a prjektormérték szeriti itegrálást): η (m) W N (A) = e, A m e = Tr(A m W ). =1 Ami Tr(A m W )-t illeti, a mellékletbe szereplő formulát kell alkalmazi véges összegre, az erdméy yilvávaló. Vigyázat! Ha A em mideütt értelmezett, akkor Tr(W A m ) biztosa em létezik, mert ekkor választható olya teljes ortoormált redszer, amelyek legalább egy tagja ics bee A értelmezési tartomáyába. Ha W em véges ragú, de A korlátos operátor (a P spektrálfelbotása kompakt tartójú), akkor fel lehet cseréli az itegrálás és összegzés sorredjét B.Levi tétele alapjá, és ekkor η (m) W (A) = e, A m e = Tr(A m W ) = Tr(W A m ). =1 20. Állítás. (Heiseberg-féle határozatlaság) Legye A, B és C öadjugált operátor (azaz valós fizikai meyiség). Teljesüljeek a következők: (i) létezik egy D DomS DomB DomC mideütt sűrű lieáris altér, amely ivariás midhárom operátorra, (ii) (AB BA)x = icx (x D). Legye továbbá W = λ e e olya állapot, amely (iii) véges ragú, ha A, B, C valamelyike em korlátos, és e D mide -re. Ekkor σ W (A)σ W (B) 1 2 η W (C).

16 Bizoyítás Az adott feltételek mellett létezek a szóba forgó szórások és várható érték. Ezért az általáosság megszorítása élkül feltehetjük, hogy η W (A) = η W (B) = 0. Ugyais, ha em így vola, akkor az A := A η W (A)I, B := B η W (B)I (I az egységoperátor) meyiségek várható értéke ulla, és A, B, C teljesítik a feti feltételeket. Vezessük be tetszőleges α valós számra a T α := A + αb operátort; D bee va eek az értelmezési tartomáyába, és ivarás rá. Az adjugálás ismert tulajdosága szerit Tα A iαb, és TαT α is értelmezve va D-. Ezért létezik Tr(T αt α W ) = λ e, T αt α e = λ T α e, T α e 0. Kifejtve a bal odlalt, Tr(A 2 W ) + iαtr(abw ) itr(baw ) + α 2 Tr(B 2 W ) 0. A középső két tag helyett αtr(cw ) írható. Az α-ba másodfokú kifejezés em lehet egatív, tehát a diszkrimiása em lehet pozitív, azaz Tr(CW ) 2 4Tr(A 2 W (Tr(B 2 W ) 0. Ezzel igazoltuk az állítást, hisze Tr(CW ) 2 = η W (C) 2, Tr(A 2 W ) = ( σ W (A) ) 2 és Tr(B 2 W ) = ( σ W (B) ) 2. Ige erős eek a határozatlasági relációak a modadója, ha C az egységoperátor c számszorosa. Ekkor a két fizikai meysiég szórásáak a szorzata bármely (a feltételek eleget tevő) állapotba agyobb vagy egyelő, mit c 2. Viszot jó tudi, hogy ez utóbbi esetbe A és B em lehet korlátos, tehát korátsem kell mide állapotra teljesülie a Heiseberg-féle határozatlaságak. Íme: 21. Állítás. Legye A és B mideütt értelmezett korlátos operátor úgy, hogy AB BA = ci valamely c számra. Ekkor c = 0. Bizoyítás A 2 B BA 2 = A 2 B ABA + ABA BA 2 = 2cA. Teljes idukcióval arra jutuk, hogy A B BA = ca 1 ( N). Ha A ilpotes, azaz létezik természetes szám úgy, hogy A = 0 de A 1 0, akkor yilvá c = 0. Ha A 0 mide -re, akkor véve a feti egyelőség midkét oldaláak a ormáját, a 2 A A 1 B c A 1 becslésből c 2 A B adódik mide -re, azaz c = 0. A helyzet és impulzus (mit öadjugált operátorok) felcserélési relációjára alapozva azt modják, hogy a Heiseberg-féle határozatlasági reláció szerit a helyzet és az impulzus egyidejű potos méréséek abszolút elvi korlátja va, máskét szólva, a helyzet és az impulzus egyszerre em mérhető tetszőleges potossággal. Ez azoba a határozatlasági reláció téves iterpretációja.

17 Ugyais a valószíűség ezáltal a szórás és a várható érték is a méréseke keresztül a relatív gyakorisággal va kapcsolatba, amelyek értelmezése em szól egyidejű vagy külöidejű mérésről, elvbe potos méréseket feltételez. A téves iterpretáció mögött az a klasszikus elképzelés áll, hogy a méredő meyiség határozott értékkel bír, a mérések sorá kapott külöféle értékek a mérőeszköz hibájából, potatlaságából eredek. Va egy érdekes eredméy, amely a Heiseberg-féle határozatlasági relációra hajaz. Íme: 22. Állítás. Legye Q az L 2 (R) karakterisztikus projektormértéke (helyzet) és P eek a Fourier-traszformáltja (impulzus), ha E és F korlátos Borel-halmaz, akkor Q(E) P (F ) = 0. Szavakba: lehetetle az az eseméy, hogy a helyzet értéke is és az impulzus értéke is korlátos halmazba esik. 3. Melléklet Tudjuk, hogy egy kompakt operátor spektruma diszkrét, legfeljebb megszámlálható sok potból áll, sajátértékei csak a ullához torlódhatak, mide em ulla sajátértékéhez véges dimeziós sajátaltér tartozik. Egy K kompakt operátort yomoperátorak hívuk, ha tetszőleges x i i I teljes ortoormált redszerre létezik Tr(K) := i I x i, Kx i és függetle a teljes ortoormált redszertől. Legye W öadjugált kompakt operátor, {λ N} a sajátértékei mulitplicitással számolva, e a λ -hez tartozó sajátvektor, úgy választva, hogy a sajátvektorok ortoormált redszert alkossaak. Ekkor W = (u) λ e e, ahol (u) az uiform (operátorok ormájára voatkokzó) összegzést jelöli. A spektráltételből azoal adódik a gyege összegzési formula, azaz hogy mide x és y vektorra W = λ y, e e, x, és ebből em ehéz becsléssel megkapjuk a ormára voatkozó kovergeciát is. 23. Állítás. Ha W = λ e e Gleaso-operátor és A korlátos operátor, akkor AW és W A yomoperátor, és Tr(AW ) = Tr(W A). Bizoyítás Legye x i (i I) teljes ortoormált redszer. ekkor λ x i, Ae e, x i. i I x i, AW x i = i

18 Viszgáljuk meg a kettős összegzés abszolút kovergeciáját a fordított sorredbe: λ x i, Ae e, ξ. i A második összeg a Cauchy-egyelőtleség és a Parseval-egyelőség folytá em agyobb, mit Ae e A, így a sor koverges, tehát az eredeti sorredű összeg is koverges, és megegyezik a fordított sorredű összeggel, ami λ x i, Ae e, ξ = λ e, Ae. i Teljese hasoló érveléssel láthatjuk be, hogy Tr(W A) is létezik, és a feti összeggel egyelő.