Sorok és hatváysorok vizsgálata Abel yomá Szakdolgozat Készítette: Vákovics Mária Matematika BSc, Matematikai elemz szakiráy Témavezet : Pfeil Tamás adjuktus Alkalmazott Aalízis és Számításmatematikai Taszék Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Budapest 0
Tartalomjegyzék Bevezetés 4. Niels Herik Abel 5.. Abel élete és mukássága............................ 5.. Abel-díj..................................... 6. Számsorozatok, végtele sorok és hatváysorok 7.. A számsorozat f bb tulajdoságai....................... 7.. A végtele sor f bb tulajdoságai....................... 8.3. A hatváysor f bb tulajdoságai........................ 9 3. Korlátos változású sorozatok 3.. Korlátos változású sorozatok.......................... 3.. Példák em korlátos változású sorozatokra.................. 3 4. Abel és Dirichlet tétele 8 4.. Abel-átredezés, Abel-egyel tleségek.................... 8 4.. Abel és Dirichlet tétele............................. 0 5. Függvéysorozatok és függvéysorok 7 5.. Függvéysorozatok............................... 7 5.. Függvéysorok................................. 30 6. Abel és Dirichlet tétele függvéysorokra 3 6.. Dirichlet tétele................................. 3 6.. Abel tétele.................................... 33
7. Szummábilis sorok és az Abel-szummáció 35 7.. Szummábilis sorok............................... 35 7.. Abel-szummáció................................. 39 Köszöetyilváítás 44 Irodalomjegyzék 45 Nyilatkozat 46 3
Bevezetés A szakdolgozatom témája sorok és hatváysorok. Niels Herik Abel evéhez e terület több tételét kötik, ezek közül dolgoztam fel éháyat. Az els fejezetbe összefoglaltam Abel élettörtéetét. A második fejezetbe felsoroltam azokat a korábbi taulmáyaimból ismert fogalmakat és állításokat, melyeket a szakdolgozatomba felhaszálok. A harmadik fejezetbe deiáltam a korlátos változású sorozat fogalmát, majd összegy jtöttem a rá voatkozó ismert állításokat. Végül példákat mutattam em korlátos változású sorozatokra. Az utolsó példa kapcsá leírtam a váltakozó el jelekkel ellátott harmoikus sor kovergeciájáak elemi bizoyítását. A egyedik fejezetbe az Abel-átredezés utá az Abel-egyel tleség két változatát adtam meg, majd két sorozat szorzatából képzett sorok kovergeciáját vizsgáltam. Bebizoyítottam Abel és Dirichlet tételét, majd példákat mutattam e két tétel alkalmazására. Az ötödik fejezetbe rövide foglalkoztam függvéysorozatok és függvéysorok potokéti illetve egyeletes kovergeciájával. A hatodik fejezetbe ismertettem Abel és Dirichlet végtele sorokra érvéyes tételéek függvéysorokra voatkozó általáosítását. Az utolsó fejezetbe azt vizsgáltam, hogya terjeszthet ki a végtele sor összegéek fogalma. El ször végtele sor szummábilitását, majd az Abel-szummábilitását vizsgáltam. 4
. fejezet Niels Herik Abel.. Abel élete és mukássága Niels Herik Abel 80. augusztus 5-é a orvégiai Fioy szigeté született. Édesapja szegéy protestás pap volt. Abel születését követ e a család lakóhelyet változtatott, Gjerstad parókiájára költöztek. Itt töltötte gyerekkorát, majd 85-be megkezdte taulmáyait az oslói püspöki iskolába. Egyik taára észrevette Abel matematikai tehetségét, ezért addig megfejtetle problémákat adott fel eki megoldásra. Tudása tökéletesítése érdekébe taulmáyozi kezdte agy matematikusok, mit Isaac Newto, Leohard Euler, Joseph-Louis Lagrage és Karl Fridrich Gauss mukáit. 80-ba édesapja meghalt, így a család ayagi helyzete bizoytalaá vált. Taára támogatást szerzett számára, s eek köszöhet e 8-be megkezdhette taulmáyait 5
a Christiaia Egyeteme Oslóba. Ezt követ évbe megszerezte els egyetemi tudomáyos fokozatát. Felismerte, hogy az általáos ötödfokú egyelet algebrailag em oldható meg, s erre voatkozó bizoyítását ki is adta 84-be. Elismerést remélve az értekezést elküldte Gaussak, aki em ismerte fel, hogy a problémáak az Abel által adott bizoyítása helyes. Berlibe látogatása sorá találkozott a mérök és autodidakta matematikus August Leopold Crellével, aki jó barátja lett, és szakmailag is támogatta. Crelle alapított egy folyóiratot, melyek els számába Abel több taulmáya is olvasható volt. Kutatásaiba f képp az egyeletek elméletér l, függvéyegyeletekr l és a zárt alakba való itegrálásról írt. A traszcedes függvéyekkel foglalkozó taulmáyába adta közre az algebrai függvéyek itegráljáról szóló elmélete belül az Abel-tételt, mely szerit véges számú illeve fajtájú függetle itegrál létezik. Ez utóbbi taulmáyát beterjesztette a Fracia Tudomáyos Akadémiához, ahol visszautasítással kellett szembesülie, m vét em ismerték el. Miel tt haza tért vola Párizsból, megvizsgáltatta magát egy orvossal, aki megállapította, hogy tüd beteg. Visszatérve Norvégiába magáórákból tartotta el magát, 88ba helyettesít taári állást kapott. Nehéz ayagi helyzete és egyre rosszabbodó egészségi állapota em tartotta vissza tudása mélyítésébe és a matematika más ágai belüli kutatásba. Ebbe az id szakba adott közre egy taulmáyt, mely tartalmazta az Abel-féle egyeletekek Abel-csoportokra alapozott elméletét. Karl Gustav Jacobival közöse foglalkoztak az elliptikus függvéyekkel. 88 szé Abel megbetegedett, és állapota az id teltével egyre súlyosabb lett. 89. április 6-á Frolado tuberkulózisba halt meg. 84be a Fracia Tudomáyos Akadémia kiadta értekezéseit... Abel-díj Az Abel-díjat az Oslói Egyetem matematika taszékéek javaslatára hozták létre 00 szé, Abel születéséek 00-adik évfordulójá. A díjat 003tól évete emzetközi bizottság osztja ki arra méltó, kiemelked matematikusokak. 6
