Autoregressziós modellekkel kapcsolatos

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Autoregressziós modellekkel kapcsolatos"

Átírás

1 Autoregressziós modellekkel kapcsolatos határeloszlás tételek Pap Gyula Kossuth Lajos Tudomáyegyetem, Matematikai és Iformatikai Itézet H 4 ebrece, Pf.2 AR() modellek Tekitsük az (.) Xk = αx k + ε k, k =, 2,..., X = egylépéses autoregressziós modellt, ahol α R ismeretle paraméter, és az egyszerűség kedvéért feltesszük, hogy (ε k ) k függetle, azoos eloszlású valószíűségi változók, Eε =, Eε 2 =. Az α paraméter legkisebb égyzetes becslése α = X jx j. X2 j Közismert, hogy az aszimptotikusa stacioárius (stabilis) esetbe, amikor α <, az ( α ) sorozat aszimptotikusa ormális (Ma, Wald [27], Aderso []): ( α α) N (, α 2 ). Az istabil esetbe ( egységgyök modell ), amikor α =, az ( α ) sorozat em aszimptotikusa ormális, haem ( α ) W (t) dw (t) W, 2 (t) dt ahol W (t) : t [, ]} stadard Wieer folyamat (White [36], Aderso []). Az explozív esetbe, amikor α >, az ( α ) sorozat megit em aszimptotikusa ormális. Ha például ε N (, ), akkor α ( α α) Cauchy(, α 2 ).

2 Általába pedig ez a határeloszlás függ ε eloszlásától (White [36], Aderso []). Más ormálással: ( N (, ) α, /2 Xj ) 2 ( α α) W (t) dw (t) ( ) /2 α =, W 2 (t) dt amely az α > esetbe akkor érvéyes, amikor ε N (, ). A következő modellt közel istabilak ( közel egységgyök modell, közel emstacioárius modell ) evezzük: (.2) ahol Ekkor az α () () X k = α () X () X () =, k + ε() k, k =, 2,..., α () = + γ(), γ() γ. paraméterek legkisebb égyzetes becsléseiből álló ( α () ) sorozatra teljesül (.3) ( α () α () ) Y (t) dw (t) Y, 2 (t) dt ahol Y (t) : t [, ]} egy folytoos idejű AR() folyamat, azaz egy Orstei Uhlebeck folyamat, melyet a következő sztochasztikus differeciálegyelettel lehet defiiáli: (.4) dy (t) = γy (t) dt + dw (t), t [, ] Y () = (Bobkoski [4], Phillips [29], Cha ad Wei [6]). Az Y (t) : t [, ]} folyamat írható Y (t) = t e γ(t v) dw (v) alakba is. Arató, Kolmogorov, Siai [5], valamit Arató [2], [4] felhívta a figyelmet a diszkrét és folytoos idejű autoregressziós folyamatok közötti kapcsolatra. Az (.3) eredméy a következő módo is megfogalmazható: γ () γ, ahol γ () a γ () paraméter legkisebb égyzetes becslése az (.2) diszkrét idejű modellbe, γ pedig a γ paraméter maximum likelihood becslése az (.4) folytoos idejű modellbe (Arató [3]): γ = Y (t) dy (t) Y 2 (t) dt, 2

3 hisze az Y (t) : t [, ]} és W (t) : t [, ]} folyamatok által a C([, ]) tére idukált P Y, illetve P W mértékek ekvivalesek, és a Rado Nikodym derivált alakja: P } Y (Y ) = exp γ Y (t) dy (t) γ2 Y 2 (t) dt, P W 2 továbbá γ () = ( α () ), és az Itô formulával γ = Y (t) dw (t) Y + γ. 2 (t) dt A közel istabil esetbe fellépő külöleges határeloszlást heurisztikusa az magyarázza, hogy ( α α ) = X() j ε() j = (X() j )2 Y (t) dm (t) Y, 2 (t) dt ahol M (t) := [t], Y (t) := X () [t], és a fukcioális cetrális határeloszlás tétel értelmébe M W, Y Y, hisze j X () j = α j l ε () l, továbbá az együtthatót írhatjuk α = e γ/ Y (t) = [t] [t]/ e γ([t] l)/ ε () l = l= l= alakba is ahol γ γ, ezért [t] e γ( s) dm (s) Az α < esetbe ez a jeleség azért em lép fel, mert ekkor ( α α) = X j ε j X2 j t N ( α 2 ), valamit teljesül e γ(t s) dw (s) = Y (t). hisze a gyegé függő valószíűségi változókra voatkozó cetrális határeloszlás tétellel X j ε j a agy számok erős törvéyével pedig ( N, ), α 2 X 2 j α 2 P-m.m. 3

4 2. AR(p) modellek Hasoló eredméyek érvéyesek az (2.) Xk = α X k + + α p X k p + ε k, k =, 2,..., X = X =... = X p =, AR(p) modellre is. Az aszimptotikusa stacioárius (stabilis) esetbe, amikor a ϕ(z) = α z... α p z p karakterisztikus poliom összes zérushelye az egységkörö kívül va, az együtthatók legkisebb égyzetes becslése aszimptotikusa ormális (Ma, Wald [27], Aderso []). Az istabil esetbe ( egységgyök modell ), amikor a ϕ karakterisztikus poliom összes zérushelye az egységkörö kívül va, Cha, Wei [7] bebizoyította, hogy az α = (α,..., α p ) együtthatók α = ( α,,..., α p, ) legkisebb égyzetes becslése em aszimptotikusa ormális, viszot alkalmas δ } ormalizáló mátrixokkal a δ ( α α) sorozatak va határeloszlása, melyre adtak egy reprezetációt többszörös Wieer itegrálok segítségével. Jegaatha [2] vizsgálta a következő közel istabil ( közel egységgyök, közel emstacioárius ) AR(p) modellt: () X k = α () X () k (2.2) + + α() p X () k p + ε() k, k =, 2,..., X () = X () =... = X () p =, ahol az α () = (α (),..., α p () ) együtthatókra teljesül α () = α + δ γ, ahol γ γ, és δ } a Cha, Wei [7] által haszált ormalizáló mátrixok. Jegaatha [2] bebizoyította, hogy a δ α () ) sorozatak va határeloszlása, melyre adott egy ige boyolult reprezetációt. Va der Meer, Pap, Va Zuijle [28] adtak egy jóval egyszerűbb reprezetációt és egyúttal megmutatták, hogy létezik egy olya folytoos idejű AR(p) modell, mely hasoló kapcsolatba va a diszkrét idejű modellel, mit amely az AR() esetbe ( α () érvéyes. Tulajdoképpe köyebb kezeli a karakterisztikus poliomok zérushelyeiek legkisebb égyzetes becslését, mit az együtthatókét. A karakterisztikus poliomok zérushelyei egységgyökökhöz kovergálak a következő módo: r q j q ϕ (z) = α () z... α p () z p = ( e γ() j,k /+iθ j z) ( e iθ j z) r j, k= ahol θ,..., θ q ( π, π] párokét külöbözőek, és γ () j,k ( γ () j,k, ) legkisebb égyzetes becsléseire teljesül γ () j,k, γ j,k, γ j,k. Ekkor a γ () j,k paraméterek ahol γ j,k } maximum likelihood becslések a következő folytoos idejű AR(p) modellbe: rj k= (d γ j,k)y (t) = dw j (t), t [, ], j =,..., q Y j () =... = Y (r j ) j () =, j =,..., q, 4

5 ahol W j (t) : t [, ]}, j =,..., q függetle, stadard Wieer folyamatok, melyek valós értékűek, amikor ϑ j = vagy ϑ j = π, egyébkét komplex értékűek. Hasoló kapcsolat érvéyes bizoyos diszkrét és folytoos idejű vektorértékű autoregressziós modellek között is (Kormos, Pap [23], Pap, Zuijle [3], [3], Varga [35]). 3. uplá geometrikus síkbeli autoregressziós modell Most tekitsük az úgyevezett duplá geometrikus síkbeli autoregressziós modellt: (3.) Xk,l = α X k,l + α 2 X k,l α α 2 X k,l + ε k,l, k, l =, 2,...,, X,l = X k, =, melyet Marti [25] vezetett be. Ezt a modellt Jai [2] képfeldolgozás taulmáyozásáál, Marti [26], Cullis, Gleeso [8], Basu, Reisel [] mezőgazdasági kísérletekél, Tjostheim [33] pedig digitális szűrésél haszálta. Az aszimptotikusa stacioárius esetbe, amikor α < és α 2 <, az α = (α, α 2 ) paraméter külöböző becsléseiről megmutatták, hogy aszimptotikusa ormálisak (például Tjostheim [32], [34], Basu [7], Khalil [22], Basu, Reisel [8], [9]). Az egységgyök modellbe, amikor α = α 2 =, az AR() esettel elletétbe az α = (α, α 2 ) paraméter egylépéses Gauss Newto becsléseiek sorozata szité aszimptotikusa ormális (Bhattacharyya, Khalil, Richardso []). A legegyszerűbb egylépéses Gauss Newto becslés: ) ( ) ( α, ( ) = + A 2 X k,l 2 X k,l, X k,l 2 X k,l ahol és α, A = x k,l = x k,l x k,l, k= l= k= l= 2 x k,l = x k,l x k,l ( ) ( 2 X k,l ) 2 2 X k,l X k,l 2 X k,l X k,l ( X k,l ) 2. Ebbe az esetbe Bhattacharyya, Khalil, Richardso [] eredméyéből következik, hogy ) ( α, 3/2 N (, 2I). α 2, Érdemes megjegyezi, hogy az AR() egységgyök modellbe az α paraméter α égyzetes becslése is egylépéses Gauss Newto becslés, hisze legkisebb α = + k= X k X k. k= X2 k 5

6 Bhattacharyya, Richardso, Frakli [2] vizsgálták a X () k,l (3.2) = α() X () k,l + α() 2 X () k,l α() α () 2 X () k,l + ε() k,l, X (),l = X() k, = közel egységgyök modellt, ahol k, l =, 2,..., α () j = + γ() j, γ() j γ j, j =, 2, és bebizoyították az α () = (α (), α () 2 ) paraméter Gauss Newto becsléseiek aszimptotikusa ormalitását. Ebbe az esetbe az egylépéses Gauss Newto becslések alakja ( ) ( ) ( α (), α () 2 X () α (), =, α () + A k,l,2x () ) k,l 2, k= l= X () k,l,,2x () k,l ahol, 2 és,2 módosított differeciák: x k,l = x k,l α (),x k,l, 2 x k,l = x k,l α () 2,x k,l,,2 x k,l = 2 x k,l + ( α (), α () ) 2 x k,l + ( α () 2, α () 2 ) x k,l. Bhattacharyya, Richardso, Frakli [2] eredméyéből következik, hogy ha a α () j, becslésekre teljesül α () j, = α() j + O P ( 3/2 ), akkor ahol 3/2 α(), α () α () 2, α () 2 N (, diag(d,, d 2,2 )), 4γj 2 ha γ e d j,j = 2γj 2γ j, j 2 ha γ j =. kiiduló Eek a cikkek az az egyik célja, hogy megvilágítsa a (3.2) diszkrét idejű közel egységgyök duplá geometrikus síkbeli modell és az (3.3) Y (s, t) = s t e γ (s u)+γ 2 (t v) dw (u, v), s, t [, ] folytoos idejű Orstei Uhlebeck véletle mező kapcsolatát, ahol W (s, t) : s, t [, ]} stadard Wieer lepedő. Kiderül, hogy a (3.3) Orstei Uhlebeck lepedő megit tekithető a (3.2) duplá geometrikus modell folytoos idejű párjáak, de ez a kapcsolat em érvéyes a becslésekre voatkozólag. Valójába a (3.3) modellbe a γ = (γ, γ 2 ) paraméterek ics maximum likelihood becslése, mert a külöböző paraméterű Orstei Uhlebeck lepedők által geerált mértékek ortogoálisak egymásra. Ez a jeleség azzal függ össze, hogy a γ = (γ, γ 2 ) paramétert erőse kozisztes módo lehet becsüli (Yig [38] a stacioárius esetbe adott erőse kozisztes becsléseket). 6

7 4. uplá geometrikus síkbeli autoregressziós modell kovergeciája Orstei Uhlebeck lepedőhöz Tekitsük a (3.2) diszkrét idejű duplá geometrikus közel egységgyök modellt. Ekkor a Y () (s, t) := X() [s],[t], s, t [, ], M () (s, t) := [s] [t] i= ε () i,j s, t [, ] véletle lépcsős függvéyek tekithetők véletle elemekek a ([, ] 2 R) Szkorohod térbe. A következő eredméy (Arató, Pap, Zuijle [6]) leírja az aszimptotikus kapcsolatot a modellhez hozzáredelt (Y () ) sorozat és a zajhoz hozzáredelt (M () ) sorozat között. 4. Állítás. A következő állítások ekvivalesek: (i) M () W (ii) Y () Y i ([, ] 2 R), i ([, ] 2 R), (iii) (M (), Y () ) (W, Y ) i ([, ] 2 R 2 ). A ([, ] 2 R) térbe alkalmazva a fukcioális cetrális határeloszlás tételt (Bickel, Wichura [5, Theorem 5]) kapjuk az alábbi következméyt. 4.2 Következméy. Tegyük fel, hogy ε () k,l } függetle, azoos eloszlású, várható értékű és szórású valószíűségi változók. Ekkor (M (), Y () ) (W, Y ) ([, ] 2 R 2 ) be. A 4.2 Következméyt közvetleül is be lehet láti az Y () (s, t) = [s] [t] i= e γ() ([s] i)/+ γ () 2 ([t] j)/ ε () i,j összefüggés felhaszálásával, mégpedig egyrészt a cetrális határeloszlástétel segítségével megmutatható a végesdimeziós eloszlások kovergeciája, másrészt Bhattacharyya, Richardso, Frakli [2] techikájával bizoyítható a feszesség. 7

8 5. Orstei Uhlebeck lepedők ortogoalitása Legye γ R és σ > eseté Y γ,σ 2(t) := σ t e γ(t v) dw (v), t [, ]. Az Y γ,σ 2(t) : t [, ]} folyamat egy Orstei Uhlebeck folyamat (γ, σ 2 ) paraméterekkel, mely a következő sztochasztikus differeciálegyelet megoldása: dy (t) = γy (t) dt + σdw (t), t [, ], (5.) Y () =. Jelölje P Yγ,σ 2 az Y γ,σ 2 folyamat által a C([, ] R) tére idukált valószíűségi mértéket. Valamely P és P 2 valószíűségi mértékek ekvivaleciáját illetve ortogoalitását illetve fogja jelöli. A következő dichotómia jól ismert (lásd Arató [3]): PYγ,σ2 P Y γ, σ2 ha σ 2 = σ 2, Az ortogoalitás σ 2 σ 2 (5.2) P Yγ,σ 2 P Y γ, σ 2 ha σ 2 σ 2. eseté azo alapul, hogy ( ( j Yγ,σ 2 ) Yγ,σ 2 ( j )) 2 σ 2 P Yγ,σ 2-m.m., amely a következő reprezetáció segítségével bizoyítható (mely 5. következméye): Y γ,σ 2(t) = γ t Y γ,σ 2(v) dv + σw (t) felhaszálva a következő valószíűségű kovergeciákat: ( ( ( W j ( ) W j )) 2 j/, (j )/ Y γ,σ 2(v) dv) 2, ahol a második kovergecia abból következik, hogy az Y γ,σ 2 folyamat valószíűséggel folytoos. Más szavakkal: a σ 2 paramétert erőse kozisztes módo lehet becsüli (Yig [37] a stacioárius esetbe adott erőse kozisztes becsléseket). Most tekitsük a (γ, γ 2, σ 2 ) paraméterű Orstei Uhlebeck lepedőt, mely a következő módo va defiiálva: s t Y γ,γ 2,σ 2(s, t) = σ e γ (s u)+γ 2 (t v) dw (u, v), s, t [, ] 2, ahol γ, γ 2 R, σ >. Jelölje P Yγ,γ 2,σ 2 az Y γ,γ 2,σ 2 folyamat által a C([, ]2 R) tére idukált valószíűségi mértéket. A következő dichotómia érvéyes (lásd Kurcheko [24], Arató, Pap, Zuijle [6]): 5.3 Állítás. PYγ,γ2,σ2 P Y γ, γ2, σ2 ha (γ, γ 2, σ 2 ) = ( γ, γ 2, σ 2 ), P Yγ,γ 2,σ 2 P Y γ, γ 2, σ 2 ha (γ, γ 2, σ 2 ) ( γ, γ 2, σ 2 ). 8

9 Hivatkozások [] Aderso, T. W. (959). O asymptotic distributios of estimates of parameters of stochastic differece equatios. A. Math. Statist. 3, [2] Arató, M. Estimatio of the parameters of a statioary Gaussia Markov process. okl. Akad. Nauk SSSR [3] Arató, M. Liear stochastic systems with costat coefficiets. A statistical approach. (Lecture Notes i Cotrol ad If., vol. 45, 39 pp.) Berli: Spriger-Verlag, 982 (i Russia, Moscow: Nauka, 989). [4] Arató, M. (989). Asymptotic iferece for discrete vector AR processes. Publ. Math. 36, 9 3. [5] Arató, M., Kolmogorov, A.N. ad Siay, Ya. G. (962). Estimatio of the parameters of a complex statioary Gaussia Markov process. okl. Akad. Nauk SSSR [6] Arató, M., Pap, G. ad Zuijle, M.v. (999). Asymptotic iferece for spatial autoregressio ad orthogoality of Orstei Uhlebeck sheets. Report 9927, Uiversity of Nijmege, The Netherlads. [7] Basu, S. (99). Aalysis of first-order spatial bilateral ARMA models. Ph.. dissertatio, Uiv. Wiscosi, Madiso. [8] Basu, S. ad Reisel, G. C. (992). A ote o properties of spatial Yule Walker estimators. J. Statist. Comput. Simulatio 4, [9] Basu, S. ad Reisel, G. C. (993). Properties of the spatial uilateral first-order ARMA model. Adv. i Appl. Probab. 25, [] Basu, S. ad Reisel, G. C. 994). Regressio models with spatially correlated errors. J. Amer. Statist. Assoc. 89, [] Bhattacharyya, B. B., Khalil, T. M. ad Richardso, G.. (996). Gauss Newto estimatio of parameters for a spatial autoregressio model. Statist. Probab. Lett. 28, [2] Bhattacharyya, B. B., Richardso, G.. ad Frakli, L. A. (997). Asymptotic iferece for ear uit roots i spatial autoregressio. A. Statist. 25, [3] Billigsley, P. (968). Covergece of probability measures. Joh Wiley & Sos, New York. [4] Bobkoski, M. J. (983). Hypothesis testig i ostatioary time series. Ph.. dissertatio, Uiv. Wiscosi, Madiso. 9

10 [5] Bickel, P. J. ad Wichura, M. J. (97). Covergece criteria for multiparameter stochastic processes ad some applicatios. A. Math. Statist. 42, [6] Cha, N. H. ad Wei, C. Z. (987). Asymptotic iferece for early ostatioary AR() processes. A. Statist. 5, [7] Cha, N. H. ad Wei, C. Z. (988). Limitig distributios of least squares estimates of ustable autoregressive processes. A. Statist. 6, [8] Cullis, B. R. ad Gleeso, A.C. (99). Spatial aalysis of field experimets a extesio to two dimesios. Biometrics 47, [9] eo, C. M. ad Wog, S. F. (978). O quadratic variatio of Gaussia radom fields. Teor. Veroyat. Prime. 23, [2] Jai, A. K. (98). Advaces i mathematical models for image processeg. Proc. IEEE 69, [2] Jegaatha, P. (99). O the asymptotic behaviour of least-squares estimators i AR time series with roots ear the uit circle. Ecoometric Theory 7, [22] Khalil, T. M. (99). A study of the doubly geometric process, statioary cases ad a ostatioary case. Ph.. dissertatio, North Carolia State Uiv., Raleigh. [23] Kormos, J. ad Pap, G. (997). Nearly ustable multidimesioal AR() processes. Computers Math. Appl. 34, 7. [24] Kurcheko, A. A. (983). Some coditios for the orthogoality of measures correspodig to homogeeous radom fields. Theory Probab. Math. Stat. 26, 3 9. [25] Mari, R. J. (979). A subclass of lattice processes applied to a problem i plaar samplig. Biometrika 66, [26] Mari, R. J. (99). The use of time-series models ad methods i the aalysis of agricultural field trials. Comm. Statist. Theory Methods 9, [27] Ma, H. B. ad Wald, A. (943). O the statistical treatmet of liear stochastic differece equatios. Ecoometrica, [28] Meer, T.v.d., Pap, G. ad Zuijle, M.v. (999). Asymptotic iferece for early ustable AR(p) processes. Ecoometric Theory 5, [29] Phillips, P. C. B. Towards a uified asymptotic theory for autoregressio. Biometrika 74 (987): [3] Pap, G. ad Zuijle, M.v. (996). Asymptotic iferece for early ustable multidimesioal AR processes. Theory Probab. Appl. 4, 73 7.

11 [3] Pap, G. ad Zuijle, M.v. (999). Asymptotic properties of early ustable multivariate AR processes. Computers Math. Appl. 37, 9. [32] Tjostheim,. (978). Statistical spatial series modellig. Adv. i Appl. Probab., [33] Tjostheim,. (98). Autoregressive modellig ad spectral aalysis of array data i the plae. IEEE Tras. o Geoscieces ad Remote Sesig 9, [34] Tjostheim,. (983). Statistical spatial series modellig II: some further results o uilateral processes. Adv. i Appl. Probab. 5, [35] Varga, K. (998). Nearly ustable AR models with coefficiet matrices i Jorda ormal form. Computers Math. Appl. 36,. [36] White, J. S. (958). The limitig distributio of the serial correlatio coefficiet i the explosive case. A. Math. Statist. 29, [37] Yig, Z. (99). Asymptotic properties of a maximum likelihood estimator with data from a Gaussia process. J. Multivar. Aal. 36, [38] Yig, Z. (993). Maximum likelihood of parameters uder spatial samplig scheme. A. Statist. 2,

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

Differenciaegyenletek aszimptotikus viselkedésének

Differenciaegyenletek aszimptotikus viselkedésének Differeciaegyeletek aszimptotikus viselkedéséek vizsgálata Mathematica segítségével Botos Zsófia Újvidéki Egyetem TTK Újvidék Szerbia E-mail: botoszsofi@yahoo.com 1. Bevezető Tekitsük az késleltetett diszkrét

Részletesebben

hogy alkalmas konstrukcióval megadható-e olyan sztochasztikus folyamat, melynek ezek

hogy alkalmas konstrukcióval megadható-e olyan sztochasztikus folyamat, melynek ezek Wieer folyamatok A következő két feladat azt mutatja, hogy az az eseméy, hogy egy sztochasztikus folyamat folytoos trajektóriájú-e vagy sem em határozható meg a folyamat véges dimeziós eloszlásai segítségével,

Részletesebben

biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat

biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat Kísérlettervezés - biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert u-próba Feltétel: egy ormális eloszlású sokaság σ variaciájáak számszerű értéke ismert. Hipotézis: a sokaság µ várható értéke

Részletesebben

Virág Katalin. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet

Virág Katalin. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Függetleségvizsgálat Virág Katali Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Függetleség Függetleség Két változó függetle, ha az egyik változó megfigyelése a másik változóra ézve em szolgáltat iformációt; azaz

Részletesebben

fogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és

fogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és A Valószíűségszámítás II. előadássorozat egyedik témája. A NAGY SZÁMOK TÖRVÉNYE Eze előadás témája a agy számok erős és gyege törvéye. Kissé leegyszerűsítve fogalmazva a agy számok törvéye azt modja ki,

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

A matematikai statisztika elemei

A matematikai statisztika elemei A matematikai statisztika elemei Mikó Teréz, dr. Szalkai Istvá szalkai@almos.ui-pao.hu Pao Egyetem, Veszprém 2014. március 23. 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék 3 Bevezetés................................

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

Feleségem Hizsnyik Mária, gyermekeim Gyula (1979) és Júlia (1981), unokáim Lola (2007), Kende (2010) és Márkó (2010)

Feleségem Hizsnyik Mária, gyermekeim Gyula (1979) és Júlia (1981), unokáim Lola (2007), Kende (2010) és Márkó (2010) Pap Gyula Születési hely és idő: Debrecen, 1954 Feleségem Hizsnyik Mária, gyermekeim Gyula (1979) és Júlia (1981), unokáim Lola (2007), Kende (2010) és Márkó (2010) TANULMÁNYOK, TUDOMÁNYOS FOKOZATOK Gimnáziumi

Részletesebben

Területi koncentráció és bolyongás Lengyel Imre publikációs tevékenységében

Területi koncentráció és bolyongás Lengyel Imre publikációs tevékenységében Lukovics Miklós (szerk.) 204: Taulmáyok Legyel Imre professzor 60. születésapja tiszteletére. SZTE Gazdaságtudomáyi Kar, Szeged, 5-24. o. Területi kocetráció és bolyogás Legyel Imre publikációs tevékeységébe

Részletesebben

f(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x

f(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x Számelméleti függvéyek extremális agyságredje Dr. Tóth László 2006 Bevezetés Ha számelméleti függvéyek, l. multilikatív vagy additív függvéyek agyságredjét vizsgáljuk, akkor először általába az adott függvéy

Részletesebben

Komputer statisztika

Komputer statisztika Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Iformatikai Itézet Tómács Tibor Komputer statisztika Eger, 010. október 6. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Valószíűségszámítás 7 1.1. Valószíűségi mező............................

Részletesebben

A statisztika részei. Példa:

A statisztika részei. Példa: STATISZTIKA Miért tauljuk statisztikát? Mire haszálhatjuk? Szakirodalom értő és kritikus olvasásához Mit állít egyáltalá a cikk? Korrektek-e a megállaítások? Vizsgálatok (kísérletek és felmérések) tervezéséhez,

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

2. egy iskola tanulói, a változók: magasságuk cm-ben, súlyuk (tömegük) kilóban; 3. egy iskola tanulói, a változó: tanulmányi átlaguk;

2. egy iskola tanulói, a változók: magasságuk cm-ben, súlyuk (tömegük) kilóban; 3. egy iskola tanulói, a változó: tanulmányi átlaguk; Statisztika Tegyük fel, hogy va egy halmazuk, és tekitsük egy vagy több valószíűségi változót, amelyek a halmaz mide elemé felveszek valamilye értéket. A halmazt populációak vagy sokaságak evezzük. Példák:

Részletesebben

Statisztikai programcsomagok

Statisztikai programcsomagok Statisztikai programcsomagok Sz cs Gábor Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Szeged, 2012. tavaszi félév Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Itézet) Statisztikai programcsomagok 2012. tavaszi félév 1 / 26 Bevezetés

Részletesebben

Gyakorlat: Sztochasztikus idősor-elemzés alapfogalmai II. Egységgyök-folyamatok és tesztek. Dr. Dombi Ákos

Gyakorlat: Sztochasztikus idősor-elemzés alapfogalmai II. Egységgyök-folyamatok és tesztek. Dr. Dombi Ákos Gyakorlat: Sztochasztikus idősor-elemzés alapfogalmai II. Egységgyök-folyamatok és tesztek Dr. Dombi Ákos (dombi@finance.bme.hu) ESETTANULMÁNY 1. Feladat: OTP részvény átlagárfolyamának (Y=AtlAr) stacionaritás

Részletesebben

Bevezetés. 1. előadás, 2015. február 11. Módszerek. Tematika

Bevezetés. 1. előadás, 2015. február 11. Módszerek. Tematika Bevezetés 1. előadás, 2015. február 11. Zempléni András Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Áringadozások előadás Heti 2 óra előadás + 2 óra

Részletesebben

Intervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres. Statisztika december 2.

Intervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres. Statisztika december 2. Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Statisztika Hipotézisvizsgálat Székely Balázs 2010. december 2. Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Előadás vázlat 1 Itervallumbecslések

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

AKADÉMIAI LEVELEZŐ TAGSÁGRA TÖRTÉNŐ AJÁNLÁS

AKADÉMIAI LEVELEZŐ TAGSÁGRA TÖRTÉNŐ AJÁNLÁS AKADÉMIAI LEVELEZŐ TAGSÁGRA TÖRTÉNŐ AJÁNLÁS I. ADATLAP Név: CSÁKI ENDRE Születési hely, év, hó, nap: Budapest, 1935 január 7 Tudomány doktora fokozat megszerzésének éve: 1989 Szűkebb szakterülete: valószínűségszámítás

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

ezek alapján kívánunk dönteni. Ez formálisan azt jelenti, hogy ellenőrizni akarjuk,

ezek alapján kívánunk dönteni. Ez formálisan azt jelenti, hogy ellenőrizni akarjuk, A deceber -i gyakorlat téája A hipotézisvizsgálat fotos probléája a következő két kérdés vizsgálata. a) Egy véletle eyiség várható értékéek agyságáról va bízoyos feltevésük. Elleőrizi akarjuk e feltevés

Részletesebben

Összefoglaló OTKA F67729 pályázat: 2007-2011

Összefoglaló OTKA F67729 pályázat: 2007-2011 Összefoglaló OTKA F67729 pályázat: 2007-2011 Anomális áramfluktuációk 2006-ban sikerült társszerzőimmel, Eric Catorral és Timo Seppäläinennel megmutatnunk [4], hogy a last passage perkolációra is kiterjeszthető

Részletesebben

Some Problems of Nonlinear Time Series Analysis in Frequency Domain

Some Problems of Nonlinear Time Series Analysis in Frequency Domain Debreceni Egyetem Terdik György: Some Problems of Nonlinear Time Series Analysis in Frequency Domain c. doktori értekezés összefoglalója 2005. 1 Összefoglalás Az id½osorok analízise számos tudomány területen

Részletesebben

Kétoldali hibás Monte Carlo algoritmus: mindkét válasz esetén hibázhat az algoritmus, de adott alsó korlát a hibázás valószínűségére.

Kétoldali hibás Monte Carlo algoritmus: mindkét válasz esetén hibázhat az algoritmus, de adott alsó korlát a hibázás valószínűségére. Véletleített algoritmusok Tegyük fel, hogy va két doboz (A,B), amely egyike 1000 Ft-ot tartalmaz, a másik üres. 500 Ft-ért választhatuk egy dobozt, amelyek a tartalmát megkapjuk. A feladat megoldására

Részletesebben

Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( )

Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( ) Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-6-80 Fa: 463-30-9 http://www.vizgep.bme.hu Alap-ötlet:

Részletesebben

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa

Részletesebben

A maximum likelihood becslésről

A maximum likelihood becslésről A maximum likelihood becslésről Definíció Parametrikus becsléssel foglalkozunk. Adott egy modell, mellyel elképzeléseink szerint jól leírható a meghatározni kívánt rendszer. (A modell típusának és rendszámának

Részletesebben

3.1. A Poisson-eloszlás

3.1. A Poisson-eloszlás Harmadik fejezet Nevezetes valószíűségi változók Valamely valószíűségi változóhoz kapcsolódó kérdésekre akkor tuduk potos választ adi, ha a változó eloszlása ismert, vagy megközelítőleg ismert. Ebbe a

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechika-techika szak, II. évfolyam,. félév Sorozatok: 1. A valós számoko értelmezett műveletek és reláció tulajdoságai. Számok abszolút értéke, itervallumok. Számhalmazok

Részletesebben

Bemenet modellezése II.

