Fourier-transzformáció ( Analízis 2. informatikusoknak, BMETE90AX22 tárgyhoz)
|
|
- Miklós Bodnár
- 4 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Fourier-transzformáció Analízis. informatikusoknak, BMETE9AX tárgyhoz Tasnádi Tamás 5. június.. Bevezetés A Fourier-sorok elméletében láttuk, hogyan bonthatunk fel egy π szerint periodikus függvényt trigonometrikus függvények diszkrét megszámlálható összegére. Itt a felhasznált trigonometrikus függvények körfrekvenciái pozitív egészek voltak. Most azt mutatjuk meg, hogyan bonthatunk fel egy tetszőleges tipikusan nem periodikus függvényt kontinuum számosságú trigonometrikus függvény folytonos összegére integráljára. Ebben a felbontásban minden valós körfrekvencia szerepel. A Fourier-transzformációnak számos alkalmazása van a jelfeldolgozásban, akusztikában, optikában, képfeldolgozásban, de segítséget nyújt közönséges és parciális differenciálegyenletek megoldásánál is. A Fourier-transzformációt több különböző függvénytéren is lehetséges definiálni, és így, bár hasonló módon definiált, mégis eltérő tulajdonságú transzformációkhoz jutunk. A precíz matematikai leírásnál általában a Lebesgueintegrálra épül a transzformáció. Mi most gyakorlati szempontból tárgyaljuk a Fourier-transzformációt, improprius Riemann-integrállal definiáljuk, és kisebb hangsúlyt fektetünk a transzformáció értelmezési tartományának és képterének pontos definiálására. Az irodalomban nagyon sok, a Fourier-transzformációhoz többé-kevésbé hasonló integráltranszformációval találkozhatunk például Laplace-transzformáció, Z-transzformáció, Wavelet-transzformáció.... Reméljük, hogy a Fouriertranszformáció megismerése szükség esetén megkönnyíti a többi integráltranszformáció megértését is.. A Fourier-integrál Először a Fourier-sorok elméletét általánosítjuk π-szerint periodikus függvényekről L periódusú függvényekre, majd formálisan végrehajtjuk az L határátmenetet, és így jutunk a Fourier-integrál formulához. Idézzük fel, hogy a {, cosnx, sinnx} n N+ függvényrendszer teljes ortogonális rendszert alkot a [, π] intervallumon folytonos függvények C[ π, π] terén a g, h π gxhx dx skaláris szorzásra nézve, és ebben a rendszerben kifejtve egy tetszőleges f függvényt, mely π szerint periodikus és egy π perióduson
2 Riemann-integrálható, megkapjuk a függvény Φ Fourier-sorát: ahol az együtthatókat az f Φx a + an cosnx + b n sinnx, a n π b n π π t π π t π n ft cosnt dt, n,,... ft sinnt dt, n,, 3... integrálok adják meg. { Ehhez teljesen hasonlóan megmutatható, hogy tetszőleges L > esetén az, cos π L nx, sin π L nx} függvények teljes ortogonális rendszert alkotnak n N + a C[ L, L] függvénytéren, és egy L szerint periodikus, egy periódusra integrálható f függvényt kifejtve a f Φx a + π π a n cos L nx + b n sin L nx, függvénysor adódik, ahol a n L b n L L t L L t L n π ft cos L nt dt, n,,... a π ft sin L nt dt, n,, 3... b Látható, hogy ha L, akkor az kifejtésben szereplő ω n πn L körfrekvenciák egyre sűrűsödnek, ω ω n+ ω n π L távolságuk nullához tart. Most legyen f tetszőleges intervallumon Riemann-integrálható, R-en abszolút integrálható függvény azaz fx dx <, melyről feltesszük még, hogy tetszőleges L > -ra a [ L, L] intervallumon f Φ. Az sorfejtésbe beírva a együtthatókat, majd felhasználva a cos α cos β+sin α sin β cosα β azonosságot, az fx L fx dt + L t L π n π L ω L t L nπ ft cos L ω n t x kifejezés adódik. Az L esetén az első tag nullához tart. A második tag az ω π L t L ft cos ωt x dt függvény improprius Riemann-integráljának az ω n nπ L osztópontú közelítő összege. Az L határesetben a közelítő összeget formálisan az integrállal helyettesítve az fx ft cos ωt x dt dω 3 π ω t dt
3 formula adódik. Innen két úton is érdemes továbbhaladni. Egyrészt, újra alkalmazva fordított irányban a cos ωt x cosωt cosωx + sinωt sinωx trigonometrikus összefüggést, adódik, ahol fx ω aω cosωx + b ω sinωx dω a ω π t ft cosωt dt, b ω π t ft sinωt dt. Ez jól láthatóan az és formulák folytonos megfelelője. Másrészt, vegyük észre, hogy cos ωt x páros, sin ωt x pedig páratlan függvénye ω-nak, tehát fx π π ω ω ft cos ωt x dt dω, t ft sin ωt x dt dω. t 4a 4b A 4a egyenletben ω-ra a [, ] intervallum helyett [, ]-re integráltunk, és az eredményt osztottuk -vel. A 4a egyenletből kivonva a 4b egyenlet i-szeresét, egyszerű átalakítás után azt kapjuk, hogy fx π ω e iωx t e iωt ft dt dω. 5 Ez a Fourier-féle integrálformula komplex alakja. Hangsúlyozzuk, hogy a fentiek nem tekinthetők matematikai levezetésnek, csupán formális átalakításoknak. Ugyanakkor igazolható, hogy a fenti formula valóban érvényes egy jól definiálható, tág függvényosztályra. 3. A Fourier-transzformáció Az 5 formula motiválja a Fourier-transzformációnak és inverzének a következő definícióját.. Definíció. Legyen az f függvény abszolút integrálható. Ekkor az F Frouriertranszformáltja: F[f]ω F ω t Az F függvény inverz Fourier-transzformáltja: F [F ]t π ω e iωt ft dt. 6 e iωt F ω dω. 7 3