. fejezet Számsorozatok, végtele sorok és hatváysorok.. A számsorozat f bb tulajdoságai... Deíció (Koverges sorozat). Az (y ) sorozatot kovergesek modjuk, ha létezik olya Y R, hogy mide ε R + számhoz található N ε N küszöbidex, amelyre N ε eseté y Y < ε.... Deíció (Nullsorozat). Egy (y ) sorozatra azt modjuk, hogy ullsorozat vagy zérussorozat, ha a határértéke 0...3. Deíció (Korlátosság). Az (y ) számsorozatot felülr l korlátosak evezzük, ha va olya K valós szám, amelyél ics agyobb eleme a sorozatak, azaz mide idexre y K teljesül. Mide ilye tulajdoságú K számot a sorozat fels korlátjáak evezük. Az (y ) számsorozatot alulról korlátosak evezzük, ha va olya k valós szám, amelyél ics kisebb eleme a sorozatak, azaz mide idexre y k teljesül. Mide ilye tulajdoságú k számot a sorozat alsó korlátjáak evezük. Az (y ) számsorozatot korlátosak evezzük, ha alulról és felülr l is korlátos...4. Deíció (Mooto sorozat). Azt modjuk, hogy az (y ) sorozat mooto övekv, ha bármely idexre teljesül, hogy y y +. 7
Ha a feti feltételbe y y + áll, akkor azt modjuk, hogy az (y ) sorozat mooto csökke. Ameyibe az y < y +, illetve az y > y + reláció teljesül, akkor szigorúa mooto övekv, illetve szigorúa mooto csökke sorozatról beszélük. Az (y ) sorozatra azt modjuk, hogy mooto sorozat, ha mooto övekv vagy mooto csökke... A végtele sor f bb tulajdoságai... Deíció (Végtele sor és kovergeciája). Legye az (y ) egy valós számsorozat, és y az ebb l képzett végtele sor. Jelölje s az (y ) sorozat -edik részlet- összegét, azaz a y i alakú számot mide N eseté. Ha az (s ) sorozat koverges, i= és a határértéke Y, akkor azt modjuk, hogy a y végtele sor koverges, és az összege Y. Jele y = Y. Ellekez esetbe, ha a részletösszegekb l képzett (s ) sorozat diverges, akkor a végtele sort divergesek hívjuk.... Tétel (Cauchy-kovergeciakritérium). A akkor koverges, ha bármely ε R + y y végtele sor akkor és csak számhoz található olya N idex, hogy mide N m < idexek eseté y k < ε. k=m+..3. Deíció (Abszolút kovergecia). A y végtele sort abszolút kover- gesek evezzük, ha a y végtele sor koverges...4. Deíció (Végtele sor átredezése). Tekitsük a y végtele sort és legye b : N + N + egy bijekció, azaz a pozitív egész számok ömagára törté bijektív leképezése. A y b(i) végtele sort a y végtele sor b bijekcióhoz tartozó átredezé- i= séek evezzük...5. Tétel. Bármely abszolút koverges sor koverges. 8
Egy abszolút koverges sor bármely átredezése abszolút koverges, és az összege megegyezik az eredeti sor összegével...6. Deíció (Feltételes kovergecia). Azt modjuk, hogy a y végtele sor feltételese koverges, ha koverges, de em abszolút koverges...7. Tétel (Riema átredezési tétele). Legye a y végtele sor feltételese koverges, ekkor bármely Y R eseté létezik olya átredezés, amely koverges és az összege Y, továbbá va olya átredezés, melyek összege +, illetve olya is létezik, melyek összege, végül va olya, amely diverges és ics összege...8. Deíció (Leibiz-típusú sor). Ha (y ) mooto fogyó emegatív tagú sorozat, akkor a ( ) + y alakú végtele sort Leibiz-típusú sorak evezzük...9. Tétel. Egy Leibiz-típusú sor potosa akkor koverges, ha lim y = 0...0. Deíció (Cauchy-szorzat). A a végtele sort értjük. x i és y i végtele sorok Cauchy-szorzatá i=0 i=0 ( i ) x j y i j i=0 j=0... Tétel (Mertes). Legyeek a x i és y i végtele sorok kovergesek, és i=0 i=0 x i = X, y i = Y. Ha e végtele sorok közül legalább az egyik abszolút koverges, i=0 i=0 akkor a Cauchy-szorzatuk is koverges, és ( i ) x j y i j = i=0 j=0 x i i=0 y i..3. A hatváysor f bb tulajdoságai.3.. Deíció (Hatváysor). Adott (a ) sorozat és x 0 R eseté a a (x x 0 ) =0 alakú végtele sort x 0 középpotú hatváysorak evezzük. Az (a ) sorozatot a hatváysor együttható-sorozatáak modjuk. 9 i=0
.3.. Deíció (Kovergeciahalmaz). Egy hatváysor kovergeciahalmazá azo x valós számok halmazát értjük, melyre a a (x x 0 ) végtele sor koverges. =0.3.3. Deíció (Összegfüggvéy). A a (x x 0 ) hatváysor összegfüggvéyé az =0 f(x) := a (x x 0 ) =0 függvéyt értjük, melyek értelmezési tartomáya a hatváysor kovergeciahalmaza..3.4. Deíció (Kovergeciasugár). Vegyük egy (a ) együttható-sorozattal megadott hatváysort, ekkor a hatváysor kovergeciasugará az alábbit értjük: 0, ha ( a ) felülr l em korlátos, R := +, ha ( a ) ullsorozat, lim sup, a ha lim sup a pozitív valós szám..3.5. Tétel (Cauchy-Hadamard-tétel). Adott (a ) sorozat és x 0, x valós számok eseté a a (x x 0 ) hatváysor abszolút koverges, ha x x 0 < R, míg x x 0 > R =0 eseté diverges..3.6. Tétel (Abel-tétel). Egy hatváysor összegfüggvéye a kovergeciahalmaz mide potjába folytoos..3.7. Tétel. A =0 a (x x 0 ) hatváysor összegfüggvéye diereciálható a kovergeciahalmaz bels potjaiak halmazá, és ott az f(x) összegfüggvéy deriváltfüggvéye f (x) = a + a (x x 0 ) + 3 a 3 (x x 0 ) +... =.3.8. Tétel. A ( + ) a + (x x 0 ). a (x x 0 ) hatváysor összegfüggvéyéek létezik primitív függvéye =0 a kovergeciahalmaz bels potjaiak halmazá, melyek F (x) = =0 =0 a + (x x 0) + + c, ahol c R. 0
3. fejezet Korlátos változású sorozatok 3.. Korlátos változású sorozatok 3... Deíció (Korlátos változású sorozat). Az (y ) sorozatot korlátos változású sorozatak hívjuk, ha a y + y végtele sor koverges. 3... Állítás. Mide mooto és korlátos sorozat korlátos változású. Bizoyítás: Ha (y ) mooto és korlátos sorozat, akkor (y + y ) álladó el jel, ezért s := y + y, y k+ y k = y y +, A mooto és korlátos sorozat koverges, így ha (y ) mooto, ha (y ) mooto fogy. lim s = lim y y, y lim y, ha (y ) mooto, ha (y ) mooto fogy. Ezért (s ) koverges, ami azt jeleti, hogy (y ) korlátos változású. 3..3. Állítás. Mide korlátos változású sorozat koverges. Bizoyítás: A y + y végtele sor koverges, ezért a (y + y ) végtele sor is koverges. Ekkor az s := (y k+ y k ) = y + y
sorozat koverges. Ebb l következik, hogy (y + ) is koverges, és így az eggyel kisebb idex (y ) korlátos változású sorozat is koverges. Ha egy sorozat koverges, akkor korlátos is, tehát mide korlátos változású sorozat korlátos. 3..4. Állítás. Egy sorozat potosa akkor korlátos változású, ha el állítható két koverges mooto öv sorozat külöbségekét. Bizoyítás: Legye (x ) egy korlátos változású sorozat és x 0 := 0. Legyeek az (y ) és (z ) sorozatok az alábbi alakúak: y : = x k x k, ahol N + z : = y x. Ekkor z = x k x k x, N +. Az (y ) sorozat emegatív tagú sor részletösszeg-sorozata, ezért mooto öv. A (z ) sorozatra: z + z y + x + y x y + y x + x x + x x + x. Tehát (z ) mooto öv sorozat. Már csak (y ) és (z ) kovergeciáját kell belátuk. Az (y ) sorozat koverges, hisze x k x k koverges, ami azt jeleti, hogy a részletösszeg-sorozata koverges. A korlátos változású (x ) sorozat a 3..3. állítás szerit koverges. Végül azt kaptuk, hogy (z ) két koverges sorozat külöbsége, így persze (z ) kovergeciáját is beláttuk. Következésképpe mide korlátos változású sorozat el áll két koverges mooto öv sorozat külöbségekét. Ezzel a bizoyítás egyik iráyát végigvittük. A másik iráyál bebizoyítjuk, ha egy sorozat el áll két koverges mooto öv sorozat külöbségekét, akkor az korlátos változású. Legyeek (y ) és (z ) mooto öv
koverges sorozatok és (y ) Y R (z ) Z R a határértékek. Ekkor az (y z ) sorozat korlátos változású, ez a tulajdoság az alábbi módo bizoyítható: (y + z + ) (y z ) = (y + y ) (z + z ). Ekkor a végtele sor részletösszeg-sorozata s := (y i+ y i ) (z i+ z i ) y i+ y i + z i+ z i. i= i= i= Az egyel tleség jobb oldalá mide tag emegatív szám abszolút értéke, így midkét tagú összeg teleszkópos összeg. y i+ y i = (y i+ y i ) = y + y Y y, i= z i+ z i = i= i= i= (z i+ z i ) = z + z Z z. Ekkor s Y + Z y z R, tehát az (s ) részletösszeg-sorozat emegatív tagú és korlátos, ezért koverges. 3.. Példák em korlátos változású sorozatokra Három példát mutatuk olya sorozatra, mely koverges, de em korlátos változású. 3... Példa. x :=, ha páratla, N, + 0, ha páros. Az (x ) számsorozat koverges és a határértéke 0, továbbá a számsorozat em mooto. Már csak azt kell látuk, hogy (x ) em korlátos változású. Ehhez vizsgáljuk x + x kovergeciáját. Nézzük eze végtele sor részletösszegeit. s + := + x k+ x k = = x x + x 3 x + x 4 x 3 +...+ x x + x + x + x + x + = = 0 + 0 + 0 +...+ 0 ( )+ + (+)+ 0 + 0 (+)+ = = + + k + k= k +. 3
A részletösszeg-sorozat páratla idex részsorozata diverges, mert a harmoikus sor diverges. A továbbiakba a páros idex részsorozatot vizsgáljuk. s = x k+ x k = = x x + x 3 x + x 4 x 3 +...+ x x + x x + x + x = = 0 + 0 + 0 +...+ ( )+ 0 + 0 ( )+ + (+)+ 0 = + = k + k +. Tehát a változású. 3... Példa. k= x + x végtele sor diverges, ezért az (x ) sorozat em korlátos y := ( ), ahol N +. Az (y ) sorozat zérussorozat, de em mooto. Az a sejtésük, hogy (y ) em korlátos változású. y + y = ( )+ + ( ) y + y = + + >. A y + y végtele sorak miorás sora ( = ( ) + + + ) is diverges. Következésképpe (y ) em korlátos változású., ami diverges, ezért y + y 3..3. Példa. z := ( ) i+ i, ahol N+. i= A (z ) sorozat vajo korlátos változású-e? Ehhez ézzük két egymás melletti tag külöbségét. z + z = ( ) + +. 4
Ekkor az eltérés abszolút értéke Tehát A z + z = +. z + z = +. végtele sor diverges, ezért (z + ) em korlátos változású. A (z ) sorozatról megmutatjuk, hogy koverges, és a határértéke l. (z ) kovergeciájába azért lehetük biztosak, mert Leibiz-típusú sor. Már csak azt kell beláti, hogy z l, azaz ( ) i+ i i= ( ) i+ i i= D(f) := (, ) függvéy 0 középpotú Taylor-sorát: T (x) := x x + x3 3 x4 = l. Ehhez ézzük az f(x) := l( + x), 4 +... = =0 + x ( ). Tehát a feti hatváysor együttható-sorozata a 0 := 0, a := ( )+, N + s ekkor a kovergeciasugár kovergeciahalmaza (, ]. R = lim sup =, ( ) + A hatváysorokra voatkozó Abel-tétel alkalmazásával vizsgáljuk meg a kovergeciahalmaz végpotjait. Az x < kvócies mértai sor összegére voatkozó + x = ( x) = =0 ( ) x, x < egyel ség midkét oldaláak primitív függvéyét véve a (, ) itervallumo, az alábbi összefüggést kapjuk: l( + x) = =0 ( ) x+ + c, ahol x <. + A c kostas értékét az x := 0 helyettesítéssel kaphatjuk meg, c=0, vagyis l( + x) = ( ) + x 5, ha < x <.
A jobb oldali hatváysor x = eseté koverges, midkét függvéy x = eseté folytoos, ezért az Abel-tétel alapjá 3..4. Megjegyzés. A ( ) + végtele sor kovergeciájáak létezik elemi bizoyítása is, mely több lépésb l áll. ( ) + l =. Tekitsük az (x ) sorozatot, melyek tagjai az alábbi formába állak el : x := + + 3 +... + l, ahol N+.. Állítás. x, ahol N+. Bizoyítás: Az egyel tleséget teljes idukcióval bizoyítjuk. Az els tagra igaz az állítás. x =. Tegyük fel, hogy -re és aál kisebb idexek midegyikére teljesül az állítás. Ekkor írjuk fel + -re a bizoyítadó egyel tleséget. x + +. x + = + +... + l( + ) = + ( + +... + ) l + l + l( + ). + Az idukciós feltétel szerit elég igazoli, hogy + l + l( + ) + ( + + l( + ) l = l = l l ( + ) ( = l + ) } {{ } <e + Az ( + ) sorozatról tudjuk, hogy mooto öv módo tart az e számhoz. Ezzel igazoltuk, hogy (x ) alulról korlátos, hisze mide tagja pozitív. Vizsgáljuk meg a sorozatot mootoitás szempotjából. 6. )
. Állítás. x + < x, N +. Bizoyítás: + +... + + l( + ) < + +... + l ( + < l( + ) l = l = l + ) + ( < ( + ) l + ) ( = l + +. ) Az ( + ) + sorozatról tudjuk, hogy szigorúa mooto csökke módo tart az e számhoz. Tehát (x ) szigorúa mooto fogyó. Ezzel az állítást igazoltuk. Az (x ) sorozat szigorúa mooto csökke, és alulról korlátos, így koverges. A C := lim x R határértéket Euler-Mascheroi kostasak evezzük, értéke C 0, 57756649. 3. Állítás. lim ( + +... + ) = l. Bizoyítás: A korábba deiált (x ) sorozat koverges, ezért (x x ) ullsorozat, hisze lim (x ) = lim (x ) R, vagyis [( x x = + +... + ) ] [( l + +... + ) ] l = = + +... + l 0. Ebb l következik, hogy +... + + ( ) 4. Állítás. + = l. Bizoyítás: Legye z := majd a páratla idex tagjait: = ( + +... + l. ( ) k+, ahol N +. Nézzük a z k sorozat páros, z = + 3 4 +... = ) ( + 4 +... + ) z + = z + + Ebb l következik, hogy z l, s így = + +... + l. ( ) + = l. l, 7