Bemenet modellezése II. Bemenet modellezése II. Vidács Attila 2005. november 3. Hálózati szimulációs technikák, 2005/11/3 1 Kiszolgálási id k modellezése Feladat: Egy bemeneti modell felállítása egy egy kiszolgálós sorbanállási

Részletesebben

Analízis feladatgy jtemény II.

Analízis feladatgy jtemény II. Oktatási segédayag a Programtervez matematikus szak Aalízis I. tatárgyához (003004. taév szi félév) Aalízis feladatgy jteméy II. Összeállította Szili László 003 Tartalomjegyzék I. Feladatok 3. Valós sorozatok.......................................

Részletesebben

ACTA ACADEMIAE PAEDAGOGICAE AGRIENSIS

ACTA ACADEMIAE PAEDAGOGICAE AGRIENSIS Separatum ACTA ACADEMIAE PAEDAGOGICAE AGRIESIS OVA SERIES TOM. XXII. SECTIO MATEMATICAE TÓMÁCS TIBOR Egy rekurzív sorozat tagjainak átlagáról EGER, 994 Egy rekurzív sorozat tagjainak átlagáról TÓMÁCS TIBOR

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

? közgazdasági statisztika

? közgazdasági statisztika Valószíűségszámítás és a statsztka Valószíűség számítás Matematka statsztka Alkalmazott statsztka? közgazdaság statsztka épesség statsztka orvos statsztka Stb. Példa: vércsoportok Az eloszlás A AB B Elem

Részletesebben

SZOFTVEREK A SORBANÁLLÁSI ELMÉLET OKTATÁSÁBAN

SZOFTVEREK A SORBANÁLLÁSI ELMÉLET OKTATÁSÁBAN SZOFTVEREK A SORBANÁLLÁSI ELMÉLET OKTATÁSÁBAN Almási Béla, almasi@math.klte.hu Sztrik János, jsztrik@math.klte.hu KLTE Matematikai és Informatikai Intézet Abstract This paper gives a short review on software

Részletesebben

Nagyméretű nemlineáris közúti közlekedési hálózatok speciális analízise

Nagyméretű nemlineáris közúti közlekedési hálózatok speciális analízise Nagyméretű emlieáris közúti közlekedési hálózatok speciális aalízise Dr. Péter Tamás* *Budapesti Műszaki és Gazdaságtudomáyi Egyetem Közlekedéautomatikai Taszék (tel.: +36--46303; e-mail: peter.tamas@mail.bme.hu

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

Határérték-tételek véletlen mezőkre

Határérték-tételek véletlen mezőkre Határérték-tételek véletle mezőkre Doktori (PhD) értekezés Szerző: Karácsoy Zsolt Témavezető: Dr. Fazekas Istvá Debrecei Egyetem Természettudomáyi Doktori Taács Matematika- és Számítástudomáyok Doktori

Részletesebben

Selected Publications

Selected Publications Selected Publications Laszlo MATYAS BOOKS: KORNAI, J., MATYAS, L. and ROLAND, G. (eds.) [2009]: Corruption, Development and Institutional Design, Palgrave Macmillan Academic Publisher, 288 pp. MATYAS,

Részletesebben

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

Számítógéppel irányított rendszerek elmélete. A rendszer- és irányításelmélet legfontosabb részterületei. Hangos Katalin. Budapest

Számítógéppel irányított rendszerek elmélete. A rendszer- és irányításelmélet legfontosabb részterületei. Hangos Katalin. Budapest CCS-10 p. 1/1 Számítógéppel irányított rendszerek elmélete A rendszer- és irányításelmélet legfontosabb részterületei Hangos Katalin Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék Folyamatirányítási

Részletesebben

Eloszláscsaládokhoz való illeszkedés vizsgálata Ph.D. értekezés

Eloszláscsaládokhoz való illeszkedés vizsgálata Ph.D. értekezés Eloszláscsaládokhoz való illeszkedés vizsgálata Ph.D. értekezés Osztéyié Krauczi Éva Témavezet : Dr. Csörg Sádor Kozulesek: Dr. Pap Gyula és Dr. Sz cs Gábor Matematika- és Számítástudomáyi Doktori Iskola

Részletesebben

Performance Modeling of Intelligent Car Parking Systems

Performance Modeling of Intelligent Car Parking Systems Performance Modeling of Intelligent Car Parking Systems Károly Farkas Gábor Horváth András Mészáros Miklós Telek Technical University of Budapest, Hungary EPEW 2014, Florence, Italy Outline Intelligent

Részletesebben

MŰSZAKI TUDOMÁNY AZ ÉSZAK-ALFÖLDI RÉGIÓBAN 2010

MŰSZAKI TUDOMÁNY AZ ÉSZAK-ALFÖLDI RÉGIÓBAN 2010 MŰSZAKI TUDOMÁNY AZ ÉSZAK-ALFÖLDI RÉGIÓBAN 2010 KONFERENCIA ELŐADÁSAI Nyíregyháza, 2010. május 19. Szerkesztette: Edited by Pokorádi László Kiadja: Debreceni Akadémiai Bizottság Műszaki Szakbizottsága

Részletesebben

ICT ÉS BP RENDSZEREK HATÉKONY TELJESÍTMÉNY SZIMULÁCIÓJA DR. MUKA LÁSZLÓ

ICT ÉS BP RENDSZEREK HATÉKONY TELJESÍTMÉNY SZIMULÁCIÓJA DR. MUKA LÁSZLÓ ICT ÉS BP RENDSZEREK HATÉKONY TELJESÍTMÉNY SZIMULÁCIÓJA DR. MUKA LÁSZLÓ 1 TARTALOM 1.1 A MODELLEZÉS ÉS SZIMULÁCIÓ META-SZINTŰ HATÉKONYSÁGÁNAK JAVÍTÁSA A. Az SMM definiálása, a Jackson Keys módszer kiterjesztése

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

Közepek Gauss-kompozíciója Gondolatok egy versenyfeladat kapcsán

Közepek Gauss-kompozíciója Gondolatok egy versenyfeladat kapcsán Gondolatok egy versenyfeladat kapcsán Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet, Analízis Tanszék Regionális Matematika Szakkör Megnyitója Debrecen, 015. szeptember 7. AGH-egyenl tlenség Tétel Értelmezzük

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 9 IX. ROBUsZTUs statisztika 1. ROBUsZTUssÁG Az eddig kidolgozott módszerek főleg olyanok voltak, amelyek valamilyen értelemben optimálisak,

Részletesebben

Mádi-Nagy Gergely * A feladat pontos leírása. Tekintsünk darab tetszõleges eseményt, jelöljük ezeket a következõképpen: ,...,

Mádi-Nagy Gergely * A feladat pontos leírása. Tekintsünk darab tetszõleges eseményt, jelöljük ezeket a következõképpen: ,..., Mádi-Nagy Gergely * AZ ESEMÉNYEK UNIÓJÁNAK VALÓSZÍNÛSÉGE BECSLÉS A TÖBBVÁLTOZÓS DISZKRÉT MOMENTUM PROBLÉMA SEGÍTSÉGÉVEL Az események uniója valószínûsége becslésére szolgáló elsõ fontos eredmények a Boole-

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

Prímszámok a Fibonacci sorozatban

Prímszámok a Fibonacci sorozatban www.titokta.hu D é e s T a m á s matematikus-kriptográfus e-mail: tdeest@freemail.hu Prímszámok a Fiboacci sorozatba A továbbiakba Fiboacci sorozato az alapsorozatot (u,,,3,5,...), Fiboacci számo az alapsorozat

Részletesebben

3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/)

3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/) 3. Sztereó kamera Kató Zoltá Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika taszék SZTE (http://www.if.u-szeged.hu/~kato/teachig/) Sztereó kamerák Az emberi látást utáozza 3 Sztereó kamera pár Két, ugaazo 3D látvát

Részletesebben

Munkapiaci rugalmatlanság és a munkanélküliségi idősorok egységgyök-tulajdonsága: problémafelvetés

Munkapiaci rugalmatlanság és a munkanélküliségi idősorok egységgyök-tulajdonsága: problémafelvetés Munkapiaci rugalmatlanság és a munkanélküliségi idősorok 103 Kormos János Czeglédi Pál* Munkapiaci rugalmatlanság és a munkanélküliségi idősorok egységgyök-tulajdonsága: problémafelvetés A cikk a munkanélküliség

Részletesebben

Sztochasztikus kapcsolatok

Sztochasztikus kapcsolatok Sztochasztikus kapcsolatok Petrovics Petra PhD Hallgató Ismérvek közötti kapcsolat (1) Függvényszerű az egyik ismérv szerinti hovatartozás egyértelműen meghatározza a másik ismérv szerinti hovatartozást.

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

Sorbanállási modellek

Sorbanállási modellek VIII. előadás Sorbaállási modellek Sorbaállás: A sorbaállás, a várakozás általáos probléma közlekedés, vásárlás, takolás, étterem, javításra várás, stb. Eze feladatok elmélete és gyakorlata a matematikai

Részletesebben

Analízis I. gyakorlat

Analízis I. gyakorlat Aalízis I. gyakorlat Kocsis Albert Tihamér, Németh Adriá 06. március 4. Tartalomjegyzék Előszó.................................................... Sorozatok és sorok.............................................

Részletesebben

Általánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg

Általánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg LMeasurement.tex, March, 00 Mérés Általánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg a mérendő mennyiségben egy másik, a mérendővel egynemű, önkényesen egységnek választott

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

Empirikus portfólióstratégiák

Empirikus portfólióstratégiák Közgazdasági Szemle, LIII. évf., 2006. július augusztus (624 640. o.) OTTUCSÁK GYÖRGY VAJDA ISTVÁN Empirikus portfólióstratégiák A cikk olya új szekveciális befektetési stratégiákat mutat be, amelyek általáos

Részletesebben

Statisztikai hipotézisvizsgálatok

Statisztikai hipotézisvizsgálatok Statisztikai hipotézisvizsgálatok. Milye problémákál haszálatos? A gyakorlatba agyo gyakra szükségük lehet arra, hogy mitákból származó iformációk alapjá hozzuk sokaságra voatkozó dötéseket. Például egy

Részletesebben

3. Valószínűségszámítás

3. Valószínűségszámítás Biometria az orvosi gyaorlatba 3. Valószíűségszámítás 3. Valószíűségszámítás 3.. Bevezetés 3.. Kombiatoria 3... Permutáció 3... Variáció 3..3. Kombiáció 3 3.3. Biomiális együttható tulajdoságai 3 3.4.

Részletesebben

Kutatói pályára felkészítı modul

Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı kutatási ismeretek modul Tudomáyos kutatási alapayag feldolgozása, elemzési ismeretek KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás

előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás 13-14. előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás 2016. november 28. és december 5. 13-14. előadás 1 / 35 Bevezetés A diszkrét

Részletesebben

Az iparosodás és az infrastrukturális fejlődés típusai

Az iparosodás és az infrastrukturális fejlődés típusai Az iparosodás és az ifrastrukturális fejlődés típusai Az iparosodás és az ifrastrukturális fejlődés kapcsolatába törtéelmileg három fejlődési típus vázolható fel: megelőző, lácszerűe együtt haladó, utólagosa

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük: 1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét

Részletesebben

Fazekas István részletes szakmai önéletrajza. Főbb adatok

Fazekas István részletes szakmai önéletrajza. Főbb adatok Fazekas István részletes szakmai önéletrajza Főbb adatok Tanulmányok, fokozatok 1978-ban szereztem matematikus diplomát a Kossuth Lajos Tudományegyetemen (KLTE). 1978-ban tettem középfokú angol nyelvvizsgát.

Részletesebben

12. előadás - Markov-láncok I.

12. előadás - Markov-láncok I. 12. előadás - Markov-láncok I. 2016. november 21. 12. előadás 1 / 15 Markov-lánc - definíció Az X n, n N valószínűségi változók sorozatát diszkrét idejű sztochasztikus folyamatnak nevezzük. Legyen S R

Részletesebben

Random Club 2010 tavasz Advanced probabilistic calculus for engineers

Random Club 2010 tavasz Advanced probabilistic calculus for engineers Exercitatio artem parat (Tacitus) Radom Club 200 tavasz Advaced probabilistic calculus for egieers Mide jeleséget okok redszere hoz létre, amelyek midegyikét legtöbbször em tudjuk figyelembe vei, így a

Részletesebben

Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet Factor Analysis

Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Kar Üzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet Factor Analysis Factor Analysis Factor analysis is a multiple statistical method, which analyzes the correlation relation between data, and it is for data reduction, dimension reduction and to explore the structure. Aim

Részletesebben

Eloszláscsaládokhoz való illeszkedés vizsgálata. Ph. D. értekezés tézisfüzete

Eloszláscsaládokhoz való illeszkedés vizsgálata. Ph. D. értekezés tézisfüzete Eloszláscsaládokhoz való illeszkedés vizsgálata Ph.. értekezés tézisfüzete Osztéyié Krauczi Éva Témavezet : r. Csörg Sádor Kozulesek: r. Pap Gyula és r. Sz cs Gábor Matematika- és Számítástudomáyok oktori

Részletesebben

Süle Zoltán publikációs listája

Süle Zoltán publikációs listája Süle Zoltán publikációs listája Statisztikai összegzés Referált nemzetközi folyóiratcikkeim száma: 3 (+1) Nemzetközi konferenciakiadványban megjelent publikációim száma: 14 Hazai konferenciakiadványban

Részletesebben

kismintás esetekben vagy olyanokban, melyeknél a tanulóalgoritmust tesztadatokon szeretnénk

kismintás esetekben vagy olyanokban, melyeknél a tanulóalgoritmust tesztadatokon szeretnénk ÚJRAMINTAVÉTELEZÉSI ELJÁRÁSOK A jackkife (zsebkés) és bootstrap (cipőhúzó a saját kallatyújáál fogva) eljárások agol elevezése is arra utal, hogy itt ad hoc eljárásokról va szó, melyek azoba agyo haszosak

Részletesebben

Kevei Péter. 2013. november 22.

Kevei Péter. 2013. november 22. Valószíűségelmélet feladatok Kevei Péter 2013. ovember 22. 1 Tartalomjegyzék 1. Mérhetőség 4 2. 0 1 törvéyek 12 3. Vektorváltozók 18 4. Véletle változók traszformáltjai 28 5. Várható érték 33 6. Karakterisztikus

Részletesebben

LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓ

LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓ 16..8. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓ (MÁTRIX) SAJÁTÉRTÉKE, SAJÁTVEKTORA BSc. Maemaika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓ Egy A: R R függvéy lieáris raszformációak evezük, ha eljesülek az alábbi

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

Valószín ségszámítás és statisztika

Valószín ségszámítás és statisztika Valószí ségszámítás és statisztika oktatási segédayag Kupá Pál Tartalomjegyzék fejezet Valószí ségszámítási alapfogalmak 5 Eseméyek 5 M veletek eseméyekkel 5 2 A valószí ség fogalma 7 3 Valószí ségi változók

Részletesebben

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 Folytoos vlószíűségi változók Értékkészletük számegyees egy folytoos (véges vgy végtele) itervllum. Vlmeyi lehetséges érték vlószíűségű, pozitív vlószíűségek csk értéktrtomáyokhoz trtozk. Az eloszlás em

Részletesebben

Statisztika Jegyzet az üzelti informatika szakirány számára. (kézirat gyanánt) Telcs András

Statisztika Jegyzet az üzelti informatika szakirány számára. (kézirat gyanánt) Telcs András Statisztika Jegyzet az üzelti iformatika szakiráy számára (kézirat gyaát) Telcs Adrás December 6, 2005 2 CONTENTS 0. Elõszó..................................... 5 0.2 Bevezetés...................................

Részletesebben

AZ IDŐBEN KORLÁTOZOTT TAKARMÁNYOZÁS HATÁSA A NÖVENDÉKNYULAK TERMELÉSÉRE

AZ IDŐBEN KORLÁTOZOTT TAKARMÁNYOZÁS HATÁSA A NÖVENDÉKNYULAK TERMELÉSÉRE 91 AZ IDŐBEN KORLÁTOZOTT TAKARMÁNYOZÁS HATÁSA A NÖVENDÉKNYULAK TERMELÉSÉRE SZENDRŐ ZS., MIHÁLOVICS GY., MILISITS G., BIRÓNÉ NÉMETH E., RADNAI I. Pao Agrártudomáyi Egyetem, Állatteyésztési Kar, Kaposvár

Részletesebben

Törés és fragmentáció statisztikus fizikája

Törés és fragmentáció statisztikus fizikája Törés és fragmentáció statisztikus fizikája A projekt keretében a rendezetlen szerkezetű szilárdtestek törésének és fragmentációs folyamatainak elméleti leírására végeztünk kutatómunkát három fő területen:

Részletesebben

Matematikai statisztika

Matematikai statisztika Matematka statsztka 8. elıadás http://www.math.elte.hu/~arato/matstat0.htm Kétmtás eset: függetle mták + + + = + ) ( ) ( ) ( Y Y X X Y X m m m t m Ha smert a szórás: (X elemő, σ szórású, Y m elemő, σ szórású),

Részletesebben

Differenciálegyenletek. Bevezetés az elméletbe és az alkalmazásokba. Javítások és kiegészítések

Differenciálegyenletek. Bevezetés az elméletbe és az alkalmazásokba. Javítások és kiegészítések Differenciálegyenletek. Bevezetés az elméletbe és az alkalmazásokba. Javítások és kiegészítések Differenciálegyenletek Bevezetés az elméletbe és az alkalmazásokba. Javítások és kiegészítések Tóth János

Részletesebben

KÖZGAZDÁSZ SZAK. Módszertani szigorlat követelménye, tavaszi félév

KÖZGAZDÁSZ SZAK. Módszertani szigorlat követelménye, tavaszi félév KÖZGAZDÁSZ SZAK Módszertai szigorlat követelméye, 2014. tavaszi félév A módszertai szigorlat a B1, B2, Optimumszámítás és Statisztika I. tatárgyak ayagát öleli fel. Szigorlatot az tehet, akiek a Matematika

Részletesebben

KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN

KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN DR. REICHART OLIVÉR 005. Budapest Lektorálta: Zukál Edre Tartalom BEVEZETÉS 3. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPOK 5.. Kombiatorikai alapösszefüggések

Részletesebben

A BSc-képzés szakdolgozati témái

A BSc-képzés szakdolgozati témái A BSc-képzés szakdolgozati témái ELTE TTK, Matematikai Intézet 2010/2011 Valószín ségelméleti és Statisztika Tanszék 1. Szabadon választható téma. Témavezet : A tanszék bármelyik oktatója, vagy (a tanszékvezet

Részletesebben