Mtemtik BSc tnárszk Anlízis IV. elődásjegyzet 2010/2011. tvszi félév Sikoly Eszter ELTE TTK Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszék 2011. október 11.
ii
Trtlomjegyzék Előszó v 1. Differenciálegyenletek 1 1.1. Rdioktív nyg bomlás (vgy szporodás)............................... 1 1.2. Inhomogén lineáris differenciálegyenlet................................... 2 1.3. Szétválszthtó változójú differenciálegyenletek.............................. 3 2. Többváltozós differenciálszámítás I. 5 2.1. Prciális derivált............................................... 5 2.1.1. f : R 2 R eset............................................ 5 2.1.2. Lokális szélsőérték és prciális derivált............................... 6 2.1.3. f : R p R eset............................................ 8 2.2. Differenciálhtóság.............................................. 8 2.2.1. Bevezető................................................ 8 2.2.2. f : R 2 R eset............................................ 9 2.2.3. Iránymenti derivált, Lgrnge-középértéktétel........................... 11 2.2.4. f : R p R eset............................................ 13 2.3. A Young-tétel................................................. 14 2.4. A Tylor-polinom............................................... 16 2.5. Kétszer differenciálhtó függvény szélsőértéke............................... 18 2.6. f : R p R eset................................................ 21 3. Többváltozós differenciálszámítás II. 23 3.1. f : R p R q függvények differenciálhtóság................................ 23 3.2. Differenciálási szbályok........................................... 24 4. Implicit és inverz függvények 29 4.1. Egyváltozós implicitfüggvény-tétel..................................... 29 4.2. Implicit- és inverzfüggvény-tételek..................................... 33 5. Ívhossz, vonlintegrál, primitív függvény 35 5.1. Görbe..................................................... 35 5.2. Vonlintegrál................................................. 38 5.3. Primitív függvény.............................................. 39 5.4. Folytonos függvény primitív függvénye................................... 40 5.5. Folytonosn differenciálhtó függvény primitív függvénye........................ 43 5.5.1. Prméteres integrál......................................... 43 5.5.2. Folytonosn differenciálhtó függvény csillgtrtományon.................... 44 5.6. A Newton-Leibniz tétel további áltlánosítási.............................. 45 5.6.1. Green tétele.............................................. 45 5.6.2. Felület, felszín............................................ 46 5.6.3. Integráltételek három dimenzióbn................................. 47 iii
TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK Tárgymuttó 49 iv
Előszó Ez jegyzet 2010/2011-es tnév tvszi félévében trtott mtemtik tnárszkos Anlízis IV. kurzus nygához készül. A jegyzet félév során folymtosn bővül, z utolsó változttás dátum címlpon láthtó. A jegyzetben bizonyár előfordulhtnk hibák ezek jelzését örömmel veszem seszter@cs.elte.hu e-mil-címen! A tételek, állítások, bizonyítások stb. után tlálhtó számok Lczkovich M. - T. Sós Ver: Anlízis II. c. könyv megfelelőire utlnk. Fontos jelölés: jegyzet során hsználom egy x = (x 1,..., x p ) R p vektor hosszár z x := x 2 1 + + x2 p jelölést. Ez z előző féléves szóhsználttl z x pontnk 0 R p origótól vett ún. euklideszi távolság, vgyis hol d 2 z R p -beli euklideszi metrikát jelöli. Néhány szó tnulásról. x = d 2 (x,0), 1. Jvslom, hogy ezen jegyzeten kívül z elődásokon készült óri jegyzetet is tnulmányozzák! 2. Az nyg egyszeri, lpos elolvsás megértést szolgálj z nyg elsjátításához nem elég. Ngybn megkönnyíti és megrövidíti vizsgidőszki felkészülést, h megértés félév során folymtosn történik, z nygbn vló hldássl párhuzmosn. 3. Az nyg első áttnulmányozás után például Tárgymuttó segítségével fejből próbálják meg leírni legfontosbb definíciókt és tételeket! H vlmi nem megy, lpozzák fel egyből megfelelő részt, és nézzék át újból! 4. H definíciókt és tételeket elsjátították, csk kkor kezdjék el bizonyítások megtnulását! Ez hsonlón végezhető, hogy z előző pontokbn leírtm. Minden bizonyításnál elsősorbn zokt lényeges állításokt, tételeket jegyezzék meg, mely(ek) bizonyítás fő lépéseit lkotják. 5. Végül, hogy z nyg ngyobb összefüggéseit is megértsék, szükség vn teljes nyg újból elolvsásár, vgy leglábbis főbb pontok áttekintésére. Ajánlott irodlom: Thoms-féle klkulus 3., Typotex, 2007. (Jól hsználhtók z 1-2. kötetek is) Fekete Z. - Zly M.: Többváltozós függvények nlízise, Műszki Könyvkidó, 2006. Lczkovich M. - T. Sós Ver: Anlízis II., Nemzeti Tnkönyvkidó, 2007. v
TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK vi
Első fejezet Differenciálegyenletek 1.1. Rdioktív nyg bomlás (vgy szporodás) y (t) = k y(t) y (t) y(t) = k ln y(t) = k t + ln c, c R + / exp( ) y(t) = c e kt, c R + y(t) = c e kt, c R. 1.1. Állítás. Minden olyn differenciálhtó y : R R függvényhez, melyre y = k y, létezik c R konstns, hogy y(t) = c e kt, t R. Bizonyítás. Legyen Ekkor tehát ϕ konstns. ϕ(t) := y(t) e kt. ϕ (t) = y (t) e kt ky(t) e kt = ky(t) e kt ky(t) e kt = 0, Áltlánosítv fenti problémát, keressük zokt z y, z I intervllumon értelmezett differenciálhtó függvényeket, melyekre teljesül, hogy y (x) = f(x)y(x), (1.1) hol f C(I). Világos, hogy h F egy primitív függvénye f-nek (minden folytonos függvénynek vn primitív függvénye, ld. 2. félév), kkor y(x) := c e F (x), x I megoldás tetszőleges c vlós szám esetén. A fenti 1.1. Állítás bizonyításávl nlóg módon láthtó, hogy csk ilyen lkú megoldások léteznek. 1.2. Péld. y (x) = x y(x) A megoldások z 1.1. ábrán láthtók. Kezdetiérték-feldt megoldás Keresünk olyn differenciálhtó y : I R függvényt, melyre y (x) = f(x) y(x), y(x 0 ) = y 0 R. x I 1
1.2. INHOMOGÉN LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLET ELSŐ FEJEZET 1.1. ábr. y(x) = c e x2 2, c R Válsszunk f-nek olyn F primitív függvényét, melyre F (x 0 ) = 0, tehát F (x) := x x 0 f(t) dt, és legyen c := y 0. Ekkor jó megoldás, hiszen y(x) = c e F (x) x f(t) dt x = y 0 e 0 x0 f(t) x y(x 0 ) = y 0 e dt 0 = y 0. 1.3. Péld. { y (x) = x y(x), y(0) = 1 Ekkor z 1.2. Péld megoldási közül csk z y(x) = e x2 2 megoldás. 1.2. Inhomogén lineáris differenciálegyenlet Keressük zokt z y, z I intervllumon értelmezett differenciálhtó függvényeket, melyekre teljesül, hogy y (x) = f(x)y(x) + g(x), hol f, g C(I). Megszorozv z egyenlet mindkét oldlát egy tetszőleges ρ differenciálhtó függvénnyel, kpjuk, hogy y (x)ρ(x) ρ(x)f(x)y(x) = ρ(x)g(x). H elérjük, hogy legyen, kkor kpott egyenlet ρ(x)f(x) = ρ (x) (1.2) [y(x)ρ(x)] = ρ(x)g(x) lkúvá egyszerűsödik. Az (1.1) megoldásából kpjuk (1.2)-re, hogy F (x) ρ(x) = e 2
ELSŐ FEJEZET 1.3. SZÉTVÁLASZTHATÓ VÁLTOZÓJÚ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK egy jó megoldás, hol F f egy primitív függvénye. Ebből, mivel ρ g C(I), vgyis Riemnn-integrálhtó is, hol x 0 I tetszőleges. [y(x)ρ(x)] = ρ(x)g(x) y(x)ρ(x) = c + x x 0 ρ(t)g(t) dt y(x) = c e F (x) + e F (x) x e F (t) g(t) dt x 0 x = c e F (x) + e F (x) F (t) g(t) dt, x 0 H kezdeti érték is dv vn, vgyis y(x 0 ) = y 0, kkor válsszuk ismét F -et úgy, hogy F (x 0 ) = 0 legyen, vgyis F (x 0 ) = x x 0 f(t) dt, és c := y 0. Ekkor y(x 0 ) = y 0 e F (x0) + e F (x0) x0 x 0 e F (t) g(t) dt = y 0. 1.4. Péld. A megoldások z 1.2. ábrán láthtók. y (x) + y(x) x = x + 1 e x x 1.2. ábr. y(x) = e x + c x, c R 1.5. Péld. { y (x) + y(x) x = x+1 x ex, y(1) = e. Ekkor z 1.4. Péld megoldási közül csk z y(x) = e x, D(y) = (0, + ) megoldás. 1.3. Szétválszthtó változójú differenciálegyenletek Keressük zokt z y : I J intervllumon értelmezett differenciálhtó függvényeket, melyekre teljesül, hogy y (x) = f(x) g(y(x)), hol f C(I), g C(J). Tegyük fel, hogy 0 / R(g). Ekkor 3
1.3. SZÉTVÁLASZTHATÓ VÁLTOZÓJÚ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK ELSŐ FEJEZET y (x) g(y(x)) = f(x). H G 1 g egy primitív függvénye, vgyis G(y) = y 1 y 0 g(t) dt, kkor mindkét oldlt integrálv x G(y(x)) = c + f(t) dt. x 0 Szerencsés esetben ebből y(x) ki is fejezhető. 1.6. Péld. A megoldások z 1.3. ábrán láthtók. y 2 (x) y (x) = 1 2x 1.3. ábr. y(x) = 3 3 3 x x 2 + c, c R 4
Második fejezet Többváltozós differenciálszámítás I. Emlékeztető f : R 2 R függvény grfikonj 2.1. ábr. Kétváltozós függvény grfikonj 2.1. Prciális derivált 2.1.1. f : R 2 R eset Grph(f) = {(x, y, z) : (x, y) D(f), z = f(x, y)} R 3 2.1. Definíció (19.54). Legyen f : R 2 R, (, b) int D(f). Az f függvény x szerinti vgy első változó szerinti prciális deriváltj létezik (, b)-ben, h f(x, b) f(, b) f( + h, b) f(, b) lim = lim R. x x h 0 h Jelölés: D 1 f(, b) vgy f x (, b) vgy f x(, b) stb. Itt tuljdonképpen z történik, hogy z (, b) pont 2. koordinátáját lerögzítjük, és z így kpott x f(x, b) egyváltozós függvényt deriváljuk -bn. 2.2. Definíció (19.54). Legyen f : R 2 R, (, b) int D(f). Az f függvény y szerinti vgy második változó szerinti prciális deriváltj létezik (, b)-ben, h f(, y) f(, b) f(, b + h) f(, b) lim = lim R. y b y b h 0 h 5
2.1. PARCIÁLIS DERIVÁLT MÁSODIK FEJEZET 2.2. ábr. x szerinti prciális derivált 2.3. ábr. y szerinti prciális derivált Jelölés: D 2 f(, b) vgy f y (, b) vgy f y(, b) stb. Itt tuljdonképpen z történik, hogy z (, b) pont 1. koordinátáját lerögzítjük, és z így kpott y f(, y) egyváltozós függvényt deriváljuk b-ben. 2.3. Definíció. Az f : R 2 R függvény első ill. második prciális deriváltfüggvénye D 1 f : R 2 R ill. D 2 f : : R 2 R D(D 1 f) = {(x, y) int D(f) : D 1 f(x, y)}, (D 1 f)(x, y) := D 1 f(x, y) D(D 2 f) = {(x, y) int D(f) : D 2 f(x, y)}, (D 2 f)(x, y) := D 2 f(x, y) 2.4. Definíció (19.78). Az f : R 2 R másodrendű prciális deriváltjit z első ill. második prciális deriváltfüggvények további pricális deriváltjiból nyerjük: D 11 f := D 1 (D 1 f), D 12 f := D 1 (D 2 f), D 21 f := D 2 (D 1 f), D 22 f := D 2 (D 2 f) 2.1.2. Lokális szélsőérték és prciális derivált 2.5. Definíció (19.57). Az f : R 2 R függvénynek lokális minimum ill. mximum (lokális szélsőértéke) vn z (, b) int D(f) pontbn, h (, b)-nek létezik olyn U = B((, b), r) környezete, hogy f(x, y) f(, b) ill. f(x, y) f(, b) (x, y) U. Az f(, b) R szám z f lokális minimum ill. mximum (, b)-ben. H f(x, y) > f(, b) ill. f(x, y) < f(, b) (x, y) U teljesül, kkor f-nek szigorú lokális minimum ill. mximum (szigorú lokális szélsőértéke) vn (, b)-ben. 6
