Segédanyag a Leíró és matematikai statisztika tantárgyhoz március 1.
|
|
- Kinga Fodor
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Segédayag a Leíró és matematikai statisztika tatárgyhoz 06 március Közgazdasági értelembe a statisztika a valóság tömör, számszer jellemzésére szolgáló tudomáyos módszerta, illetve gyakorlati tevékeység A statisztika ágai: Leíró statisztika: magába foglalja az iformációk összegy jtését, összegzését, tömör, számszer jellemzését szolgáló módszereket Matematikai statisztika: matematikai tudomáy, a valószí ségi változókkal jellemezhet jeleségek leíró adataiak feldolgozásáról, értelmezésér l és felhaszálásáról szóló tudomáyos módszerta Statisztikai következtetés: a valóságba a teljes sokaságot em tudjuk vagy akarjuk meggyeli, ezért csak az egyedek egy sz kebb csoportját gyeljük meg A viszoylag kisszámú egyedre voatkozó iformációk alapjá szereték a teljes sokaság egészére, egyes jellemz ire, tulajdoságaira érvéyes következtetéseket kimodai Statisztikai egység: a statisztikai vizsgálat tárgyát képez egyed Mide statisztikai egységek tárgyi, területi és id beli szempotból egyarát egyértelm e körülhatárolhatóak kell leie Statisztikai sokaság: a meggyelés tárgyát képez egyedek összessége, halmaza Rövide sokaságak hívjuk A sokaság egysége: a sokaság egy eleme A sokaságok csoportosítása: ) A sokaság egységeiek megkülöböztethet sége szerit diszkrét: a sokaság egységei elkülöülek egymástól (pl taulók a terembe) folytoos: a sokaság egységeit em tudjuk természetes módo elkülöítei (pl bauxittermelés) ) A sokaság id potra vagy id tartamra értelmezhet -e: álló: csak egy adott id potra értelmezhet mozgó: csak egy adott id tartamra értelmezhet 3) A sokaság számossága szerit: véges (a gyakorlatba általába ilyeekkel foglalkozuk) végtele Statisztikai ismérv (röv: ismérv): a sokaság egyedeit jellemz tulajdoság Az ismérvek típusai I mi ségi ismérv: az egyedek számszer e em mérhet tulajdosága meyiségi ismérv: az egyedek számszer e mérhet tulajdosága Két fajtájukat külöböztetjük meg: diszkrét: véges vagy megszámlálhatóa sok értéket vehet fel folytoos: egy adott itervallumo belül kotiuum számosságú értéket felvehet id beli ismérv: az egységek id beli elhelyezésére szolgáló redez elvek területi ismérv: az egységek térbeli elhelyezésére szolgáló redez elvek Az ismérvek típusai II közös ismérvek: tulajdoságok, amik szerit a sok egyedei egyformák megkülöböztet ismérv: azok a tulajdoságok, amik szerit a sokaság egyedei külöbözek egymástól Legye a sokaság: szobába lév hallgatók Példák ismérvekre: mi ségi: szemszí, em közös: orrok száma diszkrét meyiségi: testvérek száma megkülöböztet : testsúly folytoos meyiségi: testmagasság id beli: születési id területi: születési hely Ismérvváltozatok: az ismérvek lehetséges kimeetelei Például ha az ismérv a hallgatók eme, akkor az ismérvváltozatok: ú, láy Ugya természetes valójukba csak a meyiségi ismérv változatai kokrét számok, de a többi ismérvfajta lehetséges értékeit is számérték vé lehet alakítai Például a emekél a úkhoz redeljük hozzá az -et, a láyokhoz pedig a 0-t Ilyekor viszot ezekkel a számokkal a hagyomáyos számtai m veletekek em feltétle lesz értelme Matematikai szempotból az ismérv függvéykét fogható fel, amely valamilye értékeket redel a sokaság egyedeihez Ekkor az ismérvváltozatok halmaza az ismérv függvéy értékkészlete Mérési szitek: Névleges (omiális) mérési skála: a számok csak ú kódszámok, amik a sokaság egyedeiek azoosítására szolgálak Ezek között matematikai relációkat és m veleteket ics értelme végezi Pl a hallgatók eme Sorredi (ordiális) skála: a sokaság egyedeiek valamely tulajdoság alapjá sorba való redezése Pl a hallgatók jegyei egy tárgyból Itervallumskála: a skálaértékek külöbségei is valós iformációt adak a sokaság egyedeir l A skálá a ullpot meghatározása ökéyes Ilye skálákhoz mértékegység is tartozik Pl h mérséklet
2 Aráyskála: a skáláak va valódi ullpotja is Mide matematikai m velet elvégezhet ezekkel a számokkal Pl a hallgatók magassága Tipikusa a mi ségi ismérvek mérési szitje omiális, esetleg sorredi skála; a meyiségi ismérvek mérési szitje külöbségi vagy aráyskála; a területi ismérvek mérési szitje omiális skála; az id beli ismérveké pedig külöbségi skála Néha az itervallum- vagy aráyskálá mérhet tulajdoságokat metrikus ismérv ekek evezik Statisztikai adat: valamely sokaság elemeiek száma vagy a sokaság valamilye másféle számszer jellemz je, mérési eredméy A statisztikai adatok fajtái: Alapadatok: közvetleül a sokaságból származak (méréssel, megszámlálással) Leszármaztatott adatok: alapadatokból m veletek eredméyekét adódak (pl átlagolással, osztással) A statisztikai adatok em midig potosak: a téyleges és a mért adat közti külöbség eltérhet ullától Jelölje A a téyleges adatot, míg  a mért adatot Ekkor a := A  érték mutatja az abszolút hibát, ami a téyleges adat hiáyába a gyakorlatba általába ismeretle Így aztá a se lesz ismert, de redszerit tuduk adi rá egy fels becslést, jelölje ezt â, és hívjuk abszolút hibakorlátak! Ekkor A  = a â egyel tleséget átredezve kapjuk, hogy  â A  + â, azaz a téyleges A érték bee va az  ± â itervallumba Ha az adatokat bizoyos agyságredre közelítve adják meg, akkor az abszolút hibakorlát a következ képp számítható: â = 0m Itt m jelöli a agyságredet, például ha az adatok ezerbe foritba állak redelkezésükre, akkor m = 3 a Relatív hiba: A, ami megit ismeretle; becslését relatív hibakorlátak hívjuk: Általába százalékba szoktuk megadi ââ Statisztikai sor tágabb értelembe: a sokaság egyes jellemz iek felsorolása A statisztikai sorok fajtái: Csoportosító sor: a sokaság egy megkülöböztet ismérv szeriti osztályozásáak eredméye; az adatok összegezhet k (va 'Összese' sor) Összehasolító sor: a sokaság egy részéek a sokaságot egy megkülöböztet ismérv szeriti osztályozásáak eredméye; az adatok em összegezhet k Leíró sor: külöböz fajta, gyakra eltér mértékegység statisztikai adatokat tartalmaz Az ismérvek fajtája szerit beszélhetük mi ségi, meyiségi, id beli és területi sorokról Például ha egy statisztikai sor tartalmazza az osztályterembe a hallgatókat emek szerit, akkor ez mi ségi csoportosító sor Statisztikai tábla tágabb értelembe: a statisztikai sorok összefügg redszere A tábla dimeziószáma az a szám, ameyi statisztikai sorhoz egy-egy táblabeli adat tartozik Általába, maximum 3 dimeziós táblákkal dolgozuk, eél magasabb dimeziósat már ehéz áttekitei A statisztikai táblák fajtái: Egyszer tábla: ics bee csoportosító (összegz ) sor Csoportosító tábla: egyetle csoportosító sort tartalmaz Kombiációs vagy kotigeciatábla: legalább két csoportosító sort tartalmaz A statisztikai elemzések egyik legfotosabb eszközei a viszoyszámok viszoyszám két statisztikai adat háyadosa Jelölések: V = A B, ahol V : viszoyszám; A: a viszoyítás tárgya; B: a viszoyítás alapja A viszoyszámok fajtái: Megoszlási: a sokaság egy részét a sokaság egészéhez viszoyítjuk Koordiációs: a sokaság egy részéek a sokaság egy másik részéhez való viszoyítása Diamikus: két id pot vagy id szak adatáak háyadosa Itezitási: külöböz fajta adatok viszoyítása egymáshoz; gyakra a mértékegységük is eltér Ha egy teljes sokaságra és aak m részére redelkezésre áll a viszoyszám alapja és részei, akkor a viszoyszámokat ki tudjuk számoli a teljes sokaságra (jel V, ezt összetett viszoyszámak hívják) és aak részeire is (jel V,, V m ) Ekkor a teljes sokaságra számolt viszoyszám kiszámítási lehet ségei: m m m A i B i V i A i V = = m B i m B i }{{} súlyozott számtai átlag = m A i V i }{{} súlyozott harmoikus átlag A
