Matematikai statisztika gyakorlat Programtervez informatikus alapszak, A szakirány 2018/2019 tavaszi félév Megoldások, végeredmények
|
|
- Marika Szilágyi
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Matematikai statisztika gyakorlat Programtervez iformatikus alapszak, A szakiráy 8/9 tavaszi félév Megoldások, végeredméyek. A. évi épszámlálás alapjá a -4 év közötti épesség emek szeriti megoszlása Forrás: Nem Népesség száma f Fér N 3 96 Összese a. Add meg a táblázat adataiból számítható viszoyszámokat! b. A 6-os Mikroezus szerit Magyarország épessége f. Számítsd ki a éps r séget! Ez milye viszoyszám?. Az euró eladási árfolyamáak alakulása az K&H Bakál a következ volt: Id pot Árfolyam Ft/euró 8. február 8. 38,33 9. február 8. 37,8 Adj meg és értelmezz a táblázat adataiból számítható diamikus viszoyszámot! 3. Egy termel vállalatál a zikai mukát végz k összese 8 db alkatrészt állítottak el, amib l a k teljesítméye 85 db volt. A vállalatak 95 fér zikai dolgozója va. A kél a termelékeység, azaz az egy f re jutó termelt meyiség 7 db/f. a. Milye viszoyszám található a feladat szövegébe és hogya számoljuk? b. Szerkessz statisztikai táblát az adatokból és töltsd ki a hiáyzó rubrikákat! 4. Néháy iformáió az ELTE matematika alapszakjára 6-ba jeletkez kr l: az állami aszírozásos képzésre 348-a jeletkeztek, 36,494%-uk els helye jeletkezett, végül -et vettek fel. A költségtérítéses képzési formára jeletkez k,7%-át, 9 f t vették fel. Összese 4 ember jelölte be az ELTE matematika szakát els helye. a. Milye viszoyszámok találhatók a feladat szövegébe? b. Szerkessz statisztikai táblát az adatokból és töltsd ki a hiáyzó rubrikákat! 5. Egy vállalat égy részleggel redelkezik, az ott dolgozók bruttó zetésér l az alábbi adatok állak redelkezésükre: Részleg Átlagkereset e Ft/f Dolgozók létszáma f Raktár Összeszerel 5 6 Tampóm hely 5 8 Irodaház 3 Összese a. Milye viszoyszám található a táblázatba és hogya számoljuk? b. Számítsd ki a hiáyzó potozott értékeket! 6. Egy szálloda 6-os vedégforgalmáról az alábbiakat ismerjük: Származási Vedégéjszakák Egy vedégéjszakára Egy vedégre jutó ország szerit száma jutó szállás díja vedégéjszakák száma a vedég éj Ft/éj éj/f Belföldi Külföldi 4 Összese Határozd meg a teljes hotelre voatkozóa az egy vedégéjszakára jutó szállás díjat és az egy vedégre jutó vedégéjszakák számát! 7. Magyarország épességér l az alábbiakat ismerjük: Település jellege Népesség megoszlása Népesség változása -be % 99-r l -re % Budapest 7,4-4,4 Többi város 5,9 -,4 Községek 3,7 -,8 Összese,... a. 99 és között évete átlagosa meyivel változott a budapesti lakosság? b. Háy százalékkal változott a épesség száma 99-r l -re?. Melyik települése él k részaráya sökket? 8. Egy szabályos dobókokával 4-szer dobtuk és a következ ket kaptuk:, 3, 6,. a. Számold ki a mitaátlagot, tapasztalati szórást és korrigált tapasztalati szórást, a szórási együtthatót a korrigált szórást haszálva, valamit a második tapasztalati mometumot! b. Számítsd ki és rajzold fel a tapasztalati eloszlásfüggvéyt! Meyi a tapasztalati eloszlásfüggvéy értéke a, 3, 4 helyeke?. Mi a kokadobás elméleti eloszlásfüggvéye? Ábrázold ezt a függvéyt! d. A floorruif, mi, max 7 utasítással geerálj kokadobást és ábrázold a tapasztalati eloszlásfüggvéyét! Mit tapasztalsz? e. Tekitsük a kokadobás értékek -zal való eltolását:, 3, 6,. Meyi lesz most a mitaátlag és a tapasztalati szórás? f. Az a.-potbeli adatokat szorozzuk meg 3-mal: 3; 9; ; 3. Hogya változik ekkor a mitaátlag és a tapasztalati szórás? 9. Egy soportba a hallgatók magassága m: a. Nézzük át agy voalakba az adatokat, reálisak-e! Próbáljuk javítai az esetleges adathibákat! b. Határozd meg a redezett mitát!
2 . Rajzold fel a tapasztalati eloszlásfüggvéyt! Meyi a tapasztalati eloszlásfüggvéy értéke a 8 helye? Értelmezd szövegese! d. Elemezd a hallgatók testmagasságát alapstatisztikák: átlag, korrigált tapasztalati szórás, szórási együttható, kvartilisek, terjedelem, iterkvartilis terjedelem, tapasztalati ferdeség, tapasztalati súsosság segítségével! Értelmezd szövegese az eredméyeket! e. Készíts boxplot ábrát! f. Készíts alkalmas osztályközös gyakorisági sort, majd abból hisztogramot!. Elemezd az alábbi adatokat az el z feladat elemzési szempotjai alapjá: a. A holapomo található Nyarhom.Rdata ev fájl a 4. yári api maximum-h mérsékleteket tartalmazza egy települése C b. Mita futási id kb l: mérd meg alkalommal, hogy az R milye gyorsa geerál és redez egy 4 elem stadard ormális mitát! Javasolt a mirobehmark pakage haszálata a futási id mérésére. A mitából készíts hisztogramokat külöböz sávszélesség eseté! Melyiket tartod a "legjobbak"?. Legye adat,,,,8,3,5,7,8,,3,5,,7,8,3,5,3,,8. Mit számol az alábbi R program? a. sumadat<3 b. amestableadat[tableadatmaxtableadat]. sdadat sqrtsumadat-meaadat /legthadat TRUE vagy FALSE? Ameyibe hamis az állítás, hogya lehet igazzá tei? d. reprep"a","b",, df bidas.data.frameadat,as.data.framerep libraryggplot ggplotdf, aesx rep, y adat + geom_boxplotfill "gold" + sale_x_disreteame "A és B soport". Határozzuk meg a mitateret a következ esetekbe: a. Egy dobókoka háromszori feldobása. b. Egy diák felkelési id potjait jegyzik fel apo keresztül.. Három pézérmét -szer dobuk fel. 3. Legye X,..., X függetle, azoos, abszolút folytoos eloszlású mita, a mitaelemek eloszlásfüggvéyét jelölje F x, a s r ségfüggvéyét pedig fx. Mutasd