NÉHÁNY GONDOLAT A VARIANCIABECSLÉS HIBAHATÁRÁRÓL

Átírás

1 MÓDSZERTANI TANULMÁNYOK NÉHÁNY GONDOLAT A VARIANCIABECSLÉS HIBAHATÁRÁRÓL A következtetéses sttisztik egyik módszercsládját sttisztiki becslések lkotják. A becslés során mintbeli információk lpján dunk közelítő értéket vlmely lpsoksági jellemzőre (prméterre). Kézenfekvő, hogy mivel nem teljes lpsokság információit hsználjuk, végeredményt képező becsült érték nem feltétlenül egyezik meg becsülni kívánt jellemzővel, zz sttisztiki hibát követünk el. A becslések jóságár vontkozón két sok tekintetben egymás ellen dolgozó kritériumot szokás megfoglmzni, ezek megbízhtóság, és pontosság. Ez két kritérium pontbecslések esetén nem lklmzhtó, hiszen pontbecslések megbízhtóságávl zzl, hogy egy pontbecslés milyen vlószínűséggel esik egybe becsülni kívánt soksági jellemzővel sok esetben nem érdemes fogllkozni (elegendő rr gondolni, hogy folytonos esetben nnk vlószínűsége, hogy egy becslőfüggvénnyel éppen eltláljuk célt, null). Ezért ezek kritériumok intervllumbecslések esetén nyerik el igzi értelmüket, hiszen kkor megbízhtóbb z intervllumbecslés, h z áltl meghtározott konfidenciintervllum ngyobb vlószínűséggel trtlmzz z lpsoksági prmétert. A konfidenciintervllum foglmánk bevezetése után könnyen értelmezhető második, pontossági kritérium is: pontosbb z becslés, mely rövidebb (szűkebb) konfidenci-intervllumot eredményez. Ez z eszmefutttás természetesen csk torzíttln becslőfüggvények esetén helyes. Mivel bevezető gondoltok közismertek, nem gondoljuk, hogy ennél részletesebb kifejtésre vn szükség hhoz, hogy z áltlunk vizsgált kérdéssel fogllkozzunk. Előbbi fejtegetésünk lpján zt várnánk, hogy sttisztiki gykorlt mindenkor törekszik z dott megbízhtósági szinten legpontosbb, illetve z ezzel ekvivlens dott intervllum-hosszúság esetén legmegbízhtóbb becslés meghtározásár. Rövid tnulmányunkbn egy ellenpéldár hívjuk fel figyelmet, vlmint megoldást jvsolunk kérdés megoldásár. A TÁRGYSZÓ: Intervllumbecslés. Vrincibecslés. Legszűkebb intervllum. soksági szórásnégyzet (vrinci) intervllumbecslése viszonylg gykori problém gzdsági elemzésekben. Sttisztikus körökben triviálisnk számít feldt elvégzése: normális eloszlású lpsokság és n elemű, független zonos eloszlású (FAE-) mint esetén mennyiben várhtó értéket mintából becsüljük ismert, 1 hogy z 1 Lásd Hunydi Mundruczó Vit (1996): Sttisztik. Aul Kidó, Budpest, old. Sttisztiki Szemle, 79. évfolym, szám

2 614 1s eloszlást követ, vgyis felírhtó z láb- n változó (n 1) szbdságfokú bi összefüggés: hol: n 1 s Pr 1 f /1/ 1 becslés során lklmzni kívánt megbízhtósági szint, s mintbeli korrigált vrinci, becsülni kívánt lpsoksági vrinci, f ; z (n 1) szbdságfokú eloszlás megfelelő kvntilisei. Az /1/ feldt megoldás egyszerű, konfidenci-intervllum z lábbi formájú lesz: n 1s n 1 s Pr 1 // f A sttisztiki gykorlt vlószínűleg z ember természetes szimmetriérzékének kielégítésére eloszlás megfelelő kvntiliseit z ún. frokvlószínűségekben szimmetrikusn htározz meg, vgyis: Pr Pr /3/ Mindez olyn mértékben bevett gykorlt, hogy eloszlás kvntiliseit trtlmzó stndrd táblák nem is teszik lehetővé más elven képződő kritikus értékek meghtározását. A /3/ képletben is lklmzott gykorlt egyáltlán nem kifogásolhtó szimmetrikus eloszlások esetén (így például várhtóérték-becslés esetén teljesen korrekt), ugynis beláthtó, hogy szimmetrikus sűrűségfüggvénnyel rendelkező becslőfüggvény esetén /3/ képletben rejlő elv lpján meghtározott intervllum egyben z dott (1 ) megbízhtósági szinten minimális hosszúságú intervllum is, rádásul ez esetben z intervllum pontbecslés körül szimmetrikusn helyezkedik el, vgyis könnyen értelmezhető népszerű ˆ formábn. 3 Ugynkkor szimmetrikus eloszlású sttisztik esetén empirikusn is könnyen beláthtó legrövidebb intervllum és frokvlószínűségekben szimmetrikus intervllum nem esik egybe. f A kvntilisek szimmetriáját itt és továbbikbn úgy értelmezzük, hogy kvntilis trtlm (tehát nem értéke) mediánr szimmetrikus. Így például szimmetrikus kvntilisek kvrtilisek, vgy z első és kilencedik decilis, vgy z első és kilencvenkilencedik percentilis. 3 Az áltlános sttisztiki jelölésrendszernek megfelelően ˆ pontbecslés értéke, z ún. hibhtár.

3 A VARIANCIABECSLÉS HIBAHATÁRÁRÓL 615 Tekintsük következő egyszerű példát! Becsüljük z lpsoksági szórásnégyzetet 6 elemű mint lpján. //-ből tudjuk, hogy z intervllum lsó és felső htár csk z n 1 s k 5s k k -bn különbözik. Az 5 szbdság- változó nevezőjében szereplő kvntilis értékében, fokú eloszlás néhány nevezetes kvntilise: Pr Pr χ 5 0, 831, χ , χ 5 1, 83 Prχ 1 Pr , 05 0, 975 Az előbbiekből következően kár különböző intervllumot is kijelölhetünk dott, esetünkben például 95 százlékos megbízhtósági szinten: 5s lim 5s 0 ; 4, 367s 1, 145, illetve 5s 0, 389s 1, 83 5s ; 6, 017s 0, 831. Az intervllumok hossz láthtón függ s értékétől, két intervllum hosszánk ngyságrendi relációj zonbn nem. Láthtó, hogy második kvntiliseiben szimmetrikus intervllum minden mintbeli korrigált szórásnégyzet esetén hosszbb. Amennyiben elfogdjuk, hogy z intervllumbecslés során célunk olyn minimális hosszúságú intervllum meghtározás, melyben rögzített vlószínűséggel (megbízhtósági szinten) tlálhtó becsülni kívánt jellemző, úgy z /1/ feldt kiegészítendő egy feltétellel: Pr n 1 s f 1 min f /4/ Elméleti úton könnyen beláthtó, hogy h b f ( x) dx 1 konstns, vgyis megbízhtósági szint dott, kkor egymóduszú sűrűségfüggvény (vgyis egy inflexiós ponttl rendelkező eloszlásfüggvény) esetén b minimum ott vn, f f b. hol

4 616 A bizonyítás elve Riemnn-integrál foglomrendszerére épül. Az eljárás során tételezzük fel, hogy olyn 1 megbízhtósági szintet válsztottunk, hol bl oldli frokvlószínűség felső htár kisebb, jobb oldlié ngyobb, mint z dott eloszlás sűrűségfüggvényének mximumhelye. (Ez könnyen beláthtón nem korlátozó feltétel.) A eloszlás sűrűségfüggvénye z értelmezési trtományon szkszosn szigorún monoton, mximumpontjától blr növekvő, jobbr csökkenő. Induljunk ki bból, hogy z 1 megbízhtósági szinthez trtozó konfidenci-intervllum hossz b, és teljesül z f f b összefüggés. Csökkentsük egy végtelenül kis egységgel (e) -t. Ekkor z intervllum hosszbb lett (b ( e)), megbízhtósági szint szintén növekedett (1 α+f( e)). Annk érdekében, hogy két frokvlószínűség összege mrdjon (vgyis megbízhtósági szint ne változzon), b-t is csökkenteni kell, zonbn szigorú monotonitásból következőleg f( e)<f()=f(b)<f(b e), tehát több területet nyerünk, mint mennyit vesztünk, zz két frokvlószínűség összege ngyobb lesz, mint Ahhoz, hogy ez mrdjon (b e) ( e) távolságot növelni kell. Hsonlóképpen beláthtó, hogy növelése esetén is növekszik z 1 megbízhtósági szintet eredményező intervllum hossz. Ezek után válsszunk kiindulópontnk olyn -t és b-t, melyeknél f()f(b). Tegyük fel, hogy f()f(b) (fordított esetre hsonlón beláthtó). H -t egy végtelenül kis egységgel növeljük frokvlószínűségek összege kkor és csk kkor mrd z áltlunk válsztott h b-t is növeljük. Mivel -nál sűrűségfüggvény szigorún monoton növekvő, b-nél pedig csökkenő, ezért f(+e)>f(b+e). Ebből dódón b-t ngyobb mértékben kell növelni (legyen növekmény e+k), mint -t, hiszen csk ekkor lesz sűrűségfüggvény ltti terület ( megbízhtósági szint) zonos. Mivel (b+e+k) (+e) távolság ngyobb lesz, mint kiindulási állpotbn b, növelésével nem érhetjük el célunkt. Ellenkező esetben, h -t csökkentjük, sokkl kedvezőbb eredményre jutunk: végtelenül kis egységgel vló csökkentésével és b viszony következő lehet: 1. f( e)=f(b e): elértük bizonyítndó állpotot,. f( e) még mindig ngyobb f(b e)-nél. A. esetben -nk egy végtelenül kis egységgel vló csökkentése zt eredményezi, hogy sűrűségfüggvény ltti terület, vgyis megbízhtósági szint f(b)-vel csökken, és f( e)-vel nő. Mivel sűrűségfüggvény mximumától jobbr szigorún monoton csökkenő, ezért f(b e)f(b), ebből következik (hiszen. esetet vizsgáljuk), hogy f( e)f(b), tehát sűrűségfüggvény ltti terület összességében növekszik. Ahhoz, hogy terület ne változzon, b-t nem elég e-vel, hnem ennél ngyobb értékkel kell csökkenteni, ennek következtében z 1 megbízhtósági szintet eredményező trtomány hossz rövidül. Ezt egészen ddig folytthtjuk, míg f()=f(b), zz beláttuk, hogy dott megbízhtósági szinten ez legrövidebb intervllum. Az előbbi összefüggést kihsználv, 4 z dott megbízhtósági szinthez trtozó, minimális hosszúságú intervllumot eredményező k kritikus értékek 5 tábláb rendezhetők. (Lásd z 1. táblát.) 4 Ez megoldás természetesen csk zon eloszlások esetén létezik, melyeknél sűrűségfüggvény egymóduszú; így monoton csökkenő sűrűségfüggvények esetén (szbdságfok nem ngyobb, mint ) legrövidebb intervllum z első 1 százlékhoz trtozó intervllum.

5 A VARIANCIABECSLÉS HIBAHATÁRÁRÓL 617 A minimális hosszúságú intervllumhoz trtozó kritikus értékek különböző mintngyság és megbízhtósági szint esetén 1. tábl Szbdságfok lsó felső lsó felső lsó megbízhtósági szint esetén felső 1 0,0000,7055 0,0000 3,8415 0,0000 6,6349 0,0000 4,605 0,0000 5,9915 0,0000 9, ,011 6,595 0,003 7,8168 0, , ,1676 7,8643 0,0847 9,5303 0, , ,4764 9,4338 0,96 11,1914 0, , ,887 10,9584 0,6070 1,804 0,640 16, ,3547 1,443 0,989 14,3686 0,496 18, , ,89 1,450 15,8966 0,7856 0,955 9, ,3136 1,906 17,393 1,11 1, , ,7108, ,8604 1,4978 3, ,676 18,0874,953 0,3050 1,9069 5, ,58 19,446 3,516 1,789,3444 6, ,9063 0,7895 4,0994 3,1348,8069 8, ,5696,1190 4,7005 4,547 3,91 9, ,46 3,436 5,3171 5,9003 3, , ,9347 4,744 5,9477 7,631 4,3161 3, ,6339 6,0386 6,5908 8,614 4, , ,347 7,357 7,453 9,9546 5, , ,0603 8,6046 7, ,854 5, , ,7859 9,8759 8,584 3,6073 6, , , ,1401 9,670 33,908 7, , ,586 3,3978 9, ,67 7,789 41, , , ,656 36,554 8,3358 4, , , , ,8176 8, , , ,136 1, ,1034 9, , ,764 37,3719 1, , ,073 46, , ,609 13,514 41, , , , ,896 14,430 4,973 11,493 49, , ,051 14, ,1916 1, , ,3718 4,706 15, ,4513 1,8034 5, , ,764 3, ,836 19, , , , ,176 69,9306 6, , , ,650 39,335 81,803 34, , , ,088 47, ,5554 4, , , , , , , , , , , ,686 58, , ,7061 1, ,01 18, , , , , , , , , ,015 3, , , , ,843 5 A kritikus értékek itt megfelelő rendű kvntilist jelentik. Bár kritikus érték kifejezést inkább sttisztiki hipotézisvizsgáltok tárgylásánál szokták hsználni, tekintve, hogy trtlmilg itt is hsonló jelentése vn, ilyen környezetben vló lklmzás vélhetően nem lesz zvró.

6 618 Annk érdekében, hogy hgyományos, illetve minimális intervllumhosszt eredményező kritikus értékek viszony érzékelhető legyen tekintsük. táblát. A kvntiliseiben szimmetrikus, illetve minimális hosszúságú intervllumhoz trtozó kritikus. tábl értékek Szbdságfok Típus lsó felső lsó felső lsó megbízhtósági szint esetén felső 10 hgyományos 3, ,3070 3,470 0,483,1558 5, minimális hosszúságú 3, ,7108, ,8604 1,4978 3,538 0 hgyományos 10, ,4104 9, ,1696 7, , minimális hosszúságú 9,7859 9,8759 8,584 3,6073 6, , hgyományos 18,497 43, , ,979 13, , minimális hosszúságú 17,3718 4,706 15, ,4513 1,8034 5, hgyományos 34,764 67,5048 3, ,40 7, , minimális hosszúságú 33, , ,176 69,9306 6, , hgyományos 77,994 14,341 74,19 19, , , minimális hosszúságú 76,7061 1, ,01 18, , ,6908 A. tábl lpján meghtározhtó, hogy z intervllum becsült vrinciától nem független hossz milyen ránybn hldj meg hgyományos esetben minimálisn szükséges intervllumhosszt. Megfigyelhető, hogy. táblábn z intervllumot kijelölő kritikus értékek mintngyság (tehát szbdságfok) növelésével párhuzmosn trtnk kvntilisekben szimmetrikus kritikus értékekhez. Mindez eloszlás és stndrd normális eloszlás összefüggésének ismeretében vgyis nnk tudtábn, hogy szbdságfok növelésével eloszlás közelít szimmetrikushoz nem meglepő. Láthtó, hogy. tábláb fogllt kritikus értékek noh minimális hosszúságú intervllumot eredményezik nem idéznek elő pontbecslésre (mintbeli vrinciár) szimmetrikus intervllumot. H ilyen középpontosn szimmetrikus intervllumot igénylünk, 6 z /1/ feldt nem /4/-ben meghtározott feltétellel bővül, hnem következő egyenlőséget trtlmzz: s n 1s n s 1 f ebből egyszerű átrendezéssel következik: s, /5/ 1 n n f, /6/ 1 6 Beláthtó, hogy ez z empirikusn legkevésbé megmgyrázhtó igény. Az intervllum ilyen módon történő kijelölése inkább elméleti jellegű problém.

7 A VARIANCIABECSLÉS HIBAHATÁRÁRÓL 619 így // következőképpen módosul n 1s n 1 s Pr s 1, /7/ hol vizsgált (n 1) szbdságfokú eloszlásr vontkozik. Mivel 0 és negtív, így vgyis n 1 n 1 0, s nem. Mindez zt jelenti, hogy h szimmetrikus intervllumot krunk, z lsó kritikus értéknek meg kell hldni 7 szbdságfok ( eloszlás ismert tuljdonság lpján várhtó érték) felét. Mindezek lpján két megállpítást tehetünk: 1. nem feltétlenül képzelhető el minden mintngyság (szbdságfok) és minden megbízhtósági szint esetén szimmetrikus intervllum, hiszen z lsó kritikus értékhez trtozó frokvlószínűség determinálj mximális megbízhtósági szintet (ez gykorltilg zt jelenti, hogy mindddig, míg szbdságfok feléhez nem trtozik leglább bl oldli frokvlószínűség, ddig 1 megbízhtósággl, n elemű mintából nem lehet értékben szimmetrikus vrincibecslést készíteni);. dott szbdságfok és megbízhtósági szint esetén szimmetrikus intervllumot eredményező kritikus értékek tábláb rendezhetők. A 3. tábl szimmetrikus intervllumokt eredményező kritikus értékeket trtlmzz különböző szbdságfok és megbízhtósági szint mellett. Kritikus értékek szimmetrikus intervllum képzéséhez 3. tábl Szbdságfok lsó felső lsó felső lsó megbízhtósági szint esetén felső 11 5, , ,3084 1, , , ,789 69, , , , , , ,343 8,6746 4, ,841 5,997 9,396 15, ,646 51, , ,55 0 1, ,153 10,853 17,06 (A tábl folyttás következő oldlon.) 7 Az egyenlőtlenség nem teljesülhet egyenlőség formájábn, ugynis ekkor /6/ egyenletben számított felső kritikus érték számítás során nullávl kellene osztni.

8 60 (Folyttás.) Szbdságfok lsó felső lsó felső lsó megbízhtósági szint esetén felső 1 13,119 51, , ,87 14, ,1383 1, , ,808 51,343 13, , ,69 51, ,853 89, ,438 5, , , ,570 5, ,384 83, , , ,1566 8, ,850 54, , , ,684 55, , , , ,948 18, ,993 15, , , ,613 6,518 81,4178, , , ,400 34, ,1940 9, , , ,044 43, , , , , ,081 51, , , , , , , , , , , , , ,889 61, , , , , , ,17 174, , ,737 11, ,733 11,6998 4, , , , , , ,9604 Láthtó, hogy 1 eleműnél kisebb mint esetén szokásos megbízhtósági szinteken nem lehet pontbecslésre szimmetrikus intervllumot becsülni ( 10 szbdságfokú eloszlás esetén z 5-höz trtozó jobb oldli frokvlószínűség mindössze 0,8911). Ismét felhívjuk figyelmet rr tényre, hogy három különböző megfontolások lpján képzett becslés esetében mintngyság (szbdságfok) növelésével kritikus értékek közelítenek egymáshoz. A eloszlás ezen szimmetrikussá válásból eredő tuljdonságánk illusztrálásár tekintsük 4. táblát. A három különböző elven képzett intervllumbecslés kritikus értékei 4. tábl Szbdságfok Típus lsó felső lsó felső lsó megbízhtósági szint esetén felső 100 hgyományos 77,994 14,341 74,19 19, , , minimális hosszúságú 76,7061 1, ,01 18, , , szimmetrikus 80, , , , ,17 174, hgyományos 168,785 33,994 16,780 41, ,408 55, minimális hosszúságú 167,015 3, , , , , szimmetrikus 171, , , , , ,9604

9 A VARIANCIABECSLÉS HIBAHATÁRÁRÓL 61 Megfigyelhető, hogy minimális hosszúságú intervllumhoz trtozó kritikus értékek lulról, szimmetrikus intervllumhoz trtozó kritikus értékek pedig felülről (és lssbbn) konvergálnk hgyományos értékekhez. Összefogllv megállpíthtó, hogy szimmetrikus eloszlású becslőfüggvényekkel ellentétben z szimmetrikus eloszlású becslőfüggvénnyel rendelkező lpsoksági vrinci esetében hgyományos intervllumbecslési eljárás nem eredményez dott megbízhtósági szinten minimális hosszúságú intervllumot. Ezért jvsoljuk vrincibecslés során z 1. táblábn bemuttott kritikus értékek hsználtát. Megállpíthtó, hogy z így keletkező intervllumok nem lesznek szimmetrikusk pontbecslésre, ám ez vrincibecslés esetén nem is feltétlenül elvárt. SUMMARY It is common prctice in sttistics tht estimting the confidence intervls, quntiles of the distribution function belonging to the til probbilities re used. It is lso well known tht in the cse of symmetric distributions this procedure does not yield nrrowest confidence intervls. The first prt of the pper, bsed on computer lgorithms, gives the nrrowest confidence limits for the widely used vrince estimtor. The second prt shows tht symmetric confidence intervls (in n equidistnt sense) for the sme problem cn only be deduced in cse of lrge smples, when the smple size overtkes certin limits. Some of these results re shown in the pper s well.