Megoldások. 25. x y Aszimptoták: y = ±x 29. Aszimptoták: y = ±x. 31. Aszimptoták: y = ±2x 33. Aszimptoták: y = ± x 2
|
|
- Margit Ráczné
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Megoldások. fejezet.... Kúpszeletek és másodfokú egenletek. = 8, F,, vezéregenes: = 5. + = 7. Aszimptoták: = ± 9. Aszimptoták: = ±. = 6, F, /, vezéregenes: = / 5. 9 =, F±,, V±,, aszimptoták: = ± 7. + =, F±,, V±, 9... Aszimptoták: = ±. Aszimptoták: = ± = = 9. a tengelpont:,, fókusz:,, vezéregenes: = 7. 9.
2 5 Megoldások. a fókuszok: ± 7,; tengelpontok: 8, és,, középpont:, = =. A pont a kör belsejében van. 8. :. a centrum:, ; fókuszok: 7, és,, tengelpontok: 6, és,; aszimptoták: = ± 8. Hosszúság:, szélesség:, terület: 85. π 87.,6/π.. Kúpszeletek osztálozása ecentricitásuk alapján. e = /5, F±,, = ±5/. e = /, F,±, = ± 5. e = /, F,±, = ± 5. + = +, V,, F,, vezéregenes: = 7. = 8+7, V, 7, F, 5, vezéregenes: = =, F ±, V,±, C, 5. + =, F, és F,, V± +,, C, 5. 5 =, C,, F5, és F,, V, és V,; aszimptoták: = ± =, C,, F, és F,, V, és V, ; aszimptoták: + = ±+ 57. C,, a = 59. V,, F, 6. Ellipszis: =, C,, F, és F,, V 5, és V 5, 6. Ellipszis: + =, C,, F, és F,, V +, és V +, 65. Hiperbola: =, C,, F+, és F,, V, és V,; aszimptoták: = ± 67. Hiperbola: 6 =, C,, F,6 és F,, V, 6+ és V, 6+; aszimptoták: = + vag = e = /, F±,, = ± = =. e = 5, 9 + = 5. e = /, = =, F,+± 5, e = 5/, = ±9 5/5. a =, b =, c =, e = /. e =, F±,, = ±/ 5. e =, F,±, = ± 7. e = 5, F±,, = ±/ 9. e = 5, F,±, = ±/. 8 =. 8 = 5. e =, 8 8 = 7. e =, = =.. Másodfokú egenletek és forgatások. hiperbola. ellipszis 5. parabola 7. parabola 9. hiperbola. hiperbola. ellipszis 5. ellipszis 7. =, hiperbola =, parabola. =, párhuzamos egenesek. + 8 =, parabola 5. + = 9, ellipszis 7. sinα = / 5, cosα = / 5
3 . fejezet kiválasztott feladatainak megoldásai 5 9. A =,88, B =,, C =,, D =,7, E =,, F = ;88 +, +,7, =, ellipszis. A =,, B =,, C = 5,, D =, E =, F = 5; 5, 5 = vag = ±,, párhuzamos egenesek. A = 5,5, B =,, C =,5, D = 5,7, E = 6,8, F = ; 5,5,5 5,7 6,8 = =, hiperbola 5. a b + a = a b = c + = a d = m e = m + b m. = a bcosθ + bcos a b b θ = a bsinθ bsin a b b θ 5. = asin t tgt, = asin t 7.,.5. Polárkoordináták. a, e; b, g; c, h; d, f. 7. a = = a. a parabola 5. a hiperbola a c d, π + nπ és, π +n+π, n egész szám, nπ és,n + π, n egész szám, π + nπ és, π +n+π, n egész szám,n + π és, nπ, n egész szám c =, = + 5. a,, c, d, e, f, g, h, Kúpszeletek és paraméteres egenletek; a ciklois =, a, ponton átmenő függőleges egenes 5. =, az -tengel 7. =, a, ponton átmenő vízszintes egenes 9. + =, egenes, m =, b =
4 5 Megoldások. + =, kör, C,, a sugár. -tengel, -tengel, origó. = 5, egenes, m =, b = 5 5. =, parabola, tengelpontja a, pont, jobbról nitott 7. = e, a természetes alapú logaritmusfüggvén grafikonja 9. + = ±, két egenes vonal, meredekségük, az - tengelt a b = ± pontokban metszi. + + =, kör, C,, sugár. + = 6, kör, C,, sugár 5. + =, kör, C,, sugár 7. + = 9. r cosθ = 7 5. θ = π/ 5. r = vag r = 55. r cos θ + 9r sin θ = 6. -tengel, -tengel, origó 5. origó 7. A,π/ pontban a meredekség, a, π/ pontban, r = + cos 57. r sin θ = cosθ 59. r = sinθ 6. r = 6r cosθ r sinθ 6 6.,θ, ahol θ valamilen szög, 9. Az,π/ pontban a meredekség, a, π/ pontban, a,π/ pontban, az, π/ pontban.6. Ábrázolás polárkoordinátákban. -tengel. -tengel. a 5. -tengel 7. -tengel. a 9. -tengel, -tengel, origó 5. 7.
5 . fejezet kiválasztott feladatainak megoldásai 55.,,,π/,,π/ 5..,,,π/,, π/ 5.,±π/6,,±5π/6 7., π/,, 5π/,, π/,, 7π/. a 5. = Terület és hosszúság polárkoordinátákban. 8π. π/8 5. π π 8. π π π 9 7. a π 9. 9/. 8. +ln+ π π 9. π. π a, 57. Bolgó Perihélium Afélium Merkúr,75 AU,667 AU Vénusz,78 AU,78 AU Föld,98 AU,67 AU Mars,87 AU,666 AU Jupiter,95 AU 5,58 AU Szaturnusz 9, AU,57 AU Uránusz 8,977 AU,6 AU Neptunusz 9,85 AU,65 AU Plútó 9,659 AU 9,5 AU 59. a + =, =.8. Kúpszeletek polárkoordinátákban. r cosθ π/6 = 5, = +. r cosθ π/ =, = / 5. = 7. = /+ 9. r cos θ + π =. r cos θ π = 5. r = 8cosθ 5. r = sinθ 7. C,, a sugár = 9. C,π, a sugár =. 6 + = 6, r = cosθ. + 5 = 5, r = sinθ 6. r = /+cosθ 6. A tűk egmástól cm-re legenek. 65. r = asinθ kör 67. r cosθ a = p egenes Gakorló feladatok =, r = cosθ 7. ++/ = /, r = sinθ 9. r = /+cosθ. r = / 5sinθ. r = /+cosθ 5. r = /5 sinθ e = / 7. e =.. 9. =, V,, F,; vezéregenes: = =, C, 5, V, és V,, F, és F, 9
6 56 Megoldások. 8 =, C,, V, és V,, F, + és F, + ; aszimptoták: = + és = Hiperbola: =, F ± 5,, V ±,, C,; aszimptoták: = ± Az anag alaposabb elsajátítását segítő további feladatok. 7. Parabola: = 6 +, V,, F 7,; vezéregenes: = 9. Ellipszis: =, F± 7,, V±,, C,. Kör: + =, C,, sugár: =. Ellipszis 5. Hiperbola 7. Egenes 9. Ellipszis, 5 + =. Hiperbola, = = 5.,± 7. a 6 8 = = d. l. k 5. i 7., 9.,,,±π/ 5. A grafikonok egbeesnek.,π/ = / 57. = 59. = / = 6. + = 65. r = 5sinθ 67. r = cosθ r = +cosθ 75. r = +sinθ 77. 9π/ 79. +π/ π 85. π 87. a π 6π 9. = a+bcosθ bcos a+b b, θ = a+bsinθ bsin a+b b θ. a r = e θ 5 e π π π r = +cosθ 7. r = +sinθ 9. a.,6 7 km. e = / 5. Igen, eg parabola. 7. a r = a +cosθ π. π/ π/ 5. π/. fejezet.. Sorozatok r = cosθ 8 c r = +sinθ,± π, π. a =, a = /, a = /9, a = /6. a =, a = /, a = /5, a = /7
7 . fejezet kiválasztott feladatainak megoldásai a = /, a = /, a = /, a = / 7.,, 7, 5 8, 6, 6, 7 6, 8 55, 5 56, 5 9.,,,, 8, 6,, 6, 8, 56.,,,,5,8,,,,55. a n = n+,n 5. a n = n+ n,n 7. a n = n,n 9. a n = n,n. a n = + n+,n. Konvergens, 5. Konvergens, 7. Konvergens, 5 9. Divergens. Divergens. Konvergens, 5. Konvergens, 7. Konvergens, 9. Konvergens,. Konvergens,. Konvergens, 5. Konvergens, 7. Konvergens, 9. Konvergens, e 7 5. Konvergens, 5. Konvergens, 55. Divergens 57. Konvergens, 59. Konvergens, 6. Divergens 6. Konvergens, e 65. Konvergens, e / 67. Konvergens,, > 69. Konvergens, 7. Konvergens, 7. Konvergens, / 75. Konvergens, π/ 77. Konvergens, 79. Konvergens, 8. Konvergens, / 8. Konvergens, 85. n = n 87. a f =,,56, f = tg, π/, , c 89. f = e, divergens 97. Növekvő, korlátos 99. Korlátos. Konvergens, Weierstrass tétele. Konvergens, Weierstrass tétele 5. Divergens, definíció 9. Konvergens. Konvergens. N = 69, a n = n,5, L =. N = 65, a n =,9 n, L = 5... Végtelen sorok. s n = /n, /. s n = /n / n, / 5. s n = n+, , , , , ln. Konvergens, + 5. Konvergens, 7. Divergens e 9. Konvergens, e. Konvergens, /9. Konvergens, / 5. Divergens 7. Divergens 9. Konvergens, π π e. a =, r =, ha <, akkor /+-hez konvergál. a =, r = /, ha,, akkor 6/ -hez tart 5. <, 7. < <, + 9. k+ π,k egész szám; sin 5. / /9 55. /5 57. / 59. a n= n+n+5, n= n+n+, c n=5 n n 69. a r = /5, r = / 7. r <, +r 7. 8 m m r 77. a n, A n = A+ A+ 9 A n A, A =, lim A n = /5 n.. Az integrálkritérium. Konvergens: mértani sor, r =. n Divergens: lim n n+ = 5. Divergens: p-sor, p < 7. Konvergens: mértani sor, r = 8 < 9. Divergens: integrálkritérium. Konvergens: mértani sor, r = / <. Divergens: integrálkritérium 5. Divergens: lim n n n+ 7. Divergens: lim n n/lnn 9. Divergens: mértani sor, r = ln >. Konvergens: integrálkritérium. Divergens: n-edik tag 5. Konvergens: integrálkritérium 7. Konvergens: integrálkritérium 9. Konvergens: integrálkritérium. a =. kb., Igaz