MÁSODIK FEJEZET 2.1. PARCIÁLIS DERIVÁLT 2.4. ábr. Lokális mximum 2.6. Tétel (Lokális szélsőérték szükséges feltétele, 19.58). H z f : R 2 R függvénynek z (, b) int D(f) pontbn lokális szélsőértéke vn, és léteznek prciális deriváltji (, b)-ben, kkor D 1 f(, b) = D 2 f(, b) = 0. Bizonyítás. Könnyen láthtó, hogy h z f : R 2 R függvénynek z (, b) int D(f) pontbn lokális szélsőértéke vn, kkor z x f(x, b) ill. y f(, y) egyváltozós függvényeknek is lokális szélsőértéke vn -bn ill. b-ben. Az állítás 2.1. és 2.2. Definíciókból, vlmint z egyváltozós differenciálszámítás keretében tnultkból dódik. 2.7. Péld. Az f(x, y) = sgn (xy) függvényre D 1 f(0,0) = D 2 f(0,0) = 0, mégsincs lokális szélsőértéke (0,0)-bn. 2.8. Péld. Az f(x, y) = xy (nyeregfelület) függvényre D 1 f(0,0) = D 2 f(0,0) = 0, mégsincs lokális szélsőértéke (0,0)-bn. 2.5. ábr. f(x, y) = xy 2.9. Tétel (19.59). Legyen f z A korlátos és zárt hlmzon értelmezett folytonos függvény, és tegyük fel, hogy f-nek léteznek prciális deriváltji int A pontjibn. Ekkor f legkisebb és legngyobb értékét vgy A-n veszi fel, vgy int A egy olyn pontjábn, hol D 1 f(, b) = D 2 f(, b) = 0. Bizonyítás. Az előző félévben láttuk (ld. Áltlánosított Weierstrss-tétel), hogy f-nek vn legkisebb és legngyobb értéke A-n. A tétel így 2.6. Tételből dódik. 2.10. Péld (19.56). Az f(x, y) = { xy x 2 +y, 2 (x, y) (0,0) 0, (x, y) = (0,0) függvénynek léteznek prciális deriváltji (0,0)-bn, D 1 f(0,0) = D 2 f(0,0) = 0, de függvény nem folytonos (0,0)-bn (ld. előző félév.) 7
2.2. DIFFERENCIÁLHATÓSÁG MÁSODIK FEJEZET 2.1.3. f : R p R eset A fentiek könnyen áltlánosíthtók p változós függvényekre. Például: 2.11. Definíció (19.54). Legyen f : R p R, = ( 1,..., p ) int D(f), i {1,..., p}. Az f függvény i. változó szerinti prciális deriváltj létezik -bn, h lim t i f( 1,... i 1, t, i+1,..., p ) f( 1,..., p ) t i R. Jelölés: D i f() vgy f x i () vgy f x i (, b) stb. Itt tuljdonképpen z történik, hogy z pont összes koordinátáját lerögzítjük z i. kivételével, és z így kpott t f( 1,... i 1, t, i+1,..., p ) egyváltozós függvényt deriváljuk i -ben. 2.2. Differenciálhtóság 2.2.1. Bevezető 2.12. Definíció. Egy f : R R függvény differenciálhtó z int D(f) pontbn, h f(x) f() lim = f () R x x f(x) f() f () (x ) lim = 0 (2.1) x x f(x) = f() + f () (x ) + ε(x) (x ), lim ε(x) = 0. (2.2) x (x,f(x)) szelõ f(x) f() (,f()) x érintõ x 2.6. ábr. Egyváltozós függvény deriváltj -bn 2.13. Megjegyzés. Az y = f() + f () (x ) függvény pontbeli érintőjének egyenlete. 2.14. Definíció (Ld. lineáris lgebr). Az l : R 2 R (homogén) lineáris függvény, h α 1, α 2 R, hogy l(x, y) = α 1 x + α 2 y, (x, y) R 2. (Itt α 1 = l(1,0), α 2 = l(0,1).) 8
MÁSODIK FEJEZET 2.2. DIFFERENCIÁLHATÓSÁG 2.2.2. f : R 2 R eset 2.15. Definíció (19.61). Legyen f : R 2 R függvény, (, b) int D(f). Azt mondjuk, hogy f differenciálhtó z (, b) pontbn, h létezik olyn l = l (,b) : R 2 R lineáris függvény, melyre f(x, y) f(, b) l(x, y b) lim = 0 (vö. (2.1)) (2.3) (x,y) (,b) (x, y b) f(x, y) = f(, b) + l(x, y b) + ε(x, y) (x, y b), 2.16. Tétel (19.64). H f differenciálhtó (, b)-ben, kkor folytonos is (, b)-ben. lim ε(x, y) = 0 (vö. (2.2)) (2.4) (x,y) (,b) Bizonyítás. A (2.4) egyenlet lpján könnyen ellenőrizhető, hogy lim (x,y) (,b) f(x, y) = f(, b), tehát f folytonos (, b)-ben. 2.17. Tétel (19.65). H f differenciálhtó (, b)-ben, kkor f-nek léteznek prciális deriváltji (, b)-ben, és fenti definícióbn l(x, y) = D 1 f(, b) x + D 2 f(, b) y. Bizonyítás. Tekintsük differenciálhtóság (2.3) definícióját és rögzítsük le y = b-t! Ekkor l(x, y) = α 1 x + α 2 y jelöléssel kpjuk, hogy f(x, b) f(, b) α 1 (x ) lim = 0, x x miből 2.1. Definíció lpján következik, hogy D 1 f(, b) = α 1. A D 2 f(, b) = α 2 hsonlón dódik. 2.7. ábr. Kétváltozós függvény deriváltj 2.18. Következmény (19.66). Legyen f : R 2 R függvény, (, b) int D(f). Az f pontosn kkor differenciálhtó z (, b) pontbn, h ott léteznek prciális deriváltji D 1 f(, b) és D 2 f(, b), továbbá f(x, y) f(, b) D 1 f(, b) (x ) D 2 f(, b) (y b) lim = 0 (2.5) (x,y) (,b) (x, y b) f(x, y) = f(, b) + D 1 f(, b) (x ) + D 2 f(, b) (y b) + ε(x, y) (x, y b), lim ε(x, y) = 0 (x,y) (,b) 2.19. Definíció (19.68). H f differenciálhtó (, b)-ben, kkor z f (, b) := (D 1 f(, b), D 2 f(, b)) R 2 vektort függvény (, b)-beli deriváltvektoránk vgy grdiensének nevezzük. 9
2.2. DIFFERENCIÁLHATÓSÁG MÁSODIK FEJEZET 2.20. Tétel (19.69). Legyen f : R 2 R függvény, (, b) int D(f), és tegyük fel, hogy D 1 f és D 2 f prciális deriváltfüggvények léteznek z (, b) pont egy környezetében és folytonosk (, b)-ben. Ekkor f differenciálhtó (, b)- ben. Bizonyítás. Legyen ε > 0 rögzítve. Megmuttjuk, hogy létezik δ > 0, hogy h (x, y) (, b) < δ, kkor f(x, y) f(, b) D 1 f(, b) (x ) D 2 f(, b) (y b) < ε (x, y b), mivel 2.18. Következmény lpján z állítást beláttuk. 2.8. ábr. A D 1 f és D 2 f prciális deriváltfüggvények folytonosság mitt létezik δ > 0, hogy h (x, y) (, b) < δ, kkor D 1 f(x, y) D 1 f(, b) < ε 2 és D 2f(x, y) D 2 f(, b) < ε 2. (2.6) Rögzítsünk le egy (x, y) (, b) < δ tuljdonságú (x, y) pontot és lklmzzuk z t f(x, t) függvényre z egyváltozós Lgrnge-középértéktételt [b, y] (vgy [y, b]) szkszon! Eszerint létezik c = c(x, y) [b, y] pont, melyre f(x, y) f(x, b) = D 2 f(x, c) (y b). (2.7) Alklmzv most t f(t, b) függvényre z egyváltozós Lgrnge-középértéktételt [, x] (vgy [x, ]) szkszon kpjuk, hogy létezik d = d(x, y) [, x] pont, melyre f(x, b) f(, b) = D 1 f(d, b) (x ). (2.8) A feltételekből dódik, hogy is teljesül, miből (2.6) lpján (x, c) (, b) < δ és (d, b) (, b) < δ A (2.7), (2.8) és (2.9) felhsználásávl mivel bizonyítás kész. D 2 f(x, c) D 2 f(, b) < ε 2, és D 1f(d, b) D 1 f(, b) < ε 2. (2.9) f(x, y) f(, b) D 1 f(, b) (x ) D 2 f(, b) (y b) f(x, y) f(x, b) D 2 f(, b) (y b) + f(x, b) f(, b) D 1 f(, b) (x ) = D 2 f(x, c) (y b) D 2 f(, b) (y b) + D 1 f(d, b) (x ) D 1 f(, b) (x ) < ε 2 y b + ε x < ε (x, y b), 2 2.21. Definíció. Az f : R 2 R függvényt kétváltozós polinomfüggvénynek (vgy polinomnk) nevezzük, h z f(x, y) függvényérték c x n y m (c R, n, m N) lkú tgok összegeként áll elő. Két kétváltozós polinom hánydosát kétváltozós rcionális törtfüggvénynek nevezzük. 10
MÁSODIK FEJEZET 2.2. DIFFERENCIÁLHATÓSÁG 2.22. Következmény (19.70). A polinomfüggvények mindenütt differenciálhtók. A rcionális törtfüggvények differenciálhtók z értelmezési trtományuk minden pontjábn. 2.23. Definíció (19.72). Legyen (, b) int D(f) és f differenciálhtó (, b)-ben. Ekkor z f függvény (, b) pontbeli érintősíkj z = f(, b) + D 1 f(, b) (x ) + D 2 f(, b) (y b) egyenletű sík. Átrendezve, 0 = D 1 f(, b) (x ) + D 2 f(, b) (y b) + ( 1)(z f(, b)), tehát z érintősík z R 3 tér egy (, b, f(, b)) ponton átmenő (D 1 f(, b), D 2 f(, b), 1) normálvektorú síkj. 2.9. ábr. Az f(x, y) = x 2 + y 2 + 3 függvény egy érintősíkj 2.24. Megjegyzés. A derivált definíciójából dódik, hogy z érintősík elég közel vn függvény grfikonjához, hiszen f(x, y) (f(, b) + D 1 f(, b) (x ) + D 2 f(, b) (y b)) lim = 0, (x,y) (,b) (x, y b) hol számlálóbn z f(x, y) és z érintősík megfelelő pontjánk távolság szerepel. 2.2.3. Iránymenti derivált, Lgrnge-középértéktétel 2.25. Definíció (19.74). Legyen v = (v 1, v 2 ) egy egységvektor, vgyis v = v1 2 + v2 2 = 1. Az f : R 2 R függvény (, b) int D(f) pontbeli v irányú iránymenti deriváltj létezik, h f((, b) + t (v 1, v 2 )) f(, b) f( + tv 1, b + tv 2 ) f(, b) lim = lim R. t 0 t t 0 t Jelölés: D v f(, b) vgy f v (, b). Itt tuljdonképpen z történik, hogy t f((, b) + t (v 1, v 2 )) egyváltozós függvényt deriváljuk 0-bn. 2.26. Megjegyzés (19.76). A prciális deriváltk vlójábn speciális iránymenti deriváltk: D 1 f(, b) = D (1,0) f(, b), D 2 f(, b) = D (0,1) f(, b) 2.27. Tétel (19.75). H egy f : R 2 R függvény differenciálhtó z (, b) int D(f) pontbn, kkor ebben pontbn létezik minden v = (v 1, v 2 ), v = 1 irány menti deriváltj D v f(, b), továbbá D v f(, b) = f (, b), v = (D 1 f(, b), D 2 f(, b)), (v 1, v 2 ) = D 1 f(, b) v 1 + D 2 f(, b) v 2 11
2.2. DIFFERENCIÁLHATÓSÁG MÁSODIK FEJEZET 2.10. ábr. Iránymenti derivált Bizonyítás. A bizonyításbn z egyszerűség kedvéért (, b) helyett írjunk -t, (x, y) helyett pedig x-et. Ekkor 2.18. Következmény lpján f differenciálhtóság -bn zt jelenti, hogy létezik olyn ε függvény, melyre f(x) = f() + f (), x + ε(x) x, lim ε(x) = 0. x Írjunk x helyébe + t v-t! Ekkor f( + t v) = f() + f (), t v + ε( + t v) t v. Mivel skláris szorzás lineáris, vlmint v = 1, ezért ebből f( + t v) f() t Elvégezve lim t 0 htárátmenetet kpjuk, hogy = f (), v ± ε( + t v). (2.10) D v f() = f (), v. 2.28. Péld. Olyn függvényre, melynek minden v irányú deriváltj létezik (0,0)-bn, de mégcsk nem is folytonos (0,0)-bn, ld. 2.11. ábr. 2.11. ábr. f(x, y) = 1, (x, y) Γ, f(x, y) = 0, (x, y) / Γ. 2.29. Definíció. Legyenek = ( 1, 2 ), b = (b 1, b 2 ) R 2 pontok síkon. Az [, b] szksz z [, b] := { + t (b ) : t [0,1]} = {(1 t) + t b : t [0,1]} ponthlmz. 12
