Trükkös integrálás. - Szakdolgozat - Készítette: Diószegi Edina (Matematika BSc, Tanári szakirány)

Átírás

1 Trükkös integrálás - Szkdolgozt - Készítette: Diószegi Edin (Mtemtik BSc, Tnári szkirány Témvezet : Buczolich Zoltán (Anlízis Tnszék, Mtemtiki Intézet Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kr Budpest, 5

2 TARTALOMJEGYZÉK Trtlomjegyzék. El szó. Integrálás sorbfejtéssel 4 3. Többváltozós módszerek 4. Vegyes trükkök 3 5. Riemnn-Stieltjes trükkös helyettesítés 4 6. Putnm mtemtiki versenyfeldtok 7. Összefogllás 8

3 ELŽSZÓ. El szó Szkdolgoztom témáj z integrálszámítás. A témválsztásomt z motivált, hogy középiskoli, vlmint egyetemi éveim ltt többször tlálkoztm olyn integrálokkl, melyek kiszámítás némi kretivitást, trükköt igényeltek. Szkdolgoztombn ilyen problémákr muttok példákt, vlmint módszereket meghtározásukr. A dierenciálszámítássl ellentéteben nincs egy egységes szbály, áltlános formul z integrálok kiértékelésére. Azonbn vnnk eszközeink, melyekkel gykrn célt érhetünk. Sokszor megoldások menetében több lépéssel el re kell gondolkodnunk. A jobb megoldókészséget segíti, h minél több példát látunk. Szkdolgoztombn tnult módszerekre lpozv, ám zon túlmen en muttok be érdekes integrálszámítási módszereket példákon keresztül. Ezeknek feldtoknk hszn, hogy ngyobb jártsságot szerezzünk z integrálok kiszámításábn. A példákbn látni fogjuk, hogy sokszor egy bonyolult kifejezés milyen szép és egyszer eredményt tkr. Többször el fordulnk nevezetes értékek, úgy mint π, e, és. Vnnk olyn integrálok, melyeket csk egyféle módon tudunk meghtározni, míg másokr többféle megoldást dhtunk. Az els fejezetben z Integrálás sorbfejtéssel módszerrel ismerkedünk meg. Ezen módszer lklmzásához ismernünk kell Tylor-sorfejtést, illetve Fubini- Tonelli tétel egy speciális esetét, mit fejezet elején ismertetek. Ebben fejezetben megismerkedünk még z Euler-formulávl is, melyet több példábn is fogunk lklmzni. A második fejezetben többváltozós integrálokr visszvezethet példákt muttok be három feldton keresztül. Ez két módszer megtlálhtó Chrles Mrtin Methods for Evluting Dicult Integrls cím cikkében. A hrmdik fejezetben pedig Riemnn-Stieltjes integrálási szbállyl ismerkedünk meg. A fejezetekben többször felbukkn Richrd Feynmn neve és "Surley You're Joking, Mr. Feynmn!" cím könyvében tlálhtó módszer, prméteres integrálási formul, mit felhsználunk z Euler integrál formul bizonyításábn, illetve néhány feldt megoldáskor. Az Euler-sorrl három fejezetben is tlálkozhtunk. El ször z Integrálás sorbfejtéssel fejezeben, hol csk felhsználjuk sorösszegét egy példábn. Mjd Többváltozós módszerek fejezetben dunk bizonyítást z Euler-sorr, végül Riemnn-Stieltjes trükkös

4 ELŽSZÓ 3 helyettesítés fejezetben meghtározzuk pontos értékét. Végezetül z utolsó fejezetben z meriki egyetemek között évente megrendezésre kerül Willim Lowell Putnm mtemtikverseny feldti közül válogttm ki z integrálszámítássl kpcsoltoskt. Ezen feldtok megoldásához felhsználjuk korábbi fejezekben látott trükköket. Ezúton szeretnék köszönetet mondni témvezet mnek, Buczolich Zoltán tnár úrnk, hogy mindig segít kész és lelkiismeretes volt, és hsznos tnácsokkl látott el.

5 INTEGRÁLÁS SORBAFEJTÉSSEL 4. Integrálás sorbfejtéssel Ebben fejezetben z integrálok meghtározásához sorbfejtést lklmzunk. Ez egy ngyon htékony módszert d kezünkben, mivel sok esetben könnyedén ki tudjuk számolni z integrálok értékét. A következ kben erre fogunk példákt látni. A módszer menete röviden, hogy vesszük z integrálndó függvényünk -beli Tylor-sorát, mjd megcseréljük szumm- és integráljelet. Ez zonbn nem mindig tehet meg, viszont követekz tétel ismeretében már elvégezhet, h teljesülnek feltételek. A tétel Fubini-Tonelli tétel speciális esete... Tétel. H z f, f, f 3... függvénysor tgji (véges vgy végtelen (, b intervllumon értelmezett nem-negtív, integrálhtó függvények, és sor összegfüggvénye is integrálhtó z (, b minden [c, d] részintervllumán, kkor sort szbd tgonként integrálni, zz b n f n (d b n f n ( d. A Fubini-Tonelli tételt áltlábn mértékterekben történ integrálásnál, Lebesgue integrál keretében szokták tárgylni. Ez zonbn meghldj szkdolgoztom kereteit, ezért b vebben nem fogok írni ról. Viszont egy speciális változt már bizonyíthtó egyszer bb eszközökkel is... Tétel. H z f, f, f 3... függvénysor tgji (véges vgy végtelen (, b intervllumon értelmezett nem-negtív, folytonos függvények, és sor összegfüggvénye is folytonos z (, b minden [c, d] részintervllumán, kkor sort szbd tgonként integrálni, zz b n f n (d b n f n ( d..3. Megjegyzés. Az áltlánosság megsértése nélkül feltehetjük szükség esetén z (, b intervllumot kettévágv hogy minden n-re f n ( és f n ( is folytonos [c, b] intervllumon, h < c < b. n

