Leíró és matematikai statisztika gyakorlat Matematikai elemz szakirány 2016/2017 tavaszi félév

Átírás

1 Leíró és matematikai statisztika gyakorlat Matematikai elemz szakirány 06/07 tavaszi félév Játékszabályok A gyakorlatokról maximum 3-szor lehet hiányozni. Aki többször hiányzik, nem kap gyakjegyet x pontot lehet szerezni a félév során: 30 pont:. ZH: III.. 30 pont:. ZH: V pont: két, 0 pontos beadandó feladat x pont: szorgalmi feladatok Mindkét ZH-n minimálisan teljesíteni kell 30 %-ot. Ha egy ZH sikertelen, nem írod meg, vagy javítani szeretnél, akkor vizsgaid szak els hetén lesz lehet ség a pótzh megírására vagy a javításra. Csak az egyik ZH anyagából javíthatsz, és a jobbik eredményt veszem gyelembe, azaz nem lehet rontani. Két sikertelen vagy meg nem írt ZH esetén gyakuv-t kell írnod a teljes féléves anyagból (60 pontért, a beadandókért kapott pontok megmaradnak). A ZH-kon használható: számológép és egy legfeljebb A4-es méret lapra KÉZZEL írott "puska". elégtelen () 0 34,99 elégséges () 35 49,99 Osztályozás: közepes (3) 50 64,99 jó (4) 65 79,99 jeles (5) Infók a gyakvezet r l Név Varga László Tanszék Valószín ségelméleti és Statisztika Tanszék (ELTE TTK) Szoba D vargal4@cs.elte.hu Honlap vargal4.elte.hu Ajánlott irodalom Molnárné-Tóthné: Általános statisztika példatár I. Móri-Szeidl-Zempléni: Matematikai statisztikai feladatok.) Legyenek X i N(0, 5 ) (i =,..., 9) függetlenek. Számítsuk ki az alábbi mennyiségeket, majd közelítsük ket számítógépes szimuláció segítségével: a.) P (X 8 > 3), b.) P (X < 9), c.) EX..) Egy termel vállalatnál a zikai munkát végz k összesen 8000 db alkatrészt állítottak el, amib l a n k teljesítménye 8500 db volt. A vállalatnak 950 fér zikai dolgozója van. A n knél a termelékenység, azaz az egy f re jutó termelt mennyiség 7 db/f. a.) Milyen viszonyszám található a feladat szövegében? Add meg precíz kiszámítási módját (mit osztunk mivel, mértékegységek)! b.) Szerkessz statisztikai táblát a megadott adatokból és töltsd ki a hiányzó adatokat! Milyen típusú a tábla és milyen típusú sorokat tartalmaz? 3.) Néhány információ az ELTE matematika alapszakjára 06-ban jelentkez kr l: az állami nanszírozásos képzésre 348-an jelentkeztek, 36,494%-uk els helyen jelentkezett, végül 0-et vettek fel. A költségtérítéses képzési formára jelentkez k 0,7%-át, 9 f t vették fel. Összesen 4 ember jelölte be az ELTE matematika szakát els helyen. a.) Milyen viszonyszám(ok) található(k) a feladat szövegében? Add meg precíz kiszámítási módjukat (mit osztunk mivel, mértékegységek)! b.) Szerkessz statisztikai táblát a megadott adatokból és töltsd ki a hiányzó adatokat! Milyen típusú a tábla és milyen típusú sorokat tartalmaz? 4.) Egy vállalat négy részleggel rendelkezik, az ott dolgozók bruttó zetésér l az alábbi adatok állnak rendelkezésünkre: Részleg Átlagkereset (e Ft/f ) Dolgozók létszáma (f ) Raktár 00 0 Összeszerel 50 6 Tampóm hely 50 8 Irodaház Összesen a.) Milyen viszonyszám található a táblázatban? Add meg precíz kiszámítási módját (mit osztunk mivel, mértékegységek)! b.) Milyen típusú a tábla és milyen típusú sorokat tartalmaz? c.) Számítsd ki a hiányzó pontozott értékeket! 