3 A leíró statisztikai szakirodalomba az i idexeket pogyola módo le szokták hagyi: A BV A V = = = B B A V Id sorok elemzése (alapok) Id sorok fajtái: állapotid sor: a bee lév adatok egy-egy adott id potra voatkozak (pl egy cég raktárkészlete adott apoko); tartamid sor: a bee lév adatok id szakra voatkozak (pl egy cég havi yereségei) Véges id sor: Y,, Y, ahol Y i -k valószí ségi változók Ezek realizációját, kokrét értékeit jelöljük y,, y -el Az id sor meggyelt értékeib l számíthatuk diamikus viszoyszámokat A di viszoyszámok fajtái: Bázisviszoyszámok: b t = yt y b, ahol t =,, ; b x, eve: bázisid szak; Lácviszoyszámok: l t = yt y t, ahol t =,, Állítás A bázisviszoyszámok id sorából ki lehet számítai a lácviszoyszámok id sorát és fordítva: lácból bázis: b t = l l 3 l t (t =,, ); bázisból lác: l t = bt b t (t =,, ) Az id sor átlagos értékéek kiszámítása: y t t= tartamid sor eseté sima számtai átlaggal: y = y + y t+ yt t= állapotid sor eseté kroologikus átlaggal: y k = Az id sor átlagos változásáak vizsgálata: a fejl dés átlagos mértéke: d = y y a fejl dés átlagos üteme: l = y y Meyiségi sorok elemzése Meyiségi sor készítése: Ha a meyiségi ismérv diszkrét és viszoylag kevés ismérvérték va, akkor mide ismérvértéket felsoroluk Ha a meyiségi ismérv folytoos vagy sok ismérvérték va, akkor osztályközös gyakorisági sor t készítük Jelölje a sokaság elemszámát Az osztályközök meghatározása em egyértelm, gyakra választják az osztályok számáak a k = mi{k : k > } értéket Ha azoos hosszúságú (h) osztályközöket akaruk létrehozi, akkor h = xmax x mi k Stadard jelölések osztályközös gyakoriságú meyiségi sorokál: x i,a : az i osztályköz alsó határa; x i,f : az i osztályköz fels határa; x i : az i osztályközép, azaz x i = x i,a+x i,f ; f i : gyakoriság az i osztályközbe; f i : kumulált gyakoriság az i osztályközbe, azaz f i = i f i ; k= g i : relatív gyakoriság az i osztályközbe, azaz g i = f i f ; i g i : kumulált relatív gyakoriság az i osztályközbe; s i : az i osztályköz értékösszege: z i = x i f i ; s i az i osztályköz kumulált értékösszege z i : az i osztályköz relatív értékösszege: z i = s i s ; i z i az i osztályköz kumulált relatív értékösszege Kocetráció: a sokasághoz tartozó teljes értékösszeg jelet s része a sokaság kevés egységére összpotosul Legye a sokaság elem, a miket érdekl ismérv szerit a külöböz ismérvértékek x,, x k, ezek gyakoriságai pedig legyeek f j -k ( f j = ) j k k Gii-együttható: G = ( ) f i f j x i x j j= Lorez-görbe: a kocetráció mértékét szemléltet ábra A vízszites tegelye a g i kumulált relatív gyakoriságok, a függ leges tegelye a z i kumulált relatív értékösszegek szerepelek, 0-t l 00%-ig Behúzzuk a 45 fokos egyeest Végül megrajzoljuk a (0, 0), (g, z ), (g, z ),, (g k, z k ), (, ) potok összekötésével kapott töröttvoalat Kocetrációs területek hívjuk a töröttvoal és az átló által közbezárt területet Er s a kocetráció, ha a töröttvoal közel va a égyzet oldalaihoz Gyege a kocetráció, ha a töröttvoal közel va az átlóhoz A kocetráció mutatószámai: Kocetrációs együttható: L = G x i i 3
4 Ez em más, mit a kocetrációs terület -szerese Értéke 0 és között va Miél agyobb, aál er sebb a kocetráció Herdahl-idex : HI = k Értéke k Idex vagy idexszám: zi és közötti; miél agyobb, aál er sebb a kocetráció Érték-, ár- és volumeidexek közvetleül em összesíthet, de gazdaságilag összetartozó adatok átlagos változását mutató összetett viszoyszám Tegyük fel, hogy m külöböz terméket értékesítük két külöböz id szakba, és az értékesítés árbevételét szereték elemezi Jelölések: q 0,j : a j termékb l eladott meyiség a bázisid szakba q,j : a j termékb l eladott meyiség a tárgyid szakba p 0,j (p,j ): az j termék egységára a bázis- (tárgy)id szakba v 0,j : a j termék értékesítéséb l származó árbevétel (tágabb értelembe termelési érték) a bázisid szakba, számítása: v 0,j = q 0,j p 0,j v,j : a j termék értékesítéséb l származó árbevétel a tárgyid szakba, számítása: v,j = q,j p,j Egyedi idexek: (mostatól a j idexeket lehagyjuk) Egyedi volumeidexek: i q,j = q,j q 0,j i q = q q 0 Egyedi áridexek: i p,j = p,j p 0,j i p = p p 0 Egyedi értékidexek: i v,j = v,j v 0,j = q,j p,j p,j p 0,j i v = v v 0 = q p q 0 p 0 Összetett idexek: = i p i q Bázisid szaki Tárgyid szaki Idex fajtája súlyozású vagy súlyozású vagy Fisher-féle Laspeyres-féle Paasche-féle - Áridexek: Ip 0 = q0 p q0 p 0 Ip = q p q p 0 Ip F = Ip 0 Ip - Volumeidexek: Iq 0 = q p 0 q0 p 0 Iq = q p q0 p Iq F =, - Értékidex: I v = q p q0 p 0 Néháy összefüggés: I v = Iq 0 Ip = Iq Ip 0 = I 0 p = q0 p 0 i p q0 p 0 = q0 p q0 p ip q0 p 0 i v q0 p 0 = q p q p iv I 0 q I q Iq q0 p = i q q0 p = q p q p iq A tárgyi és bázis súlyozású összetett idexek közti kapcsolatot számszer síti a Bortkiewicz-összefüggés: Ip = I q Ip 0 Iq 0 = + V ip V iq R(i p, i q ) = + q0 p 0 (i q I 0 q )(ip I0 P ) q0 p 0 I 0 pi 0 q Az idexek képleteibe lév osztások helyett külöbségeket is lehet képezi, ekkor az I és i helyett K-t és k-t íruk Például K 0 p = q 0 p q 0 p 0 q(z) = q z = if{x : F (x) z}, és ameyibe F ivertálható, akkor q z = F (z)-re egyszer södik (0 < z < ) Fotos speciális kvatilisek: kvartilisek: Q := q alsó kvartilis 4 Q = Me := q mediá (középs mitaelem) Q 3 := q 3 fels kvartilis 4 Deíció Módusz: abszolút folytoos eloszlás eseté a s r ségfüggvéy Deíció z-kvatilis: maximumhelye(i), diszkrét eloszlás eseté pedig az eloszlás maximumhelye(i) Tehát Mo= argmax f(x), ha X abszolút folytoos; x R Mo= argmax P (X = x i ), ha X diszkrét x,x, Nem biztos, hogy létezik, és ha létezik, akkor se biztos, hogy egyértelm Deíció Ferdeség (skewess): skew(x) = E(X EX)3 (DX) 3 Értelmezése: a a skew(x)=0 az eloszlás szimmetrikus skew(x)>0 az eloszlás balra ferdült skew(x)<0 az eloszlás jobbra ferdült Deíció Csúcsosság (kurtosis): kurt(x) = E(X EX)4 3 (DX) 4 Értelmezés: V V V kurt(x)=0 az eloszlás csúcsossága a stadard ormáliséval megegyez kurt(x)<0 az eloszlás laposabb a st orm-ál kurt(x)>0 az eloszlás csúcsosabb a st orm-ál Mita: X,, X valószí ségi változó sorozat, jel X = (X,, X ) T A továbbiakba feltesszük, hogy függetleek és azoos eloszlásúak ezt rövide iid mitáak hívjuk (idepedet, idetically distributed) Az elméleti értékeket agy, a kokrét, realizált mitából számolt értékeket midig kis bet fogja jelöli, azaz mita eseté x,, x 4
5 Statisztika: a mita valamely függvéye: T : X Becslés: a mita eloszlásáak ismeretle paraméterét közelíti a mita segítségével Megj: Mide becslés statisztika Néháy léyeges statisztika: Redezett mita: X X em csökke sorredbe tesszük a mitaelemeket Terjedelem: R = X X (R=rage) X i Mitaátlag: X = (X i X) Tapasztalati szórás: S = Értelmezése: az átlagtól való átlagos eltérés abszolút mértékegységbe Korrigált tapasztalati szórás: S (X i X) = Szórási együttható: V = S X Értelmezése: az átlagtól való átlagos eltérés százalékba Megj: relatív szórásak is hívják I(X i <x) Tapasztalati eloszlásfüggvéy: F (x) = { ha X i < x ahol I(X i < x) = karakterisztikus függvéy 0 ha X i x Tapasztalati z-kvatilis: Realizált mitából sokféleképpe számolható, iterpolációs módszer: ) Sorszám megállapítása: ( + )z = e + t (e: egészrész, t: törtrész) ) q z = x e + t(x e+ x e) Értelmezése: a mitaelemek z-ed része legfeljebb a q z értéket veszi fel, ( z)-ed része pedig legalább q z Osztályközös gyakorisági sorba redelkezésre álló mita eseté a következ becsést lehet haszáli: keressük meg kumulálással azt az osztályközt, ahol a q z va, sorszám: ( + )z Jelölje j az osztályköz számát Ezutá q z = x j,a + z (+) f j f j h j x j,a : a kvatilist tartalmazó osztályköz alsó értéke; h j : a kvatilist tartalmazó osztályköz hossza; f j : a kvatilist közvetleül megel z osztályköz osztályköz kumulált gyakorisága f j : a kvatilist tartalmazó osztályköz gyakorisága Iterkvatilis terjedelem: IQR = Q 3 Q Tapasztalati módusz : a legtöbbször el forduló érték Értelmezése: a mita tipikus, leggyakrabba el forduló értéke Osztályközös gyakoriságok eseté iterpolációra va szükség, ekkor a következ becslést lehet haszáli: Mo= x mo,a + da d a+d f h mo, ahol x mo,a : a móduszt tartalmazó osztályköz alsó értéke; h mo : a móduszt tartalmazó osztályköz hossza; d a : a móduszt tartalmazó osztályköz gyakorisága míusz a móduszt közvetleül megel z osztályköz gyakorisága d f : a móduszt tartalmazó osztályköz gyakorisága míusz a móduszt közvetleül követ osztályköz gyakorisága (X i X) 3 Tapasztalati ferdeség: S 3 (X i X) 4 Tapasztalati csúcsosság: 3 S 4 Tétel (Gliveko-Catelli) A tapasztalati eloszlásfüggvéy valószí séggel ( egyeletese tart) a valódi eloszlásfüggvéyhez, P lim sup F (x) F (x) = 0 = x R Boxplot ábra: (ez fekv, de lehet álló is) ahol a bet k a következ értékeket jeletik: formálisa A = max{x, Q, 5 IQR}; B = Q ; C = Me; D = Q 3 ; E = mi{x, Q 3 +, 5 IQR}; F : kies értékek, azokat tütetjük fel potokkét, amik A- vagy E- kívülre esek 5
6 Nagy számú (x,, x ) adat elemzése: Adathibák keresése, irreális adatok, értékek törlése; esetleg korrigálása Alkalmas osztályközös gyakorisági sor készítése Középértékek kiszámítása Átlag (számtai vagy mértai amelyikek értelme va) Helyzeti középértékek: Módusz az osztályközös gyakorisági sorból Mediá Szóródási mutatók kiszámítása Terjedelem Iterkvatilis terjedelem Szórás Relatív szórás Alakmutatók kiszámítása Ferdeség Csúcsosság Ábrák készítése: S r séghisztogram Boxplot ábra Lorez-görbe (értékösszeg sor eseté) Nevezetes diszkrét eloszlások: Eloszlás eve Jelölése Eloszlása EX D X Karakterisztikus Id(p) P (X = ) = p p p( p) (idikátorvált) P (X = 0) = p Geometriai (Pascal) Geo(p) P (X = k) = p( p) k k=,, Hipergeometriai Hipgeo(N, M, ) P (X = k) = k=0,,, Biomiális Bi(, p) P (X = k) = k=0,,, bio- Negatív miális NegBi(, p) P (X = k) = k=,+, ( )( ) M N M k k ( ) N ( k) p k ( p) k ( ) k p ( p) k p M N M N p p ( ) ( M ) N N p p( p) Poisso Poi(λ) P (X = k) = λk k! e λ k=0,, λ λ p ( p) p Deíció X valváltozó eloszlásfüggvéye: F X (x) = P (X < x) Deíció X és Y kovariaciája: Cov(X, Y ) = E [(X EX)(Y EY )] Köv: Cov(X, Y ) = E(XY ) EXEY Ha Cov(X, Y ) = 0, akkor azt modjuk, hogy X és Y korrelálatlaok Állítás Ha X és Y függetleek egymástól, akkor korrelálatlaok is Ha X és Y korrelálatlaok, akkor ebb l em következik, hogy függetleek is!!!!! X, Y függetleek F X,Y (x, y) = F X (x) F Y (y) X, Y függetleek f X,Y (x, y) = f X (x) f Y (y) X, Y függetleek P (X = x, Y = y) = P (X = x) P (Y = y) X, Y függetleek E(XY ) = EX EY Cov(X, Y ) = 0 Állítás Legyeek X, Y, X i, Y j valószí ségi változók; a, b, c i, d j R Ekkor P (a X < b) = F X (b) F X (a) E c i X i = c i EX i ; D (ax + b) = a D X D (X + Y ) = D X + D Y + Cov(X, Y ) Cov( c i X i, d j Y j ) = c i d j Cov(X i, Y j ) i j i,j D ( X i ) = D X i + Cov(X i, X j ) i<j Állítás Normálás Legye X N(m, σ ) Ekkor X m σ N(0, ) Állítás Φ( x) = Φ(x) Állítás Φ (q) = Φ ( q) 0 < q < Nevezetes abszolút folytoos eloszlások: Eloszlás eve Jelölése Eloszlásfüggvéy S r ségfüggvéy EX D X 0 ha x a { x a ha a < x b Egyeletes E(a, b) ha a < x b b a a+b b a 0 külöbe Expoeciális Exp(λ) { ha b < x e λx ha x 0 0 külöbe Gamma Γ(α, λ) Stadard ormális N(0, ) Φ(x) = Normális N(m, σ ) { λe λx ha x 0 0 külöbe { Γ(α) λα x α e λx ha x 0 0 külöbe Állítás Legye X abszolút folytoos eloszlású Ekkor f(x)=f'(x); f(x) 0; λ α λ (b a) λ α λ e x x R 0 π e (x m) σ x R m σ πσ 6
7 f(x) dx = ; P (X = x) = 0 x-re; P (a < X b) = P (a X < b) = F (b) F (a) Abszolút folytoos valváltozó várható értéke: EX = Abszolút folytoos valváltozó l mometuma: EX l = Tétel Nagy számok (er s) törvéye (NSZT): Legyeek X, X, iid val változók, EX = m < Ekkor X ++X m valószí séggel Becsléselmélet Paramétertér: Θ, ahol Θ R p összefügg és yílt halmaz xf(x) dx x l f(x) dx Deíció Torzítatla becslés: T(X) statisztika torzítatla becslése g(ϑ)-ak, ha E ϑ T (X) = g(ϑ) ϑ Θ-ra Deíció Legyeek T (X) és T (X) torzítatla becslései g(ϑ)-ak Ekkor azt modjuk, hogy T (X) hatásosabb T (X)-él, ha Dϑ (T (X)) Dϑ (T (X)) mide ϑ Θ eseté Deíció Hatásos becslés: A T (X) tozítatla becslést hatásosak evezzük, ha mide torzítatla becslésél hatásosabb Tétel A hatásos becslés egyértelm sége Ha T (X) és T (X) hatásos becslései g(ϑ)-ak, akkor mide paraméterértékre valószí séggel megegyezek, azaz P ϑ (T (X) = T (X)) = ϑ Θ eseté Deíció Aszimptotikus torzítatlaság: A T (X) becsléssorozat ( =,, ) aszimptotikusa torzítatla becslése a g(ϑ)-ak, ha E ϑ T (X) g(ϑ) ϑ Θ eseté Deíció Gyege kozisztecia: A T (X) becsléssorozat ( =,, ) gyegé kozisztes becslése a g(ϑ)-ak, ha T (X) sztochasztikusa g(ϑ) ϑ Θ eseté Másképpe: ɛ > 0-ra P ϑ ( T (X) g(ϑ) ɛ) 0 ϑ Θ eseté Tétel Elégséges feltétel gyege koziszteciára Ha E ϑ T (X) g(ϑ) és Dϑ T (X) 0, akkor T becsléssorozat gyegé kozisztes becslése g(ϑ)-ak Deíció Er s kozisztecia: A T (X) becsléssorozat ( =,, ) er se kozisztes becslése a g(ϑ)-ak, ha T (X) vsz-gel g(ϑ) ϑ Θ eseté Másképpe: P ϑ ({ω : T (X(ω)) g(ϑ) } )= ϑ Θ eseté S r ségfüggvéy becslése magfüggvéy segítségével elem mitából: ( Parze-Roseblatt becslés: f (x) = h k x Xi h ), ahol h alkalmas 0-hoz tartó sorozat Ez felel meg a mitapot körüli itervallum hossza feléek Tétel A Parze-Roseblatt becslés koziszteciája Alkalmas feltételek eseté h -re és a magfüggvéyre, az f (x) Parze-Roseblatt becslés aszimptotikusa torzítatla és er se kozisztes becslése a valódi s r ségfüggvéyek Állítás Az eloszlásfüggvéy torzítatla és er se kozisztes becslése a tapasztalati eloszlásfüggvéy A várható érték torzítatla és er se kozisztes becslése a mitaátlag A szóráségyzet aszimptotikusa torzítatla és er se kozisztes becslése a tapasztalati szóráségyzet A szóráségyzet torzítatla és er se kozisztes becslése a korrigált tapasztalati szóráségyzet Deíció Likelihood függvéy: L(ϑ, x) = f ϑ (x) = Legye X = (X,, X ) iid mita f ϑ (x i ), ha az eloszlás folytoos L(ϑ, x) = P ϑ (X = x) = P ϑ (X i = x i ), ha az eloszlás diszkrét Deíció Log-likelihood függvéy: l(ϑ, x) = log(l(ϑ, x)) Paraméterbecslési módszerek Maximum likelihood módszer (ML-módszer): Azt a paraméterértéket keressük, ahol a likelihood függvéy a legagyobb értéket veszi fel: max L(ϑ, x) ϑ Ameyibe a függvéy deriválható ϑ szerit, akkor a maximumot 7
8 kereshetjük a szokásos módo, az els és második deriváltak segítségével, azoba a feladatukat jelet se megehezíti, hogy olya -szeres szorzatot kellee deriváli, amelyikek mide tagjába ott va az a változó, ami szerit deriváluk kellee Ezért likelihood függvéy helyett a log-likelihood függvéy maximumhelyét keressük Ha ϑ dimeziós, akkor az els red feltétel: ϑ l(ϑ, x) = 0 ˆϑ másodred feltétel: ϑ l(ϑ, x) < 0 Ha ϑ p dimeziós, akkor ϑ = (ϑ,, ϑ p ), az els red feltétel: ϑi l(ϑ, x) = 0 ˆϑ i (i =,, p) ˆϑ = ( ˆϑ,, ˆϑ p ) másodred feltétel: H(ϑ,, ϑ p ) = ( ϑi ϑj l(ϑ, x) ) i,j=,,p Hessemátrix egatív deit a ϑ = ˆϑ helye Mometum módszer: A mitából számítható tapasztalati mome- j tumokat (m i := xi j ) egyel vé tesszük az elméleti mometumokkal (M i := E ϑ X i ), az els t l kezdve, mégpedig ayit, ameyi paraméter va Tehát p darab ismeretle paraméter eseté a következ p ismeretlees egyeletredszert oldjuk meg: M = m M p = m p Megjegyzés: m = x Fisher-tétel: Ha ϑ ML-becslése ˆϑ, akkor tetsz leges g függvéy eseté g(ϑ) ML-becslése g( ˆϑ) Deíció χ -eloszlás: Az X valószí ségi változó szabadságfokú χ - eloszlást követ (jel: X χ ), ha X = U + + U, ahol U i N(0, ) mide i-re és függetleek egymástól Deíció t-eloszlás: Az X valószí ségi változó szabadságfokú Studet-féle t-eloszlást követ (jel: X t ), ha X = Z Y, ahol Z N(0, ) és Y χ függetleek egymástól Deíció F-eloszlás: Az X valószí ségi változó m, szabadságfokú F- eloszlást követ (jel: X F m, ), ha X = Ym m Z, ahol Y m χ m és Z χ függetleek egymástól Mostatól α egy 0-hoz közeli pozitív szám lesz (például 0, 05 = 5%), és vezessük be a következ jelöléseket: u α : N(0, ) eloszlás ( α)-kvatilise, azaz u α = Φ ( α) z α := u α (sok köyvbe ezt haszálják) t,α : szabadságfokú t-eloszlás ( α)-kvatilise χ,α : szabadságfokú χ -eloszlás α-kvatilise Fm, α : m, szabadságfokú F-eloszlás α-kvatilise Deíció Kodecia itervallum: Adott α-hoz legalább ( α) valószí séggel tartalmazza az adott paramétert (vagy aak egy függvéyét): P ϑ (T (X) < ˆϑ ) < T (X) α Gyakra keresük szimmetrikus kodecia itervallumot, ilyekor T = T =:, és az itervallum ˆϑ ± alakba írható Legye X,, X N(m, σ) iid mita m-re kodecia itervallum ha σ ismert, akkor x ± u α σ ha σ ismeretle, akkor x ± t, α σ -re kodecia itervallum: [ s ( ) (s ) ; ( ) (s χ ), α χ, α Kodecia itervallum a valószí ségre (p) agy mita eseté, ha ormális ˆp( ˆp) eloszlással közelítük: ˆp ± u α Hipotézisvizsgálat Hipotézis valami állítás, amiek igazságát vizsgáli szereték Paramétertér: Θ = Θ 0 Θ "valóság" Mitatér: X = X e X k "látszat" - MINTÁBÓL X k : kritikus tartomáy - azo X meggyelések halmaza, amikre elutasítjuk a ullhipotézist X e : elfogadási tartomáy - azo X meggyelések halmaza, amikre elfogadjuk a ullhipotézist Hipotézisvizsgálati feladat: H 0 : ϑ Θ 0 H : ϑ Θ ullhipotézis ellehipotézis ] 8
9 Tehát ha X X e, akkor elfogadjuk H 0 -t; ha X X k, akkor pedig elutasítjuk H 0 -t Ameyibe a Θ 0 halmaz egyelem, akkor azt modjuk, hogy H 0 egyszer H -re ugyaígy Az X mitatér felosztását általába egy statisztika (eve: próbastatisztika) segítségével végezzük el: legye T: X R, X k = {x X : T(x) > c} c eve: kritikus érték X e = {x X : T(x) c} Dötés H 0 -t "Valóság" elfogadjuk (X e ) elutasítjuk (X k ) H 0 teljesül (Θ 0 ) helyes dötés els fajú hiba H 0 em teljesül (Θ ) másodfajú hiba helyes dötés P(els fajú hiba)=α(ϑ)=p ϑ (X k ), ahol ϑ Θ 0 P(másodfajú hiba)=β(ϑ)=p ϑ (X e ), ahol ϑ Θ Er függvéy: ψ: Θ R, ψ(ϑ) = P ϑ (X k ) Terjedelem: α = sup {α(ϑ): ϑ Θ 0 } Azt modjuk, hogy az -es próba er sebb a -es próbáál, ha α = α és ψ (ϑ) ψ (ϑ) ϑ Θ ϕ: X [0,] eyi valószí séggel vetem el a H 0 -t a Próbafüggvéy: mita alapjá x X k ϕ(x) = x X e ϕ(x) = 0 p-érték: az az α terjedelem, ami eseté a próbastatisztika értéke egyel a kritikus értékkel : T(x)= c α A p-érték a legkisebb terjedelem, amire még elutasítjuk a H 0 -t Ha egy próbát számítógép segítségével végzük el, redszerit a p-érték révé tuduk dötei: ha (p-érték)< α, akkor elvetjük H 0 -t Ha mid H 0, mid H egyszer, akkor adott α terjedelemhez lehet leger sebb próbát találi, ezt pedig úgy hívják, hogy valószí ség-háyados próba A hipotéziseket folytoos esetre írom fel Diszkrétre a s r ségfüggvéy helyett a kokrét eloszlást kell íri H 0 : f = f 0 H : f = f { } A valószí ség-háyados próba kritikus tartomáya: X k = x : f (x) f 0 (x) > c α Tehát azokat az x-eket, amire az f (x) f 0 (x) agy, bepakoljuk a kritikus tartomáyba egésze addig, míg az adott α terjedelmet el em érjük Diszkrét esetbe ehhez általába véletleítésre va szükség, azaz bizoyos x-ek eseté em vagy 0, haem egy, e két szám közé es (jelöljük p α -val) valószí séggel vetjük el a ullhipotézist Néháy kokrét próba az α végig a próba terjedelmét jelöli, ami el re adott ) Egymitás próbák a) Egymitás u-próba X,, X N(m, σ ), ahol σ ismert, m paraméter a) H 0 : m = m 0 b) H 0 : m = m 0 c) H 0 : m = m 0 H : m m 0 H : m > m 0 H : m < m 0 A próbastatisztika: T(X)=u = X m 0 σ H 0 eseté N(0, ) A kritikus tartomáyok: a) X k = {x : u > u α/ } b) X k = {x : u > u α } c) X k = {x : u < u α } b) Egymitás t-próba X,, X N(m, σ ), ahol σ, m paraméter a) H 0 : m = m 0 b) H 0 : m = m 0 c) H 0 : m = m 0 H : m m 0 H : m > m 0 H : m < m 0 A próbastatisztika: T(X)=t = X m 0 H 0 eseté s t A kritikus tartomáyok: a) X k = {x : t > t,α/ } b) X k = {x : t > t,α } c) X k = {x : t < t,α } ) Kétmitás próbák X,, X N(m, σ ) Y,, Y m N(m, σ ) Az elvégzed próbák H 0 : m = m ullhipotézis eseté: a két mita a két mita függetle em függetle σ és σ ismert b) kétmitás u-próba egymitás u-próba a külöbségekre el zetes F-próba σ és σ ismeretle σ = σ σ σ egymitás t-próba c) kétmitás t-próba d) Welch-próba a külöbségekre 9