6 INTEGRÁLÁS SORBAFEJTÉSSEL 5 A tétel bizonyításához következ, Dini tételen lpuló lemmár vn szükségünk:.4. Lemm. A fenti feltételek mellett minden c (, b-re k f n ( egyenletesen konvergál f n (-hez [c, n b]-n. n Bizonyítás. Hsználjuk ki, hogy f n ( és minden k-r n f n ( függvények is folytonosk kompkt [c, b] intervllumon. Mivel Legyen ε > és { F k,c [c, b] : f n ( n } k f n ( ε. n k n k f n ( monoton növekedve konvergál minden [c, b]-re f n (- n hez, ezért z F k,c hlmzok egymásb sktulyázottk és k F k,c. A folytonossági feltétel mitt z F k,c hlmzok zártk. Így létezik k N, hogy F k,c, zz f n ( n k f n ( < ε n minden [c, b] esetén z f n ( függvények nem-negtivitás mitt. Ebb l pedig következik z egyenletes konvergenci. Ezzel lemm bizonyítását befejeztük. Most térjünk rá. tétel bizonyításár. Bizonyítás. Bevezetjük következ jelöléseket b A f n (d és B n n b f n ( d. Tegyük fel, hogy A véges, és bizonyítjuk, hogy B is véges. A-bn vegyük függvénysor k-dik részletösszegét, ekkor b k f n ( d A < +. n Mivel nem-negtív függvényeket dunk össze, így z integrál értéke csökken. Ekkor szumm- és integráljel egyértelm en felcserélhet k b b k f n ( d f n ( d A. n n n

7 INTEGRÁLÁS SORBAFEJTÉSSEL 6 H k-vl trtunk végtelenbe, kkor z egyenl ség bl oldl trt B-hez. Viszont minden k-r kisebb vgy egyenl két kifejezés A-nál, így B A. Mivel feltettük, hogy A véges ebb l következik, hogy B is véges. Most pedig tegyük fel, hogy B véges, és bizonyítjuk, hogy A is véges. Minden c (, b-re n b c f n ( d B < +. A.4 lemm szerint minden rögzített c (, b-re A (c b c f n (d n n b c f n ( d n b Tehát h c + kkor kpjuk, hogy A (c A B. f n ( d B < +. Nyilván h A +, kkor B nem lehet véges, mert kkor fentiek szerint A is véges lenne. Hsonlón B +-b l is következik A +. Most pedig nézzünk példákt z integrálás sorbfejtéssel módszerre..5. Péld. Htározzuk meg következ integrál értékét! ln ( d Legyen f( ln (, ekkor D (f (,. Az f függvény középpontú Tylor-sorfejtése f ( Most htározzuk meg sor konvergencitrtományát. Ehhez ki kell számolni n n n. konvergencisugrát, mi gyökkritérium felhsználásávl történik: R lim n lim n n. n n n Az R pontbn + R pontbn n [, intervllum, n f ( n ( n n Leibniz-sor konvergens. Az sor divergens. A konvergencihlmz tehát n n, [,. (. n

8 INTEGRÁLÁS SORBAFEJTÉSSEL 7 Azonbn nekünk esetén ln ( -re vn szükségünk, ezért osszuk el (.-et -szel. ln ( n n n n n n, [, (,. Az integrálást [, ] zárt intervllumon kell elvégezni, viszont helyen ln ( ln ( g ( függvénynek szkdás vn. Mivel lim, ezért szkdás ezen helyen megszüntethet g ( : helyettesítéssel. Így folytonosság kiterjeszthet [, ] intervllumr, és vehetjük g függvény Riemnn integrálját: k k+ ln ( d n n n d k k k + d. és folytonosk (, intervllumon, így lklmzhtjuk. tételt ln ( d k k k k + d (k + π 6, k [ k+ k + ] k + hol n π n 6 ki fogjuk számolni. z ismert Euler-sor, minek értékét z 5. fejezetben mi is.6. Péld. Htározzuk meg z lábbi integrál értékét: 3 e d. Próbáljuk meg ismét sorb fejteni z integrálndó függvényünket. Azonbn vegyük észre, hogy nevez ben lév kifejezés hsonlít mértni sorhoz, mely lkj következ : t t n, h t <, (. n Alkítsunk egy kicsit nevez ben lév kifejezésen, hogy jobbn felismerhet vé váljon mértni sor: 3 e d 3 e ( e d 3 e d. (.3 e