5.) Magyarország népességér l az alábbiakat ismerjük: Település jellege Népesség megoszlása Népesség változása 0-ben (%) 990-r l 0-re (%) Budapest 7,4-4,4 Többi város 5,9 -,4 Községek 30,7-0,8 Összesen 00,0... a.) 990 és 0 között évente átlagosan mennyivel változott a budapesti lakosság? b.) Hány százalékkal változott a népesség száma 990-r l 0-re? c.) Melyik településen él k részaránya csökkent? 6.) Egy vállalatnál az alkalmazottak számára vonatkozóan tartalmaz január -jei adatokat a következ táblázat:

2 Alkalmazottak száma Változás Év január -jén (f ) 0-höz képest (%) az el z évhez képest (%) az el z évhez képest (f ) a.) Milyen típusú a tábla és milyen típusú sorokat tartalmaz? b.) Töltsd ki a táblázatot! Értelmezzünk a táblázatban néhány értéket! c.) Határozd meg az alkalmazottak átlagos számát a 0-es évben, valamint 00. január. és 03. január. között! d.) Jellemezd az alkalmazottak számának évi átlagos változását 00. január. és 04. január. között! e.) Ábrázold az alkalmazottak számának alakulását megfelel diagrammal! 7.) Az egyetem büféjében egy adott napon az összes vendég fogyasztását megvizsgálták, és ez alapján az elköltött összegekr l az alábbi táblázatot készítették el: Fogyasztás összege (Ft) Vendégek száma (f ) asd 0 6 Összesen 00 a.) Átlagosan mennyit költöttek a büfében? Készítsünk hisztogramot! b.) Vizsgáld az elköltött összegek koncentrációját Lorenz-görbével, koncentrációs együtthatóval és Herndahl-indexszel! 8.) Van két piac, az els n 0 azonos méret vállalat tevékenykedik, a másodikon pedig 5 azonos méret vállalat van. Hasonlítsuk össze a két piac koncentrációját! SZ.) Tulajdonosa vagy egy vállalkozásnak, év végén a könyvel d jelentést készít, amiben a következ ket írja: "Remek évet zártál, a tervezetthez képest magasabb lett az árbevétel, bár a költségek csak stagnáltak. A árbevétel tervezett 0%-os növelését 0%-kal túlteljesítetted, így 0%-os növekedést hoztál össze. Az el z évhez képest 0%-os költségcsökkenést terveztél, azonban a tervezetthez képest 0%-kal magasabbak lettek a költségek, így összességében a költségek összege nem változott." Értékeld a könyvel d érvelését! Van-e benne valami, ami sántít; és ha igen, miért? (p) SZ.) Egy vállalat alkalmazottainak száma 00-r l 04-re évente átlagosan 5,737 %-kal, azaz 3 f vel n tt. A kizetett összes éves bér 04-ben 6 millió Ft volt, míg a 00-es havi átlagbér 50 ezer Ft volt. A rendelkezésre álló adatokból készíts táblát és töltsd ki az üres rubrikákat! Átlagosan mennyivel változott az átlagbér? (p) 9.) Legyenek X,..., X 00 független, standard normális eloszlású valószín ségi változók. Szimulációval becsüljük meg a maximum s r ségfüggvényét (készítsünk hisztogramot)! 