4 Az 5 formula alapján F [F[f]] F [F ] f. Megjegyezzük, hogy az irodalomban találkozhatunk olyan definíciókkal is, amelyek a fentitől két ponton is eltérhetnek. Egyrészt, bizonyos szerzők a Fourier-transzformációban szerepeltetik az e iωx szorzót és az inverz transzformációban ennek konjugáltját. Másrészt, egyes helyeken a Fourier-transzformációban szerepel az integrál előtt az π szorzó, megint más helyeken mindkét irányú transzformációnál π szorzót alkalmaznak. Mi az. definícióban rögzített konvenciókat alkalmazzuk. A Fourier-transzformációt a legtöbbször úgy interpretáljuk, hogy az ft egy időtől függő jel, F ω pedig a jelben levő ω körfrekvenciájú komponens komplex amplitúdója.. Tétel. Legyen f abszolút integrálható függvény azaz fx dx <, és legyen F a Fourier-transzformáltja. Ekkor F a korlátos; b folytonos; és c lim ω ± F ω. Bizonyítás. a F ω x e iωx fx dx fx dx < x e iωx fx dx Az első becslésnél felhasználtuk, hogy a valósban egyszerűen igazolható g g állítás komplex értékű g függvényekre is igaz. b Legyen ω < ω, ω : ω+ω és ω : ω ω. Ekkor ω ω + ω, ω ω ω, és az F Fourier-transzformált megváltozása: F F ω F ω e iω x e iωx fx dx x e iωx ω i e x e i ω }{{ x } i sin ω x Ω Ω ω fx dx + } {{ } ε Ω fx dx + } {{ } ε 4ε + Ω ω fx dx 5ε, } {{ }, ha ω Ω sin } {{ } Ω ω x fx dx ha teszőleges ε > esetén ω elegendően kicsiny. Mivel f abszolút integrálható, tetszőleges ε > esetén találunk alkalmas Ωε értéket, amelyre az első két becslés helyes. Ezután rögzített Ω mellett választunk egy kellően kicsiny ω értéket, amelyre a harmadik becslés is helyes. Ezzel igazoltuk, hogy az F Fourier-transzformált függvény folytonos. c Nem bizonyítjuk. 4
5 .5 sx.5 Sω ±/ω π -6π -4π -π π π 4π 6π 8π. ábra. Az sx egységnyi négyszögimpulzus és Sω ω sin ω Fouriertranszformáltja. Megjegyezzük, hogy a. tétel b és c állításából következik az a állítás. 3. Példa. Határozzuk meg az sx {, ha x,, ha x >, négyszögimpulzus Fourier-transzformáltját! Megoldás. A Fourier-transzformáció során az integrálást csak a [, ] intervallumra kell elvégezni, mert ezen kívül s nulla. A komplex exponenciális függvényt az Euler-formulával alakítsuk át, és vegyük észre, hogy a képzetes rész integrálja nulla, mert a szinusz függvény páratlan: F[s]ω x e } iωx {{} dx cosωx i sinωx [ sinωx ω ] x + i ω sin ω. 8 Az s négyszögimpulzusnak és S F[s] Fourier-transzformáltjának grafikonja az. ábrán látható. 4. Példa. Határozzuk meg az f γ x e γ x függvény Fourier-transzformáltját, ahol γ >! Megoldás. A Fourier-transzformációban szereplő integrált bontsuk ketté a negatív félegyenesre, ahol x x, és a pozitív félegyenesre, ahol x x. Ezután a negatív félegyenesen hajtsuk végre az y x változócserét, és vonjuk össze a két integrált: F[f γ ]ω e iωx e γx dx + e iωx e γx dx x y x e iωy e γy dy + x x e iωx + e iωx e γx dx e iωx e γx dx x cosωxe γx dx. 5
6 .5 f x.5 F ω ábra. Az f x e x függvény és F ω +ω Fourier-transzformáltja. A kapott integrál kétszeri parciális integrálással kapható meg: I γ ω γ ω [ sinωx cosωxe γx dx e γx] γ ω x ω [ cosωx ahonnan I γ ω e γx] } ω {{ x } ω γ γ +ω, tehát γ ω F[f γ ]ω F γ ω cosωxe γx dx } {{ } I γω γ γ + ω. sinωxe γx dx γ ω γ ω I γω, Az f x e x függvénynek és F F[f ] Fourier-transzformáltjának grafikonja a. ábrán látható γ. 5. Példa. Határozzuk meg a g a x e ax függvény Gauss-görbe Fouriertranszformáltját, ahol a >! Megoldás. A Fourier-transzformációban vonjuk össze a két exponenciális tényezőt, és alakítsunk teljes négyzetté a kitevőben: F[g a ]ω e ax iωx dx e ω 4a iω ax+ e a dx A továbblépéshez komplex függvénytani ismeretekre van szükség. Az integrandus mindenütt reguláris, és x ± esetén nullához tart, ezért Cauchy-tétele alapján a valós tengely helyett integrálhatunk az y iω a egyenes mentén is. Ekkor azonban a e ax dx Gauss-integrálhoz jutunk, amiről tudjuk, hogy. Tehát a Fourier-transzformált: π a π F[g a ]ω G a ω 6 a e ω 4a.
7 g x g / x g /4 x G x G / x G /4 x ábra. Az a,, 4 paraméterhez tartozó Gauss-görbék bal oldalon és Fourier-transzformáltjuk jobb oldalon. esetén a Fourier-transzformáció egy sajátvektorát kap- Speciálisan a juk: F[x e x ]ω πe ω, azaz F[g/ ] πg /. A g, g / és g /4 függvények valamint a G, G / és G /4 Fourier-transzformáltak a 3. ábrán láthatók. Megfigyelhető, hogy a szélesebb függvény Fouriertranszformáltja keskenyebb. 6. Tétel. Legyen f és g két abszolút integrálható függvény, Fourier-transzformáltjukat jelölje F és G. Ekkor F[αf + βg] αf + βg, linearitás 9a [ x ] F x f ω a F aω, hasonlósági, vagy dilatációs tétel a 9b F[x fx x ]ω e iωx F ω, eltolási tétel 9c F[x e iωx fx]ω F ω ω, modulációs tétel, 9d F[x x n fx]ω i n F n ω, differenciálás frekvenciában, 9e F[f n ]ω iω n F ω, differenciálás időben. 9f A fenti egyenletekben α, β, x, ω R, a, n N, és 9e-ben valamint 9f-ben feltesszük, hogy a bal oldalon álló Fourier-transzformáltak léteznek. A továbbiakban, ha explicit módon mást nem jelölünk, hallgatólagosan feltesszük, hogy a Fourier-transzformációnak alávetett függvény független változója x, és a kicsit körülményes F[x xfx], F[x fx x ] típusú jelölés helyett a pongyola, de jól érthető F[xfx], F[fx x ] jelölést használjuk. Bizonyítás. A 9a egyenlőség az integrál linearitásából következik. 7
8 A 9b igazolásához y x a helyettesítést alkalmazunk: [ x ] F f ω a x sgna x e iωx f dx a y e iaωy fya dy a F aω. A sgna tényezőre azért van szükség, mert ha a <, akkor az y változóra vett integrált fordított irányban, + -től -ig kellene végezni. A 9c igazolásához y x x helyettesítést alkalmazunk: F[fx x ]ω x y e iωx fx x dx e iωy+x fy dy e iωx F ω. A 9d egyenlőség igazolásához az e iωx szorzót bevisszük az integrálba: F[e iωx fx] e iωx e iωx fx dx x x e iω ωx fx dx F ω ω. A 9e egyenlőséget először n esetén igazoljuk. Felhasználjuk, hogy d dω e iωx ixe iωx, és hogy az ω szerinti deriválás és az x szerinti integrálás felcserélhetőek: F[xfx]ω x x e iωx xfx dx i d e iωx fx dx if ω. dω Az n > esetben a fenti formulát n-szer alkalmazzuk. A 9f egyenlőséget is először n esetén igazoljuk. Mivel f is Fourier-transzformálható, ezért f x dx <, tehát ha a < b elegendően nagyok, akkor b a f x dx fb fa tetszőlegesen kicsiny. Mivel f is hasonlóan viselkedik, ezért lim x ± fx. Az f deriváltfüggvény Fourier-transzformálásakor parciális integrálást hajtunk végre, és figyelembe vesszük, hogy a kiintegrált rész nulla: F[f ]ω x e iωx f x dx [ e iωx fx ] x x Az n > esetben a fenti formulát n-szer alkalmazzuk. iωe iωx fx dx iωf ω. 8
9 Most a függvények között értelmezett konvolúció műveletével ismerkedünk meg. A művelet két függvényhez egy harmadik függvényt rendel, a következő módon. 7. Definíció. Legyen f és g két, a teljes valós számegyenesen értelmezett függvény. A két függvény f g konvolúcióját az f gx t ftgx t dt formula értelmezi, feltéve, hogy az integrál minden valós x-re létezik. 8. Lemma. A konvolúció kommutatív, azaz f g g f. Bizonyítás. A konvolúciós integrálban térjünk át a τ x t új változóra: f gx t τ ftgx t dt τ gτfx τ dτ g fx. fx τgτ dτ Látható, hogy a konvolúciós integrál mögötti szorzatban a két függvény argumentumának összege megadja az eredmény független változóját, x t + x t. Egy rögzített x pontban a konvolúció értékét a f gx t fx + tg t dt integrál alapján úgy interpretálhatjuk, hogy az f függvény x körüli fx + t értékeit a g t súllyal összegezzük. Maga az f g függvény f-nek a gt g t súlyfüggvénnyel való átlagolása, kisimítása. Természetesen a kommutativitás miatt f és g szerepe fölcserélhető. 9. Tétel. Konvolúció a Fourier-transzformáltja a tényezők Fourier-transzformáltjának szorzata, azaz F[f g] F[f] F[g], feltéve, hogy a képletben szereplő integrálok léteznek. Bizonyítás. Írjuk föl az egyenlőség bal oldalát, cseréljük föl a konvolúcióhoz és a Fourier-transzformációhoz tartozó integrálás sorrendjét, majd a belső integrálban térjünk át az x változóról az y x t változóra. Ekkor a kettős integrál szétesik két független integrál szorzatára: e iωx F[f g]ω x t t ft ft ftgx t dt t x y dx e iωx gx t dx dt e iωy+t gy dy dt e iωt ft dt e iωy gy dy t y F[f]ω F[g]ω. 9
10 U be R t C t U ki 4. ábra. Az R ellenállásból és C kapacitású kondenzátorból felépített aluláteresztő szűrő. 4. Alkalmazás A Fourier-transzformáció egyik alkalmazási területe lineáris differenciálegyenletek megoldása. Láttuk, hogy a Fourier-transzformáció a differenciálást a független változóval való szorzásba viszi át. Ez a tulajdonság felhasználható arra, hogy differenciálegyenleteket Fourier-transzformálva algebrai egyenleteket kapjunk a keresett függvény Fourier-transzformáltjára. Az algebrai egyenletet megoldva, majd inverz Fourier-transzformációt alkalmazva megkapjuk az eredeti differenciálegyenlet egy partikuláris megoldását. A Fourier-transzformáció sajátosságából adódik, hogy ezzel a módszerrel azt a partikuláris megoldást kapjuk meg, amely a ± -ben nullához tart. A módszert egy elektronikai példán, az R ellenállásból és C kondenzátorból