Folytoos vlószíűségi változók Értékkészletük számegyees egy folytoos (véges vgy végtele) itervllum. Vlmeyi lehetséges érték vlószíűségű, pozitív vlószíűségek csk értéktrtomáyokhoz trtozk. Az eloszlás em írhtó le z értékek és vlószíűségek felsorolásávl, mit diszkrét esete, mivel z értékek hlmz em megszámlálhtó végtele. A vlószíűségeket lehetséges értéktrtomáyokhoz tudjuk megdi sűrűségfüggvéyel vgy z eloszlásfüggvéyel. Sűrűségfüggvéy: oly függvéy, melyek függvéygöre ltti területe (itegrálj) ármely trtomáyo egyelő változók hhoz trtomáyhoz trtozó vlószíűségével: ( < < ) = f( ) d A vlószíűség tuljdoságiól következik, hogy egy sűrűségfüggvéy sehol sem egtív: f(), teljes trtomáyo (--től +-ig) z itegrálj : ( ) f d=. éld: Az [,] itervllumo folytoos egyeletes eloszlású változó sűrűségfüggvéye f ( ) =, h, egyékét. < d= d= ( < ) = f( ) ( ). (h ) Az eloszlásfüggvéy -eli értéke (, ) végtele itervllumhoz trtozó vlószíűség F() = ( < ) Eől következik, hogy ármely, érték-párr ( < ) = F( ) F( ) éld: Az [,] itervllumo folytoos egyeletes eloszlású változó eloszlásfüggvéye F ( ) = ( ) ( ) h < h < h Az eloszlásfüggvéy tuljdosági ( vlószíűség tuljdoságiól következek): mooto övő htárértéke -e, -e folytoos vlószíűségi változór folytoos
,45,4,35,3,5,,5,,5 4 7 3 6 9 5 8 3 34 37 4 43 46 49 5 55 58 6,45,4,35,3,5,,5,,5 5 9 3 7 5 9 33 37 4 45 49 53 57 6 65 69 73 77 8 85 Az eloszlásfüggvéy és sűrűségfüggvéy kpcsolt Eloszlásfüggvéye mide vlószíűségi változók v, sűrűségfüggvéye em (de melyekről tuli foguk, zokk v). H v sűrűségfüggvéy, kkor itegrálfüggvéye z eloszlásfüggvéy: F ( ) = f ( t) dt H z eloszlásfüggvéy deriválhtó, kkor deriváltj sűrűségfüggvéy: f() = F () Várhtó érték Helyzeti muttók folytoos változókr Ahol diszkrét esete összegezi kellett, ott folytoos esete itegráli kell: Módusz E ( ) f( ) = d Az z érték, melyre változó sűrűségfüggvéyéek lokális mimum v. Folytoos változókr sem midig egyértelmű, z eloszlás itt is lehet imodális vgy multimodális. Mediá és kvtilisek A mediá z z érték, melyre (<) = (>) = /, p-kvtilis pedig oly érték, melyre (<) = p, (>) = -p.,45,45 Szóráségyzet Szóródási muttók folytoos változókr A várhtó értékhez hsoló z összegzés helyett itegráluk:,4,4,35,3,5,,5,,35,3,5,,5, vr ( ) = ( E( ) ) f( ) d= f( ) d E( ),5,5 4 7 3 6 9 5 8 3 34 37 4 43 46 49 5 55 58 6 4 7 3 6 9 5 8 3 34 37 4 43 46 49 5 55 58 6 Kvrtilisek Alsó kvrtilis, Q, vgy LQ (lower qurtile) vgy LH (lower hige): ¼-kvtilis Felső kvrtilis, Q 3, vgy UQ (upper qurtile) vgy UH (upper hige): ¾-kvtilis Szórás Iterkvrtilis terjedelem S ( ) = vr( ) Iterkvrtilis terjedelem, (iterqurtile rge) IQR=Q 3 -Q
