Some Problems of Nonlinear Time Series Analysis in Frequency Domain

Átírás

1 Debreceni Egyetem Terdik György: Some Problems of Nonlinear Time Series Analysis in Frequency Domain c. doktori értekezés összefoglalója 2005.

2 1 Összefoglalás Az id½osorok analízise számos tudomány területen nyert fontos alkalmazást, erre utalnak a ma már klasszikusnak számító adat sorok pl. a Napfolt tevékenység, kanadai hiúzok számának alakulása, a h½omérséklet napi, havi átlagai, a Nílus vízhozama, illetve napjainkban kerültek a vizsgálatok középpontjába a nagysebesség½u informatikai hálózatok forgalmára, a t½ozsdeindex valamint a szívritmus változására vonatkozó adatok. Ezen id½osorok között vannak Gauss és nem Gauss eloszlásúak, rövid és hosszú memóriával bírók, lineárisak és nemlineárisak, korlátos és nemkorlátos spektrummal rendelkez½ok, és így tovább. Az elmúlt év során egyre nagyobb jelent½oséget kapott a nem- Gauss, nemlineáris, illetve a hosszú memóriájú id½osorok statisztikai analízise. A 80-as évek közepét½ol kezdve kutatásaimat a fent említett területekre koncentráltam, nevezetesen a nemlineáris modellek közül a bilineáris modellek identi kációjára, realizációjára és statisztikai vizsgálatára, valamint nem-gauss folyamatok paramétereinek becslésére illetve a linearitásra vonatkozó hipotézis eldöntésére. A bilineáris rendszerek tanulmányozása a mérnöki szakirodalomban jóval korábban elkezd½odött [RM68], mint az id½osoranalízisben [GA78], ezért nem meglep½o, hogy még ma is vannak olyan kérdések, pl. a bilineáris realizáció elméletben, amelyek sztochasztikus megfelel½oi még nincsenek megoldva, [Ter99a]. 2 Módszerek 2.1 A magasabb rend½u (kaotikus) spektrál reprezentáció módszere A bilineáris id½osorok tulajdonságainak, els½osorban stacionaritásának, vizsgálata kezdetben kizárólag id½otartományban történt, a legjelent½osebb cikk ebben az irányban M. B. Rao, T. Subba Rao, A. M. Walker -t½ol származik, [RSRW83]. Az els½o frekvencia tartománybeli eredmény a [Ter85] cikkemben látott napvilágot. Az ötlet viszonylag egyszer½u. Ha a bilineáris id½osor zajfolyamata Gauss akkor a stacionárius meg gyelést kereshetjük a zaj folyamat által meghatározott, szórással rendelkez½o funkcionálok terében, azaz a zaj folyamat által generált nemlineáris térben. Mivel ebben a térben a stacionárius sorozatokra vonatkozóan ismert a frekvencia tartománybeli Itô-Dobrushin spektrál el½oállítás, lásd [Dob79], [Maj81], ezért van lehet½oség a folyamatot ebben a formában felírni. A lineáris id½osorokhoz viszonyítva most egy helyett megszámlálható sok átviteli függvénnyel kell számolnunk. Szerencsére, amint ez már a [Ter85]-b½ol is kiderült, a bilineáris esetben az átviteli függvények rekurzióval származtathatók. Az els½o haszna ennek a módszernek a stacionaritás szükséges és elégséges feltételének a 1

