Egy anomáliáról. Ehhez tekintsük az 1. ábrát! 1. ábra forrása: [ 1 ]

Átírás

1 1 Egy anomáliáról A bolygómozgás témakörének részletes kifejtése nem könnyű tananyag, így a tankönyvek gyakorta átugorják a nehezebb részeket. Ez rendben is lenne, kezdőknél. Kicsit más a helyzet a haladóbbak, mint pl. a felsőfokú tanulmányokat folytató tanulók esetében. Azonban még a számukra adott tan - és szakkönyvekkel kapcsolatban is adód - hatnak nehézségek, akár anomáliák is. A Wikiszótár szerint az anomália szó jelentése: rendellenesség, a szabályostól eltérő jelenség. Most egy ilyennel foglalkozunk. Ehhez tekintsük az 1. ábrát! 1. ábra forrása: [ 1 ] Az itt közölt ( ) képletben szereplő integrálról azt írják, hogy nem oldható meg zárt alakban. Ennek utánanéztünk és ezt találtuk 2. ábra: 2. ábra forrása: [ 2 ]

2 2 A 2. ábra tanulmányozása után megállapítható, hogy az 1. ábrán mutatott integrál megad - ható zárt alakban, vagyis [ 1 ] idézett állítása kérdéses. Ez gond, mert tankönyvről van szó. Az már egy más kérdés, hogy a szóban forgó primitív függvény eléggé bonyolult, így a vele végzendő számítások nehézkesek lehetnek. Most nézzük, mint mond erről a [ 3 ] mű 3. ábra! 3. ábra forrása: [ 3 ] Továbbra sem értjük: a 3. ábrán a bal oldali integrál kiszámítása zárt és nem végtelen sor alakú összefüggésre vezet. Vagy félreértenénk valamit? Az biztos, hogy az inverz függ - vény előállítása már igencsak macerás lehet, ámde ezzel eddig sem vitatkoztunk. Itt két téma is felvethető: 1.) mihez kezdjünk ma ezekkel a tényekkel; 2.) mihez kezdtek a régiek ezekkel a tényekkel? 1.) - hez: Ma már nem kell feltétlenül a bonyolult primitív függvényt használni az integráláshoz, mert hatékony numerikus módszerek állnak rendelkezésünkre. 2.) - höz: A régi korok tudósai kerülő úton végezték el az integrálást, majd a kapott trigonometriai egyenletet az ún. Kepler ~ egyenletet közelítőleg megoldották. Most ezekről lesz szó. Nem vagyunk csillagászok vagy alkalmazott matematikusok, de talán mondhatunk valami használhatót, amatőrként is. Főleg pár kitűnő könyv alapján.

3 3 A. Az integrál analitikus meghatározása Először gyalog kiszámítjuk az alcímbeli integrál értékét, az alábbi adatokkal: ( a ) Ehhez összerakjuk a 2. ábrán látható primitív függvényeket, majd elvégezzük az alcímbeli integrál kifejezéséből adódó ( b ) helyettesítéseket. Ezzel az integrál függvénye, néhány azonos átalakítás után: ( c ) Látjuk, hogy ez egy zárt alakú kifejezés. Most ( a ) és ( c ) - vel, a behelyettesítések után: ( d ) Azt is látjuk, hogy nem akarnánk a ( c ) függvény inverzének kiszámítását erőltetni, hogy az ettől függő φ( t ) függvényhez, majd ennek birtokában az 1. ábrán jelzett R( t ) függ - vényhez jussunk. Megtehetjük azonban azt nem is nagy munka befektetésével, hogy egy adott e - re elkészítjük a ( c ) függvény grafikonját. Ha ez megvan, akkor grafikusan megvan az inverz függvénye is, lehet vele dolgozni. Most lássuk ezt a grafikont 4. ábra! 4. ábra

4 4 Ez a Graph ingyenes szoftverrel készült. Az ( a ) esetre a grafikonról leolvasott érték megegyezik ( d ) - vel. ( Nagyítva leolvasható.) Az 1. ábra szerinti időfüggvény tehát, ( c ) - vel is, egy konstans szorzóval ellátva azt:. ( e ) Ennek inverze a φ( t ) függvény, amely egy közbenső eredmény a pálya egyenletének meghatározásához. A 4. ábra grafikonjának inverze az 5. ábrán látható. Ez is a Graph szoftverrel készült. 5. ábra Ne feledjük, ebből még hiányzik egy a bolygóra jellemző állandó: k = p 2 / ψ! B. Az integrál numerikus meghatározása Ezt is a Graph - fal végezzük:

5 5 ~ meghatározzuk az integrálandó függvény görbéje alatti terület számértékét, rögzített alsó és felső határok esetében, majd ~ az aló határt nem változtatjuk, a felsőt azonban igen. Ezen a módon elegendő pontossággal nyerhető az integrál értéke, bármely felső határ esetén. A mintapélda a 6. ábrán látható az ( a ) adatok esetére. 6. ábra A határozott integrál számértéke: I ( 0, π ) = 4, Ez is egyezik ( d ) - vel. Eszerint az A.) részben is jól dolgoztunk, hiszen az itteni eredmény független az ottanitól. C. A Kepler ~ egyenlet levezetése és megoldása Most valójában folytatjuk a megkezdett munkát az ( e ) egyenlet átalakításával:. ( e1 ) A szögletes zárójelben lévő első tag átalakításához elvégezzük az alábbi helyettesítést:

6 6 ( e1 1 ) ekkor az első tag így alakul: ( e1 2 ) A szögletes zárójelben lévő második tag átalakítása így alakul: ( e2 1 ) most ( e1 1 ) és ( e2 1 ) alkalmazásával: ( e2 2 ) Majd az utóbbi egyenlet szorzóját alakítjuk át: ( e2 3 ) Ezután ( e2 2 ) és ( e2 3 ) - mal: ( e2 4 ) Most ( e1 ), ( e1 2 ) és ( e2 4 ) gyel: tehát:

7 7 ( f ) Most vizsgáljuk meg, hogy mi a ( e1 1 ) helyettesítés geometriai jelentése és hogy jogos - e. Ehhez tekintsük a 7. ábrát is! 7. ábra forrása: [ 4 ] Az itteni w - nek a korábbi φ szög felel meg. Most [ 4 ] alapján levezetjük az u és w szögek közti kapcsolatot. A 7. ábra szerint: ( g 1 ) másrészt: most ( g 1 ) és ( g 2 ) - vel: Ezután az ellipszis egyenlete: ( g 2 ) ( g 3 ) ( g 4 ) ahol az ellipszis paramétere: ( g 5 )

8 8 Most ( g 3 ) - ból: Majd ( g 4 ) és ( g 6 ) - tal: ( g 6 ) ( g 7 ) Innen: ( g 8 ) figyelembe véve, hogy ( g 5 ) - tel is: ( g 9 ) kapjuk ( g 8 ) és ( g 9 ) felhasználásával, hogy tehát: ( g 10 ) Áttérve a félszögekre: ( g 11 ) tehát: ( g 12 ) Most ( g 10 ), ( g 11 ) és ( g 12 ) szerint: ( g 14 )

9 9 Majd pozitív gyökvonással és w φ miatt: ( g 15 ) A [ 4 ] könyvben megjegyzik, hogy ( g 15 ) - ben a négyzetgyök jele előtt a + jelet kell venni, mert w / 2 és u / 2 mindig egy és ugyanazon szögnegyedben fekszenek. Ott tartunk, hogy beláttuk, miszerint az ( e1 1 ) = ( g 15 ) helyettesítés alkalmazható, amivel a trigonometrikus / transzcendens egyenletek egyszerűbb alakúak lesznek. Most visszatérünk az ( f ) egyenlethez: ( f ) Ehhez felírjuk, hogy az ellipszis féltengely - hosszaira: ( h 1 ) ( h 2 ) majd utóbbiak összeszorzásával: ( h 3 ) Ezután [ 1 ] szerint, ( g 5 ) - tel is : ( h 4 ) Most az ( f ) - ben szereplő szorzótényezőre ( h 3 ) és ( h 4 ) - gyel: ( h 5 ) így ( f ) és ( h 5 ) - ből: ( h 6 ) A ( h 6 ) egyenletet illetve ennek kisebb mértékben módosított változatát nevezik csillagászati Kepler ~ egyenletnek a szakirodalomban. A menet közben talált

10 10 ( i ) mennyiség szögsebesség jellegű. Az elnevezésekkel itt most nem foglalkozunk nem ez a feladat csak megemlítjük, hogy u - t excentrikus anomáliának, w - t pedig valódi ano - máliának nevezik [ 4 ] - ben. Most nézzünk két számpéldát! 1. PÉLDA Legyen a mesterséges hold néhány adata a következő: ~ az ellipszis - pálya numerikus excentricitása: e = 1 / 2; ~ a pályaperiódus: T = 2π ( óra ). Most ( h 6 ) - tal és az adatokkal: ( j ) E t( u ) függvény grafikonja a 8. ábrán látható. 8. ábra Most képezzük a Graph - fal az inverz függvényt ld. 9. ábra!

11 11 2. PÉLDA 9. ábra A Föld néhány pályaadata [ 5 ], egy adott időben : ~ az ellipszis numerikus excentricitása: e = 0, ; ~ a pályaperiódus: T = 365, ( nap ); ~ a közepes pályafrekvencia: n = 2π / T = 0, ( rad / nap ). Most ezen adatokkal és ( h 6 ) - tal: Rendezve: ( j 1 ) ( j 2 ) Ezen függvény grafikonját a 10. ábra szemlélteti. A 10. ábráról látjuk, hogy a t( u ) és eszerint az u( t ) függvény is igen közel áll az egyeneshez. Az [ 5 ] forrás szerint egy fokozatosan közelítő eljárást célszerű alkalmazni a Kepler ~ egyenlet megoldására. Evégett átírjuk ( h 6 ) - ot: ( j 3 )

12 ábra Először egy adott t - re kiszámítjuk M - et. Minthogy ( a Föld esetében ) az e numerikus excentricitás igen kis érték vagyis a Föld pályája csak keveset tér el a körtől, ezért az ( j 4 ) egyenletet átírjuk: 0. közelítés: ezzel és ( j 4 ) - gyel: 1. közelítés: e majd ( j 5 ) és ( j 6 ) - tal: 2. közelítés: ( j 5 ) és ( j 7 ) szerint: ( j 5 ) ( j 6 ) ( j 7 ) ( j 8 ) 3. közelítés: ( j 5 ) és ( j 8 ) szerint:

13 13 ( j 9 ) Az eljárás addig folytatandó, míg u két egymás utáni közelítő értéke már csak egy elha - nyagolható mértékben különbözik egymástól. Ekkor megvan az adott t értékhez tartozó u. Ezután felveszünk egy t = t + Δt időpontot, majd ezzel is végigmegyünk az iterációs folyamaton, amivel kapjuk az u = u + Δu értéket, és így tovább. Így meghatározzuk a teljes pályára az u( t ) kapcsolatot, számszerűen. Ezután pl. ( g 15 ) - ből meghatározzuk minden u - hoz tartozó w - t, ill, φ - t, majd ( g 4 ) - gyel adódik az r = r[w( t )] = r ( t ) kapcsolat, amit kerestünk. Azért mondjuk azt, hogy pl., mert más út is járható, ahogyan azt [ 5 ] - ben is olvashatjuk. Itt már numerikus matematikai szempontok is komoly szerepet kaphat - nak. A 11. ábrán néhány égitestre meghatározták az u E = f [M( t )] ) grafikont. Ezek hasonlítanak a 9. és 10. ábrán látható grafikonjainkra. Ez nem a véletlen műve. 11. ábra English: Kepler's equation solutions, computed numerically for five examples (e is eccentricity): the Earth (e=0.0167) red line Pluto (e=0.249) green line Comet Holmes (e=0.432) blue line 28P/Neujmin (e=0.775) magenta line Halley's Comet (e=0.967) orange line Forrás:

14 14 Megjegyzések: M1. Ezt a dolgozatot egy tankönyvben olvasott mondat indította el. Utánajártunk egy állításnak, melynek eredményeképpen látjuk, hogy ~ a mondott integrál felírható zárt alakban; ~ a szakirodalomban látott elkerülő utas megoldási módok ugyanarra az eredményre vezetnek, mit az itteni ( jórészt saját ) közvetlen megoldás; ~ az új változó bevezetése mintegy adja magát, még akkor is, ha a kisebb helyigényű számítások jobban elterjedtek a szakirodalomban, mint az itteni. M2. Érdemes megemlíteni, hogy komoly megerősítő hatással volt e sorok írójára az a tény, hogy a [ 6 ] könyvben, a műholdak, illetve lövedékek elliptikus pályával kapcsolatos némiképpen más számításai során a szerző elvégezte az emlegetett integrál kiszámítá - sát, a részletek közlése nélkül. Természetesen zárt alakú megoldást kapott 12. ábra. M3. Ha ábrázolni szeretnénk a tömegpont helyzetét az idő függvényében, akkor célszerű lehet néhány átalakítást végezni 13. ábra. ( Itt: φ = w = θ( t ). ) 12. ábra forrása: [ 6 ] 13. ábra forrása: [ 7 ]

15 15 M4. A Kepler ~ egyenlet iterációs megoldásával kapcsolatban még az alábbiak is mond - hatók v.ö.: [ 8 ]! Az átírt Kepler ~ egyenlet alakú. [ 8 ] - ban azt találjuk, hogy ha a keresett gyök környezetében differenciálható és akkor az iteráció egyre jobb közelí - téseken át a gyökre vezet. Esetünkben: Azt is írják, hogy az eljárás annál gyorsabb, minél kisebb akkor, ha minél kisebb az ellipszis e numerikus excentricitása. vagyis esetünkben M5. Érdemes megtekinteni a [ 9 ] forrás animációját, ami segít megérteni a különféle nevű csillagászati anomáliák szerepét. M6. Visszatekintve megállapíthatjuk, hogy e dolgozat igazából arról szól, hogy a Kepler ~ egyenlet közvetlenül hogyan vezethető le az 1. ábrán is olvasható t ( φ ) - kifejezésből. Említettük, hogy vannak más utak is, melyek kényelmesebbek, esetleg elegánsabbak, mint az itt bejárt. Mégis, fontos lehet annak megértése, Hogyan kerül a csizma az asztalra?. Láttuk, hogy a 7. ábra kapcsán részletezett ( e1 1 ) változó - csere / helyettesítés nem valami légből kapott ötlet, hanem a ( c ) képletben mintegy adja magát. Meglehet, az ősök inkább geometriai úton jutottak ( h 6 ) - hoz, mint az itt részletezett trigonometriai átalakításokkal, de a logikai bukfenc, vagy a félrecsúszás elkerülésének a módja mégis csak a közvetlen számítás. Ezt itt ténylegesen el is végeztük. Máshol ezt még nem láttuk. Ez nyilván tájékozatlanságunk újabb bizonyítéka. Vagy nem? M7. Megkockáztatjuk a kijelentést, hogy ma a fejlett, gyors számítógépek és a hatékony szoftverek világában már nincs akkora szükség a Kepler ~ egyenletre. Meglehet, e szép képlet egy adott esetben csak szakmódszertani és fizika -, illetve matematika - történeti jelentőséggel bír. Tudjuk, Kepler törvényei a kéttest - probléma [ 10 ] kapcsán jelen - nek meg, ami esetleg már nem elegendő egy bonyolultabb rendszer mozgástani viszonyai megbízható leírásához. M8. A témának, amibe itt beleütöttük az orrunkat, igen komoly szakirodalma van, világ - híres szerzőktől eredően is. Valószínűleg sosem szedtük volna össze annyira a bátorsá - gunkat, hogy ezt tegyük, ha nem olvassuk [ 1 ] - ben a már említett mondatokat.

16 16 Viszont így egy kicsit elkalandozhattunk szokásos témáinktól, az égi mechanika egy részproblémája ürügyén. M9. Nincs mit tenni: a tankönyvek szerzőinek, de még inkább a bírálóinak meg kellene dolgozniuk a pénzükért. Mert ha e sorok nem - szakember írója hirdet tévtanokat, arra le - gyinthet az olvasó. Ám, ha egy egyetemi tankönyvről van szó, akkor már nagyon más a helyzet. Sajnáljuk, hogy ilyeneket kell mondanunk, de a szakszerűtlenség nem elfogadha - tó. ( Miközben az [ 1 ] könyvet igencsak gyakran forgatjuk, idézzük és ajánljuk másoknak is. ) Tudjuk, hogy a lónak négy lába van M10. Bizony megeshet, hogy szakszerűtlenségek derülnek ki itt is. Ha jól működnek a dolgok, akkor majd valaki felhívja rá figyelmünket. Ha nem, akkor másvalaki félreérthet valamit. Úgy - e ismerős? Nos, ilyen a nem - csillagászati anomália természete. Irodalom: [ 1 ] Szerk.: M. Csizmadia Béla ~ Nándori Ernő: Mechanika mérnököknek Mozgástan Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, [ 2 ] Herausgeber: Eberhard Zeidler: Springer - Taschenbuch der Mathematik Begründet von I. N. Bronstein und K. A. Semendjaew Weitergeführt von G. Grosche, V. Ziegler und D. Ziegler 3. Auflage, Springer Spektrum, [ 3 ] Érdi Bálint: Égi mechanika Nemzeti Tankönyvkiadó, [ 4 ] L. G. Lojcjanszkij ~ A. I. Lurje: Kursz tyeoretyicseszkoj mehanyiki, Tom 2. Gyinamika 6. kiadás, Nauka, Moszkva, [ 5 ] Jörg Meyer: Die Sonnenuhr und ihre Theorie Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main, 2008.

17 17 [ 6 ] S. M. Targ: Theoretical Mechanics. A Short Course Mir Publishers, Moscow, [ 7 ] Howard Curtis: Orbital Mechanics of Engineering Students Elsevier Butterworth - Heinemann, Oxford, [ 8 ] Stachó Tibor: Felsőbb mennyiségtan 2. kiadás, Budapest, [ 9 ] [10] Sződliget, Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár