Ökonometria gyakorló feladatok - idősorok elemzése

Átírás

1 Ökonometria gyakorló feladatok - idősorok elemzése május Egy gazdálkodó szervezetben az átlagos készletérték alakulása negyedéves periódusokban mérve a következő: évek negyedévek a.) Készítsen ábrát! Ennek alapján döntse el milyen módon írja föl az idősort (additív vagy multiplikatív módon)! b.) Írja föl a 2007-es és 2008-as évek 4. negyedéveihez tartozó trend értékeit mozgó átlag segítségével! c.) Analitikus trendszámítást alkalmazva arra az eredményre jutottunk, hogy a készletérték alapirányzatát erre az időszakra az y = 272, , 049 t lineáris trend írja le. Értelmezze a fenti függvény paraméterértékeinek jelentését! d.) Jellemezze a szezonális ingadozást, majd értelmezze a 3. negyedévi szezonális hatást! e.) Bontsa föl a 2010-es év 3. negyedévi adatot az összetevőire, és értelmezze az eredményt! f.) Készítsen előrejelzést a forgalom év 2. negyedévi értékére! 2. Egy hipermarket hálózat 1,5 literes palackos üdítőitalok forgalmát (ezer darabos egységben mérve) negyedévenkénti bontásban vizsgálták III. negyedéve és II. negyedéve között. Az alábbi tábla a IV. negyedévre vonatkozó termelési adatokat tartalmazza: Időszak forgalom (ezer darabos egységben) IV. 134, IV. 127, IV. 121, IV. 115, IV. 110,325 Analitikus trendszámítást alkalmazva arra az eredményre jutottunk, hogy a forgalom alapirányzatát erre az időszakra az y = 150, 375 0, t lineáris trend írja le. Multiplikatív modellt feltételezve határozza meg a IV. negyedéveket jellemző szezonális index becslését! 1

2 3. Egy multinacionális nagyvállalat magyarországi sörtermelésének (1000 hl) negyedévenkénti alakulását vizsgálták IV. negyedéve és II. negyedéve között. Az alábbi tábla a IV. negyedévre vonatkozó termelési adatokat tartalmazza: Időszak sörtermelés (1000 hl) számítási részeredmények IV. 179,5 Yt = IV. 170,2 t Yt = 2726, IV. 162,5 t 2 = IV. 154,4 t = IV. 147,1 Lineáris trendfüggvényt feltételezve becsülje meg a trendfüggvény együtthatóit, majd multiplikatív modellt feltételezve határozza meg a IV. negyedéveket jellemző szezonális index becslését! 4. Egy áruház forgalmának alakulása 1995 és 1998 között (millió Ft): évek negyedévek A forgalom alapirányzatát erre az időszakra az ŷ t = 89, 4 + 1, 7 t lineáris trend írja le. Additív modellt feltételezve határozza meg és értelmezze az első negyedévre vonatkozó szezonális eltérést, majd becsülje meg az év első negyedévére, valamint az 1999-es egész évre a forgalom nagyságát! 5. A Standard and Poor 500 tőzsdeindex alakulásának napi idősorát vizsgáljuk. Első lépésként az idősort logaritmáltuk, majd a logaritmált idősorra ADF-tesztet alkalmazunk konstanssal és trenddel (1. lépés). Utána a logaritmált idősort differenciázzuk, és a differenciázott idősort is ADF teszttel vizsgáljuk, de most csak konstanssal végrehajtva a tesztet (2. lépés). Az eredmények a következők: t-statisztika p-érték 1. lépés - ADF teszt -2, Kritikus értékek 1% szig. szint -3, % szig. szint -3, % szig. szint -3, lépés - ADF teszt -38, Kritikus értékek 1% szig. szint -3, % szig. szint -2, % szig. szint -2, Írja fel a fenti tesztek alapjául szolgáló folyamatok általános alakját, a tesztek null- és ellenhipotéziseit, valamint ismertesse következtetéseit a tesztek eredményei alapján! Mit tud mondani a logaritmált idősor stacionaritásáról? 2

3 6. Az alábbi táblázat a lakossági fogyasztás alakulását leíró idősorra készített Dickey-Fuller próba eredményét mutatja. A tesztet konstans és trend használatával végeztük. t-statisztika p-érték ADF teszt -17, ,0000 Kritikus értékek 1% szig. szint -3, % szig. szint -3, % szig. szint -3, Írja fel a fenti teszt alapjául szolgáló folyamat általános alakját, a teszt null- és ellenhipotéziseit, valamint ismertesse következtetését a teszt eredménye alapján! Mit tud mondani a folyamat stacionaritásáról? 7. Az USA dollár-euro váltási árfolyamára az Y t = 1 + 0, 6 Y t 1 0, 45 Y t 2 0, 45 u t 1, t N folyamatot becsültük. A tény és becsült adatok az alábbiak szerint alakultak: Időpont tényadat becsült adat t 1,139 1,133 t 1 1,140 1,134 t 2 1,141 1,136 A modell alapján készítsen statikus előrejelzést a (t + 1)-dik időpontra! 8. A hazai postai csomagforgalom közötti éves bontású Y idősorára az Y t = 2, , 78 Ŷt 1 + 0, 63 ˆε t 1, t = 1,..., 42 ARMA(1, 1) modellt illesztettük. Végezzen statikus előrejelzést a évi csomagforgalomra, ha a évi tényadat és becsült adat rendre 9,4 és 11,2 millió csomag! 9. A hazai postai csomagforgalom közötti éves bontású Y idősorára az Y t = 2 + 0, 8 Ŷt 1 + 0, 7 ˆε t 1, t = 1,..., 43 ARMA(1, 1) modellt illesztettük. Végezzen dinamikus előrejelzést a évi csomagforgalomra, ha a évi tényadat és becsült adat rendre 7 és 8 millió csomag! 10. Tegyük fel, hogy a német márka napi árfolyamának alakulását 1986 és 1995 között az Y t = 0, 05 0, 37 Ŷt 1 0, 97 Ŷt 2 + 0, 36 ˆε t 1 + 0, 98 ˆε t 2 becsült modell írja le. Végezzen dinamikus előrejelzést pénteki árfolyamra, ha az szerdai napra a tényadat és a becsült adat rendre 9,47 és 9,07! 11. Készítsünk ex post (in sample) előrejelzést két periódusra - azaz a (t + 1) és (t + 2) időpontokra - az y t = y t y t u t u t 1 modell alapján, ha y t = 2, 55, y t+1 = 2, 38, y t+2 = 2, 49, majd számítsuk ki az előrejelzés átlagos négyzetes hibáját (MSE) valamint átlagos abszolút százalékos hibáját (MAPE)! 3

4 12. Tekintsük a következő, az Egyesült Államokra vonatkozó, 1963 és 1985 közötti éves megfigyeléseket tartalmazó, legkisebb négyzetes módszerrel becsült regressziós modellt: LH = LG 4.0LR, R 2 = 0.386, n = 23, DW d = 0.794, ( 4.759) (1.873) (1.229) ahol LH az új házépítések számának logaritmusa, LG a GNP logaritmusa, LR pedig a jelzálogkölcsön kamatlábának logaritmusa. A zárójelben lévő értékek a t-statisztikák. a.) Tesztelje a Durbin-Watson statisztika d értéke segítségével az elsőrendű autokorreláció jelenlétét! (Fogalmazza meg a null- és ellenhipotézist, írja fel a tesztstatisztika eloszlásának kritikus értékeit, és ismertesse döntését.) b.) Írja le lépésről lépésre, hogy hogyan alkalmazná elsőrendű-, illetve másodrendű autokorreláció jelenlétének tesztelésére a Breusch-Godfrey-tesztet! Válasza a modellre vonatkozzon! 13. Egy bizonyos sörmárka eladási adatait elemezzük havi bontásban, 2010 első és 2014 utolsó hónapja közt. Összesen 52 megfigyelés áll rendelkezésünkre. a.) Az alábbi grafikon az adatok idősorát, valamint a hosszú távú viselkedésüket leíró trendfüggvényt mutatják. Döntse el, hogy additív vagy multiplikatív modellt használna-e az idősor modellezésére! Válaszát indokolja! b.) Az alábbi két grafikon az eredeti adatsor korrelogramját és periodogramját ábrázolja. A periodogramhoz tartozó eredmények első néhány sora az alábbi táblázatban olvashatók: 4

5 Periodogram - beer sales - 52 obs. frequency periods spectral dens e e e e e e+05 Milyen következtetéseket vonhatunk le az idősorról az ábrák és az adatok alapján? c.) Az alábbi táblázat az idősorra futtatott ADF teszt eredményét foglalja össze. Milyen következtetést vonhatunk le a futási eredményből? Augmented Dickey-Fuller test for beer_sales testing down from 10 lags, criterion AIC sample size 45 unit-root null hypothesis: a = 1 with constant and trend including 6 lags of (1-L)beer_sales model: (1 L)y = b 0 + b 1 t + (a 1) y( 1) e estimated value of (a - 1): test statistic: τ = asymptotic p-value 8.326e-11 1st-order autocorrelation coeff. for e: lagged differences: F(6, 36) = [0.0000] d.) Legyenek { 1, ha az i. hónapban vagyunk D i = 0, egyébként i = 1,..., 12 a hónapoknak megfelelő dummy változók. A dummy változók segítségével az alábbi regressziót becsültük a trendtől megtisztított adatokra: Model: OLS, using observations 2010: :04 (T = 52) Dependent variable: detrended Coefficient Std. Error t-ratio p-value dm dm dm dm dm dm dm dm dm dm dm dm

6 Sum squared resid 2.58e+08 S.E. of regression R Adjusted R F (11, 40) P-value(F ) 5.77e 07 Milyen információkat lehet leolvasni a fenti táblázatból? Miért nem tartalmaz a fenti OLS becslés konstans tagot? e.) Az alábbi táblázat a trendtől és szezonális komponenstől megtisztított idősor ADF tesztjét mutatja. Milyen következtetést lehet leolvasni az adatokból? Augmented Dickey-Fuller test for X t testing down from 10 lags, criterion AIC sample size 45 unit-root null hypothesis: a = 1 test without constant including 6 lags of (1 L)X t model: (1 L)y = (a 1) y( 1) e estimated value of (a 1): test statistic: τ = asymptotic p-value 1.283e-07 1st-order autocorrelation coeff. for e: lagged differences: F(6, 38) = [0.0207] f.) Az eredeti idősort a fenti eredmények függvényében determinisztikus trend és szezonális komponensek segítségével modelleztük. Az eredmények az alábbiak: Model: OLS, using observations 2010: :04 (T = 52) Dependent variable: beer_sales Coefficient Std. Error t-ratio p-value const time dm dm dm dm dm dm dm dm dm dm dm Sum squared resid 2.58e+08 S.E. of regression R Adjusted R F (12, 39) P-value(F ) 1.15e 08 Log-likelihood Akaike criterion Schwarz criterion Hannan Quinn ˆρ Durbin Watson

7 Az adatokra a Breusch-Godfrey teszt statisztikájának számított értéke egy késleltetés esetén (T 1)R 2 2 = = A teszt kritikus értéke χ 2 (1) = Milyen következtetést vonhatunk le a fenti adatokból? g.) Utolsó lépésként a Gretl segítségével felépítettük az idősor teljes becsült modelljét. A futási eredmények az alábbiak: Model: ARMAX, using observations 2010: :04 (T = 52) Dependent variable: beer_sales Coefficient Std. Error z p-value const φ time dm dm dm dm dm dm dm dm dm dm dm Log-likelihood Akaike criterion Schwarz criterion Hannan Quinn AR Real Imaginary Modulus Frequency Root Írja fel a teljes modellt, és értelmezze a paraméterek becsült értékeit! h.) A fenti modell segítségével in sample előrejelzést készítettünk a modell eredményességének vizsgálata érdekében. Az alábbi grafion és futási eredmények segítségével jellemezze a becsült modell eredményességét! 7

8 Forecast evaluation statistics Mean Error Mean Squared Error Root Mean Squared Error Mean Absolute Error Mean Percentage Error Mean Absolute Percentage Error Egy bizonyos férfi ruhamárka eladási adatait elemezzük havi bontásban, 1999 januárja és 2008 decembere közt. Összesen 120 megfigyelés áll rendelkezésünkre. a.) Az alábbi grafikon az adatok idősorát, valamint a hosszú távú viselkedésüket leíró trendfüggvényt mutatják. Döntse el, hogy additív vagy multiplikatív modellt használna-e az idősor modellezésére! Válaszát indokolja! b.) Az alábbi két grafikon az eredeti adatsor korrelogramját és periodogramját ábrázolja. A periodogramhoz tartozó eredmények első néhány sora az alábbi táblázatban olvashatók: 8

9 Periodogram - ruha men obs. frequency periods spectral dens e e e e e+05 Milyen következtetéseket vonhatunk le az idősorról az ábrák és az adatok alapján? c.) Az alábbi táblázat az idősorra futtatott ADF teszt eredményét foglalja össze. Milyen következtetést vonhatunk le a futási eredményből? Augmented Dickey-Fuller test for men testing down from 10 lags, criterion AIC sample size 111 unit-root null hypothesis: a = 1 with constant and trend including 8 lags of (1-L)men model: (1 L)y = b 0 + b 1 t + (a 1)y( 1) e estimated value of (a - 1): test statistic: τ = asymptotic p-value 4.615e-07 1st-order autocorrelation coeff. for e: lagged differences: F(8, 100) = [0.0103] d.) A trend és szezonális komponens becslése és eltávolítása után maradt reziduális idősor ADF tesztjének eredménye az alábbi: Augmented Dickey-Fuller test for random testing down from 10 lags, criterion AIC sample size 119 unit-root null hypothesis: a = 1 test with constant including 0 lags of (1-L)random model: (1 L)y = b 0 + (a 1)y( 1) + e estimated value of (a - 1): test statistic: τ = p-value 7.775e-15 1st-order autocorrelation coeff. for e: Milyen következtetést vonhatunk le a futási eredményből? e.) A reziduálisok idősorára számított Durbin-Watson statisztika eredménye d = A teszt kritikus értékei: d L = 1.47 és d U = A reziduálisok idősorára számított Breusch-Godfrey teszt statisztikájának számított értéke egy késleltetés esetén (T 1)R 2 2 = 9

10 = A teszt kritikus értéke χ 2 (1) = Milyen következtetést vonhatunk le ezen eredményekből? 15. A Ramanathan könyv DATA10-3 adatbázisa havi adatokat tartalmaz a német márka-amerikai dollár átváltási árfolyamára vonatkozóan (157 megfigyelés). a.) Az alábbi ábrákon az idősor grafikonja, valamint periodogram függvénye látható. Milyen következtetések vonhatók le ezekről? b.) Az alábbi táblázat az adatokra futtatott különböző ADF tesztek eredményeit tartalmazza. Melyik tesztet alkalmaztuk helyesen a folyamatra, és hogyan értelmezi ennek eredményét? test with constant test statistic: τ = asymptotic p-value Augmented Dickey-Fuller test for exchrate testing down from 10 lags, criterion AIC sample size 155, unit-root null hypothesis: a = 1 with constant and trend test statistic: τ = asymptotic p-value with constant, linear and quadratic trend test statistic: τ = asymptotic p-value c.) Az első differencia-sorozatra alkalmazott ADF teszt eredménye során egy regressziós becslést is kapunk a Gretl által. A kapott eredmények az alábbiak: Augmented Dickey-Fuller test for d_exchrate testing down from 10 lags, criterion AIC sample size 155 unit-root null hypothesis: a = 1 test without constant including 0 lags of (1-L)d_exchrate model: (1 L)y = (a 1) y( 1) + e estimated value of (a - 1): test statistic: τ = p-value 4.713e-34 10

11 Dickey-Fuller regression OLS, using observations 1973: :01 (T = 155) Dependent variable: d_d_exchrate coefficient std. error t-ratio p-value d_exchrate_ e-34 A regressziós eredmények alapján írja fel a kapott modellt mind a differencia-folyamatok, mind az eredeti exchrate folyamat esetére! d.) Az előző pontban felállított modell segítségével in sample előrejelzést készítettünk az idősorra. Az előrejelzés értékelésére szolgáló mutatók értékei az alábbiak: Forecast evaluation statistics Mean Error Root Mean Squared Error Mean Absolute Error Mean Percentage Error Mean Absolute Percentage Error Ezen eredmények segítségével jellemezze a becsült modell eredményességét! 11

12 Megoldások, végeredmények 1. a.) Pozitív trend mentén a szezonális hullámzás amplitudója állandónak tekinthető, ezért célszerű additív modellt alkalmazni. b.) IV. : cma(4) = = IV. : cma(4) = = c.) a tengelymetszet, innen indul az idősor trendje 2007 első negyedévében, és minden negyedévben egységgel nő a készletérték átlagos trendje. d.) Először meg kell tisztítani a trendtől az adatokat, ami additív modell esetén azt jelenti, hogy az eredeti megfigyelésekből ki kell vonni a trend becsült értékeit. Az eredmények: e.) évek negyedévek Innen a harmadik negyedévi szezonális hatás becslése: = Ennyivel térnek el átlagos a trendtől a harmadik negyedévi adatok. 338 = } {{ } + ( ) +e }{{} t = e t trend szezon f.) második negyedéves adat előrejelzése: = A becsült trend értékei a megadott egyelet alapján: , , , , A trendtől megtisztított adatok (Y/T ): 0.905, 0.876, 0.854, 0.829, Innen a szezonbecslés átlagolással adódik: A trend becslése a kétváltozós regresszió speciális esete. 19 adatunk van, ahol a t = 0 azt jelenti, hogy a t = 0 érték az idősor középső, 10. adatához van rendelve, azaz az időtartományunk most t = 9,..., 9. A paraméterbecslések: β = α = Y β t = Y = = 211 t Yt = = t Multiplikatív modellt használva az eredeti adatok, a becsült trend, valamint a trendtől megtisztított adatok (Y/T): 12

13 Időszak sörtermelés (1000 hl) trend trendmentes adat IV. 179, IV. 170, IV. 162, IV. 154, IV. 147, Innen a szezonális index becslése a fenti adatok átlagolásával A becsült trend (a feladatban megadott egyenletet használva), a trendmentes adat, és az 1999-es év trendbecslése: évek trend trendmentes adat szezonális eltérések becslése Az 1999-es év első negyedévének becslése: = 92. A teljes 1999-es év becslése a négy negyedév becsléseinek összegéből adódik, azaz ( )+( )+( )+( ) = = teszt: a konstanssal és trenddel végzett teszt feltételezése az, hogy a logaritmált idősor (y t ) lineáris trend mentén mozog, azaz általános alakja: y t = ρ + λt + αy t 1 + m a s y t s + ε t A teszt nullhipotézise az, hogy a logaritmált idősor (y t ) egységgyököt tartalmaz, azaz ρ = 1, ellenhipotézise pedig nyilván az, hogy nem tartalmaz a fenti folyamat egységgyököt. Mivel a p-érték magas (0.451), így a nullhipotézist elfogadjuk, a folyamat tehát egységgyökös. 2. teszt: a csak konstanssal végzett teszt feltételezése az, hogy a logaritmált idősor első differenciázottja ( y t ) konstans mentén fluktuál, nincs már benne trend, azaz általános alakja: y t = ρ + α y t 1 + s=1 m a s 2 y t s + ε t A teszt nullhipotézise az, hogy a logaritmált idősor első differenciázottja ( y t ) egységgyököt tartalmaz, azaz ρ = 1, ellenhipotézise pedig nyilván az, hogy nem tartalmaz a fenti folyamat egységgyököt. Mivel a p-érték alacsony (0.0000), így a nullhipotézist elutasítjuk, a folyamat tehát már stacionáriusnak tekinthető. s=1 13

14 6. A konstanssal és trenddel végzett teszt feltételezése az, hogy az idősor (y t ) lineáris trend mentén mozog, azaz általános alakja: y t = ρ + λt + αy t 1 + m a s y t s + ε t A teszt nullhipotézise az, hogy az idősor (y t ) egységgyököt tartalmaz, azaz ρ = 1, ellenhipotézise pedig nyilván az, hogy nem tartalmaz a fenti folyamat egységgyököt. Mivel a p-érték alacsony (0.0000), így a nullhipotézist elutasítjuk, a folyamat tehát nem egységgyökös, a benne lévő trend determinisztikus trend, azaz trendstacionárius folyamatunk van. A trend determinisztikus módon történő eltávolítása után várhatóan stacionárius folyamatunk marad (a szezonhatástól eltekintve). s= ŷ t+1 t = ( ) = ŷ t+1 t = ( ) = ŷ t+1 t = (7 8) = 6.9 ŷ t+2 t = = A csütörtöki napra vonatkozó becslés: ŷ t+1 t = ( ) = A pénteki napra vonatkozó becslés: ŷ t+2 t = ( ) = ŷ t+1 t = = ŷ t+2 t = = Az előrejelzés átlagos négyzetes hibája: MSE = 0.5 [( ) 2 + ( ) 2 ] =... Az előrejelzés átlagos abszolút százalékos hibája: [ MAP E = ] = a.) H 0 : ρ = 0, azaz a reziduumok folyamata fehérzaj, míg H 1 : a reziduumok elsőrendben autokorreláltak, azaz e t = ρe t 1 + u t, ρ 0. A Gretl segítségével kikereshetőek a kritikus értékek. Ez 23 adat esetén d L = és d U = A számított statisztika értéke meg van adva a feladatban: d = 0.794, ami kisebb, mint d L, azaz H 0 elutasítva, a reziduumok sorozata elsőrendben autokorrelált. b.) Ld. az előadás anyagban. 14

15 13. a.) A grafion alapján elsősorban additív modellt javaslunk, mert a ciklusok amplitudója a trend növekedésével nem változnak. b.) Mindkettő ciklicitást mutat az idősorban. A periodogram alapján a ciklus 12 lépéses, azaz éves periódusunk van. Ez persze látszott is az idősor grafikonján szabad szemmel is, ezt a tényt igazolja a periodogram. c.) Az idősor determinisztikus trendet tartalmaz. (Nem egységgyök folyamat, mert a teszt nullhipotézisét elutasítottuk.) d.) A dummy változók a szezonalitás kezelésére szolgálnak. A bevezetett dummy változók segítségével modellünk az alábbi alakú lesz: beer_sales t = α + βt + γ }{{} 1 D 1,t γ 12 D 12,t +X }{{} t trend ciklikus komponens A ciklikus komponens 12 tagja a 12 hónap egy-egy ún. azonosító változója. Pl. januári adat esetén D 1 = 1, a többi dummy értéke nulla, így γ 1 becsült értéke a januári szezonális kompnens becslését jelenti. Azaz γ 1 = azt jelenti, hogy a januári hónapokban az eladások ennyivel térnek el átlagosan a trend értékétől. Minden egyes γ i ezt a szezonális becslést jelöli az adott i. hónapra. Konstans azért nem kellett az OLS becslésbe, mert trendmentes adatra futtattuk a becslést, ezért speciálisan a konstans biztosan nulla, és csak így kaphattuk meg mind a 12 hónap szezonális eltérésének becslését. Ha az eredeti idősorra (beersales) akarunk egyszerre (azaz egyetlen lépésben) determinisztikus trendet és szezonális eltéréseket is becsülni, akkor már a trenden keresztül tartalmaz a modell konstans tagot, így a szezonális dummyk közül csak 11-et vehetünk be a modellbe a dummy változó csapda elkerülése végett. Hogy melyik 11- et, azaz melyik (kimaradó) hónap legyen a kontroll hónap, tetszőleges, bármelyik hónap választható erre a szerepre. e.) A tisztított adatsor már stacionáriusnak tekinthető. f.) A regresszió eredményeképpen megjelent a táblázat alján a Durbin-Watson statisztika számított értéke. Ez a trendtől és szezonális komponensetől megtisztított reziduális idősor fehérzaj voltát teszteli. Ugyanezt teszteli a feladatrész második felében megadott Breusch-Godfrey teszt is. A DW teszt eredményének értelmezéséhez szükségünk van a statisztika kritikus értékeire. Ezeket a Gretl segítségével kikereshetjük: d L = és d U = Mivel d = < d L, így a teszt ellenhipotézise áll fenn, azaz a reziduális idősor nem fehérzaj, legalább elsőrendben autokorrelált. Ezt az állítást támasztja alá a Breusch-Godfrey próba eredménye, ahol ugyancsak azt kapjuk, hogy a számított statisztika értéke nagyobb, mint a próba kritikus értéke , azaz elutasítjuk a nullhipotézist, tehát a reziduálisok elsőrendben autokorreláltak. g.) ahol beer_sales t = α + βt + γ }{{} 1 D 1,t γ 12 D 12,t +X }{{} t, trend ciklikus komponens X t = φ 1 X t 1 + ε t. A becsült értékek behelyettesítését és értelmezését az olvasóra bízzuk. 15

16 h.) A becslés szépen követi a trend és a szezonalitás által adott jellegét az idősornak. Az autoregressziós rész felel a fluktuációkért, ez is látható a grafikonon. A táblázat eredményei alapján azt mondhatjuk, hogy a becslés jól sikerült, hiszen pl. a MAPE (mean absolute percentage error) 6.7%-os információvesztést becsül, ami jónak mondható ilyen kevés rendelkezésre álló adat esetén. A négyzetes és abszolút hiba nagységrendje 10% körüli, ez is elfogadható. 14. a.) A grafion alapján elsősorban multiplikatív modellt javaslunk, mert a ciklusok amplitudója a trend növekedésével növekvő tendenciát mutatnak. b.) Mindkettő ciklicitást mutat az idősorban. A periodogram alapján a ciklus 12 lépéses, azaz éves periódusunk van. c.) Az idősor determinisztikus trendet tartalmaz. (Nem egységgyök folyamat, mert a teszt nullhipotézisét elutasítottuk.) d.) A reziduális idősor stacionáriusnak tekinthető. e.) A DW statisztika számított értéke éppen abba a tartományba esik, ahol nem tudunk dönteni a teszt alapján, így ennek eredménye alapján nem tudunk dönteni a maradékok fehérzaj voltáról. A BG teszt eredménye azonban azt mondja, hogy a reziduálisok fehérzaj folyamatot alkotnak. 15. a.) Nem stacionárius az idősor, mert hosszú távú trend jelenléte látszik az adatokon. A periodogram viszont azt mutatja, hogy nincs az idősorban ciklikus komponens. b.) Az első és a harmadik teszt alkalmazása mellett lehet érvelni. Az első esetén a nem nulla várható érték körüli fluktuációval magyarázható a teszt használata, bár ez az indoklás elég gyenge lábakon áll. A második teszt nem jó, hiszen az idősorban szemmel láthatóan nincs lineáris trend. A harmadik teszt használata a leginkább indokolt, az adatokban jól látható a kvadratikus trend jelenléte. Mind az első, mind a harmadik esetén a magas p-érték azt jelenti, hogy elfogadjuk a nullhipotézist, azaz folyamatunk egységgyököt tartalmaz. c.) Elsőként a második differencia sorozatra vonatkozó modellt tudjuk felírni, mert erről nyilatkozik a regresszió táblázata. Ennek alapján a második differencia sorozat modellje 2 y t = y t y t 1 = 0.7 y t 1 + ε t alakú. Innen az első differencia sorozat modellje y t = 0.3 y t 1 + ε t lakú, ahonnan felhasználva a y t = y t y t 1 összefüggést az y t = 1.3 y t y t 2 + ε t modell adódik az eredeti exchange rate idősorra. d.) A táblázat eredményei alapján azt mondhatjuk, hogy a becslés jól sikerült, hiszen pl. MAPE (mean absolute percentage error) 2.9%-os információvesztést becsül. a 16