9 INTEGRÁLÁS SORBAFEJTÉSSEL 8 Legyen t e helyettesítés, ekkor z függvénynek t t ponthoz trtozó Tylor-sor éppen n tn n e n mértni sor, tehát e e n. A sor konvergenciájánk feltétele: < e n < >. A konvergencitrtomány (, + intervllum. A kpott eredményt helyettesítsük be (.3 integrálb: 3 e n e n d 3 e (+n d n n n 3 e e n d 3 e k d. k 3 e n d Mivel függvénysor minden tgj nem-negtív és folytonos (, + intervllumon, így lklmzhtjuk. tételt: 3 e d k Helyettesítsünk be u k-et, ekkor d du k k ( u k 3 e u du k k ( ( u 3 e u du. k 4 k és k 4 u3 e u du Ismét felhsználunk egy ismert sorösszeget n 3 e k d. ( k k 4 n u 3 e u du n 4 π4 9, (.4 vlmint z Euler integrál formulát gyorsbb megoldás érdekében..7. Állítás. (Euler integrál formul Minden n -re n e n! Bizonyítás. Az egyenl séget els neki futásr prciális integrálássl is bebizonyíthtnánk, zonbn ngy n-ekre elég hosszdlms lenne. Ezért ehelyett lklmzzuk egy meriki zikus, Richrd Feynmn módszerét.

10 INTEGRÁLÁS SORBAFEJTÉSSEL 9 Áltlábn z integrálokt felírhtjuk b f (, t d (.5 lkbn, hol f (, t egy kétváltozós függvény. Tehát deniálhtunk egy prméteres integrált, hol t prméter, pedig z integrál változój. Az (.5 integrál tuljdonképpen t függvénye, mivel elvégezve z integrálást z eredmény t-t l függ, -t l már nem. Feynmn szbály következ : d dt b f (, t d b f (, t d. (.6 t Azz prméteres integrálbn dierenciálás és integrálás felcserélhet. A kés bbiekben is fogjuk lklmzni ezt módszert és hozzá trtozó egyenl séget. Az ötlet tehát z, hogy vezessünk be egy t prmétert, és írjuk fel z integrálunkt nnk függvényében. Mjd deriváljunk t szerint n-szer, mivel már eljutunk bizonyítndó állításunkhoz, h t helyére -et írunk. Látni fogjuk, hogy ezzel bizonyítássl egy sokkl áltlánosbb problémár dunk megoldást. n esetén z integrál értéke e d e d [ e ] lim e + e. (.7 Minden t > -r legyen tu, ekkor d t du, behelyettesítve (.7-be zt kpjuk, hogy te tu du. Osszuk le mindkét oldlt t-vel és u helyére írjunk -et, ekkor e t d t. Ez z lk prméteres formáj (.7-nek, hol mindkét oldl t függvénye. Mivel t >, így e t integrálhtó minden -r. Most deriváljuk mindkét oldlt t szerint d ( e t d. dt t A bl oldlon szerepl kifejezést írjuk át (.6-bn szerepl képlet felhsználásávl d dt e t d t e t d e t d,

11 INTEGRÁLÁS SORBAFEJTÉSSEL ekkor e t d t. Ismét deriváljuk mindkét oldlt t szerint, mjd lklmzzuk (.6-os egyenl séget: e t d t 3. Folyttv deriválást minden egyes új egyenl ségnél zt kpjuk, hogy 3 e t d 6 t 4, 4 e t d 4 t 5, n e t d n! t n+. A bizonyítás során bevezettünk egy t változót, hogy z egyenl ségeken el tudjuk végezni d deriválást. H t -et válsztunk megkpjuk bizonyítni dt kívánt állítást, zz n e n!. Ez bizonyítás szerepel Keith Conrd Dierentiting Under The Integrl Sign cím cikkében. Most pedig lklmzzuk (.4-et és.7 állítást, így megkpjuk z integrndus értékét, mi 3 π4 π4 d 3! e Péld. Htározzuk meg z lábbi végtelen sor összegét: n n n. Az eddigi példákkl ellentétben láthtjuk, hogy most nem egy függvény integrálját kell meghtároznunk. A sorbfejtés módszerét itt tehát z el bb bemuttott módon nem tudjuk lklmzni. Viszont h megnézzük végtelen sort, kkor észrevehetjük, hogy következ lkbn is felírhtó n n n n n d,

12 3 TÖBBVÁLTOZÓS MÓDSZEREK ugynis [ n n d n ] ( n n n n. Így már szerepel feldtunkbn integrál- és szummjel, mint hogyn z el z példákbn. Továbbá meggyelhetjük, hogy itt módszert visszfelé kell végrehjtni. Azz végtelen sort írjuk át z elemi függvényre, mjd vesszük z integrálját. Ehhez ismét felhsználjuk (. pontbn is látott mértni sor összegképletét és. tételt. Mivel n és folytonosk (, intervllumon, így n n n ln n d n ( k d k + ln ln ln. [ d ln ( ] 3. Többváltozós módszerek Ebben fejezetbe z integrálok megoldásához ismét z nlízis egy másik fejezetéb l szármzó ismereteinket kell felhsználni. Ez pedig többváltozós függvényekre vló áttérés. Ahogyn z el z részben is láthttuk, sokszor bonyolultbbnk t n eszközökkel könnyebben és gyorsbbn célhoz érünk. Erre fogunk most néhány példát látni. 3.. Péld. Számoljuk ki z I integrál értékét, hol I e d. H vesszük I-nek négyzetét, kkor zt kpjuk, hogy ( ( ( I e d e d e d. Az I deníciój szerint következ lkbn is átírhtjuk z integrált ( ( I e d e y dy e ( +y ddy e R ( +y d dy.