4. fejezet Abel és Dirichlet tétele 4.. Abel-átredezés, Abel-egyel tleségek 4... Tétel (Abel-átredezés). Legyeek c k, d k, k =,..., valós számok, és jelölje k s k a d i összeget bármely k =,..., eseté. Ekkor a c k d k összeg átredezhet a i= következ képpe: c k d k = (c k c k+ )s k + c s. Bizoyítás: c k d k = c d + c d +... + c d = c s + c (s s ) +... + c (s s ) = (c c )s + (c c 3 )s +... + (c c )s + c s = (c k c k+ )s k + c s. Ezzel a tételt beláttuk. 4... Tétel (I. Abel-egyel tleség). Legyeek c k, d k, k =,..., olya valós számok, melyekre a (c k ) véges sorozat mooto fogyó és emegatív tagú, továbbá m k d i M bármely k =,..., eseté. Ekkor igaz a következ egyel tleség: i= c m Bizoyítás: A tétel feltétele szerit c k d k c M. k m d i M, i= 8
ami ekvivales azzal, hogy m s k M, ahol s k := k d i, k =,...,. Az Abelátredezést alkalmazva a c k d k = (c c )s + (c c 3 )s +... + (c c )s + c s összegbe mide s k helyére M-et írva fels becslést kapuk, mert a tétel másik feltétele szerit a (c k ) sorozatról megköveteljük, hogy mooto fogyó legye, és eek köszöhet e az összegbe szerepl (c i c i+ ), i =,..., és c egyike sem lesz egatív. Végül a következ t kapjuk fels becsléskét: c k d k (c c )M + (c c 3 )M +... + (c c )M + c M = c M. Ezzel igazoltuk a tétel második egyel tleségét. Az els hasolóa kihozható, hisze ha a c k d k = (c c )s + (c c 3 )s +... + (c c )s + c s összegbe mide s k helyére m-et íruk, akkor az összeget alulról becsüljük, hisze m s k mide k =,..., eseté, így az alábbi alsó becsléshez jutuk: c m = (c c )m + (c c 3 )m +... + (c c )m + c m c k d k. Ezzel igazoltuk a tétel els egyel tleségét is. 4..3. Következméy. Legyeek a c k, d k, k =,..., olya valós számok, melyekre k a (c k ) véges sorozat mooto fogyó és emegatív tagú, valamit d i M bármely k =,..., eseté. Ekkor igaz a következ egyel tleség: c k d k c M. Az el z ekhez hasoló becslés adható akkor is, ha a (c k ) véges sorozat em álladó el jel. 4..4. Tétel (II. Abel-egyel tleség). Legyeek a c k, d k, k =,..., olya valós k számok, melyekre a (c k ) véges sorozat mooto és d i M bármely k =,..., eseté. Ekkor igaz a következ egyel tleség: c k d k ( c + c ) M. 9 i= i= i=
Bizoyítás: Tegyük fel, hogy (c k ) mooto fogyó véges sorozat, ebbe az esetbe yilvá teljesül, hogy c c c c... c c 0. Ekkor az I. Abel-egyel tleség következméyéek felhaszálásával az alábbi összefüggéshez jutuk: (c k c )d k (c c ) M. Ebb l következik, hogy c k d k = (c k c )d k + c d k (c k c )d k + c d k ( c c ) M + c }{{} M ( c + c ) M. c + c Ha (c k ) mooto öv véges sorozat, akkor ( c k ) mooto fogyó, ezért alkalmazhatjuk a már bizoyított mooto fogyó eset becslését: c k d k = ( c k )d k ( c + c ) M = ( c + c ) M. Ezzel a tételt beláttuk. 4.. Abel és Dirichlet tétele 4... Tétel (Dirichlet-tétel). Tegyük fel, hogy a (z ) sorozat (s ) részletösszeg-sorozata korlátos, továbbá (y ) korlátos változású ullsorozat. Ekkor a s (y y + ) és a (y z ) végtele sorok kovergesek, és az összegük egyel. Bizoyítás: Tekitsük a s (y y + ) végtele sort. Az (s ) részletösszeg-sorozat korlátos, tehát létezik olya K R, melyre s K mide idexre. Az (y ) sorozat korlátos változású, így a deíció szerit a y y + végtele sor koverges. 0
Tekitsük a s (y y + ) végtele sor részletösszegeit. s k (y k y k+ ) = s k y k y k+ K y k y k+ K y k y k+ R. s k (y k y k+ ) részletösszegei felülr l korlátosak, ezért ez a végtele sor koverges, azaz s k (y k y k+ ) abszolút koverges. Ez másképp is bizoyítható. Haszáljuk a Cauchy-kovergeciakritériumot, melyek segítségével belátható, hogy a s (y y + ) végtele sor abszolút koverges. A tétel feltétele szerit a (z ) sorozat (s ) részletösszeg-sorozata korlátos, tehát létezik olya K valós szám, melyre s K mide idexre. Feltettük továbbá, hogy (y ) korlátos változású, ezért y y + koverges. A Cauchy-kovergeciakritérium szerit bármely ε R + számhoz található olya N ε K Ekkor k=m+ s k (y k y k+ ) = k=m+ k=m+ idex, hogy mide N ε K y k y k+ < ε K. s k y k y k+ K k=m+ m < idexre y k y k+ < K ε K = ε. Így a Cauchy-kritérium szerit a s (y y + ) végtele sor abszolút koverges. Az Abel-átredezés szerit y k z k = y s + s k (y k y k+ ). Mivel (y ) ullsorozat és (s ) korlátos, ezért lim y s = 0, így a bal oldalo álló sorozat is koverges, és az el z egyel ség midekét oldaláak határértékét képezve lim y k z k = lim y s }{{}}{{} 0 y k z k + lim s k (y k y k+ ) }{{} s k (y k y k+ ) Tehát a s (y y + ) és a (y z ) végtele sorok összege egyel. Ezzel a Dirichlettételt beláttuk. Milye eleged feltétel adható, hogy x valós szám és (y ) számsorozat eseté az (y si x), illetve az (y cos x) sorozatból képzett végtele sorok kovergesek legyeek?.
4... Példa. A si x végtele sor részletösszeg-sorozata korlátos, ahol x R. Ha x lπ, l Z, akkor a si kx részletösszeget a si x cos(α + β) cos(α β) = si α si β, α, β R addíciós képletet alkalmazva az alábbit kapjuk: si kx = si x si kx si x = [ ( = si x cos k ) ( x cos k + ) x]. kifejezéssel b vítve, majd a Az utolsó összeg teleszkópos, ezért (cos x cos 3 ) x + (cos 3 x cos 5 ) ( ( x +... + cos ) ( cos + )) = = cos ( x cos + ) x. A feti összefüggést felhaszálva, majd a háromszög-egyel tleséget alkalmazva a következ egyel tleséghez jutuk: si kx = si x cos x ( cos + ) x [ cos si x x + ( cos + ) ] x si x. Tehát si x részletösszeg-sorozata felülr l korlátos, ha x R és x lπ, l Z. Ha x = lπ, l Z alakú, akkor a végtele sor mide tagja 0, így a részletösszegsorozat felülr l korlátos. 4..3. Példa. Hasolóa belátható, hogy cos x részletösszeg-sorozata felülr l korlátos, ha x lπ, l Z. cos kx = si x [ ( = si x si k + ) ( x si k [ ( si x si + ) cos kx si x = = si x ( si + ) x si x x si + x ] si x. ) x] Ha x = lπ, l Z, akkor a részletösszeg-sorozat felülr l em korlátos.
4..4. Példa. Ha (y ) korlátos változású ullsorozat, akkor mide x R eseté a y si x végtele sor koverges. 4..5. Példa. Ha (y ) korlátos változású ullsorozat, akkor mide x R, x lπ eseté a y cos x végtele sor koverges. A Dirichlet-tétel egy speciális esete az alábbi következméy. 4..6. Következméy. Tegyük fel, hogy az (y ) sorozat mooto csökke zérussorozat, és a Ekkor a z végtele sor részletösszegeiek sorozata korlátos. y z végtele sor koverges. Bizoyítás: tehát korlátos változású. Az (y ) zérussorozat korlátos, így a feltétel szerit mooto és korlátos, 4..7. Tétel (Abel-tétel). Legye (y ) korlátos változású sorozat, és a sor koverges, ekkor a (y z ) végtele sor koverges. (z ) végtele Bizoyítás: Az (y ) sorozat korlátos változású, ezért koverges. Jelölje (s ) a (z ) végtele sor részletösszeg-sorozatát. Mivel a koverges. Ekkor vizsgáljuk a lim (y s ) határértéket: lim (y s ) = lim y lim s = lim y (z ) végtele sor koverges, ezért (s ) (z ). Tehát fet két koverges sorozat szorzata szerepel, s ekkor (y s ) koverges és a határértéke megegyezik a két téyez határértékéek szorzatával. Ahogy a Dirichlet-tétel bizoyításába láttuk, az Abel-átredezést alkalmazva mide idexre y k z k = y s + s k (y k y k+ ). A jobb oldali második tag koverges, ami potosa úgy bizoyítható,mit a Dirichlettétel bizoyításába. Mivel a jobb oldali összeg midkét tagja koverges,ezért a (y z ) végtele sor koverges. Az Abel-tétel egy speciális esete az alábbi következméy. 3
4..8. Következméy. Tegyük fel, hogy az (y ) sorozat mooto és korlátos, és a Ekkor a z végtele sor koverges. y z végtele sor is koverges. Bizoyítás: Az (y ) sorozat mooto és korlátos, tehát korlátos változású. 4..9. Állítás. Ha (z ) ( z mooto fogyó sorozat, akkor +...+z ) is mooto fogyó. Bizoyítás: Azt kell igazoluk, hogy z +... + z Ekvivales átalakítással a következ t kapjuk: z +... + z +, N +. + ( + ) z +... + ( + ) z z +... + z + z +, A (z ) sorozat mooto fogyó, ezért z +... + z z +. z z +, z z +,. z z +. Ebb l következik, hogy z +... + z z +. Ezzel igazoltuk, hogy a mooto fogyó (z ) sorozat számtaiközép-sorozata is mooto fogyó. 4..0. Megjegyzés. Hasolóa belátható, hogy mooto öv sorozat számtaiközépsorozata is mooto öv. 4... Példa. A si ( + +... + ) végtele sor koverges. A 4... példából tudjuk, hogy si kx si x, x lπ, l Z. 4
Ezt x = eseté alkalmazva a következ t kapjuk: si k si. Tehát a si végtele sor részletösszeg-sorozata korlátos. ( ) + Még megmutatjuk, hogy az +...+ sorozat korlátos változású ullsorozat. A 4..9. ( ) állításból arra következtethetük, hogy mivel ( ) mooto fogyó, ezért + +...+ is mooto fogyó. Már csak azt kell belátuk, hogy ez a számtaiközép-sorozat ullsorozat. Ehhez vegyük az x alábbi módo: függvéy [, ] itervallumo vett Riema-itegráljáak becslését az Ekkor felírható, hogy l = x dx > +... +, l + > + +... +. 0 < + +... + < l + 0. ( ) + A red r-elv szerit az +...+ sorozat ullsorozat, továbbá mooto fogyó, ezért korlátos változású. Tehát alkalmazható a Dirichlet-tétel, a ( si + +... + ) végtele sor koverges. 5
A 7... tétel bizoyítása szerit mide koverges sorozat számtaiközép-sorozata is koverges, és a két határérték megegyezik. 4... Példa. A cos si(a) végtele sor bármely a R eseté koverges. Vegyük észre, hogy a si α cos β = ( ) si(α + β) + si(α β) addíciós tételt alkalmazva a következ höz jutuk: cos si(a) = ( si((a+))+si((a )) ) = si((a + )) + si((a )). Itt a si ( k(a + ) ) és si ( k(a ) ) végtele sorok részletösszeg-sorozatai a 4... példa alapjá korlátosak. Az ( ) sorozatról tudjuk, hogy mooto fogyó módo tart a ullába. Tehát alkalmazható a Dirichlet-tétel következméye, a végtele sor koverges. cos si(a) 4..3. Példa. A ( ) arcta végtele sor koverges. Az (arcta ) sorozat mooto öv és korlátos, tehát koverges, a határértéke pedig lim arcta = π. Az ( ) sorozat mooto fogyó és emegatív tagú, így a ( ) végtele sor Leibiz-típusú. Mivel lim = 0, ezért ( ) koverges. Tehát alkalmazható az Abel-tétel következméye, s így a vizsgált végtele sor koverges. 4..4. Példa. A ( ) l x végtele sor koverges, ha x >. A 3..4. megjegyzés 4. állításából tudjuk, hogy a ( ) végtele sor koverges, összege l. Az ( l x) sorozat korlátos, és ha x > e, akkor szigorúa mooto csökke, míg az < x < e eseté szigorúa mooto övekv. Alkalmazható az Abel-tétel következméye, a végtele sor koverges. ( ) l x 6
5. fejezet Függvéysorozatok és függvéysorok 5.. Függvéysorozatok 5... Deíció (Függvéysorozat). Egy olya hozzáredelést, mely mide természetes számhoz egy valós f függvéyt redel, függvéysorozatak hívjuk, és a következ képp jelöljük: (f ). 5... Deíció (Egyeletes korlátosság). Legye (f ) függvéysorozat és D(f ) = H, N +. Ezt a függvéysorozatot egyeletese korlátosak evezzük, ha létezik olya K valós szám, hogy bármely idex eseté mide x H elemre f (x) K. 5..3. Deíció (Potokéti kovergecia). Legye (f ) függvéysorozat, melyre D(f ) = H, N +. Az (f ) függvéysorozat potokét kovergál az f : H R függvéyhez, ha a H halmaz mide x elemére teljesül Jelölés: f f. lim f (x) = f(x). 5..4. Deíció (Egyeletes kovergecia). Legye (f ) függvéysorozat és f valós függvéy, melyekre D(f ) = D(f) = H, N +. Az (f ) függvéysorozat egyeletese koverges a H halmazo, ha mide ε R + számhoz található N ε N + küszöbidex, hogy bármely N +, N ε eseté mide x H elemre teljesül Jelölés: f f. f (x) f(x) < ε. 7
5..5. Állítás. Ha az (f ) függvéysorozat egyeletese koverges a H halmazo, akkor potokét is. Bizoyítás: Ha a függvéysorozat egyeletese koverges, akkor aak deícióját bármely rögzített x H elemre alkalmazva azt kapjuk, hogy az (f (x)) számsorozat koverges. 5..6. Tétel (Cauchy-kovergeciakritérium). Az (f ) függvéysorozat akkor és csak akkor kovergál egyeletese a H halmazo, ha bármely ε R + számhoz található olya N N + küszöbidex, hogy mide, m N idex eseté bármely x H elemre teljesül f (x) f m (x) < ε. Bizoyítás: Tegyük fel, hogy f f a H halmazo, tehát bármely ε R + számhoz található olya N ε N + küszöbidex, hogy bármely N ε idexre és mide x H elemre teljesül, hogy f (x) f(x) < ε. Ekkor az ε R+ számhoz is választható olya N ε N+ küszöbidex, hogy N ε idex eseté bármely x H elemre f (x) f(x) < ε. Ezek utá a háromszög-egyel tleség alkalmazásával mide x H elemre és bármely, m N ε idexek eseté teljesülek az alábbiak: f (x) f m (x) = f (x) f(x) + f(x) f m (x) f (x) f(x) + f(x) f m (x) < ε + ε = ε. A másik iráy belátásához eleged felismeri, hogy adott x H elemre az (f (x)) számsorozatra teljesül a Cauchy-kovergeciakritérium feltétele. Ezért az (f (x)) számsorozat koverges, és ekkor legye f : H R az a függvéy, amelyre mide x H elemre A továbbiakba azt látjuk be, hogy f f(x) := lim f (x). f a H halmazo. Adott ε R + számhoz található olya N ε N + küszöbidex, hogy mide, m N ε idexre és bármely x H elemre teljesül f (x) f m (x) < ε. Legye N ε adott idex és x H rögzített elem, ekkor m + eseté f (x) f(x) = lim m f (x) f m (x) ε < ε. 8
Következésképpe f f a H halmazo, s ezzel a Cauchy-kovergeciakritériumot beláttuk. A továbbiakba olya példát mutatuk, ahol az f : [0, ] R függvéysorozat potokét kovergál a 0 kostasfüggvéyhez, de egyeletese em koverges. 5..7. Példa. f (x) := x, ha 0 x, x, ha < x, 0, ha < x. Ha x > 0, akkor található olya N N +, hogy N < x. Ha N, akkor < x, ezért f N (x) = 0. Következésképpe (f (x)) egy idext l kezdve a ulla kostas sorozat, így f (x) 0. Ha x = 0, akkor mide idexre f (x) = 0. Tehát az f(x) := 0, D(f) = [0, ] kostasfüggvéy a függvéysorozat limeszfüggvéye, így csak ehhez a függvéyhez kovergálhata egyeletese. Idirekt módo tegyük fel, hogy egyeletese kovergál, s ekkor teljesüli kellee aak, hogy mide ε R + számhoz található N ε N + küszöbidex, hogy bármely N +, N ε eseté, mide x [0, ] elemre f (x) f(x) = f (x) < ε. 9
Elletmodásra jutuk ε < eseté, hisze ha x :=, akkor f (x) =. Tehát (f ) em tart egyeletese a 0 függvéyhez. 5.. Függvéysorok Legye az (f ) függvéysorozat tagjaiak a H emüres halmaz a közös értelmezési tartomáya. Eze függvéyek végtele összegét függvéysorak evezzük, és az alábbi módo jelöljük: f = f + f +... + f +.... 5... Deíció. Legye az (f ) függvéysorozat tagjaiak a H emüres halmaz a közös értelmezési tartomáya. Az olya x H elemek halmazát, melyekre f (x) koverges, a f függvéysor kovergeciahalmazáak evezzük és K-val jelöljük. A függvéysor összegfüggvéye az a K halmazo értelmezett f függvéy, melyre f(x) := f (x), x K. Ekkor azt modjuk, hogy a f függvéysor potokét kovergál a K halmazo, és összegfüggvéye az f függvéy. Tehát f = f akkor és csak akkor teljesül, ha az s := f k, N + függvéyekb l álló függvéysorozat potokét kovergál az f függvéyhez a K halmazo. 5... Deíció (Egyeletes kovergecia). A f függvéysort egyeletese kovergesek modjuk a H halmazo, ha az (s ) függvéysorozat egyeletese koverges a H halmazo. 5..3. Deíció (Abszolút kovergecia). Azt modjuk, hogy a f függvéysor abszolút koverges a H halmazo, ha f potokét koverges a H halmazo. 30
5..4. Tétel (Cauchy-kovergeciakritérium). A f függvéysor akkor és csak akkor kovergál egyeletese a H halmazo, ha bármely ε R + számhoz található olya N ε N +, hogy N ε m idexek eseté bármely x H elemre teljesül f k (x) < ε. k=m+ Bizoyítás: A függvéysorozatokra voatkozó Cauchy-kovergeciakritériumból köyye adódik a feti tétel bizoyítása. 3
6. fejezet Abel és Dirichlet tétele függvéysorokra 6.. Dirichlet tétele 6... Tétel (Dirichlet-tétel függvéysorokra). Legye H R adott halmaz, továbbá legyeek mide N + eseté az f : H R és g : H R függvéyek. Tegyük fel, hogy bármely x H elemre az (f (x)) sorozat mooto, a H halmazo az (f ) függvéysorozat egyeletese tart a ullába, a Ekkor a g függvéysor (s ) részletösszeg-sorozata egyeletese korlátos a H halmazo. f g függvéysor egyeletese koverges a H halmazo. Bizoyítás: A tétel harmadik feltétele szerit g részletösszeg-sorozata egyeletese korlátos, ahol az -edik részletösszeg s := g k formájú. E feltétel miatt létezik olya K R + szám, melyre mide idexre és x H elemre s (x) K teljesül. A második feltétel alapjá f 0 a H halmazo, deíció szerit ez azt jeleti, hogy bármely ε R + számhoz létezik olya N ε küszöbidex, hogy mide N ε idexre és bármely x H elemre igaz, hogy Ekkor létezik olya N ε K mide x H elemre f (x) < ε K. f (x) f(x) = f (x) 0 = f (x) < ε. küszöbidex, hogy az N ε K 3 idext l kezdve bármely idexre és
Az (f ) függvéysorozat egyeletese tart a ullába, ezért potokét is, így bármely x H elemre az (f (x)) sorozat álladó el jel. Ezt követ e ha N ε K < m és x H adott elem, akkor felhaszálható az I. Abel-egyel tleség, miszerit mooto fogyó emegatív tagú (f (x)) sorozatra ε < f (x) ( K) f (x)g (x) +... + f m (x)g m (x) f (x) K < ε, ha (f (x)) mooto öv empozitív tagú, akkor ε < f (x) ( K) f }{{} (x)g (x)... f m (x)g m (x) f (x) K < ε, }{{} f (x) f (x) hisze bármely x H elemre g (x) +... + g m (x) = (g (x) +... + g m (x)) (g (x) +... + g (x)) s m (x) + s (x) K. Így bármely x H számra igaz f (x)g (x) +... + f m (x)g m (x) < ε. Tehát a f g függvéysor kielégíti a Cauchy-kovergeciakritérium feltételét, s így a vizsgált függvéysorról elmodható, hogy egyeletese koverges. 6... Következméy. Tegyük fel, hogy (γ ) mooto fogyó zérussorozat, és legye a g függvéysor (s ) részletösszeg-sorozata egyeletese korlátos a H halmazo. Ekkor γ g egyeletese koverges a H halmazo. 6.. Abel tétele 6... Tétel (Abel-tétel függvéysorokra). Legye H R adott halmaz, továbbá legyeek mide N + eseté az f : H R és g : H R függvéyek. Tegyük fel, hogy az (f ) függvéysorozat egyeletese korlátos a H halmazo, az (f (x)) sorozat mooto bármely x H eseté, 33
a Ekkor a g függvéysor egyeletese koverges a H halmazo. f g függvéysor egyeletese koverges a H halmazo. Bizoyítás: Az els feltétel szerit létezik olya K R +, hogy mide idexre és bármely x H elemre f (x) K. A tétel harmadik feltétele szerit a g függvéysor egyeletese koverges, emiatt a Cauchy-kovergeciakritérium alapjá mide ε R + számhoz létezik olya N ε 6K elemre idex, hogy m > N ε 6K m g i (x) < i= ε 6K. idexek eseté mide x H A tétel második feltételéb l tudjuk, hogy az (f (x)) sorozat mooto, így a II. Abelegyel tleség alkalmazásával mide m > N ε 6K m f i (x)g i (x) ( f (x) + f m (x) ) i= eseté bármely x H elemre ε 6K ε < ε. Ebb l következik a függvéysorokra voatkozó Cauchy-kovergeciakritérium alapjá, hogy a f g függvéysor egyeletese koverges a H halmazo. 6... Következméy. Legye az (f ) függvéysorozat egyeletese korlátos a H halmazo és tegyük fel, hogy mide x H eseté az (f (x)) sorozat mooto. Legye a γ végtele sor koverges. Ekkor a γ f függvéysor egyeletese koverges a H halmazo. 34
7. fejezet Szummábilis sorok és az Abel-szummáció 7.. Szummábilis sorok 7... Deíció (Szummábilis sor). A a végtele sort szummábilis sorak e- vezzük, melyek szummája A R, ha az s := a k, N + részletösszeg-sorozat számtaiközép-sorozata koverges, és a határértéke 7... Tétel. Ha a s +... + s lim = A. a végtele sor koverges, és szummábilis és a szummája A. a = A, akkor a végtele sor Bizoyítás: Mivel a a végtele sor koverges és összege A R, ezért az (s ) részletösszeg-sorozata koverges, és s A. Ekkor bármely ε R + számhoz található olya N ε küszöbidex, hogy mide N ε idexre s A < ε. Azt kell belátuk, hogy ( s +s +...+s ) is az A számhoz tart. s + s +... + s A = s + s +... + s A = = (s A) + (s A) +... + (s A) s A + s A +... + s A. 35
Ha N ε, akkor s A + s A +... + s A = ( ) ( ) sn s A +... + s N ε A + ε A +... + s A = < s A +... + s N ε A < + ( N ε + ) ε. s N ε A A feti egyel tleségbe ( N ε +), és a K := s A +... + haszálva s A +... + s N ε A + ( N ε + ) ε A jobb oldali összeg akkor és csak akkor kisebb, mit ε, ha Ezért bármely ε R + számra az K < ε, azaz > K ε. N := max { N ε, K ε } küszöbidex olya, hogy mide N idexre s + s +... + s A < ε. Tehát az ( s +...+s ) sorozat határértéke szité A. K + ε. jelölést 7..3. Megjegyzés. A bizoyítás léyege az, hogy egy koverges sorozat számtaiközépsorozata is koverges, és a határértéke az eredeti sorozat határértéke. 7..4. Tétel. Ha a a sor szummábilis, akkor s 0. Bizoyítás: A a végtele sor szummábilis, így s +... + s A R. Ezzel ekvivales az alábbi felírás: a + (a + a ) + (a + a + a 3 ) +... + (a +... + a ) = a + ( ) a + ( ) a 3 +... + a 36 A. =
Jelölje S a következ sorozatot: S := s +... + s, N +, ekkor S A. Az ( )-edik tagra felírható az alábbi összefüggés: ( ) S = s +... + s. Ezt felhaszálva a következ höz jutuk: mivel lim S = ( ) S + s = S + s, s = S S 0, = és lim S = A. 7..5. Tétel. Ha a a sor szummábilis, akkor a 0. Bizoyítás: A részletösszegek átlaga felírható az alábbi formába: s +... + s = a + ( ) a +... + a, N +. A feti egyel ségb l következik, hogy a = s +... + s a + ( ) a +... + a. A második tagba elemi átalakításokat végezve a következ t kapjuk: a = s [ +... + s ( ) a +... + a + a +... + a ]. Az el z tétel miatt a +... + a = s 0, valamit az el z tétel bizoyításáak eleje alapjá Tudjuk, hogy, továbbá s +...+s A. Ebb l következik, hogy a 0. ( ) a +... + a A. A, hisze a szummábilis, és a szummája 37
7..6. Példa. Mi modható a ( ) + végtele sorról szummábilitás szempotjából? A feti végtele sor részletösszegei:, ha páratla, s = 0, ha páros. Ekkor a részletösszegek átlaga: s +... + s = k, ha = k, k k+, ha = k +. k+ Mivel eseté k :=, így k k s +... + s lim Tehát a végtele sor szummábilis, és a szummája. és k+ k+, ezért =. 7..7. Példa. Szummábilis-e a ( ) i+ i végtele sor? i= El ször ézzük a páros, majd a páratla idex részletösszeget: s k = ( ) + (3 4) +... + ((k ) k) = k, }{{}}{{}}{{} s k+ = ( ) + (3 4) +... + ((k ) k) +(k + ) = k +. }{{}}{{}}{{} Tekitsük a ( ) i+ i végtele sor részletösszegeiek átlagát. Ha az idex páros, akkor i= Ha az idex páratla, akkor 0 0 0 {}}{{}}{{}}{ s + s + s 3 + s 4 +... + s k + s k k 0 0 0 {}}{{}}{{}}{ s + s + s 3 + s 4 +... + s k + s k +s k+ k + = 0. = s k+ k + = k + k +. Tehát a következ t kapjuk: s +... + s = k+, ha = k +, k+ 0, ha = k. 38
A páratla idex részsorozat határértéke, a páros idex részsorozat 0-hoz tart, ezért a ( ) i+ i végtele sor em szummábilis. i= Itt a sem teljesül. = ( )+ em tart a ullába, a szummábilitás 7..5. tételbeli szükséges feltétel 7.. Abel-szummáció 7... Deíció. A a végtele sorra azt modjuk, hogy Abel-szummábilis, melyek =0 Abel-szummája A R, ha a továbbá feáll, hogy =0 a x hatváysor koverges a (, ) itervallumo, lim x 0 a x = A. =0 7... Tétel. Ha egy végtele sor szummábilis és a szummája A, akkor a sor Abelszummábilis és az Abel-szummája is A. Bizoyítás: Els két azt kell belátuk, hogy a a x hatváysor koverges a (, ) itervallumo. Ez teljesül, hisze a a végtele sorról tudjuk, hogy szummábilis, s mit azt már igazoltuk, ekkor a =0 =0 0. A határérték deícióját ε = eseté alkalmazva azt kapjuk, hogy egy idext l kezdve a, vagyis a <. Így rögzített x (, ) eseté a x majorizálható a x végtele sorral, ezért R := =0 =0 lim sup = alapjá midkét végtele sor abszolút koverges, ha x (, ). akkor Már csak azt kell bizoyítai, hogy ha a =0 lim f(x) = A. x 0 Ehhez vegyük a x és a x végtele sorok Cauchy-szorzatát. =0 =0 ( ) x k a k x k = =0 k=0 a x hatváysor összegfüggvéye f(x), ( ) a k x = =0 k=0 s x, =0 39
ahol (s ) a a végtele sor részletösszeg-sorozata, azaz A x =0 és =0 =0 s := a i, N +. i=0 a x hatváysorok abszolút kovergesek a (, ) itervallumo, így Mertes tétele szerit a Cauchy-szorzatuk is abszolút koverges, és az összege a sorok összegeiek szorzata. Tudjuk, hogy mide x (, ) számra x =, s ekkor x =0 s x = f(x), x (, ). x Vegyük a feti sor Cauchy-szorzatát a x végtele sorral, s ekkor az el z mitájára azt kapjuk, hogy A =0 s 0 +...+s =0 =0 (s 0 +... + s )x = f(x) x x = f(x), x (, ). (7.) ( x) a végtele sorról feltettük, hogy szummábilis, és a szummája A, vagyis + A. Jelölje S az alábbi ullsorozatot: =0 S := s 0 +... + s + A. Ekkor a (7.) bal oldalá szerepl sort az S számokkal kifejezve a következ höz jutuk: = A (s 0 +... + s )x = =0 mx m + m= ( + )Sx = =0 =0 ( ) ( + )A + ( + )S x = A ( x) + ( + )Sx, x (, ). (7.) Az egyel ség azért teljesül, mert midkét sor abszoút koverges a (, ) itervallumo, és a összefüggésb l következik, hogy m=0 m x m = m= =0 x m =, x (, ) x ( ) = x, x (, ). ( x) 40
A (7.) és a (7.) midkét oldalát ( x) -el szorozva, és a kett t összevetve: f(x) = A + ( x) Végül azt kell belátuk, hogy lim ( x 0 x) ( + )Sx, x (, ). =0 ( + )Sx = 0. =0 Ehhez legye ε R + adott. Mivel (S ) ullsorozat, ezért található olya N ε küszöbidex, hogy bármely N ε idexre teljesül S < ε. Ekkor bármely x (0, ) eseté ( x) ( + )Sx =N ε = ( x) ( + )Sx =N ε ( x) ( + )Sx ( x) ( + ) S x < =N ε =N ε < ( x) ε Mide poliomfüggvéy folytoos, ezért számhoz is található olya δ R +, hogy ( x) =N ε ( + )x < ε ( x) N ε =0 ( + )x = ε. =0 } {{ } ( x) N ε lim ( x 0 x) Sx = 0. Így az ε R+ =0 ( + )Sx < ε, ha δ < x <. Végül azt kapjuk, hogy ( x) ( + )Sx =0 N ε ( x) ( + )Sx =0 + ( x) ( + )Sx =N ε < ε + ε = ε, ha δ < x <. Ezzel a tételt igazoltuk. A továbbiakba olya végtele sort láthatuk, mely Abel-szummábilis, de em szummábilis. 4
7..3. Példa. ( ) + = + 3 4 + 5... =0 Ha a feti végtele sor szummábilis vola, akkor ( )+ 0 teljesüle, de a ( ) + = ( ) + sorozat em kovergál a ullához. E sorozat páros idexekre a míusz végtelebe tart, míg páratla idexekre a végtelebe. Következésképpe a végtele sor em szummábilis, mert aak szükséges feltétele em teljesül. Azoba a ( ) + végtele sor Abel-szummábilis. Eek igazolása érdekébe jelölje =0 f(x) := ( ) + x a hatváysor összegfüggvéyét. A hatváysor kovergeciasugara R := lim sup =0 ( ) + =, ekkor a Cauchy-Hadamard-tétel miatt a ( ) + x hatváysor abszolút koverges a (, ) itervallumo. Ha x 0, akkor =0 f(x) x = ( ) + x, x (, 0) (0, ). =0 Midkét oldal primitív függvéyét képezve a (0, ) itervallumo a.3.8. tétel szerit Jelölje Osztva x-szel f(x) x dx = ( ) + x + c, x (0, ), c R. g(x) := =0 f(x) x dx c = ( ) + x, x (0, ). =0 g(x) x = ( ) + x, x (0, ), =0 4
majd midkét oldal primitív függvéyét véve: g(x) x dx = ( ) + x + c, x (0, ), c R. =0 Az egyel ség jobb oldalá lev hatváysor átalakítható az alábbi módo: ( ) + x = ( x) = ( x) =, x <. + x =0 Ezt felhaszálva azt kapjuk, hogy =0 g(x) x dx = + x + c, x (0, ). Ezt deriváljuk, majd szorozzuk meg x-szel, s ekkor g(x) x =, x (0, ), ( + x) f(x) x dx c = g(x) = x, x (0, ). ( + x) Ha a feti egyel ség bal és jobb oldalát deriváljuk, majd az eredméyt x-szel szorozzuk, akkor ( f(x) x = x ( + x) f(x) = ) = x, x (0, ), ( + x) 3 ( x)x, x (0, ). ( + x) 3 Hasolóa levezetve azt kapjuk, hogy az eredméy érvéyes a (, 0) itervallumo is. Az f(x) := ( ) + x összegfüggvéy értéke a 0 helye f(0) = 0, ebb l következik, hogy ezért =0 f(x) = ( x)x, x (, ), ( + x) 3 lim f(x) = f() = 0. x 0 Tehát a ( ) + végtele sor Abel-szummábilis, és az Abel-szummája 0. =0 43
Köszöetyilváítás Ezúto szereték köszöetet modai témavezet mek, Pfeil Tamásak, aki redszerese szakított id t kozultációkra, valamit a szakdolgozatom részletes áttekitésére. Köszöettel tartozom Szilágyi Dáielek az ábrák elkészítésébe yújtott segítségéért. Hálás vagyok családomak és szeretteimek támogatásukért. 44
Irodalomjegyzék [] Britaica Hugarica Világeciklopédia, I. Kötet, Magyar Világ Kiadó, Budapest, 994. [] Iteretes forrás, Wikipédia, Abel-díj, http://hu.wikipedia.org/wiki/abel-díj [3] Laczkovich Miklós T. Sós Vera: Aalízis I., Nemzeti Taköyvkiadó, Budapest, 006. [4] Laczkovich Miklós T. Sós Vera: Aalízis II., Nemzeti Taköyvkiadó, Budapest, 007. [5] Szilágyi Tivadar: Végtele sorok, hatváysorok, jegyzet az iterete, http://bolyai.cs.elte.hu/ sztiv/5vs.pdf [6] Bátkai Adrás: Hatváysorok, Függvéysorok, jegyzet az iterete, http://www.cs.elte.hu/ batka/oktatas/hatvaysorok.pdf [7] Iteretes forrás, Chao-Pig Che: The best bouds i Verescu's iequalities for the Euler's costat, http://ajmaa.org/rgmia/papers/v3/euler-iequality.pdf [8] W. J. Kaczor, M. T. Nowak: Problems i Mathematical Aalysis : Real Numbers, Sequeces ad Series, America Mathematical Society, Providece, R.I, 000 45
Nyilatkozat Név: Vákovics Mária ELTE Természettudomáyi Kar, szak: Matematika Bsc ETR azoosító: VAMPABT.ELTE Szakdolgozat címe: Sorok és hatváysorok vizsgálata Abel yomá A szakdolgozat szerz jekét fegyelmi felel sségem tudatába kijeletem, hogy a dolgozatom öálló mukám eredméye, saját szellemi termékem, abba a hivatkozások és idézések stadard szabályait következetese alkalmaztam, mások által írt részeket a megfelel idézés élkül em haszáltam fel. Budapest, 0. december 9. a hallgató aláírása 46