0.) Legyen X Exp(λ). Határozd meg X móduszát és tetsz leges kvantilisét! Hasonlítsd össze a mediánt és a várható értéket!.) Legyen X Ind(p). Határozd meg X móduszát, kvantilisfüggvényét, ferdeségét és csúcsosságát!.) Legyen X N(m, σ ). Határozd meg X móduszát, mediánját, ferdeségét és csúcsosságát! 3.) Egy csoportban a hallgatók magassága (cm): a.) Nézzük át nagy vonalakban az adatokat, reálisak-e! Próbáljuk javítani az esetleges adathibákat! b.) Rajzold fel a tapasztalati eloszlásfüggvényt! Mennyi a tapasztalati eloszlásfüggvény értéke a 80 helyen? Értelmezd szövegesen! c.) Elemezd a hallgatók testmagasságát alapstatisztikák: átlag, korrigált tapasztalati szórás, szórási együttható, kvartilisek, terjedelem, interkvartilis terjedelem, tapasztalati ferdeség, tapasztalati csúcsosság segítségével! Értelmezd szövegesen az eredményeket! d.) Készíts boxplot ábrát! e.) Készíts alkalmas osztályközös gyakorisági sort, majd abból hisztogramot! 4.) A honlapomon található Nyarhom.Rdata nev fájl a 04. nyári napi maximumh mérsékleteket tartalmazza egy településen ( C). Elemezd az adatokat az el z feladat elemzési szempontjai alapján! 5.) 04-ben egy bútorboltban eladott konyhabútorok értékér l az alábbi adatok ismerjük: Konyhabútor ára (e Ft) Eladott bútorok száma (db) asdf 50 7 Összesen 00 Jellemezd (szövegesen is) az értékesített konyhabútorok árának eloszlását alapstatisztikák (módusz, kvartilisek, átlag, szórás) segítségével! Milyen az eloszlás ferdesége? Készíts hisztogramot! SZ3.) Vezesd le az n és p paraméter binomiális eloszlás móduszát! (p) SZ4.) Legyen X,..., X 00 i.i.d. minta egy NegBin(3; 4 ) eloszlásból. Becsüld meg R-es szimuláció segítségével a szórási együttható várható értékét és szórását! Küldd el -ben a forráskódot! (p) SZ5.) Vezesd le az Exp(λ) eloszlás ferdeségét és csúcsosságát! (p)

3 6.) Tegyük fel, hogy a minta kétparaméteres eloszláscsaládból származik, a paraméterek a és b. { Ea,b X = m Ekkor mutassuk meg, hogy az E a,b X egyenletrendszer megoldása = m { Ea,b X = m megegyezik az Da,b X = egyenletrendszer megoldásával. s n 7.) Határozzuk meg az ismeretlen paraméter(ek) maximum likelihood és momentum becslését, ha a minta i.i.d. a.) Poi(λ) eloszlású; b.) Exp(λ) eloszlású; c.) E(a; b) eloszlású, ahol a < b, mindkett paraméter; d.) E( a; a) eloszlású; e.) f ϑ (x) = x ϑ I(0 x ϑ) s r ségfüggvénnyel, ϑ paraméter; f.) f ϑ (x) = ϑx ϑ I(0 x ) s r ségfüggvénnyel, ϑ paraméter. 8.) Legyenek X..., X n és Y,..., Y m egymástól független λ illetve λ paraméter exponenciális eloszlású minták. Határozzuk meg az ismeretlen paraméter (együttes) ML becslését! 9.) Legyen X..., X n i.i.d. minta Poi(λ = ) eloszlásból. Vizsgáljuk meg szimulációval n = 0, 40, 00 és 500 nagyságú minták esetén a λ paraméter ML-becslésének eloszlását (készítsünk hisztogramokat)! Mire következtethetünk az ábrák alapján? Aszimptotikusan torzítatlan a becslés? Szimulációk segítségével adjunk 95%-os megbízhatóságú kondenciaintervallumot az ML-becslésre! 