meg, hogy a miimum és a maximum s r ségfüggvéye a következ : f X x fx F x és f X x fx F x. El ször ézzük a miimumot F x P mix X,..., X < x P mix,..., X > x P X > x,..., X > x P X > x... P X > x [P X > x] [ P X < x] [ F x] Ezt deriválva, megkapjuk a miimum s r ségfüggvéyét: f X x fx[ F x] Most ézzük a maximumot: F X x P maxx,..., X < x P X < x,..., X < x P X < x... P X < x [P X < x] [F x] Ezt deriválva, megkapjuk a maximum s r ségfüggvéyét: x fx[f x] f X 4. Adjuk torzítatla beslést at E, eloszlás ismeretle > paraméterére T X X T X X T 3 X X statisztikák segítségével. Hasolítsuk ket össze hatásosság szempotjából! E, eloszlás- és s r ségfüggvéye: ha x { x F x ha < x f x ha < x < külöbe ha < x Kezdjük a mitaátlaggal: ET X EX EX T X : X torzítatla beslése -ak D T X 4D X 4D X 4 Következ ek ézzük a maximumot: EX xfxf x dx [ x dx x 3. x dx ] x + + dx T X : + X torzítatla beslése -ak Szükség va a második mometumra is, hogy ki tudjuk számítai a szóráségyzetet. EX x fxf x dx x x dx [ ] x + dx x + + dx D X Így D T X + D X kisebb, mit T szóráségyzete, ezért T hatásosabb T -él. Végül számoljuk ki a miimum várható értékét: EX xfx F x dx x x dx +. Ez mide -re Érdemes az y x helyettesítést elvégezi, ekkor x y, dx dy és így
3 EX y y dy yy dy + +, tehát T 3 X + X torzítatla beslése a paraméterek. Most is szükség va a második mometumra a szóráségyzet kiszámolásához. EX x x dx y y dy y y dy Így D T 3 X + D X , ami mide -re agyobb, mit a másik két torzítatlaá tett statisztika szóráségyzete, így azok hatásosabbak T 3 -ál. Összefoglalva, hatásosság szempotjából a sorred: T >> T >> T Próbáljuk R-be meghatározi az el z feladat besléseit! Geeráljuk - szer 6 elem [, 3] itervallumo egyeletes eloszlású mitát! Hasolítsuk össze a besléseket! 6. Legye X,..., X i.i.d. Expλ, λ > eloszlásból, >. Torzítatla beslése az ismeretle λ paraméterek a T X X... X statisztika? Ha em, tegyük azzá! Útmutatás: az itegrál kiszámolásához haszáljuk az Euler-féle gamma-függvéyt: Γz x z e x dx Számoljuk ki a statisztika várható értékét: E λ T X E λ E λ X... X... X X [ ] E λ... E λ X E λ X X x λe λx dx λe λx dx x Az itegrál kiszámolása a Gamma-függvéy segítségével fog mei, de el tte végezzük egy helyettesítést az itegrálba: y : λx x λ y és dx λ dy. [ E λ T X λ y λe y λ dy λ y e y dy λ Γ ] Tehát a T statisztika em besüli torzítatlaul a λ paramétert, de torzítatlaá tudjuk tei, jelölje ezt a T statisztika: T X [Γ ] X... X 7. -szer választuk egy gép gyártmáyai közül. Midegyik gyártmáyról megállapítjuk, hogy selejtes vagy sem. Miket a gépr l kikerül gyártmáyok selejtaráya érdekel, amit em ismerük. Modellezzük a problémát a következ képp: legye X,..., X i.i.d. mita idikátor eloszlásból, ami azt mutatja meg, hogy az egyes gyártmáyok selejtesek-e vagy em. Az X azt az eseméyt jeletse, hogy az. gyártmáy selejtes, eek ismeretle valószí ségét pedig jelölje p. a. Határozd meg a mitateret és a paraméterteret! b. A T X X X statisztika torzítatlaul besüli a p paramétert?. Keressük elégséges statisztikát! a. A paramétertér: Θ {p : p, } A mitatér: X {; } b. E p T X E p X X E px E p X E p X p, tehát a statisztika torzítatlaul besüli a p paramétert.. Idikátoreloszlás eseté P X p és P X p, amit tömörebbe a következ képp lehet felíri: P X x p x p x, ahol x,. Ezzel a likelihood függvéy: Lp, x P p X x i P p p i xi p i xi Most már tudjuk alkalmazi a Neyma-féle faktorizáiós tételt: T x, g p y p y p y, hx, tehát a mitaelemek összege elégséges statisztika. 8. Torzítatla-e a tapasztalati közép reiproka az expoeiális eloszlás paraméterére? Ha em, hogya lehet torzítatlaá tei? Bevezet valószí ségszámítás órá szerepelt, hogy ha X,..., X függetle azoos λ paraméter expoeiálisok, akkor X + +X eloszlása Gamma, reddel és λ paraméterrel, azaz {! f X+ +X t λ t e λt ha t >, külöbe és > -re E λ X + + X λ t! λ t e λt dt! λ t e λt dt λ, amib l a mitaátlag reiprokáak várható értékére E λ X + +X λ adódik, Azaz λ torzítatla beslését kaphatjuk > eseté a ˆλ /X + i 3
4 + X formulával. -re /X végtele várható érték, azt em tudjuk torzítatlaá tei. 9. Keressük elégséges statisztikát a következ eloszlássaládokból vett elem mita eseté, és ahol tudjuk, írjuk fel a kapott elégséges statisztika eloszlását is. a. Bir, p, r egész ismert, < p < paraméter, b. Geop, < p < paraméter,. diszkrét egyeletes az {,,..., N} halmazo, N egész paraméter, d. E,, > paraméter, e. E,, > paraméter. Az összes részfeladatál felírjuk a likelihood-függvéyt és addig alakítjuk, hogy látszódjo egy megfelel "szereposztás" a Neyma-féle faktorizáiós tételt alkalmazásához. a. Lp; x P p r i p p r xi [ i r i i ] p i i p r i T x egy lehetséges elégséges statisztika, g p y p y p r y, hx r i b. Lp; x P p p p xi p p i i i i i T x egy elégséges statisztika, g p y p p y, hx i. Itt a folytoos egyeleteshez hasolóa vigyázi kell, mert a valószí ségi változó által felvett érték is függ a paramétert l. LN; x P N N I N, Z i i N I x,..., x N, Z N I x,..., x N, x i Z I x Z N IN x Z T x x egy elégséges statisztika, g Ny N IN y, hx I x d. L; x f I i i I x,..., x I x, x I x, x I max x, x T x max x, x egy elégséges statisztika, g y I y, hx e. L; x f I I x,..., x i i I x, x x I x T x x, x egy elégséges statisztika, g y, y I y y, hx. Legye X,..., X i.i.d. mita Poiλ, λ > eloszlásból. a. Adjuk hatásos beslést a gλ e λ meyiségre! b. Milye más besléseket alkalmazál még?. Szimuláljuk külöböz elemszámú és paraméter