3 meghatározhatósága [Ter92]. A módszert használtam a többdimenziós bilineáris id½osorok stacionaritásának vizsgálatára [Ter90a], az általam bizonyított szükséges és elégséges feltételnek még nincs id½otartománybeli bizonyítása. A módszert sikerrel alkalmaztam a negyedrend½u stacionaritás szükséges és elégséges feltételének meghatározására, majd Ispánnyal közösen, a tetsz½oleges páros momentumok szükséges és elégséges feltételének meghatározására [TI93]. Ennek kapcsán derült ki, hogy egy stacionárius bilineáris id½osornak nem létezhetnek az összes momentumai. A módszer használatának egy másik terméke, hogy lehet½oség nyílik a bilineáris id½osor spektrumának és bispektrumának explicit meghatározására. Ennek azért van nagy jelent½osége, mert az id½osor identi kációjához csak a spektrum nem elegend½o. Subba Rao-Gabr [SRG84] ugyan foglakozik a bilineáris id½osorral is, és a bispektrummal is, de ezeknek a kapcsolatára nem sikerült fényt deritenie. A [Ter99a]-ban ezekre a kérdésekre végleges választ adtam. 2.2 Nem-Gauss paraméter becslés Többen is foglalkoztak a bilineáris id½osorok paramétereinek becslésével els½osorban id½otartománybeli módszerrel, pl. Yule-Walker típusú egyenletek segítségével [SSR91]. Az els½o frekvencia tartománybeli módszerrel történ½o becslés a [Ter95] cikkemben valósult meg, ahol a Brillingert½ol származó ötletet használva a paraméterekre a sulyozott legkisebb négyzetek módszerét alkalmaztam frekvencia tartományban. A becslés célfüggvénye a tapasztalati és az elméleti spektrum és bispektrum különbsége súlyozott négyzetén alapul. Igazoltuk az így kapott becslés aszimptotikus normalitását és szórását is kiszámoltuk, [LST98]. A módszert általánosítottam többdimenziós nem-gauss id½osorokra is [Ter02b]. Szimulációk segítségével igazoltam a hatékonyságot és valós adatokat is vizsgáltam, [Ter97]. 2.3 Linearitás próba frekvencia tartományban Több próba is ismeretes a stacionárius id½osorok Gauss-ságának illetve linearitásának ellen½orzésére. Ezek közül Subba Rao -Gabr [SRG80], majd Hinich [Hin82] által kidolgozott próbák Brillinger azon észrevételén alapulnak, miszerint a bicoherencia Gauss esetben nulla, lineáris estben pedig konstans. Itt meg kell említeni, hogy egy id½osort lineárisnak neveznek, ha a mozgóátlag el½oállításában szerepl½o zajsorozat független. A linearitásnak van egy gyengébb, Hannantól származó de níciója is [Han86], miszerint az id½osor lineáris, ha a mozgóátlag el½oállításában szerepl½o zajsorozat martingál di erencia. Nekünk a [TM98] cikkben ennek ellen½orzésére sikerült próbát konstruálni. A lineáris és a kvadratikus el½orejelzés viszonyát vizsgálva kiderült, hogy a gyengén lineáris id½osor zajsorozatának bispektruma egy speciális egyenletet elégit ki. A próba lényege az, hogy ellen½orizzük ennek az egyenletnek a teljesülését. Megadtuk az egyenletnek megfelel½o 2

4 próbastatisztika aszimptotikus eloszlását. Szimulációkon keresztül is bemutattuk, hogy az így kapott linearitási próba nomabb megkülönböztetést tud tenni az id½osorok között, mint a korábbiak. 3 Eredmények 3.1 Bilineáris modellek identi kációja A bilineáris modell jellegzetessége, hogy lineáris ha akár az Y t meg gyelés akár a w t zajfolyamatot rögzítjük, de mindkét változó szerint már nemlineáris. A bilineáris modell a következ½o egyenlettel adható meg PX a m Y t m = m=0 QX b m w t m + m=0 RX k=1 SX c m;m+n Y t m n w t m ; a 0 = b 0 = 1; (1) l=0 ahol w t Gauss fehér zaj. A w t Gauss-sága nem szükségszer½u mi azonban a továbbiakban mindvégig feltételezzük. A bilineáris modell eredményeként kapott Y t meg gyelés mindenesetre nem lesz Gauss. A bilineáris stacionárius id½osorok leírására módszerként bevezettem a többszörös Wiener-Itô sztochasztikus, gyakran kaotikusnak is nevezett, reprezentációt: 1X Z Y t = g r (! (1:r) )e i2t! (1:r) W (d! (1:r) ) ; D r = [0; 1] r ; D r r=0 [Ter85]. A fenti reprezentációt eredend½oen a nemcentrális határeloszlás problémakör tanulmányozására dolgozták ki (lásd [Dob79], [DM79], [Maj81]). Ez a módszer tette lehet½ové a szükséges és elégséges feltételek megfogalmazását a bilineáris id½osorok stacionaritására. A fenti reprezentációból következett, hogy a bilineáris id½osorok identi kációja frekvencia tartományban történjen. 1. Tétel. Tegyük fel, hogy az fy t ; t 2 Zg sztochasztikus folyamat gyengén stacionárius, a fw t ; t 2 Zg zaj folyamat szerint zikailag realizálható, azaz Y t mérhet½o a fw s ; s tg -algebrára nézve minden t 2 Z esetén fw t ; t 2 Zg -re nézve szubordinált, azaz amennyiben T s a w t folyamatra vonatkozó eltolás operátor, T s w t = w t+s ; akkor T s eltolás operátora Y t -nek is, vagyis T s Y t = Y t+s minden s; t 2 Z esetén. Ekkor annak szükséges és elégséges feltétele, hogy az Y t = ay t 1 + dy t 1 w t 1 + w t + c 0 ; t 2 Z; 3

5 bilineáris modellnek, ahol a; d 2 R és c 0 = 2 d; legyen gyengén stacionárius megoldása az, hogy a paraméterek elégítsék ki a a d 2 < 1; egyenl½otlenséget. Ebben az esetben az Y t w t folyamat átviteli függvény rendszere a következ½o rekurzióval adható meg f 0 = 0; f 1 (! 1 ) = (exp(i2! 1 ) a) 1 b 1 ; f 2 (! (1:2) ) = (exp (i2(! 1 +! 2 )) a) 1 d(f 1 (! 1 ) + 1);! 1 P f 3 (! (1:3) ) = exp i2 3! j a! df 2 (! (1:2) ) j=1.! P f r (! (1:r) ) = exp i2 r! j j=1 a! 1 df r 1 (! (1:r 1) ); r 3: Továbbá a folyamat szórása var (Y t ) = d 2 1 a 2 2 d 2 ; az X t = Y t w t autokovariancia függvénye Z cov (X t ; X t+s ) = exp(i2s!) a d 2 2 (1 a 2 ) 1 a 2 2 d 2 jexp(i2!) aj 2 d!; illetve az Y t spektruma D S Y Y (!) = a d 2 1 a 2 2 d 2 2 (1 a 2 ) jexp(i2!) aj Re(f 1(!)) + 2 ; képletek alapján számolhatók. Miel½ott rátérnénk az általános BL(P; Q; R; S) bilineáris modell stacionaritásának tárgyalására írjuk át az (1) modellt a lineáris (Kálmán [Kal60]) esethez hasonlóan X t = AX t 1 + DX t 1 w t 1 + bw t + f 0 ; Y t = c X t : (2) állapotteres alakba, [Ter91]. Jelölje (A) az A mátrix spektrál sugarát és de niáljuk a B nk mátrixokat a (Dx + A) n = nx B nk H k (x); 8x 2 R; n 2 Z + ; (3) k=0 4

6 egyenlet segítségével, ahol H k (x) a k ad fokú Hermite polinomot jelöli. 4. Tétel. Legyen a (2) egyenlet fx t ; t 2 Zg megoldása zikailag realizálható és a fw t ; t 2 Zg hez szubordinált. Akkor az alábbi állítások ekvivalensek (i) E(X t ) 2n < 1, n P (ii) k! 2k B 2 nk < 1, ahol a B nk mátrixokat (3) de niálja, k=0 (iii) (E(A + Dw 0 ) 2n ) < 1. A fenti tételb½ol közvetlenül következik, hogy a 2n ed rend½u stacionaritás szükséges és elégséges feltétele az (i)-(iii) állítások valamelyike. Az általános bilineáris modellre vonatkozó további eredmények a [TSR89], [TI91] valamint a [Ter88], [Ter92] publikációkban találhatóak, egy speciális esetet tárgyal a [WW04] cikk. Magasabb momentumok létezésének feltételét vizsgálva jutottunk arra a következtetésre, hogy ha a bilineáris modellnek van stacionárius megoldása akkor nem létezhet minden momentuma, [TI93]. Az S Y Y spektrum alakja nyilvánvalóan mutatja, hogy a bilineáris modell nincs meghatározva, ha csak a spektrum ismert, hisz az általában is igaz, hogy a bilineáris modell spektruma mindössze egy Gauss ARMA folyamatot ír le egyértelm½uen. Ezért bilineáris esetben feltétlenül szükséges magasabb momentumok, ill. magasabbrend½u spektrumok gyelembe vétele. A harmadrend½u spektrumot, amely a harmadrend½u kumulánsoknak a Fourier transzformáltja, bispektrumnak szokás nevezni. A bispektrum kétváltozós, komplex érték½u függvény és sajátos szimmetria tulajdonságokkal rendelkezik. Ez az oka annak, hogy elegend½o a (0; 0) (0; 1=2) (1=3; 1=3) pontok által meghatározott háromszög felett tekinteni. Az általánosrend½u bilineáris modell bispektrumának meghatározása több lépésben történt. Mindenek el½ott az általános rend½u bilineáris modellt átírtuk állapottér reprezentációba (2), azaz els½orend½u vektorérték½u bilineáris modell segítségével adtuk meg. Majd az állapot folyamat bispektrumát számoltuk ki és azt használtuk fel a meg gyelések bispektrumának a megadásáshoz Hosszú memóriájú bilineáris folyamat. Tekintettel arra, hogy a legtöbb id½osor nem Gauss, ezért felmerült az igénye annak, hogy modellt találjunk a nem Gauss hosszú memóriájú id½osorok számára. Ennek egyik természetes módja az lehetett volna, hogy a bilineáris modell zaj sorozatát frakcionális Gauss zajnak választjuk. Hamar kiderült azonban, hogy ekkor a diszkrét idej½u id½osor esetében a bilineáris egyenletnek nincs gyengén stacionárius megoldása, lásd [Ter99a], [SRT03]. Ezért fordult gyelmünk a probléma folytonos idej½u analógiájára. Az [IT99a] dolgozatban olyan bilineáris sztochasztikus di erenciál egyenletet tekintettünk amelynek a bemenete frakcionális Brown folyamat. Mivel a frakcionális Brown folyamat nem szemimartingál ezért el½oször a szerinte való 5

7 sztochasztikus integrálással kellet foglakoznunk, amit frekvencia tartományban sikerült is megoldanunk, id½o tartományban többen is foglakoztak a problémával lásd [CCM03]. Ezután megkonstruáltuk a frakcionális Brown folyamat bemenet½u bilineáris sztochasztikus di erenciálegyenlet megoldását, mind id½o- mind frekvenciatartományban. Rámutattunk arra, hogy ebben az esetben a Stratonovich-féle és Itô-féle megoldás egybeesik, ami nem igaz Brown mozgás bemenet esetén, [Ter90b]. Ennek kapcsán a standard Brown folyamat bemenet esetén rámutattunk a két megoldás különböz½oségére.tekintsük tehát a sztochasztikus egyenletet, ahol w (h) t spektrál reprezentációval, dy t = (y t + )dt + (iy t + )dw (h) t ; (4) w (h) t = Z R a frakcionális Brown folyamat az alábbi e it! 1 (i!) h W (d!): i! Ha a (4) egyenletben az i tiszta imaginárius együttható helyett a valós, és a w (h) t a frakcionális Brown folyamat helyett a w t Brown folyamat szerepel akkor a jól ismert lineáris egyenlethez jutunk. A frakcionális Brown folyamat input felveti annak a szükségességét, hogy de niáljuk a neki megfelel½o sztochasztikus integrált ami a terület igen nehéz problémája. Frekvencia tartományban a többszörös Wiener-Itô integrál segitségével oldottuk meg ezt a feladatot és bebizonyítottuk, hogy L 2 ben a stacionárius megoldás y t = 1X Z k=0 R k e it!1:k f k (! 1:k) alakú, ahol az átviteli függvények f k (! 1:k ) = (i)k k! képlettel adottak és K(u) : = e u Z 1 0 K(u) ky (i! j ) h W (d! 1:k ); t 2 R; 1 ky 1 e iu! j 2 2 (h)u2h+1 ; u 0; (h) : = 1 2 Megadtuk a megoldást id½otartományban is 1 i! j du; k = 0; 1; 2; : : : ; Z e i! 1 i! R 2 j!j 2h d!: y t = Z t e (t s)+i(w(h) t w (h) s ) ds; t 2 R: 1 6

8 A (4) modellt valós adatokra is alkalmaztuk, [IT97a]. A módszer továbbfejlesztése lehet½oséget nyujt olyan folyamatok konstruálására, amelyek mikro szinten rövid memóriájuak, míg makro szinten hosszú memóriával rendelkeznek, [IT97b], [IT99b], további általánosítás, frakcionális Gauss mez½okre, található [TW05]-ben. 3.2 Nem Gauss id½osorok paraméter becslése A bilineáris modell spektrumának és a bispektrumának explicit meghatározása után adódik lehet½oség a paraméterek becslésére. A paraméter becslés alapja az a Brillingert½ol származó ötlet, hogy a becsült S 2T spektrumnak és S 3T bispetrumnak egyszerre kell közel lennie az elméleti spektrumhoz és bispektrumhoz ahhoz, hogy jó becsléseket kapjunk. Ezt a becslési módszert általában nem Gauss id½osorok esetében vizsgáltuk és a becslés konzisztenciáját és aszimptotikus normalitását sikerült bizonyítani, lásd [LST98]. Tegyük fel, hogy az Y t id½osor S 2 spektruma is és S 3 bispektruma is egy # paramétert½ol eltekintve ismert. A # paraméter azon # T becslését fogjuk vizsgálni, amely minimalizálja a Q T (#) = B 1T kw 1 k B2 2T kw 2 k 2 2 X b 1k 2 1 S2 (b 1k ; #) S 2T (b 1k ) X S 2 (b 1k ; #) 2 js 3 (b 2m; b 2l; #) S 3T (b 2m; b 2l)j2 S 2 (b 2m ; #) S 2 (b 2l ; #)S 2 (b 2m + b 2l ; #) ;(5) (b 2m ;b 2l )2 2 célfüggvényt, ahol a b 1k frekvenciák a [0; 1] intervallumban B 1T, a b 2k frekvenciák pedig B 2T sávszélességgel ekvidisztánsan helyezkednek el, a kw 1 k 2 és kw 2 k 2 konstansokat a (6), (7) képletek de niálják, a 1 ; 2 konstansok pedig a 1 ill. 2 halmazok Lebesque mértékei. Itt ejtünk néhány szót a S 2 spektrum ill. a S 3 bispektrum S 2T ill. S 3T becsléseir½ol. Legyen Y t ; t 2 f0; 1; : : : ; T 1g egy meg gyelés az Y t id½osorra vonatkozóan és de niálja a XT 1 d T (!) = Y t z t ; z = exp (2i!); 0! < 1 t=0 a meg gyelés diszkrét Fourier transzformáltját. Ekkor a I 2T (!) = 1 T d T (!)d T (!); I 3T (! 1 ;! 2 ) = 1 T d T (! 1 )d T (! 2 )d T (! 1 +! 2 ) periodogrammok tekinthet½ok a megfelel½o spektrumok becsléseinek, de mint az köztudomású ezek a becslések nem konzisztensek. Ezért helyettük a 7

9 simított változatukat szokás tekinteni. Ebb½ol a célból szükségünk lesz az alábbi tulajdonsággal rendelkez½o súlyfüggvényekre, amelyeket egyszer½uen ablakoknak fogunk nevezni. W 1 (!) valós érték½u, nemnegatív, páros, korlátos variációjú függvény, amelynek tartója supp ( W 1 ) [ 1; 1], és Z 1 1 W 1 (!)d! = 1, valamint Z 1 1 W 2 1 (!)d! = kw 1 k 2 < 1. (6) A B 1T sávszélesség függ T -t½ol ugy, hogy B 1T! 0, T B 1T! 1 amint T! 1: Legyen W 1T (!) = W 1 (!=B 1T )=B 1T. W 2 (! 1 ;! 2 ) valós érték½u, nemnegatív korlátos variációjú függvény, amelynek tartója supp (W 2 ) [ 1; 1] 2 ; a következ½o értelemben szimmetrikus W 2 (! 1 ;! 2 ) = W 2 (! 2 ;! 1 ) = W 2 (! 1 ;! 2! 1 ) = W 2 (! 1! 2 ;! 2 ); továbbá ZZ +1 1 ZZ +1 1 W 2 (! 1 ;! 2 )d! 1 d! 2 = 1; és W 2 2 (! 1 ;! 2 )d! 1 d! 2 = kw 2 k 2 < 1: (7) A B 2T sávszélesség függ T -t½ol ugy, hogy B 2T! 0, T B 2 2T! 1 amint T! 1 továbbá W 2T (! 1 ;! 2 ) = W 2 (! 1 =B 2T ;! 2 =B 2T )=B 2 2T. Ezen ablakok segítségével de niáljuk a S 2 spektrum ill. a S 3 bispektrum becsléseit S 2T (!) = 1 X W 1T (! f k )I 2T (f k ); T k S 3T (! 1 ;! 2 ) = 1 X X W T 2 2T (! 1 f k ;! 2 f r )I 3T (f k ; f r ); k r ahol a f k = k=t az un. Fourier frekvenciákat jelöli. Legyen mos a Y t ; t 2 Z id½osor p-ed rendben stacionárius azaz a cum(y u ; Y u+t1 ; : : : ; Y u+tp 1 ) = c p (t 1 ; : : : ; t p 1 ): Tegyük fel továbbá, hogy 1X t 1 ;:::;t p 1 (1 + jt j j) jc p (t 1 ; : : : ; t p 1 ; #)j < 1; j = 1; 2; : : : ; p 1; teljesül p = 1; 2; : : : ; 12 esetén. 8

10 13. Tétel. Tegyük fel, hogy Y t teljesíti a fenti feltételeket és mindkét 2 S2 (!; #) S 2 (!; # 0 ) js 3 (! 1 ;! 2 ; #) S 3 (! 1 ;! 2 ; # 0 )j 2 ; S 2 (!; #) S 2 (! 1 ; #) S 2 (! 2 ; #)S 2 (! 3 ; #) kifejezés által de niált függvény teljes variációja véges a 1 ; ill. a 2 halmazokon. A Z 2 1 S2 (!; #) S 2 (!; # 0 ) Q(#) = kw 1 k 2 d! 1 1 S 2 (!; #) 1 js 3 (! 1 ;! 2 ; #) S 3 (! 1 ;! 2 ; # 0 )j + kw 2 k 2 2 ZZ2 2 S 2 (! 1 ; #) S 2 (! 2 ; #)S 2 (! 1 +! 2 ; #) d! 1d! 2 : funkcionál folytonos # szerint és # 0 -ban minimuma van. Akkor Q T (#)! P Q(#) amint T! 1, továbbá # P T! # 0 ha T! 1, ahol # T a Q T (#) minimumhelye. Ezen felül a # T aszimptotikusan torzítatlan becslése # -nak. Érdekes megjegyezni, hogy míg általános esetben a becslés aszimptotikus szórása a magasabbrend½u (hatodrendig bezáróan) spektrumoktól függ, addig a lineáris folyamat esetében a szórás kifejezhet½o a zajsorozat ferdeségével és lapultságával. Ezt a becslési módszert alkalmaztuk a bilineáris modell paramétereinek becslésére [Ter97]. Az (5) általánosítása vektor érték½u folyamat és vektor érték½u paraméter esetére fontos probléma. A vektor érték½u folyamat kovariancia függvénye mátrix érték½u így a neki megfelel½o spektrum is matrix érték½u. Az (5)-ben szerepl½o bispektrumhoz a vektor érték½u folyamat bispektrumát is de niálni kellett. Az egyik kinálkozó lehet½oség a háromdimenziós matrix a másik alkalmas vektorba rendezés, ez utóbbi bizonyult természetesnek, [Ter02a]. Az (5) célfüggvény általánosításához a spektrumot is vektorba rendeztük, majd a súlyozáshoz megadtuk a megfelel½o matrixot. Bebizonyítottuk a célfüggvény választás helyességét és megadtuk a becslés aszimptotikus tulajdonságait, [Ter02b]. 3.3 Linearitás próba Nagyon fontos központi kérdése az id½osoranalízisnek, hogy egy id½osor lineárise. A linearitás egyik szokásos de níciója, hogy az adott id½osor el½oállítható független azonos eloszlású zajsorozat mozgó átlagaként. Erre vonatkozik a Subba Rao, ill. Hinnich próba, [SRG84], [Hin82], amely azt vizsgálja, hogy a bikoherencia konstans-e. Mi a linearitásnak egy Hannantól származó, általánosabb de nícióját használjuk, nevezetesen akkor tekintünk egy id½osort lineárisnak, ha a legjobb el½orejelzés lineáris, pontosabban, ha ^Y L (t) jelöli a lineáris el½orejelzést és az e t = Y t ^YL (t) a neki megfelel½o innováció, akkor teljesülnie kell a E (e t j F t 1 ) = 0; E e 2 t j F t 1 = 2 ; (8) 9

11 egyenl½oségeknek (F t az e s ; s t, által generált algebra). Azt a tényt ellen½orizzük, hogy jobb-e a lineáris és kvadratikus tagokat is tartalmazó el½orejelzés, mint a tisztán lineáris, [TM93a]. Tegyük fel, hogy az Y t id½osor harmadrendben stacionárius és rendelkezik a S Y spektrál s½ur½uséggel. Létezzen az Y t negyedik momentuma és S Y elégítse ki a Szeg½o feltételt, azaz Z 1 log S Y ()d > 1: 0 Továbbá az Y t véges dimenziós eloszlásaink legyen pozitív mérték½u a tartója. De niáljuk a kvadratikus jóslást a 1X 1X ^Y Q (t + 1) = a k Y t k + a jk Y t j Y t k ; k=0 j;k=0 forma szerint, ahol az a k ; a j;k együtthatók úgy vannak meghatározva, hogy a E Y t+1 ^YQ (t + 1) 2 kifejezés minimális legyen. Megmutattuk, hogy a lineáris ^Y L (t) és a kvadratikus ^Y Q (t) el½orejelzés ekvivalenciájának szükséges és elégséges feltétele az hogy, az e t = Y t ^YL (t) lineáris innovációs sorozat S 3e (! 1 ;! 2 ) bispektruma alakú legyen, ahol S 3e (! 1 ;! 2 ) = H(! 1 ) + H(! 2 ) + H(! 1! 2 ) H(!) = 1X c k e i2!k ; c 0 = 1 3 Ee3 0; c k = Ee 0 e 2 k: k=0 Bebizonyítottuk, hogy abban az esetben, amikor a kvadratikus el½orejelzés nem jobb, mint a lineáris, akkor a lineáris el½orejelzésb½ol származó hibasorozat bispektruma egy algebrai egyenletet elégít ki. Nevezetesen tegyük fel, hogy a S 3e (! 1 ;! 2 ) bispektrum egyszer parciálisan di erenciálható! 1 szerint. Ekkor igaz a következ½o tétel. 17. Tétel. Az alábbi két állítás ekvivalens. (i) Van olyan H() komplex érték½u függvény hogy, ahol S 3e ( 1 ; 2 ) = H( 1 ) + H( 2 ) + H( 1 2 ); H( ) = H (); H( + k) = H(); k = 1; 2; : : : ; minden 2 R esetén, a H a H komplex konjugáltját jelöli. (ii) Bármely (; ; ) frekvencia hármas esetén a S 3e ( 1 ; 2 ) bispektrum kielégíti a S 3e (; ) + S 3e (; 0) +S 3e ( + ; ) = S 3e (; ) + S 3e (0; ) + S 3e ( + ; ); 10

12 egyenletet. Ebb½ol az egyenletb½ol származik a próbastatisztika, ugyanis ha az egyenletet átrendezzük úgy, hogy az egyik oldalon 0 álljon, továbbá a bispektrumot helyettesítjük egy simított becslésével, akkor ennek a kifejezésnek az aszimptotikus eloszlása lehet½ové teszi a hipotézisvizsgálatot, [Ter99b], [TM98], [Ter97], [TM93b], [TM93a] [TSR89]. Mind a bilineáris id½osor paraméter becslésére, mind a hipotézisvizsgálatra MATLAB programcsomagot készítettem, amely alkalmas szimulációkon keresztül az eljárások szemléltetésére és valódi adatok analízisére. Ennek segítségével elemeztem néhány nevezetes id½osort [Ter97], [Ter99a]. A témakörb½ol készült publikációk [BLT95] T. Baranyi, A. Ludmány, and Gy. Terdik. Semiannual uctuation depending on the polarity of the solar main magnetic dipole leld. Journal of Geophysical Research 100(A8), (August 1995). [IT97a] E. Iglói and Gy. Terdik. Bilinear modelling of chandler wobble. Theory of Probability and its Applications 44(2), (1997). [IT97b] [IT99a] [IT99b] [LST98] E. Iglói and Gy. Terdik. Bilinear stochastic systems with long range dependence in continuous time. In E. Csiszár and Gy. Michaletzky, editors, Stochastic Di erential and Difference Equations, Progress in Systems and Control Theory, pages ,. Birkhauser, Boston (1997). E. Iglói and Gy. Terdik. Bilinear stochastic systems with fractional Brownian motion input. Ann. Appl. Probab. 9, (1999). E. Iglói and Gy. Terdik. Long-range dependence through Gamma-mixed Ornstein Uhlenbeck process. Electronic Journal of Probability (EJP) 4(Paper no. 16), 1 33 (1999). N. Leonenko, A. Sikorskii, and Gy. Terdik. On spectral and bispectral estimator of the parameter of nongaussian data. Random Oper. and Stoch. Equ. (ROSE) 6(2), (1998). Correction: ROSE(1999), vol. 7, p [SRT03] T. Subba Rao and Gy. Terdik. On the theory of discrete and continuous bilinear time series models. In Stochastic processes: modelling and simulation, volume 21 of Handbook of Statist., pages North-Holland, Amsterdam (2003). 11

13 [Ter85] [Ter88] Gy. Terdik. Transfer functions and conditions for stationarity of bilinear models with gaussian white noise. Proc. R. Soc. London A 400, (1985). G. Terdik. Conditions for stationarity of QUILO models with Gaussian residuals. In Probability theory and mathematical statistics with applications (Visegrád, 1985), pages Reidel, Dordrecht (1988). [Ter90a] Gy. Terdik. Second order properties for multiple- bilinear models. J. Multivar. Anal. 35, (1990). [Ter90b] Gy. Terdik. Stationary solutions for bilinear systems with constant coe cients. In E. Cinlar, K. L. Chung, and R. K. Getoor, editors, Seminar on Stochastic Processes 1989 (San Diego, CA, 1989), Progress in Probability, pages , Boston (1990). Birkhauser. [Ter91] [Ter92] [Ter95] [Ter97] [Ter99a] [Ter99b] [Ter02a] Gy. Terdik. Bilinear state space realization for polynomial systems. Computer Math. Application 26(7), (1991). Gy. Terdik. Stationarity in fourth order and the marginal bispectrum for bilinear models with gaussian residuals. Stochastic Processes and their Application 42, (1992). Gy. Terdik. On problem of identi cation for stochastic bilinear systems. SAMS 17, (1995). Gy. Terdik. Linear and nonlinear modeling of the geomagnetic aa indices. In T. Subba Rao, editor, Applications of Time Series in Astronomy and Meterorology, chapter 21, pages Chapman & Hall, London (1997). Gy. Terdik. Bilinear Stochastic Models and Related Problems of Nonlinear Time Series Analysis; A Frequency Domain Approach, volume 142 of Lecture Notes in Statistics. Springer Verlag, New York (1999). Gy. Terdik. Testing of linearity in weak sense for time series based on the bispectrum. In M. Hinich and H. Messer, editors, Proceedings of IEEE Signal Processing Workshop on Higher Order Statistics, 1999, pages 58 61, Caesarea, Israel (1999). IEEE, IEEE Xplore 2.0. Digital Object Identi er /HOST Gy. Terdik. Higher order statistics and multivariate vector hermite polynomials for nonlinear analysis of multidimensional 12

14 time series. Teor. Ver. Matem. Stat.( Teor. Imovirnost. ta Matem. Statyst.) 66, (2002). [Ter02b] [TI91] Gy. Terdik. Parameter estimation for non-gaussian multiple time series in frequency domain. In Proceedings of the Conference Dedicated to the 90th Anniversary of Boris Vladimirovich Gnedenko (Kyiv, 2002), volume 8, pages (2002). Gy. Terdik and M. Ispány. A note on stationarity of bilinear models. Publicationes Mathematicae, Debrecen 38, (1991). [TI93] Gy. Terdik and M. Ispány. Criteria for the existence of even order moments bilinear time series. Stochastic Models 9(2), (1993). Communication in Statistics. [TM93a] Gy. Terdik and J. Máth. Bispectrum based checking of linear predictability for time series. In T. Subba Rao, editor, Developments in Time Series Analysis, In Honour of Maurice B. Priestley, pages Chapman & Hall, London (1993). [TM93b] Gy. Terdik and J. Máth. Linear prediction for discrete stationary bilinear processes. In M. Arató and M. I. Yadrenko, editors, Proceedings of second Ukrainian-Hungarian conference on new trends in probability theory and mathematical statistics, pages VSP/TBiMC, Kiev (1993). [TM98] [TSR89] Gy. Terdik and J. Máth. A new test of linearity for time series based on its bispectrum. Journal of Time Series 19(6), (1998). Gy. Terdik and T. Subba Rao. On Wiener-Itô representation and the best linear predictors for bilinear time series. Journal of Applied Probability 26, (1989). [TW05] Gy. Terdik and W. A. WoyczyŃski. Notes on fractional Ornstein-Uhlenbeck random sheets. Publ. Math. Debrecen 66(1-2), (2005). Egyéb publikációk [CCM03] Ph. Carmona, L. Coutin, and G. Montseny. Stochastic integration with respect to fractional Brownian motion. Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 39(1), (2003). 13

15 [DM79] [Dob79] [GA78] R. L. Dobrushin and P. Major. Non-central limit theorems for non-linear functionals of Gaussian elds. Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Gebiete 50, (1979). R. L. Dobrushin. Gaussian and their subordinated generalized elds. Ann. of Probability 7(1), 1 28 (1979). C. W. J. Granger and A. P. Andersen. An Introduction to Bilinear Time Series Models. Vandenhoek and Ruprecht, Gottingen (1978). [Han86] E. J. Hannan. Remembrance of things past. In J. Gani, editor, The Craft of Probabilistic Modeling, Ser. of Appl. Probability, pages Springer-Verlag, New York (1986). [Hin82] [Kal60] M. J. Hinich. Testing for Gaussianity and linearity of a stationary time series. Journal of Time Series Analysis 3, (1982). JTSA. R. E. Kalman. A new approach to linear ltering and prediction problems. Journal of Basic Engineering pages (1960). [Maj81] P. Major. Multiple Wiener Itô integrals, volume 849 of Lecture Notes in Mathematics. Springer Verlag, New York (1981). [RM68] R. E. Rink and R. R. Mohler. Completely controllable bilinear systems. SIAM J. Control 6, (1968). [RSRW83] M. B. Rao, T. Subba Rao, and A. M. Walker. On existence of some bilinear time series models. Journ. of Time Series Analysis 4, (1983). [SRG80] T. Subba Rao and M. M. Gabr. A test for linearity of stationary time series. Journal of Time Series Analysis pages (1980). JTSA. [SRG84] [SSR91] T. Subba Rao and M. M. Gabr. An Introduction to Bispectral Analysis and Bilinear Time Series, volume 24 of Lecture Notes in Statistics. Springer Verlag, New York (1984). S. A. O. Sesay and T. Subba Rao. Di erence equations for higher-order moments and cumulants for the bilinear time series model bl(p; 0; p; 1). J. Time Ser. Anal. 12(2), (1991). 14

16 [WW04] H.-B. Wang and B.-C. Wei. Separable lower triangular bilinear model. J. Appl. Probab. 41(1), (2004). 15