Az idősorok összetevői Trendszámítás Szezonalitás Prognosztika ZH

Átírás

1

2 Idősorok Idősor Statisztikai szempontból: az egyes időpontokhoz rendelt valószínűségi változók összessége. Speciális sztochasztikus kapcsolat; a magyarázóváltozó az idő Determinisztikus idősorelemzés esetén az idősort az alábbiak határozzák meg: Tartósan érvényesülő tendencia (trend) Tartósan ható, szabályos hullámmozgás/szezonalitás Véletlen okozta eseti-egyedi eltérés Sztochasztikus idősorelemzés esetén a sor sztochasztikus folyamat mely függ a korábbi állapottól a véletlen hatásoktól. A hiba a jelenség fő mozgatója. Itt: determinisztikus idősorelemzés.

6 A determinisztikus idősorok összetevői Alapirányzat, v. Trend Hosszabb időszakon át tartósan érvényesülő tendencia. Pl demográfiai változások, műszaki fejlődés. Periodikus ingadozás Szezonális, idényszerű hullámzás, periodikus ingadozás, ha a trendtől való eltérés periodicitást mutat. Legtöbbször az évszakok változásának következménye. A periódusok hossza változó is lehet, pl gazdasági ciklusok esetén. Véletlenszerű ingadozás Sok, önmagában nem jelentős tényező együttes hatása.

9 A determinisztikus idősorok összetevői: Példa A jégkrémek iránti kereslet összetevői: Trend Növekvő trend az életszínvonal növekedésének megfelelően (recesszió? borul az egész) Ciklus A meleg hónapokban nagyobb a fogyasztás. Véletlen A fogyasztás függ a hőmérséklettől, mely nem követi determinisztikusan az évszakok változását.

12 Komponensek elkülönítése Az idősorok elemzésének fő feladata a komponensek elkülönítése. A kapcsolat lehet: Additív (összegszerű) Multiplikatív (szorzatszerű) Egyéb...

13 Additív komponensek Additív kapcsolat Az idősor adatai összegként adódnak: η ij = Y ij + s j + v ij Y ij s j v ij i a periódus sorszáma (pl év) j a perióduson belüli időszak sorszáma (pl hónap) az i-edik periódus j-edik adata bármely periódus j-edik szakaszában megfigyelhető szezonális ingadozás a véletlen hatás i, j-ben. Egyszerűbben (t = (i 1)m + j): η t = Y t + s t + v t

14 Additív komponensek Additív kapcsolat Az idősor adatai összegként adódnak: η ij = Y ij + s j + v ij Y ij s j v ij i a periódus sorszáma (pl év) j a perióduson belüli időszak sorszáma (pl hónap) az i-edik periódus j-edik adata bármely periódus j-edik szakaszában megfigyelhető szezonális ingadozás a véletlen hatás i, j-ben. Egyszerűbben (t = (i 1)m + j): η t = Y t + s t + v t

15 Additív komponensek tulajdonságai η t = Y t + s t + v t Perióduson belül a szezonális eltérések kiegyenĺıtik egymást. m t=1 s t = 0 A véletlen komponens várható értéke 0: M(v t ) = 0

16 Additív komponensek tulajdonságai η t = Y t + s t + v t Perióduson belül a szezonális eltérések kiegyenĺıtik egymást. m t=1 s t = 0 A véletlen komponens várható értéke 0: M(v t ) = 0

17 Multiplikatív komponensek Multiplikatív kapcsolat Az idősor adatai szorzatként adódnak: η ij = Y ij s j v ij s j v ij bármely periódus j-edik szakaszában megfigyelhető multiplikatív szezonális ingadozás a multiplikatív véletlen hatás i, j-ben. A szezonális ingadozás és a hiba relatív. log η ij = log Y ij + log s j + log v ij Ebből: m t=1 log s t = 0 (azaz m t=1 s t = 1) és M(log v t ) = 0

20 Trendszámítás mozgóátlagolással Trendszámítás Az idősor fő komponensének, az alapirányzatnak a kimutatása. A cél az idősor kiegyenesítése, kisimítása. Additív kapcsolat esetén l+m t=l+1 M(η t ) = l+m t=l+1 Y t + l+m t=l+1 s t + l+m t=l+1 M(v t ) = l+m t=l+1 Y t m (vagy p m) tag összegének várható értékében sem a véletlen, sem a szezonális tag nem szerepel.

23 Mozgóátlagok számítása ö = η 1 +η + η 3 ŷ = ö 3 ö 3 = η +η 3 +η 4 ŷ 3 = ö ö n 1 = η n +η n 1 +η n ŷ n 1 = ön 1 3 Egymást követő k elemből álló csoportok átlagát képezzük és a középső elemhez rendeljük. Pl: ȳ l+ k+1 = 1 l+k k t=l+1 η t Ha k páratlan ŷ l+ k+1 Ha k páros l + k+1 = ȳ l+ k+1 igazítjuk, v. centírozzuk: ŷ l+ k nem egész. A mozgóátlagot középre = ȳl+ k+1 +ȳ l+1+ k+1

26 Mozgóátlag választása Milyen tagszámmal átlagoljunk? A tagszám a periódusok hosszának többszöröse! (k = p m) Nagyobb tagszám rövidebb idősor marad Nagyobb tagszám a véletlen ingadozások szórása kisebb.

29 Analitikus trendszámítás Analitikus trendszámítás Ha a trendet vmilyen regressziós függvénnyel határozzuk meg. A regressziószámítás speciális esete. A minta nem ismételhető! Lehet lineáris exponenciális parabolikus trendfüggvény

30 Lineáris trendfüggvény a tényleges trendfüggvény: Y t = β 0 + β 1 t mintából: η t = β 0 + β 1 t + v t konkrét mintából becsülve: ŷ t = b 0 + b 1 t Ebből a normálegyenletek: ha t = 0, egyszerűsödik: yt = b 0 n + b 1 t tyt = b 0 t + b1 t yt = b 0 n tyt = b 1 t Ebből: b 0 = yt n, b 1 = tyt t

33 Lineáris trendfüggvény: tulajdonságok Normalizált vs. nem normalizált időskála? Azonos b 1, más b 0 (hiszen másutt van a 0) Normalizált időskála esetén b 0 az átlagos értéket jelöli. Szezonalitás? Ha n = pm, itt nem jelentkezik. A reziduális szórásnégyzet se = e t n való eltérésének négyzetes közepe. az idősorértékek trendtől

38 Exponenciális trend Időegységenkénti relatív változás esetén. Y t = β 0 β t 1 azaz log Y t = log β 0 + t log β 1 A függvényértékek logaritmusa és az időegységek között lineáris összefüggés van. Meghatározzuk a lineáris trendfüggvényt log Y t -re.

39 Exponenciális trend Időegységenkénti relatív változás esetén. Y t = β 0 β t 1 azaz log Y t = log β 0 + t log β 1 A függvényértékek logaritmusa és az időegységek között lineáris összefüggés van. Meghatározzuk a lineáris trendfüggvényt log Y t -re.

40 Exponenciális trend t = 0 esetén: log b 0 = log yt, log b 1 = n t log yt t b 0 a t = 0-hoz tartozó trendérték, vagy az idősor adatainak mértani átlaga. b 1 az időegységnyi átlagos relatív változás, azaz rokona az időbeli változás átlagos ütemének ( l), mely azonban csak a két végpont alapján kerül kiszámításra.

41 Exponenciális trend t = 0 esetén: log b 0 = log yt, log b 1 = n t log yt t b 0 a t = 0-hoz tartozó trendérték, vagy az idősor adatainak mértani átlaga. b 1 az időegységnyi átlagos relatív változás, azaz rokona az időbeli változás átlagos ütemének ( l), mely azonban csak a két végpont alapján kerül kiszámításra.

42 Parabolikus és polinomiális trendfüggvények Ha az adatsorban a változás iránya megváltozik parabolikus trendfüggvényt keresünk: Y t = β 0 + β 1 t + β t Általában: A polinomiális trendfüggvény az időtényező p-edfokú polinomja: Y t = p β i t i Különböző fokszámú polinomok összehasonĺıtásakor a reziduális szórást a szabadságfokkal korrigálva kell használni: i=0 n t=1 (y t ŷ t ) s e = n p 1

43 A szezonalitás vizsgálata A szezonalitás vizsgálata A szezonalitás milyen mértékben illetve arányban téríti el az idősor értékeit a trendtől. Additív modell abszolút eltérés szezonális eltérés Multiplikatív modell relatív eltérés szezonindex

44 Szezonális eltérések számítása Additív lineáris trend esetén: y ij = ŷ ij + s j + v ij Átrendezve kapjuk az egyedi szezonális eltéréseket: y ij ŷ ij = s j + v ij Ebből v ij véletlen tag, várható értéke 0. Hatását több adatból vett számtani átlaggal tompítjuk ( minden évből a novemberi adatra összegzünk ): s j = p i=1 (y ij ŷ ij ) p Szezonális eltérések A szezon értéke mennyivel tér el a trendtől a szezonhatás következtében.

45 Szezonális eltérések számítása. Ha a trendet nem lineáris függvénnyel számítjuk ki: előfordulhat, hogy m s j 0 j=1 A korrigált szezonális eltérések: s j = s j m j=1 s j m.

46 Szezonális eltérések számítása. Ha a trendet nem lineáris függvénnyel számítjuk ki: előfordulhat, hogy m s j 0 j=1 A korrigált szezonális eltérések: s j = s j m j=1 s j m.

47 Szezonindexek számítása Multiplikatív összefüggés és exponenciális trend esetén: y ij = ŷ ij s j v ij Átrendezve kapjuk az egyedi szezonindexeket: y ij = sj vij ŷ ij Minden periódusból vesszük a j-edik szezonindexet, majd képezzük ezek mértani átlagát: p sj = y ij ŷ ij i=1 Szezonindex A szezon értéke a szezonhatás miatt hányszorosa az alapirányzat szerinti értéknek.

48 Szezonindexek számítása. Ha a trendet nem exponenciális függvénnyel írtuk le, előfordulhat, hogy m sj 1 j=1 A korrigált szezonindexek: s j = s j m j=1 s j.

49 Szezonindexek számítása. Ha a trendet nem exponenciális függvénnyel írtuk le, előfordulhat, hogy m sj 1 j=1 A korrigált szezonindexek: s j = s j m j=1 s j.

50 Előrejelzés az eredmények alapján Bizonyos jelenségeket előre szeretnénk megbecsülni Idősorok extrapolációja: A fejlődés átlagos mértéke alapján (lineáris extrapoláció): y n+k = y n + (k 1) d A fejlődés átlagos üteme alapján (exponenciális extrapoláció): y n+k = y (k 1) n l Megbízhatóbb a becslés a trendfüggvénybe való behelyettesítéssel. Az esetleges szezonális ingadozást is figyelembe kell venni.

53 ZH

54