8 58 Megoldások.. Összehasonlító kritériumok. Divergens, vö. / n. Konvergens, vö. / n 5. Divergens: vö. n-edik tagok sorozata 7. Konvergens: n n n+ < nn n = n 9. Divergens: vö. /n. Konvergens: vö. /n. Divergens: vö. /n 5. Divergens: vö. /n 7. Divergens: integrálkritérium 9. Konvergens: vö. /n /. Konvergens: n n n. Konvergens: n + < n 5. Divergens: vö. /n 7. Konvergens: vö. lim/n 9. Konvergens: arctgn < π/ n, n,. Konvergens: vö. /n. Divergens: vö. /n 5. Konvergens: vö. /n.5. A hánados- és a gökkritérium. Konvergens: hánadoskritérium. Divergens: hánadoskritérium 5. Konvergens: hánadoskritérium 7. Konvergens: vö. /,5 n 9. Divergens: lim n = e n n. Konvergens: vö. /n. Divergens: vö. /n 5. Divergens: vö. /n 7. Konvergens: hánadoskritérium 9. Konvergens: gökkritérium. Konvergens: gökkritérium. Konvergens: gökkritérium 5. Konvergens: vö. /n 7. Konvergens: hánadoskritérium 9. Divergens: hánadoskritérium. Konvergens: hánadoskritérium. Konvergens: hánadoskritérium 5. Divergens: a n = /n! 7. Konvergens: hánadoskritérium 9. Divergens: gökkritérium. Konvergens: gökkritérium. Konvergens: hánadoskritérium 7. Igen.6. Alternáló sorok, abszolút és feltételes konvergencia. Konvergens: 6. Tétel. Divergens: a n 5. Konvergens: 6. Tétel 7. Divergens: a n 9. Konvergens: 6. Tétel. Abszolút konveergens: a tagok abszolútértékei mértani sort alkotnak. Feltételesen konvergens: / n, de divergens n= n 5. Abszolút konvergens: vö. /n n= 7. Feltételesen konvergens: /n +, de n= n+ divergens vö. /n n= 9. Divergens: +n 5+n. Feltételesen konvergens: + n n, de +n/n > /n.. Abszolút konvergens: hánadoskritérium 5. Abszolút konvergens: integrálkritérium 7. Divergens: a n 9. Abszolút konvergens: hánadoskritérium konver-. Abszolút konvergens: n +n+ < n. Abszolút konvergens: cosnπ n n = n+ n = / n / gens p-sor 5. Abszolút konvergens: gökkritérium 7. Divergens: a n 9. Feltételesen konvergens: n+ n = / n+ n+, de a tagok abszolútértékeiből álló sor divergens vö. / n. Divergens: a n /. Abszolút konvergens: sechn = e n +e n az utóbbi konvergens mértani sor tagja 5. hiba <, 7. hiba < 9.,5 5. a a n a n+, / = en e n + < en e n = e n,
9 . fejezet kiválasztott feladatainak megoldásai Hatvánsorok. a, < <, < <, c sehol sem. a /, / < <, / < <, c sehol sem 5. a, 8 < <, 8 < <, c sehol sem 7. a, < <, < <, c sehol sem 9. a,,, c sehol sem. a, minden -re, minden -re, c sehol sem. a, minden -re, minden -re, c sehol sem 5. a, <, < <, c = 7. a 5, 8 < <, 8 < <, c sehol sem 9. a, < <, < <, c sehol sem. a, < <, < <, c sehol sem. a, =, =, c sehol sem 5. a, <, < <, c = 7. a,,, c sehol sem 9. a /, /, /, c sehol sem. a, π < π, π < < π, c = π. < <, /+ 5. < < 6, / 7. < <, / 9. < < 5, / ; < < 5, /. a cos =! +! 6 6! + 8 8!! +... minden -re konv. és c! ! 7 7 7! !! a , π < < π , π < < π.8. Talor- és Maclaurin-sorok. P =, P =, P =, P = +. P =, P =, P = + 8, P = P =, P = + π, P = + π P = + π, π π 7. P =, P = +, P = + 6, P = n = + n= n!!! +!... π.. n n = n= n n+ n+ n= n+! 7. n n= n! n n n= n! n n+ n 7. n=. L =, Q = / 5. L =, Q = + / 7. L =, Q = n= e n n!.9. A Talor-sorok konvergenciája, Talor tétele n = n= n!!! 5 n n+ n= n+! = n= = 5+ 5! 55 5! !... n + n n= n! 5 n+ n+ n+! n+ = + + n= n!! +! + 5! +... n n = n= n!! 6 6! + 8 8!! π! + π 5!. + n n n= n! π6 7 6! = = +... = n π n n+ n= n! =! +! 6 6! + 8 8! n = n= 7. n n = n= 9. <,6 /5 <, hiba < /6 <,67, < <. hiba <,, /6 <,87 5., <,. sin, =,, sin,. arctg, = π/ 5. e sin =
10 5 Megoldások. a Q = +k+ kk, ha < / 9. a, / +i, c i , minden -re konvergens. f = n+ sinn n= n.. Hatvánsorok alkalmazása = = = n n = e 7. = n= n! n /n! = e n= 9. = n /n! = e n=. = n n= n n! = / e 5. = n+ n= n+! = sh 7. = + n+ n n= n! 9. = n n= n! n+ n= n+!. = n = n=. = a+b+ 6 a b a b , 67 5., 7., ,. / 6!,. 7! 7 + 5! 5. a / 9. / 5. / tag 6. tag 6. a , konvergenciasugár = π c /.. Fourier-sorok. f = 5. e π π + cosn n= n + n= nsinn n + 7. f = cos+ n+ π n n= n sinn Gakorló feladatok. Konvergens, a határérték. Konvergens, a határérték 5. Divergens 7. Konvergens, a határérték 9. Konvergens, a határérték. Konvergens, a határérték e 5. Konvergens, a határérték 5. Konvergens, a határérték ln 7. Divergens 9. /6. /. e/e 5. Divergens 7. Feltételesen konvergens 9. Feltételesen konvergens. Abszolút konvergens. Abszolút konvergens 5. Abszolút konvergens 7. Abszolút konvergens 9. Abszolút konvergens. a, 7 <, 7 < <, c = 7. a /, /, /, c nincs ilen 5. a, minden, minden, c nincs ilen
11 . fejezet kiválasztott feladatainak megoldásai 5 7. a, < <, < <, c nincs ilen 9. a e, e < < e, e < < e, c üres halmaz 5. +,, 5 5. sin, π, 55. e, ln, n n 59. n= n 5n 6. n= n! 65. +! + +! ! +... n= = n+ n = e n= n! 7. = n n n = e n= n! n π n+ n+ n+! π/ n n= n! 7. = + n /n! = e n= 75. = ++ n /n! = e n= 77., , / 8. / r =, s = 9/ 89. hiba < sin/ <,8, a becslés alsó, mivel a maradék pozitív 9. / 9. ln n+ n, a sor összege ln 95. a, a =, b = 97. Konvergál 5. n= sinn n π cosn sinn 7. n= πn + n= n Az anag alaposabb elsajátítását segítő további feladatok. Konvergens: összehasonlító kritérium. Divergens: a tagokból álló sorozatra vonatkozó kritérium 5. Konvergens: összehasonlító kritérium 7. Divergens: a tagokból álló sorozatra vonatkozó kritérium 9. a = π/-mal cos = π π. a = -val e = ++! +! a = π-vel + π +... cos = π +! π 6! π Konvergens, a határérték b 7. π/. b = ±/5 5. a =, l = 7/6 9. Igen 5. a n n, 6, c /q n= 7. a R n = C e kt e nkt / e kt, R = C e kt / e kt = C /e kt R = /e,68, R = R e R,999956,5895, R,5898, < R R /R <, c 7. fejezet.. Háromdimenziós koordináta-rendszerek. A,, ponton átmenő egenes párhuzamos a z-tengellel.. Az -tengel 5. Az -sík + = köre. 7. Az + z = kör az z-síkon. 9. Az + z = kör az z-síkon.. Az + = 6 kör az -síkon.. a Az -sík első síknegede. Az -sík negedik síknegede. 5. a Az origó középpontú, sugarú gömbtest. Az összes olan pont, amel -nél nagobb távolságra van az origótól. 7. a Az sugarú, origó középpontú felső félgömb. Az sugarú, origó középpontú felső félgömbtest. 9. a = = c z =. a z = = c =. a + =, z = + z =, =
12 5 Megoldások c + z =, = 5. a =, z = =, z = c =, = z = 5, z = 9. z. z. a + +z < + +z > C,,, a =. C,,, a = z = z = 9. C,,, a = 8 5. C,,, a = 5 5. a + z + z c Vektorok. a 9, 6. a, 5. a, a 5, ,.,., 5., 7.,, 9., 6,., 5, 8. v vízszintes, w függőleges vektor, u 5 szöget zár be a vízszintessel. A vektorokat méretaránosan kell megrajzolni. a c 5. i+ j k 7. 5k 9. i j k d. a i k c j+ k d 6i j+k 5. 7 i 5k 5. a 5 i+ 5 j k /,,5/ 7. a i j k 9. A,,5. a =, b = 5. 8, 95, 75, 6 5, 7, 9 7. a 5cos6,5sin6 5 =, 5. 5 i, 5k 5cos6 + cos5,5sin6 + sin5 = 5+ =, 5 9. a i+ j k i+j k c,,.. Skalárszorzat. a 5, 5, 5 c 5 d i+j 5k. a 5, 5, 5 5. a, c 5 d i+j k 9 c 7. a 7, 6, c d 5j k d + 7 5i+j ,75 radián.,77 radián. Az A csúcsnál lévő szög = arccos 6,5 fok, a 5 B csúcsnál lévő szög = cos 5, fok, a C csúcsnál 5 lévő szög = cos 5 6,5 fok i+ j + i+ j+k 8 i+ j k + i 6 j k. Két egenlő hosszúságú vektor összege mindig merőleges a különbségükre, amint az a v +v v v = v v +v v v v v v = v v = azonosságból látható. 7. A vízszintes összetevő 96 m/s, a függőleges összetevő 55 m/s. 9. a Mivel cosθ, ezért u v = u v cosθ u v = u v. Egenlőséget akkor kapunk, ha cosθ = vag ha u és v legalább egike nulla. Ha a vektorok nem nullák, akkor egenlőséget θ = vag π esetén kapunk, azaz amikor a vektorok párhuzamosak.