10 a) F-próba m, m, σ, σ paraméterek H 0 : σ = σ és H : ami a szövegköryezetbe értelmes (s ) H 0 eseté F (s A próbastatisztika: F =,m ha s ) > s (s ) F m, ha s > s (s ) H 0 eseté b) kétmitás u-próba m, m paraméterek, σ, σ ismert H 0 : m = m és H : ami a szövegköryezetbe értelmes A próbastatisztika: u = X Y σ + σ m H 0 eseté N(0,) c) kétmitás t-próba m, m, σ = σ paraméterek H 0 : m = m és H : ami a szövegköryezetbe értelmes A próbastatisztika: t = m X Y +m ( )(s ) +(m )(s ) +m d) Welch-próba m, m, σ σ paraméterek H 0 : m = m és H : ami a szövegköryezetbe értelmes A próbastatisztika: t = X Y H 0 eseté t f, ahol (s ) + (s ) m f = c = c + ( c) m (s ) (s, ha s ) + (s ) > s m χ -próbák H 0 eseté t +m a) Diszkrét illeszkedésvizsgálat Feladat: adott egy X = (X,, X ) elem mita, és azt akarjuk eldötei, hogy a mita egy általuk "remélt" eloszlásból származik-e Diszkrét illeszkedésvizsgálatál feltesszük, hogy a mitaelemek r külöböz értéket vehetek fel: P(X i = x j ) = p j j =,, r Jelöljük N j -vel a gyakoriságokat, azaz azt, hogy az elem mitába háy darab x j szerepel Osztályok r Összese Valószí ségek p p p r Gyakoriságok N N N r H 0 : a valószí ségek: p=(p,, p r ) H : em ezek a valószí ségek A próbastatisztika: T = r (N i p i ) p i H 0 eseté χ r A kritikus tartomáy: X k = {x : T (x) > χ r, α } eloszlásba, ha Becsléses illeszkedésvizsgálat: csak ayit "sejtük", hogy a mita valamilye eloszlású, viszot a paramétereir l ics sejtésük Ilyekor ameyibe ML-módszerrel becsüljük meg az s darab ismeretle paramétert, akkor H a próbastatisztika: T 0 eseté χ r s eloszlásba, ha Nagyo fotos: a próba csak akkor hajtható végre, ameyibe az egyes osztályokba eleged számú gyakoriság szerepel Nem egyértelm, milye határvoalat húzzuk meg Hüvelykujjszabálykét azt lehet modai, hogy a kisebb mitákál legalább 3, közepesekél legalább 5, agyobbakál legalább 0 elem szerepelje az egyes cellákba Általáosa korlátkét lehet alkalmazi még a 5 számot Ameyibe a cellákba túl alacsoy a gyakoriságok száma, akkor az éritett osztályokat össze kell voi Illeszkedésvizsgálat "szemmel": Q-Q plot és P-P plot Jelölje F az illesztett eloszlás eloszlásfüggvéyét, x k pedig a k redezett mitaelemet Q-Q plot: az illesztett eloszlás kvatiliseit vetjük össze ( a tapasztalati ( ) ) kvatilisekkel, azaz a következ potokat ábrázoljuk: F k +, x k, ahol k =,, P-P plot: az illesztett eloszlás valószí ségeit vetjük össze ( a tapasztalati valószí ségekkel, azaz a következ potokat ábrázoljuk: k +, F (x k ), ) ahol k =,, Midkét ábráál be szokták húzi a 45 fokos egyeest és miél jobba rásimulak a potok az egyeesre, aál jobbak tekithet az illeszkedés b) Diszkrét homogeitávizsgálat Feladat: va két függetle mita, midkett egy közös szempot szerit r osztály egyikébe sorolva Azt kell eldötei, hogy a két mita azoos eloszlásúak tekithet -e 0
11 Osztályok r Összese mita Valószí ségek p p p r Gyakoriságok N N N r mita Valószí ségek q q q r Gyakoriságok M M M r m H 0 : a valószí ségek: (p,, p r ) = (q,, q r ) H : em ezek a valószí ségek A próbastat: T,m = r ( ) Ni M i m N i +M i H 0 eseté χ r A kritikus tartomáy: X k = {x : T,m (x) > χ r, α } eloszlásba, ha c) Függetleségvizsgálat Feladat: va egy mita, két szempot szerit csoportosítva Azt kell eldötei, hogy a két szempot függetle-e egymástól p i,j =P(egy meggyelés az (i,j) osztályba kerül) N i,j =eyi meggyelés kerül az (i,j) osztályba A mitavétel eredméye: szempot j s Összese N N j N s N szempot i N i N ij N is N i r N r N rj N rs N r Összese N N j N s ahol N i = s és N j = r N ij j= N ij Ha r = s =, akkor a próbastatisztika T = (N N N N ) N N N N -re egyszer södik, az aszimptotikus eloszlás pedig szabadságfokú χ Feladat: Y val változót szereték közelítei X val változó lieáris függvéye segítségével: E[Y (ax + b)] mi a,b Megoldása: a opt = Cov(X,Y ) D (X) b opt = EY a opt EX Feladat (lieáris regresszió): Adottak (x, y ),, (x, y ) potok, ezekre szereték egyeest illesztei (eve: regressziós egyees) legkisebb égyzetek módszerével A modell: Y i = ax i + b + ε i, ahol Eε i = 0 és D ε i = σ < (i =,, ) Megoldás: â = (xi x)(y i y) (xi x), ˆb = y âx Reziduumok: ˆε i = y i âx i ˆb (,, ) Reziduális égyzetösszeg: RNÖ= ˆε i = (y i y) (xi x)(y i y) (xi x) ˆσ = RNÖ Tapasztalati korrelációs együttható: R = (xi x)(y i y) (xi x) (y Eek égy- i y) zetét, R -et determiációs együtthatóak hívjuk, és ezzel mérjük a modell jóságát Az R mutatja meg, hogy százalékba a modell az Y változékoyságából meyit magyaráz meg Értéke 0 és között lehet, ha 0-hoz közeli, akkor a modell gyegé teljesít, ha -hez, akkor jól H 0 : a szempotok függetleek, azaz p i,j = p i p j i, j-re H : em azok ( ) r s Ni,j A próbastatisztika: T = H N i N j 0 eseté χ (r )(s ) eloszlásba, ha j= A kritikus tartomáy: X k = {x : T (x) > χ (r )(s ), α }
Segédanyag a Leíró és matematikai statisztika tantárgyhoz március 28.
Segédayag a Leíró és matematikai statisztika tatárgyhoz 07 március 8 Statisztikai sokaság: a meggyelés tárgyát képez egyedek összessége, halmaza Rövide sokaságak hívjuk A sokaság egysége: a sokaság egy
RészletesebbenMo= argmax f(x), ha X abszolút folytonos; Mo= argmax P (X = x i ), ha X diszkrét.
Segédayag a Matematikai statisztika tatárgyhoz 09 április 0 Leíró statisztika A statisztikai elemzések egyik legfotosabb eszközei a viszoyszámok A viszoyszám két statisztikai adat háyadosa Jelölések: V
RészletesebbenStatisztika gyakorlat Geológus szakirány
Statisztika gyakorlat Geológus szakiráy Játékszabályok Az óráko részt kell vei, maximum 3-szor lehet hiáyozi. Az aláírás megszerzéséek lehetséges módjai: vagy ZH írásával vagy egy el re kihirdetett házi
RészletesebbenMatematikai statisztika
Matematikai statisztika PROGRAMTERVEZŐ INFORMATIKUS alapszak, A szakiráy Arató Miklós Valószíűségelméleti és Statisztika Taszék Természettudomáyi Kar 2019. február 18. Arató Miklós (ELTE) Matematikai statisztika
RészletesebbenEddig megismert eloszlások Jelölése Eloszlása EX D 2 X P(X = 1) = p Ind(p) P(X = 0) = 1 p. Leíró és matematikai statisztika
Leíró és matematikai statisztika Matematika alapszak, matematikai elemző szakiráy Zempléi Adrás Valószíűségelméleti és Statisztika Taszék Matematikai Itézet Természettudomáyi Kar Eötvös Lorád Tudomáyegyetem
RészletesebbenStatisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21.
Statisztika 1 zárthelyi dolgozat 011 március 1 1 Legye X = X 1,, X 00 függetle mita b paraméterű Poisso-eloszlásból b > 0 Legye T 1 X = X 1+X ++X 100, T 100 X = X 1+X ++X 00 00 a Milye a számra igaz, hogy
RészletesebbenMatematikai statisztika gyakorlat 2018/2019 II. félév
Matematikai statisztika gyakorlat 018/019 II. félév 1. Táblázatok Viszoyszámok: V = A, ahol A: a viszoyítás tárgya (amit viszoyítuk); B B: a viszoyítás alapja (amihez viszoyítuk) Megoszlási: a sokaság
RészletesebbenStatisztika 1. zárthelyi dolgozat március 18.
Statisztika. zárthelyi dolgozat 009. március 8.. Ismeretle m várható értékű, szórású ormális eloszlásból a következő hatelemű mitát kaptuk:, 48 3, 3, 83 0,, 3, 97 a) Számítsuk ki a mitaközepet és a tapasztalati
RészletesebbenLeíró és matematikai statisztika gyakorlat 2018/2019 II. félév
Leíró és matematikai statisztika gyakorlat 08/09 II. félév Táblázatok Viszoyszámok: V = A, ahol A: a viszoyítás tárgya amit viszoyítuk; B B: a viszoyítás alapja amihez viszoyítuk Megoszlási: a sokaság
RészletesebbenAz átlagra vonatkozó megbízhatósági intervallum (konfidencia intervallum)
Az átlagra voatkozó megbízhatósági itervallum (kofidecia itervallum) Határozzuk meg körül azt az itervallumot amibe előre meghatározott valószíűséggel esik a várható érték (µ). A várható értéket potosa
RészletesebbenStatisztika. Földtudomány szak, geológus szakirány, 2015/2016. tanév tavaszi
Statisztika Földtudomáy szak, geológus szakiráy, 015/016. taév tavaszi félév Backhausz Áges (ELTE TTK Valószíűségelméleti és Statisztika Taszék)1 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 3 1.1. Példa: az adatok elemzése....................
RészletesebbenLeíró és matematikai statisztika el adásnapló Matematika alapszak, matematikai elemz szakirány 2016/2017. tavaszi félév
Leíró és matematikai statisztika el adásnapló Matematika alapszak, matematikai elemz szakirány 2016/2017. tavaszi félév A pirossal írt anyagrészeket nem fogom közvetlenül számon kérni a vizsgán, azok háttérismeretként,
RészletesebbenA statisztikai vizsgálat tárgyát képező egyedek összességét statisztikai sokaságnak nevezzük.
Statisztikai módszerek. BMEGEVGAT01 Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudomáyi Egyetem Gépészméröki Kar Hidrodiamikai Redszerek Taszék 1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:
RészletesebbenStatisztika (jegyzet)
Statisztika (jegyzet) Csiszár Vill 009. május 6.. Statisztikai mez A statisztika egyik ága a leíró statisztika. Ekkor a meggyelt adatokat áttekithet formába ábrázoljuk, pl. hisztogrammal (oszlopdiagrammal),
RészletesebbenBIOMATEMATIKA ELŐADÁS
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 10. A statisztika alapjai Debrecei Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csaád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Statisztikai függvéyek Defiíció, empirikus várható érték Empirikus
RészletesebbenPopuláció. Történet. Adatok. Minta. A matematikai statisztika tárgya. Valószínűségszámítás és statisztika előadás info. BSC/B-C szakosoknak
Valószíűségszámítás és statisztika előadás ifo. BSC/B-C szakosokak 6. előadás október 16. A matematikai statisztika tárgya Következtetések levoása adatok alapjá Ipari termelés Mezőgazdaság Szociológia
Részletesebben1. előadás: Bevezetés. Irodalom. Számonkérés. Cél. Matematikai statisztika előadás survey statisztika MA szakosoknak. A matematikai statisztika tárgya
Matematikai statisztika előadás survey statisztika MA szakosokak 206/207 2. félév Zempléi Adrás. előadás: Bevezetés Irodalom, követelméyek A félév célja Matematikai statisztika tárgya Törtéet Alapfogalmak
Részletesebben18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható
8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.
RészletesebbenA matematikai statisztika elemei
A matematikai statisztika elemei Mikó Teréz, dr. Szalkai Istvá szalkai@almos.ui-pao.hu Pao Egyetem, Veszprém 2014. március 23. 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék 3 Bevezetés................................
RészletesebbenMatematika B4 I. gyakorlat
Matematika B4 I. gyakorlat 2006. február 16. 1. Egy-dimeziós adatredszerek Va valamilye adatredszer (számsorozat), amelyről szereték kiszámoli bizoyos dolgokat. Az egyes értékeket jelöljük z i -vel, a
RészletesebbenIntervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres. Statisztika december 2.
Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Statisztika Hipotézisvizsgálat Székely Balázs 2010. december 2. Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Előadás vázlat 1 Itervallumbecslések
Részletesebbenbiometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat
Kísérlettervezés - biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert u-próba Feltétel: egy ormális eloszlású sokaság σ variaciájáak számszerű értéke ismert. Hipotézis: a sokaság µ várható értéke
RészletesebbenKutatói pályára felkészítı modul
Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı kutatási ismeretek modul Tudomáyos kutatási alapayag feldolgozása, elemzési ismeretek KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI
RészletesebbenValószín ségszámítás és statisztika gyakorlat Programtervez informatikus szak, esti képzés
Valószí ségszámítás és statisztika gyakorlat Programtervez iformatikus szak, esti képzés.) Egy érmével dobuk. Ha az eredméy fej, akkor még egyszer dobuk, ha írás, akkor még kétszer. a.) Mik leszek a kísérletet
RészletesebbenPályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.
Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika
RészletesebbenBIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA. Leíró statisztika
BIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA Leíró statisztika Első közelítésbe a statisztikai tevékeységeket égy csoportba sorolhatjuk, de ezek között ics éles határ:. adatgyűjtés, 2. az adatok áttekithetővé tétele,
RészletesebbenA biostatisztika alapfogalmai, konfidenciaintervallum. Dr. Boda Krisztina PhD SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet
A biostatisztika alapfogalmai, kofideciaitervallum Dr. Boda Krisztia PhD SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Iformatikai Itézet Mitavétel ormális eloszlásból http://www.ruf.rice.edu/~lae/stat_sim/idex.html
RészletesebbenVirág Katalin. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet
Függetleségvizsgálat Virág Katali Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Függetleség Függetleség Két változó függetle, ha az egyik változó megfigyelése a másik változóra ézve em szolgáltat iformációt; azaz
RészletesebbenIdősorok elemzése [leíró statisztikai eszközök] I
Leíró és matematikai statisztika Matematika alapszak, matematikai elemző szakirány Zempléni András Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Matematikai Intézet Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem
RészletesebbenStatisztika október 27.
Statisztika 2011. október 27. Külöbség valószíőségszámítás és statisztika között Kísérlet: 4-szer dobuk fel egy érmét. Megszámoljuk a fejek számát. Valszám: Ismert a fejdobás valószíősége. Milye valószíőséggel
RészletesebbenSorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!
Sorozatok 20. október 5. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!. Zh feladat:vizsgálja meg mootoitás és korlátosság szerit az alábbi sorozatot! a + ha ; 2; 5 Mootoitás eldötéséhez vizsgáljuk
RészletesebbenSorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága
Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt
RészletesebbenI. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.
I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető.
RészletesebbenSTATISZTIKA I. x ÁR. x ÁR. x ÁR. x ÁR. Számosállat. Egységhozam. Termelési érték, árbevétel. Az ár. Hogyan lehet ezeket összehasonlítani?
Hogya lehet ezeket összehasolítai? STATSZTKA. 8. Előadás dexek, adatábrázolás 2/22 Számosállat Egységhozam Állatteyésztési, statisztikai, valamit üzemszervezési mértékegység, amely külöböző fajú, fajtájú,
Részletesebben6. feladatsor. Statisztika december 6. és 8.
6. feladatsor Statisztika 200. december 6. és 8.. Egy = 0 szervert tartalmazó kiszolgáló mide szervere mide pillaatba 0 < p < valószíűséggel foglalt, a foglaltságok szerverekét függetleek. Tehát a foglaltak
Részletesebbenkismintás esetekben vagy olyanokban, melyeknél a tanulóalgoritmust tesztadatokon szeretnénk
ÚJRAMINTAVÉTELEZÉSI ELJÁRÁSOK A jackkife (zsebkés) és bootstrap (cipőhúzó a saját kallatyújáál fogva) eljárások agol elevezése is arra utal, hogy itt ad hoc eljárásokról va szó, melyek azoba agyo haszosak
RészletesebbenAbszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás)
Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás) Deníció (Abszolút folytonosság és s r ségfüggvény) Az X valószín ségi változó abszolút folytonos, ha van olyan f : R R függvény, melyre P(X t) = t
RészletesebbenZavar (confounding): akkor lép fel egy kísérletben, ha a kísérletet végző nem tudja megkülönböztetni az egyes faktorokat.
Zavar és mita Zavar (cofoudig): akkor lép fel egy kísérletbe, ha a kísérletet végző em tudja megkülöbözteti az egyes faktorokat. Zavar és mita Zavar (cofoudig): akkor lép fel egy kísérletbe, ha a kísérletet
RészletesebbenBevezető Adatok rendezése Adatok jellemzése Időbeli elemzés
Gazdaságstatisztika 2. előadás Egy ismérv szerinti rendezés Kóczy Á. László KGK VMI Áttekintés Gyakorisági sorok Grafikus ábrázolásuk Helyzetmutatók Szóródási mutatók Az aszimmetria mérőszámai Koncentráció
RészletesebbenÁringadozások elıadás Kvantitatív pénzügyek szakirány 2012/13 2. félév
Árigadozások elıadás Kvatitatív pézügyek szakiráy 01/13. félév Heti óra elıadás + óra gyakorlat Elıadás: fıleg modellek, elemzési módszerek Gyakorlat: R programmal, alkalmazások Számokérés 50%: beadadó
Részletesebben2. egy iskola tanulói, a változók: magasságuk cm-ben, súlyuk (tömegük) kilóban; 3. egy iskola tanulói, a változó: tanulmányi átlaguk;
Statisztika Tegyük fel, hogy va egy halmazuk, és tekitsük egy vagy több valószíűségi változót, amelyek a halmaz mide elemé felveszek valamilye értéket. A halmazt populációak vagy sokaságak evezzük. Példák:
RészletesebbenJátékszabályok. a keresett valószín ség:
Játékszabályok Az óráko részt kell vei, maximum -szor lehet hiáyozi. Aki többször hiáyzik, em kap gyakjegyet. + x potot lehet szerezi a félév sorá: pot:. ZH a félév közepé pot:. ZH a félév végé x pot:
RészletesebbenBevezető Adatok rendezése Adatok jellemzése Időbeli elemzés. Gazdaságstatisztika KGK VMI
Gazdaságstatisztika 2. előadás Egy ismérv szerinti rendezés Kóczy Á. László KGK VMI Áttekintés Gyakorisági sorok Grafikus ábrázolásuk Helyzetmutatók Szóródási mutatók Az aszimmetria mérőszámai Koncentráció
Részletesebbenf (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben
Propositio 1 (Jese-egyelőtleség Ha f : kovex, akkor tetszőleges ξ változóra f (M (ξ M (f (ξ feltéve, hogy az egyelőtleségbe szereplő véges vagy végtele várható értékek létezek Bizoyítás: Megjegyezzük,
Részletesebben2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...
. Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk
RészletesebbenStatisztikai programcsomagok
Statisztikai programcsomagok Sz cs Gábor Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Szeged, 2012. tavaszi félév Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Itézet) Statisztikai programcsomagok 2012. tavaszi félév 1 / 26 Bevezetés
RészletesebbenA szórások vizsgálata. Az F-próba. A döntés. Az F-próba szabadsági fokai
05..04. szórások vizsgálata z F-próba Hogya foguk hozzá? Nullhipotézis: a két szórás azoos, az eltérés véletle (mitavétel). ullhipotézishez tartozik egy ú. F-eloszlás. Szabadsági fokok: számláló: - evező:
RészletesebbenValószín ségszámítás (jegyzet)
Valószí ségszámítás (jegyzet) Csiszár Vill 9. február 8.. Valószí ségi mez Két bevezet példa: ) Osztozkodási probléma (494, helyes megoldás több, mit évvel kés bb, Pascal, Fermat): Két játékos fej-írás
Részletesebben24. tétel A valószínűségszámítás elemei. A valószínűség kiszámításának kombinatorikus modellje.
24. tétel valószíűségszámítás elemei. valószíűség kiszámításáak kombiatorikus modellje. GYORISÁG ÉS VLÓSZÍŰSÉG meyibe az egyes adatok a sokaságo belüli részaráyát adjuk meg (törtbe vagy százalékba), akkor
RészletesebbenMegjegyzések. További tételek. Valódi határeloszlások. Tulajdonságok. Gyenge (eloszlásbeli) konvergencia
Valószíűségszámítás és statisztika előadás ifo. BSC/B-C szakosokak 6. előadás október 5. Megjegyzések. A tétel feltételei gyegíthetőek: elég, ha a függetle, azoos eloszlású változók várható értéke véges.
RészletesebbenMatematikai statisztika gyakorlat Programtervez informatikus alapszak, A szakirány 2018/2019 tavaszi félév Megoldások, végeredmények
Matematikai statisztika gyakorlat Programtervez iformatikus alapszak, A szakiráy 8/9 tavaszi félév Megoldások, végeredméyek. A. évi épszámlálás alapjá a -4 év közötti épesség emek szeriti megoszlása Forrás:
RészletesebbenSzámsorozatok. 1. Alapfeladatok december 22. sorozat határértékét, ha. 1. Feladat: Határozzuk meg az a n = 3n2 + 7n 5n létezik.
Számsorozatok 2015. december 22. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az a 2 + 7 5 2 + 4 létezik. sorozat határértékét, ha Megoldás: Mivel egy tört határértéke a kérdés, ezért vizsgáljuk meg el
Részletesebbenæ MATEMATIKAI STATISZTIKA Dr. Bolla Marianna, Matematika Intézet, Sztochasztika Tanszék
æ MATEMATIKAI STATISZTIKA Dr. Bolla Mariaa, Matematika Itézet, Sztochasztika Taszék Leíró statisztika Ω, A, P) statisztikai mező, ahol a P mértékcsalád olya P eloszlásokból áll, melyekkel Ω, A, P) valószíűségi
Részletesebben3.4. gyakorlat. Matematika B1X február 1819.
3.4. gyakorlat Matematika B1X 2003. február 1819. 1. A harmadik el adás (II. 17.) 1.1. Számosság Egyel számosságú halmazok. Véges, megszámlálhatóa végtele és kotiuum számosságú halmazok. Hatváyhalmaz számossága
RészletesebbenMatematikai statisztika
Matematka statsztka 8. elıadás http://www.math.elte.hu/~arato/matstat0.htm Kétmtás eset: függetle mták + + + = + ) ( ) ( ) ( Y Y X X Y X m m m t m Ha smert a szórás: (X elemő, σ szórású, Y m elemő, σ szórású),
RészletesebbenValószín ségszámítás és statisztika
Valószí ségszámítás és statisztika oktatási segédayag Kupá Pál Tartalomjegyzék fejezet Valószí ségszámítási alapfogalmak 5 Eseméyek 5 M veletek eseméyekkel 5 2 A valószí ség fogalma 7 3 Valószí ségi változók
RészletesebbenVéletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus.
Valószín ségelméleti és matematikai statisztikai alapfogalmak összefoglalása (Kemény Sándor - Deák András: Mérések tervezése és eredményeik értékelése, kivonat) Véletlen jelenség: okok rendszere hozza
Részletesebbenezek alapján kívánunk dönteni. Ez formálisan azt jelenti, hogy ellenőrizni akarjuk,
A deceber -i gyakorlat téája A hipotézisvizsgálat fotos probléája a következő két kérdés vizsgálata. a) Egy véletle eyiség várható értékéek agyságáról va bízoyos feltevésük. Elleőrizi akarjuk e feltevés
RészletesebbenStatisztikai hipotézisvizsgálatok
Statisztikai hipotézisvizsgálatok. Milye problémákál haszálatos? A gyakorlatba agyo gyakra szükségük lehet arra, hogy mitákból származó iformációk alapjá hozzuk sokaságra voatkozó dötéseket. Például egy
RészletesebbenValószín ségszámítás és statisztika
Valószín ségszámítás és statisztika Informatika BSc, esti tagozat Backhausz Ágnes 2016/2017. tavaszi félév Valószín ségi vektorváltozó Deníció Az X = (X 1,..., X n ) : Ω R n függvény valószín ségi vektorváltozó,
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 8 VIII. REGREssZIÓ 1. A REGREssZIÓs EGYENEs Két valószínűségi változó kapcsolatának leírására az eddigiek alapján vagy egy numerikus
RészletesebbenKomplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós
Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.
Részletesebben3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.
3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.
RészletesebbenBiomatematika 12. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János
Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 12. Regresszió- és korrelációanaĺızis Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision
RészletesebbenA tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat
A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Legye N, x k R k =,, és tegyük fel, hogy vagy x k 0 k =,, vagy pedig x k 0 k =,, Ekkor + x k + x k Speciális Beroulli-egyelőtleség Ha N és
Részletesebben3.1. A Poisson-eloszlás
Harmadik fejezet Nevezetes valószíűségi változók Valamely valószíűségi változóhoz kapcsolódó kérdésekre akkor tuduk potos választ adi, ha a változó eloszlása ismert, vagy megközelítőleg ismert. Ebbe a
RészletesebbenKomputer statisztika
Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Iformatikai Itézet Tómács Tibor Komputer statisztika Eger, 010. október 6. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Valószíűségszámítás 7 1.1. Valószíűségi mező............................