13 3 TÖBBVÁLTOZÓS MÓDSZEREK I polárkoordinátás lkbn megdv: π I e (+y d dy re r ddϕ R π [e r] π dϕ dϕ π π. π ( Négyzetgyököt vonv pedig megkpjuk z I értékét, mi I π. 3.. Péld. Htározzuk meg z lábbi integrál értékét! I rctg (π rctg d re r dr dϕ I Frullni-integrál egyik lkj. A.8 példábn látott trükköt itt is lklmzhtjuk kiindulásképp. Azz lkítsuk át z I-ben szerepl kifejezést egy htározott integrállá: rctg (π rctg [ ] π rctg (y I d d π + y dyd. Így kptunk egy kétváltozós integrált. A szukcesszív integrálás tétel lpján z integráljelek felcserélhet ek I π π [ ln y ] π + y ddy π π [ rctg (y y π ln π (ln π log. ] dy 3.3. Péld. Bizonyítsuk be következ egyenl séget: n n ddy y. π π y dy π π y dy Ezzel végtelen sorrl, melyet Euler-sor néven szoktunk emlegetni,.5 példábn már tlálkoztunk. Bizonyítás fenti kett s integrál kiszámításán lpszik. A pontos értékét 5. fejezetben fogjuk meghtározni. Els lépésként z -t mértni sorrá fejtjük y y (y n. (3. n

14 4 VEGYES TRÜKKÖK 3 Helyettesítsük be z integráljel mögé (3.-et, mjd lklmzzuk szukcesszív integrálás tételét (y n ddy n ( n y n d dy. Most pedig ismét hsználjuk jól bevált. tételt. Mivel n és folytonosk (, intervllumon, így feltételek teljesülnek. Tehát zt kpjuk, hogy ( ( ( [ n y n d dy y n n d dy y n n+ n n n + n y n n + dy. n n Mjd ismét felcserélhetjük szumm- és integráljelet. tétel lpján y n n + dy [ ] y n+ n + n + n + n + (n + n. n Így bebizonyítottuk z egyenl séget. n n n ] n dy 4. Vegyes trükkök Ebben fejezetben egy olyn példát muttok be, melynek megoldás során nem tudjuk felhsználni z eddigi módszereket. Azonbn ngyon érdekes és kretív trükköt láthtunk feldt megoldás közben. A feldtunk pedig következ : 4.. Péld. Adjuk meg z lábbi integrál értékét, h >, I ( ln + d. El ször helyettesítsünk be y-t, d dy I ( ln ln (y (y + dy ln + ln y + dy [ ] rctg y + ln (y (y + dy ln y + dy + ln y π ln dy y + + I (. ln y y + dy ln (y y + dy

15 5 RIEMANN-STIELTJES TRÜKKÖS HELYETTESÍTÉS 4 Most ki kell számolni z eredeti integrált -re. Ehhez felhsználunk egy trükköt. A htárok megfordításávl érdekes meggyeléseket tehetünk z eredeti integrálról. Helyettesítsünk be y u -t, ekkor dy u du, htárok pedig következ képpen módosulnk: lim u u ln ( u du I ( + ( u u ln u u du, lim. u u ln u (u + du ln u u + du ln u du I ( u + Ami zt jelenti, hogy I ( I (, ebb l következik, hogy I (. Vgyis z eredeti integrál értéke: I ( ln π ln d + + π ln. 5. Riemnn-Stieltjes trükkös helyettesítés Ebben fejezetben stndrd helyettesítéses integrálásnál htékonybb módszerre, Stieltjes-integrálr láthtunk példákt. Ez vlójábn Riemnnintegrál áltlánosítás, melyet gykrn hsználnk mtemtiki zikábn, vlószín ségszámításbn és számelméletben egyránt. A Stieltjes-integrál jelölésbeli különbsége gykrn segít rájönni z lklms helyettesítésre, illteve bilineritást kihsználv, helyettesítés nélkül is megfejthetjük z integrál értékét. Most lássuk módszer lényegét. A szokásos integrálb történ behelyettesítésnél dott egy g (t függvényünk, melynek ismerjük primitív függvényét: g (t dt G (t + C. f (t integrálfüggvényét ki lehet számolni, h létezik φ függvény, melyre f [φ (ω] φ (ω g (ω. Helyettesítsünk be t φ (ω-t, ekkor zt kpjuk, hogy f (t dt f [φ (ω] φ (ω dω g (ω dω G (ω + C. Az integrálokb történ behelyettesítés nehézsége, hogy tlálni kell egy megfelel φ függvényt, mely függ z integrál szerkezetét l. A könnyebb megértés és gyorsbb átlkítás érdekében célszer megvizsgálni z lpokt, különösen d-jelet z integrálbn. Áltlábn nem is tuljdonítunk neki ngy