13 . fejezet kiválasztott feladatainak megoldásai 5. a 5. + = 7. + =. a Egik sem u és w 5. Nm. 7. a Igaz Nem mindig igaz c Igaz d Igaz e Nem mindig igaz f Igaz g Igaz h Igaz 9. a proj v u = u v v v v c ±u v w ±u v d u v w 9. + =. =. 5 J 5. 6 J 7. π 9. π 6 5., 5. π és π minden pontra. 55.,-ban π ;,-ben π és π.. Vektoriális szorzat. u v =, az irán i + j + k; v u =, az irán i j k.. u v =, az irán nincs meghatározva; v u =, az irán nincs meghatározva. 5. u v = 6, az irán k; v u = 6, az irán k. 7. u v = 6 5, az irán 5 i 5 k; v u = 6 5, az irán 5 i+ 5 k a igen nem c igen d nem. Nem, v-nek nem feltétlenül kell egenlőnek lennie w-vel. Például, i+j i+j, de i i+j = i i+i j = +k = k és i i+j = i i+i j = +k = k /. 5/. Ha A = a i+a j és B = b i+b j, akkor i j k A B = a a b b = a a b b k és a háromszög területe: A B = ± a a b b. A + előjelet kell használni, ha az -síkon a A-tól B felé mutató iránított szög az óramutató járásával ellentétes, és a előjelet, ha az óramutató járásával azonos iránú..5. Egenesek és síkok a térben. = +t, = +t, z = +t. = +5t, = 5t, z = 5t 5. =, = t, z = t 7. =, =, z = +t 9. = t, = 7+t, z = t. = t, =, z =. = t, = t, z = t, t. 5. =, = +t, z =, t 5. a 6 ± 6 i+j+k 7. a ± i j
14 5 Megoldások 7. =, = t, z =, t = t, = t, z = t, t... z =. 7 5 z = z = 7.,,, ++z = z =. +z = /5. 5/ 5. 9/ 7. π/ 9.,76 radián 5.,8 radián 5.,, 55.,, = t, = +t, z = 59. =, = +6t, z = +t 6. L metszi L-t; L párhuzamos L-mal; L és L kitérők. 6. = +t, = t, z = 7+t; = t, = +/t, z = /t 65.,,,,,,,, 69. Több válasz lehetséges. Az egik: + = és + z = /a + /b + z/c = az összes síkot leírja az origón átmenő síkok és a koordinátatengelekkel párhuzamos síkok kivételével Hengerek és másodrendű felületek. d ellipszoid. a henger 5. l hiperbolikus paraboloid 7. henger 9. k hiperbolikus paraboloid. h kúp
15 . fejezet kiválasztott feladatainak megoldásai a π9 c 9 8π c πabc 8. Csúcspont:,,c /b, fókusz:,,c /b a /c Gakorló feladatok a 7,. a 6, 8 5., feltételezve 7. 8, 7 7 az óramutató járásával ellentétes forgásiránt 9. A hosszúság =, az irán i+ j vπ/ = i. A hosszúság = 7, az irán 7 i 7 j+ 6 7 k i j+ 8 k. 7. v =, u =, v u = u v =, v u = i + j k, u v = i j+k, v u =, θ = arccos = π, u cosθ =, proj v u = i+j 9. i+j k 5i+j+k
16 56 Megoldások. u v = k a 9. 78/. = t, =, z = +7t z = z = 9.,,,,,,,,. π/. = 5+5t, = t, z = t 5. = t, = 9/+5t, z = /6+6t 7. Igen, v párhuzamos a síkkal j + k 5. 5i j k 55. 9, , 7 57.,, ; = 5t, = +t, z = +t z+ = 6. a nem nem c nem d nem e igen 6. / Az anag alaposabb elsajátítását segítő további feladatok. 6,, /. F = 8.6N 7. a BD = AD AB AP = AB+ AD. i+ j k 5. a, i j+6k 9i j+7k c i 6j+k, i j k d i k, i j 8k 5. a F = GMm d + n i= igen i + /. fejezet.. Vektorfüggvének. =, v = i+j, a = j. = 9, v = i+j, a = i+8j 5. t = π : v = i j, a = i t = π : v = j, a = i j; t = π : v = i, a = j; t = π : v = i j, a = i 9. v = i+tj+k, a = j, sebesség:, irán: i+ j+ k, v = i+ j+ k
17 . fejezet kiválasztott feladatainak megoldásai 57. v = sinti+costj+k, a = costi sintj, sebesség: 5, irán: / 5 i+ / 5 k, vπ/ = [ 5 / 5 i+ / ] 5 k. v = i+tj+tk, a = t + t + sebesség: 6, irán: v = 6 i+ j i+ j+ k 6 6 k, 6 5. π/ 7. π/ i+j+k, 9. t =, π, π. /i+7j+/k π +. j+k 5. lni+lnj+lnk t t t 7. rt = + i+ + j+ + k 9. rt = t + / i+ e t + j+lnt + +k. rt = 8ti+8tj+ 6t + k. = t, =, z = +t 5. = at, = a, z = πb+bt 7. a i: konstans ii: igen iii: iv: igen i: konstans ii: igen iii: iv: igen c i: konstans ii: igen iii: iv: nem, a, -ből d i: konstans ii: igen iii: iv: igen e i: változó ii: nem iii: iv: igen 9. rt = t + 6 t + i+ t + t + t + t j+ + k = = t + t i j+k+i+j+k. v = 5i+ 5j. ma v =, min v =, ma a =, min a =.. Eg lövedék röppálájának leírása. 5 s. a 7, s, 5,5 m m c 678 m 5. t,9 s, 9,96 m 7. a v 9,9 m/s α 8, vag α 7,6 9. 8,9 m/s. A golflabda nekimeg a fának.. a 5, m/s,5 s 5. 9,9 vag 5,7 7., m/s.,9 s,,5 m., m,,8 m/s 5. v -nak feleznie kell az AOR szöget. 7. a Feltéve, hog az = helen történik az ütés: rt = ti+tj, ahol t =,67cos7 t és t =,+,67sin7 t,9t. t,97 másodpercnél, a maimális magasság, m. c A labda t, másodperc múlva, m távolságra ér földet. d t,5 és t,7 másodpercnél, amikor 9 és,8 méter távolságra van az ütés helétől. e Igen, a megemelt háló felett nem meg át a labda.. a rt = ti +tj, ahol t = e,8t 7cos 5,6 és,8 7 t = + e,8t sin +,8 9,8 +,8,8t e,8t. t,5 másodpercnél, a maimális magasság, m. c A labda t, másodperc múlva 9,8 m távolságra ér földet. d t,88 és t, másodpercnél, amikor, és 78,6 méter távolságra van az ütés helétől. e Nem. Legalább,9 m/s erősségű, az ütéssel egező iránú széllökés szükséges ahhoz, hog a labda átmenjen a kerítés felett... Ívhossz és a normált érintővektor. T = 5 sint i+ cost j+ k, π. T = t i+ k, +t +t 5. T = costj +sintk, cost t sint sint +t cost t / 7. T = i+ j+ k, t + t + t + π + π 9., 5, π. st = 5t, L = 5π. st = e t, L = 5. +ln + 5
18 58 Megoldások 7. a A henger + =, a sík +z =. és c π d L = +sin t dt e L 7,6.. Görbület és a normált főnormális. T = costi sintj, N = sinti costj, κ = cost. T = +t i +t j, N = t +t i +t j, κ = +t 5. cos 7. N = et +e t i+ +e t j c N = t i+tj 9. T = cost i sint 5 5 j+ k, N = sinti costj, 5 κ = 5 cost sint. T = N =. T = cost + sint i+ j, cost sint i+ κ = e t t t + i+ t + j, N = κ = tt + / 5. T = N = cht/a th t a i+ κ = a ch t/a i+ th t j, a cht/a sint + cost j, j, i t + tj t +,.5. Torzió és a normált binormális. B = 5 cost i 5 sint j 5 k, τ = 5. B = k, τ = 5. B = k, τ = 7. B = k, τ = 9. a = a N. a = T+ 5 N. a = N π π 5. r = i+ j k, T = i+ j, π π N = i j, B = k, simulósík: z =, normálsík: + =, rektifikáló sík: + = 7. Igen. Ha az autó kanarban halad κ, akkor a N = = κ v és a. ds. F = κ m dt. κ = /t, ρ = t 9. v =,87,,789,,, v =,6, a =,696,,7,, T =,86,,7,,7, N =,,,8998,,69, B =,59,,998,,889, κ =,56, τ =,8, a T =,776, a N =,598. v =,,,,69, v =,66, a =,,,,86, T =,9967,,,8, N =,7,,,,86, B =,8,,86,,9967, κ =,8, τ =,, a T =,7, a N =,.6. Bolgómozgás és műholdpálák. T = 9, perc. a = 676 km 5. D = 65 km 7. a 68 km 5789 km c Sncom, GOES és Intelsat 5 9. a = 8 km a Föld középpontjától, vag körülbelül 768 km a Föld felszínétől..,97 9 sec /m, 9,9 sec /m, 8,5 sec /m Gakorló feladatok. 6 + = 9. /b. π + =. κ = 5. κ = + / sin +cos / A t = -ban: a T =, a N =, κ = ; A t = π -ben: a T = 7, a N =, κ = 7.. v ma = 5. κ = /5 7. d/dt =,
