Gazdaságtudományi Kar. Gazdaságelméleti és Módszertani Intézet. Idősorok elemzése. 5. előadás. Döntéselőkészítés módszertana

Átírás

1 Idősorok elemzése 5. előadás Dötéselőkészítés módszertaa

2 Az idősorok elemzéséek egyszerűbb Számtai átlag eszközei: Kroológikus átlag Diamikus viszoyszám Átlagos abszolút eltérés Átlagos relatív eltérés 2

3 = Gazdaságtudomáyi Kar Átlagos abszolút és relatív változás Átlagos abszolút változás: az egy időszakra jutó átlagos változást adja meg. Képlete: Átlagos relatív változás: a változás átlagos ütemét adja meg. y Képlete: -1 - l = li = 1 i=1 y 0 3

4 Év Mitafeladat: Az ABC Kft. által kiközvetített mukavállalók száma, ezer fő ( ) Mukavállalók száma d= = 2,78 e fő 4

5 Q Kft. beruházásaiak értéke, millió Ft ( ) Év Beruházás értéke l= =1,345=134,5 % 5

6 Átlagok alkalmazása Időbe lejátszódó folyamat elemzéséek eszköze: számtai átlag. Képlete: ȳ= Ƹy i Ha az időbeli megfigyeléseik időpotra voatkozak: kroológikus átlag. Képlete: ȳ k = y 1 2 +σ 1 i=2 yi + y 2 1 6

7 Év X ország adatai, 1999-be Népesség száma (efő) hóap végi adat Termelés Ezer db Jauár Február Március Április Május Júius Július Augusztus Szeptember Október November December Feladat: A redelkezésre álló adatok alapjá határozzuk meg a vizsgált időszakra voatkozóa X országál az átlagos termelést és az átlagos állomáyi létszámot! (1998. december 31-i épességszám ezer fő volt!) ȳ= ȳ k = = 118,1 edb 2 =10066,5 efő 7

8 Diamikus viszoyszám(ok) A lakásépítés alakulása Magyarországo Épített lakások Lakásépítések száma (db) Lakásépítés (1991=100 %) Lakásépítés (előző év=100 %) , ,8 77, ,1 81, ,2 100,1 8

9 Idősorok grafikus ábrázolása Grafikus ábrázolás: Az idősorok alaptedeciáiak tömör, áttekitő jellemzése. Fő típusai: Állapotidősorok: az időbeli ismérv értékei egy-egy időpothoz tartozak ezért célszerű ábrázolásuk egy-egy pot. Az állapotidősor javasolt ábrája a potdiagram. Tartamidősorok: a vízszites tegelye elvbe itervallumok szerepelek, a jeleséget pedig célszerű eze itervallumok fölé rajzolt oszlopokkal (téglalapokkal) bemutati. 9

10 ezer db Gazdaságtudomáyi Kar Magyarország sertésállomáya, (év végi adatok) év 10

11 Poláris koordiáta redszer 11

12 Az idősorok kompoeseiek elkülöítése A jeleségek fejlődése, alakulása, és így az azokak megfelelő idősor számos téyező együttes hatásáak az eredméye. Az egy-egy jeleség változását befolyásoló soksok téyezőről mélyebb, részletesebb iformációk általába ics. Az idősorelemzés megközelítési módjai: determiisztikus sztochasztikus idősorelemzés. A valószíűség-számítás szemszögéből ézve az idősorok adatai az időbe véletleszerűe lejátszódó, vagyis sztochasztikus folyamatok empirikus adatai. 12

13 Az idősorok összetevői A statisztikai elemzés szempotjából égy kompoest külöböztetük meg:: alapiráyzat vagy tred, periodikus igadozás, ciklus, véletle igadozás. 13

14 Alapiráyzat vagy tred ŷ t Jele: Jellemzői: - az idősorba tartósa érvéyesülő tedecia - a fejlődés legfotosabb kompoese. - több téyező együttes hatásáak a következméye, - alapvetőe társadalmi-gazdasági törvéyszerűségek határozzák meg. 14

15 Periodikus igadozás Jele: s j Jellemzői: - Az idősorokba redszerese ismétlődő hullámzás. - Leggyakoribb típusai: az idéyszerű vagy szezoális igadozások - Az idéyhatás álladó periódushosszúságú hullámzás, ritmikus igadozás; - általába olya idősorokba állapíthatjuk meg jelelétét, amelyek adatai egy évél rövidebb időszakra (hóap, egyedév) voatkozak. - Vaak olya periodikus hullámzások is, amelyekél a periódus rövidebb, mit egy év. 15