0.) Legyen a Z,..., Z 5 minta I.) N(m, ) II.) N(m + 5, ) eloszlású. A meggyelt értékek a következ k: 6; 4,5;,5; ;. a.) Határozzunk meg 95%-os (99%-os) megbízhatóságú kondenciaintervallumot m-re! b.) Hány elem mintára van szükségünk, ha azt szeretnénk, hogy a kondenciaintervallum legfeljebb 0,0 hosszúságú legyen? c.) Mi változik az a.) esetben, ha a szórást nem ismerjük? d.) Adjunk a szórásra 98%-os megbízhatóságú kondenciaintervallumot. 5 5 z i = 6 (z i z) = 6, 3 i= i= χ 4;0,0 = 0, 3 χ 4;0,99 = 3, 8.) Az el z évben gyelemmel kísértük a sárkányföldi t zsdeindex, a SÜSÜX változását. Az alapstatisztikák: átlag: 3,8; szórás: 95,3. A t zsde 00 napon keresztül volt nyitva. Adjunk ezek alapján 95%-os megbízhatóságú kondenciaintervallumot az index adott évre vonatkozó várható értékére! SZ6.) Öt véletlen számot jegyeztünk fel: 00,3,76,5,7. Ha tudjuk, hogy ezek az {,,..., N} halmazból vett véletlen minta elemei, akkor határozzuk meg az ismeretlen N paraméter ML-becslését és momentum becslését! (p) SZ7.) Egy CASCO biztosítás kárai 03-ban 00, 00, 800, 5, 485 ezer Ft voltak. A káreloszlásról feltételezzük, hogy (α, β) paraméter Pareto-eloszlású, azaz az { eloszlásfüggvény ( α β F (x) = β+x) ha x > 0 0 különben Számítsd ki a Pareto-eloszlás várható értékét és szórásnégyzetét, majd határozd meg az ismeretlen paraméterek momentum módszeres becslését a minta alapján! (p) SZ8.) Tegyük fel, hogy az n elem mintánk lognormális eloszlású, azaz a mintaelemek logaritmusa N(m, σ ) eloszlású. Határozd meg az ismeretlen paraméterek maximum likelihood és momentum becslését! Segítség: használhatod a Wikipédiáról a s r ségfüggvény képletét és a kiszámított várható értéket/szórásnégyzetet. (p).) Legyen X,..., X n i.i.d. minta N(m, ) eloszlásból. Célunk az ismeretlen m paraméter becslése. Tekintsük az alábbi statisztikákat: T (X) = X 8 T (X) = X3+X7 T 3 (X) = X9+X9 8 T 4 (X) = X a.) A fenti statisztikák közül melyek torzítatlanok, illetve konzisztensek? Amelyik nem torzítatlan, hogyan tudnánk torzítatlanná tenni? b.) Vizsgáljuk meg a fenti statisztikák közül a torzítatlanokat hatásosság szempontjából! 3.) X,..., X n Exp(λ) i.i.d. minta esetén adj torzítatlan becslést e 3λ -ra és λ -ra! 4.) Legyen X,..., X n Pascal-eloszlású (geometriai) minta p paraméterrel. a.) Adjunk meg X 3 függvényeként torzítatlan becslést p( p) 4 -re! b.) Adjunk maximum likelihood becslést p( p)-re! 5.) X,..., X n Poi(λ) i.i.d. minta esetén adj torzítatlan becslést e λ -ra és λ -re! 6.) Legyen X,..., X n független, azonos abszolút folytonos eloszlású valószín ségi változók sorozata. Adjuk meg X = min(x,..., X n ) és Xn = max(x,..., X n ) eloszlás- és s r ségfüggvényét! A minimumnál külön is vizsgáljuk meg azt az esetet, ha az X i változók exponenciális eloszlásúak! 7.) Adj torzítatlan becslést az i.i.d. E[0; ϑ] eloszlású minta ϑ paraméterére a a.) mintaátlag b.) maximum segítségével. Melyik a hatásosabb? Melyik konzisztens? 8.) Mutassuk meg, hogy exponenciális eloszlású minta esetén T (X) = n X statisztika torzítatlan, de nem konzisztens becslése a várható értéknek! 9.) Február 7-én Budapesten az elmúlt 0 évben az alábbi középh mérsékleteket mérték: ;,5;,6; -4,5; 5,3; 7,9;,5; -,6; -,;,6. a.) Számítsuk ki és ábrázoljuk a középh mérséklet s r ségfüggvényének { Parzen- Rosenblatt becslését, ha h = 0, 5 és a magfüggvény k(x) = ha x < 0 különben 3