19 . fejezet kiválasztott feladatainak megoldásai 59. A súlgoló a földön van, körülbelül 9,5 méterre a dobás helétől. 5. a 8, m/s,7 m/s 9. κ = πs π. + π 6 + ln π + + π 6. T = i j+ k, N = i+ j, B = i+ j+ k, κ =, τ = 6 5. Tln = 7 i+ 7 j, Nln = 7 i+ 7 j, Bln = k, κ = 8 7 7, τ = 7. a = T+6N 9. T = cost i sintj+ cost k, N = sint i costj sint k,. π/ B = i k, κ =, τ =. = +t, = t, z = t km,,69 7 km, a Föld,%-a látható. fejezet.. Többváltozós függvének. a Az -sík minden pontja Minden valós c Az = = c egenesek d Nincsenek határpontok e Nílt is és zárt is f Nem korlátos. a Az -sík minden pontja z c f, = -ra z origó, f, -ra ellipszisek, nagtengelük az -, kistengelük az -tengelen d Nincsenek határpontok e Nílt is és zárt is f Nem korlátos 5. a Az -sík minden pontja Minden valós c f, = = -ra az - és -tengel, f, -ra hiperbolák, ameleknek a koordinátatengelek az aszimptotáik d Nincsenek határpontok e Nílt is és zárt is f Nem korlátos 7. a Minden,, amire fennáll + < 6 z / c Origó középpontú körök négnél kisebb sugárral d A határ az + = 6 kör e Nílt f Korlátos 9. a,, minden valós c Origó középpontú körök pozitív sugárral d A határ egetlen pont,, e Nílt f Nem korlátos. a Minden,, amelikre π/ z π/ c = c alakú egenesek, ahol c d A határ két egenes: = +, = + e Zárt f Nem korlátos Az anag alaposabb elsajátítását segítő további feladatok. a rt = 85 t + t i+ t + j; m dθ. a πgb dt = θ=π a + b θ = c vt = gbt a + b, z = gb t a + b gbt a + b,. f 5. a 7. d 9. a z z = z. a z = + z = z = z = z = z = z = z = z = d r dt = bg bgt a + b T+a a + b N A B iránú komponens egütthatója. 7. a d dt = ṙ cosθ r θ sinθ, dr = ẋcosθ + ẏsinθ, dt r d dt = ṙ sinθ + r θ cosθ dθ = ẋsinθ + ẏcosθ dt 9. a a = 9u r 6u θ, v = u r + u θ 6,5 cm. a z = + z z = z = z =. c v = ṙu r + r θu θ + żk, a = r r θ u r +r θ + ṙ θu θ + zk
20 5 Megoldások 5. a z = + z 6 z = 6 z = 5. Közelítsünk =, >, ill. =, < mentén 7. Közelítsünk = k mentén, ahol k konstans 9. Közelítsünk = m mentén, ahol m konstans. Közelítsünk = k mentén, ahol k konstans z =. Nem 5. A limesz 7. A limesz 9. a f, =m = sinθ, ahol tgθ = m Nem létezik 55. π/ 57. f, = ln 59. δ =, 6. δ =,5 6. δ =,5 65. δ =,5 7. a z = ½½ z,, z = z = z = z = z =.. Parciális deriváltak.. 5. =, = = +, = =, = 9. + = 7. =, + = +. arctg+arctg = arctg. 7. z f,, z = + + z = z f,, z = + = z f,, z = + z = = +, = + =, = = e++, = e++ = +, = + = sin cos, = 6sin cos, =, = ln. = g, = g. f =, f =, f z = z 5. f =, f = + z /, f z = z + z / 7. f = z z, f = z z, f z = z. lnz =. + z = ln 5. Igen, 7. 6 km.. Határérték és foltonosság magasabb dimenzióban. 5/ / /. 9/ a Minden, Minden,, kivéve, 9. a Minden,, kivéve, ahol = Minden,. a Minden,,z Minden,,z, kivéve az + = henger belsejét. a Minden,, z ahol z Minden,,z, ahol + z 9. f = ++z, f = ++z, f z = ++z. f = e + +z, f = e + +z, f z = ze + +z. f = /ch ++z, f = /ch ++z, f z = /ch ++z 5. t = π sinπt α, α = sinπt α h h h 7. = sinφ cosθ, = ρ cosφ cosθ, = ρ sinφ sinθ ρ φ θ 9. W p P,V,δ,v,g = V, W V P,V,δ,v,g = P+ δv g, W δ P,V,δ,v,g = V g v, W vp,v,δ,v,g = V g δv, W g P,V,δ,v,g = V δv g.. = +, = +, f =, f = f = f =, g g = +cos, = sin+sin, g = sin, g = cos,
21 . fejezet kiválasztott feladatainak megoldásai 5 g = +cos r 5. = +, r = +, r =, r =, + + r = r = + w 7. = +, w = +, w = w = 6 + w 9. = + +, w = + +, w = w +6 + w u w u w u z 9. = z t t + z t, z s = z s + z s z w w z w 5. a először először c először d először e először a először z z z z 5. f, =, f, = t t t s s s 59. A a = a bcsina 6. v = lnv lnulnv A b = ccosa b bcsina w. s = dw du u s, w t = dw du u t w w 77. Igen dw du dw du.. A láncszabál u u s u u t. a dw dt =,. a dw dt =, dw dt π = dw dt = 5. a dw dt = t arctgt +, dw dt = π + 7. a z u = cosvlnusinv+cosv, z v = usinvlnusinv+ ucos v sinv z u = ln+, z v = ln 9. a w w u = u+uv, v = v+u w w u =, v =. a u u =, = z, u z z = z u u =, dz. dt = z d dt + z = d dt z d dt z t z d dt =, u z = w 5. u = w u + w u + w z z u, w v = w v + w v + w z z v w w w u u u w z z u w 7. u = w u + w u, w v = w v + w v z w w w w z z z s t w. r = w d dr + w d dr = w d d dr, mivel dr = w s = w d ds + w d ds = w d d ds, mivel ds = w r w r w = r w = s w s w 5. / 7. /5 9. z =, z = z z. =, = z z 7. =, u v = 9.,5 A/s 5. cos, sin, és cos, sin, 7. a Maimum, -nél és minimum, -nél és Ma.=6, Min.= t + dt s, -nél,, -nél..5. Iránmenti deriváltak és gradiens vektor. D f = i + j, =., D g = i + j =
22 5 Megoldások 5. f = i+j k 7. f = 7 6 i+ 5 j 5 k 9.. / u = i+ j, D u f P =, u = i j, D u f P = 9. u = i 5 j k, D u f P = u = i+ 5 j+ k, D u f P =. u = i+j+k, D u f P =, u = i+j+k, D u f P =. + = f i j, = + 5. D = 7. u = 7 5 i 5 j, u = 7 5 i+ 5 j f = i + j 9. Nem, a változás maimális gorsasága 85 <. 7 5 =,.6. Érintősíkok és differenciálok. a ++z = = +t, = +t, z = +t. a z = = t, =, z = +t 5. a ++z = = t, = +t, z = +t 7. a ++z = = t, = +t, z = t 9. z =. +z =. =, = +t, z = t 5. = t, =, z = + t 7. = +9t, = 9t, z = 9. d f = 9 8,8. dg =. a sin cos,95 sin cos,87 5. a L, = L, = + 7. a L, = +5 L, = a L, = + L, = + π. L, = 7+ 6;,6. L, = ++;,8 5. L, = +;, 7. a L,,z = ++z ; L,,z = +z c L,,z = 9. a L,,z = ; L,,z = + c L,,z = + + z. a L,,z = + L,,z = z+ π + c L,,z = z+ π +. L,,z = 6 z+6;, 5. L,,z = + z ;,5 7. Maimális becslési hiba, 9. Maimális hiba százalékban ±,8% 5. A két dimenzió közül a kisebbnek kell több figelmet szentelni, mert az eredménez nagobb parciális deriváltat. 5. a,% 55. f a legérzékenebb d változására. 57. Q a h-beli változásokra a legérzékenebb. 6. π -nél π ; -nál ; π -nél π.7. Szélsőértékek és neregpontok. f, = 5, lokális minimum. f, =, lok.ma. 5. f,, neregpont 7. f 65, 5 69, neregpont 9. f,, neregpont. f, = 6, lok.min.. f,, neregpont 5. f,, neregpont 7. f,, neregpont; f, = 7 7, lok.min. 9. f, =, lok.min.; f,, neregpont. f,, neregpont; f 9, = 6 8, lok.min.. f,, neregpont; f, =, lok. min.; f, =, lok.ma.; f,, neregpont 5. f,, neregpont; f, =, f, =,lok.ma. 7. f, =, lok.ma. 9. fnπ,, neregpont; fnπ, = minden n-re. Absz.ma.:,,-nál; absz.min.: 5,,-nél. Absz.ma.:,,-nél; absz.min.:,,-nál 5. Absz.ma.:,,--nál; absz.min.:,,--nél 7. Absz.ma.:,,-nál; absz.min.:,, π -nél,, π -nél,, π -nél,, π -nél 9. a =, b =. Legmelegebb: leghidegebb,, -nál., -nél és, -nél; a. a f,, neregpont f,, lok.min. c f,, lok.min.; f,, neregpont 9. 6,, a A félkörön ma f =, t = π/-nél, min f =, t = π-nél. A negedkörön ma f =, t = π/-nél, min f =, t =,π/-nél. A félkörön ma g =, t = π/-nél, min g =, t = π/- nél. A negedkörön ma g =, t = π/-nél, min g =, t =,π/-nél. c A félkörön ma h = 8, t = -nál, π-nél, min h =, t = π/- nél. A negedkörön ma h = 8, t = -nál, min h =, t = π/-nél. 55. i min f = /, t = /-nél; ma nincs; ii ma f =, t = nél, t = -nál; min f = /, t = /-nél, iii ma f =, t = -nél; min f =, t = -nál. 57. = + 9, = = = + 6, = = 7 6