16 Ciklus Jele: c Jellemzői: - Olya periodikus igadozás az idősorba, amely kevésbé szabályos, jelelétét csak hosszabb idősorok alapjá lehet felfedi és taulmáyozi. - Az igadozások periódusáak hosszúságát egyrészt természeti okok is befolyásolhatják - Fő típusai az ú. gazdasági (kojuktúra) ciklusok. 16

17 Véletle igadozás Jele: v ij Jellemzői: - Ezt az összetevőt valószíűségi változóak tekitjük. - Véletleek ige sok, egyekét em jeletős, egymás hatását elősegítő vagy keresztező végső eredméyét tekitjük. - A véletle hatás eredméye, hogy az idősorok adatai a tredből, illetve a periodikus kompoesből adódó görbe körül sztochasztikusa igadozak. 17

18 Idősorok elemzéséek feladatai 1. A fejlődés alapiráyzatát megismerése, miközbe eltekitük a többi összetevőitől. Az idősort tehát mitegy ki akarjuk simítai: a szezoális, a ciklikus és a véletle igadozást "el akarjuk tüteti", hogy a tredvoalat tisztá lássuk. 2. A mozgó átlagolás és a regressziós módszerekből származtatható aalitikus kiegyelítéssel számszerűsítei az idősorba rejlő tedeciákat. 3. Az idéyszerű hullámzás jellemzőiek mérése, amelyek sorá természetese ki kell küszöböli az idősorba érvéyesülő tredhatást és a véletle igadozást, valamit - ameyibe a vizsgált idősorba előfordul - a gazdasági ciklus hatását. 4. A kojuktúrahullám (gazdasági ciklus) kimutatása (a többi hatás kiszűrésével). 5. A véletle hatások kezelése. 18

19 Additív kompoesek A gyakorlati idősorok esetébe em midig jeleik meg mide kompoes egyszerre. A kompoesek közötti összefüggés lehet: - Additív - Multiplikatív Ha az idősor periodicitására is tekitettel vagyuk, akkor az idősor kompoeseiek additív kapcsolódását tükröző alapképlet: y = ŷ S c vij ahol y ij, az i-edikperiódus (pl. év) j-edik szakaszáak (pl. hóap) empirikus adata; y az alapiráyzat; s j, a szezoális igadozást (bármely i-edik periódus j-edik szakaszába) fejezi ki; c, a szabálytala hosszabb távú igadozásokat leíró ciklikus kompoes (kojuktúraciklus; ij t v ij, a véletle kompoesek egy megvalósult értéke, amelyekről többyire csak azt feltételezik, hogy 0, illetve 1 körül igadozak, azaz a várható értékük 0, illetve 1. j 19

20 Multiplikatív kompoesek A jeleségek széles körébe feltételezhetjük az összetevők kapcsolódásáak multiplikatív módját, amely esetébe a kompoesadatok szorzata egyelő a tapasztalati adattal: - ahol y ij, az i-edikperiódus (pl. év) j-edikszakaszáak (pl. hóap) empirikus adata; - y az alapiráyzat; - s j, a szezoális igadozást (bármely i-edik periódus j-edik szakaszába) fejezi ki; - c, a szabálytala hosszabb távú igadozásokat leíró ciklikus kompoes (kojuktúraciklus; - v ij, a véletle kompoesek egy megvalósult értéke, amelyekről többyire csak azt feltételezik, hogy 0, illetve 1 körül igadozak, azaz a várható értékük 0, illetve 1 20

21 Az idősorok elemzéséek boyolultabb eszközei 21

22 Tredszámítás Idősoro egymást követő, azoos tartalmú megfigyelések sorozatát értjük, és y 1, y 2,, y t,,y módo jelöljük. A tredszámítás feladata az idősor fő kompoeséek, az alapiráyzatak a kimutatása. Az idősor kiegyelítése, kisimítása a céluk úgy, hogy a periodikus igadozás és a véletle igadozás hatását kiküszöböljük. Az idősorok kiegyelítéséek módszerei: - mozgóátlagolás, - aalitikus tredszámítás. 22

23 Tredszámítás mozgó átlagolással A mozgó átlagolás alapgodolata az, hogy a tredet az eredeti sor diamikus átlagakét állítjuk elő. A számítás meete a következő: - Kiszámítjuk az idősor első k adatáak egyszerű számtai átlagát. Ez az első tredérték, amelyet az éritett időszak közepéhez - vagyis a (k+1) 1/2-edik időszakhoz - redelük. Ezutá elhagyjuk az első adatot, és ehelyett vesszük a következő (k+1)-ediket. - Ismét átlagot számítva yerjük a következő mozgó átlagot, vagyis tredértéket, amelyet a megfelelő időszakhoz redelük. - Így haladuk, amíg az utolsó adatot is felhaszáljuk. - Az eredméyül kapott tredértékek sorozata a kiegyelített idősor. 23

24 Háromtagú mozgó átlagok Háromtagú Időszak (időpot) t mozgó átlagok számítása Idősor adata y t Mozgó összeg ö t Mozgó átlag 1 y y 2 ö 2 = y 1 + y 2 + y 3 2 = ö 2 /3 3 y 3 ö 3 = y 2 + y 3 + y 4 3 = ö 3 / y -2 ö -2 = y -3 +y -2 +y -1-2 = ö -2 /3-1 y -3 ö -1 = y -2 +y -1 +y -1 = ö -1 /3 y

25 Mozgó átlagok számítása Páratla k tagszám eseté az yt (t = 1, 2,..., ) idősorból számított k tagú mozgó átlagok sorozata a t = j+1-edik időszaktól a t = -j-edik időszakig tart, ahol j = (k-1)/2. A t-edik időszakhoz redelt mozgó átlag: (k) ŷ t = 1 t+ j y i k Páros tagszám eseté az az időszak, amelyet a mozgó átlag jellemez, midig két, eredetileg megadott időszak közé esik. Eze a helyzete egy újabb művelet, az ú. középre igazítás, vagy cetírozás beiktatásával segítük. Középre igazítás: a kiszámított mozgó átlagokat párokét redre átlagoljuk, vagyis újabb, ezúttal kéttagú mozgó átlagok sorozatát számítjuk ki. Ezek a tredértékek már a megadott időszakra voatkozak. l=t- j 25

26 Mitapélda páratla tagszámú mozgó átlag alkalmazásához Valutaországba érkező turisták számáak alakulása, ezer fő ( ) Év Szezo Létszám y t előszezo 100 főszezo 110 utószezo 120 előszezo 140 főszezo 162 utószezo 140 előszezo 100 főszezo 140 utószezo 120 előszezo 130 főszezo 132 utószezo

27 Valutaországba érkező turisták jellemzés mozgóátlagolás felhaszálásával, ezer fő ( ) - Megoldás Év Szezo Létszám y t 3 tagú mozgóátlag előszezo főszezo utószezo ,33 előszezo ,67 főszezo ,33 utószezo előszezo ,67 főszezo utószezo előszezo ,33 főszezo ,33 utószezo

28 Mitpélda páros tagszámú mozgó átlag alkalmazásához A Hold Kft. által értékesített gázolaj meyisége 2004 és 2006 között egyedéves botásba. (ezer liter) Év Negyedév Értékesített meyiség y t I II. 520 III. 540 IV. 530 I II. 560 III. 590 IV. 600 I II. 620 III. 650 IV

29 A Hold Kft. által értékesített gázolaj meyiségéek vizsgálata mozgóátlagolás felhaszálásával 2004 és 2006 között egyedéves botásba. (ezer liter) Megoldás Év Mellékszámítás: 1 4 tagú átlag 4 tagú átlag Negyedév 1 2 Értékesített meyiség yt I tagú átlag - 4 tagú mozgóátlag ŷ - II ,5 III ,5 532,5 IV ,5 542,5 I , II ,75 572,5 III , IV ,5 605 I ,5 620 II ,5 645 III IV táblázat , ,5 4 yˆ 1 522,5 532,5 527,5 2 - t 29

30 Mozgó átlagolás jellemzői A kapott mozgóátlag, mit tred megmutatja az idősor alapiráyzatát, miközbe eltekitük a többi kompoestől. A véletle hatás kiküszöbölését (potosabba: csökketését) az átlagolás művelete révé érjük el. A véletle kikapcsolása aál tökéletesebb, miél agyobb tagszámú mozgó átlagokat számítuk. A periodikus igadozás hatását a mozgó átlag tagszámáak megfelelő kijelölésével küszöbölhetjük ki. Szezoális igadozásál ügyeljük arra, hogy mide egyes mozgó átlag átfogjo egy (vagy több) teljes idéyciklust. A mozgó átlag tagszámát úgy választhatjuk meg, hogy egy-egy ciklushoz tartozó adatok számával egyelő vagy aak egész számú többszöröse legye. 30

31 Aalitikus tredszámítás Ha a vizsgált jeleség tartós iráyzatát az idő függvéyébe valamilye regressziós függvéyel határozzuk meg, aalitikus tredszámításról beszélük. Az aalitikus tredszámítás a leggyakrabba alkalmazott szűrő és simító eljárás. Az aalitikus tredszámítás eseté mideekelőtt két kérdést kell tisztázi: - Milye típusú függvéyel akarjuk leíri az idősort? - Hogya mérjük az illeszkedést, és mikor tekitük egy illeszkedést jóak? 31

32 Lieáris tred Ha olya jeleség időbei változását vizsgáljuk, amelyél azt tapasztaljuk, hogy az időegységekét bekövetkezett változás, övekedés vagy csökkeés abszolút értelembe közel álladó, a változás egyeletes, az alapiráyzat értékeit lieáris treddel határozzuk meg. Lieáris tredfüggvéy: ŷt = b0 + b1t 32

33 A paraméterek meghatározása Ha az idősor tredje lieáris, akkor az abszolút "övekméyek"..1 illetve b1 körül igadozak, így egy adott idősorra ézve a lieáris tred számítását akkor tekithetjük idokoltak, ha a tapasztalati idősor dt külöbözetei véletleszerűe igadozak egy átlagos érték körül, időbe sem övekvő, sem csökkeő tedeciát em mutatak. i1 b i1 t 0 1 i1 i1 y ty t b 0 b t b 1 t i1 t 2 ormálegyeletek segítségével törtéik. 33

34 A paraméterek meghatározása Ha a t értékeket a Ƹt=0 követelméyek eleget tevő módo választjuk meg, akkor y t b 0 és ty t = b 1 t t=1 Amiből midkét paraméter becslésére közvetle képlet adódik: b0 = y t b1 = t=1 t=1 t=1 t y t 2 t t=1 t=1 2 34

35 A paraméterek értelmezése A b0 paraméter az alapiráyzat értéke a t=0-val jelölt időpotba. - Ha t=1, 2,,, akkor a vizsgálatba bevot időpotot megelőző időpot tred szeriti értéke. - Ha t=0 és páratla az időpotok száma: a középső időpot alapiráyzata, és egybe a vizsgált idősor adataiak számtai átlaga. - Ha t=0 és páros az időpotok száma, ics 0-val jelölt időpot, a b0 paraméter az idősor adataiak számtai átlaga. A b1 paraméter az időegységekéti átlagos abszolút változás mértéke, előjelétől függőe övekedést vagy csökkeést jelez a vizsgálatba bevot időtartam alatt. Ha t=0 és az időpotok száma páros, akkor 2b 1 az időegységekéti átlagos abszolút változás mértéke. Jeletését tekitve a lieáris tredfüggvéy b 1 paraméter megegyezik az időbeli változás átlagos mértékével, azaz a mutatószámmal. 35

36 Év Negyedév Termelt meyiség I II 6 III 8 IV 7 I II 12 III 14 IV 15 I II 18 III 20 IV 22 Mitafeladat - Kis Kft. által előállított izzó meyisége között egyedéves botásba, ezer db 36

37 Év Összese Mitafeladat megoldása Negyedé v y t t t 2 ty ŷ t (y-ŷ) 2 I ,874 0,016 II ,503 0,247 III ,132 0,753 IV ,761 3,101 I ,390 0,152 II ,019 0,000 III ,648 0,124 IV ,277 0,077 I ,906 1,197 II ,535 0,286 III ,164 0,027 IV ,793 0, ,002 6,023 37

38 Év Negyedév y t t t 2 ty ŷ t (y-ŷ) 2 Összese ,002 6,023 Normálegyeletek a t=1, 2,, számítással: 154=12b 0 +78b =78b b 1 Az egyeletredszer megoldásával kapott paraméterek: b 0 =2,245 b 1 =1,629 Tredegyelet: ŷ=2,245+1,629*t 38

39 Relatív reziduális szórás Megmutatja, hogy a lieáris treddel becsült érték a valós értéktől átlagosa meyivel tér el. A mutató által eldöthető, hogy a vizsgált idősor milye tredfüggvéyel írható le a legjobba. Jele: V e 39

40 Gazdaságtudomáyi. Kar Relatív reziduális szórás kiszámítása a mitapélda alapjá Reziduális szóráségyzet meghatározása Az a függvéy illeszkedik jobba, ahol ez a szóráségyzet kisebb. 2 6,023 s 0,502. e 12 Relatív szórás mutatószáma: V e s 2 e t 1 y 0,709 12,833 t yˆ t Tehát a Kis Kft. által előállított izzó meyiségéek lieáris treddel becsült értéktől a valós értékek átlagosa 5,5%-kal térek el. 2 0,055 t 1 e 2 i 40

41 Expoeciális tred Ha a vizsgált jeleség egyik időszakról a másik időszakra megközelítőleg midig ugyaayiszorosára, azoos százalékkal ő vagy csökke, azaz az időegységekéti relatív változás igadozik egy álladó körül, a tartós iráyzatot expoeciális treddel fejezzük ki. Az expoeciális tredfüggvéy általáos alakja: t Yt 0 * 1 41

42 Expoeciális tred Az expoeciális függvéy pozitív β0 eseté logaritmikus traszformációval lieáris alakra hozható, a paraméterek meghatározása visszavezethető a lieáris függvéyre (a logaritmus alapja tetszőleges lehet): log Yt log 0 t log 1 A t=1,2,, időpotba mért y 1,,y adatokból a legkisebb égyzetek módszerével meghatározhatjuk (új jelölések bevezetésével) az yˆ t a expoeciális tredfüggvéyt. Itt az a β 0, a b pedig a β 1 értékéek egy realizálódott idősor alapjá törtét becslése b t 42

43 Expoeciális tred Ha a időszakokat folyamatosa sorszámozzuk, akkor a paraméterek kiszámítását lehetővé tevő ormálegyeletek: log y = b b t t=1 t 0 1 t=1 t=1 t log y = b t + b t t 0 1 t=1 t=1 2 43

44 Paraméterek meghatározása Ha Ƹt=0, akkor a következő közvetle képletek adódak. b0 = t=1 log y t b1 = t=1 t log y t=1 t 2 t 44

45 Paraméterek értelmezése A b 0 paraméter a jeleség alapiráyzat szeriti értéke a t=0-val jelölt időpotba. Ha t=0, és ics 0-val jelölt időpot, a b 0 paraméter az idősor adataiak mértai átlaga. A b 1 paraméter az időegységekéti átlagos relatív változás mutatószáma. Jelzi, hogy a vizsgált időszak alatt a jeleség értéke időegységekét átlagosa háyszorosára, háy %-ra (100b 1 ) vagy háy %-kal (100b 1-100, ha övekedés, b 1, ha csökkeés) változott. 45

46 Mitafeladat - Nagy Bak Nyrt.-től hitelt felvevők száma között egyedéves botásba, ezer fő Év Negyedév Hitelt felvevők száma I 80 II 90 III 130 IV I 180 II 230 III 280 IV 340 I 400 II 650 III 700 IV

47 Mitafeladat megoldása Mitafeladat megoldása - Mukatábla Év Negyedév y t t t 2 logy t*logy ŷ t (y-ŷ) 2 I ,903 1,903 77,976 4, II ,954 3,908 96,900 47,615 III ,114 6, ,418 91,812 IV ,190 8, ,644 28,691 I ,255 11, ,962 35, II ,362 14, ,095 1,199 III ,447 17, ,182 51,580 IV ,531 20, , ,966 I ,602 23, , , II ,813 28, , ,801 III ,845 31, , ,244 IV ,914 34, , ,180 Összese , , , ,630 47

48 Év Negyedév y t t t 2 logy t*logy ŷ t Összese , , ,694 Normálegyeletek a t=1, 2,, számítással: 28,931=12b 0 +78b 1 201,553=78b b 1 Az egyeletredszer megoldásával kapott paraméterek: b 1, a 62,747 b 0 1 0,09437 b 1,2427 Tredegyelet: ŷ=62,747*1,2427 t a paraméter: IV. egyedévébe az alapiráyzat szeriti létszám 62,747 ezer fő volt. A b paraméter értéke 1,2427, azaz a Nagy Bak Nyrt.-től hitelt felvevők létszáma között egyedévekét átlagosa 1,2427-szeresére, azaz 24,27%-kal övekedett. 48

49 Relatív reziduális szórás kiszámítása a mitapélda alapjá Reziduális szóráségyzet meghatározása s 2 e Az a függvéy illeszkedik jobba, ahol ez a szóráségyzet kisebb. 2 s e Relatív szórás mutatószáma: t 1 y t yˆ t , t 1 33,427 V 0,0989, e 2 i 1117,386 e Tehát a hitelt 337,917 felvevők számáak expoeciális treddel becsült értéktől a valós értékek átlagosa 9,89%-kal térek el. 49

50 Köszööm a figyelmet! stcsera@ui-miskolc.hu 50