Mtemtik A1 vizsg elméleti kérdések Deiíciók Forrás: Szirmi Jeő elődásvázltok, Szász Gáor: Mtemtik 1. tköyv Gépre vitte: Atli Máté 1. Peo-xiómák A természetes számok hlmzát N Peo-xiómák segítségével deiiáljuk. 1. r z N-ek N-re törtéő ijektív leképezése. A em eleme z r értékkészletéek r N 3. h V N és V és V eseté r V, kkor V N {} A rákövetkezés-üggvéy r : N N : r N N r x x x : ;. Komplex számok -edik gyökéek meghtározás, áttérés lgeri lkról trigoometrikus lkr. Komplex számok -edik gyökéek meghtározás trigoometrikus lk célszerű. Az lgeri lk: z i, trigoometrikus lk: z rcos i si. Az áttérést lgeri lkról trigoometrikus lkr Moivre-ormulák segítségével végezzük: r ; cos ; si ; Im r Re Komplex szám -edik gyökéek meghtározás: k k z rcos isi r cos isi, hol N ; k {,1,... 1} A gyökök komplex számsíko egy origó középpotú, r sugrú köre írt szályos - oldlú sokszög csúcsi helyezkedek el. 3. Vlós számsorozt deiíciój, leglá 3 evezetes sorozt elsorolás és rövid jellemzésük. Vlós számsorozto oly üggvéyt értük, melyek értelmezési trtomáy emegtív vlós számok hlmz N +, értékkészlete pedig vlós számok hlmz R.
1 - megdás lehet explicit pl. [ ; N ; ] vgy rekurzív pl. 1 [ 1 ; ; ; ] Nevezetes soroztok: q N ; q R H q>1, sorozt szigorú mooto ő és diverges, lim q H q=1, sorozt korlátos, koverges: lim q 1 H q<1, sorozt szigorú mooto csökke, korlátos, koverges: lim q Bizoyítás: Beroulli-egyelőtleség segítségével q N ; q R A sorozt korlátos és koverges: lim q 1 Bizoyítás: redőr-elvvel 1 1 N A sorozt korlátos, szigorú mooto övekvő és koverges: 1 lim1 e,71 4. Vlós számsorozt htárértéke mide típusák megdás Egy vlós számsorozt koverges, h R eseté N küszöszám, melyre eseté. Ilyekor z vlós számot sorozt htárértékéek evezzük. Jelölése: lim vgy. H egy soroztk létezik véges htárértéke, kkor kovergesek, h em létezik, kkor divergesek modjuk. Egy vlós számsorozt végtelehez divergál, h K R eseté N küszöszám, melyre eseté K. Jelölése: lim vgy. Egy vlós számsorozt míusz végtelehez divergál, h K R eseté küszöszám, melyre eseté K. Jelölése: lim vgy. N 5. Függvéy oglm, értelmezési trtomáy, értékkészlete H A hlmz mide egyes eleméhez hozzáredeljük B hlmz potos egy elemét, kkor ezt leképezést üggvéyek evezzük. Jelölése: : A B Az értelmezési trtomáy zo elemek hlmz, melyekhez üggvéy hozzáredel egy-egy elemet B hlmzól. Jele: D A Az értékkészlet zo B-eli elemek hlmz, melyeket téylegese hozzáredel A vlmelyik eleméhez. Jele: R B 6. Egyváltozós vlós-vlós üggvéyek htárértéke Cuchy-éle deiíció:
Legye z egyváltozós vlós-vlós üggvéy : D R ; D R; x értelmezve z x pot vlmely köryezetée. Az üggvéy htárértéke x helye létezik és értéke A kkor és csk kkor, h eseté R úgy, hogy h x x kkor A Heie-éle deiíció: Legye z egyváltozós vlós-vlós üggvéy : D R ; D R; x értelmezve z x pot vlmely köryezetée. Az üggvéy htárértéke x helye létezik és értéke A kkor és csk kkor, h x vlós számsoroztr, hol x x ; x D és lim x x, teljesül, hogy A 7. Egyváltozós vlós-vlós üggvéy olytoosság Legye z egyváltozós vlós-vlós üggvéy : D R ; D R; x értelmezve z x pot vlmely köryezetée. Az üggvéyt x helye olytoosk evezzük, h eseté R úgy, hogy h x x, kkor x 8. Egyváltozós vlós-vlós üggvéy diereciálszámítás Egy egyváltozós vlós-vlós üggvéy diereciálhtó deriválhtó z x pot és diereciál-háydos deriváltj A kkor és csk kkor, h x lim x htárérték xx x x létezik és véges. A deiíció lieáris megoglmzv: Legye z egyváltozós vlós-vlós üggvéy : D R ; D R; x értelmezve z x pot vlmely köryezetée. A üggvéy deriválhtó z x pot kkor és csk kkor, h A R és : R R üggvéy úgy, hogy x A x x x x és h x x, kkor. Ilyekor z A számot z üggvéy x helye vett diereciálháydosák evezzük. 9. Egyváltozós vlós-vlós üggvéy mootoitás, kovexitás Az egyváltozós vlós-vlós üggvéyt : D R ; D R; x z x helye mooto övekvőek szigorú mooto övekvőek c mooto csökkeőek d szigorú mooto csökkeőek evezzük, h x egy sugrú köryezetére u D igz, hogy x x u számokr x x1 x x1 x x1 x x1 c x x1 x x1 d x x x 1 x1 x 1, Legye z egyváltozós vlós-vlós üggvéy : D R ; D R; x x helye deriválhtó, és x sugrú köryezetée értelmezhető kovexek kokávk modjuk, h x u eseté x ' x x x ' x x u D. A üggvéyt x helye
1. Lokális szélsőérték és ilexiós pot deiíciój Az egyváltozós vlós-vlós üggvéyek : D R ; D R; x x helye lokális miimum lokális mximum v, h x -k létezik egy oly u x köryezete, melyre x u x eseté x x H egy egyváltozós vlós-vlós üggvéyek : D R ; D R; x egy dott pot létezik éritője, és ee pot üggvéy se em lokális kovex, se em lokális kokáv, kkor ezt potot üggvéy ilexiós potják evezzük. 11. Riem szeriti itegrálhtóság oglm Legye z egyváltozós vlós-vlós üggvéy :[, ] R korlátos z [, ] itervllumo. Az üggvéy Riem szerit itegrálhtó z [, ] itervllumo, h z itervllum mide lehetséges elosztásához trtozó lsó illetve első itegrálközelítő összegeiek s és S szuprémum illetve iium megegyezik, vgyis h s S. s sups ; S i S Az lsó itegrálközelítő összeg: i-edik részitervllumá. A első itegrálközelítő összeg: i-edik részitervllumá. s S i1 i1 m i x i, hol m i z üggvéy miimum elosztás M i x i, hol M i z üggvéy mximum elosztás 1. Htározott itegrál, primitív üggvéy H egy egyváltozós vlós-vlós üggvéy : D R ; D R; x Riemitegrálhtó z [, ] itervllumo, kkor z lsó és első itegrálközelítő összegeiek közös első- illetve lsó korlátját z s S számot, lsd előző pot z üggvéy [, ] itervllumo vett htározott itegrálják evezzük. Jelölése: Egy egyváltozós vlós-vlós üggvéy : D R ; D R; x primitív üggvéyéek evezzük zt z F üggvéyt F : D R ; R D ; x F, mely z értelmezési trtomáy mide potjá diereciálhtó, és F F F x D eseté F' 13. Improprius itegrálok ő típusik deiíciói Legye dott egy egyváltozós vlós-vlós üggvéy : D R ; D R; x, melyre mide eseté R, R. Ekkor z : lim kiejezést z üggvéy improprius itegrálják evezzük, eltéve, h jo oldlo álló htárérték létezik és véges. Hsoló értelmezzük z : lim improprius itegrált is.
Legye dott egy egyváltozós vlós-vlós üggvéy : D R ; D R; x, melyre mide eseté R, R. Ekkor z : lim kiejezést z üggvéy improprius itegrálják evezzük, eltéve, h jo oldlo álló htárérték létezik és véges. Hsoló értelmezzük z : lim improprius itegrált is. Tételek 1.Beroulli-egyelőtleség és leglá egy lklmzás Beroulli-egyelőtleség: 1 h 1 h ; h R; h 1; N Alklmzási péld: 1. q N ; q R; q 1 sorozt végtelee divergálásák izoyítás. q 1 q 1 1 q 1. A jooldli kiejezés Beroulli-egyelőtleség segítségével dódik mooto övekvő számti sorozt, mi végtelee divergál, tehát z eredeti sorozt is. lim q. 1 1 korlátosságák izoyítás. Bolzo és Weierstrss tételei Weierstrss-tétel: Legye z R R üggvéy olytoos z [, ] itervllumo C,, ekkor létezik oly,, úgy, hogy x, eseté Bolzo-tétel: Legye z üggvéy olytoos z [, ] itervllumo C,, ekkor üggvéy elveszi z és közötti összes értéket. 3. Iverz üggvéy diereciálási szály Legye z R R üggvéy deriválhtó z R pot és ivertálhtó z pot köryezetée. Tegyük el, hogy '. Ekkor ee köryezete z iverz üggvéy 1 diereciálhtó, és ', ' 1 Más lk: ' ' 4. Az összetett üggvéy diereciálási szály Adottk és g R R üggvéyek : u u; g : x g. Legye üggvéy deriválhtó z u g pot, g pedig deriválhtó z x pot. Ekkor z x g : gx g x ' g x g' összetett üggvéy is deriválhtó z x pot lácszály: ' x d du du Más lk: g x u ' x
5. Rolle tétele és egy péld z lklmzásár Rolle-éle középértéktétel: Legye z R R üggvéy diereciálhtó z [, ] itervllumo, és. Ekkor, úgy, hogy ' Geometrii jeletése: Az itervllumo létezik oly pot, hol üggvéy éritője párhuzmos z x tegellyel. Alklmzási péld: Cuchy-éle középértéktétel izoyítás 6. Lgrge-éle középértéktétel Legye z R R üggvéy diereciálhtó z [, ] itervllumo. Ekkor, úgy, hogy ' Geometrii jeletése: H A, és B,, kkor z itervllumo létezik oly pot, hol üggvéy éritője párhuzmos z AB húrrl. 7. Cuchy-éle középértéktétel Legyeek z és g R R üggvéyek deriválhtók z [, ] itervllumo és tegyük el, ' hogy g ' ; x, eseté. Ekkor, úgy, hogy g g g' 8. Lokális szélsőérték létezéséek elégséges eltétele Legye z R R üggvéy diereciálhtó z, itervllumo és, helye '. H x, eseté ' és x, eseté ', kkor z üggvéyek helye lokális mximum v. H tétele két relációjelet megordítjuk, lokális miimum létezéséek elégséges eltételét kpjuk. 9. Lokális kovexitás elégséges eltétele Legye z R R üggvéy leglá kétszer diereciálhtó z x pot és k egy köryezetée. Ekkor h '' x, kkor z üggvéy x pot kovex, h pedig '' x, kkor kokáv. 1. Az ilexiós pot létezéséek elégséges eltétele Legye z R R üggvéy leglá kétszer diereciálhtó z x pot és k egy köryezetée, továá '' x. Ekkor h '' x z x helye előjelet vált, kkor z üggvéyek x helye ilexiós potj v. 11. Beroulli-L Hospitl szály Legyeek z és g R R üggvéyek diereciálhtók z x pot egy köryezetée, ' továá lim lim g vlmit g ' x. Ekkor lim lim, xx xx xx g xx g' meyie ez utói htárérték létezik és véges, vgy. Megjegyzések: 1. A tétel lim lim g esete is érvéyes xx xx. A tétele x helyett is állht 1. Newto-Leiiz szály
Legye z, R üggvéy itegrálhtó, z F R R [, ] itervllumo és diereciálhtó z, itervllumo, továá x, F'. Ekkor F F üggvéy pedig olytoos z eseté 13. Helyettesítéses és prciális itegrálás elve Helyettesítéses itegrálás: Legye z x t R R üggvéy diereciálhtó K itervllumo, továá létezik z R R üggvéyek K itervllumo primitív üggvéye: F C C R. Ekkor t ' t üggvéyek is létezik primitív üggvéye: t ' t dt F t C Prciális itegrálás: Legyeek és g R R diereciálhtó üggvéyek H hlmzo, vlmit g' -k létezik itt primitív üggvéye. Ekkor g ' g ' g Htározott itegrálll: Legyeek ' és g ' üggvéyek itegrálhtók, itervllumo. Ekkor ' g g ' g 14. Ívhossz, orgástest térogt, orgástest plást, szektorterület kiszámítás Ívhossz kiszámítás: Legye z üggvéy R, B,. Ekkor z AB ív hossz:, olytoos és itegrálhtó z, itervllumo. Legye A és s 1 ' ; Prméterese dott üggvéy eseté x t; y t : s t t dt Forgástest térogták kiszámítás: Legye z üggvéy, R olytoos és itegrálhtó z, itervllumo. Forgssuk meg üggvéy göréjét z x tegely körül. Az így kpott orgástest térogt: V Forgástest plástterületéek kiszámítás: Legye z üggvéy, R olytoos és itegrálhtó z, itervllumo. Forgssuk meg üggvéy göréjét z x tegely körül. Az így kpott orgástest plástják területe: P 1 ' Prméterese dott üggvéy eseté: ; P t t t dt Szektorterület kiszámítás: Legye z r polárkoordiátákkl megdott üggvéy, R; r olytoos és itegrálhtó z, itervllumo. Legye, r B, r, O pedig z origó. Ekkor ABO szektor területe: A és 1 t r d