RészletesebbenV. Deriválható függvények
Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája
RészletesebbenVII. A határozatlan esetek kiküszöbölése
A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely
Részletesebbenmin{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is:
. A szupréum elv. = H R felülr l körlátos H fels korlátai között va legkisebb, azaz A és B a A és K B : a K Ekkor ξ-re: mi{k R K fels korlátja H-ak} } a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis 1. Írásbeli beugró kérdések Készítette: Szátó Ádám 2011. Tavaszi félév 1. Írja le a Dedekid-axiómát! Legyeek A R, B R. Ekkor ha a A és b B : a b, akkor
RészletesebbenStatisztika. Eloszlásjellemzők
Statsztka Eloszlásjellemzők Statsztka adatok elemzése A sokaság jellemzése középértékekkel A sokaság jellemzéséek szempotja A sokaság jellemzéséek szempotja: A sokaság tpkus értékéek meghatározása. Az
Részletesebben1. A radioaktivitás statisztikus jellege
A radioaktivitás időfüggése 1. A radioaktivitás statisztikus jellege Va N darab azoos radioaktív atomuk, melyekek az atommagja spotá átalakulásra képes. tegyük fel, hogy ezek em bomlaak tovább. Ekkor a
RészletesebbenFeladatok megoldása. Diszkrét matematika I. Beadandó feladatok. Bujtás Ferenc (CZU7KZ) December 14, feladat: (A B A A \ C = B)
Diszkrét matematika I. Beadadó feladatok Bujtás Ferec (CZU7KZ) December 14 014 Feladatok megoldása 1..1-6. feladat: (A B A A \ C = B) A B A = A \ C = B igazolása: A B A = B \A = Ø = B = A B (Mivel a B-ek
Részletesebben1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3
Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)
RészletesebbenGVMST22GNC Statisztika II. Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet
GVMST22GNC Statisztika II. 3. előadás: 8. Hipotézisvizsgálat Kóczy Á. László Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet Hipotézisvizsgálat v becslés Becslés Ismeretlen paraméter Közeĺıtő
RészletesebbenTudjuk, hogy az optimumot az ún. regressziós görbe szolgáltatja, melynek egyenlete:
æ REGRESSZIÓANALÍZIS Az alapprobléma a következő: Az X, Y v.v. együttes eloszlásáak ismeretébe közelítei szereték Y-t X mérhető t fv.-ével legkisebb égyzetes értelembe: E(Y t(x)) 2 mi. t be. Tudjuk, hogy
RészletesebbenHipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák)
Következtetı statisztika 5. Hipotézis-elleırzés (Statisztikai próbák) 1 Egymitás próbák Átlagra, aráyra, Szórásra Hipotézis-vizsgálat Áttekités Egymitás em paraméteres próbák Függetleségvizsgálat Illeszkedésvizsgálat
RészletesebbenA Statisztika alapjai
A Statisztika alapjai BME A3c Magyar Róbert 2016.05.12. Mi az a Statisztika? A statisztika a valóság számszerű információinak megfigyelésére, összegzésére, elemzésére és modellezésére irányuló gyakorlati
RészletesebbenHipotéziselmélet - paraméteres próbák. eloszlások. Matematikai statisztika Gazdaságinformatikus MSc szeptember 10. 1/58
u- t- Matematikai statisztika Gazdaságinformatikus MSc 2. előadás 2018. szeptember 10. 1/58 u- t- 2/58 eloszlás eloszlás m várható értékkel, σ szórással N(m, σ) Sűrűségfüggvénye: f (x) = 1 e (x m)2 2σ
RészletesebbenValószínűségi változók. Várható érték és szórás
Matematikai statisztika gyakorlat Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Valószínűségi változók 2016. március 7-11. 1 / 13 Valószínűségi változók Legyen a (Ω, A, P) valószínűségi mező. Egy X :
Részletesebben1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény
Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,
RészletesebbenTartalom. Kezdeti szimulációs technikák. Tipikus kérdések. A bootstrap módszer. Bevezetés A független, azonos eloszlású eset:
Tartalom A bootstrap módszer Zempléi Adrás TTK, Valószíőségelméleti és Statisztika Taszék 2010. október 21 Bevezetés A függetle, azoos eloszlású eset: emparaméteres paraméteres eset Alkalmazások a rétegzett
Részletesebben(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):
A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak
Részletesebben(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1
. Bevezető. Oldja meg az alábbi egyeleteket: (a cos x + si x + cos x si x = (b π si x = x π 4 x 3π 4 cos x (c cos x + si x = si x (d x 6 3x = 0 (e x + x = x (f x + 5 + x = 8 (g x + + x + + x + x + =..
Részletesebben1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása
HIPOTÉZIS VIZSGÁLAT A hipotézis feltételezés egy vagy több populációról. (pl. egy gyógyszer az esetek 90%-ában hatásos; egy kezelés jelentősen megnöveli a rákos betegek túlélését). A hipotézis vizsgálat
RészletesebbenFeladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz
Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.
RészletesebbenRudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása
Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai
RészletesebbenELTE TTK Budapest, január
Valószíűségszámítás Arató Miklós előadásai alapjá Készítették: Martiek László Tassy Gergely ELTE TTK Budapest, 008. jauár Typeset by L A TEX . el adás 007. IX.. szerda Klasszikus (kombiatorikus valószí
RészletesebbenANALÍZIS 1. I. VIZSGA január 11. Mérnök informatikus szak α-variáns Munkaidő: 90 perc., vagyis z 2 1p = i 1p = ( cos 3π 2 2
ANALÍZIS. I. VIZSGA. jauár. Mérök iformatikus szak α-variás Mukaidő: perc. feladat pot) Adja meg az z 4 i)z i egyelet összes megoldását. i + i) + 4i + 4 i +, vagyis z p i p cos 3 + i si ) 3 vagy z p i
RészletesebbenStatisztika Elıadások letölthetık a címrıl
Statisztika Elıadások letölthetık a http://www.cs.elte.hu/~arato/stat*.pdf címrıl Konfidencia intervallum Def.: 1-α megbízhatóságú konfidencia intervallum: Olyan intervallum, mely legalább 1-α valószínőséggel
RészletesebbenNormális eloszlás paramétereire vonatkozó próbák
Normális eloszlás paramétereire vonatkozó próbák Az alábbi próbák akkor használhatók, ha a meggyelések függetlenek, és feltételezhetjük, hogy normális eloszlásúak a meggyelések függetlenek, véges szórású
RészletesebbenElméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz
Elméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz 1. dolgozat Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet
RészletesebbenORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!
ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Életta Aatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos dötéseket hoz! Mkor jó egy dötés? Meyre helyes egy dötés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test hőmérséklet
RészletesebbenHuzsvai László. STATISZTIKA Gazdaságelemzők részére Excel és R alkalmazások
Huzsvai László STATISZTIKA Gazdaságelemzők részére Excel és R alkalmazások SENECA BOOKS 2012 Szerkesztő: Huzsvai László Mide jog fetartva. Jele köyvet vagy aak részleteit a Kiadó egedélye élkül bármilye
RészletesebbenKalkulus II., második házi feladat
Uger Tamás Istvá FTDYJ Név: Uger Tamás Istvá Neptu: FTDYJ Web: http://maxwellszehu/~ugert Kalkulus II, második házi feladat pot) Koverges? Abszolút koverges? ) l A feladat teljese yilvávalóa arra kívácsi,
Részletesebben8.1. A rezgések szétcsatolása harmonikus közelítésben. Normálrezgések. = =q n és legyen itt a potenciál nulla. q i j. szimmetrikus. q k.
8. KIS REZGÉSEK STABIL EGYENSÚLYI HELYZET KÖRÜL 8.. A rezgések szétcsatolása harmoikus közelítésbe. Normálrezgések Egyesúlyi helyzet: olya helyzet, amelybe belehelyezve a redszert (ulla kezdősebességgel),
RészletesebbenStatisztika 2. Dr Gősi Zsuzsanna Egyetemi adjunktus
Statisztika 2. Dr Gősi Zsuzsanna Egyetemi adjunktus Gyakorisági sorok Mennyiségi ismérv jellemző rangsor készítünk. (pl. napi jegyeladások száma) A gyakorisági sor képzése igazából tömörítést jelent Nagyszámú
RészletesebbenGyakorló feladatok II.
Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,
RészletesebbenA statisztika részei. Példa:
STATISZTIKA Miért tauljuk statisztikát? Mire haszálhatjuk? Szakirodalom értő és kritikus olvasásához Mit állít egyáltalá a cikk? Korrektek-e a megállaítások? Vizsgálatok (kísérletek és felmérések) tervezéséhez,
Részletesebben