Poisso-mitákat, majd vizsgáljuk meg az egyes beslések viselkedését! d. Alkalmazd ezt a hatásos beslést a vízi halálos balesetek számára, forrás: http: // a. A Blakwell-Rao tételt fogjuk alkalmazi, aak 3 lépésé kell végigmei. El ször keressük egy elégséges statisztikát amir l em fogjuk beláti, hogy teljes is egybe, de feltesszük, hogy az. A Neyma-féle faktorizáiós tételt fogjuk haszáli a kereséshez. Lλ; x P λ λ λi e λ, mely i alakból leolvasható, hogy Sx g λ y λ y e λ, hx. i!! e λ i i i! egy lehetséges elégséges statisztika, A második lépés egy torzítatla beslés keresése a besüled e λ -ra. Vegyük észre, hogy ez a Poisso eloszlás ulladik tagja, így egy egyszer torzítatla beslés például kizárólag az. mitaelemet haszálva T X IX, mivel E λ T X E λ IX P λ X e λ. A harmadik lépésbe ki kell számoli az ET X SX feltételes várható értéket, ez lesz a hatásos beslés. Mivel az eloszlásuk diszkrét, ezért ezt a feltételes várható értéket úgy számoljuk ki, hogy a feltételbe lév valószí ségi változó értékét lerögzítjük, majd a végé visszaírjuk. ET X SXE IX E IX k i i k i A további számolások sorá fel fogjuk haszáli, hogy a mita i.i.d. Poisso eloszlású és bevezet valszámból tudjuk, hogy ekkor X X Poisso eloszlású λ paraméterrel. E IX k P X P i X, k i P k i k P λ e λ k! e λ k λ k k! e λ ET X SX k i X, k P X P λ k i i P k P k i i i. b. Természetes választásak t ik például T X mitaelemek relatív gyakorisága. k k, ezáltal a hatásos beslés: I, ami a érték i 4
5 . d.. Legye X,..., X i.i.d. Expλ, λ > eloszlásból. a. Adjuk blakwellizálással jó mi ség torzítatla beslést a gλ e λ meyiségre > kostas! b. Geeráljuk R-be paraméter elem expoeiális mitákat és próbáljuk megbesüli a feti meyiségeket.5; ; ; 3; 4-re. Mekkorák leszek a hibák? Legye X,..., X i.i.d. Expλ, λ > eloszlásból. a. Most is a blakwellizálás 3 lépésé kell végigmei. El ször keressük elégséges statisztikát: Lλ; x i f λ i λe λxi I alakból leolvasható, hogy Sx g λ y λ e λy, hx Ix >. i > λ e λ i Ix >, mely egy lehetséges elégséges statisztika, Második lépésbe keresük egy torzítatla beslést e λ -ra. Vegyük észre, hogy az expoeiális eloszlás eloszlásfüggvéye alapjá P λ X > e λ, így T X IX > jó lesz torzítatla beslések. A harmadik lépésbe ki kell számoli az ET X SX feltételes várható értéket, ez lesz a hatásos beslés. E IX > Ix > f x y dx X f X i i x y y i dx i fx, x,y i f y i dx y i y i Ki kell tehát számítauk az itegráljel mögött a számlálóba lév együttes s r ségfüggvéyt. Úgy foguk eljári, hogy az együttes eloszlásfüggvéyt továbbalakítjuk a teljes valószí ség tételével folytoos eset, majd x és y szerit lederiválva, megkapjuk az együttes s r ségfüggvéyt. F X, x f X, x, y P λ X < x, < y i i P λ X < x, X + < y X u f X u du i P λ u + x < y f X u du F y uf X u du i i x, y y x F X, i x, y i y x x F i y uf X u du y F i y xf X x f y xf X x i Eek ismeretébe folytathatjuk a hatásos beslés kiszámolását. Bevezet valószí ségszámításból ismeretes, hogy darab függetle Expλ eloszlású valószí ségi változó összege Γ, λ eloszlású. fx, x,y f X x f y x i i f y dx f y dx i i λe λx Ix> Γ λ e λy x y x Iy x> dx Γ λ e λy y Iy> y [ ] y x dx y x x y y y xy y Tehát a hatásos beslés E IX > b.. Tekitsük egy elem i.i.d. Poisso eloszlású mitát. i i y a. Adjuk maximum likelihood beslést az ismeretle paraméterre! b. Tegyük fel, hogy a i_ods.html like található közúti baleseti halálesetek száma Poissoeloszlást követ. Adjuk beslést az eloszlás paraméterére!. Megfelel ek tartod ezt az eljárást? Tegyük fel, hogy az i-edik év Poisso paramétere µρ i 99 tehát a mitaelemek em azoos eloszlásúak. Besüld meg µ-t és ρ-t maximum likelihood módszerrel! d. Próbálkozz más modellekkel is! a. Lλ; x P λ i i lλ; x log + i i! i λ! e λ i log λ λ! λ i e λ λ lλ; x λ λ ML X Megmutatható, hogy ez a lehetséges széls értékhely maximum. b.. Az adatok az 99, 99,..., 7 évekre adottak, ezért a mitát jelöljük X 99,..., X 7 -tel. A feladat szövege alapjá most is midegyik függetleek tételezhet fel a többit l, de em azoos eloszlásúak. Jelölje az i idex mitaelem paraméterét λ i µρ 99 i. Ekkor a likelihood függvéy: Lµ, ρ; x 7 j99 λ x j j x j! e λj x e 7 λ j 7 j99 j99 Így a loglikelihood függvéy a paraméterekt l függetle kostastól eltekitve λ xj j. 5
6 lµ, ρ; x 7 µ 7 j99 j99 λ j + 7 ρ j j99 j99 x j logλ j µ 7 ρ i + 7 x 99+i log µ + i log ρ i µ ρ8 ρ i 7 + log µ i x j log µ + j 99 log ρ x 99+i + log ρ 7 ix 99+i i A maximum likelihood besléshez eek a függvéyek a maximumhelyét kell megtaláli, µ és ρ paraméterek szerit kell maximalizáli. A meggyelésekb l két értekre va szükségük: a mitaösszegre és 7 i ix 99+i-re. d. 3. Tekitsük egy elem i.i.d. geometriai eloszlású mitát. a. Adjuk maximum likelihood beslést az ismeretle paraméterre! b. Geerálj R-be. paraméter elem geometriai eloszlású mitákat! Mit lehet modai a feti beslés viselkedésér l? a. Lp; x p p xi p p i xi i lp; x logp + log p i p lp; x p i p p i p Lehetséges széls értékhely ott va, ahol a derivált zérus:, azaz i p p p x i Megmutatható, hogy ez maximumhely, így p ML X. b. 4. Legyeek X,..., X, Y,..., Y m függetle, em egyforma paraméter ormális eloszlású miták. A mitákat em tudjuk meggyeli, sak az ɛ ij I < Y j, i,...,, j,..., m idikátor változókat. Hogya lehete az eredeti X, Y változók paramétereit besüli? 