Biztosításmatematika 8. el adás

Átírás

1 Biztoítámatematika 8. el adá példa. Ágoto Kolo Caba 2004 Számoljuk ki a, p paraméter biomiáli- é a paraméter Poio-elozlá geerátorfüggvéyét! várható értékét é zóráát! A geerátorfüggvéy egítégével adja meg az elozláok Legye Z, p paraméter biomiáli elozlá: G Z p k p k k p k p k p + p k k G Z p + p p p G Z p + p 2 p 2 p 2 EZ G Z p SZ EZ 2 E 2 Z G Z + G Z G Z 2 p 2 + p 2 p 2 p p Legye W paraméter Poio elozlá: k G W k! e k k e e e k!

2 2 példa. G W e G W e 2 2 EW G W SW EW 2 E 2 W G W + G W G W Számoljuk ki az [a, b] itervallumo egyelete elozlá mometum geeráló függvéyét! Legye V az [a, b] itervallumo egyelete elozláú valózí égi változó! M V e v fvdv b a [ e v b a dv e v b a M V eb b e a ab a e b e a b a b a 2 ] b a eb e a b a A mometum geeráló függvéy az 0 potba ic értelmezve, a várható érték é zórá meghatározáától eltekitük. 3 példa. Számoljuk ki a paraméter expoeciáli elozlá mometum geeráló függvéyét! A mometum geeráló függvéy egítégével adja meg az elozlá várható értékét é zóráát! Legye W paraméter expoeciáli elozláú valózí égi változó! M W e w fwdw [ ] ew 0 0 e w e w dw 0 e w dw 2

3 Ameyibe <, akkor M W. -ál agyobb értékekre az itegrál végtele, M mometum geeráló függvéy ic értelmezve. M W 0 M W példa. EW M Z0 SW EZ 2 E 2 Z M Z 0 M Z 02 Számoljuk ki a ztederd ormáli elozlá mometum geeráló függvéyét! Legye Z ztederd ormáli elozláú valózí égi változó! M Z 5 példa. Legye X i e z fzdz e z dz e 2 2 e z e z2 2 dz e z 2 2 dz e 2 2 e z2 2 +z dz valózí égi változók függetleek é paraméter expoeciáli elozláúak. Mutauk, meg hogy Z k X k EX i SXi k X k valózí égi változó elozláa tart a ztederd ormáli elozlához, ha tart a végtelebe. Megoldá: 3

4 Az egyeletet írjuk az alábbi formába: Xk Z k X k valózí égi változó mometum geeráló függvéye: M e Mivel függetle valózí égi változókról va zó, ezért Z mometum geeráló függvéye: Azt kell cak beláti, hogy: lim e e e 2 2, mert a ztederd ormáli elozlá mometumgeeráló függvéye e 2 2.! lim e lim e e l Elég cak a határértéket meghatározi: lim + l lim + l Alkalmazzuk a l'hopital zabályt! + l lim lim 0, 5 + 0,5 lim + l lim 2 + lim 0,5+0, ,

5 6 példa. Egy biztoítái zerz dé eeté a kárelozláok paraméter expoeciáli elozláúak. Piaci vizoyokat gyelembe véve a biztoító a várható értékél 5%-kal magaabb díjat tud cak elkéri. A biztoító vezetée ragazkodik ahhoz, hogy a díjbevételek 90% valózí éggel fedezzék a kiadáokat. Miimum háy zerz déel kell redelkezie a biztoítóak, hogy eleget tudjo tei a vezet ég elvárááak? Vélhet, hogy a kívát zerz dézám agy lez, ezért feltételezzük, hogy az özkár ormáli elozláú. Ha zerz dée va a biztoítóak, akkor az özkár várható értéke, variaciája, zóráa pedig. Tehát 2 az özkár ormáli elozlát követ ; paraméterekkel. A díjbevétel em valózí égi változó, értéke, 05. A bevétel miuz kiadá a biztoító eredméye ekkor zité ormáli elozlát követ 0, 05; paraméterekkel. A biztoító eredméyét jelöljük Y -al. Meg kell kerei azt a értéket, amire teljeül a P Y 0 0, 9 egyel ég. A feti feltételt alakítuk át úgy, hogy ztederd ormáli elozláú változóra voatkozzo! Y 0 Y 0, 05 0, 05 Y 0, 05 0, 05 A Y 0,05 valózí égi változó már ztederd ormáli elozláú. P Y 0, 05 P Y 0, 05 < 0, 05 0, 9 0, 05 0, 5

6 A ztederd ormáli elozlá elozláfüggvéye a, 3 potba éri el a 0,-et ormáli elozlá táblázatából kikereve. Ezek alapjá: 0, 05, Tehát a biztoítóak legalább 676 közelít érték! redelkezie. zerz déel kell 6