23 . fejezet kiválasztott feladatainak megoldásai 5 6. =,+,59 Gakorló feladatok 8 6. Értelmezési tartomán: minden, ; értékkészlet: z ; szintvonalak: ellipszisek, nagtengel az -tengelen, kistengel az -tengelen 6. a z = 9 =,7K + 76,8 c Lagrange-multiplikátorok. ±,, ±,. 9 5.,± 7. a r = cm h = cm. Hossz=, szélesség=. f, = min., f, = ma. 5. Legalacsonabb=, legmagasabb=5 7.,, 5 9..,,,,,. f,,5 = ma., f,, 5 = min. 5.,, 7.,, egség 9. ±/, /, /. U8, = $8. f/,/, / = 5.,, 7. Maimum=+6, ± 6,,-nél; minimum= 6, ± 6,,-nél 9. Ma.=,, ± -nél; min.=, ±,±,-nál. Értelmezési tartomán: minden, amire, ; értékkészlet: z ; szintvonalak: hiperbolák, aszimptotáik az - és -tengel 5. Értelmezési tartomán: minden,, z pont; értékkészlet: minden valós szám; szintfelületek: forgásparaboloidok, tengelük a z-tengel 7. Értelmezési tartomán: minden,, z, ahol,, z,, ; értékkészlet: pozitív valós számok; szintfelületek: gömbök, origó középponttal, pozitív sugárral. z =.9. Feltételes parciális deriváltak. a +z c +z. a U P + U T 5. a r θ = cosθ r VnR U nr P V + U T = +.. Kétváltozós Talor-formula. Másodfokú: +; harmadfokú: ++. Másodfokú: ; harmadfokú: 5. Másodfokú: + ; harmadfokú: Másodf.: + = + ; harmadf.: + 9. Másodfokú: ++++ harmadfokú: Másodfokú: ; E,, 9.. /. 5. Legen = k, k 7. Nem; lim,, f, nem létezik 9.. g g = cosθ + sinθ, = r sinθ + r cosθ r θ R =, R R =, R R = R. P n = RT V, P R = nt V, P T = nr V, P V = nrt V g =, g =, g = g = f = +, f =, f + = f =
24 5 Megoldások dw t= 9. dt = w r,s=π,. r =, w s = π r,s=π, d f. dt = sin+cossin+ t= +cos + coscos sin + cossin d 5. d =,=, 7. Leggorsabb növekedés irána: u= leggorsabb csökkenés irána: u = D u f = ; D u f = i+ i j; j; ; D u f = 7, ahol u = v v 9. Leggorsabb növekedés irána: u= 7 i+ 7 j+ 6 7 k; leggorsabb csökkenés irána: u = 7 i 7 j 6 7 k; D u f = 7; D u f = 7; D u f = 7, ahol u = v v. π/. a f, = f, = / z = z Ñf½,, = j + k 75. Absz.ma.: 8,,-nál; absz.min.:,,-nál 77. Absz.ma.:,,-nál; absz.min.:,, -nél 79. Absz.ma.:,, ±-nél és,-nál; absz.min.:,,-nál 8. Ma.: 5,,-nél; min.: /,, /-nál 8. Ma:,,, -nál; min:,,, -nál 85. Szélesség: c V ab /, mélség: b V ab /, magasság: a V ab / 87. Ma.:,, -nél és min.:,,,, -nél;, -nél -nél és, 89. a + ze z e z z c + e z 9. w = cosθ w r sinθ r 97. t, t ±,t, t valós w θ, w w = sinθ r cosθ r w θ Ñf½,, = j Ñf½,, = j k Az anag alaposabb elsajátítását segítő további feladatok. f, =, f, = 7. Érintősík: 5z = ; normálegenes: = +t, = t, z = 5t 9. z = 5. Érintő: + = π + ; normálegenes: = π + = + + = + = + sin 5. = t, =, z = /+t 55. A válasz f, f, f -ra megállapított felső korláttól függ. Ha M = /, akkor E,. Ha M =, E,. 57. L,,z = z, L,,z = + z 59. Ügeljünk nagon az átmérőre. 6. di =,8, %-os változása I-nek: 5,8%, érzékenebb a feszültségre 6. qbf a 5% 65. lokális minimum: 8,, -nél 67. Neregpont,-nál, f, = ; lok.ma.:/, /, /-nél 69. Neregpont,-nál, f, = ; lok.min.:,,-nél; lok.ma.:,, -nál; neregpont, -nél, f, = 7. Absz.ma.: 8,,-nál; absz.min.: 9/, /,-nál 7. Absz.ma.: 8,, -nél; absz.min.: 7/,, /- nél 7. c r = + + z. V = 7. f, = +, g, = = ln sin +ln abc. a 5 i+7j i 7j+58k. w = e c π t sinπ 5. fejezet 5.. Kettős integrál. 6. π ln8 6+e
25 5. fejezet kiválasztott feladatainak megoldásai e 9.. ln. /6 5. / π ln π dd =. / d d. dd 6. T azon, pontok halmaza, amelekre + < 5. e ln dd / 6dd 6. Nem, Fubini tétele szerint a két megoldásnak uganaz az eredméne kell legen. 67.,6 69., 9. dd. 5.. Terület, nomaték, tömegközéppont. dd = vag dd =. e 5.. dd = 9 5. ln e dd = 7. /8π 7. dd = ,.65 =.5
26 56 Megoldások.. 5. a π = = 6 5, = 5/7. =, = /π 5. = = a/π 7. I = I = π,i = 8π 9. =, = /. I = 5 6,R = 7. = /8, = 7/6 5. = /, = /7,I =,R = 7. =, = /,I = 7/5,R = / 9. =, = 7/;I = 9/,I = /,I = 6/5; R = 6,R =,R = 5. e ln7/ 9. Ha < a 5/, akkor a szerkezetnek 5 -nál nagobb szögben kell megdőlnie, hog felboruljon. 5., = π, 7. a / Uganazok. 5. a 7/5, / 9/7, 8/7 c 9/, 9/8 d /, /6 55. Ahhoz, hog a tömegközéppont a határon legen, h = a kell legen. Hog belül legen, h > a 5.. Kettős integrálás polárkoordinátákkal. π/. π/8 5. πa lnπ. ln π/. π/+ 5. πln 7. π 9. π. π π 7. = 5/6, = 9. a. a. π e π 8 7. a 9. π ln, nem. a + h 5.. Hármas integrál derékszögű koordináta-rendszerben. /6. / dz dd, z/ ddz d, / π / dzdd, z/ z/ dd dz, 5. / / z/ ddzd, Mind a hat integrál értéke. 8 dzdd, + 8 dzdd, z/ / z/ d ddz z z ddzd+ 8 z ddzd, z 8 8 z 8 z z z dddz+ 8 z 8 z z dddz, z 8 8 z z ddzd+ ddzd 8 z z z z z dddz+ dddz 8 8 z z z Mind a hat integrál értéke 6π. π cos / π. a ddzd z z dddz c z dddz d e ddzd dzdd. / 5. / /. 8π. 5. π 7. / 9.. sin. 5. a = vag a = / 7. Az értelmezési tartomán mindazon,, z pontok halmaza, amelekre + + z Tömeg és nomaték három dimenzióban. R = b +c,r a = +c,r a z = +b. I = M b + c,i = M a + c,i z = M a + c 5. = =, z = /5, I = 79/5 75,8, I = 8/6 76,7, I z = 56/5 5,69 7. a = =,z = 8/ c = 9. I L = 86,R L = 77. I L =,R L = 5. a / = /5, = z = /5
27 5. fejezet kiválasztott feladatainak megoldásai a 5/ = = z = 8/5 c I = I = I z = /6 d R = R = R z = a g g. a I tkp. = abca +b,r tkp. = I L = abca +7b,R L = 7. a h = a h = a a +b a +7b 5.6. Hármas integrálok henger- és gömbi koordináta-rendszerben. π 7π π π 9. π r. a r dzdr dθ π π r dr dzdθ + r π c r dθ dzdr π/ π/ π π/ π/ π/ cosθ sinθ r fr,θ,zdz r dr dθ r sinθ fr,θ,zdz r dr dθ +cosθ fr,θ,zdz r dr dθ secθ r sinθ. π π. a π π/6 π fr,θ,zdz r dr dθ π ρ sinφ dρ dφ dθ + π π/ + cscφ π/6 arcsin/ρ π/6 5. π6 8 r dr dzdθ 5. 5π 7. π ρ sinφ dρ dφ dθ ρ sinφ dφ dρ dθ π π/ π π π π/ π/ 9. a 8. a cosφ π + cosφ π/ cosφ π/ π/ 8 c 8 π π c π/6 ρ sinφ dφ dρ dθ ρ sinφ dρ dφ dθ = π 6 ρ sinφ dρ dφ dθ = 8π ρ sinφ dρ dφ dθ = π ρ sinφ dρ dφ dθ r r dzdr dθ dz dd π/ secφ r ρ sinφ dρ dφ dθ r dzdr dθ dzdd d 5π/. 8π/ 5. 9/ πa π π8 π π/ 5. π/ 57. 6π 59. 5π/ 6. / 65. / 67. = =,z = /8 69.,,z =,,/ = =,z = 5/6 7. I z = π,r z = a hπ 75. I = π/ a,,z =,, 5,I z = π,r z =,,z =,, 5 6,I z = π 5,R z = 8.,,z =,, h + h h+6,i z = πa h + h,r z = a 85. M πr
28 58 Megoldások 89. A felszín r = fz egenlete mutatja, hog az r,θ,z = = fz,θ,z pont minden θ esetén a felületen van. fz,θ + +π,z a felületen van, ha fz,θ,z a felületen van, íg a felület szimmetrikus a z-tengelre. ln7 9. sin.. / 5. / 7. / 9. = = ln. I =. I = δ,r = 5. M =,M =,M = 7. π 9. = π, =. a = 5π+ 6π+8, = 5.7. Helettesítés többes integráloknál. a = u+v v u, = ; Háromszögtartomán, határai: u=, v=, u + v =. a = 5 u v, = v u; Háromszögtartomán, határai: v=u, v=u, u + v = 7. 6/5 9. u+v u 5 dudv = 8+ v ln πaba + b.. + e, a cosv usinv sinv ucosv = ucos v+usin v = u sinv ucosv cosv usinv = usin v ucos v = u 9.. Gakorló feladatok. 9e 9. 9/ a b c 6. π /5 9. π/.. a π π/ c π8 π π/ secφ + 5/ dzdd + ρ sinφ dρ dφ dθ ρ sinφ dρ dφ dθ = π z dzdd+ 9. a 8π 5 5. I z = 8πδb5 a 5 5 z dzdd 8π 5 Az anag alaposabb elsajátítását segítő további feladatok 5. dd = 7. / 9 dd = 9. a c 5/ 6 dd. π 5. π/ 6 dz dd + 7. a Luk sugara =, gömb sugara =. π 9. π/. ln ba 5. / 7. Tömeg = a b arccos b a a b, I = a b arccos b a a b b 6 a b /
29 6. fejezet kiválasztott feladatainak megoldásai 59 b 9. ab ea. c 5. h = cm, h = [ ] 6 cm 7. π 6. fejezet 6.. Vonalintegrál. c ábra. g ábra 5. d ábra 7. f ábra ln ba a + ln+ 7. I z = πδa, R z = a 9. a I z = π δ, R z = I z = π δ, R z =. I = π,r = 6.. Vektormezők, cirkuláció, munka, áramlás. f = i+j+zk + + z /. g = i j+e + + z k 5. F = k + / i k + / j,bármel k > 7. a 9/ / c 9/ 9. a / - /5 c. a / c /. / 5. π 7. 69/ 9. 9/. 5/6. a cirk =, cirk = π, flu = π, flu = cirk =, cirk = 8π, flu = 8π, flu = 5. cirk =, flu = a π 7. cirk = a π, flu = 9. a π c.. a G = i+j G = + F 5. F = i+j π Útfüggetlenség, potenciálfüggvén, konzervatív vektormező. Konzervatív. Nem konzervatív 5. Nem konzervatív 7. f,,z = + + z +C 9. f,,z = e +z +C. f,,z = ln +tg++ ln + z +C ln.. 7. F = 9. a c. a. a c = b = a c = b = 5. Bármelik utat választhatjuk. A munka mindig uganakkora, mivel a mező konzervatív. 7. Az F erő konzervatív, mivel az M, N és P parciális deriváltja mind nulla. f,,z = a + b+cz +C; A = a,a,za és B = b,b,zb. Ezért F dr = fb fa = ab a+ + bb a+czb za = F AB. 6.. Green-tétel a síkban. fluus =, cirk. = πa. fluus = πa, cirk. = 5. fluus =, cirk.= 7. fluus = 9, cirk. = 9 9. fluus = /, cirk. =/. fluus = /5, cirk. = /. 5. / π. πa. 8 π 5. a π, ha C pozitív iránítású h k a tartomán területe 5. a 6.5. Felület felszíne és felületi integrál. π π c + 9. π ln. 9a abc 5. ab+ac+bc πa. πa 6. πa a. a, a, a 5.,,z =,, 9, Iz = 5π δ, R z =
30 5 Megoldások 7. a 8π a δ π a δ 9. π 6. 5π Paraméteresen adott felületek. rr,θ = r cosθi+r sinθj+r k, r, θ π. rr,θ = r cosθi+r sinθj+r/k, r 6, θ π/ 5. rr,θ = r cosθi+r sinθj+ 9 r k, r /, θ π; tehát rφ,θ = sinφ cosθi+sinφ sinθj+cosφk, φ π/, θ π 7. rφ,θ = sinφ cosθi+ sinφ sinθj+ + cosφk, π/ φ π/, θ π 9. r, = i+j+ k,,. ru,v = ui+cosvj+sinvk, u, v π. a rr,θ = r cosθi+r sinθj+ r cosθ r sinθk, r, θ π ru,v = ucosv usinvi+ucosvj+usinvk, u, v π 5. ru,v = cos vi+uj+cosvsinvk, u, π/ v π/; Más módon: ru,v = +cosvi+uj+sinvk, u, v π π 5 π π 5 r dr dθ = r 5dr dθ = 8π 5 π du dv = 6π π u u + du dv = π π π/ sinφ dφ dθ = + π π. S 5 z dσ = π = u cos v u + u u + dv du = π = u u + cos v dv du = π πa a π/. 7π/6 5. a/, a/, a/ 7. 8δπa / π π [ 55. A = a b sin φ cos φ + b c cos φ cos θ = Stokes-tétel + a c cos φ sin θ ] / dφ dθ. π. 5/ π 9. πa. π 5. π/ 7. 5π 5. 6I + 6I S S dσ = u u + du dv = 7 7 dσ = z dσ = π π S amenniben = u, = v sin φ cos θ dφ dθ = π u v dv du = 6.8. Gauss Osztrogradszkij-tétel π 9. π. /. π 5. π. Az integrál értéke soha nem haladja meg a felület felszínét.
31 6. fejezet kiválasztott feladatainak megoldásai 5 Gakorló feladatok. Út: ; Út: +. a π sin 9.. π. π abc a b c 9. rφ,θ = 6sinφ cosθi+6sinφ sinθj+6cosφk, π 6 φ π, θ π. rr,θ = r cosθi+r sinθj++rk, r, θ π. ru,v = ucosvi+u j+usinvk, u, v π [ +ln+ ] π 9. Konzervatív. Nem konzervatív. f,,z = + z++z 5. Út : ; út : 8/ 7. a e π e π 9.. a +ln+.,,z =, 6 5, ; I = 5, I = 6 5, I z = 56 9, R = 9 5, R =, R z = z =, I z = 7 7, R z = 7.,,z =,,9/, I z = 6π, R z = 9. fluus: /; cirk.: / π π Az anag alaposabb elsajátítását segítő további feladatok. 6π. / 5. a F,,z = zi+j+k F,,z = zi+k c F,,z = zi 7. 6πR 9. a =, b =. A flu minimuma.. 6 g c Munka = g ds = g. c πw 9. Akkor, ha F = i+j. C C ds = 6 g
Írja át a következő komplex számokat trigonometrikus alakba: 1+i, 2i, -1-i, -2, 3 Végezze el a műveletet: = 2. gyakorlat Sajátérték - sajátvektor 13 6
Építész Kar Gakorló feladatok gakorlat Számítsa ki az alábbi komple számok összegét, különbségét, szorzatát, hánadosát: a/ z = i z = i b/ z = i z = - 7i c/ z = i z = i d/ z = i z = i e/ z = i z = i Írja
RészletesebbenKétváltozós függvények ábrázolása síkmetszetek képzése által
Kétváltozós függvének ábrázolása síkmetszetek képzése által ) Ábrázoljuk a z + felületet! Az [,] síkkal párhuzamos síkokkal z c) képzett metszetek körök: + c, tehát a felület z tengelű forgásfelület; Az
RészletesebbenTöbbváltozós analízis gyakorlat, megoldások
Többváltozós analízis gakorlat, megoldások Általános iskolai matematikatanár szak 7/8. őszi félév. Differenciál- és integrálszámítás alkalmazásai. Határozzuk meg az alábbi differenciálegenletek összes,
RészletesebbenKoordinátarendszerek
Koordinátarendszerek KO 1 Koordinátarendszerek Ponthalmazok előállításai Koordinátarendszerek KO Két gyakran alkalmazott síkbeli koordinátarendszer Derékszögű (Descartes féle) koordinátarendszer Síkbeli
RészletesebbenHatárérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és
2015.09.28. és 2015.09.30. 2015.09.28. és 2015.09.30. 1 / Tartalom 1 A valós függvén fogalma 2 A határérték fogalma a végtelenben véges pontban Végtelen határértékek 3 A határértékek kiszámítása A rend
Részletesebben1) Adja meg a következő függvények legbővebb értelmezési tartományát! 2) Határozzuk meg a következő függvény értelmezési tartományát!
Függvének Feladatok Értelmezési tartomán ) Adja meg a következő függvének legbővebb értelmezési tartománát! a) 5 b) + + c) d) lg tg e) ln + ln ( ) Megoldás: a) 5 b) + + = R c) és sosem teljesül. d) tg
RészletesebbenMatematikai analízis II.
Matematikai analízis II. Feladatgyűjtemény GEMAN6-B Gazdaságinformatikus, Programtervező informatikus és Mérnökinformatikus hallgatók részére Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia 6 . feladatlap Implicit függvények
Részletesebben7. Kétváltozós függvények
Matematika segédanag 7. Kétváltozós függvének 7.. Alapfogalmak Az A és B halmazok A B-vel jelölt Descartes-szorzatán azt a halmazt értjük, melnek elemei mindazon a, b) rendezett párok, amelekre a A és
RészletesebbenVIK A3 Matematika, Gyakorlati anyag 2.
VIK A3 Matematika, Gyakorlati anyag 2. 208. november Sorok. Konvergensek-e az alábbi sorok? Ha igen, adjuk meg a határértéküket! n(n+3) n(n+)(n+2) 9n 2 3n 2 ( n + 2 2 n + + n) 2n+ n 2 (n+) 2 (f) ( 3) k+2
RészletesebbenMatematika II. Feladatgyűjtemény GEMAN012B. Anyagmérnök BSc szakos hallgatók részére
Matematika II. Feladatgyűjtemény GEMANB Anyagmérnök BSc szakos hallgatók részére Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia 6 . gyakorlat Matematika II.. Az alábbi f függvényeknél adja meg f -t! f() = + 5; (b) f()
Részletesebbenx 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx
Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos
Részletesebben15. Többváltozós függvények differenciálszámítása
5. Többváltoós függvének differenciálsámítása 5.. Határoa meg a alábbi kétváltoós függvének elsőrendű parciális derivált függvéneit és a gradiens függvénét, valamint eek értékét a megadott pontban:, =
RészletesebbenEgyváltozós függvények differenciálszámítása II.
Egváltozós függvének differenciálszámítása II.. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Végezzen teljes függvénvizsgálatot! A függvénvizsgálat szokásos menete:. Értelmezési tartomán, tengelmetszetek 2. Szimmetriatulajdonságok:
RészletesebbenMAGYARÁZAT A MATEMATIKA NULLADIK ZÁRTHELYI MINTAFELADATSOR FELADATAIHOZ 2010.
MAGYARÁZAT A MATEMATIKA NULLADIK ZÁRTHELYI MINTAFELADATSOR FELADATAIHOZ 00.. Tetszőleges, nem negatív szám esetén, Göktelenítsük a nevezőt: (B). Menni a 0 kifejezés értéke? (D) 0 0 0 0 0000 400 0. 5 Felhasznált
RészletesebbenFelügyelt önálló tanulás - Analízis III.
Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:
Részletesebbensin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
RészletesebbenKettős és többes integrálok
Kettős és többes integrálok ) f,) + + kettős integrálja az, tartománon Megoldás: + + dd 6 + 6 + 8 + 9 + ] + + ] d 8 + 8 + ) f,) sin + ) integrálja a, tartománon Megoldás: ] d + 9 + d + + 68 8 7,5 + sin
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenFüggvények. 1. Nevezetes függvények A hatványfüggvény
Függvének Tétel: Ha az = ϕ() függvén az = f () függvén inverze, akkor = ϕ() függvén grafikonja az = f () függvén képéből az = egenesre való tükrözéssel nerhető. Tétel: Minden szigorúan monoton függvénnek
RészletesebbenInverz függvények Inverz függvények / 26
Inverz függvének 2015.10.14. Inverz függvének 2015.10.14. 1 / 26 Tartalom 1 Az inverz függvén fogalma 2 Szig. monoton függvének inverze 3 Az inverz függvén tulajdonságai 4 Elemi függvének inverzei 5 Összefoglalás
RészletesebbenGyakorló feladatok a 2. zárthelyihez. Kidolgozott feladatok
Gakorló feladatok a. zárthelihez Kidolgozott feladatok. a) Határozzuk meg a függesztőrúd négzetkeresztmetszetének a oldalhosszát cm-re kerekítve úg, hog a függesztőrúdban ébredő normálfeszültség ne érje
RészletesebbenTeljes függvényvizsgálat példafeladatok
Teljes függvénvizsgálat példafeladatok Végezz teljes függvénvizsgálatot az alábbi függvéneken! Az esetenként vázlatos megoldásokat a következő oldalakon találod, de javaslom, hog először önállóan láss
Részletesebben1 1 y2 =lnec x. 1 y 2 = A x2, ahol A R tetsz. y =± 1 A x 2 (A R) y = 3 3 2x+1 dx. 1 y dy = ln y = 3 2 ln 2x+1 +C. y =A 2x+1 3/2. 1+y = x.
Mat. A3 9. feladatsor 06/7, első félév. Határozzuk meg az alábbi differenciálegenletek típusát (eplicit-e vag implicit, milen rendű, illetve fokú, homogén vag inhomogén)! a) 3 (tg) +ch = 0 b) = e ln c)
Részletesebben5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11
Bodó Beáta ISMÉTLÉS. ch(6 d.. 4.. 6. 7. 8. 9..... 4.. e (8 d ch (9 + 7 d ( + 4 6 d 7 8 + d sin (4 + d cos sin d 7 ( 6 + 9 4 d INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 7 6 sh(6 + c 8 e(8 + c 9 th(9 + 7 + c 6 ( + 4 7 + c = 7 4
RészletesebbenA képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss)
Gyakorló feladatok (Ép. matek). Komple számok: A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) ) Számítsa ki a következő
Részletesebbencos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4
Integrálszámítás I. Végezze el a következő integrálásokat:. α, haα sin() cos() e f) a sin h) () cos ().. 5 4 ( ) e + 4 sin h) (+) sin() sin() cos() + f) 5 i) cos ( +) 7 4. 4 (+) 6 4 cos() 5 +7 5. ( ) sin()cos
RészletesebbenMatematika OKTV I. kategória 2017/2018 második forduló szakgimnázium-szakközépiskola
O k t a t á s i H i v a t a l A 017/018. tanévi Országos Középiskolai Tanulmáni Versen második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató 1. Adja meg
RészletesebbenAnalízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport
Analízis I. zártheli dolgozat javítókulcs, Informatika I. 0. okt. 9. Elméleti kérdések A csoport. Hogan számíthatjuk ki két trigonometrikus alakban megadott komple szám szorzatát más alakba való átváltás
RészletesebbenElemi függvények. Nevezetes függvények. 1. A hatványfüggvény
Elemi függvének Tétel: Ha az = ϕ() függvén az = f () függvén inverze, akkor = ϕ() függvén grafikonja az = f () függvén képéből az = egenesre való tükrözéssel nerhető. Tétel: Minden szigorúan monoton függvénnek
RészletesebbenTöbbváltozós függvények Feladatok
Többváltozós függvények Feladatok 2. szeptember 3. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét illetve torlódási pontjait!. ( n n2 + n n 3 2. ( n + n n5 n2 +2n+ 5 n n+ 3. ( sin(nπ/2 n n! Határozzuk
RészletesebbenStatika gyakorló teszt I.
Statika gakorló teszt I. Készítette: Gönczi Dávid Témakörök: (I) közös ponton támadó erőrendszerek síkbeli és térbeli feladatai (1.1-1.6) (II) merev testre ható síkbeli és térbeli erőrendszerek (1.7-1.13)
RészletesebbenMásodfokú függvények
Másodfokú függvének Definíció: Azokat a valós számok halmazán értelmezett függvéneket, amelek hozzárendelési szabála f() = a + bc + c (a, b, c R, a ) alakú, másodfokú függvéneknek nevezzük. A másodfokú
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
RészletesebbenBodó Bea, Somonné Szabó Klára Matematika 2. közgazdászoknak
ábra: Ábra Bodó Bea, Somonné Szabó Klára Matematika. közgazdászoknak III. modul: Többváltozós üggvének 5. lecke: Többváltozós üggvének, parciális deriválás Tanulási cél: Megismerkedni a többváltozós üggvének
Részletesebben1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?
. Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,
RészletesebbenKettős integrál Hármas integrál. Többes integrálok. Sáfár Orsolya május 13.
2015 május 13. Kétváltozós függvény kettősintegráljának definíciója Legyen f (x, y), R 2 R korlátos függvény egy T korlátos és mérhető területű tartományon. Vegyük a T tartomány egy felosztását T 1, T
RészletesebbenNULLADIK MATEMATIKA szeptember 7.
A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 0. szeptember Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható. Válaszait csak az üres mezőkbe írja! A javítók a szürke
RészletesebbenAz f ( xy, ) függvény y változó szerinti primitív függvénye G( x, f xydy= Gxy + C. Kétváltozós függvény integrálszámítása. Primitívfüggvény.
Tartalomjegyzék Kétváltozós függvény integrálszámítása... Primitívfüggvény... Kettősintegrál... A kettősintegrál téglalap tartományon... A kettősintegrál létezésének szükséges feltétele... 3 Illusztráció...
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
Részletesebben10. Differenciálszámítás
0. Differenciálszámítás 0. Vázolja a következő függvények, és határozza meg az értelmezési tartomány azon pontjait, ahol nem differenciálhatóak: a, f() = - b, f()= sin c, f() = sin d, f () = + e, f() =
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
Részletesebben10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET
.. A MÁSODFOKÚ EGYENLET A másodfokú egenlet és függvén megoldások w9 a) ( ) + ; b) ( ) + ; c) ( + ) ; d) ( 6) ; e) ( + 8) 6; f) ( ) 9; g) (,),; h) ( +,),; i) ( ) + ; j) ( ) ; k) ( + ) + 7; l) ( ) + 9.
Részletesebben0, különben. 9. Függvények
9. Függvények 9.. Ábrázolja a megadott függvényeket, és vizsgálja meg a függvények korlátosságát, monotonitását, konveitását, paritását, előjelét, zérushelyeit, periodicitását és határozza meg a valós
RészletesebbenMatematika I. Vektorok, egyenesek, síkok
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,
RészletesebbenA Descartes derékszög½u koordinátarendszert az i; j; k ortonormált bázis feszíti ki. Egy
8 Görbevonalú koordináták A Descartes derékszög½u koordinátarendszert az i; j; k ortonormált bázis feszíti ki. Egy tetsz½oleges pont helyvektora ebben a bázisban r =xi+yj+zk ahol x; y; z a pont ún. Descartes-féle
RészletesebbenFelületek differenciálgeometriai vizsgálata
Felületek differenciálgeometriai vizsgálata Felületek differenciálgeometriai értelemben Felület: Olyan alakzat, amely előállítható az (u,v) sík egy összefüggő tartományán értelmezett r(u,v) kétparaméteres
RészletesebbenFeladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához
Feladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához Dr. Nagy Gábor, Geometria Tanszék 2010. szeptember 16. Görbék paraméterezése 1. feladat. (A) Bizonyítsuk be a vektoriális szorzatra vonatkozó
RészletesebbenMatematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
RészletesebbenA statika és dinamika alapjai 11,0
FA Házi feladatok (A. gakorlat) Adottak az alábbi vektorok: a=[ 2,0 6,0,2] [ 5,2,b= 8,5 3,9] [ 4,2,c= 0,9 4,8] [,0 ],d= 3,0 5,2 Számítsa ki az alábbi vektorokat! e=a+b+d, f =b+c d Számítsa ki az e f vektort
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
RészletesebbenANALÍZIS II. Példatár
ANALÍZIS II. Példatár Többszörös integrálok 3. április 8. . fejezet Feladatok 3 4.. Kett s integrálok Számítsa ki az alábbi integrálokat:...3. π 4 sinx.. (x + y) dx dy (x + y) dy dx.4. 5 3 y (5x y y 3
RészletesebbenLengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7.
ME, Anaĺızis Tanszék 2010. április 7. , alapfogalmak 2.1. Definíció A H 1, H 2,..., H n R (ahol n 2 egész szám) nemüres valós számhalmazok H 1 H 2... H n Descartes-szorzatán a következő halmazt értjük:
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 7 VII VEkTORANALÍZIS 1 ELmÉLETI ALAPOk Az u függvényt skalár-vektor függvénynek nevezzük, ha értelmezési tartománya a háromdimenziós tér vektorainak halmaza, a függvényértékek
Részletesebbenn 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,
205.05.9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h() = 3 2 függvény deriváltját az = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket:
RészletesebbenSzabadsugár. A fenti feltételekkel a folyadék áramlását leíró mozgásegyenlet és a kontinuitási egyenlet az alábbi egyszerű alakú: (1) .
Szabadsugár Tekintsük az alábbi ábrán látható b magasságú résből kiáramló U sebességű sugarat. A résből kiáramló és a függőleges fal melletti térben lévő foladék azonos. A rajz síkjára merőleges iránban
RészletesebbenSzámsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n
Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának
RészletesebbenTöbbváltozós függvények Riemann integrálja
Többváltozós üggvének Riemann integrálja Többváltozós üggvének Riemann integrálja Többváltozós üggvének Riemann integrálja Az integrál konstrukciója tetszőleges változószám esetén Deiníció: n dimenziós
RészletesebbenKoordináta-geometria alapozó feladatok
Koordináta-geometria alapozó feladatok 1. Határozd meg az AB szakasz felezőpontját! (1,5 ; 3,5) (0,5 ; ) (6,5 ; 8,5) (4,5 ; ) (0,5 ; 1,5) (0 ; 0) (0 ; 8,5) (1 ; 1) ( 1,5 ; ) (3,5 ; 3) (0 ; 3) ( 1 ; 1,5).
RészletesebbenKalkulus II., harmadik házi feladat
Név: Neptun: Web: http://mawell.sze.hu/~ungert Kalkulus II., harmadik házi feladat.,5 pont) Határozzuk meg a következ határértékeket: ahol a) A =, ), b) A =, ), c) A =, ).,) A Az egszer bb kezelhet ség
Részletesebben6. Folytonosság. pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények
6. Folytonosság pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények Egy függvény egy intervallumon folytonos, ha annak miden pontjában folytonos. folytonos függvények tulajdonságai
RészletesebbenAnalízis II. gyakorlat
Analízis II. gyakorlat Németh Adrián 4. január 7. Tartalomjegyzék Előszó.................................................... Ismétlés................................................... Integrálás...............................................
Részletesebben2014/2015. tavaszi félév
Hajder L. és Valasek G. hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2014/2015. tavaszi félév Tartalom Geometria modellezés 1 Geometria modellezés 2 Geometria modellezés
RészletesebbenExponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek
Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK:
24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n
Részletesebben1. Lineáris transzformáció
Lineáris transzformáció Lineáris transzformáció mátrixának felírása eg adott bázisban: Emlékeztető: Legen B = {u,, u n } eg tetszőleges bázisa az R n -nek, Eg tetszőleges v R n vektor egértelműen felírható
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 30 Egy
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek
1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egenletek, egenletrendszerek A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
RészletesebbenAnalízis III. gyakorlat október
Vektoranalízis Analízis III. gyakorlat 216. október Gyakorló feladatok és korábbi zh feladatok V1. Igazolja az alábbi "szorzat deriválási" szabályt: div(ff) = F, f + f div(f). V2. Legyen f : IR 3 IR kétszer
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális
RészletesebbenKalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt
27.2.2. Kalkulus I. NÉV:... A csoport KÓD:.... Adjuk meg a b n = 3n 7 9 2n sorozat infimumát, szuprémumát. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt (a) ( lim n 2 3n n 2 n 3) n ( ) 3n 5 3 2n,
RészletesebbenKalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat
. Házi feladat Beadási határidő: 07.0.. Jelölések x = (x,..., x n, y = (y,..., y n, z = (z,..., z n R n esetén. x, y = n i= x iy i, skalárszorzat R n -ben. d(x, y = x y = n i= (x i y i, metrika R n -ben
RészletesebbenSokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE
Sokszínû matematika. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Számsorozatok SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. A számsorozat fogalma, példák sorozatokra. A pozitív páros számok sorozatának n-edik
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 6 VI TÉRGÖRbÉk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk A térgörbe (1) alakú egyenletével írható le Ez a vektoregyenlet egyenértékű az (2) skaláris egyenletrendszerrel A térgörbe három nevezetes
Részletesebbenn n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )
Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )
Részletesebben1. Analizis (A1) gyakorló feladatok megoldása
Tartalomjegyzék. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása.................... Egyenl tlenségek, matematikai indukció, számtani-mértani közép....... Számsorozatok............................... 5... Számorozatok................................
RészletesebbenA fő - másodrendű nyomatékok meghatározása feltételes szélsőérték - feladatként
A fő - másodrendű nomatékok meghatározása feltételes szélsőérték - feladatként A Keresztmetszeti jellemzők című mappa első lakója eg ritkábban látható levezetést mutat be amel talán segít helesen elrendezni
RészletesebbenA loxodrómáról. Előző írásunkban melynek címe: A Gudermann - függvényről szó esett a Mercator - vetületről,illetve az ezen alapuló térképről 1. ábra.
1 A loxodrómáról Előző írásunkban melynek címe: A Gudermann - függvényről szó esett a Mercator - vetületről,illetve az ezen alapuló térképről 1. ábra. 1. ábra forrása: [ 1 ] Ezen a térképen a szélességi
RészletesebbenLíneáris függvények. Definíció: Az f(x) = mx + b alakú függvényeket, ahol m 0, m, b R elsfokú függvényeknek nevezzük.
Líneáris függvének Definíció: Az f() = m + b alakú függvéneket, ahol m, m, b R elsfokú függvéneknek nevezzük. Az f() = m + b képletben - a b megmutatja, hog a függvén hol metszi az tengelt, majd - az m
RészletesebbenGyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz
Gyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz Függvények. Viszgaljuk meg, hogy az alabbi fuggvenyek kozuk melyik injektv, szurjektv, illetve bijektv? F : N N, n n b) F : Q Q, c) F : R R, d) F : N N, n n e) F
Részletesebbena.) b.) c.) d.) e.) össz. 4 pont 2 pont 4 pont 2 pont 3 pont 15 pont
1. Az alábbi feladatok egszerűek, akár fejben is kiszámíthatóak, de a piszkozatpapíron is gondolkodhat. A megoldásokat azonban erre a papírra írja! a.) A 2x 2 5x 3 0 egenlet megoldása nélkül határozza
RészletesebbenMiskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék. oktatási segédanyag
Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék oktatási segédanyag Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 01. Köszönetnyilvánítás Az
RészletesebbenKinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek
Kinematika 2014. szeptember 28. 1. Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek 1.1. Vonatkoztatási rendszerek A test mozgásának leírása kezdetén ki kell választani azt a viszonyítási rendszert, amelyből
RészletesebbenAnalízis IV. gyakorlat, megoldások
Analízis IV. akorlat, meoldások BSc matematikatanár szakirán /. tavaszi félév. Differenciáleenletek Határozzuk me az alábbi differenciáleenletek összes, valamint a meadott feltételeket kieléítő meoldásait!.
RészletesebbenSerret-Frenet képletek
Serret-Frenet képletek Vizsgáljuk meg az e n normális- és e b binormális egységvektorok változását. e n = αe t + βe n + γe b, e t e n e n = 1 e n e n = 0 β = 0 e n e t = e n e t illetve a α = 1/R. Ugyanakkor
RészletesebbenMechanika. II. előadás március 4. Mechanika II. előadás március 4. 1 / 31
Mechanika II. előadás 219. március 4. Mechanika II. előadás 219. március 4. 1 / 31 4. Merev test megtámasztásai, statikai feladatok megtámasztás: testek érintkezése útján jön létre, az érintkezés során
RészletesebbenDierenciálgeometria feladatsor
Dierenciálgeometria feladatsor 1. Görbék paraméterezése 1. Határozzuk meg az alábbi ponthalmazok egy paraméteres el állítását: a a, b középpontú, r sugarú kör a síkban; b y = mx + b egyenlettel leírt egyenes
RészletesebbenÉrtelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,
25.2.8. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f() = ln(2 3) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f() = 2 3 + 2 2 2 + függvény szélsőértékeit
RészletesebbenMATEMATIKA HETI 5 ÓRA
EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2008 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT : 2008. június 5 (reggel) A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) MEGENGEDETT ESZKÖZÖK: Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus számológép
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek
1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egenletek, egenletrendszerek A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
Részletesebben1 2. Az anyagi pont kinematikája
1. Az anyagi pont kinematikája 1. Ha egy P anyagi pont egyenes vonalú mozgását az x = 1t +t) egyenlet írja le x a megtett út hossza m-ben), határozzuk meg a pont sebességét és gyorsulását az indulás utáni
Részletesebben8. előadás. Kúpszeletek
8. előadás Kúpszeletek Kör A k kört egyértelműen meghatározza C(a,b) középpontja és r sugara. A P pont pontosan akkor van k-n, ha CP=r. Vektoregyenlet: p-c = r. Koordinátás egyenlet: (X-a)2 + (Y-b)2 =
Részletesebben(x + 1) sh x) (x 2 4) = cos(x 2 ) 2x, e cos x = e
Az. gyakorlat HF-inak megoldása. Deriváljuk az alábbi függvényeket. sin x cos x = cos x sin x, x ln x = x / ln x + x x x, x x = x / = x/ = = e x cos x+e x sin x e x cos x cos x, x sin x ln x = + x x, x
RészletesebbenI. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25)
I. feladatsor () Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: (a) f(x) = (b) f(x) = x + 4 9x + (c) f(x) = (d) f(x) = 6x + 5 5x + f(x) = (f) f(x) = x + x + 5 x 6x + (g) f(x) = (h) f(x) =
RészletesebbenHÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai
HÁZI FELADATOK. félév. konferencia A lineáris algebra alapjai Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás.8. Döntse el, párhuzamosak-e a következő vektorpárok: a) a( ; ; 7) b(; 5; ) b) c(; 9; 5) d(8; 6;
Részletesebbena térerősség mindig az üreg falára merőleges, ezért a tér ott nem gömbszimmetrikus.
2. Gyakorlat 25A-0 Tekintsünk egy l0 cm sugarú üreges fémgömböt, amelyen +0 µc töltés van. Legyen a gömb középpontja a koordinátarendszer origójában. A gömb belsejében az x = 5 cm pontban legyen egy 3
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 19 XIX A HATÁROZOTT INTEGRÁL ALkALmAZÁSAI 1 TERÜLET ÉS ÍVHOSSZ SZÁmÍTÁSA Területszámítás Ha f az [a,b] intervallumon nemnegatív, folytonos függvény, akkor az görbe, az x tengely,
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenMegjegyzés: jelenti. akkor létezik az. ekkor
. Hármas Integrál. Bevezetés és definíciók A bevezetés első részében egy feladaton keresztül jutunk el a hármasintegrál definíciójához. Feladat: Legyen R korlátos test, és a testnek legyen az f(x, y, z
Részletesebben