A ormális eloszlás A legfotos, gykorlt leggykr hszált folytoos eloszlás ormális eloszlás vgy Guss-eloszlás. Kétprmétes cslád. A sűrűségfüggvéy képlete: f ( ) = ( µ ) e σ, πσ hol µ és σ z eloszlás prméterei, ~ N( µ,σ ). Jegyezzük meg, hogy µ épp várhtó érték, σ pedig vrici (tehát σ szórás). A csládtgokt zoosíthtjuk µ és σ helyett µ-vel és σ-vl is, csk kokrét számok eseté egyértelmű legye, hogy pl. σ = vgy σ = közül melyikre godoluk. A sűrűségfüggvéy göréje z úgyevezett hrggöre vgy Guss-göre. szimmetrikus (közepe µ = várhtó érték = módusz = mediá) e gyságrede közeledik -hoz midkét oldlo -hoz közeledés seessége σ -tól függ (zz szórástól) Külööző µ és σ prméter-értékekhez trtozó hrggörék: µ =- µ = µ = σ=5 σ= - µ A cslád µ =, σ = prméterű tgj stdrd ormális eloszlás. Eloszlástáláztot csk ehhez készítettek, töi mid egyszerűe visszvezethető stdrd ormálisr. Ez stdrdizálás. Ugyis h ormális eloszlású vlószíűségi változó µ és σ prméterekkel, kkor Y = + is ormális eloszlású µ = µ + és σ = σ prméterekkel. H ormális eloszlású vlószíűségi változó µ és σ prméterekkel, kkor µ Z = stdrd ormális eloszlású. Vissztrszformálás: = σ Z+ µ. σ Közpoti htáreloszlás tétel: Miért fotos ormális eloszlás? Legye H = + +... +, hol,,..., oly vlószíűségi változók, melyek egymástól függetleek és zoos eloszlásúk. Ekkor H közelítőleg ormális eloszlású (h, kkor H eloszlás trt ormális eloszláshoz eél potos em modjuk ki). éldák: Emerek mgsság gyo sok geetiki és köryezeti változó összege, ezért közelítőleg ormális eloszlású. Sok kockát douk egyszerre. A doott számok összege közelítőleg ormális eloszlású.
Normális eloszlású változók összege és számti közepe. Normális eloszlású változók összege is ormális eloszlású, és mid várhtó értékek, mid vriciák összedódk, pl. két változó eseté + Y µ +Y = µ +µ Y és σ = σ + σ. Normális eloszlású változók számti közepe is ormális eloszlású, várhtó értéke és vriciáj pedig µ i σ µ = és σ = 3. H változók eloszlás zoos (zz közös µ és σ), kkor számti közép várhtó értéke és vriciáj µ σ σ σ µ = = µ és σ = =, ho σ = i Y éld: Csörgőkígyók hossz közelítőleg ormális eloszlást követ.4 m átlggl és. m szórássl. Meyi vlószíűsége, hogy 5 tlálomr válsztott példáy hosszák átlg gyo.5 méterél? Megoldás: tehát ormális eloszlású, µ =µ =.4 σ σ. = = =. 4 5 Továik szokásos módo: µ σ. 5 µ σ (. 5) > = > = ( Z >. 5) =. 6,45,4,35,3,5,,5,,5 3.4 5 55.5 4 7 3 6 9 5 8 34 37 4 43 46 49 58 6 Meyit tuduk egy változóról, h csk z átlgát és szórását ismerjük? Mekkor vlószíűség trtozik z E ( ) ± S( ), zz z átlg ± szórás trtomáyhoz? ( E( ) S( ) S( + Mekkor vlószíűség trtozik z E( ) ± S( ), zz z átlg ± szórás trtomáyhoz? és így tová... E ( ) H változó ormális eloszlású tetszőleges ( E( ) S( ) + S( k. /3 em tudi ( E( ) S( ) + S( k. 95% 3 4 ( E( ) 3 S( ) + 3S( szite iztos 8 9 M M ( E( ) ks( ) ks( + empirikus szály (empiricl rule) k Cseisevegyelőtleség
Epoeciális eloszlás Folytoos eloszlás (-cslád, egy prméterrel, mit λ-vl jelölük), legtöször időtrtmok modellezésére hszálják: két eseméy / meghiásodás / st. között eltelt idő, h z eseméyeket z öregedés em efolyásolj éld: Villykörte, h em kpcsolgtják, st. (mikor meghiásodások em öregedéssel, kopássl, elhszálódássl kpcsoltosk) Eloszlásfüggvéye: F( ) = ( < ) e λ h > = egyékét.5.5 λ =.5: λ = -5 5-5 5 Sűrűségfüggvéye: f( ) = F' ( ) e λ λ h > = egyékét.5 λ =.5: -5 5 λ =.5-5 5 Várhtó értéke és szórás (itegrálássl kijö): E ( ) =, vr ( ) = λ λ