4 b.) Készítsük el a Parzen-Rosenblatt-féle s r ségfüggvénybecslést Gaussmagfüggvény esetén különböz sávszélességekre (R segítségével)! SZ9.) Adjunk torzítatlan becslést a [0,ϑ] intervallumon egyenletes eloszlás paraméterére n elem i.i.d. mintából a minimum segítségével. Hatásosabb a becslés, mint a 7. feladat a.) részében kapott torzítatlan becslés? Konzisztens a becslés? (p) SZ0.) Legyen X,..., X n i.i.d. minta az E(a, b) eloszlásból, a és b paraméterek. Mutassuk meg, hogy b ML-becslése nem torzítatlan, de aszimptotikusan torzítatlan becslése b-nek! (p) SZ.) Legyen X,..., X n i.i.d. minta Bin(k,p)-b l, Y,..., Y n i.i.d. minta Bin(l,p)- b l, és tegyük fel, hogy a két minta egymástól is független. Milyen (a, b) számpárokra lesz ax + by a p paraméter torzítatlan becslése? Ezen számpárok közül melyikre lesz a becslés szórása minimális? (p) 30.) Valaki azt állítja, hogy a klíma változik, és ezt azzal véli bizonyítottnak, hogy az elmúlt 0 évben -szer is volt jéges, pedig korábban az egyes évekre a jéges valószín sége a hivatalos adatok alapján csupán p=0. volt. Írjuk fel a hipotéziseket, a próbát és állapítsuk meg az els fajú hiba valószín ségét, valamint az er függvényt a p=0. pontban! 3.) Az X valószín ségi változó egyenletes eloszlású a (-b; +b) intervallumon. A H 0 : b=0 hipotézist szeretnénk ellen rizni a H : b>0 hipotézis ellenében, e célból a következ próbát alkalmazzuk: egy meggyelést végzünk és ha ez a (0,; 0,85) intervallumba esik, elfogadjuk H 0 -t, különben elvetjük. Írjuk fel a próba er függvényét! Mekkora a próba terjedelme? { x a 3.) Legyen X,..., X n minta az f(x) = ha 0 x a 0 különben s r ségfüggvény eloszlásból. a.) Tekintsük a következ hipotéziseket: H 0 : a= H : 0<a< Adjunk meg X n függvényében 5 %-os terjedelm próbát, keressük a kritikus tartományt X k = {X : T (X) < c} alakban! Mi lesz az er függvény? b.) Tekintsük a következ hipotéziseket: H 0 : a= H : a = Adjunk meg α terjedelemhez egyenletesen leger sebb próbát! 33.) Legyen két meggyelésünk a (3; p) paraméter binomiális eloszlásból. Adjuk meg a legjobb olyan próbát az alábbi hipotézisekre, melynek els fajú hiba valószín sége 0, 04: H 0 : p = H : p = 4 34.) Az alábbi minta 4 év október 8-án Budapesten mért napi középh mérséklet adatait tartalmazza. Ellen rizzük a H 0 : m =5 hipotézist α =0.05 els fajú hibavalószín ség mellett értelmes alternatív hipotézissel szemben. Középh m. (C fok) adatok: 4,8, 6,8, a.) A korábbi tapasztalatok alapján tekintsük az értékek szórását -nek. Adjuk meg a p-értéket is. b.) Ne használjunk a szórásra vonatkozóan el zetes információt. 