5. A Logormal_Distributio_Examples íme meghibásodási id ket talál. Ezeket gyakra logormális eloszlással közelítik. a. Adjuk a paraméterekre maximum likelihood beslést! b. Besüljük a paramétereket mometum módszerrel is!. Adjuk beslést aak a valószí ségére, hogy az els 7 órába em törtéik meghibásodás! a. A loglikelihood függvéy éháy átalakítás utá: lm, σ, x Cx log σ σ i log m Deriváli kell a két paraméter szerit: m lm, σ, x σ i log m i log m m i log xi m i log xi σ lm, σ, x σ σ i log x 3 i m σ b. A logormális eloszlás -edik mometuma: EX e m+ σ /, amit itegrálással megkaphatuk aak felhaszálásával, hogy X e Y, ahol Y Nm, σ : EX Ee Y e y πσ e y m σ dy Alakítsuk át az expoesbe lév meyiséget! y y m σ y ym σ y+m σ y m+σ m+σ +m σ y m+σ mσ σ 4 σ y m+σ σ + m + σ / Folytatva a számolást, EX πσ e m+ σ / e y m+σ σ dy e m+ σ / Két ismeretle paraméterük va, ezért az els két mometumegyeletet kell felíri. log m µ + σ / log m µ + σ Megoldva az egyeletredszert, a mometumbeslésre a következ adódik: µ log m log m és σ log m log m. 6. A le-ba a Setteked Sáskák Biztosító 83 db felel sségbiztosítási kárát láthatjuk millió foritba. A biztosító az ilye típusú károkat Pareto-eloszlással modellezi. αβ A Pareto-eloszlás s r ségfüggvéye α β+x Ix >. α+ a. Adjuk maximum likelihood beslést az α paraméterre, ha β, 5! b. Adjuk meg α mometum módszeres beslését is! Meyire tér el ez az el z beslést l?. Határozzuk meg az el z besléseket, ha egyik paraméter sem ismert! α a. lα; x log β α Ix > i β+xiα+ log α + α log β α + log i β + α lα; x α + log β log i β +, így az ML-beslés: α ML log i,5+xi log,5 β α, így a mo- b. Itegrálással megmutatható, hogy az eloszlás várható értéke metum beslés: α MM,5 + X. 7. A RData íme 9 postagalamb visszaérkezési id potját apba számolva találjuk 6
7 meg. Tegyük fel, hogy a visszaérkezési id potok expoeiális eloszlást követek. a. Határozzuk meg a paraméter maximum likelihood beslését! Mivel kellee ezt szorozi, hogy torzítatla beslést kapjuk? b. Bizoyítsuk be, hogy az így kapott beslés hatásos!. Határozzuk meg a Fisher-féle iformáiómeyiséget! d. Határozzuk meg az iformáiós határt, ha a paramétert besüljük! e. Határozzuk meg az iformáiós határt, ha a paraméter reiprokát besüljük! f. Geeráljuk -szer paraméter 9 elem mitát. Hasolítsuk össze a kapott égyzetes hibákat az iformáiós határokkal! a. λ lλ; x λ log λ e λ i Ix > λ log λ λ Ix > λ i i Ezt -val egyel vé téve és megoldva, az ML-beslésre λ ML i adódik. Le lehet elle rizi, hogy ez valóba maximumhely. A 8. feladat alapjá ez a beslés em torzítatla beslése λ-ak, de T X már az. i b. Be lehet láti, hogy SX teljes elégséges statisztika, így a Blakwelli Rao tétel értelmébe a hatásos beslés: E. Tehát a i torzítatlaá tett ML-beslés hatásos.. E λ λ lλ; X E λ λ λ E λx, azaz teljesül az. regularitási feltétel. I λ I λ Dλ λlλ, X Dλ λ X λ d. Dλ E λ Eλ. i i i i A. várható érték λ, mert a statisztika torzítatla beslése λ-ak, az. várható értéket pedig ki kell számoli itegrálással. Az itegrált valszámosa fogjuk kiszámoli az itegradust addig alakítjuk, míg az ott lév kifejezés egy eloszlás s r ségfüggvéye em lesz, amit itegrálva, -et kapuk. E λ x! λ e λx x dx i i i λ Dλ i 3! λ e λx x 3 dx λ }{{} Γ 3,λ eloszlás s r ségfv.-e λ λ gλ λ, így az iformáiós határ: λ λ, tehát a statisztika szóráségyzete agyobb az iformáiós határál, em éri el. Így a Cramér-Rao egyel tleség alapjá em tudjuk, hogy a vizsgált torzítatlaá tett ML-beslés hatásos-e. A b. feladatrészbe blakwellizálással viszot beláttuk, hogy az. e. Ameyibe a paraméter besüled függvéye gλ λ, akkor eek evides torzítatla beslése a T X X mitaátlag. A Cramér-Rao egyel tleség: D X D X λ λ λ ezáltal a mitaátlag hatásos beslése λ -ak. f. 8. Legye X..., X i.i.d. mita E, eloszlásból. λ, azaz elérjük az iformáiós határt, a. Határozd meg a paraméter maximum likelihood beslését! Mivel kellee ezt szorozi, hogy torzítatla beslést kapjuk? b. Határozd meg a Fisher-féle iformáiómeyiséget!. Határozd meg az iformáiós határt, ha a paramétert besüljük! d. Határozd meg az iformáiós határt, ha a paraméter égyzetét besüljük! e. -szer geerálj paraméter elem mitát. Hasolítsd össze a kapott égyzetes hibákat az iformáiós határokkal! a. L; x Ix Ix Ezt kell maximalizáli szerit. Az idikátoros részbe bee va az ismeretle paraméter, ezért vigyázi kell a maximumkeresés sorá, em lehet ész élkül logaritmust vei és deriváli. A likelihood függvéy x eseté szigorúa mooto sökke, < x eseté pedig, így a maximumát x -ba veszi fel, tehát ML X. A 4. feladat alapjá tudjuk, hogy em torzítatla, de T X X már az. b. Köye be lehet mutati, hogy most em teljesül az. regularitási feltétel, ezért a Fisher-iformáiót közvetleül a deíióból fogjuk számoli. I E l; X E I X,..., X f X x dx,. A 4. feladatba már kiszámoltuk a T X + X statisztika szóráségyzetét. Mivel em teljesülek a Cramér-Rao egyel tleség feltételei, ezért az egyel tleségek se kell igazak leie. Látjuk, hogy valóba ez a helyzet a szóráségyzet az iformáiós határ alatt va: 7
8 D T X + < x l d. Ameyibe a paraméter besüled függvéye g, akkor érdemes megpróbálkozi az elégséges statisztika X valamilye hatváyfüggvéyével. Számoljuk ki tetsz leges pozitív egész l eseté az l-edik mometumot, majd a szóráségyzetet: E X l x [ ] dx x l+ dx x +l +l +l l e. D X l E X l E X l +l l +l l l l +l+l Ha l, akkor kostasszorosa a várható érték, így T X + X torzítatla beslése -ek. A torzítatla statisztika szóráségyzete most is az iformáiós határ alatt va: D T X <
Statisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21.
Statisztika 1 zárthelyi dolgozat 011 március 1 1 Legye X = X 1,, X 00 függetle mita b paraméterű Poisso-eloszlásból b > 0 Legye T 1 X = X 1+X ++X 100, T 100 X = X 1+X ++X 00 00 a Milye a számra igaz, hogy
RészletesebbenEddig megismert eloszlások Jelölése Eloszlása EX D 2 X P(X = 1) = p Ind(p) P(X = 0) = 1 p. Leíró és matematikai statisztika
Leíró és matematikai statisztika Matematika alapszak, matematikai elemző szakiráy Zempléi Adrás Valószíűségelméleti és Statisztika Taszék Matematikai Itézet Természettudomáyi Kar Eötvös Lorád Tudomáyegyetem
RészletesebbenBIOMATEMATIKA ELŐADÁS
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 10. A statisztika alapjai Debrecei Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csaád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Statisztikai függvéyek Defiíció, empirikus várható érték Empirikus
RészletesebbenMatematikai statisztika
Matematikai statisztika PROGRAMTERVEZŐ INFORMATIKUS alapszak, A szakiráy Arató Miklós Valószíűségelméleti és Statisztika Taszék Természettudomáyi Kar 2019. február 18. Arató Miklós (ELTE) Matematikai statisztika
RészletesebbenMatematikai statisztika gyakorlat Programtervez informatikus alapszak, A szakirány 2018/2019 tavaszi félév
Matematikai statisztika gyakorlat Programtervez informatikus alapszak, A szakirány 208/209 tavaszi félév Játékszabályok Az el adás és a gyakorlat számonkérése közös. Az el adásról és a hozzá tartozó konzultációról
RészletesebbenMatematika B4 I. gyakorlat
Matematika B4 I. gyakorlat 2006. február 16. 1. Egy-dimeziós adatredszerek Va valamilye adatredszer (számsorozat), amelyről szereték kiszámoli bizoyos dolgokat. Az egyes értékeket jelöljük z i -vel, a
RészletesebbenStatisztika 1. zárthelyi dolgozat március 18.
Statisztika. zárthelyi dolgozat 009. március 8.. Ismeretle m várható értékű, szórású ormális eloszlásból a következő hatelemű mitát kaptuk:, 48 3, 3, 83 0,, 3, 97 a) Számítsuk ki a mitaközepet és a tapasztalati
RészletesebbenA statisztikai vizsgálat tárgyát képező egyedek összességét statisztikai sokaságnak nevezzük.
Statisztikai módszerek. BMEGEVGAT01 Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudomáyi Egyetem Gépészméröki Kar Hidrodiamikai Redszerek Taszék 1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:
Részletesebbenf (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben
Propositio 1 (Jese-egyelőtleség Ha f : kovex, akkor tetszőleges ξ változóra f (M (ξ M (f (ξ feltéve, hogy az egyelőtleségbe szereplő véges vagy végtele várható értékek létezek Bizoyítás: Megjegyezzük,
RészletesebbenMo= argmax f(x), ha X abszolút folytonos; Mo= argmax P (X = x i ), ha X diszkrét.
Segédayag a Matematikai statisztika tatárgyhoz 09 április 0 Leíró statisztika A statisztikai elemzések egyik legfotosabb eszközei a viszoyszámok A viszoyszám két statisztikai adat háyadosa Jelölések: V
Részletesebben18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható
8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.
RészletesebbenMatematikai statisztika gyakorlat 2018/2019 II. félév
Matematikai statisztika gyakorlat 018/019 II. félév 1. Táblázatok Viszoyszámok: V = A, ahol A: a viszoyítás tárgya (amit viszoyítuk); B B: a viszoyítás alapja (amihez viszoyítuk) Megoszlási: a sokaság
RészletesebbenKalkulus II., második házi feladat
Uger Tamás Istvá FTDYJ Név: Uger Tamás Istvá Neptu: FTDYJ Web: http://maxwellszehu/~ugert Kalkulus II, második házi feladat pot) Koverges? Abszolút koverges? ) l A feladat teljese yilvávalóa arra kívácsi,
RészletesebbenAbszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás)
Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás) Deníció (Abszolút folytonosság és s r ségfüggvény) Az X valószín ségi változó abszolút folytonos, ha van olyan f : R R függvény, melyre P(X t) = t
RészletesebbenStatisztika (jegyzet)
Statisztika (jegyzet) Csiszár Vill 009. május 6.. Statisztikai mez A statisztika egyik ága a leíró statisztika. Ekkor a meggyelt adatokat áttekithet formába ábrázoljuk, pl. hisztogrammal (oszlopdiagrammal),
RészletesebbenA matematikai statisztika elemei
A matematikai statisztika elemei Mikó Teréz, dr. Szalkai Istvá szalkai@almos.ui-pao.hu Pao Egyetem, Veszprém 2014. március 23. 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék 3 Bevezetés................................
RészletesebbenI. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.
I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető.
RészletesebbenValószín ségszámítás és statisztika gyakorlat Programtervez informatikus szak, esti képzés
Valószí ségszámítás és statisztika gyakorlat Programtervez iformatikus szak, esti képzés.) Egy érmével dobuk. Ha az eredméy fej, akkor még egyszer dobuk, ha írás, akkor még kétszer. a.) Mik leszek a kísérletet
RészletesebbenJátékszabályok. a keresett valószín ség:
Játékszabályok Az óráko részt kell vei, maximum -szor lehet hiáyozi. Aki többször hiáyzik, em kap gyakjegyet. + x potot lehet szerezi a félév sorá: pot:. ZH a félév közepé pot:. ZH a félév végé x pot:
RészletesebbenStatisztika gyakorlat Geológus szakirány
Statisztika gyakorlat Geológus szakiráy Játékszabályok Az óráko részt kell vei, maximum 3-szor lehet hiáyozi. Az aláírás megszerzéséek lehetséges módjai: vagy ZH írásával vagy egy el re kihirdetett házi
RészletesebbenPályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.
Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika
RészletesebbenLeíró és matematikai statisztika gyakorlat 2018/2019 II. félév
Leíró és matematikai statisztika gyakorlat 08/09 II. félév Táblázatok Viszoyszámok: V = A, ahol A: a viszoyítás tárgya amit viszoyítuk; B B: a viszoyítás alapja amihez viszoyítuk Megoszlási: a sokaság
RészletesebbenZavar (confounding): akkor lép fel egy kísérletben, ha a kísérletet végző nem tudja megkülönböztetni az egyes faktorokat.
Zavar és mita Zavar (cofoudig): akkor lép fel egy kísérletbe, ha a kísérletet végző em tudja megkülöbözteti az egyes faktorokat. Zavar és mita Zavar (cofoudig): akkor lép fel egy kísérletbe, ha a kísérletet
RészletesebbenAz átlagra vonatkozó megbízhatósági intervallum (konfidencia intervallum)
Az átlagra voatkozó megbízhatósági itervallum (kofidecia itervallum) Határozzuk meg körül azt az itervallumot amibe előre meghatározott valószíűséggel esik a várható érték (µ). A várható értéket potosa
RészletesebbenPopuláció. Történet. Adatok. Minta. A matematikai statisztika tárgya. Valószínűségszámítás és statisztika előadás info. BSC/B-C szakosoknak
Valószíűségszámítás és statisztika előadás ifo. BSC/B-C szakosokak 6. előadás október 16. A matematikai statisztika tárgya Következtetések levoása adatok alapjá Ipari termelés Mezőgazdaság Szociológia
RészletesebbenA biostatisztika alapfogalmai, konfidenciaintervallum. Dr. Boda Krisztina PhD SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet
A biostatisztika alapfogalmai, kofideciaitervallum Dr. Boda Krisztia PhD SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Iformatikai Itézet Mitavétel ormális eloszlásból http://www.ruf.rice.edu/~lae/stat_sim/idex.html
Részletesebben2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...
. Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk
RészletesebbenFeladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz
Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.
RészletesebbenA szórások vizsgálata. Az F-próba. A döntés. Az F-próba szabadsági fokai
05..04. szórások vizsgálata z F-próba Hogya foguk hozzá? Nullhipotézis: a két szórás azoos, az eltérés véletle (mitavétel). ullhipotézishez tartozik egy ú. F-eloszlás. Szabadsági fokok: számláló: - evező:
RészletesebbenSegédanyag a Leíró és matematikai statisztika tantárgyhoz március 28.
Segédayag a Leíró és matematikai statisztika tatárgyhoz 07 március 8 Statisztikai sokaság: a meggyelés tárgyát képez egyedek összessége, halmaza Rövide sokaságak hívjuk A sokaság egysége: a sokaság egy
Részletesebben6. feladatsor. Statisztika december 6. és 8.
6. feladatsor Statisztika 200. december 6. és 8.. Egy = 0 szervert tartalmazó kiszolgáló mide szervere mide pillaatba 0 < p < valószíűséggel foglalt, a foglaltságok szerverekét függetleek. Tehát a foglaltak
RészletesebbenANALÍZIS 1. I. VIZSGA január 11. Mérnök informatikus szak α-variáns Munkaidő: 90 perc., vagyis z 2 1p = i 1p = ( cos 3π 2 2
ANALÍZIS. I. VIZSGA. jauár. Mérök iformatikus szak α-variás Mukaidő: perc. feladat pot) Adja meg az z 4 i)z i egyelet összes megoldását. i + i) + 4i + 4 i +, vagyis z p i p cos 3 + i si ) 3 vagy z p i
RészletesebbenValószín ségszámítás (jegyzet)
Valószí ségszámítás (jegyzet) Csiszár Vill 9. február 8.. Valószí ségi mez Két bevezet példa: ) Osztozkodási probléma (494, helyes megoldás több, mit évvel kés bb, Pascal, Fermat): Két játékos fej-írás
RészletesebbenStatisztika. Földtudomány szak, geológus szakirány, 2015/2016. tanév tavaszi
Statisztika Földtudomáy szak, geológus szakiráy, 015/016. taév tavaszi félév Backhausz Áges (ELTE TTK Valószíűségelméleti és Statisztika Taszék)1 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 3 1.1. Példa: az adatok elemzése....................
RészletesebbenSorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!
Sorozatok 20. október 5. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!. Zh feladat:vizsgálja meg mootoitás és korlátosság szerit az alábbi sorozatot! a + ha ; 2; 5 Mootoitás eldötéséhez vizsgáljuk
Részletesebben24. tétel A valószínűségszámítás elemei. A valószínűség kiszámításának kombinatorikus modellje.
24. tétel valószíűségszámítás elemei. valószíűség kiszámításáak kombiatorikus modellje. GYORISÁG ÉS VLÓSZÍŰSÉG meyibe az egyes adatok a sokaságo belüli részaráyát adjuk meg (törtbe vagy százalékba), akkor
Részletesebben1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.
. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +
RészletesebbenVirág Katalin. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet
Függetleségvizsgálat Virág Katali Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Függetleség Függetleség Két változó függetle, ha az egyik változó megfigyelése a másik változóra ézve em szolgáltat iformációt; azaz
RészletesebbenStatisztika október 27.
Statisztika 2011. október 27. Külöbség valószíőségszámítás és statisztika között Kísérlet: 4-szer dobuk fel egy érmét. Megszámoljuk a fejek számát. Valszám: Ismert a fejdobás valószíősége. Milye valószíőséggel
Részletesebben1. A radioaktivitás statisztikus jellege
A radioaktivitás időfüggése 1. A radioaktivitás statisztikus jellege Va N darab azoos radioaktív atomuk, melyekek az atommagja spotá átalakulásra képes. tegyük fel, hogy ezek em bomlaak tovább. Ekkor a
RészletesebbenValószín ségszámítás 2 gyakorlat Alkalmazott matematikus szakirány
Valószí ségszámítás gyakorlat Alkalmazott matematikus szakiráy Játékszabályok Az óráko részt kell vei, maximum 3-szor lehet hiáyozi. Aki többször hiáyzik, em ka gyakjegyet. 00 + x otot lehet szerezi a
RészletesebbenVII. A határozatlan esetek kiküszöbölése
A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely
Részletesebbenkismintás esetekben vagy olyanokban, melyeknél a tanulóalgoritmust tesztadatokon szeretnénk
ÚJRAMINTAVÉTELEZÉSI ELJÁRÁSOK A jackkife (zsebkés) és bootstrap (cipőhúzó a saját kallatyújáál fogva) eljárások agol elevezése is arra utal, hogy itt ad hoc eljárásokról va szó, melyek azoba agyo haszosak
Részletesebben3.1. A Poisson-eloszlás
Harmadik fejezet Nevezetes valószíűségi változók Valamely valószíűségi változóhoz kapcsolódó kérdésekre akkor tuduk potos választ adi, ha a változó eloszlása ismert, vagy megközelítőleg ismert. Ebbe a
Részletesebben(f) f(x) = x2 x Mutassa meg, hogy ha f(x) dx = F (x) + C, akkor F (ax + b) a 3. Számolja ki az alábbi határozatlan integrálokat: 1.
PROGRAMTERVEZŐ MATEMATIKUS SZAK II. ÉVF. III. FÉLÉV GYAKORLÓ FELADATOK AZ II. ANALÍZIS ZH-RA Primitívfüggvéy keresés. Adja meg az f függvéy egy primitívfüggvéyét: f) = 6 8 + 3 b) f) = + 3 f) = + 5 ) /
Részletesebben1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény
Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,
RészletesebbenHipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák)
Következtetı statisztika 5. Hipotézis-elleırzés (Statisztikai próbák) 1 Egymitás próbák Átlagra, aráyra, Szórásra Hipotézis-vizsgálat Áttekités Egymitás em paraméteres próbák Függetleségvizsgálat Illeszkedésvizsgálat
RészletesebbenIntegrálszámítás (Gyakorló feladatok)
Itegrálszámítás Gyakorló feladatok Programtervez iformatikus szakos hallgatókak az Aalízis. cím tárgyhoz Összeállította Szili László 8. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. Primitív függvéyek határozatla
Részletesebben2. fejezet. Számsorozatok, számsorok
. fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk
Részletesebbenegyenletesen, és c olyan színű golyót teszünk az urnába, amilyen színűt húztunk. Bizonyítsuk
Valószínűségszámítás 8. feladatsor 2015. november 26. 1. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi folyamatok mindegyike martingál. a S n, Sn 2 n, Y n = t n 1+ 1 t 2 Sn, t Fn = σ S 1,..., S n, 0 < t < 1 rögzített,
RészletesebbenI. rész. Valós számok
I. rész Valós számok Feladatok 3 4 Teljes idukció Igazolja a teljes idukcióval a következ állítások helyességét!.. k 2 = k= ( + )(2 + ). 6.2. 4 + 2 7 + + (3 + ) = ( + ) 2..3. a) b) ( + ) = +. k ( ) =
RészletesebbenNUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.
NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a
Részletesebbenmegoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat Fizika BSc I/1, 1. feladatsor 1. Rajzoljuk le a számegyenesen az alábbi halmazokat!
megoldásvázlatok Fizika BSc I/,. feladatsor. Rajzoljuk le a számegyeese az alábbi halmazokat! a { R < 5}, b { R 4}, c { Z 4}, d { Q < 4 6}, e { N 3 }.. Igazak-e az alábbi állítások? Adjuk meg az állítások
RészletesebbenA maximum likelihood becslésről
A maximum likelihood becslésről Definíció Parametrikus becsléssel foglalkozunk. Adott egy modell, mellyel elképzeléseink szerint jól leírható a meghatározni kívánt rendszer. (A modell típusának és rendszámának
RészletesebbenV. Deriválható függvények
Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája
RészletesebbenSegédanyag a Leíró és matematikai statisztika tantárgyhoz március 1.
Segédayag a Leíró és matematikai statisztika tatárgyhoz 06 március Közgazdasági értelembe a statisztika a valóság tömör, számszer jellemzésére szolgáló tudomáyos módszerta, illetve gyakorlati tevékeység
RészletesebbenElméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz
Elméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz 1. dolgozat Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet
Részletesebbenvéletlen : statisztikai törvényeknek engedelmeskedik (Mi az ami közös a népszavazásban, a betegségek gyógyulásában és a fiz. kém. laborban?
BEVEZETÉS A statisztika teljese laikusokak: agy mukával gyűjtött adatok vizsgálata, abból következtetések levoása ( statistical iferece ) (Egy kicsit sok hűhó semmiért azaz Much ado about othig.) Mi is
Részletesebben( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn
Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes
RészletesebbenELTE TTK Budapest, január
Valószíűségszámítás Arató Miklós előadásai alapjá Készítették: Martiek László Tassy Gergely ELTE TTK Budapest, 008. jauár Typeset by L A TEX . el adás 007. IX.. szerda Klasszikus (kombiatorikus valószí
RészletesebbenLeíró és matematikai statisztika el adásnapló Matematika alapszak, matematikai elemz szakirány 2016/2017. tavaszi félév
Leíró és matematikai statisztika el adásnapló Matematika alapszak, matematikai elemz szakirány 2016/2017. tavaszi félév A pirossal írt anyagrészeket nem fogom közvetlenül számon kérni a vizsgán, azok háttérismeretként,
RészletesebbenMatematikai statisztika 4. gyakorlat, 2018/2019 II. félév
Matematikai statisztika 4. gyakorlat, 2018/2019 II. félév 2019-03-5 Feladatok: 1. (a) λ > 0 paraméterű Poisson-eloszlásból vett n elemű minta esetén adjunk hatásos becslést a g(λ) = e λ mennyiségre! e
RészletesebbenVéletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus.
Valószín ségelméleti és matematikai statisztikai alapfogalmak összefoglalása (Kemény Sándor - Deák András: Mérések tervezése és eredményeik értékelése, kivonat) Véletlen jelenség: okok rendszere hozza
RészletesebbenTartalom. Kezdeti szimulációs technikák. Tipikus kérdések. A bootstrap módszer. Bevezetés A független, azonos eloszlású eset:
Tartalom A bootstrap módszer Zempléi Adrás TTK, Valószíőségelméleti és Statisztika Taszék 2010. október 21 Bevezetés A függetle, azoos eloszlású eset: emparaméteres paraméteres eset Alkalmazások a rétegzett
Részletesebben? közgazdasági statisztika
Valószíűségszámítás és a statsztka Valószíűség számítás Matematka statsztka Alkalmazott statsztka? közgazdaság statsztka épesség statsztka orvos statsztka Stb. Példa: vércsoportok Az eloszlás A AB B Elem
RészletesebbenSorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága
Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt
RészletesebbenSOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok
SOROK Feladatok és megoldások. Numerikus sorok I. Határozza meg az alábbi, mértai sorra visszavezethető sorok esetébe az S -edik részletösszeget és a sor S összegét! )...... k 5 5 5 5 )...... 5 5 5 5 )......
Részletesebben2. gyakorlat - Hatványsorok és Taylor-sorok
. gyakorlat - Hatváysorok és Taylor-sorok 9. március 3.. Adjuk meg az itt szereplő sorok kovergeciasugarát és kovergeciaitervallumát! + a = + Azaz a hatváysor kovergeciasugara. Az biztos, hogy a (-,) yílt
RészletesebbenTartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13
Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8
RészletesebbenKomputer statisztika
Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Iformatikai Itézet Tómács Tibor Komputer statisztika Eger, 010. október 6. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Valószíűségszámítás 7 1.1. Valószíűségi mező............................
RészletesebbenKevei Péter. 2013. november 22.
Valószíűségelmélet feladatok Kevei Péter 2013. ovember 22. 1 Tartalomjegyzék 1. Mérhetőség 4 2. 0 1 törvéyek 12 3. Vektorváltozók 18 4. Véletle változók traszformáltjai 28 5. Várható érték 33 6. Karakterisztikus
RészletesebbenSzámsorozatok. 1. Alapfeladatok december 22. sorozat határértékét, ha. 1. Feladat: Határozzuk meg az a n = 3n2 + 7n 5n létezik.
Számsorozatok 2015. december 22. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az a 2 + 7 5 2 + 4 létezik. sorozat határértékét, ha Megoldás: Mivel egy tört határértéke a kérdés, ezért vizsgáljuk meg el
RészletesebbenFüggvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:
Függvények 015. július 1. 1. Feladat: Határozza meg a következ összetett függvényeket! f(x) = cos x + x g(x) = x f(g(x)) =? g(f(x)) =? Megoldás: Összetett függvény el állításához a küls függvényben a független
RészletesebbenMegjegyzések. További tételek. Valódi határeloszlások. Tulajdonságok. Gyenge (eloszlásbeli) konvergencia
Valószíűségszámítás és statisztika előadás ifo. BSC/B-C szakosokak 6. előadás október 5. Megjegyzések. A tétel feltételei gyegíthetőek: elég, ha a függetle, azoos eloszlású változók várható értéke véges.
RészletesebbenLeíró és matematikai statisztika gyakorlat Matematikai elemz szakirány 2016/2017 tavaszi félév
Leíró és matematikai statisztika gyakorlat Matematikai elemz szakirány 06/07 tavaszi félév Játékszabályok A gyakorlatokról maximum 3-szor lehet hiányozni. Aki többször hiányzik, nem kap gyakjegyet. 00
Részletesebben2. A ξ valószín ségi változó eloszlásfüggvénye a következ : x 4 81 F (x) = x 4 ha 3 < x 0 különben
1 feladatsor 1 Egy dobozban 20 fehér golyó van Egy szabályos dobókockával dobunk, majd a következ t tesszük: ha a dobott szám 1,2 vagy 3, akkor tíz golyót cserélünk ki pirosra; ha a dobott szám 4 vagy
Részletesebbenæ MATEMATIKAI STATISZTIKA Dr. Bolla Marianna, Matematika Intézet, Sztochasztika Tanszék
æ MATEMATIKAI STATISZTIKA Dr. Bolla Mariaa, Matematika Itézet, Sztochasztika Taszék Leíró statisztika Ω, A, P) statisztikai mező, ahol a P mértékcsalád olya P eloszlásokból áll, melyekkel Ω, A, P) valószíűségi
RészletesebbenTudjuk, hogy az optimumot az ún. regressziós görbe szolgáltatja, melynek egyenlete:
æ REGRESSZIÓANALÍZIS Az alapprobléma a következő: Az X, Y v.v. együttes eloszlásáak ismeretébe közelítei szereték Y-t X mérhető t fv.-ével legkisebb égyzetes értelembe: E(Y t(x)) 2 mi. t be. Tudjuk, hogy
Részletesebben(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):
A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak
RészletesebbenBootstrap (Efron, 1979)
Bootstrap (Efro, 979) 4. elıadás 204. március 3. Bootstrap módszerek, többdimeziós extrém-érték eloszlások illeszkedésvizsgálata Újramitavételezési eljárás, a becsléseik szórásáak vizsgálatára, modell-illeszkedés
RészletesebbenA peremeloszlások. Valószínőségszámítás elıadás III. alk. matematikus szak. Példa. Valószínőségi vektorváltozók eloszlásfüggvénye.
y Valószíőségszámítás elıaás III. alk. matematkus szak 4. elıaás, szeptember 30 A peremeloszlások (X,Y) eloszlásából (elevezés: együttes eloszlás) következtethetük az egyes változók eloszlására: P(X)P(X,Y0)+P(X,Y)+P(X,Y2)
RészletesebbenKomplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós
Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.
RészletesebbenIngatlanfinanszírozás és befektetés
Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:
RészletesebbenStatisztikai programcsomagok
Statisztikai programcsomagok Sz cs Gábor Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Szeged, 2012. tavaszi félév Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Itézet) Statisztikai programcsomagok 2012. tavaszi félév 1 / 26 Bevezetés
RészletesebbenÁringadozások elıadás Kvantitatív pénzügyek szakirány 2012/13 2. félév
Árigadozások elıadás Kvatitatív pézügyek szakiráy 01/13. félév Heti óra elıadás + óra gyakorlat Elıadás: fıleg modellek, elemzési módszerek Gyakorlat: R programmal, alkalmazások Számokérés 50%: beadadó
Részletesebben1. előadás: Bevezetés. Irodalom. Számonkérés. Cél. Matematikai statisztika előadás survey statisztika MA szakosoknak. A matematikai statisztika tárgya
Matematikai statisztika előadás survey statisztika MA szakosokak 206/207 2. félév Zempléi Adrás. előadás: Bevezetés Irodalom, követelméyek A félév célja Matematikai statisztika tárgya Törtéet Alapfogalmak
RészletesebbenA tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat
A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Legye N, x k R k =,, és tegyük fel, hogy vagy x k 0 k =,, vagy pedig x k 0 k =,, Ekkor + x k + x k Speciális Beroulli-egyelőtleség Ha N és
Részletesebbene (t µ) 2 f (t) = 1 F (t) = 1 Normális eloszlás negyedik centrális momentuma:
Normális eloszlás ξ valószínűségi változó normális eloszlású. ξ N ( µ, σ 2) Paraméterei: µ: várható érték, σ 2 : szórásnégyzet (µ tetszőleges, σ 2 tetszőleges pozitív valós szám) Normális eloszlás sűrűségfüggvénye:
RészletesebbenEmpirikus szórásnégyzet
Empirikus égyzet Mi lee hasoló szellembe a becslése a mita alapjá? Empirikus égyzet Mi lee hasoló szellembe a becslése a mita alapjá? Az átlagtól való égyzetes eltérést kée átlagoli... Empirikus égyzet
RészletesebbenBIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA. Leíró statisztika
BIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA Leíró statisztika Első közelítésbe a statisztikai tevékeységeket égy csoportba sorolhatjuk, de ezek között ics éles határ:. adatgyűjtés, 2. az adatok áttekithetővé tétele,
RészletesebbenMegoldások. ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4; 2, 3) normális eloszlású P (ξ
Megoldások Harmadik fejezet gyakorlatai 3.. gyakorlat megoldása ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4;, 3 normális eloszlású P (ξ 8 ξ 5 feltételes valószínűségét (.3. alapján számoljuk.
RészletesebbenVÉLETLENÍTETT ALGORITMUSOK. 1.ea.
VÉLETLENÍTETT ALGORITMUSOK 1.ea. 1. Bevezetés - (Mire jók a véletleített algoritmusok, alap techikák) 1.1. Gyorsredezés Vegyük egy ismert példát, a redezések témaköréből, méghozzá a gyorsredezés algoritmusát.
RészletesebbenValószín ségszámítás és statisztika
Valószí ségszámítás és statisztika oktatási segédayag Kupá Pál Tartalomjegyzék fejezet Valószí ségszámítási alapfogalmak 5 Eseméyek 5 M veletek eseméyekkel 5 2 A valószí ség fogalma 7 3 Valószí ségi változók
RészletesebbenIntervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres. Statisztika december 2.
Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Statisztika Hipotézisvizsgálat Székely Balázs 2010. december 2. Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Előadás vázlat 1 Itervallumbecslések
RészletesebbenFELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ
FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy
RészletesebbenStatisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1
Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában
RészletesebbenBarczy Mátyás és Pap Gyula
Barczy Mátyás és Pap Gyula mobidiák köyvtár Barczy Mátyás és Pap Gyula mobidiák köyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas Istvá Barczy Mátyás és Pap Gyula Debrecei Egyetem mobidiák köyvtár Debrecei Egyetem Szerzők
RészletesebbenVALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR
védőeryő az ismeretleek záporába VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR www.matektaitas.hu www.matektaitas.hu ifo@matektaitas.hu 1 védőeryő az ismeretleek záporába Kombiatorika Permutáció Ismétlés élküli permutáció
RészletesebbenEgy lehetséges tételsor megoldásokkal
Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe
RészletesebbenDebreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet
Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak
Részletesebben