kialakított aluláteresztő szűrő vizsgálatán keresztül mutatjuk be 4. ábra. Feladatunk az, hogy az ismert U be t bemenetre adott feszültségjel segítségével meghatározzuk a kimeneten megjelenő U ki t feszültségjelet. Feltesszük, hogy mindkét jel impulzusszerű, azaz a t ± határesetben lecsengenek, és a kondenzátor töltése is nulla a t ± határesetben. Ohm-törvénye alapján az R ellenálláson a t időpillanatban folyó It áram: It U bet U ki t. R Ez az áram tölti a kondenzátort, aminek így a töltése a t időpillanatban: Qt t τ Iτ dτ t τ U be τ U ki τ R dτ CU ki t. Felhasználtuk, hogy Q valamint, hogy a kondenzátor feszültsége, töltése és kapacitása között érvényes a C Q U összefüggés. Az utolsó összefüggést differenciálva, és alkalmazva az integrálfüggvény deriváltjáról szóló tételt, rendezés után az U ki t RC U bet RC U kit elsőrendű, lineáris, inhomogén, állandó együtthatós differenciálegyenletre jutunk. Ismert U be bemeneti jel esetén az egyenletet meg tudjuk oldani. Most a Fourier-transzformáció segítségével, általános bemenő jel mellett oldjuk meg az egyenletet. Vegyük a egyenlet Fourier-transzformáltját, és használjuk fel, hogy függvény deriváltjának transzformáltja a függvény transzformáltjának iωszorosa! Azt kapjuk, hogy iωf[u ki ]ω RC F[U be]ω RC F[U ki]ω,
11 . Ax βξ ábra. Az aluláteresztő szűrő karakterisztikája. A bal oldalon az A teljesítmény-csillapítás látható az x ω ω dimenziótlan frekvencia függvényében. A jobb oldalon ugyanez kétszer logaritmikus skálán van ábrázolva; a csillapítás decibellben, a frekvencia oktávban látható. ahonnan [ ] U ki F F[Ube ]ω. + iωrc Látható, hogy a Fourier-transzformáció segítségével a differenciálegyenlet algebrai problémává egyszerűsödött. Hangsúlyozzuk, hogy nem az általános megoldása a egyenletnek, hanem az U ki kezdeti feltételhez tartozó partikuláris megoldása. Érdemes kiszámolni, hogy az áramkör adott ω körfrekvencián mennyire csillapítja a teljesítményt ami a feszültség abszolút négyzetével arányos: Aω F[U ki ]ω F[U be ]ω + iωrc + ωrc. Látható, hogy lim ω + Aω és lim ω Aω, tehát az áramkör valóban az alacsony frekvenciájú komponenseket engedi át. Az Aω egyenlettel definiált küszöbfrekvencia: ω RC. Be szokás vezetni az x ω ω dimenziótlan frekvenciát, valamint a β db lga logaritmikus csillapítást és a ξ log x logaritmikus frekvenciát oktáv. Az 5. ábra ezekkel a mennyiségekkel mutatja az aluláteresztő szűrő átviteli karakterisztikáját. Nagy frekvenciákon a csillapítás közel decibell oktávonként. 5. Feladatok A * jel arra utal, hogy a feladat nehéz, a normál gyakorlatnak nem anyaga.. Legyen az f függvény L szerint periodikus L >, és a [ L, L] intervallumon {, ha x fx, egyébként.
12 a Határozzuk meg f Fourier-sorát! Hogyan változik a Fourier-sor az L határesetben? b* Hogyan kapható meg a Fourier-sorból a négyszögimpulzus Fouriertranszformáltja?. Vezessük be a következő függvény-transzformációkat: τ h fx : fx + h eltolás h R, ν Ω fx : e iωx fx moduláció Ω R, δ a fx : fax dilatáció a R. a Fejezzük be a következő egyenlőségeket úgy, hogy a jobboldalon az F F[f] Fourier-transzformált függvényt tartalmazó kifejezés álljon! i F[τ h f]? ii F[ν Ω f]? iii F[δ a f]? b Fejezzük be a következő egyenlőségeket úgy, hogy a jobboldalon az f F [F ] inverz Fourier-transzformált függvényt tartalmazó kifejezés álljon! i F [τ h F ]? ii F [ν Ω F ]? iii F [δ a F ]? c* Hogyan kommutálnak a τ h, ν Ω és δ a operátorok egymással? 3. Az F[f] F függvény segítségével fejezzük ki a következő függvények Fourier-transzformáltját! a fx 3, b f x 3, c x f3x, d x 3 f x Jelölje fx az x b ponttól az x + b pontig terjedő, a > magasságú, b > szélességű négyszögimpulzust! Határozzuk meg f Fouriertranszformáltját! Hogyan változik a Fourier-transzformált az x, a illetve b paraméterek változtatásakor? 5. Határozzuk meg a következő függvények Fourier-transzformáltját! { x, ha x [, ],, ha x,, a fx b fx, ha x,, egyébként, egyébként, { e x, ha x, c fx d fx e x,, ha x <, {, ha x [, 3], e fx egyébként. 6. Legyen s az origó középpontú, egységnyi magas, egységnyi széles négyszögimpulzus! Az egyenlőség mindkét oldalának kiszámolásával igazoljuk, hogy F[s s] F[s]!
13 7. Tudjuk, hogy F[x e x ]ω πe ω. a Mi a Fourier-transzformáltja fx 3e x 3 -nek? b Mi a Fourier-transzformáltja gx e x +x -nek? c Minek a Fourier-transzformáltja Hω 3e ω 3? 8. Tudjuk, hogy F[x e x ]ω + ω. a Mi a Fourier-transzformáltja fx e 3x 6 -nak? 3 b Minek a Fourier-transzformáltja Gω ω + ω + 5? 6. Megoldások, végeredmények Emlékeztetünk arra a megállapodásra, hogy ha nincs másképp jelölve, akkor az x változót tekintjük a Fourier-transzformálandó függvény független változójának, és például az fx x függvény Fourier-transzformáltját F[f] vagy F[x x ] helyett egyszerűen F[x ]-tel jelöljük.. Megoldás. a A formulákat alkalmazva megkapjuk a Fourier-együtthatókat: a L b n L a n L L L fx dx L L L L L fx sin nπ nπ sin. L páros dx L, nπ L x dx L nπ fx cos L x dx L nπ sin L x dx, páratlan cos Így az összefüggés szerint az f függvény Φ Fourier-sora: Φx L + n nπ ω πωn nπ sin L ω n/ nπ cos L nπ L x dx ω n x. Az L határesetben a konstans tag eltűnik, és a kifejtéshez használt ω n nπ L frekvenciák egyre sűrűbben helyezkednek el. b* A összegben egy [, intervallumra felírt, ω n nπ L osztópontú, ω π L egyenközű integrál-közelítőösszeget ismerhetünk fel, amit az L határesetben az improprius integrállal helyettesítünk: Φx π ω ω sin cosωx dω. 3
14 Most használjuk fel, hogy az integrandus páros, így vehetjük a teljes intervallumon vett integrál felét. Továbbá sinω/ ω sinωx dω, hiszen az integrandus páratlan. Így Φx π ω ω sin [ cosωx + i sinωx dω F ω ] ω sin. e iωx Tehát az L határesetben a Fourier-sorfejtésből a fenti módon megkapjuk az egységnyi négyszögimpulzus Fourier-transzformáltját 3. példa, 8 egyenlet.. Megoldás. A feladat első két pontja lényegében a 6 tétel egy-egy pontjának átfogalmazása. a i Az y x + h helyettesítést hajtjuk végre: F[τ h f]ω tehát F[τ h f] ν h F[f]. e iωx fx + h dx y e iωh F ω ν h F ω, ii A két exponenciális szorzót összevonjuk: F[ν Ω f]ω tehát F[ν Ω f] τ Ω F[f]. } e iωy hx {{} e iωh e iωy fy dy e } iωx {{ e iωx } fx dx F ω Ω τ Ω F ω, e iω Ωx iii A 6. tétel 9b egyenlősége alapján F[δ a f]ω a δ /af[f]. b Az előző részhez hasonlóan számolunk. A következő eredmények adódnak: i F [τ h f] ν h F [f], ii F [ν Ω f] τ Ω F [f], iii F [δ a f]ω a δ /af [f]. c* Ebben a részben arra világítunk rá, hogy egy függvény transzformálásakor az eltolás, moduláció illetve dilatáció skálázás sorrendje nagyon fontos. Feladatmegoldásnál jól meg kell gondolnunk ezen transzformációk sorrendjét. i τ h ν Ω fx ν Ω fx + h e iωx+h fx + h e iωh e iωx τ h fx e iωh ν Ω τ h fx, tehát τ h ν Ω e iωh ν Ω τ h. ii τ h δ a fx δ a fx + h f ax + h fax + ah τ ah fax δ a τ ah fx, tehát τ h δ a δ a τ ah. iii ν Ω δ a fx e iωx δ a fx e i Ω a ax fax ν Ω/a fax δ a ν Ω/a fx, tehát ν Ω δ a δ a ν Ω/a. 3. Megoldás. Az előző feladatban illetve a 6. tételben megismert szabályokat alkalmazzuk. Ügyeljünk a transzformációk helyes sorrendjére! 4
15 a Az x fx 3 függvényt az f függvényből úgy kapjuk, hogy f grafikonját először eltoljuk 3-mal jobbra, majd ezután az x tengelyt egy kettes faktorral átskálázzuk, tehát fx 3 δ τ 3 fx. Így F[fx 3]ω F[fx 3] ω ei ω ω 3 F[f] e 3 ω iω F. b Most a transzformációk sorrendje fordított: f x 3 τ 3 δ fx! Tehát F [ f x 3 ] ω e 3iω F[fx]ω ω e 3iω F. c A legkülső transzformáció a deriválás; először erre alkalmazzuk a 9f szabályt. Ezután az x -tel való szorzásra alkalmazzuk a 9e összefüggést. Végül felhasználjuk a 9b skálázási szabályt: F [ x f3x ] ω iω F [ x f3x ] ω ω i dω F[f3x]ω ω d ω dω 3 F ω 3 7 F ω. 3 d Az eddig megismert szabályokat alkalmazzuk itt is, csak más sorrendben: F [ x 3 f x 3 ] ω i 3 d3 dω 3 F[f x 3]ω i d3 dω 3 iω F[fx 3]ω d i d3 ω dω 3 e 3iω F ω. 4. Megoldás. Kétféleképpen oldhatjuk meg a feladatot. Vagy a 3. példában megismert egységnyi négyszögimpulzust transzformáljuk a. feladatban szereplő transzformációkkal, vagy közvetlenül a Fourier-transzformáció a 6 definíciója alapján számolunk. Az első utat követjük. Az s egységnyi négyszögimpulzusból az f négyszögjel úgy kapható meg, hogy először b -vel dilatálunk, majd x -al jobbra tolunk és végül a-val megszorozzuk a függvényt, tehát x x f a τ x δ /b s, fx a s. b Így f Fourier-transzformáltja: [ x x ] [ x ] F[f]ω a F s ω ae iωx F s ω b b abe iωx F[sx]bω abe iωx bω sin bω a ω e iωx sin bω Látható, hogy a a Fourier-transzformált magasságát szabályozza, x modulálja az eredményt, b pedig az x tengelyt skálázza. Minél szélesebb az eredeti négyszögjel, annál sűrűbb a Fourier-transzformált. 5. Megoldás. A Fourier-transzformáltak most is vagy közvetlenül az. definíció 6 képletével számolhatók ki, vagy már ismert Fourier-transzformáltakból a 6. tétel illetve a. feladat összefüggéseivel kaphatók meg.. 5
16 a Számoljunk a definícióval! Egy parciális integrálást kell végrehajtanunk. F[f]ω ie iω ω e iωx fx dx [ e e iωx iωx ] x dx iω x x [ e iωx ] iω ie iω x ω + e iω ω ω. e iωx iω dx b Most számoljunk a szabályokkal, és használjuk fel, hogy ismerjük az s egységnyi négyszögimpulzus Fourier-transzformáltját 3. példa! Látható, hogy f τ / τ / s, tehát: F[f]ω e iω iω 4i ω e F[s]ω ω sin. c A definíció alapján dolgozunk: F[f]ω e iωx e x dx [ e iω+x lim P iω + ] P x e iω+x dx + iω iω + ω. d A feladat megoldását a 4. példa szerint számolhatjuk, γ mellett. Azt kapjuk, hogy: F[e x ]ω + ω. e Most is az s egységnyi négyszögimpulzus eltoltjaiból kapható meg az f függgvény, f τ 5/ + τ 5/ s, így [ F[f]ω F s x + 5 ] [ ω + F s x 5 ] ω e 5 iω + e 5 iω F[s]ω 4 5ω ω ω cos sin. 6. Megoldás. Legyen f s s, azaz fx stsx t dt / / sx t dt st x { x +, ha x [, ], x, ha x [, ]. Az f Fourier-transzformáltját parciális integrálással kaphatjuk meg: F[f]ω i/ω ] e iωx + x dx + ] [ e iωx e iωx + x iω [ e iωx iω e iω /ω [ ] e iωx + iω e iω /ω [ e iωx iω dx + iω e iωx x dx ] x } {{ } i/ω cos ω ω ω ω sin e iωx dx iω F[s]ω. Az s egységnyi négyszögimpulzus Fourier-transzformáltját a 3. példában számoltuk ki. 6
17 7. Megoldás. A feladatban megadott Fourier-transzformáltat az 5. példában számoltuk ki. A megoldáshoz az ismert transzformációs szabályokat alkalmazzuk. a Először a kitevőt alakítjuk át: x 3 x 3. Ezután alkalmazzuk a már jól ismert transzformációs szabályokat: F[f]ω 3F ] ] [e x 3 ω 3e 3iω F [e x ω 3 e 3iω F ] [e x ω b A kitevőt teljes négyzetté alakítjuk: x + x x + Ezt felhasználva g Fourier-transzformáltja: F[g]ω ef [e x ] ω e e iω F 3 π e 3iω e ω 8. x [e x +. ]ω e iω πe ω 4. c A feladatot a 7a feladathoz hasonlóan oldjuk meg. Vigyázzunk az inverz Fourier-transzformáció és a Fourier-transzformáció közti különbségekre! hx F [H]x 3F [ e ω 3 ] x 3 e3ix F [ e ω 3 ]x 3e 3ix F [ ] e ω x π e3ix e x 8. Megoldás. A feladatban megadott Fourier-transzformáltat a 4. példában számoltuk ki. a Először a 9b dilatációs formulát, aztán az eltolásra érvényes 9c formulát alkalmazzuk: F[f]ω F [ e 3x 6 ] ω 3 F[ e x 6 ] ω 3 3 e 6iω/3 F [ e x ] ω 3 e iω 3 + ω 6e iω 9 + ω. 3 b A nevezőben teljes négyzetté alakítunk, és a b feladatban levezetett b összefüggéseket alkalmazzuk: gx F [G]x F [ 3 ] ω + x F [ ω+ ]x e ix F [ ] ω/ x e ix F [ ] ω x e ix e x. 8. 7
Fourier transzformáció
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Fourier transzformáció Fourier transzformáció, heurisztika Tekintsük egy 2L szerint periodikus függvény Fourier sorát: f (x) = a 0 2 + ( ( nπ ) ( nπ )) a n cos
RészletesebbenRENDSZERTECHNIKA 8. GYAKORLAT
RENDSZERTECHNIKA 8. GYAKORLAT ÜTEMTERV VÁLTOZÁS Gyakorlat Hét Dátum Témakör Házi feladat Egyéb 1 1. hét 02.09 Ismétlés, bevezetés Differenciálegyenletek mérnöki 2 2. hét 02.16 szemmel 1. Hf kiadás 3 3.
Részletesebbenλx f 1 (x) e λx f 2 (x) λe λx f 2 (x) + e λx f 2(x) e λx f 2 (x) Hasonlóan általában is elérhető sorműveletekkel, hogy csak f (j)
Matematika A3 gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok, 016/17 ősz 10 feladatsor: Magasabbrendű lineáris differenciálegyenletek (megoldás) 1 Határozzuk meg az e λx, xe λx, x e λx,, x k 1 e λx függvények
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
RészletesebbenFourier sorok február 19.
Fourier sorok. 1. rész. 2018. február 19. Függvénysor, ismétlés Taylor sor: Speciális függvénysor, melynek tagjai: cf n (x) = cx n, n = 0, 1, 2,... Állítás. Bizonyos feltételekkel minden f előállítható
Részletesebben4. Laplace transzformáció és alkalmazása
4. Laplace transzformáció és alkalmazása 4.1. Laplace transzformált és tulajdonságai Differenciálegyenletek egy csoportja algebrai egyenletté alakítható. Ennek egyik eszköze a Laplace transzformáció. Definíció:
RészletesebbenHÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthet és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik HÁZI FELADATOK. félév. konferencia Komple számok Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános
Részletesebben4. Konzultáció: Periodikus jelek soros RC és RL tagokon, komplex ellenállás Részlet (nagyon béta)
4. Konzultáció: Periodikus jelek soros és tagokon, komplex ellenállás észlet (nagyon béta) "Elektrós"-Zoli 203. november 3. A jegyzetről Jelen jegyzet a negyedik konzultációm anyagának egy részletét tartalmazza.
Részletesebben2. Fourier-elmélet Komplex trigonometrikus Fourier-sorok. 18 VEMIMAM244A előadásjegyzet, 2010/2011
8 VEMIMAM44A előadásjegyzet, /. Fourier-elmélet.. Komplex trigonometrikus Fourier-sorok Tekintsük az [, ], C Hilbert-teret, ahol a skaláris szorzat definíciója f, g ftgt dt. Tekintsük a [, ] intervallumon
Részletesebbeny = y 0 exp (ax) Y (x) = exp (Ax)Y 0 A n x n 1 (n 1)! = A I + d exp (Ax) = A exp (Ax) exp (Ax)
III Az exp (Ax mátrixfüggvény módszere Ha y = ay, y( = y, a = állandó y = y exp (ax d dx [exp (Ax] = Y = AY, Y ( = Y, Y (x = exp (AxY exp (Ax = I + n= A n x n (n! = A A n x n, n! ] A n x n I + = A exp
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK:
24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n
RészletesebbenDINAMIKAI VIZSGÁLAT OPERÁTOROS TARTOMÁNYBAN. 2003.10.30. Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 1
DINAMIKAI VIZSGÁLAT OPERÁTOROS TARTOMÁNYBAN 2003.10.30. Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 1 Differenciálegyenlet megoldása u(t) diff. egyenlet v(t) a n d n v m dt a dv n
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
016.03.1. BSC MATEMATIKA II. ELSŐ ÉS MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC AZ ELSŐRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLET FOGALMA Az elsőrendű közönséges differenciálegyenletet
RészletesebbenKalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.
. Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat
RészletesebbenIntegrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november
Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................
RészletesebbenMeghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait.
Közönséges differenciálegyenletek Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait. Célunk a függvény meghatározása Egyetlen független
Részletesebben1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban!
. Egyváltozós függgvények deriválása.. Feladatok.. Feladat A definíció alapján határozzuk meg a következő függvények deriváltját az x pontban! a) f(x) = x +, x = 5 b) f(x) = x + 5, x = c) f(x) = x+, x
Részletesebbenx 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx
Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos
RészletesebbenMátrix-exponens, Laplace transzformáció
2016. április 4. 2016. április 11. LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLET RENDSZEREK ÉS A MÁTRIX-EXPONENS KAPCSOLATA Feladat - ismétlés Tegyük fel, hogy A(t) = (a ik (t)), i, k = 1,..., n és b(t) folytonos mátrix-függvények
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl
Részletesebbendifferenciálegyenletek
Állandó együtthatójú lineáris homogén differenciálegyenletek L[y] = y (n) + a 1y (n 1) + + a ny = 0 a i R (1) a valós, állandó együtthatójú lineáris homogén n-ed rendű differenciálegyenlet Megoldását y
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
Részletesebbenvalós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.
2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve
RészletesebbenPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak
PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek Megegyeznek az 1. és 2. félévben
Részletesebben6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?
6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.
RészletesebbenVIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
Részletesebben6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének
6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük
RészletesebbenDifferenciálegyenletek. Vajda István március 4.
Analízis előadások Vajda István 2009. március 4. Függvényegyenletek Definíció: Az olyan egyenleteket, amelyekben a meghatározandó ismeretlen függvény, függvényegyenletnek nevezzük. Függvényegyenletek Definíció:
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.
Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)
RészletesebbenJelek és rendszerek - 4.előadás
Jelek és rendszerek - 4.előadás Rendszervizsgálat a komplex frekvenciatartományban Mérnök informatika BSc (lev.) Pécsi Tudományegyetem, Pollack Mihály Műszaki Kar Műszaki Informatika és Villamos Intézet
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
RészletesebbenSzámítógépes gyakorlat MATLAB, Control System Toolbox
Számítógépes gyakorlat MATLAB, Control System Toolbox Bevezetés A gyakorlatok célja az irányítási rendszerek korszerű számítógépes vizsgálati és tervezési módszereinek bemutatása, az alkalmazáshoz szükséges
Részletesebben1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.
. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +
Részletesebben5. fejezet. Differenciálegyenletek
5. fejezet Differenciálegyenletek 5.. Differenciálegyenletek 5... Szeparábilis differenciálegyenletek 5.. Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenleteket, és ábrázoljunk néhány megoldást. a) y = x. b) y
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenFüggvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:
Függvények 015. július 1. 1. Feladat: Határozza meg a következ összetett függvényeket! f(x) = cos x + x g(x) = x f(g(x)) =? g(f(x)) =? Megoldás: Összetett függvény el állításához a küls függvényben a független
RészletesebbenBoros Zoltán február
Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
Részletesebben0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
RészletesebbenJelek és rendszerek MEMO_03. Pletl. Belépő jelek. Jelek deriváltja MEMO_03
Jelek és rendszerek MEMO_03 Belépő jelek Jelek deriváltja MEMO_03 1 Jelek és rendszerek MEMO_03 8.ábra. MEMO_03 2 Jelek és rendszerek MEMO_03 9.ábra. MEMO_03 3 Ha a jelet méréssel kapjuk, akkor a jel következő
RészletesebbenGauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei
A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.
RészletesebbenHatványsorok, Fourier sorok
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Hatványsorok, Fourier sorok Hatványsorok, Taylor sorok Közismert, hogy ha 1 < x < 1 akkor 1 + x + x 2 + x 3 + = n=0 x n = 1 1 x. Az egyenlet baloldalán álló kifejezés
Részletesebbenminden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
RészletesebbenNégypólusok tárgyalása Laplace transzformációval
Négypólusok tárgyalása Laplace transzformációval Segédlet az Elektrotechnika II. c. tantárgyhoz Összeállította: Dr. Kurutz Károly egyetemi tanár Szászi István egyetemi tanársegéd . Laplace transzformáció
RészletesebbenMatematika szigorlat június 17. Neptun kód:
Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat
RészletesebbenFFT. Második nekifutás. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék október 2.
TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos osztás Gyűrűk támogatás nélkül Második nekifutás Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. október 2. TARTALOMJEGYZÉK Polinomok
RészletesebbenA brachistochron probléma megoldása
A brachistochron probléma megoldása Adott a függőleges síkban két nem egy függőleges egyenesen fekvő P 0 és P 1 pont, amelyek közül a P 1 fekszik alacsonyabban. Azt a kérdést fogjuk vizsgálni. hogy van-e
RészletesebbenJelek és rendszerek 1. 10/9/2011 Dr. Buchman Attila Informatikai Rendszerek és Hálózatok Tanszék
Jelek és rendszerek 1 10/9/2011 Dr. Buchman Attila Informatikai Rendszerek és Hálózatok Tanszék 1 Ajánlott irodalom: FODOR GYÖRGY : JELEK ÉS RENDSZEREK EGYETEMI TANKÖNYV Műegyetemi Kiadó, Budapest, 2006
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenÉRZÉKELŐK ÉS BEAVATKOZÓK I. 5. A JELFELDOLGOZÁS ALAPJAI: JELEK
ÉRZÉKELŐK ÉS BEAVATKOZÓK I. 5. A JELFELDOLGOZÁS ALAPJAI: JELEK Dr. Soumelidis Alexandros 2018.10.18. BME KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI ÉS JÁRMŰMÉRNÖKI KAR 32708-2/2017/INTFIN SZÁMÚ EMMI ÁLTAL TÁMOGATOTT TANANYAG Mérések
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 8 VIII Elsőrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk Elsőrendű differenciálegyenlet általános és partikuláris megoldása Az vagy (1) elsőrendű differenciálegyenlet
Részletesebbeny + a y + b y = r(x),
Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan
RészletesebbenI. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i
I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex
RészletesebbenANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
RészletesebbenHatározott integrál és alkalmazásai
Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,
RészletesebbenFeladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.
Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl
RészletesebbenAz elméleti mechanika alapjai
Az elméleti mechanika alapjai Tömegpont, a továbbiakban részecske. A jelenségeket a háromdimenziós térben és időben játszódnak le: r helyzetvektor v dr dt ṙ, a dr dt r a részecske sebessége illetve gyorsulása.
Részletesebbenilletve, mivel előjelét a elnyeli, a szinuszból pedig kiemelhető: = " 3. = + " 2 = " 2 % &' + +
DFT 1. oldal A Fourier-sorfejtés szerint minden periodikus jel egyértelműen felírható különböző amplitúdójú és fázisú szinusz és koszinusz jelek összegeként: = + + 1. ahol az együtthatók, szintén a definíció
Részletesebbencos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4
Integrálszámítás I. Végezze el a következő integrálásokat:. α, haα sin() cos() e f) a sin h) () cos ().. 5 4 ( ) e + 4 sin h) (+) sin() sin() cos() + f) 5 i) cos ( +) 7 4. 4 (+) 6 4 cos() 5 +7 5. ( ) sin()cos
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
RészletesebbenM. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!
Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének
RészletesebbenL-transzformáltja: G(s) = L{g(t)}.
Tartalom 1. Stabilitáselmélet stabilitás feltételei inverz inga egyszerűsített modellje 2. Zárt, visszacsatolt rendszerek stabilitása Nyquist stabilitási kritérium Bode stabilitási kritérium 2018 1 Stabilitáselmélet
Részletesebbensin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
RészletesebbenGyakorlat 34A-25. kapcsolunk. Mekkora a fűtőtest teljesítménye? I o = U o R = 156 V = 1, 56 A (3.1) ezekkel a pillanatnyi értékek:
3. Gyakorlat 34-5 Egy Ω ellenállású elektromos fűtőtestre 56 V amplitúdójú váltakozó feszültséget kapcsolunk. Mekkora a fűtőtest teljesítménye? Jelölések: R = Ω, U o = 56 V fűtőtestben folyó áram amplitudója
RészletesebbenFourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.
ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 9 IX Magasabbrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk n-ed rendű differenciálegyenletek Az alakú ahol n-edrendű differenciálegyenlet általános megoldása tetszőleges
Részletesebben2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia
2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia Egyváltozós valós függvények nevezetes osztályai I. Algebrai függvények Racionális egész függvények (polinomok) Racionális törtfüggvények Irracionális függvények
RészletesebbenFourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.
Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.
Részletesebben2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?
= komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve
Részletesebben25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1
6 Komplex számok megoldások Lásd ábra z = + i, z = + i, z = i, z = i z = 7i, z = + 5i, z = 5i, z = i, z 5 = 9, z 6 = 0 Teljes indukcióval 5 Teljes indukcióval 6 Az el z feladatból következik z = z = =
RészletesebbenLNM folytonos Az interpoláció Lagrange interpoláció. Lineáris algebra numerikus módszerei
Legkisebb négyzetek módszere, folytonos eset Folytonos eset Legyen f C[a, b]és h(x) = a 1 φ 1 (x) + a 2 φ 2 (x) +... + a n φ n (x). Ekkor tehát az n 2 F (a 1,..., a n ) = f a i φ i = = b a i=1 f (x) 2
RészletesebbenMatematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
Részletesebben9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:
9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y
RészletesebbenHatározatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos
RészletesebbenDifferenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel
Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Ez még nem a végleges változat, utoljára módosítva: 2012. április 9.19:38. Elsőrendű egyenletek Legyen adott egy elsőrendű lineáris állandó együtthatós
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I
Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html
RészletesebbenFüggvény határérték összefoglalás
Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis
RészletesebbenTrigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )
Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!
RészletesebbenAz Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi első fordulójának feladatmegoldásai
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 008-009. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára. Határozzuk meg az alábbi egyenletrendszer valós megoldásait. ( x
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek VII.
Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós
RészletesebbenMatematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2009. máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.: 180 perc 0-49 pont: elégtelen, 50-61 pont: elégséges, 62-73 pont:
RészletesebbenFourier-sorok Horv ath G abor 1
Fourier-sorok Horváth Gábor 1 Tartalomjegyzék 1 Bevezetés Szakdolgozatom során periodikus függvények egyfajta közelítésével fogunk foglalkozni. Amíg a Taylor-sornál a függvényeket hatványsor alakban állítjuk
RészletesebbenDifferenciálegyenletek
DE 1 Ebben a részben I legyen mindig pozitív hosszúságú intervallum DE Definíció: differenciálegyenlet Ha D n+1 nyílt halmaz, f:d folytonos függvény, akkor az y (n) (x) f ( x, y(x), y'(x),..., y (n-1)
RészletesebbenAnalízis III Parciális differenciálegyenletek
Analízis III Parciális differenciálegyenletek Lineáris, másodrendű PDE-k 2012. január 20. 1. Bevezető A parciális differemciálegyenlet egy olyan összefüggés, ahol az ismeretlen egy többváltozós valós függvény.
RészletesebbenHatározatlan integrál
Határozatlan integrál Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Matematikai Intézet, Anaĺızis Tanszék Debrecen, 207. február 20 27. Primitív függvény, határozatlan integrál A továbbiakban legyen I R intervallum.
Részletesebben6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC
6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK BSc Matematika I. BGRMAHNND, BGRMAHNNC A következő diákon szereplő állítások mindegyikét az előadáson fogjuk igazolni, és példákkal bőségesen
RészletesebbenAnalízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév
Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?
Részletesebben1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények
1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási
RészletesebbenVektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
RészletesebbenKomplex számok. A komplex számok algebrai alakja
Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j
RészletesebbenDifferenciálegyenletek
Differenciálegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2011/12 tanév, I. félév Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 1 /
RészletesebbenSzili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány
Szili László Integrálszámítás (Gyakorló feladatok Analízis. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények...........
RészletesebbenGibbs-jelenség viselkedésének vizsgálata egyszer négyszögjel esetén
Matematikai modellek, I. kisprojekt Gibbs-jelenség viselkedésének vizsgálata egyszer négyszögjel esetén Unger amás István B.Sc. szakos matematikus hallgató ungert@maxwell.sze.hu, http://maxwell.sze.hu/~ungert
RészletesebbenNumerikus integrálás
Közelítő és szimbolikus számítások 11. gyakorlat Numerikus integrálás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1. Határozatlan integrál
RészletesebbenHatározatlan integrál, primitív függvény
Határozatlan integrál, primitív függvény Alapintegrálok Alapintegráloknak nevezzük az elemi valós függvények differenciálási szabályainak megfordításából adódó primitív függvényeket. ( ) n = n+ n+ + c,
Részletesebben