35.) Tegyük fel, hogy az emberi magasság normális eloszlású. a.) Végezzünk statisztikai próbát arra vonatkozóan, hogy a gyakorlaton lév lányok átlagmagassága 70 cm! b.) Végezzünk statisztikai próbát arra vonatkozóan, hogy a gyakorlaton lév úk átlagmagassága 80 cm! 36.) A Természettudományi Kar II. évfolyamán az egyik gyakorlati csoportban 0-en írtak statisztika zárthelyit. Két feladatsor volt, mindkett ben 30 pontot lehetett elérni. Tegyük fel, hogy az elért pontszámok normális eloszlásúak. A pontszámokat tartalmazza az alábbi táblázat:. feladatsor feladatsor a.) Vajon az els feladatsor nehezebb volt? b.) Mennyiben változik a helyzet, ha nem 0 diákról, hanem csak 5-r l van szó, és a. feladatsor a pótzh eredménye? 37.) Az alábbi két minta 0 egyforma képesség nek feltételezett sportoló súlylökésben elért eredményeit tartalmazza. A sportolók két ötf s csoportban készültek az edz táborban. Edzéstervük ugyanaz volt, de az els csoportban készül k minden reggel fejenként 0 tojást és 5 túró rudit ettek meg. A második csoportban készül knek reggel és este - kg szalonnát és - kg madártejet kellett megenni. hét felkészülés után értékelték az eredményeket. Tételezzük fel, hogy normális eloszlásból származnak a minták és a terjedelem 5%.. csoport 5,8 5, 6,3 7, 6,. csoport 9,0, 7, 4,7,0 a.) Melyik diéta volt jobb, ha a dobások szórását -nek tekintjük? b.) Állíthatjuk-e, hogy a második csoportban nagyobb változékonyságot mutat a sportolók teljesítménye? c.) Ha nem ismerjük a szórást, akkor tekinthetjük-e valamelyik diétát jobbnak? F 0,95 4,4 = 4, 4 F 0,95 5,5 = 5, 05 F 0,975 4,4 = 9, 6 F 0,975 5,5 = 7, 5 38.) Tegyük fel, hogy az emberi magasság normális eloszlású. Végezzünk alkalmas statisztikai próbát arra vonatkozóan, hogy a gyakorlaton lév lányok átlagmagassága megegyezik a úk átlagmagasságával! SZ.) Oldd meg a 3.) feladatot abban az esetben, ha baloldali kritikus tartományt választunk: X k = {X : T (X) > c}. (p) SZ3.) Egy érme szabályosságát (a H : p>0,5 ellenhipotézissel szemben; p a fejdobás valószín sége) az alábbi módszerrel teszteljük: n-szer feldobjuk az érmét, és ha legalább írást dobtunk, akkor elfogadjuk H 0 -t. a.) Mekkora legyen n, hogy az els fajú hiba kisebb legyen, mint 0,05? b.) Adjuk meg a próba er függvényét! (+= p) SZ4.) A Politikatudományi Kar HÖK elnöke nagyon fontosnak tartja népszer - ségét. Amennyiben a hallgatók legfeljebb 70%-a utálja, az számára elfogadható (H 0 hipotézis). Az ennél nagyobb arány esetén (H hipotézis) lemond. Minden 4

5 negyedév végén 0 hallgatót kérdez meg (közvélemény-kutatást tart). Az elnök akkor mond le, ha a tízb l legalább 8 diák utálja. a.) Mekkora a próba terjedelme? b.) Várhatóan hány negyedévet fog tevékenykedni az elnök, ha stabilan a diákok 65%-a utálja? (+= 4p) SZ5.) Legyen X minta az f(x) s r ségfüggvény eloszlásból. Tekintsük a következ hipotéziseket: H 0 : f(x) = f 0 (x) = ( x) I(0 < x < ) H : f(x) = f (x) = x I(0 < x < ) Adjunk meg α terjedelemhez egyenletesen leger sebb próbát! (p) 39.) Az alábbi táblázatban adatok találhatók azon személyek számáról, akik lórúgás következtében haltak meg 0 porosz hadtestben 0 év alatt (875894) (összesen 0 0 = 00 adat): halálesetek száma gyakoriság Ellen rizzük azt a hipotézist, hogy a halálesetek száma egy hadtestben egy év alatt Poisson-eloszlású! 40.) Rendelkezésünkre áll a következ minta: 0,55; 0,59; 0,34; 0,69; 0,95; 0,34; 0,53; 0,54; 0,03; 0,; 0,5; 0,67; 0,48; 0,09; 0,55; 0,0; 0,37; 0,76; 0,83; 0,9. A megoldás során alkalmazzunk diszkretizálást, azaz képezzünk alkalmas gyakorisági sort az adatokból. a.) Elfogadhatjuk-e azt a hipotézist, hogy a minta (0,) intervallumon egyenletes eloszlású? Vizsgáljuk meg Q-Q plot-tal is! b.) Elfogadhatjuk-e azt a hipotézist, hogy a minta egyenletes eloszlású? Vizsgáljuk meg Q-Q plot-tal is! c.) Elfogadhatjuk-e azt a hipotézist, hogy a minta exponenciális eloszlású? Vizsgáljuk meg Q-Q plot-tal is! 4.) Az Informatikai Kar III. évfolyamán 300-an tanulnak. Megszámolták, hogy a legutóbbi vizsgaid szakban hányszor buktak az egyes hallgatók. Az eredményeket tartalmazza az alábbi táblázat. Bukások száma Hallgatók száma a.) Elfogadhatjuk-e azt a hipotézist, hogy egy hallgató bukásszáma Bin(4; 0,5) eloszlású? b.) és azt, hogy Bin(4;p) eloszlású? 4.) Az alábbi táblázat CASCO biztosítással rendelkez k éves kárszámát tartalmazza 0-ben és 03-ban: Kárszám >5 Vezet k száma Vezet k száma a.) Vajon tekinthet -e a 0-es kárszám Poisson-eloszlásúnak? b.) Vajon tekinthet -e a kárszám azonos eloszlásúnak a két évben? 43.) Az alábbi kontingencia-táblázat mutatja, hogy 00 évben a csapadék mennyisége és az átlagh mérséklet hogyan alakult. H mérséklet \ Csapadék Kevés Átlagos Sok H vös Átlagos Meleg (A cellákban az egyes esetek gyakoriságai találhatóak.) Tekinthet -e a csapadékmennyiség és a h mérséklet függetlennek? 00 napon keresztül feljegyezték egy város energiafogyasztását. Az alábbi táblázat azt tartalmazza, hogy az egyes intervallumokba hány meggyelés esett, valamint azt is, hogy az adott intervallumba es értékeknek mennyi az átlaga. Az energiafogyasztást normális eloszlásúnak tekinthetjük? SZ6.) Intervallumok < > 7000 Gyakoriságok Átlagok ) Legyenek adottak a következ (x,y) párok: x i y i a.) Határozzuk meg és ábrázoljuk is az ax + b alakú regessziós egyenest. b.) Számoljuk ki a reziduálisokat és becsüljük meg a hiba-szórásnégyzetet. c.) Adjunk el rejelzést x=0-re a regressziós egyenes alapján. 45.) A január 8-án tartott Statisztika II. vizsgát 8 hallgató írta meg, akikt l megkérdeztük, mennyi órát készültek a vizsgára, hány pontot szereztek a tantárgy el feltételének számító Statisztika I. tantárgyból a vizsgán és milyen magasok: Statisztika II. pontszám Hány órát készült (ó) Statisztika I. pontszám Testmagasság (cm) a.) Vizsgáljuk meg lineáris regresszióval a tanulási id hatását a Statisztika II. pontszámra! Ábrázoljuk a regressziós egyenest! b.) Illesszünk négyzetes regressziós függvényt a Statisztika II. pontszámra, ha a magyarázó változó a tanulási id! Ábrázoljuk a regressziós egyenest! c.) Illesszünk lineáris regressziót a Statisztika II. pontszámára, ha a magyarázó változók a tanulási id és a Statisztika I. pontszám! d.) Illesszünk lineáris regressziót a Statisztika II. pontszámára, ha a magyarázó változók a tanulási id, a Statisztika I. pontszám és a testmagasság! e.) Vessük össze a modelleket! f.) A Statisztika II. vizsga sikeres, ha a hallgató legalább 50 pontot elér. Juli 75 cm magas, a Statisztika I.-b l 60 pontot szerzett és a Statisztika II.-re 8 órát tervez tanulni. Várhatóan át fog menni a Statisztika II. vizsgán? (p) 5

6 46.) Egy kereskedelmi egység három fajta paprikás chips-et árul, a következ táblázat a 04/05-ös értékesítésr l tartalmaz adatokat: Márka Értékesített Egységár Értékesített Egységár mennyiség (db) (Ft/db) mennyiség (db) (Ft/db) Chio Lays Cheetos Összesen a.) Jellemezd az értékesítésben bekövetkezett mennyiségi, ár- és értékváltozásokat egyedi és összetett indexekkel! Értelmezd szövegesen az egyes indexeket! b.) Számítsd ki az árváltozás miatti többletbevételt! 47.) Egy vállalat termelési értékének (árbevételének) a 35,4%-át 04-ben az I. számú üzem, a többit pedig a II. számú üzem adta. Az I. számú üzem termékeinek egységára 04-r l 05-re átlagosan 5%-kal, a II. számú üzemé pedig átlagosan 3%-kal csökkent. Számítsuk ki a vállalati termelés volumenének változását, ha ismert, hogy a vállalati termelési érték 3%-kal emelkedett! Értelmezd szövegesen a kapott volumenváltozást! 48.) Egy kisvállalkozás kétféle terméket gyárt. Termelési adatai: Termék Termelési érték 05-ben (M Ft) Volumenváltozás fajtája folyó áron 04-es áron (04=00%) A B Összesen a.) Határozd meg a termelés értékindexét! b.) Határozd meg mindkét súlyozással az ár- és volumenindexeket! c.) Számítsd ki az volumenváltozás miatti többletbevételt 04-es árakon! 49.) Mari néni kávézójában 3 féle kávét szolgál fel, a családi könyvelésb l az alábbi adatok ismertek: Kávéfajta A forgalom értéke Az árak A forgalom értékének 05-ben (e Ft) alakulása, 05/00 (%) Cappuccino Cafe Latte Espresso a.) Számíts érték-, ár- és volumenindexet a kávézó forgalmára vonatkozóan! b.) A forgalom értékének növekedéséb l hány forint volt az ár- és a volumenváltozás hatása? SZ7.) János gazda kétféle almát termel: jonatánt és starking-ot. A két almafajtából származó bevétel egyaránt 5-5%-kal növekedett 05-r l 06-ra. 06-ban az összes árbevétel 60%-a a jonatán almák eladásából származott. A jonatán almák ára 05-r l 06-ra 5%-kal, a starkingoké pedig 8%-kal n tt. Számítsd ki a Fisher-féle volumenindexet! (p) SZ8.) Egy boltban háromféle cigarettát árusítanak. A cigaretták összes forgalma (árbevétele) 03-r l 05-re 0%-kal emelkedett. A cigarettákra vonatkozóan az alábbi adatokat ismerjük: Márka Árbevétel megoszlása (%) Árak alakulása Árak alakulása Árbevétel alakulása /03 (%) 05/04 (%) 05/04 (%) Marlboro Helikon Sopianae Számítsd ki a Fisher-féle volumenindexet, ha a bázisid szak 03, a tárgyid szak pedig 05! (p) 6