16 5 RIEMANN-STIELTJES TRÜKKÖS HELYETTESÍTÉS 5 jelent séget, csk formális jelölésként tesszük ki z integráljel mögé. Vlójábn ez egy bilineáris operátor, mely jelent sen segíti z integrndus trnszformálását. A Riemnn-Stieltjes integrál következ jelölést hsználj: I b f ( df (, hol feltesszük, hogy F ( nem-negtív monoton, dierenciálhtó függvény z [, b] intervllumon. Ekkor vehetjük kifejezés szokásos Riemnn integrálját: Azz z inverz áttérés z I b f ( F ( d F ( d d (F (. (5. Végezetül d bilineritását kihsználv, c konstnsr következ t kpjuk: cf ( d (F ( f ( d (cf (. Ezt z egyszer összefüggést fogjuk felhsználni következ példákbn. A példákt Vlentin Fdeev Chnging the wy we chnge the vribles. Refresher notes in rel nlysis cím cikkéb l válogttm össze. 5.. Péld. Htározzuk meg z lábbi integrál értékét: du I ( + u + b ( u. Miel tt új változót helyettesítenénk be, el bb végezzünk el néhány lgebri átlkítást z integrndusbn: du I ( + u + b ( u du ( + b + ( b u du ( + b ( + bu du ( + b. +b b + u +b Így elkülönítettünk egy négyzetes kifejezést nevez ben, most ugynezt bevisszük d-jel mögé. Ezt tényez t el állíthtjuk úgy, hogy z integrál értéke ne változzon: b + b + b b + du ( b u b +b d + ( b u +b (. b u +b

17 5 RIEMANN-STIELTJES TRÜKKÖS HELYETTESÍTÉS 6 Az utolsó kifejezésb l már világosn látszik, hogy z egy új változót, jól ismert lpintegrált kpjuk: I b b +b u helyére bevezetve dv + v b rctg v+c b rctg ( b + b u +C. 5.. Péld. Számoljuk ki z lábbi integrál értékét: dt I cos t + b sin t. Emeljünk ki cos t-t I cos t dt + b sin t cos t dt + b tg t cos t. Vegyük észre, hogy (tg t. Alklmzzuk (5.-et, ekkor F (t tg t, cos t F (t dt (tg t dt d (tg t I ( + ( b tg t ( (tg t dt + ( b tg t d (tg t Mivel nekünk most ( b tg t -re vn szükségünk, ezért pótoljuk ki z integrált b -vl: b ( b + ( b tg t d tg t b ( b rctg tg t + C. Mindkét példábn tuljdonképpen nincs szükség z új változó bevezetésére. Azonbn más esetekben számítások terjedelmesek lehetnek, f leg h kifejezésb l nem látjuk zonnl z lpintegrállkot. Ilyen esetekben érdemes új változót bevezetni. Most ezekre nézzünk példákt Péld. Htározzuk meg következ integrál értékét: + (ln ( + ln I d. 4 Els pillntásr z integrndusbn hsonló kifejezéseket vehetünk észre logritmusbn és gyökjel ltt. A logritmus zonosságit felhsználv lkítsuk át törtet: ( + ln + I d 4 + ( ln + d 3 + ( + d ln 3 + ( ln + d ( +.

18 5 RIEMANN-STIELTJES TRÜKKÖS HELYETTESÍTÉS 7 Az utolsó átlkításnál zt hsználtuk ki, hogy (, vlmint következ zonosságot: 3 fd (F fd (F + b. Most már jól elkülönített blokkokbn szerepel z + kifejezés. Az átláthtóság kedvéért vezessünk be egy új változót helyére, zz t : +, így zt kpjuk, hogy I t ln tdt. Az integrál meghtázásához hsználjuk Riemnn-Stieltjes integrálásr vontkozó prciális integrálási formulát: fdg fg gdf. Ekkor: ( tdt 3 d t 3 ( 3 d t t. Tehát f (t : ln t és g (t : t t. Behelyettesítve formuláb I ( ln t d t t 3 3 t t ln t + t t 3 t dt 3 t t ln t + tdt 3 3 t t ln t t t + C 9 t t ( 3 ln t + C ( + + ( 3 ln ( + + C Péld. Htározzuk meg következ integrál értékét: I d. t Helyettesítésnek (t -et szeretnénk kpni, zonbn kifejezés hiányos. Adjunk hozzá és vonjunk ki bel le t-t. Ezután írjuk be (t -et d-jel mögé ügyelve z el jelre: d (t d. + t t + t t t t I d ( d (t d (t t t t t t t t d (t d (t d (t t t t t 3 (t 3 t (t + C. A második átlkítás után két, egyenként különálló (t komponens kifejezésre bontottuk, mely lehet vé tette, hogy integráljuk változó helyettesítése nélkül.

19 5 RIEMANN-STIELTJES TRÜKKÖS HELYETTESÍTÉS Péld. Adjuk meg következ integrál értékét: + 3 I d. Kiindulásnk egy jól ismert, és gykrn hsznált trükköt fogunk lklmzni, teljes négyzetté lkítást. Ez egy ngyon htékony módszer, h nem boldogulunk egy négyzetes kifejezéssel. A ( + lkhoz hiányzik, ezért djuk hozzá és vonjuk is ki bel le. Ekkor zt kpjuk, hogy ( + 3 d I (8 + 4 d + ( Ismét lklmzzuk (5.-et: ( + 3 d ( + 4 d. ( ( d ( + 4 F ( ( + 4, ekkor ( ( + 4 d d ( ( + 4, zz ( + d (8 + d d ( ( + 4. Helyettesítsük be nevez be, ekkor zt kpjuk, hogy I ( d ( d 8 ( + 4 ( + 4 ( d ( d ( +. 4 ( ( + 4 Az els integrált könny meghtározni, mivel f (t ( t t. A második integrál lkú, ezért lklmzzuk rá tnult kiszámítási módszert. +b+c A mi esetünkben z integrndus nevez je u lkú. Így z integrál z u ch t helyettesítéssel, vgy z du rch u+c ln u+ u u +C lpintegrál felhsználásávl kphtó meg. Tehát z integrál értéke I ln C. A következ kett s integrál már szerepelt Többváltozós módszerek fejezetben 3.3 példájábn. Most meghtározzuk pontos értékét. Az integrál kiszámolásához szükségünk lesz Riemnn-Stieltjes integrálás módszerére Péld. Htározzuk meg pontos értéke z lábbi integrálnk ddy y.

20 5 RIEMANN-STIELTJES TRÜKKÖS HELYETTESÍTÉS 9 Az integrál kiszámításához trnszformáljuk z integrálási trtományt következ képpen: forgssuk el koordinátrendszert 45 -kl, mjd -ed részére kicsinyítsük. Ekkor trnszformációk mátri Az új koordináták ( ( ( ( u y v u y +, v y. Az így kpott integrálási trtomány egy oldlú négyzet. Behelyettesítve u v-t és y u + v-t zt kpjuk, hogy y (u v (u + v (u v u + v. A trnszformáció Jcobi-determináns: u (u v v (u v D u (u + v v (u v ( +. Az új integrálási trtomány és z integrálndó függvény z u tengelyre nézve szimmetrikusk, ezért kétszer számítjuk ki z integrált trtomány fels felében, melyet két részre vágunk, I és I -re. I u u + v dvdu ( u dv du. u + v

21 5 RIEMANN-STIELTJES TRÜKKÖS HELYETTESÍTÉS Felhsználjuk, hogy I d + [ rctg u rctg + C v u ] u du u rctg u u du. u Ismét lklmzhtjuk z (5. összefüggést F (u rctg u -re, ekkor F u u (u u ( u u + + u u + u u u u ( + u u ( + u u ( u u u u. Tehát I Riemnn-Stieltjes integrálj [ I F (u F F (u (u du F (u d (F (u ( ( π F F (. 6 Most htározzuk meg I értékét I u u + v dvdu I -hez hsonlón számoljuk z értékét [ ] u I rctg v du u u ( u ] u u u [F (u ] dv du. u + v rctg u du u u Ismét felhsználjuk z (5.-ben kpott összefüggést. Legyen G (u rctg u u, ekkor G (u u + ( u u u + ( u u u u +( u u u ( u + u + u u u ( u ( u ( u u I Riemnn-Stieltjes integrálj ( I ( G (u [ G (u 4 ] G (u du 4 [ ] G (u Tehát I ( π ( 6 + π ( 6 3 π, 6 ddy y I 3 ( π 6 G ( + G 6 π G (u d (G (u ( u +( uu u u. u ( ( π π 6.

22 6 PUTNAM MATEMATIKAI VERSENYFELADATOK 6. Putnm mtemtiki versenyfeldtok A Willim Lowell Putnm nevét visel mtemtik verseny 938-bn indult. Az Egyesült Állmok és Knd f iskoláin és egyetemein zót minden évben megrendezésre kerül. A névdó z egykori hrvrdi diák 9-ben cikket írt z iskol folyóirtáb, melyben egy f iskolák közötti szellemi vetélkedés el nyeire hívt fel gyelmet. Hlál után özvegye hozt létre Willim Lowell Putnm f iskolák közötti emléklpítványt. Az els versenyt ngol nyelvb l rendezték, és csk pár évvel kés bb indult mtemtikából. Az özvegy 935- ben bekövetkezett hlál után z Ameriki Mtemtiki Társult vette át szervezést. Ebben fejezetben Willim Lowell Putnm mtemtiki verseny elmúlt éveinek feldtsoriból válogttm össze néhány integrálási feldtot. 6.. Péld. Az lábbi feldt 4. Putnm Mtemtik Versenyen szerepelt 98-bn. Adjuk meg π f ( d értékkét, hol f ( tg. Alklmzzuk π y helyettesítést, mib l zt kpjuk, hogy tg tg ( π y ctg y, és d dy. tg Tehát átírv z integrndust fenti helyettesítésre I π dy ( π + tg y dy (tg y + π (tg y (tg y (tg y + dy π (tg y (tg y + dy. Az eredeti integrál hozzádásávl következ eredményhez jutunk I + I π π d + (tg + π + (tg d + (tg (tg π + d (tg π d π. + (tg + (tg (tg + d Tehát I π 4.

23 6 PUTNAM MATEMATIKAI VERSENYFELADATOK 6.. Péld. Az lábbi feldt z 987-ben 47. lklomml megrendezett mtemtik versenyen szerepelt. Htározzuk meg következ integrál értékét! 4 ln (9 I d. ln (9 ln ( + 3 Vizsgáljuk meg gyökjel ltti kifejezést. Legyen f ( ln (9 és g ( ln ( + 3. H 3 helyettesítési érték, kkor 9 6 és + 3 6, vgyis f (3 g (3. Továbbá 3 z integrálhtárok számtni közepe is. Ez lpján úgy t nik, hogy z integráljel ltti kifejezés szimmetrikus 3-r. A fenti megállpítások már sugllják, hogy u legyen helyettesítés. Ekkor 6 u, d du és htárok u 6 4, u 6 4. ln (3 + u 4 ln (3 + u I du du. ln (3 + u ln (9 u ln (3 + u ln (9 u 4 Adjuk össze z így kpott I-t z eredetivel 4 ln (9 4 ln (3 + I d + d ln (9 ln ( + 3 ln (3 + ln (9 Tehát 4 4 ln (9 4 d ln (9 ln ( + 3 ln (9 ln ( + 3 ln (9 ln ( + 3 d 4 I I. ln (3 + ln (9 ln ( + 3 d d.

24 6 PUTNAM MATEMATIKAI VERSENYFELADATOK Péld. A következ feldt z 997-es 58. Putnm mtemtik versenyen szeperelt A3 sorszámml. Htározzuk meg z integrál értékét ( ( d. Jelöljük szorzótényez ket f (-szel és g (-szel f ( g ( Így felírv z integrált már nem is t nik olyn ijeszt nek: f ( g ( d. Emeljünk ki -et f (-ben f ( ( ( n n n Ezt z eponenciális sor áltlános lkjából kptuk meg n n n! e. q n n! eq. (6. Ebben z esetben q, zz f ( e. Most írjuk át z integrálbn f (-et fentiek lpján e Szorozzunk be e -vel ( d. e 3 e e e d Integráljuk z összeget tgonként e d + 3 e d + 5 e 4 d + 7 e 4 6 d +

25 6 PUTNAM MATEMATIKAI VERSENYFELADATOK 4 Most helyettesítsünk be u -et, ekkor u és d + ue u du + u ( 7 u e u 4 6 u du + ( 3 u e u du + u du u ( 5 u e u du+ 4 u Egyszer sítés után felismerhetjük.7 állításbn szerepelt Euler integrál formulát. Ezt lklmzv z integrál már egyszer en meghtározhtó. e u du + ue u du + 4 +! + 4! + u e u du ! + n u 3 e u du + n n! n (n! Ismét egy eponenciális sorhoz jutottunk, ez esetben q, tehát z összeg értéke n n! e. n 6.4. Péld. A 5-ben megrendezett 66. Willim Lowell Putnm mtemtik versenyen A5-ös feldtként szerepelt z lábbi integrál: I ln ( + + d. A feldt megoldásár három példát fogunk látni. n n n! I. Végezzük el következ behelyettesítést: : tg θ, ekkor d dθ cos θ. Ekkor z integrndus z lábbi módon változik meg: I π 4 π 4 π 4 ln (tg θ + tg θ + dθ cos θ ln (tg θ + sin θ + cos θ dθ ( sin θ + cos θ ln cos θ π 4 π 4 dθ ln (tg θ + ( dθ sin θ + cos cos θ θ ( sin θ ln cos θ + dθ π 4 ln (sin θ + cos ln (cos θdθ. Most hozzuk kicsit brátságosbb lkr sin θ + cos θ-t, hogy lklmzni lehessen logritmus zonosságit. Azz állítsunk el z összegb l egy szorztot.

26 6 PUTNAM MATEMATIKAI VERSENYFELADATOK 5 Az átlkításbn felhsználjuk z ismert trigonometrikus zonosságokt. H sin θ + cos θ-et négyzetre emeljük, kkor zt kpjuk, hogy ( π (sin θ + cos θ sin θ + sin θ cos θ + cos + sin (θ + cos θ ( ( π ( π ( π + cos 4 + θ + cos 4 + θ sin 4 + θ ( π ( π4 + cos 4 + θ ( ( π4 cos + θ cos + θ. Azz sin θ + cos θ ( π cos 4 + θ. A kpott eredményt írjuk vissz logrtimusb. Most már lklmzhtjuk logritmus zonosságit: ( ( π ( ln (sin θ + cos θ ln cos 4 + θ ln ln + ln ( cos ( π 4 + θ. Az integrálunk következ képpen néz ki z átlkítások után: π ( ( 4 π I cos 4 + θ ln (cos θdθ π 4 ln + ln ln dθ + π 4 ( ( π + ln cos 4 + θ ( ( π π ln cos 4 + θ 4 dθ ln (cos θdθ. f (θ ln ( cos ( π 4 + θ és g (θ ln (cos θ [, π 4 ] intervllumon vett integrálji egyenl k, ezért két integrál kiejti egymást. Végül zt kpjuk, hogy I π 4 ln dθ π ln. 8

27 6 PUTNAM MATEMATIKAI VERSENYFELADATOK 6 II. Ebben megoldásbn is helyettesítést lklmzunk: : u, ekkor +u htárok megcserél dnek és d. du (+u I ln ( u + ( +u ( u du +u + ( + u ln ( +u ( + u du ln ln ( + u + u du ln ( u++u +u ( u +(+u (+u du ( + u ln + u du ln (u + u + du. Vegyük észre, hogy különbség második tgj z integrál deníciój, zz egyenl I-vel, tehát I I ln ln + u du I I π ln. 8 du ln + u [ ] rctg u π 4 ln A most bemuttott megoldás z integrál meghtározásár Roger Nelsen mtemtikustól szármzik. III. Ez levezetés Steven Sivek nevéhez köthet, ki Princeton Egyetem mtemtik tnszékének okttój. A megoldás során felhsználjuk Feynmn módszerét, mely már szerepelt.7 állítás bizonyításábn, továbbá z ehhez trtozó (.6 formulát. Deniáljuk következ függvényt: f (t ln (t + + d. Ekkor z eredeti integrálunk egyenl z f függvény t helyen felvett értékével, zz f ( I, vlmint f ( Alklmzzuk (.6-ot f (t-re: ( f ln (t + (t d t + ln d. + + t + d ( + (t + d.

28 6 PUTNAM MATEMATIKAI VERSENYFELADATOK 7 Bontsuk fel prciális törtekre z integrálbn lév kifejezést. Figyeljünk od, hogy z integrndus nevez jének nem minden gyöke vlós. Azz nevez nem lkíthtó át els fokú tényez k szorztává, hiszen z + tényez diszkrimináns D <. Tehát z integrndus prciális tört lkj következ : ( + (t + A + B + + C + (A + B (t + + C ( + ( + (t + (At + C + (A + Bt + B + C. ( + (t + A számláló összehsonlításávl (At + C + (A + Bt + B + C. Az együtthtók egyeztetéséb l dódó egyenletrendszer: Tehát ( + (t + d A t + ; B t + t + t + Amib l zt kpjuk, hogy f (t At + C A + Bt B + C + t t + t + t t + ; C t t +. t t + + t + d + t t + + d t + + t + d t + + d + t + + d + [ ln ( + ] (t + ln (t + + t t + t t + t t + d [ ln (t + + t t + π ln (t + 4 t +. ] t + d ln (t + t + ln (t + d + t + [ ] rctg ln (t + t + ln (t + + t π ln (t + t + 4 t +. (6.

29 7 ÖSSZEFOGLALÁS 8 Nekünk z I-re vn szükségünk, mi egyenl f (-gyel, ezért integráljuk (6.-t [, ] intervllumon I ln ln ln ( ln (t + + t π ln (t + dt t + 4 t + t + dt + π 8 [ rctg t ] t t + dt [ ln ( t + ] + π 8 π 4 + π ln ln I π I. 8 8 Rendezve z egyenletet megkpjuk I értékét: I π ln 8 I π ln. 8 ln (t + t + dt ln (t + t + dt 7. Összefogllás Szkdolgoztombn igyekeztem különböz integrálási módszereket bemuttni. Azonbn z eszköztár szinte kimeríthetetlen, z integrálok meghtározásár nem létezik egy egységes módszer. Mint z z el z ekb l kiderült sokszor szükség vn egy egyedi, kretív ötletre, hogy eljussunk megoldáshoz, s t gykrn néhány lépéssel el re is kell gondolkodnunk megoldás menetében. Ehhez pedig úgy szerezhetünk rutint, h minél több "trükkös" integrálási feldtot oldunk meg. Bízom bbn, hogy fentebb leírtk hsznosnk bizonyulnk mjd mások számár is, és fel tudják hsználni integrálási problémáik során.

30 HIVATKOZÁSOK 9 Hivtkozások [] Chrles Mrtin, Methods for Evluting Dicult Integrls, April [] Keith Conrd, Dierentiting Under The Integrl Sign, diffunderint.pdf [3] Mrtin Aigner - Günter M. Ziegler, Bizonyítások Könyvb l, Typote, Budpest (4, [4] Vlentin Fdeev, Chnging the wy we chnge the vribles. Refresher notes in rel nlysis [5] Mnjul Bhrgv, Kirn Kedly és Lenny Ng, Solutions to the 58th Willim Lowell Putnm Mthemticl Competition, December 997,. [6] Mnjul Bhrgv, Kirn Kedly és Lenny Ng, Solutions to the 66th Willim Lowell Putnm Mthemticl Competition, December 5, [7] [8] John Coey, Mths Puzzles & Problems, [9] Lczkovich Miklós - T. Sós Ver, Anlízis II., Nemzeti Tnkönyvkidó, Budpest, 7 [] KöML 998/április, [] theorem_for_non-negtive_functions [] Wikipédi számos szószedete: