Autoregressziós modellekkel kapcsolatos

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Autoregressziós modellekkel kapcsolatos"

Átírás

1 Autoregressziós modellekkel kapcsolatos határeloszlás tételek Pap Gyula Kossuth Lajos Tudomáyegyetem, Matematikai és Iformatikai Itézet H 4 ebrece, Pf.2 AR() modellek Tekitsük az (.) Xk = αx k + ε k, k =, 2,..., X = egylépéses autoregressziós modellt, ahol α R ismeretle paraméter, és az egyszerűség kedvéért feltesszük, hogy (ε k ) k függetle, azoos eloszlású valószíűségi változók, Eε =, Eε 2 =. Az α paraméter legkisebb égyzetes becslése α = X jx j. X2 j Közismert, hogy az aszimptotikusa stacioárius (stabilis) esetbe, amikor α <, az ( α ) sorozat aszimptotikusa ormális (Ma, Wald [27], Aderso []): ( α α) N (, α 2 ). Az istabil esetbe ( egységgyök modell ), amikor α =, az ( α ) sorozat em aszimptotikusa ormális, haem ( α ) W (t) dw (t) W, 2 (t) dt ahol W (t) : t [, ]} stadard Wieer folyamat (White [36], Aderso []). Az explozív esetbe, amikor α >, az ( α ) sorozat megit em aszimptotikusa ormális. Ha például ε N (, ), akkor α ( α α) Cauchy(, α 2 ).

2 Általába pedig ez a határeloszlás függ ε eloszlásától (White [36], Aderso []). Más ormálással: ( N (, ) α, /2 Xj ) 2 ( α α) W (t) dw (t) ( ) /2 α =, W 2 (t) dt amely az α > esetbe akkor érvéyes, amikor ε N (, ). A következő modellt közel istabilak ( közel egységgyök modell, közel emstacioárius modell ) evezzük: (.2) ahol Ekkor az α () () X k = α () X () X () =, k + ε() k, k =, 2,..., α () = + γ(), γ() γ. paraméterek legkisebb égyzetes becsléseiből álló ( α () ) sorozatra teljesül (.3) ( α () α () ) Y (t) dw (t) Y, 2 (t) dt ahol Y (t) : t [, ]} egy folytoos idejű AR() folyamat, azaz egy Orstei Uhlebeck folyamat, melyet a következő sztochasztikus differeciálegyelettel lehet defiiáli: (.4) dy (t) = γy (t) dt + dw (t), t [, ] Y () = (Bobkoski [4], Phillips [29], Cha ad Wei [6]). Az Y (t) : t [, ]} folyamat írható Y (t) = t e γ(t v) dw (v) alakba is. Arató, Kolmogorov, Siai [5], valamit Arató [2], [4] felhívta a figyelmet a diszkrét és folytoos idejű autoregressziós folyamatok közötti kapcsolatra. Az (.3) eredméy a következő módo is megfogalmazható: γ () γ, ahol γ () a γ () paraméter legkisebb égyzetes becslése az (.2) diszkrét idejű modellbe, γ pedig a γ paraméter maximum likelihood becslése az (.4) folytoos idejű modellbe (Arató [3]): γ = Y (t) dy (t) Y 2 (t) dt, 2

3 hisze az Y (t) : t [, ]} és W (t) : t [, ]} folyamatok által a C([, ]) tére idukált P Y, illetve P W mértékek ekvivalesek, és a Rado Nikodym derivált alakja: P } Y (Y ) = exp γ Y (t) dy (t) γ2 Y 2 (t) dt, P W 2 továbbá γ () = ( α () ), és az Itô formulával γ = Y (t) dw (t) Y + γ. 2 (t) dt A közel istabil esetbe fellépő külöleges határeloszlást heurisztikusa az magyarázza, hogy ( α α ) = X() j ε() j = (X() j )2 Y (t) dm (t) Y, 2 (t) dt ahol M (t) := [t], Y (t) := X () [t], és a fukcioális cetrális határeloszlás tétel értelmébe M W, Y Y, hisze j X () j = α j l ε () l, továbbá az együtthatót írhatjuk α = e γ/ Y (t) = [t] [t]/ e γ([t] l)/ ε () l = l= l= alakba is ahol γ γ, ezért [t] e γ( s) dm (s) Az α < esetbe ez a jeleség azért em lép fel, mert ekkor ( α α) = X j ε j X2 j t N ( α 2 ), valamit teljesül e γ(t s) dw (s) = Y (t). hisze a gyegé függő valószíűségi változókra voatkozó cetrális határeloszlás tétellel X j ε j a agy számok erős törvéyével pedig ( N, ), α 2 X 2 j α 2 P-m.m. 3

4 2. AR(p) modellek Hasoló eredméyek érvéyesek az (2.) Xk = α X k + + α p X k p + ε k, k =, 2,..., X = X =... = X p =, AR(p) modellre is. Az aszimptotikusa stacioárius (stabilis) esetbe, amikor a ϕ(z) = α z... α p z p karakterisztikus poliom összes zérushelye az egységkörö kívül va, az együtthatók legkisebb égyzetes becslése aszimptotikusa ormális (Ma, Wald [27], Aderso []). Az istabil esetbe ( egységgyök modell ), amikor a ϕ karakterisztikus poliom összes zérushelye az egységkörö kívül va, Cha, Wei [7] bebizoyította, hogy az α = (α,..., α p ) együtthatók α = ( α,,..., α p, ) legkisebb égyzetes becslése em aszimptotikusa ormális, viszot alkalmas δ } ormalizáló mátrixokkal a δ ( α α) sorozatak va határeloszlása, melyre adtak egy reprezetációt többszörös Wieer itegrálok segítségével. Jegaatha [2] vizsgálta a következő közel istabil ( közel egységgyök, közel emstacioárius ) AR(p) modellt: () X k = α () X () k (2.2) + + α() p X () k p + ε() k, k =, 2,..., X () = X () =... = X () p =, ahol az α () = (α (),..., α p () ) együtthatókra teljesül α () = α + δ γ, ahol γ γ, és δ } a Cha, Wei [7] által haszált ormalizáló mátrixok. Jegaatha [2] bebizoyította, hogy a δ α () ) sorozatak va határeloszlása, melyre adott egy ige boyolult reprezetációt. Va der Meer, Pap, Va Zuijle [28] adtak egy jóval egyszerűbb reprezetációt és egyúttal megmutatták, hogy létezik egy olya folytoos idejű AR(p) modell, mely hasoló kapcsolatba va a diszkrét idejű modellel, mit amely az AR() esetbe ( α () érvéyes. Tulajdoképpe köyebb kezeli a karakterisztikus poliomok zérushelyeiek legkisebb égyzetes becslését, mit az együtthatókét. A karakterisztikus poliomok zérushelyei egységgyökökhöz kovergálak a következő módo: r q j q ϕ (z) = α () z... α p () z p = ( e γ() j,k /+iθ j z) ( e iθ j z) r j, k= ahol θ,..., θ q ( π, π] párokét külöbözőek, és γ () j,k ( γ () j,k, ) legkisebb égyzetes becsléseire teljesül γ () j,k, γ j,k, γ j,k. Ekkor a γ () j,k paraméterek ahol γ j,k } maximum likelihood becslések a következő folytoos idejű AR(p) modellbe: rj k= (d γ j,k)y (t) = dw j (t), t [, ], j =,..., q Y j () =... = Y (r j ) j () =, j =,..., q, 4

5 ahol W j (t) : t [, ]}, j =,..., q függetle, stadard Wieer folyamatok, melyek valós értékűek, amikor ϑ j = vagy ϑ j = π, egyébkét komplex értékűek. Hasoló kapcsolat érvéyes bizoyos diszkrét és folytoos idejű vektorértékű autoregressziós modellek között is (Kormos, Pap [23], Pap, Zuijle [3], [3], Varga [35]). 3. uplá geometrikus síkbeli autoregressziós modell Most tekitsük az úgyevezett duplá geometrikus síkbeli autoregressziós modellt: (3.) Xk,l = α X k,l + α 2 X k,l α α 2 X k,l + ε k,l, k, l =, 2,...,, X,l = X k, =, melyet Marti [25] vezetett be. Ezt a modellt Jai [2] képfeldolgozás taulmáyozásáál, Marti [26], Cullis, Gleeso [8], Basu, Reisel [] mezőgazdasági kísérletekél, Tjostheim [33] pedig digitális szűrésél haszálta. Az aszimptotikusa stacioárius esetbe, amikor α < és α 2 <, az α = (α, α 2 ) paraméter külöböző becsléseiről megmutatták, hogy aszimptotikusa ormálisak (például Tjostheim [32], [34], Basu [7], Khalil [22], Basu, Reisel [8], [9]). Az egységgyök modellbe, amikor α = α 2 =, az AR() esettel elletétbe az α = (α, α 2 ) paraméter egylépéses Gauss Newto becsléseiek sorozata szité aszimptotikusa ormális (Bhattacharyya, Khalil, Richardso []). A legegyszerűbb egylépéses Gauss Newto becslés: ) ( ) ( α, ( ) = + A 2 X k,l 2 X k,l, X k,l 2 X k,l ahol és α, A = x k,l = x k,l x k,l, k= l= k= l= 2 x k,l = x k,l x k,l ( ) ( 2 X k,l ) 2 2 X k,l X k,l 2 X k,l X k,l ( X k,l ) 2. Ebbe az esetbe Bhattacharyya, Khalil, Richardso [] eredméyéből következik, hogy ) ( α, 3/2 N (, 2I). α 2, Érdemes megjegyezi, hogy az AR() egységgyök modellbe az α paraméter α égyzetes becslése is egylépéses Gauss Newto becslés, hisze legkisebb α = + k= X k X k. k= X2 k 5

6 Bhattacharyya, Richardso, Frakli [2] vizsgálták a X () k,l (3.2) = α() X () k,l + α() 2 X () k,l α() α () 2 X () k,l + ε() k,l, X (),l = X() k, = közel egységgyök modellt, ahol k, l =, 2,..., α () j = + γ() j, γ() j γ j, j =, 2, és bebizoyították az α () = (α (), α () 2 ) paraméter Gauss Newto becsléseiek aszimptotikusa ormalitását. Ebbe az esetbe az egylépéses Gauss Newto becslések alakja ( ) ( ) ( α (), α () 2 X () α (), =, α () + A k,l,2x () ) k,l 2, k= l= X () k,l,,2x () k,l ahol, 2 és,2 módosított differeciák: x k,l = x k,l α (),x k,l, 2 x k,l = x k,l α () 2,x k,l,,2 x k,l = 2 x k,l + ( α (), α () ) 2 x k,l + ( α () 2, α () 2 ) x k,l. Bhattacharyya, Richardso, Frakli [2] eredméyéből következik, hogy ha a α () j, becslésekre teljesül α () j, = α() j + O P ( 3/2 ), akkor ahol 3/2 α(), α () α () 2, α () 2 N (, diag(d,, d 2,2 )), 4γj 2 ha γ e d j,j = 2γj 2γ j, j 2 ha γ j =. kiiduló Eek a cikkek az az egyik célja, hogy megvilágítsa a (3.2) diszkrét idejű közel egységgyök duplá geometrikus síkbeli modell és az (3.3) Y (s, t) = s t e γ (s u)+γ 2 (t v) dw (u, v), s, t [, ] folytoos idejű Orstei Uhlebeck véletle mező kapcsolatát, ahol W (s, t) : s, t [, ]} stadard Wieer lepedő. Kiderül, hogy a (3.3) Orstei Uhlebeck lepedő megit tekithető a (3.2) duplá geometrikus modell folytoos idejű párjáak, de ez a kapcsolat em érvéyes a becslésekre voatkozólag. Valójába a (3.3) modellbe a γ = (γ, γ 2 ) paraméterek ics maximum likelihood becslése, mert a külöböző paraméterű Orstei Uhlebeck lepedők által geerált mértékek ortogoálisak egymásra. Ez a jeleség azzal függ össze, hogy a γ = (γ, γ 2 ) paramétert erőse kozisztes módo lehet becsüli (Yig [38] a stacioárius esetbe adott erőse kozisztes becsléseket). 6

7 4. uplá geometrikus síkbeli autoregressziós modell kovergeciája Orstei Uhlebeck lepedőhöz Tekitsük a (3.2) diszkrét idejű duplá geometrikus közel egységgyök modellt. Ekkor a Y () (s, t) := X() [s],[t], s, t [, ], M () (s, t) := [s] [t] i= ε () i,j s, t [, ] véletle lépcsős függvéyek tekithetők véletle elemekek a ([, ] 2 R) Szkorohod térbe. A következő eredméy (Arató, Pap, Zuijle [6]) leírja az aszimptotikus kapcsolatot a modellhez hozzáredelt (Y () ) sorozat és a zajhoz hozzáredelt (M () ) sorozat között. 4. Állítás. A következő állítások ekvivalesek: (i) M () W (ii) Y () Y i ([, ] 2 R), i ([, ] 2 R), (iii) (M (), Y () ) (W, Y ) i ([, ] 2 R 2 ). A ([, ] 2 R) térbe alkalmazva a fukcioális cetrális határeloszlás tételt (Bickel, Wichura [5, Theorem 5]) kapjuk az alábbi következméyt. 4.2 Következméy. Tegyük fel, hogy ε () k,l } függetle, azoos eloszlású, várható értékű és szórású valószíűségi változók. Ekkor (M (), Y () ) (W, Y ) ([, ] 2 R 2 ) be. A 4.2 Következméyt közvetleül is be lehet láti az Y () (s, t) = [s] [t] i= e γ() ([s] i)/+ γ () 2 ([t] j)/ ε () i,j összefüggés felhaszálásával, mégpedig egyrészt a cetrális határeloszlástétel segítségével megmutatható a végesdimeziós eloszlások kovergeciája, másrészt Bhattacharyya, Richardso, Frakli [2] techikájával bizoyítható a feszesség. 7

8 5. Orstei Uhlebeck lepedők ortogoalitása Legye γ R és σ > eseté Y γ,σ 2(t) := σ t e γ(t v) dw (v), t [, ]. Az Y γ,σ 2(t) : t [, ]} folyamat egy Orstei Uhlebeck folyamat (γ, σ 2 ) paraméterekkel, mely a következő sztochasztikus differeciálegyelet megoldása: dy (t) = γy (t) dt + σdw (t), t [, ], (5.) Y () =. Jelölje P Yγ,σ 2 az Y γ,σ 2 folyamat által a C([, ] R) tére idukált valószíűségi mértéket. Valamely P és P 2 valószíűségi mértékek ekvivaleciáját illetve ortogoalitását illetve fogja jelöli. A következő dichotómia jól ismert (lásd Arató [3]): PYγ,σ2 P Y γ, σ2 ha σ 2 = σ 2, Az ortogoalitás σ 2 σ 2 (5.2) P Yγ,σ 2 P Y γ, σ 2 ha σ 2 σ 2. eseté azo alapul, hogy ( ( j Yγ,σ 2 ) Yγ,σ 2 ( j )) 2 σ 2 P Yγ,σ 2-m.m., amely a következő reprezetáció segítségével bizoyítható (mely 5. következméye): Y γ,σ 2(t) = γ t Y γ,σ 2(v) dv + σw (t) felhaszálva a következő valószíűségű kovergeciákat: ( ( ( W j ( ) W j )) 2 j/, (j )/ Y γ,σ 2(v) dv) 2, ahol a második kovergecia abból következik, hogy az Y γ,σ 2 folyamat valószíűséggel folytoos. Más szavakkal: a σ 2 paramétert erőse kozisztes módo lehet becsüli (Yig [37] a stacioárius esetbe adott erőse kozisztes becsléseket). Most tekitsük a (γ, γ 2, σ 2 ) paraméterű Orstei Uhlebeck lepedőt, mely a következő módo va defiiálva: s t Y γ,γ 2,σ 2(s, t) = σ e γ (s u)+γ 2 (t v) dw (u, v), s, t [, ] 2, ahol γ, γ 2 R, σ >. Jelölje P Yγ,γ 2,σ 2 az Y γ,γ 2,σ 2 folyamat által a C([, ]2 R) tére idukált valószíűségi mértéket. A következő dichotómia érvéyes (lásd Kurcheko [24], Arató, Pap, Zuijle [6]): 5.3 Állítás. PYγ,γ2,σ2 P Y γ, γ2, σ2 ha (γ, γ 2, σ 2 ) = ( γ, γ 2, σ 2 ), P Yγ,γ 2,σ 2 P Y γ, γ 2, σ 2 ha (γ, γ 2, σ 2 ) ( γ, γ 2, σ 2 ). 8

9 Hivatkozások [] Aderso, T. W. (959). O asymptotic distributios of estimates of parameters of stochastic differece equatios. A. Math. Statist. 3, [2] Arató, M. Estimatio of the parameters of a statioary Gaussia Markov process. okl. Akad. Nauk SSSR [3] Arató, M. Liear stochastic systems with costat coefficiets. A statistical approach. (Lecture Notes i Cotrol ad If., vol. 45, 39 pp.) Berli: Spriger-Verlag, 982 (i Russia, Moscow: Nauka, 989). [4] Arató, M. (989). Asymptotic iferece for discrete vector AR processes. Publ. Math. 36, 9 3. [5] Arató, M., Kolmogorov, A.N. ad Siay, Ya. G. (962). Estimatio of the parameters of a complex statioary Gaussia Markov process. okl. Akad. Nauk SSSR [6] Arató, M., Pap, G. ad Zuijle, M.v. (999). Asymptotic iferece for spatial autoregressio ad orthogoality of Orstei Uhlebeck sheets. Report 9927, Uiversity of Nijmege, The Netherlads. [7] Basu, S. (99). Aalysis of first-order spatial bilateral ARMA models. Ph.. dissertatio, Uiv. Wiscosi, Madiso. [8] Basu, S. ad Reisel, G. C. (992). A ote o properties of spatial Yule Walker estimators. J. Statist. Comput. Simulatio 4, [9] Basu, S. ad Reisel, G. C. (993). Properties of the spatial uilateral first-order ARMA model. Adv. i Appl. Probab. 25, [] Basu, S. ad Reisel, G. C. 994). Regressio models with spatially correlated errors. J. Amer. Statist. Assoc. 89, [] Bhattacharyya, B. B., Khalil, T. M. ad Richardso, G.. (996). Gauss Newto estimatio of parameters for a spatial autoregressio model. Statist. Probab. Lett. 28, [2] Bhattacharyya, B. B., Richardso, G.. ad Frakli, L. A. (997). Asymptotic iferece for ear uit roots i spatial autoregressio. A. Statist. 25, [3] Billigsley, P. (968). Covergece of probability measures. Joh Wiley & Sos, New York. [4] Bobkoski, M. J. (983). Hypothesis testig i ostatioary time series. Ph.. dissertatio, Uiv. Wiscosi, Madiso. 9

10 [5] Bickel, P. J. ad Wichura, M. J. (97). Covergece criteria for multiparameter stochastic processes ad some applicatios. A. Math. Statist. 42, [6] Cha, N. H. ad Wei, C. Z. (987). Asymptotic iferece for early ostatioary AR() processes. A. Statist. 5, [7] Cha, N. H. ad Wei, C. Z. (988). Limitig distributios of least squares estimates of ustable autoregressive processes. A. Statist. 6, [8] Cullis, B. R. ad Gleeso, A.C. (99). Spatial aalysis of field experimets a extesio to two dimesios. Biometrics 47, [9] eo, C. M. ad Wog, S. F. (978). O quadratic variatio of Gaussia radom fields. Teor. Veroyat. Prime. 23, [2] Jai, A. K. (98). Advaces i mathematical models for image processeg. Proc. IEEE 69, [2] Jegaatha, P. (99). O the asymptotic behaviour of least-squares estimators i AR time series with roots ear the uit circle. Ecoometric Theory 7, [22] Khalil, T. M. (99). A study of the doubly geometric process, statioary cases ad a ostatioary case. Ph.. dissertatio, North Carolia State Uiv., Raleigh. [23] Kormos, J. ad Pap, G. (997). Nearly ustable multidimesioal AR() processes. Computers Math. Appl. 34, 7. [24] Kurcheko, A. A. (983). Some coditios for the orthogoality of measures correspodig to homogeeous radom fields. Theory Probab. Math. Stat. 26, 3 9. [25] Mari, R. J. (979). A subclass of lattice processes applied to a problem i plaar samplig. Biometrika 66, [26] Mari, R. J. (99). The use of time-series models ad methods i the aalysis of agricultural field trials. Comm. Statist. Theory Methods 9, [27] Ma, H. B. ad Wald, A. (943). O the statistical treatmet of liear stochastic differece equatios. Ecoometrica, [28] Meer, T.v.d., Pap, G. ad Zuijle, M.v. (999). Asymptotic iferece for early ustable AR(p) processes. Ecoometric Theory 5, [29] Phillips, P. C. B. Towards a uified asymptotic theory for autoregressio. Biometrika 74 (987): [3] Pap, G. ad Zuijle, M.v. (996). Asymptotic iferece for early ustable multidimesioal AR processes. Theory Probab. Appl. 4, 73 7.

11 [3] Pap, G. ad Zuijle, M.v. (999). Asymptotic properties of early ustable multivariate AR processes. Computers Math. Appl. 37, 9. [32] Tjostheim,. (978). Statistical spatial series modellig. Adv. i Appl. Probab., [33] Tjostheim,. (98). Autoregressive modellig ad spectral aalysis of array data i the plae. IEEE Tras. o Geoscieces ad Remote Sesig 9, [34] Tjostheim,. (983). Statistical spatial series modellig II: some further results o uilateral processes. Adv. i Appl. Probab. 5, [35] Varga, K. (998). Nearly ustable AR models with coefficiet matrices i Jorda ormal form. Computers Math. Appl. 36,. [36] White, J. S. (958). The limitig distributio of the serial correlatio coefficiet i the explosive case. A. Math. Statist. 29, [37] Yig, Z. (99). Asymptotic properties of a maximum likelihood estimator with data from a Gaussia process. J. Multivar. Aal. 36, [38] Yig, Z. (993). Maximum likelihood of parameters uder spatial samplig scheme. A. Statist. 2,

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

hogy alkalmas konstrukcióval megadható-e olyan sztochasztikus folyamat, melynek ezek

hogy alkalmas konstrukcióval megadható-e olyan sztochasztikus folyamat, melynek ezek Wieer folyamatok A következő két feladat azt mutatja, hogy az az eseméy, hogy egy sztochasztikus folyamat folytoos trajektóriájú-e vagy sem em határozható meg a folyamat véges dimeziós eloszlásai segítségével,

Részletesebben

fogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és

fogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és A Valószíűségszámítás II. előadássorozat egyedik témája. A NAGY SZÁMOK TÖRVÉNYE Eze előadás témája a agy számok erős és gyege törvéye. Kissé leegyszerűsítve fogalmazva a agy számok törvéye azt modja ki,

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

Területi koncentráció és bolyongás Lengyel Imre publikációs tevékenységében

Területi koncentráció és bolyongás Lengyel Imre publikációs tevékenységében Lukovics Miklós (szerk.) 204: Taulmáyok Legyel Imre professzor 60. születésapja tiszteletére. SZTE Gazdaságtudomáyi Kar, Szeged, 5-24. o. Területi kocetráció és bolyogás Legyel Imre publikációs tevékeységébe

Részletesebben

Komputer statisztika

Komputer statisztika Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Iformatikai Itézet Tómács Tibor Komputer statisztika Eger, 010. október 6. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Valószíűségszámítás 7 1.1. Valószíűségi mező............................

Részletesebben

Feleségem Hizsnyik Mária, gyermekeim Gyula (1979) és Júlia (1981), unokáim Lola (2007), Kende (2010) és Márkó (2010)

Feleségem Hizsnyik Mária, gyermekeim Gyula (1979) és Júlia (1981), unokáim Lola (2007), Kende (2010) és Márkó (2010) Pap Gyula Születési hely és idő: Debrecen, 1954 Feleségem Hizsnyik Mária, gyermekeim Gyula (1979) és Júlia (1981), unokáim Lola (2007), Kende (2010) és Márkó (2010) TANULMÁNYOK, TUDOMÁNYOS FOKOZATOK Gimnáziumi

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

A statisztika részei. Példa:

A statisztika részei. Példa: STATISZTIKA Miért tauljuk statisztikát? Mire haszálhatjuk? Szakirodalom értő és kritikus olvasásához Mit állít egyáltalá a cikk? Korrektek-e a megállaítások? Vizsgálatok (kísérletek és felmérések) tervezéséhez,

Részletesebben

Statisztikai programcsomagok

Statisztikai programcsomagok Statisztikai programcsomagok Sz cs Gábor Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Szeged, 2012. tavaszi félév Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Itézet) Statisztikai programcsomagok 2012. tavaszi félév 1 / 26 Bevezetés

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

Bevezetés. 1. előadás, 2015. február 11. Módszerek. Tematika

Bevezetés. 1. előadás, 2015. február 11. Módszerek. Tematika Bevezetés 1. előadás, 2015. február 11. Zempléni András Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Áringadozások előadás Heti 2 óra előadás + 2 óra

Részletesebben

AKADÉMIAI LEVELEZŐ TAGSÁGRA TÖRTÉNŐ AJÁNLÁS

AKADÉMIAI LEVELEZŐ TAGSÁGRA TÖRTÉNŐ AJÁNLÁS AKADÉMIAI LEVELEZŐ TAGSÁGRA TÖRTÉNŐ AJÁNLÁS I. ADATLAP Név: CSÁKI ENDRE Születési hely, év, hó, nap: Budapest, 1935 január 7 Tudomány doktora fokozat megszerzésének éve: 1989 Szűkebb szakterülete: valószínűségszámítás

Részletesebben

Some Problems of Nonlinear Time Series Analysis in Frequency Domain

Some Problems of Nonlinear Time Series Analysis in Frequency Domain Debreceni Egyetem Terdik György: Some Problems of Nonlinear Time Series Analysis in Frequency Domain c. doktori értekezés összefoglalója 2005. 1 Összefoglalás Az id½osorok analízise számos tudomány területen

Részletesebben

Összefoglaló OTKA F67729 pályázat: 2007-2011

Összefoglaló OTKA F67729 pályázat: 2007-2011 Összefoglaló OTKA F67729 pályázat: 2007-2011 Anomális áramfluktuációk 2006-ban sikerült társszerzőimmel, Eric Catorral és Timo Seppäläinennel megmutatnunk [4], hogy a last passage perkolációra is kiterjeszthető

Részletesebben

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

Bemenet modellezése II.

Bemenet modellezése II. Bemenet modellezése II. Vidács Attila 2005. november 3. Hálózati szimulációs technikák, 2005/11/3 1 Kiszolgálási id k modellezése Feladat: Egy bemeneti modell felállítása egy egy kiszolgálós sorbanállási

Részletesebben

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

SZOFTVEREK A SORBANÁLLÁSI ELMÉLET OKTATÁSÁBAN

SZOFTVEREK A SORBANÁLLÁSI ELMÉLET OKTATÁSÁBAN SZOFTVEREK A SORBANÁLLÁSI ELMÉLET OKTATÁSÁBAN Almási Béla, almasi@math.klte.hu Sztrik János, jsztrik@math.klte.hu KLTE Matematikai és Informatikai Intézet Abstract This paper gives a short review on software

Részletesebben

Nagyméretű nemlineáris közúti közlekedési hálózatok speciális analízise

Nagyméretű nemlineáris közúti közlekedési hálózatok speciális analízise Nagyméretű emlieáris közúti közlekedési hálózatok speciális aalízise Dr. Péter Tamás* *Budapesti Műszaki és Gazdaságtudomáyi Egyetem Közlekedéautomatikai Taszék (tel.: +36--46303; e-mail: peter.tamas@mail.bme.hu

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

Munkapiaci rugalmatlanság és a munkanélküliségi idősorok egységgyök-tulajdonsága: problémafelvetés

Munkapiaci rugalmatlanság és a munkanélküliségi idősorok egységgyök-tulajdonsága: problémafelvetés Munkapiaci rugalmatlanság és a munkanélküliségi idősorok 103 Kormos János Czeglédi Pál* Munkapiaci rugalmatlanság és a munkanélküliségi idősorok egységgyök-tulajdonsága: problémafelvetés A cikk a munkanélküliség

Részletesebben

Számítógéppel irányított rendszerek elmélete. A rendszer- és irányításelmélet legfontosabb részterületei. Hangos Katalin. Budapest

Számítógéppel irányított rendszerek elmélete. A rendszer- és irányításelmélet legfontosabb részterületei. Hangos Katalin. Budapest CCS-10 p. 1/1 Számítógéppel irányított rendszerek elmélete A rendszer- és irányításelmélet legfontosabb részterületei Hangos Katalin Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék Folyamatirányítási

Részletesebben

Performance Modeling of Intelligent Car Parking Systems

Performance Modeling of Intelligent Car Parking Systems Performance Modeling of Intelligent Car Parking Systems Károly Farkas Gábor Horváth András Mészáros Miklós Telek Technical University of Budapest, Hungary EPEW 2014, Florence, Italy Outline Intelligent

Részletesebben

MŰSZAKI TUDOMÁNY AZ ÉSZAK-ALFÖLDI RÉGIÓBAN 2010

MŰSZAKI TUDOMÁNY AZ ÉSZAK-ALFÖLDI RÉGIÓBAN 2010 MŰSZAKI TUDOMÁNY AZ ÉSZAK-ALFÖLDI RÉGIÓBAN 2010 KONFERENCIA ELŐADÁSAI Nyíregyháza, 2010. május 19. Szerkesztette: Edited by Pokorádi László Kiadja: Debreceni Akadémiai Bizottság Műszaki Szakbizottsága

Részletesebben

Statisztikai hipotézisvizsgálatok

Statisztikai hipotézisvizsgálatok Statisztikai hipotézisvizsgálatok. Milye problémákál haszálatos? A gyakorlatba agyo gyakra szükségük lehet arra, hogy mitákból származó iformációk alapjá hozzuk sokaságra voatkozó dötéseket. Például egy

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/)

3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/) 3. Sztereó kamera Kató Zoltá Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika taszék SZTE (http://www.if.u-szeged.hu/~kato/teachig/) Sztereó kamerák Az emberi látást utáozza 3 Sztereó kamera pár Két, ugaazo 3D látvát

Részletesebben

Kutatói pályára felkészítı modul

Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı kutatási ismeretek modul Tudomáyos kutatási alapayag feldolgozása, elemzési ismeretek KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI

Részletesebben

Sorbanállási modellek

Sorbanállási modellek VIII. előadás Sorbaállási modellek Sorbaállás: A sorbaállás, a várakozás általáos probléma közlekedés, vásárlás, takolás, étterem, javításra várás, stb. Eze feladatok elmélete és gyakorlata a matematikai

Részletesebben

Sztochasztikus kapcsolatok

Sztochasztikus kapcsolatok Sztochasztikus kapcsolatok Petrovics Petra PhD Hallgató Ismérvek közötti kapcsolat (1) Függvényszerű az egyik ismérv szerinti hovatartozás egyértelműen meghatározza a másik ismérv szerinti hovatartozást.

Részletesebben

Empirikus portfólióstratégiák

Empirikus portfólióstratégiák Közgazdasági Szemle, LIII. évf., 2006. július augusztus (624 640. o.) OTTUCSÁK GYÖRGY VAJDA ISTVÁN Empirikus portfólióstratégiák A cikk olya új szekveciális befektetési stratégiákat mutat be, amelyek általáos

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

3. Valószínűségszámítás

3. Valószínűségszámítás Biometria az orvosi gyaorlatba 3. Valószíűségszámítás 3. Valószíűségszámítás 3.. Bevezetés 3.. Kombiatoria 3... Permutáció 3... Variáció 3..3. Kombiáció 3 3.3. Biomiális együttható tulajdoságai 3 3.4.

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 Folytoos vlószíűségi változók Értékkészletük számegyees egy folytoos (véges vgy végtele) itervllum. Vlmeyi lehetséges érték vlószíűségű, pozitív vlószíűségek csk értéktrtomáyokhoz trtozk. Az eloszlás em

Részletesebben

Az iparosodás és az infrastrukturális fejlődés típusai

Az iparosodás és az infrastrukturális fejlődés típusai Az iparosodás és az ifrastrukturális fejlődés típusai Az iparosodás és az ifrastrukturális fejlődés kapcsolatába törtéelmileg három fejlődési típus vázolható fel: megelőző, lácszerűe együtt haladó, utólagosa

Részletesebben

Kevei Péter. 2013. november 22.

Kevei Péter. 2013. november 22. Valószíűségelmélet feladatok Kevei Péter 2013. ovember 22. 1 Tartalomjegyzék 1. Mérhetőség 4 2. 0 1 törvéyek 12 3. Vektorváltozók 18 4. Véletle változók traszformáltjai 28 5. Várható érték 33 6. Karakterisztikus

Részletesebben

Valószín ségszámítás és statisztika

Valószín ségszámítás és statisztika Valószí ségszámítás és statisztika oktatási segédayag Kupá Pál Tartalomjegyzék fejezet Valószí ségszámítási alapfogalmak 5 Eseméyek 5 M veletek eseméyekkel 5 2 A valószí ség fogalma 7 3 Valószí ségi változók

Részletesebben

Süle Zoltán publikációs listája

Süle Zoltán publikációs listája Süle Zoltán publikációs listája Statisztikai összegzés Referált nemzetközi folyóiratcikkeim száma: 3 (+1) Nemzetközi konferenciakiadványban megjelent publikációim száma: 14 Hazai konferenciakiadványban

Részletesebben

Fazekas István részletes szakmai önéletrajza. Főbb adatok

Fazekas István részletes szakmai önéletrajza. Főbb adatok Fazekas István részletes szakmai önéletrajza Főbb adatok Tanulmányok, fokozatok 1978-ban szereztem matematikus diplomát a Kossuth Lajos Tudományegyetemen (KLTE). 1978-ban tettem középfokú angol nyelvvizsgát.

Részletesebben

AZ IDŐBEN KORLÁTOZOTT TAKARMÁNYOZÁS HATÁSA A NÖVENDÉKNYULAK TERMELÉSÉRE

AZ IDŐBEN KORLÁTOZOTT TAKARMÁNYOZÁS HATÁSA A NÖVENDÉKNYULAK TERMELÉSÉRE 91 AZ IDŐBEN KORLÁTOZOTT TAKARMÁNYOZÁS HATÁSA A NÖVENDÉKNYULAK TERMELÉSÉRE SZENDRŐ ZS., MIHÁLOVICS GY., MILISITS G., BIRÓNÉ NÉMETH E., RADNAI I. Pao Agrártudomáyi Egyetem, Állatteyésztési Kar, Kaposvár

Részletesebben

Törés és fragmentáció statisztikus fizikája

Törés és fragmentáció statisztikus fizikája Törés és fragmentáció statisztikus fizikája A projekt keretében a rendezetlen szerkezetű szilárdtestek törésének és fragmentációs folyamatainak elméleti leírására végeztünk kutatómunkát három fő területen:

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás 8. Valószíűségszámítás ESEMÉNYEK 174 Eseméyek formális leírása, műveletek 175 Feladatok 176 A VALÓSZÍNŰSÉG FOGALMA 177 A valószíűség tulajdoságai 178 Mitapéldák 179 Feladatok 181 VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK

Részletesebben

KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN

KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN DR. REICHART OLIVÉR 005. Budapest Lektorálta: Zukál Edre Tartalom BEVEZETÉS 3. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPOK 5.. Kombiatorikai alapösszefüggések

Részletesebben

Szimmetrikus stabil eloszlások paramétereinek egy robusztus becslési eljárása és alkalmazása

Szimmetrikus stabil eloszlások paramétereinek egy robusztus becslési eljárása és alkalmazása MISKOLCI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Szimmetrikus stabil eloszlások paramétereinek egy robusztus becslési eljárása és alkalmazása doktori (PhD) értekezés tézisei Készítette: Csendes Csilla

Részletesebben

Hanka László. Fejezetek a matematikából

Hanka László. Fejezetek a matematikából Haka László Egyetemi jegyzet Budapest, 03 ÓE - BGK - 304 Szerző: Dr. Haka László adjuktus (OE BGK) Lektor: Hosszú Ferec mestertaár (OE BGK) Fiamak Boldizsárak Előszó Ez az elektroikus egyetemi jegyzet

Részletesebben

A rosszindulatú daganatos halálozás változása 1975 és 2001 között Magyarországon

A rosszindulatú daganatos halálozás változása 1975 és 2001 között Magyarországon A rosszindulatú daganatos halálozás változása és között Eredeti közlemény Gaudi István 1,2, Kásler Miklós 2 1 MTA Számítástechnikai és Automatizálási Kutató Intézete, Budapest 2 Országos Onkológiai Intézet,

Részletesebben

Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből

Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből Kidolgozott feladatok a emparaméteres statisztika témaköréből A tájékozódást mideféle szíkódok segítik. A feladatok eredeti szövege zöld, a megoldások fekete, a figyelmeztető, magyarázó elemek piros szíűek.

Részletesebben

A BSc-képzés szakdolgozati témái

A BSc-képzés szakdolgozati témái A BSc-képzés szakdolgozati témái ELTE TTK, Matematikai Intézet 2010/2011 Valószín ségelméleti és Statisztika Tanszék 1. Szabadon választható téma. Témavezet : A tanszék bármelyik oktatója, vagy (a tanszékvezet

Részletesebben

Differenciálegyenletek. Bevezetés az elméletbe és az alkalmazásokba. Javítások és kiegészítések

Differenciálegyenletek. Bevezetés az elméletbe és az alkalmazásokba. Javítások és kiegészítések Differenciálegyenletek. Bevezetés az elméletbe és az alkalmazásokba. Javítások és kiegészítések Differenciálegyenletek Bevezetés az elméletbe és az alkalmazásokba. Javítások és kiegészítések Tóth János

Részletesebben

Eróziómodellezés a vízgyűjtőmenedzsment szolgálatában

Eróziómodellezés a vízgyűjtőmenedzsment szolgálatában Eróziómodellezés a vízgyűjtőmenedzsment szolgálatában Kitka Gergely Dr. Farsang Andrea Dr. Barta Károly 1. Bevezetés Napjaink egyik igen fontos problémájává nőtte ki magát a talajerózió következtében fellépő

Részletesebben

MATEMATIKAI ÉS FIZIKAI ALAPOK

MATEMATIKAI ÉS FIZIKAI ALAPOK MATEMATIKAI ÉS FIZIKAI ALAPOK F:\EGYJEGYZ\20\alapok.doc 4 Feb 20 www.rmki.kfki.hu/~szego/egyjegyz. A Dirac-delta 2. Elektrodinamika mozgó közegekben 3. Függvénytranszformációk (Fourier transzformáció)

Részletesebben

A válaszadó-vezérelt mintavétel megbízhatóságának vizsgálata szimulációs módszerekkel 1

A válaszadó-vezérelt mintavétel megbízhatóságának vizsgálata szimulációs módszerekkel 1 Szociológiai Szemle 23(2): 72 88. válaszadó-vezérelt mitavétel megbízhatóságáak vizsgálata szimulációs módszerekkel 1 Kmetty Zoltá Simo Dávid zkmetty@yahoo.com; dr.david.simo@gmail.com Beérkezés: 2013.

Részletesebben

Az állat becsült kor. teljes súly. teljes hossz orrtól. törzs hossza. pocak körkörös méret. hátsó láb hossza kör

Az állat becsült kor. teljes súly. teljes hossz orrtól. törzs hossza. pocak körkörös méret. hátsó láb hossza kör Koeláció- és egesszió-aalízis Az is előfodulhat, hogy két változó között ics semmilye kapcsolat: Az X és Y véletle változók között az alábbi ábáko Az állat becsült ko pozitív összefüggés em lieáis összefüggés

Részletesebben

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle

Részletesebben

Véletlen növekedő fák aszimptotikus vizsgálata TÉZISFÜZET

Véletlen növekedő fák aszimptotikus vizsgálata TÉZISFÜZET Véletlen növekedő fák aszimptotikus vizsgálata TÉZISFÜZET Rudas Anna 2012. december Tartalomjegyzék 1 Bevezető 2 1.1 Modellcsalád és háttér............................ 2 1.2 A disszertáció felépítése...........................

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

kritikus érték(ek) (critical value).

kritikus érték(ek) (critical value). Hipotézisvizsgálatok (hypothesis testig) A statisztikáak egyik célja lehet a populáció tulajdoságaiak, ismeretle paramétereiek a becslése. A másik tipikus cél: valamely elmélet, hipotézis empirikus bizoyítása

Részletesebben

Véges csoportok mint belső szimmetriák kvantumtérelméleti rács modellekben. Témavezető: Szlachányi Kornél, KFKI RMKI

Véges csoportok mint belső szimmetriák kvantumtérelméleti rács modellekben. Témavezető: Szlachányi Kornél, KFKI RMKI Véges csoportok mit belső szimmetriák kvatumtérelméleti rács modellekbe Balázs Márto V. fizikus, ELTE TTK Témavezető: Szlacháyi Korél, KFKI RMKI Bevezetés A fizikába redkívül fotos a csoportok szerepe,

Részletesebben

Bevezetés az ökonometriába

Bevezetés az ökonometriába Bevezetés az ökonometriába Többváltozós lineáris regresszió: modellszelekció Ferenci Tamás MSc 1 tamas.ferenci@medstat.hu 1 Statisztika Tanszék Budapesti Corvinus Egyetem Negyedik előadás, 2010. október

Részletesebben

Egyenes-e a tőkepiaci árazási modell (CAPM) karakterisztikus és értékpapír-piaci egyenese?

Egyenes-e a tőkepiaci árazási modell (CAPM) karakterisztikus és értékpapír-piaci egyenese? Közgazdasági Szemle, LVII. évf., 1. március (1 1. o.) ERDŐS PÉTER ORMOS MIHÁLY ZIBRICZKY DÁVID Egyees-e a tőkepiaci árazási modell (CAPM) karakterisztikus és értékpapír-piaci egyeese? Taulmáyuk egyrészt

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

AZ ERDÕ NÖVEKEDÉSÉNEK VIZSGÁLATA TÉRINFORMATIKAI ÉS FOTOGRAMMETRIAI MÓDSZEREKKEL KARSZTOS MINTATERÜLETEN

AZ ERDÕ NÖVEKEDÉSÉNEK VIZSGÁLATA TÉRINFORMATIKAI ÉS FOTOGRAMMETRIAI MÓDSZEREKKEL KARSZTOS MINTATERÜLETEN Tájökológiai Lapok 5 (2): 287 293. (2007) 287 AZ ERDÕ NÖVEKEDÉSÉNEK VIZSGÁLATA TÉRINFORMATIKAI ÉS FOTOGRAMMETRIAI MÓDSZEREKKEL KARSZTOS MINTATERÜLETEN ZBORAY Zoltán Honvédelmi Minisztérium Térképészeti

Részletesebben

Sztochasztikus tartalékolás és a tartalék függése a kifutási háromszög időperiódusától

Sztochasztikus tartalékolás és a tartalék függése a kifutási háromszög időperiódusától Sztochasztkus tartalékolás és a tartalék függése a kfutás háromszög dőperódusától Faluköz Tamás Vtéz Ildkó Ibola Kozules: r. Arató Mklós ELTETTK Budapest IBNR kfutás háromszög IBNR: curred but ot reported

Részletesebben

A TANTÁRGY ADATLAPJA

A TANTÁRGY ADATLAPJA A TANTÁRGY ADATLAPJA 1. A képzési program adatai 1.1 Felsőoktatási intézmény Babeș Bolyai Tudományegyetem 1.2 Kar Matematika és Informatika Kar 1.3 Intézet Magyar Matematika és Informatika Intézet 1.4

Részletesebben

Gabonacsíra- és amarant fehérjék funkcionális jellemzése modell és komplex rendszerekben

Gabonacsíra- és amarant fehérjék funkcionális jellemzése modell és komplex rendszerekben Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Biokémiai és Élelmiszertechnológiai Tanszék Gabonacsíra- és amarant fehérjék funkcionális jellemzése modell és komplex rendszerekben c. PhD értekezés Készítette:

Részletesebben

Idősoros elemzés. Ferenci Tamás, ft604@hszk.bme.hu 2009. január 7.

Idősoros elemzés. Ferenci Tamás, ft604@hszk.bme.hu 2009. január 7. Idősoros elemzés Ferenci Tamás, ft604@hszk.bme.hu 2009. január 7. A felhasznált adatbázisról Elemzésemhez a tanszéki honlapon rendelkezésre bocsátott TimeSeries.xls idősoros adatgyűjtemény egyik idősorát,

Részletesebben

A települési hősziget-intenzitás Kárpátalja alföldi részén 1

A települési hősziget-intenzitás Kárpátalja alföldi részén 1 A települési hősziget-itezitás Kárpátalja alföldi részé Molár József, Kakas Móika, Marguca Viola A települési hőszigetek kifejlődéséek vizsgálata az urbaizáció folyamatáak előrehaladásával párhuzamosa

Részletesebben

Idősoros elemzés minta

Idősoros elemzés minta Idősoros elemzés minta Ferenci Tamás, tamas.ferenci@medstat.hu A felhasznált adatbázisról Elemzésemhez a francia frank árfolyamának 1986.01.03. és 1993.12.31. közötti értékeit használtam fel, mely idősorban

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS

A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS 1. Törtéeti összefoglaló A tizekilecedik század végé a fizikát lezárt tudomáyak tartották. A sikeres Newto-i mechaika és gravitációs elmélet alapjá a Napredszer bolygóiak mozgása

Részletesebben

SZOMSZÉDSÁGI SZEKVENCIÁK ÉS ALKALMAZÁSAIK A KÉPFELDOLGOZÁSBAN ÉS KÉPI ADATBÁZISOKBAN

SZOMSZÉDSÁGI SZEKVENCIÁK ÉS ALKALMAZÁSAIK A KÉPFELDOLGOZÁSBAN ÉS KÉPI ADATBÁZISOKBAN SZOMSZÉDSÁGI SZEKVENCIÁK ÉS ALKALMAZÁSAIK A KÉPFELDOLGOZÁSBAN ÉS KÉPI ADATBÁZISOKBAN NEIGHBORHOOD SEQUENCES AND THEIR APPLICATIONS IN IMAGE PROCESSING AND IMAGE DATABASES András Hajdu, János Kormos, Tamás

Részletesebben

OTKA nyilvántartási szám: T047198 ZÁRÓJELENTÉS

OTKA nyilvántartási szám: T047198 ZÁRÓJELENTÉS MESTERSÉGES INTELLIGENCIA MÓDSZEREK ALKALMAZÁSA A FOLYAMATMODELLEZÉSBEN című OTKA pályázatról 2004. jan. 01 2007. dec. 31. (Vezető kutató: Piglerné dr. Lakner Rozália) A mesterséges intelligencia eszközök

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

Több diszkrét kimenet multinomiális és feltételes logit modellek

Több diszkrét kimenet multinomiális és feltételes logit modellek Több diszkrét kimenet multinomiális és feltételes logit modellek Mikroökonometria, 9. hét Bíró Anikó A tananyag a Gazdasági Versenyhivatal Versenykultúra Központa és a Tudás-Ökonómia Alapítvány támogatásával

Részletesebben

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)

Részletesebben

Probabilisztikus funkcionális modellek idegrendszeri adatok elemzésére

Probabilisztikus funkcionális modellek idegrendszeri adatok elemzésére Probabilisztikus funkcionális modellek idegrendszeri adatok elemzésére Bányai Mihály! MTA Wigner FK! Computational Systems Neuroscience Lab!! KOKI-VIK szeminárium! 2014. február 11. Struktúra és funkció

Részletesebben

MÉRÉSMETODIKAI ALAPISMERETEK FIZIKA. kétszintű érettségire felkészítő. tanfolyamhoz

MÉRÉSMETODIKAI ALAPISMERETEK FIZIKA. kétszintű érettségire felkészítő. tanfolyamhoz MÉRÉSMETODIKAI ALAPISMERETEK a FIZIKA kétszitű érettségire felkészítő tafolyamhoz A fizika mukaközösségi foglalkozásoko és a kétszitű érettségi való vizsgáztatásra felkészítő tafolyamoko 004-009-be elhagzottak

Részletesebben

VI. Magyar Földrajzi Konferencia 524-529

VI. Magyar Földrajzi Konferencia 524-529 Van Leeuwen Boudewijn Tobak Zalán Szatmári József 1 BELVÍZ OSZTÁLYOZÁS HAGYOMÁNYOS MÓDSZERREL ÉS MESTERSÉGES NEURÁLIS HÁLÓVAL BEVEZETÉS Magyarország, különösen pedig az Alföld váltakozva szenved aszályos

Részletesebben

A magyarországi Gauss-Krüger-vetületû katonai topográfiai térképek dátumparaméterei

A magyarországi Gauss-Krüger-vetületû katonai topográfiai térképek dátumparaméterei A magyarországi Gauss-Krüger-vetületû katonai topográfiai térképek dátumparaméterei Timár Gábor 1 Kubány Csongor 2 Molnár Gábor 1 1ELTE Geofizikai Tanszék, Ûrkutató Csoport 2Honvédelmi Minisztérium, Térképészeti

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR védőeryő az ismeretleek záporába VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR www.matektaitas.hu www.matektaitas.hu ifo@matektaitas.hu 1 védőeryő az ismeretleek záporába Kombiatorika Permutáció Ismétlés élküli permutáció

Részletesebben

Hulladéklerakók és környezetük állapotfelmérése geofizikai módszereinek fejlesztése

Hulladéklerakók és környezetük állapotfelmérése geofizikai módszereinek fejlesztése Hulladéklerakók és környezetük állapotfelmérése geofizikai módszereinek fejlesztése OTKA szám: T 42686 Témavezető: Prof. Dr. Gyulai Ákos ME Geofizikai Tanszék Miskolc 247 Prof.Dr. Gyulai Ákos: Budapest.

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája 2015 Tematika Matematikai statisztika 1. Időkeret: 12 héten keresztül heti 3x50 perc (előadás és szeminárium) 2. Szükséges előismeretek:

Részletesebben

Rádiókommunikációs hálózatok

Rádiókommunikációs hálózatok Rádiókommuikációs hálózatok Készült az NJSZT Számítógéphálózat modellek Tavaszi Iskola elöadás-sorozataihoz. 977-980. Gyarmati Péter IBM Research, USA; Budapest Föváros Taácsa. I this paper we show a somewhat

Részletesebben

Mérnök informatikus MSc levelező tagozat tanterve

Mérnök informatikus MSc levelező tagozat tanterve Mérnök informatikus MSc levelező tagozat tanterve Elfogadta a MIK Kari Tanácsa a 2011. április 5-i ülésén Érvényes A 2011/12-es tanévtől kezdve, a képzésben részt vevő összes hallgatókra vonatkozóan azonnali

Részletesebben

Németh Renáta Grafikus modellek kategoriális adatokon társadalomtudományi alkalmazással

Németh Renáta Grafikus modellek kategoriális adatokon társadalomtudományi alkalmazással 08Nemeth(3).qxd 2006.05.18. 14:52 Page 147 Németh Renáta Grafikus modellek kategoriális adatokon társadalomtudományi alkalmazással A kategoriális adatokra alkalmazott grafikus modellek marginális loglineáris

Részletesebben

Inferencia. ADOTTAK:! generatív modell: például: DAG + prior(ok) + likelihood(ok) P(X 1,X 2,,X n ) megfigyelések: D = {X i = x i, X j = x j, }

Inferencia. ADOTTAK:! generatív modell: például: DAG + prior(ok) + likelihood(ok) P(X 1,X 2,,X n ) megfigyelések: D = {X i = x i, X j = x j, } Street1931 Falk1975 Falk1975 Inferencia ADOTTAK:! generatív modell: például: DAG + prior(ok) + likelihood(ok) P(X 1,X 2,,X n ) megfigyelések: D = {X i = x i, X j = x j, }! KISZÁMOLANDÓK:! normalizáció

Részletesebben