MÁSODIK FEJEZET 2.2. DIFFERENCIÁLHATÓSÁG 2.30. Tétel (Lgrnge-középértéktétel, 19.77). Legyen z f : R 2 R függvény differenciálhtó z [, b] szksz pontjibn,, b R 2. Ekkor () z F (t) := f( + t (b )), t [0,1] függvény differenciálhtó [0,1]-en és (b) létezik olyn c [, b] pont, melyre F (t) = f ( + t (b )), b, t [0,1]; f(b) f() = f (c), b = D 1 f(c) (b 1 1 ) + D 2 f(c) (b 2 2 ). Bizonyítás. () Legyen t [0,1] rögzítve. Azt kell belátnunk, hogy F (t + h) F (t) lim = f ( + t (b )), b. h 0 h Definíció szerint F (t + h) = f( + (t + h) (b )) = f( + t (b ) + h (b )). Jelölje ã := + t (b ), v := b. Ekkor belátndó állítás f(ã + h v) f(ã) lim = f (ã), v, h 0 h mi dódik 2.27. Tétel bizonyításábn szereplő (2.10) egyenlőségből, z ott látottkkl teljesen nlóg módon. (Könnyen meggondolhtó, hogy bizonyítás v = 1 feltétel nélkül is működik.) (b) Az () pont jelölésével f(b) = F (1), f() = F (0). Mivel F differenciálhtó [0,1]-en, ezért z egyváltozós Lgrngeközépértéktétel szerint létezik u (0,1), melyre f(b) f() = F (1) F (0) 1 0 = F (u) = f ( + u (b )), b z () pont lpján. Ebből c := + u (b ) [, b] jelöléssel következik z állítás. 2.2.4. f : R p R eset Könnyen meggondolhtó, hogy fentiek hogyn áltlánosíthtók p változós esetre. 2.31. Definíció (Ld. lineáris lgebr). Az l : R p R (homogén) lineáris függvény, h α 1,..., α p R, hogy (Itt α 1 = l(1,0,...,0),..., α p = l(0,...,0,1).) l(x) = α 1 x 1 + + α p x p, x = (x 1,..., x p ) R p. 2.32. Definíció (19.61). Legyen f : R p R függvény, = ( 1,..., p ) int D(f). Azt mondjuk, hogy f differenciálhtó z pontbn, h létezik olyn l = l : R p R lineáris függvény, melyre f(x) f() l(x ) lim = 0 x x f(x) = f() + l(x ) + ε(x) x, lim x ε(x) = 0 2.33. Tétel (19.64). H f : R p R differenciálhtó -bn, kkor folytonos is -bn. 2.34. Tétel (19.65). A fenti definícióbn l(x) = D 1 f() x 1 + + D p f() x p. 2.35. Definíció (19.68). H f differenciálhtó -bn, kkor z f () := (D 1 f(),..., D p f()) R p vektort függvény -beli deriváltvektoránk vgy grdiensének nevezzük. 13
2.3. A YOUNG-TÉTEL MÁSODIK FEJEZET 2.36. Tétel (19.69). Legyen f : R p R függvény, int D(f), és tegyük fel, hogy D 1 f,..., D p f prciális deriváltfüggvények mind értelmezve vnnk z pont egy környezetében és folytonosk -bn. Ekkor f differenciálhtó -bn. 2.37. Definíció (19.72). Legyen int D(f) és f differenciálhtó -bn. Ekkor z f függvény pontbeli érintő hipersíkj x p+1 = f() + D 1 f() (x 1 1 ) + + D p f() (x p p ) egyenletű hipersík. Átrendezve, 0 = D 1 f() (x 1 1 ) + + D p f() (x p p ) + ( 1)(x p+1 f()), tehát z érintő hipersík z R p+1 tér egy ( 1,..., p, f()) ponton átmenő (D 1 f(),..., D p f(), 1) normálvektorú hipersíkj. 2.38. Definíció (19.74). Legyen v R p egy egységvektor, vgyis v = v1 2 + + v2 p = 1. Az f : R p R függvény int D(f) pontbeli v irányú iránymenti deriváltj létezik, h f( + t v) f() lim R. t 0 t Jelölés: D v f() vgy f v (). Itt tuljdonképpen z történik, hogy t f( + t v) egyváltozós függvényt deriváljuk 0-bn. 2.39. Tétel (19.75). H egy f : R p R függvény differenciálhtó z int D(f) pontbn, kkor ebben pontbn létezik minden v R p, v = 1 irány menti deriváltj D v f(), továbbá D v f() = f (), v = (D 1 f(),..., D p f()), (v 1,..., v p ) = D 1 f() v 1 + + D p f() v p 2.40. Definíció. Legyenek, b R p pontok síkon. Az [, b] (áltlánosított) szksz z ponthlmz. [, b] := { + t (b ) : t [0,1]} = {(1 t) + t b : t [0,1]} 2.41. Tétel (Lgrnge-középértéktétel, 19.77). Legyen z f : R p R függvény differenciálhtó z [, b] szksz pontjibn,, b R p. Ekkor () z F (t) := f( + t (b )), t [0,1] függvény differenciálhtó [0,1]-en és (b) létezik olyn c [, b] pont, melyre 2.3. A Young-tétel F (t) = f ( + t (b )), b, t [0,1]; f(b) f() = f (c), b = D 1 f(c) (b 1 1 ) + + D p f(c) (b p p ). Az lábbi tétel rról szól, hogy mikor cserélhető fel z egyes változók szerinti deriválás sorrendje. 2.42. Tétel (Young, 19.80). H z f : R 2 R függvény D 1 f és D 2 f prciális deriváltfüggvényei értelmezve vnnk z (, b) int D(f) pont egy környezetében és differenciálhtók z (, b) pontbn, kkor D 12 f(, b) = D 21 f(, b). 14
MÁSODIK FEJEZET 2.3. A YOUNG-TÉTEL 2.12. ábr. Lemm Young-tételhez 2.43. Lemm (19.81). 1. H D 1 f prciális deriváltfüggvény értelmezve vn z (, b) int D(f) pont egy környezetében és differenciálhtó z (, b) pontbn, kkor f( + h, b + h) f( + h, b) f(, b + h) + f(, b) lim h 0 h 2 = D 21 f(, b). (2.11) 2. H D 2 f prciális deriváltfüggvény értelmezve vn z (, b) int D(f) pont egy környezetében és differenciálhtó z (, b) pontbn, kkor f( + h, b + h) f( + h, b) f(, b + h) + f(, b) lim h 0 h 2 = D 12 f(, b). (2.12) Bizonyítás. Az 1. pontot bizonyítjuk, 2. teljesen hsonlón megy. A differenciálhtóság 2.18. Következménybeli definícióját felírv D 1 függvényre (, b)-ben kpjuk, hogy D 1 f(x, y) = D 1 f(, b) + D 11 f(, b) (x ) + D 21 f(, b) (y b) + ε(x, y) (x, y b), (2.13) hol lim (x,y) (,b) ε(x, y) = 0. Rögzített h > 0 esetén jelölje egyváltozós függvényt. Ekkor lemm állításábn szereplő kifejezésre u h (x) := f(x, b + h) f(x, b) (2.14) f( + h, b + h) f( + h, b) f(, b + h) + f(, b) = u h ( + h) u h (). (2.15) Mivel f z első változój szerint differenciálhtó (, b) egy környezetében, ezért kis h esetén u h := u is differenciálhtó z pont egy környezetében. Alklmzzuk egy ilyen u-r z egyváltozós Lgrnge-középértéktételt [, + h]-n! Eszerint létezik α = α(h) [, + h], melyre u( + h) u() = u (α) h = (D 1 f(α, b + h) D 1 f(α, b)) h (2.16) z u (2.14) definíciój lpján. Most írjuk fel (2.13) egyenlőséget (x, y) helyett (α, b + h)-r ill. (α, b)-re! Ebből D 1 f(α, b + h) = D 1 f(, b) + D 11 f(, b) (α ) + D 21 f(, b) h + ε(α, b + h) (α, h) ; D 1 f(α, b) = D 1 f(, b) + D 11 f(, b) (α ) + D 21 f(, b) 0 + ε(α, b) α. (2.17) Összevetve (2.15), (2.16) és (2.17) egyenlőségeket kpjuk, hogy f( + h, b + h) f( + h, b) f(, b + h) + f(, b) h 2 u( + h) u() = h 2 = D 1f(α, b + h) D 1 f(α, b) h (α, h) = D 21 f(, b) + ε(α, b + h) ε(α, b) h 15 α. h
2.4. A TAYLOR-POLINOM MÁSODIK FEJEZET Mivel α h, ezért z utolsó két tgbn törtek korlátosk, h 0 esetén α = α(h), így lim (x,y) (,b) ε(x, y) = = 0 mitt lim h 0 ε(α, b + h) = lim h 0 ε(α, b) = 0. Ebből és ezt kellett belátnunk. f( + h, b + h) f( + h, b) f(, b + h) + f(, b) lim h 0 h 2 = D 21 f(, b), Bizonyítás. (Young-tételé) Mivel Young-tétel feltételei lpján Lemm mindkét pontjánk feltétele teljesül, ezért szükségképpen D 12 f(, b) = D 21 f(, b). 2.44. Péld. A Young-tétel nem teljesül z lábbi függvényre: f(x, y) = {xy x2 y 2 x 2 +y, 2 (x, y) (0,0), 0, (x, y) = (0,0). 2.45. Definíció (18.28). Legyen f differenciálhtó z (, b) R 2 pont egy környezetében. H f prciális deriváltfüggvényei differenciálhtók z (, b) pontbn, kkor zt mondjuk, hogy f kétszer differenciálhtó z (, b) pontbn. A definícióból nyilvánvló, hogy h f kétszer differenciálhtó (, b)-ben, kkor teljesül rá Young-tétel. 2.4. A Tylor-polinom 2.46. Definíció. Legyen z f : R 2 R függvény differenciálhtó z (, b) int D(f) pontbn. Ekkor z f függvény (, b) pontbeli 1. Tylor-polinomj T f 1,(,b) (x, y) = f(, b) + D 1f(, b) (x ) + D 2 f(, b) (y b) z legfeljebb elsőfokú polinomfüggvény, melynek grfikonj z érintősík. A (2.5) képlet lpján f(x, y) T f 1,(,b) (x, y) lim = 0, (x,y) (,b) (x, y b) mit úgy is mondhtunk, hogy z 1. Tylor-polinom elsőrendben közelíti f-et, mivel nevezőben z (x, y b) vektor hosszánk első htvány szerepel. 2.47. Definíció (19.92). Legyen z f : R 2 R függvény kétszer differenciálhtó z (, b) int D(f) pontbn. Ekkor z f függvény (, b) pontbeli 2. Tylor-polinomj T f 2,(,b) (x, y) = f(, b) + D 1f(, b) (x ) + D 2 f(, b) (y b)+ + 1 ( D11 f(, b) (x ) 2 + D 21 f(, b) (x ) (y b) + D 12 f(, b) (x ) (y b) + D 22 f(, b) (y b) 2) 2! egy legfeljebb másodfokú polinomfüggvény. Jelölés. Legyen z f : R 2 R függvény kétszer differenciálhtó z (, b) int D(f) pontbn. Jelölje d 1 f(, b) : : R 2 R és d 2 f(, b) : R 2 R z lábbi (kétváltozós) függvényeket: ( d 1 f(, b) ) (x, y) := D 1 f(, b) x + D 2 f(, b) y; ( d 2 f(, b) ) (x, y) := D 11 f(, b) x 2 + D 21 f(, b) x y + D 12 f(, b) x y + D 22 f(, b) y 2 = D 11 f(, b) x 2 + 2D 21 f(, b) x y + D 22 f(, b) y 2 16
MÁSODIK FEJEZET 2.4. A TAYLOR-POLINOM Ezzel jelöléssel T f 2,(,b) (x, y) = f(, b) + (d1 f(, b))(x, y b) + 1 2! (d2 f(, b))(x, y b) (2.18) Ez ngyon hsonlít z f : R R függvények 2. Tylor-polinomjánk lkjához: T f 2, (x) = f() + f () (x ) + 1 2 f () (x ) 2. Az lábbikbn megmuttjuk, hogy 2. Tylor-polinom másodrendben közelíti függvényt. 2.48. Tétel (19.91). T f 2,(,b) (, b) = f(, b), D it f 2,(,b) (, b) = D if(, b), D ij T f 2,(,b) (, b) = D ijf(, b), i, j = 1,2. Továbbá, h p olyn legfeljebb másodfokú polinomfüggvény, melyre fentiek teljesülnek, kkor p = T f 2,(,b). Bizonyítás. A tétel első része egyszerű számolássl ellenőrizhető. A második részt nem bizonyítjuk. 2.49. Tétel (19.97). Legyen z f : R 2 R függvény kétszer differenciálhtó z (, b) int D(f) pontbn. Ekkor 1. vgyis T f 2,(,b) másodrendben közelíti függvényt. f(x, y) T f 2,(,b) (x, y) lim (x,y) (,b) (x, y b) 2 = 0, (2.19) 2. H p olyn legfeljebb másodfokú polinomfüggvény, melyre (2.19) teljesül, kkor p = T f 2,(,b). Bizonyítás. Az 1. pontot bizonyítjuk, 2-t nem. Jelölje g(x, y) := f(x, y) T f 2,(,b) (x, y). A 2.48. Tétel szerint g(, b) = 0, D i g(, b) = 0, D ij g(, b) = 0, i, j = 1,2. (2.20) Mivel f és T f 2,(,b) differenciálhtó z (, b) egy környezetében, így g is. Legyen (x, y) ebből környezetből, és lklmzzuk g-re 2.30. Lgrnge-középértéktételt z [(, b), (x, y)] szkszon! Eszerint létezik c = (c 1, c 2 ) [(, b), (x, y)], melyre g(x, y) = g(x, y) g(, b) = D 1 g(c) (x ) + D 2 g(c) (y b). (2.21) Mivel f kétszer differenciálhtó (, b)-ben, T f 2,(,b) pedig kárhányszor differenciálhtó síkon (hiszen polinom), ezért g is kétszer differenciálhtó (, b)-ben. Definíció szerint és (2.20) lpján D 1 g(x, y) = D 1 g(, b) + D 11 g(, b) (x ) + D 21 g(, b) (y b) + ε 1 (x, y) (x, y b) = ε 1 (x, y) (x, y b) D 2 g(x, y) = D 2 g(, b) + D 12 g(, b) (x ) + D 22 g(, b) (y b) + ε 2 (x, y) (x, y b) = ε 2 (x, y) (x, y b). Ezeket felírv (x, y) helyett c = (c 1, c 2 )-re kpjuk, hogy D 1 g(c) = ε 1 (c) (c 1, c 2 b), A kpott kifejezéseket (2.21)-be helyettesítve D 2 g(c) = ε 2 (c) (c 1, c 2 b). g(x, y) = ε 1 (c) (c 1, c 2 b) (x ) + ε 2 (c) (c 1, c 2 b) (y b). A c pont válsztás mitt (x, y) (, b) esetén c = (c 1, c 2 ) (, b). Továbbá, nyilván (c 1, c 2 b) (x, y b), x (x, y b) és y b (x, y b). Ezek lpján f(x, y) T f 2,(,b) (x, y) lim (x,y) (,b) (x, y b) 2 = lim (x,y) (,b) = lim (x,y) (,b) = 0, g(x, y) (x, y b) 2 ( ε 1 (c) (c 1, c 2 b) (x ) (x, y b) 2 + ε 2 (c) (c 1, c 2 b) (y b) (x, y b) 2 mivel z utolsó két tgbn törtek korlátosk és lim (x,y) (,b) ε 1 (x, y) = lim (x,y) (,b) ε 2 (x, y) = 0. ) 17
2.5. KÉTSZER DIFFERENCIÁLHATÓ FÜGGVÉNY SZÉLSŐÉRTÉKE MÁSODIK FEJEZET 2.5. Kétszer differenciálhtó függvény szélsőértéke, konvexitás A továbbikbn célunk, hogy - z egyváltozós esethez hsonlón - elégséges feltételt djunk kétszer differenciálhtó függvények lokális szélsőértékének létezésére ill. konvexitásár. Ehhez szükségünk lesz kvdrtikus lk foglmár. 2.50. Definíció. Legyen q : R 2 R polinom. Azt mondjuk, hogy q kvdrtikus lk, h q(x, y) = c 11 x 2 + c 21 xy + c 12 yx + c 22 y 2. (2.22) 2.13. ábr. Pozitív definit kvdrtikus lk, q(x, y) = 1 2 (x2 + y 2 ) 2.51. Péld. Kvdrtikus lkr: f kétszer differenciálhtó (, b)-ben, q = d 2 f(, b) ( d 2 f(, b) ) (x, y) = D 11 f(, b) x 2 + D 21 f(, b) x y + D 12 f(, b) x y + D 22 f(, b) y 2. (2.23) 2.52. Definíció (19.98). Egy q : R 2 R kvdrtikus lk pozitív ill. negtív definit, h minden (x, y) R 2 \{(0,0)} esetén q(x, y) > 0 ill. q(x, y) < 0. A kvdrtikus lkot pozitív ill. negtív szemidefinitnek hívjuk, h z előbbiekben egyenlőség is meg vn engedve. Egy q : R 2 R kvdrtikus lk indefinit, h felvesz pozitív és negtív értékeket is. 2.14. ábr. Indefinit kvdrtikus lk, q(x, y) = 1 2 (y2 x 2 ) 2.53. Megjegyzés. A fenti definícióbn feltételek teljesülését elég egy bszolút értékű (hosszú) (x, y) R 2 vektorokr megkövetelni. Továbbá, lineáris lgebrából ismeretes, hogy egy q kvdrtikus lk definitsége (2.22) egyenletben szereplő együtthtókból képezett ( ) c11 c C := 21 c 12 c 22 18
MÁSODIK FEJEZET 2.5. KÉTSZER DIFFERENCIÁLHATÓ FÜGGVÉNY SZÉLSŐÉRTÉKE mátrix definitségével egyezik meg. H det C > 0 és c 11 > 0, kkor C pozitív definit, h det C > 0 és c 11 < 0, kkor C negtív definit. A c 21 = c 12 (szimmetrikus mátrix) esetben h det C = 0, kkor C (pozitív vgy negtív) szemidefinit, h det C < 0, kkor C indefinit. (Ebben z esetben det C > 0, c 11 = 0 nem fordulht elő.) Az lábbi tétel rról szól, hogy h egy függvény kétszer differenciálhtó (, b)-ben, kkor d 2 f(, b) kvdrtikus lk definitsége hsonló szerepet játszik lokális szélsőérték létezésében, mint egyváltozós függvények esetén z dott pontbeli második derivált előjele. 2.54. Tétel (Lokális szélsőérték létezése, 19.99). Legyen f : R 2 R kétszer differenciálhtó z (, b) int D(f) pontbn, és tegyük fel, hogy D 1 f(, b) = D 2 f(, b) = 0. 1. H f-nek (, b)-ben lokális minimum ill. mximum vn, kkor (2.23)-bn definiált d 2 f(, b) kvdrtikus lk pozitív ill. negtív szemidefinit. 2. H (2.23)-bn definiált d 2 f(, b) kvdrtikus lk pozitív ill. negtív definit, kkor f-nek (szigorú) lokális minimum ill. mximum vn (, b)-ben. Bizonyítás. A bizonyítás elején gondoljuk meg, hogy q kvdrtikus lk (2.22) definíciój lpján tetszőleges t R vlós számr q(t x) = t 2 q(x), x R 2. (2.24) A bizonyítás során z egyszerűség kedvéért (, b) helyett -t, (x, y) helyett pedig x-et írunk. Mindkét pont bizonyítás (2.19) Tylor-formulán lpul, mely (2.18) jelölés vlmint D 1 f(, b) = D 2 f(, b) = 0 feltétel felhsználásávl z lábbi lkot ölti: f(x) f() 1 2 lim d2 f()(x ) x x 2 = 0. (2.25) Mindkét pontbn lokális minimum esetét bizonyítjuk, lokális mximum esete hsonlón megy. 1. Indirekt tegyük fel, hogy d 2 f() nem pozitív szemidefinit, tehát tlálhtó olyn x 0 R 2, x 0 = 1 vektor, melyre d 2 f()(x 0 ) < 0. Legyen ε := d2 f()(x 0 ) > 0. 2 A (2.25) htárérték lpján ε-hoz létezik δ 1 > 0, hogy h 0 < x < δ 1, kkor f(x) f() 1 2 d2 f()(x ) x 2 < ε = d2 f()(x 0 ). (2.26) 2 Másrészt, mivel f-nek -bn lokális minimum vn, ezért létezik olyn δ 2 > 0, hogy h x < δ 2, kkor f(x) f(). Legyen δ := min{δ 1, δ 2 } és 0 < t < δ tetszőleges. Ekkor z x := + t x 0 pontr x = t < δ teljesül. Erre felírv (2.26)-ot kpjuk, hogy f( + t x 0) f() 1 2 d2 f()(t x 0 ) < f()(x 0 ) d2 t 2. 2 Ebből, felhsználv (2.24)-et, mi ellentmond f( + t x 0 ) f()-nk. f( + t x 0 ) f() < t 2 1 2 d2 f()(x 0 ) d2 f()(x 0 ) 2 t 2 = 0, 2. Tegyük fel, hogy d 2 f() kvdrtikus lk pozitív definit. Mivel d 2 f() egy (kétváltozós) polinom, így folytonos z egész síkon, ezért z (áltlánosított) Weierstrss-tétel szerint z S := { x R 2 : x = 1 } kompkt hlmzon vn minimum ez legyen m := min S d 2 f() > 0, feltétel lpján. A (2.25) htárérték lpján ε := m 2 -höz létezik olyn δ > 0, hogy h 0 < x < δ, kkor f(x) f() 1 2 d2 f()(x ) x 2 < ε = m 2, 19
2.5. KÉTSZER DIFFERENCIÁLHATÓ FÜGGVÉNY SZÉLSŐÉRTÉKE MÁSODIK FEJEZET miből A (2.24) felhsználásávl, m definíciój szerint Így f(x) + f() < m 2 x 2 1 2 d2 f()(x ). ( ) x d 2 f()(x ) = x 2 d 2 f() m x 2. x f(x) + f() < m 2 x 2 1 2 d2 f()(x ) m 2 x 2 1 2 m x 2 = 0, vgyis h 0 < x < δ, kkor f() < f(x), tehát f-nek szigorú lokális minimum vn -bn. 2.55. Megjegyzés. A 2.53. Megjegyzés lpján d 2 f(, b) definitsége eldönthető ( D11 f(, b) D 21 f(, b) D 12 f(, b) D 22 f(, b) ) (2.27) ( feltételek lpján szimmetrikus) mátrix definitsége lpján. 2.56. Megjegyzés. A fenti tétel egyik állítás sem megfordíthtó! (Ld. egyváltozós eset.) Térjünk most rá konvexitásr! 2.57. Definíció. Azt mondjuk, hogy G R 2 hlmz konvex, h minden olyn szkszt trtlmz, melynek végpontji G-ben vnnk. 2.15. ábr. Kétváltozós konvex függvény, f(x, y) = 1 2 (x2 + y 2 ) 2.58. Definíció (19.101). Az f : R 2 R függvény konvex (konkáv) G D(f) konvex hlmzon, h minden x 1, x 2 G esetén z egyváltozós t f((1 t)x 1 +tx 2 ) függvény konvex (konkáv) [0,1]-en, vgyis minden x 1, x 2 G esetén f((1 t)x 1 + tx 2 ) ( )(1 t)f(x 1 ) + tf(x 2 ), t [0,1] 2.59. Tétel (19.103). Legyen f : R 2 R kétszer differenciálhtó G D(f) konvex nyílt hlmzon. Az f függvény kkor és csk kkor konvex (konkáv) G-n, h minden (, b) G esetén d 2 f(, b) kvdrtikus lk pozitív (negtív) szemidefinit. Bizonyítás. Nem bizonyítjuk 2.54. Tétel bizonyításábn hsznált technikák felhsználásávl igzolhtó. 20
MÁSODIK FEJEZET 2.6. F : RP R ESET 2.6. f : R p R eset Az eddigiekben tárgyltk megfelelően áltlánosíthtók R 2 helyett R p -re (p 2). 2.60. Definíció (19.85). Egy f : R p R függvény int D(f) pontbeli k-drendű prciális deriváltji, D i1...i k f(), 1 i 1,..., i k p (k 2) úgy kphtók, hogy k 1-edrendű prciális deriváltfüggvényeket: D i1...i k 1 f, 1 i 1,..., i k 1 p deriváljuk vlmelyik változó szerint -bn. Egy f : R p R függvény pontbeli kétszeres differenciálhtóságát ugynúgy definiáljuk, mint p = 2 esetben (differenciálhtó egy környezetében, és minden prciális deriváltj differenciálhtó -bn.) 2.61. Tétel (Young-tétel, 19.84). H z f : R p R függvény kétszer differenciálhtó z int D(f) pontbn, kkor D ij f() = D ji f(), i, j = 1,..., p. 2.62. Definíció. Legyen z f : R p R függvény kétszer differenciálhtó z int D(f) pontbn. Az D 11 f() D 21 f()... D p1 f() f D 12 f() D 22 f()... D p2 f() () :=...... D 1p f() D 2p f()... D pp f() p p mátrix neve Hesse-mátrix. Az (áltlánosított) Young-tétel lpján Hesse-mátrix szimmetrikus. A (2.27) képletben szereplő mátrix egy f : : R 2 R függvény Hesse-mátrix. Az előző lfejezet lpján Hesse-mátrix definitségéből következtethetünk lokális szélsőérték létezésére, illetve függvény konvexitásár/konkávitásár. Ezek tételek is megfelelő módon áltlánosíthtók p változós függvényekre. A következőkben Tylor-polinomml kpcsoltbn tnultk áltlánosításáról lesz szó. 2.63. Definíció (19.86). Egy f : R p R függvényről zt mondjuk, hogy k-szor differenciálhtó z int D(f) (k 3) pontbn, h k 1-szer differenciálhtó z pont egy környezetében, továbbá minden k 1-edrendű prciális deriváltj differenciálhtó -bn. 2.64. Definíció (19.92). Legyen z f : R p R függvény n-szer differenciálhtó -bn. Ekkor z f pont körüli n. Tylor-polinomj T f n,(x) = f() + + + 1 n! p D i f() (x i i ) + 1 2! p i 1...i n=1 (x R p ) legfeljebb n-edfokú polinomfüggvény. Bevezetve p i 1,i 2=1 D i1 i n f() (x i1 i1 ) (x in in ) (d k f())(x) := jelölést, Tylor-polinom z lábbi lkb írhtó: p i 1,...i k =1 D i1i 2 f() (x i1 i1 )(x i2 i2 ) D i1 i k f() x i1 x ik T f n,(x) = f() + (d 1 f())(x ) + 1 2! (d2 f())(x ) + + 1 n! (dn f())(x ). 2.65. Tétel (Tylor-fomul Lgrnge-mrdéktggl, 19.95). Legyen z f : R p R függvény n + 1-szer differenciálhtó z [, x] szksz pontjibn,, x int D(f). Ekkor vn olyn c [, x] pont, melyre f(x) = T f n,(x) + 1 (n + 1)! (dn+1 f(c))(x ). 21
2.6. F : R P R ESET MÁSODIK FEJEZET Ennek segítségével igzolhtó z lábbi áltlános tétel, mely szerint f n-dik Tylor-polinom n-edrendben közelíti f-et. 2.66. Tétel (19.97). Legyen z f : R p R függvény n-szer differenciálhtó z int D(f) pontbn. Ekkor 1. vgyis T f n, n-edrendben közelíti függvényt. f(x) Tn,(x) f lim x x n = 0, 2. H p olyn legfeljebb n-edfokú polinomfüggvény, melyre (2.19) teljesül, kkor p = T f n,. 22
Hrmdik fejezet Többváltozós differenciálszámítás II. 3.1. f : R p R q függvények differenciálhtóság 3.1. Definíció. Legyen f : R p R q, i {1,..., q}. Az f függvény i-dik koordinátfüggvénye f i : R p R, f i (x) = [f(x)] i, x D(f), hol [f(x)] i R jelöli z f(x) R q vektor i-dik koordinátáját. 3.2. Definíció (Ld. lineáris lgebr). Az l : R p R q lineáris leképezés, h l(x+y) = l(x)+l(y) és l(λ x) = λ l(x) teljesül minden x, y R p, λ R esetén. Ismeretes, hogy h z R p és R q vektortereket szokásos bázissl látjuk el, kkor minden l lineáris leképezéshez egyértelműen hozzárendelhető egy A = ( ij ) q p q p mátrix, melyre l(x) = A x minden x R p -re, tehát A-t továbbikbn zonosíthtjuk l-el. Az A mátrix i. sorábn éppen z A i : R p R, A i (x) = i1 x 1 + + ip x p, x R p i-dik koordinátfüggvény (egy lineáris függvény) együtthtói állnk. Az A mátrix j-dik oszlopábn pedig éppen z A(e j ) R q, e j = (0,...,1,0,... ) R p j-dik bázisvektor képének koordinátái állnk. 3.3. Definíció (20.11). Legyen f : R p R q függvény, int D(f). Azt mondjuk, hogy f differenciálhtó z pontbn, h létezik olyn A : R p R q lineáris leképezés (zz, q p mátrix), melyre f(x) f() A(x ) lim = 0 R q (3.1) x x f(x) = f() + A(x ) + ε(x) x, lim ε(x) = 0 R q (3.2) x 3.4. Tétel (20.13). Az f : R p R q függvény kkor és csk kkor differenciálhtó z int D(f) pontbn, h f minden f i (i {1,..., q}) koordinátfüggvénye differenciálhtó -bn. Ekkor (3.1)-ben szereplő A q p mátrixbn ij = D j f i (), i = 1,..., q, j = 1,..., p, vgyis D 1 f 1 () D 2 f 1 ()... D p f 1 () D 1 f 2 () D 2 f 2 ()... D p f 2 () A =..... (3.3). D 1 f q () D 2 f q ()... D p f q () Bizonyítás. Világos, hogy (3.1)-ben f(x) f() A(x ) f i (x) f i () A i (x ) lim = 0 R q lim = 0 R i = 1,..., q. x x x x Mivel A lineritás esetén A i lineáris, ill. megfordítv, h A i lineáris minden i-re, kkor belőlük mint koordinátfüggvényekből képezett A függvény is lineáris, tétel első részét 2.32. Definíció lpján beláttuk. Szintén fenti ekvivlenci lpján kpjuk, hogy mátrix lkj szükségképpen (3.3), hiszen 2.34. Tétel szerint z egyes A i koordinátfüggvényeket meghtározó együtthtók éppen (D 1 f i (),..., D p f i ()). 23
3.2. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK HARMADIK FEJEZET 3.5. Következmény (20.14). H z f : R p R q függvény differenciálhtó z int D(f) pontbn, kkor (3.1)- ben szereplő A mátrix egyértelmű, (3.3) lkú, és neve: f pontbeli Jcobi-mátrix. Jelölés: A = f (). 3.6. Tétel (20.16). 1. H f differenciálhtó -bn, kkor f folytonos -bn. 2. H minden i = 1,..., q, j = 1,..., p, esetén D j f i prciális deriváltfüggvények léteznek egy környezetében és folytonosk -bn, kkor f differenciálhtó -bn. Bizonyítás. 1. A 3.4. Tétel szerint minden f i koordinátfüggvény differenciálhtó -bn, így 2.33. Tétel lpján folytonos is -bn. Könnyen láthtó, hogy ekkor f folytonos -bn. 2. A 2.36. Tételből következik, hogy minden f i koordinátfüggvény differenciálhtó -bn, így 3.4. Tétel lpján nyerjük z állítást. 3.2. Differenciálási szbályok A következő állítás nnk z áltlánosítás, hogy egyváltozós esetben lineáris ( id) függvények deriváltj konstns. 3.7. Állítás. H f : R p R q egy lineáris leképezés, hozzá trtozó mátrix A, kkor f minden x R p pontbn differenciálhtó, és f (x) = A, x R p. Bizonyítás. Egyszerűen következik bból, hogy f(x) f() A(x ) A(x) A() A(x ) 0 lim = lim = lim x x x x x x = 0 R q. 3.8. Tétel (20.19). H z f, g : R p R q függvények differenciálhtók z int D(f) int D(g) pontbn, kkor f + g és λ f is differenciálhtó -bn, és (f + g) () = f () + g (), (λ f) () = λ f (). Bizonyítás. Könnyen ellenőrizhető differenciálhtóság definíciójából. 3.9. Tétel (Kompozíciófüggvény differenciálhtóság, 20.20). Legyen g : R p R q differenciálhtó z int D(g) pontbn, f : R q R s differenciálhtó z g() int D(f) pontbn. Ekkor f g differenciálhtó z int D(f g) pontbn, és (f g) () = f (g()) g (). A jobb oldlon egy s q és egy q p mátrix s p szorzt áll, mi megfelelő lineáris leképezések kompozíciójávl zonosíthtó. 3.10. Lemm. Minden A : R p R q lineáris leképezéshez tlálhtó olyn K R + szám, melyre A(x) A(y) = A(x y) K x y, x, y R p. Bizonyítás. Pl. K = ij 2 ij megfelelő ld. lineáris lgebr ill. előző félév. Bizonyítás. (Tételé) A bizonyítás teljesen z egyváltozós eset nlógjár történik. Jelölje A := g (), B := f (g()). Ekkor differenciálhtóság (3.2) definíciój lpján léteznek olyn ε és η függvények, hogy g(x) = g() + A(x ) + ε(x) x, (3.4) f(y) = f(g()) + B(y g()) + η(y) y g(), (3.5) 24
HARMADIK FEJEZET 3.2. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK és lim x ε(x) = 0, lim y g() η(y) = η(g()) = 0 (η folytonosság is feltehető). Mivel g differenciálhtó, ezért folytonos is -bn, így létezik olyn δ > 0, hogy h x < δ, kkor g(x) D(f) (itt kihsználtuk, hogy g() int D(f)), tehát int D(f g) teljesül. Ilyen x-ekre tehát y = g(x) helyettesíthető (3.5)-be, tehát felhsználv (3.4)-et, kpjuk f(g(x)) = f(g()) + B (A(x ) + ε(x) x ) + η(g(x)) g(x) g() = f(g()) + (B A)(x ) + B(ε(x)) x + η(g(x)) A(x ) + ε(x) x, hol kihsználtuk B lineritását. Ahhoz, hogy (f g) () = B A elég belátni, hogy jelöléssel létezik olyn θ függvény, melyre r(x) := B(ε(x)) x + η(g(x)) A(x ) + ε(x) x r(x) θ(x) x és lim x θ(x) = 0. A 3.10. Lemm lpján létezik olyn K > 0, melyre A(x ) K x, így r(x) ( B(ε(x)) + η(g(x)) (K + ε(x) )) x := θ(x) x. H x, kkor ε(x) 0, és mivel B lineáris, így folytonos is, ezért B(ε(x)) B(0) = 0. Felhsználv g folytonosságát -bn és lim y g() η(y) = η(g()) = 0-t kpjuk, hogy lim x η(g(x)) = 0. Ebből lim x θ(x) = 0 következik, és ezt krtuk belátni. 3.11. Következmény (20.23). Legyen g : R p R q differenciálhtó z int D(g) pontbn, f : R q R (s = = 1 eset) differenciálhtó g() int D(f) pontbn. Ekkor F = f g (hol F (x) = f(g 1 (x),..., g q (x)), x D(f g)) differenciálhtó -bn, és minden j = 1,..., p esetén D j F () = q (D i f)(g()) D j g i (). Ez képlet könnyebben megjegyezhető, h f változóit y 1,..., y q -vl jelöljük, és g 1,..., g q helyett is y 1,..., y q -t írunk. Ezzel jelöléssel fenti képlet: szokás láncszbálynk is nevezni. F x j = f y 1 y 1 x j + f y 2 y 2 x j + + f y q y q x j 3.12. Következmény (20.25). H f, g : R p R (q = 1) függvények differenciálhtók z int D(f) int D(g) pontbn, kkor f g és g() 0 esetén f g is differenciálhtó -bn. Bizonyítás. Jelölje T : R p R 2, T (x) := (f(x), g(x)), vlmint legyen ϕ : R 2 R, ϕ(x, y) := x y. Világos, hogy f g = ϕ T. Mivel T koordinátfüggvényei f és g differenciálhtók -bn, így 3.4. Tétel szerint T is z. ϕ differenciálhtóság következik bból, hogy polinom. Ezért 3.9. Tétel lpján f g is differenciálhtó. Az f g esetén ϕ(x, y) := x y -t kell válsztni, mely rcionális törtfüggvény lévén z y 0 hlmzon differenciálhtó. Az állítás z előbbihez hsonlón dódik. A következő tétel nnk z egyváltozós differenciálszámításból ismert állításnk z áltlánosítás, hogy h egy invertálhtó, folytonos f függvény esetén f () 0, kkor (f 1 ) (f()) = 1/f (). 3.13. Tétel (Inverzfüggvény differenciálhtóság, 20.26). Legyen f : R p R p differenciálhtó z int D(f) pontbn, és legyen z f () (p p) mátrix invertálhtó. Tegyük fel, hogy létezik olyn g : R p R p folytonos függvény, mely f() egy környezetében vn értelmezve, és ott f(g(x)) = x, g(f()) =. Ekkor g differenciálhtó f()-bn, és g (f()) = [f ()] 1. 25
3.2. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK HARMADIK FEJEZET Bizonyítás. A bizonyítás során tegyük fel z egyszerűség kedvéért, hogy = f() = 0 ( továbbikbn z egyszerűség kedvéért 0 R p helyett 0-t írunk). Ugynis, h ez nem így voln, kkor f helyett f(x) := f(x + ) f() függvényt tekintve, bizonyítás f-re érvényes, és ebből egyszerűen meggondolhtó f-re is. Ezután két lépésben járunk el. I. Tegyük fel, hogy f (0) = I z R p identitás-leképezése. Azt kell belátnunk, hogy h 0 egy környezetében f(g(x)) = x, g folytonos, kkor g (0) = I. Az f 0 pontbeli differenciálhtóság és f(0) = 0 lpján f(x) f(0) I(x 0) f(x) x lim = lim = 0. x 0 x 0 x 0 x Mivel lim x 0 g(x) = g(0) = 0 és g 0 0 egy kipontozott környezetében (f(g(x)) = x mitt), ezért fenti htárértékben kompozíciófüggvény htárértékéről szóló tétel szerint írhtunk x helyett g(x)-et, vgyis Ahhoz, hogy g (0) = I állítást belássuk, z kell, hogy f(g(x)) g(x) x g(x) lim = lim = 0. (3.6) x 0 g(x) x 0 g(x) g(x) g(0) I(x 0) g(x) x lim = lim = 0. (3.7) x 0 x 0 x 0 x Egyszerű átlkítássl kpjuk, hogy 0 egy kipontozott környezetében g(x) x x = g(x) x g(x) g(x). x Felhsználv (3.6) htárértéket, elég belátni, hogy 0 egy elég kicsi kipontozott környezetében g(x) x A (3.6) htárérték lpján, ε = 1/2-hez létezik olyn δ > 0, hogy 0 < x < δ esetén korlátos. g(x) x g(x) < 1 2, miből g(x) g(x) x + x < 1 g(x) g(x) + x < 1 g(x) + 1, 2 x 2 x így 0 < x < δ esetén g(x) x < 2. Ezzel kívánt (3.7) htárértéket beláttuk, így g (0) = I. II. H f (0) = A egy tetszőleges invertálhtó mátrix, kkor definiálj f := A 1 f. A 3.9. Tétel és 3.7. Állítás lpján f (0) = (A 1 ) (f(0)) f (0) = A 1 A = I. Ezért f-r lklmzhtó z I. rész bizonyítás g := g A függvénnyel, hiszen Így kpjuk, szintén 3.9. Tétel és 3.7. Állítás lpján, Ebből g (0) = A 1 következik. f( g(x)) = A 1 (f(g(ax))) = A 1 (Ax) = x. I = g (0) = (g A) (0) = g (A(0)) A (0) = g (0) A. Térjünk most vissz egy tétel erejéig többváltozós integrálszámításhoz! A Jcobi-mátrix segítségével áltlánosíthtjuk z egyváltozós helyettesítéses integrálásról tnultkt. 3.14. Definíció (20.31). Az f : R p R q függvénye folytonosn differenciálhtó z int D(f) pontbn, h f differenciálhtó z pont egy környezetében, és koordinátfüggvényeinek prciális deriváltji folytonosk -bn. 26
HARMADIK FEJEZET 3.2. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK 3.15. Tétel (Integráltrnszformáció, 22.23). Legyen H R p mérhető hlmz, g : H R p folytonosn differenciálhtó és injektív int H-bn. Ekkor g(h) is mérhető, és h f : g(h) R korlátos, kkor f = (f g) det g g(h) H (z egyik oldl pontosn kkor létezik, h másik, és ekkor egyenlők). Bizonyítás. Nem bizonyítjuk. 3.16. Péld. Legyen g(r, ϕ) := (r cos ϕ, r sin ϕ), (r, ϕ) H z ún. polártrnszformáció. Ekkor ( ) det g = cos ϕ r sin ϕ sin ϕ r cos ϕ = r cos 2 ϕ + r sin 2 ϕ = r. 27
3.2. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK HARMADIK FEJEZET 28
Negyedik fejezet Implicit és inverz függvények 4.1. Egyváltozós implicitfüggvény-tétel, Lgrnge-multiplikátorok Problém. Az f(x, y) = 0 lkú összefüggésből kifejezhető-e z y z x segítségével? Vgyis: vn-e olyn ϕ függvény, hogy f(x, ϕ(x)) = 0 x D(ϕ)? 4.1. Péld. Világos, hogy csk x = 1 és y = 2 esetén teljesül. Könnyen láthtó, hogy és f 1 (x, y) := x 2 + y 2 2x 4y + 5 = 0 f 2 (x, y) := x 2 + y 2 2x 4y + 4 = 0 ϕ 1 : [0,2] [2,3], ϕ 1 (x) = 2x x 2 + 2 ϕ 2 : [0,2] [1,2], ϕ 2 (x) = 2x x 2 + 2 függvényre is igz, hogy f 2 (x, ϕ 1 (x)) = 0 x D(ϕ 1 ) és f 2 (x, ϕ 2 (x)) = 0 x D(ϕ 2 ). 4.2. Tétel (Egyváltozós implicitfüggvény-tétel, 20.28). Legyen f : R 2 R, és tegyük fel, hogy f(, b) = 0, (, b) D(f). Tegyük fel, hogy f folytonos z (, b) pont egy környezetében és D 2 f 0 ebben környezetben. Ekkor létezik -nk ill. b-nek olyn K() R ill. K(b) R környezete, hogy 1. Minden x K() esetén! ϕ(x) K(b), melyre f(x, ϕ(x)) = 0. 2. A ϕ : K() K(b) függvény folytonos K()-n, ϕ() = b. 3. H f folytonosn differenciálhtó (, b)-ben, kkor ϕ differenciálhtó is z pontbn, és ϕ () = D 1f(, b) D 2 f(, b). Megjegyezzük, hogy tétel csk ϕ implicit függvény létezéséről szól, áltlábn nem tudjuk ezt függvényt előállítni. Ennek ellenére ϕ deriváltját ki tudjuk számítni z pontbn...! Bizonyítás. A tételnek z 1. részét bizonyítjuk bbn z esetben, mikor f folytonosn differenciálhtó (, b)-ben. Ekkor D 2 f prciális deriváltfüggvény is folytonos (, b)-ben, és D 2 f(, b) 0. Legyen például D 2 f(, b) > 0 ( D 2 f(, b) < 0 eset hsonlón meggondolhtó). Ekkor D 2 f folytonosság mitt létezik z (, b) D(f) pontnk olyn r > 0 sugrú K r (, b) D(f) környezete, hogy (x, y) K r (, b) esetén D 2 f(x, y) > 0. (4.1) 29
4.1. EGYVÁLTOZÓS IMPLICITFÜGGVÉNY-TÉTEL NEGYEDIK FEJEZET 4.1. ábr. Implicitfüggvény-tétel Tekintsük z függvényt! Mivel f : y f(, y) f (b) = f(, b) = 0, és (f ) (b) = D 2 f(, b) > 0, ezért f lokálisn növő b-ben, így léteznek olyn b 1 < b < b 2 számok, hogy f(, b 1 ) = f (b 1 ) < 0 < f (b 2 ) = f(, b 2 ), és feltehető, hogy (, b 1 ), (, b 2 ) K r (, b). Az f függvény folytonosság mitt vn olyn p > 0 és q > 0, hogy (x, y ) K p (, b 1 ) és (x, y ) K q (, b 2 ) esetén f(x, y ) < 0 < f(x, y ). (4.2) A p és q elegendően kicsire válsztásávl feltehető, hogy Legyen K p (, b 1 ) K r (, b), K q (, b 2 ) K r (, b). µ := min{p, q}, és K() := ( µ, + µ), vgyis K() trtlmzz K p és K q közül kisebb sugrú (z ábrán K p ) vetületét z x-tengelyen. Legyen ρ := mx{b (b 1 p), b 2 + q b}, és K(b) := (b ρ, b + ρ), vgyis K(b) trtlmzz K p és K q közül ngyobb sugrú (z ábrán K q ) vetületét z y-tengelyen. Rögzítsünk most egy tetszőleges x K() pontot, definiálni fogjuk hozzá megfelelő ϕ(x) K(b) értéket. Jelölje f x : y f(x, y), mely f folytonosság következtében egy vlós változós folytonos függvény. A (4.2) lpján f(x, b 1 ) = f x (b 1 ) < 0 < f x (b 2 ) = f(x, b 2 ), mivel x K() mitt (x, b 1 ) K p (, b 1 ) és (x, b 2 ) K q (, b 2 ). Alklmzv f x -re Bolzno-tételt [b 1, b 2 ]-n, létezik olyn y (b 1, b 2 ), melyre f x (y) = f(x, y) = 0. Csk egyetlen ilyen y létezik, ugynis, h y y is olyn lenne, hogy f x (y ) = f(x, y ) = 0, 30
NEGYEDIK FEJEZET 4.1. EGYVÁLTOZÓS IMPLICITFÜGGVÉNY-TÉTEL kkor f x -re lklmzv Rolle-tételt [y, y ]-on (vgy [y, y]-on), létezne olyn c z y és y között, hogy (f x ) (c) = D 2 f(x, c) = 0 lenne. Ez pedig lehetetlen, hiszen (x, c) K r (, b), és (4.1) mitt D 2 f(x, c) > 0 kellene legyen. Tehát bármely x K() számhoz egyértelműen rendelhető olyn y K(b) szám, hogy f(x, y) = 0, zz létezik olyn ϕ : K() K(b), ϕ(x) := y függvény, hogy Az egyértelműség mitt ϕ() = b is teljesül. f(x, ϕ(x)) = 0 x K(). 4.3. Péld. A fenti tétel feltételeinek szükségessége könnyen láthtó z lábbi egyszerű példán. Legyen f(x, y) := x 2 + y 2 1. Világos, hogy z f(x, y) = 0 egyenletet kielégítő pontok z (origó középpontú) egységkörvonl pontji. Vegyünk egy (, b) (egységkörvonlon lévő) pontot, melyre f(, b) = 0! H ( 1,1), b > 0 (vgyis (, b) felső félsíkbn fekvő köríven vn), kkor D 2 f(, b) = 2b > 0, és z implicitfüggvény-tétel lpján egyértelműen létező ϕ : K() K(b) függvényre ϕ(x) = 1 x 2. H ( 1,1), b < 0 (vgyis (, b) lsó félsíkbn fekvő köríven vn), kkor D 2 f(, b) = 2b < 0, és z implicitfüggvény-tétel lpján egyértelműen létező ϕ : K() K(b) függvényre ϕ(x) = 1 x 2. Mi helyzet, h = ±1 és b = 0? Világos, hogy nem tudunk olyn K() és K(b) környezeteket megdni, melyekre x K() és y K(b) esetén z f(x, y) = 0 egyenletet kielégítő pontok egy függvény grfikonját lkotnák. Tehát nem létezik kívánt ϕ függvény. Egy ilyen pontbn D 2 f(, b) = 2b = 0, tehát z implicitfüggvény-tétel feltétele nem teljesül. A következőkben ún. feltételi hlmzokon keresünk szélsőértéket. 4.4. Definíció. Legyenek g 1, g 2,..., g q : R p R (q < p) függvények, továbbá H := {x R p g 1 (x) = 0,..., g q (x) = 0}. Azt mondjuk, hogy z f függvénynek g 1 = 0,..., g q = 0 feltétel mellett feltételes szélsőértéke vn z H pontbn, h z pontbn z f H függvénynek lokális szélsőértéke vn. 4.5. Tétel (Lgrnge-féle multiplikátor módszer, 20.43). Legyenek f, g 1, g 2,..., g q : R p R folytonosn differenciálhtó függvények, q < p. Tegyük fel, hogy z f függvénynek g 1 = 0, g 2 = 0,..., g q = 0 feltétel mellett feltételes szélsőértéke vn z D(f) pontbn. Tegyük fel továbbá, hogy D 1 g 1 () D 2 g 1 ()... D p g 1 () rng.. D 1 g q () D 2 g q ()... D p g q () Ekkor léteznek olyn λ 1, λ 2,..., λ q R számok, hogy z függvényre F () = 0 R p = q. F := f + λ 1 g 1 + λ 2 g 2 +... + λ q g q : R p R vgyis, z f (), g 1(),..., g q() vektorok lineárisn összefüggők. Tehát D 1 f() + λ 1 D 1 g 1 () + + λ q D 1 g q () = 0 D 2 f() + λ 1 D 2 g 1 () + + λ q D 2 g q () = 0 D p f() + λ 1 D p g 1 () + + λ q D p g q () = 0.. 31
4.1. EGYVÁLTOZÓS IMPLICITFÜGGVÉNY-TÉTEL NEGYEDIK FEJEZET Bizonyítás. A bizonyítást p = 2, q = 1 és feltételes minimum esetén végezzük el ( feltételes mximum esete hsonlón gondolhtó meg), z helyett pedig (, b)-t írunk. A feltételek lpján g := g 1 : R 2 R függvény folytonosn differenciálhtó, és z (, b) pontbn g(, b) = 0. Ebben pontbn rngfeltétel rng ( D 1 g(, b), D 2 g(, b) ) = 1 zt jelenti, hogy például D 2 g(, b) 0. Ekkor 4.2. Egyváltozós implicitfüggvény-tétel szerint létezik -nk K() és b-nek K(b) környezete, és létezik olyn ϕ : K() K(b) differenciálhtó függvény, melyre és ϕ() = b. Ez zt jelenti, hogy x K() esetén g(x, ϕ(x)) = 0, H = {(x, y) R 2 g(x, y) = 0} {(x, ϕ(x)) R 2 x K()} =: H. (4.3) Továbbá zz ϕ () = D 1g(, b) D 2 g(, b), D 1 g(, b) + ϕ ()D 2 g(, b) = 0. (4.4) Mivel z f H függvénynek lokális minimum vn z (, b) H pontbn, ezért létezik r > 0, hogy z (, b) pont K r (, b) környezetében (x, y) K r (, b) H esetén f(x, y) f(, b). (4.5) A (4.3) lpján x K() esetén (x, ϕ(x)) H H. Felhsználv, hogy ϕ folytonos K()-n, meggondolhtó, hogy létezik olyn K () K() környezet, hogy Így (4.5)-ből Ez zt jelenti, hogy x K () esetén (x, ϕ(x)) K r (, b) H. x K () esetén f(x, ϕ(x)) f(, ϕ()) = f(, b). h : K () R, h(x) := f(x, ϕ(x)) vlós függvénynek lokális minimum vn z pontbn. A h függvény differenciálhtó (differenciálhtó függvények kompozíciój), ezért h () = 0. A kompozíciófüggvény deriválási szbály lpján h (x) = f (x, ϕ(x)) (x, ϕ (x)) = ( D 1 f(x, ϕ(x)), D 2 f(x, ϕ(x)) ), ( 1, ϕ (x) ) = D 1 f(x, ϕ(x)) + ϕ (x)d 2 f(x, ϕ(x)). Ezért h () = D 1 f(, b) + ϕ ()D 2 f(, b) = 0. (4.6) Legyen λ R egyelőre tetszőleges szám, és szorozzuk meg λ-vl z (4.4) egyenlőséget, mjd djuk össze (4.6) egyenlőséggel. Ekkor D 1 f(, b) + λd 1 g(, b) + ϕ ()[D 2 f(, b) + λd 2 g(, b)] = 0. (4.7) A λ megválszthtó úgy, hogy D 2 f(, b) + λ D 2 g(, b) = 0 (4.8) (láthtó, hogy λ := D2f(,b) D 2g(,b) megfelelő.) H λ esetén (4.7)-ben szögletes zárójelben lévő tényező 0, kkor D 1 f(, b) + λ D 1 g(, b) = 0 (4.9) 32
NEGYEDIK FEJEZET 4.2. IMPLICIT- ÉS INVERZFÜGGVÉNY-TÉTELEK is teljesül. Összesítve z eredményeket, zt kptuk, hogy h z f függvénynek feltételes minimum vn g = 0 feltétel mellett z = (, b) pontbn, kkor z F := f + λ g függvénynek z első változó szerinti prciális deriváltj 0 (ezt muttj (4.9)), és második változó szerinti prciális deriváltj is 0 (ezt muttj (4.8)). Tehát F () = F (, b) = ( D 1 F (, b), D 2 F (, b) ) = 0 R 2. 4.2. Implicit- és inverzfüggvény-tételek 4.6. Tétel (Folytonos lokális inverz létezése). Legyen g : R R differenciálhtó b pont egy környezetében, itt g (y) 0. Ekkor g-nek létezik g(b) = egy K δ () környezetében értelmezett folytonos (jobb)inverze, ϕ, melyre g(ϕ(x)) = x minden x K δ (). Bizonyítás. Definiálj z f : R 2 R függvényt f(x, y) := x g(y). A feltételek lpján f-re teljesülnek 4.2. Egyváltozós implicitfüggvény-tétel feltételei z (, b) pontbn, így létezik olyn folytonos ϕ : K() K(b) függvény, melyre f(x, ϕ(x)) = 0 g(ϕ(x)) = x, x K(). Az lábbi tétel nnk z egyváltozós differenciálszámításból ismert állításnk megfelelője, hogy h f () 0, kkor f-nek -bn nem lehet lokális szélsőértéke. 4.7. Tétel (Lokális injektivitás, 20.32). Legyen f : R p R q (p q) folytonosn differenciálhtó z int D(f) pontbn, és tegyük fel, hogy z f () : R p R q lineáris leképezés injektív (vgyis, z f () q p mátrix rngj p). Ekkor f is injektív z pont egy környezetében. Bizonyítás. Nem bizonyítjuk. 4.8. Tétel (Lokális szürjektivitás, 20.35). Legyen f : R p R q (p q) folytonosn differenciálhtó z int D(f) pontbn, és tegyük fel, hogy z f () : R p R q lineáris leképezés szürjektív (vgyis, z f () q p mátrix rngj q). Ekkor z R(f) értékkészlet trtlmzz z f() pont egy környezetét. Bizonyítás. A bizonyításnk csk egy lpötletét ismertetjük. Legyen b elég közel f()-hoz, és definiálj h(x) := = b f(x) + x. Beláthtó, hogy h kontrkció B(, δ) zárt gömbön (megfelelő δ-r). A Bnch-féle fixponttétel lpján így h-nk létezik egyetlen x B(, δ) fixpontj, melyre miből f(x ) = b, tehát b R(f). h(x ) = b f(x ) + x = x, 4.9. Következmény (Nyílt leképezés tétele, 20.37). Legyen f : R p R q (p q) folytonosn differenciálhtó H D(f) nyílt hlmzon, és tegyük fel, hogy minden x H esetén z f (x) : R p R q lineáris leképezés szürjektív (vgyis, z f (x) q p mátrix rngj q). Ekkor z f(h) := {f(h) : h H} képhlmz nyílt hlmz. 4.10. Tétel (Inverzfüggvény-tétel, 20.38). Legyen f : R p R p folytonosn differenciálhtó z int D(f) pontbn, és tegyük fel, hogy z f () : R p R p lineáris leképezés injektív (vgyis, det f () 0). Ekkor létezik olyn δ > 0 és η > 0, hogy 1. x B(f(), δ) esetén! ϕ(x) B(, η) : f(ϕ(x)) = x; 2. ϕ : B(f(), δ) B(, η) függvény differenciálhtó B(f(), δ)-n; 3. f (x) injektív (vgyis, det f (x) 0) minden x B(, η) esetén és ϕ (f(x)) = [f (x)] 1, x B(, η). Bizonyítás. Nem bizonyítjuk. A tétel 3. pontjábn szereplő képlet 3.13. Tételben szereplő képlettel zonos. 33
4.2. IMPLICIT- ÉS INVERZFÜGGVÉNY-TÉTELEK NEGYEDIK FEJEZET 4.11. Tétel (Többváltozós implicitfüggvény-tétel, 20.40). Legyen f : R p+q R q folytonosn differenciálhtó c = (, b) int D(f) pont egy környezetében, hol R p, b R q, és f(c) = f(, b) = 0 R q. Tegyük fel, hogy z f : R q R q, f (y) = f(, y) függvényre (f ) (b) injektív (vgyis, det f (b) 0.) Ekkor létezik olyn δ > 0 és η > 0, hogy 1. x B(, δ) esetén! ϕ(x) B(b, η) : f(x, ϕ(x)) = 0 R q ; 2. ϕ : B(, δ) B(b, η) függvény folytonosn differenciálhtó B(, δ)-n; 3. z f b : R p R q, f b (x) = f(x, b) jelöléssel ϕ (x) = [f (x)] 1 (f b ) (ϕ(x)), x B(, δ). Bizonyítás. Nem bizonyítjuk. 34
Ötödik fejezet Ívhossz, vonlintegrál, primitív függvény Ebben fejezetben ismét integrálszámításról lesz szó, mégpedig fizikábn gykrn hsználtos ún. vektormezők görbe menti integráljáról. Ez foglom fizikilg úgy interpretálhtó mint z munkvégzés, mely egy pont erőhtás áltl vló mozgtás során történik. 5.1. Görbe 5.1. Definíció. Egy g : [, b] R p leképezést görbének nevezünk. p = 2 esetben síkgörbéről, d = 3 esetben térgörbéről beszélünk. Speciális síkgörbe: g : [, b] R 2, g(t) = (t, f(t)), hol f : [, b] R függvény. Ekkor R(g) = grph (f). Ngyon fontos, hogy görbét, melyet leképezésként definiáltunk, ne keverjük össze z értékkészlethlmzávl bár inkább ez utóbbi felelne meg mindennpos szóhsznált görbe elnevezésének. 5.1. ábr. A g : [0,2π] R 2, g(t) = (cos t, sin t) síkgörbe értékkészlete Világos, hogy h z 5.1. ábrán g leképezést [0,4π]-n - vgy kár [0,3π]-n - definiáljuk, kkor is ugynehhez z értékkészlethlmzhoz jutunk. 5.2. Definíció. Egy [x, y] R p hlmzt R p -beli szksznk hívunk, h [x, y] = {t x + (1 t) y : t [0,1]}. Egy R p -beli poligon (vgy töröttvonl) egymáshoz cstlkozó szkszok uniój. A görbe ívhosszát úgy fogjuk definiálni mint (z értékkészlethlmzánk) beírt poligonji hosszink szupremumát. 35
5.1. GÖRBE ÖTÖDIK FEJEZET 5.2. ábr. Görbe ívhosszánk közelítése poligonnl 5.3. Definíció (14.15). Egy g : [, b] R p görbe ívhossz z { n } s(g) := sup g(t i ) g(t i 1 ) : = t 0 < t 1 < < t n = b R. (5.1) Itt g(t i ) g(t i 1 ) = [g(t i 1 ), g(t i )] szksz hossz. A g : [, b] R p görbe rektifikálhtó, h s(g) <. 5.4. Definíció. A g görbe egyszerű ív, h R(g)-nek létezik bijektív folytonos prméterezése. 5.3. ábr. Cikloisgörbe értékkészlete 5.5. Állítás (14.19). H g 1 és g 2 ugynnnk z egyszerű ívnek bijektív folytonos prméterezései, kkor s(g 1 ) = = s(g 2 ). Bizonyítás. Világos, hogy h görbék g 1 : [, b] R p és g 2 : [c, d] R p, kkor h = g 1 2 g 1 : [, b] [c, d] bijektív, folytonos, tehát szigorún monoton. Ebből egyszerűen meggondolhtó, hogy g 1 és g 2 görbéknek ugynzok beírt poligonji, így s(g 1 ) = s(g 2 ). 5.6. Definíció (14.16). A g : [, b] R p görbe folytonos/(folytonosn) differenciálhtó/lipschitz-tuljdonságú, h minden j = 1,..., p esetén g j : [, b] R koordinátfüggvény folytonos/(folytonosn) differenciálhtó ill. Lipschitz-tuljdonságú. Megjegyezzük, hogy h egy f : [, b] R függvény folytonosn differenciálhtó, kkor minden x, y [, b], x < y esetén Lgrnge-középértéktétel lpján létezik olyn c = c(x, y) [x, y], melyre f(y) f(x) = f (c) (y x). 36
ÖTÖDIK FEJEZET 5.1. GÖRBE Ebből kpjuk, hogy f(y) f(x) sup f y x, x, y [, b], [,b] vgyis f Lipschitz-tuljdonságú L := sup [,b] f R konstnssl. Ebből következik, hogy h egy g : [, b] R p görbe folytonosn differenciálhtó, kkor Lipschitz-tuljdonságú is. 5.7. Tétel (14.20). H g : [, b] R p görbe Lipschitz-tuljdonságú (pl. folytonosn differenciálhtó), kkor g rektifikálhtó. Bizonyítás. A Lipschitz-tuljdonság mitt léteznek olyn K j > 0, j = 1,..., p konstnsok, hogy g j (y) g j (x) K j y x, x, y [, b]. Legyen K := mx 1 j p K j. Ekkor z (5.1)-ben szereplő tetszőleges t 0 = < t 1 < < t n 1 < t n = b felosztásr n g(t i ) g(t i 1 ) = n (g 1 (t i ) g 1 (t i 1 )) 2 + + (g p (t i ) g p (t i 1 ) 2 n K2 p (t i t i 1 ) 2 = K p Ebből következik, hogy s(g) K p (b ), így g rektifikálhtó. n (t i t i 1 ) = K p (b ), x, y [, b]. 5.8. Tétel (14.21). H g : [, b] R p görbe differenciálhtó és minden j = 1,..., p esetén g j R[, b] (pl., h g folytonosn differenciálhtó), kkor s(g) = b g (t) dt = b (g 1 (t))2 + + (g p(t)) 2 dt. (5.2) Bizonyítás. A tételt csk közelítőleg bizonyítjuk, mégpedig úgy, hogy z s(g) számot z (5.1)-ben szereplő, vlmely t 0 = < t 1 < < t n 1 < t n = b felosztáshoz trtozó n g(t i) g(t i 1 ) lkú összeggel közelítjük. Hsználjuk fel, hogy minden j = 1,..., p esetén g j differenciálhtó. Így z dott felosztás [t i 1, t i ] részintervllumin lklmzv (z egyváltozós) Lgrnge-középértéktételt kpjuk, hogy léteznek c 1,i,..., c p,i [t i 1, t i ] számok, melyekre g 1 (t i ) g 1 (t i 1 ) = g 1(c 1,i ) (t i t i 1 ),..., g p (t i ) g p (t i 1 ) = g p(c p,i ) (t i t i 1 ). Ekkor n g(t i ) g(t i 1 ) = = = n n n mi éppen b g (t) egy integrál-közelítőösszege. (g 1 (t i ) g 1 (t i 1 )) 2 + + (g p (t i ) g p (t i 1 ) 2 g 1 (c 1,i) 2 (t i t i 1 ) 2 + + g p(c p,i ) 2 (t i t i 1 ) 2 g 1 (c 1,i) 2 + + g p(c p,i ) 2 (t i t i 1 ), 5.9. Megjegyzés (14.13). A fenti tétel speciális esete, h f : [, b] R folytonosn differenciálhtó, g : [, b] R 2, g(t) = (t, f(t)), és így f grfikonjánk ívhossz s(g) = b 1 + (f (t)) 2 dt. 5.10. Péld. A g : [0,2π] R 2, g(t) = ((t sin t), (1 cos t)) cikloisgörbe ívhossz: s(g) = 2π 0 2 (1 cos t) 2 + 2 sin 2 t dt = 2 2π 0 37 1 cos t dt = 2 2π 0 sin t [ 2 dt = 4 cos t ] 2π = 8 2 0
5.2. VONALINTEGRÁL ÖTÖDIK FEJEZET 5.2. Vonlintegrál Most rátérünk vektormező görbe menti integráljár. Az integrál definícióját Riemnn-összeghez hsonló közelítés segítségével mondjuk ki. 5.11. Definíció (22.28). Legyen g : [, b] R p görbe, f : R(g) R p. Azt mondjuk, hogy z f vonlintegrálj g görbe mentén g f R, h minden ε > 0 számhoz létezik z [, b] intervllumnk olyn = t 0 < t 1 < < t n = b felosztás és ehhez t i 1 < c i < t i, i = 1,..., n számok, melyekre n f f(g(c i )), g(t i ) g(t i 1 ) < ε. (5.3) g 5.4. ábr. Görbe menti vektormező 5.12. Tétel (22.35). Legyen g : [, b] R p görbe differenciálhtó és minden j = 1,..., p esetén g j R[, b] (pl., g folytonosn differenciálhtó), továbbá f : R(g) R p folytonos. Ekkor b b p f = f(g(t)), g (t) dt = f j (g(t)) g j(t) dt. (5.4) g Bizonyítás. Ezt tétel ismét csk közelítőleg bizonyítjuk úgy, hogy z f számot z (5.3)-bn szereplő, vlmely t 0 = < t 1 < < t n 1 < t n = b felosztáshoz és t i 1 < c i < t i, i = 1,..., n számokhoz trtozó g n f(g(c i)), g(t i ) g(t i 1 ) összeggel közelítjük. Hsználjuk fel, hogy minden j = 1,..., p esetén g j differenciálhtó. Így z dott felosztás [t i 1, t i ] részintervllumin lklmzv (z egyváltozós) Lgrnge-középértéktételt kpjuk, hogy léteznek d 1,i,..., d p,i [t i 1, t i ] számok, melyekre Ekkor g 1 (t i ) g 1 (t i 1 ) = g 1(d 1,i ) (t i t i 1 ),..., g p (t i ) g p (t i 1 ) = g p(d p,i ) (t i t i 1 ). n f(g(c i )), g(t i ) g(t i 1 ) = = = j=1 n [f 1 (g(c i )) (g 1 (t i ) g 1 (t i 1 )) + + f p (g(c i )) (g p (t i ) g p (t i 1 ))] n [ f1 (g(c i )) g 1(d 1,i ) (t i t i 1 ) + + f p (g(c i )) g p(d p,i ) (t i t i 1 ) ] n [ f1 (g(c i )) g 1(d 1,i ) + + f p (g(c i )) g p(d p,i ) ] (t i t i 1 ), mi éppen z b f(g(t)), g (t) dt = ( b p ) j=1 f j(g(t)) g j (t) dt egy integrál-közelítőösszege. 38
ÖTÖDIK FEJEZET 5.3. Primitív függvény 5.3. PRIMITÍV FÜGGVÉNY Ebben z lfejezetben többváltozós primitív függvény foglmáról lesz szó, vlmint rról, hogy Riemnnintegrálnál megismert Newton-Leibniz-formulát hogyn áltlánosíthtjuk vonlintegrálr. 5.13. Definíció (22.36). Legyen f : R p R p, Ω D(f) nyílt. Azt mondjuk, hogy F : Ω R primitív függvénye f-nek Ω-n, h F differenciálhtó Ω-n és minden x Ω esetén F (x) = f(x) D j F (x) = f j (x), j = 1,..., p. 5.14. Tétel (Newton-Leibniz formul vonlintegrálr, 22.38). Tegyük fel, hogy z f : R p R p folytonos függvénynek vn F : Ω R primitív függvénye Ω-n. Ekkor tetszőleges g : [, b] Ω R p folytonos és rektifikálhtó görbére f = F (g(b)) F (g()). g Bizonyítás. A tételt csk közelítőleg bizonyítjuk úgy, hogy z f számot megint z (5.3)-bn szereplő, vlmely g t 0 = < t 1 < < t n 1 < t n = b felosztáshoz és t i 1 < c i < t i, i = 1,..., n számokhoz trtozó n f(g(c i)), g(t i ) g(t i 1 ) összeggel közelítjük. Mivel F differenciálhtó Ω-n és g : [, b] Ω, ezért z dott felosztáshoz trtozó [g(t i 1 ), g(t i )] szkszokon lklmzv 2.30. Többváltozós Lgrnge-középértéktételt F -re kpjuk, hogy léteznek d i [g(t i 1 ), g(t i )] pontok, melyekre Ebből F (g(t i )) F (g(t i 1 )) = F (d i ), g(t i ) g(t i 1 ), i = 1,..., n. F (g(b)) F (g()) = A primitív függvény definíciój lpján n [F (g(t i )) F (g(t i 1 ))] = n f(g(c i )), g(t i ) g(t i 1 ) = n F (d i ), g(t i ) g(t i 1 ). n F (g(c i )), g(t i ) g(t i 1 ) n F (d i ), g(t i ) g(t i 1 ) = F (g(b)) F (g()). A közelítő egyenlőség igz, h t 0 = < t 1 < < t n 1 < t n = b felosztás elég sűrű. Ugynis ekkor mivel g rektifikálhtó és folytonos, g(c i ), t i 1 < c i < t i elég közel vn d i [g(t i 1 ), g(t i )] ponthoz. Másrészt, mivel F = f folytonos, ezért F (g(c i )) is elég közel vn F (d i )-hez. 5.15. Megjegyzés (22.39). H g : [, b] R p görbe differenciálhtó és minden j = 1,..., p esetén g j R[, b] (pl., g folytonosn differenciálhtó), továbbá f : R(g) R p pedig folytonos, és primitív függvénye F, kkor z 5.12. és 3.9. Tételek lpján g f = b f(g(t)), g (t) dt = z egyváltozós Newton-Leibniz-tételből dódik. 5.16. Definíció. A g : [, b] R p görbe zárt görbe, h g() = g(b). b (F g) (t) dt = F (g(b)) F (g()) 5.17. Következmény. H z f : Ω R p (Ω R p ) folytonos függvénynek vn primitív függvénye, kkor tetszőleges g : [, b] Ω folytonos és rektifikálhtó zárt görbe mentén vett vonlintegrálj 0. Továbbá, tetszőleges folytonos és rektifikálhtó görbe mentén vett vonlintegrálj független z úttól. 5.18. Tétel (22.44). Legyen f : Ω R p (Ω R p ) differenciálhtó Ω-n. H f-nek vn primitív függvénye Ω-n, kkor minden x Ω esetén D i f j (x) = D j f i (x), i, j = 1,..., p. 39
5.4. FOLYTONOS FÜGGVÉNY PRIMITÍV FÜGGVÉNYE ÖTÖDIK FEJEZET Bizonyítás. Mivel f differenciálhtó, ezért tetszőleges F primitív függvénye kétszer differenciálhtó, tehát lklmzhtó rá 2.42. Young-tétel (illetve, ennek egy megfelelően áltlánosított változt R p -re). Ebből minden x Ω esetén D i (D j F )(x) = D ij F (x) = D ji F (x) = D j (D i F )(x) D i f j (x) = D j f i (x), i, j = 1,..., p. 5.4. Folytonos függvény primitív függvénye létezésének elégséges feltétele Ebben fejezetben zzl fogllkozunk, hogy milyen elégséges feltételt tudunk dni rr, hogy egy f : R p R p folytonos függvénynek létezzen primitív függvénye. Ehhez szükségünk lesz még néhány görbékre vontkozó foglomr, vlmint vonlintegrál néhány egyszerű tuljdonságár. 5.19. Állítás (22.40). H g 1 : [, b] Ω R p, g 2 : [b, d] Ω és g 1 (b) = g 2 (b) ún. cstolt görbék, kkor legyen z ún. egyesített görbe, melyre Ekkor bármely f : Ω R p függvényre h z integrálok léteznek. g 1 g 2 : [, d] Ω (g 1 g 2 ) [,b] = g 1 és (g 1 g 2 ) [b,d] = g 2. f = g 1 g 2 f + g 1 f, g 2 Bizonyítás. Könnyen dódik vonlintegrál definíciójából. 5.20. Állítás. H g : [, b] Ω R p görbe, kkor z g : [, b] Ω, g (t) := g( + b t) legyen z ellentétesen irányított görbe. H egy f : Ω R p függvény esetén létezik g f, kkor létezik g f is, és Bizonyítás. Mivel z g f (5.3) definíciójábn f = f. g g n f( g (c i )), g (t i ) g (t i 1 ), (5.5) = t 0 < t 1 < < t i 1 < t i < < t n = b, c i [t i 1, t i ] lkú közelítőösszegek szerepelnek, ezért elég meggondolni, hogy minden ilyen közelítőösszeg egyenlő egy, z g f integrált közelítő összeg mínusz egyszeresével, és fordítv. Mivel g (t) = g( + b t) teljesül, zért fenti (5.5) közelítőösszeg z lábbivl egyenlő: hol s = + b s. Így n n f(g( c i )), g( t i ) g( t i 1 ), = t n < t n 1 < t i < t i 1 < t 0 = b, c i [ t i, t i 1 ], f( g (c i )), g (t i ) g (t i 1 ) = 40 n f(g( c i )), g( t i 1 ) g( t i ),
ÖTÖDIK FEJEZET 5.4. FOLYTONOS FÜGGVÉNY PRIMITÍV FÜGGVÉNYE hol = t n < t n 1 < t i < t i 1 < t 0 = b, c i [ t i, t i 1 ]. Tehát z osztópontok átsorszámozás után z f egy közelítő összegének mínusz egyszeresét kpjuk. A megfordítás g ugynígy meggondolhtó. Korábbn beláttuk vonlintegrálr vonkozó 5.14. Newton-Leibniz formulát, mely szerint h g : [, b] Ω R p folytonos és rektifikálhtó görbe, továbbá f : Ω R p olyn folytonos függvény, melynek z F : Ω R primitív függvénye Ω-n (vgyis F differenciálhtó és F = f Ω-n), kkor f = F (g(b)) F (g()). (5.6) g Az állításnk megfoglmztuk két közvetlen következményét is. Az egyik, hogy primitív függvénnyel rendelkező folytonos függvény zárt görbén vett vonlintegrálj 0. A másik pedig, hogy ilyen függvény vonlintegrálj független z úttól, vgyis ugynolyn végpontokkl rendelkező görbéken vett vonlintegrálji megegyeznek. Az lábbikbn megmuttjuk, hogy ezen állítások mindegyike megfordíthtó, vgyis bármelyikből következik, hogy f-nek vn primitív függvénye. A továbbikbn görbe ltt mindig folytonos és rektifikálhtó görbét értünk. 5.21. Tétel (22.41). Legyen Ω R p, f : Ω R p folytonos. Ekkor ekvivlensek: (i) Minden g : [, b] Ω folytonos, rektifikálhtó zárt görbe (vgyis g() = g(b)) esetén f = 0. g (ii) Minden olyn g 1 : [ 1, b 1 ] Ω és g 2 : [ 2, b 2 ] Ω folytonos, rektifikálhtó görbék esetén, melyekre g 1 ( 1 ) = = g 2 ( 2 ) és g 1 (b 1 ) = g 2 (b 2 ) is igz (vgyis két görbe értékkészletének végpontji megegyeznek), teljesül, hogy f = f. g 1 g 2 (Másképp: vonlintegrál független z úttól.) (iii) f-nek létezik primitív függvénye Ω-n, vgyis létezik olyn F : Ω R differenciálhtó függvény, melyre D j F (x) = f j (x), j = 1,..., p, x Ω. Bizonyítás. (i) (ii). Legyenek g 1 : [ 1, b 1 ] Ω és g 2 : [ 2, b 2 ] Ω olyn görbék, melyekre g 1 ( 1 ) = g 2 ( 2 ) és g 1 (b 1 ) = g 2 (b 2 ). Feltehető, hogy 2 = b 1 (pl. g 2 átprméterezésével). Ekkor z 5.20. Állítás szerint g2 : [ 2, b 2 ] Ω, g2 (t) := g 2 ( 2 + b 2 t) ellentétesen irányított görbével g 1 g 2 : [ 1, b 2 ] Ω zárt görbe lesz, ugynis (g 1 g 2 )( 1 ) = g 1 ( 1 ) és (g 1 g 2 )(b 2 ) = g 2 (b 2 ) = g 2 ( 2 ), és feltétel szerint g 1 ( 1 ) = g 2 ( 2 ). Így (i), z 5.19 és z 5.20. Állítás lpján 0 = f = f + f = f f, g 1 g 2 g 1 g2 g 1 g 2 tehát f = f. g 1 g 2 41
5.4. FOLYTONOS FÜGGVÉNY PRIMITÍV FÜGGVÉNYE ÖTÖDIK FEJEZET (ii) (iii). Rögzítsünk egy c Ω pontot. Legyen 5.5. ábr. F : Ω R, F (x) := f, g c,x hol g c,x jelöljön egy c-t x-szel összekötő sim görbét. Legyen e j R p (j = 1,2,..., p) z j-edik egységvektor. Ekkor ( ) F (x + se j ) F (x) 1 D j F (x) = lim = lim f f = s 0 s s 0 s g c,x+sej g c,x 1 = lim f. s 0 s g x,x+sej Felhsználv, hogy g x,x+sej (t) = x+t e j, t [0, s] görbe folytonosn differenciálhtó, g x,x+se j (t) = e j, z 5.12. Tétel lpján kpjuk, hogy 1 D j F (x) = lim s 0 s s 0 1 f(x + te j ), e j dt = lim s 0 s s 0 f j (x + te j )dt. Az egyváltozós Riemnn-integrál középértéktétele lpján egy h : [, b] R folytonos függvényhez létezik olyn θ [, b], melyre b h = h(θ) (b ), (vgyis függvény ltti terület egy b és h(θ) oldlhosszúságú tégllp területével egyezik meg). Felhsználv, hogy [0, s] t f j (x + te j ) függvény folytonos (mivel f z), létezik olyn ϑ = ϑ(s) [0, s], melyre 1 D j F (x) = lim s 0 s s mivel s 0 esetén ϑ(s) 0 és f j folytonos. Tehát 0 1 f j (x + te j )dt = lim s 0 s f j(x + ϑe j ) s = lim f j (x + ϑe j ) = f j (x), s 0 D j F (x) = f j (x), x Ω. Mivel j tetszőleges volt, és f j folytonos, ebből z is következik, hogy D j F folytonos Ω-n minden j-re. Így következik, hogy F differenciálhtó Ω-n és F = f. (iii) (i) Ld. z 5.17. Következményt. 5.22. Megjegyzés. A fenti bizonyítás (ii) (iii) részében felhsználtuk, hogy bármely c, x Ω esetén létezik c-t x-szel összekötő, Ω-bn futó sim görbe. Ez csk kkor igz, h Ω-ról feltesszük, hogy ún. összefüggő hlmz. H Ω nem összefüggő, kkor z egyes összefüggőségi komponenseire lklmzv bizonyítást, z F primitív függvény z így kpott függvényekből előállíthtó. Ennek meggondolását itt tovább nem részletezzük. 42
ÖTÖDIK FEJEZET 5.5. FOLYTONOSAN DIFFERENCIÁLHATÓ FÜGGVÉNY PRIMITÍV FÜGGVÉNYE 5.5. Folytonosn differenciálhtó függvény primitív függvénye létezésének elégséges feltétele Az előző fejezetben láttuk, hogy zárt görbéken 0 vonlintegrálll rendelkező folytonos függvényeknek vn primitív függvénye. Ezt feltételt zonbn gykorltbn igen nehéz ellenőrizni, hiszen minden lehetséges zárt görbén vett integrált ki kellene számolni. Ebben fejezetben zzl fogllkozunk, hogy egy elég sim (folytonosn differenciálhtó) f : R p R p függvény primitív függvénye létezésére milyen könnyebben ellenőrizhető feltételt tudunk dni. Kiderül, hogy korábbn belátott 5.18. Tétel megfordítás megfelelő tuljdonságú trtományon lklmzhtó. Az állítás bizonyításához szükségünk lesz prméteres integrál foglmár. 5.5.1. Prméteres integrál Legyen h : [, b] [c, d] R folytonos függvény (hol most [, b] és [c, d] vlós intervllumok). A H : [c, d] R, H(y) := függvényt prméteres integrálnk nevezzük (y prméter ). b h(x, y) dx 5.23. Tétel. Legyen h : [, b] [c, d] R folytonos függvény. Tegyük fel, hogy D 2 h létezik és folytonos [, b] [c, d]-n. Ekkor H : [c, d] R, H(y) := b függvény differenciálhtó (c, d)-n és minden y (c, d) esetén H (y) = b h(x, y) dx D 2 h(x, y) dx. Bizonyítás. Legyen y (c, d) tetszőleges. Ekkor s (c, d), s y esetén b H(s) H(y) D 2 h(x, y) dx = s y ( = 1 b ) b h(x, s) dx h(x, y) dx s y = 1 s y = 1 s y = b b b (h(x, s) h(x, y)) dx D 2 h(x, η)(s y) dx (D 2 h(x, η) D 2 h(x, y)) dx, b b b D 2 h(x, y) dx = D 2 h(x, y) dx = D 2 h(x, y) dx = hol z utolsó előtti sorbn lklmztuk Lgrnge-középértéktételt h-r 2. változóbn, η (s, y) vgy η (y, s) (és η tuljdonképpen függ x-től, de ennek továbbikbn nem lesz szerepe). Mivel D 2 h folytonos [, b] [c, d]-n, ezért ε > 0 δ > 0, hogy (x, s), (x, y) [, b] [c, d], melyre (x, s) (x, y) = s y < δ, teljesül, hogy D 2 h(x, s) D 2 h(x, y) < ε. Legyen s (c, d), s y olyn, hogy s y < δ. Mivel η z y és s között vn, így η y < δ is fennáll, miből is következik. Ekkor fenti egyenlőség lpján H(s) H(y) b D 2 h(x, y) dx s y D 2 h(x, η) D 2 h(x, y) < ε b D 2 h(x, η) D 2 h(x, y) dx < 43 b ε dx = ε(b ).
5.5. FOLYTONOSAN DIFFERENCIÁLHATÓ FÜGGVÉNY PRIMITÍV FÜGGVÉNYE ÖTÖDIK FEJEZET Ez éppen zt jelenti, hogy lim s y H(s) H(y) s y és H H(s) H(y) (y) = lim = s y s y b D 2 h(x, y) dx. Ezt tételt prméteres integrál deriválás néven szokták emlegetni, és formálisn zt mondj, hogy d dy b h(x, y) dx = b h (x, y) dx, y zz kellően sim függvény esetén z integrál prméter szerinti deriválását z integrál ltt is el lehet végezni. 5.5.2. Folytonosn differenciálhtó függvény csillgtrtományon Most korábbn belátott z 5.18. Tétel tétel megfordítását fogjuk igzolni. Meggondoltuk, hogy h Ω R p, f : Ω R p differenciálhtó, és f-nek létezik F : Ω R primitív függvénye, kkor D i f j (x) = D j f i (x), i, j = 1,..., p, x Ω. (5.7) Az lábbikbn megmuttjuk, hogy h Ω ún. csillgtrtomány és f folytonosn differenciálhtó Ω-n, kkor fenti (5.7) feltételből következik, hogy f-nek vn primitív függvénye. 5.24. Definíció. Legyen Ω R p. Az Ω trtomány csillgtrtomány, h létezik olyn c Ω pont, hogy minden x Ω esetén [c, x] := {c + t(x c) R p : t [0,1]} Ω ( c pontból z Ω minden pontjához el lehet látni Ω-bn... ). 5.25. Tétel. Legyen Ω R p csillgtrtomány. Legyen f : Ω R p folytonosn differenciálhtó, vgyis f differenciálhtó és minden i, j = 1,2,..., p esetén D i f j folytonos Ω-n. Ekkor ekvivlensek: (i) Minden x Ω esetén zz f (x) R p p szimmetrikus mátrix. D i f j (x) = D j f i (x), i, j = 1,..., p, (ii) f-nek létezik primitív függvénye Ω-n, vgyis létezik olyn F : Ω R differenciálhtó függvény, melyre D j F (x) = f j (x), j = 1,..., p, x Ω. Bizonyítás. (i) (ii) Legyen x Ω, x c tetszőleges. Legyen c pontot x-szel összekötő görbe z g c,x (t) := c + t(x c) Ω, t [0,1]. Az g c,x görbén vett vonlintegrál legyen F függvény x-beli értéke, zz definiálj z F : Ω R függvényt F (x) := f, x Ω. g c,x Ekkor z 5.12. Tétel lpján F (x) = 1 0 f(c + t(x c)), x c dt, mivel g c,x(t) = x c. Megmuttjuk, hogy F primitív függvénye z f-nek. Legyen j {1,2,..., p} tetszőleges index. Ekkor minden x Ω esetén 1 ( 1 p ) D j F (x) = D j f(c + t(x c)), x c dt = D j f i (c + t(x c))(x i c i ) dt. 0 44 0
ÖTÖDIK FEJEZET 5.6. A NEWTON-LEIBNIZ TÉTEL TOVÁBBI ÁLTALÁNOSÍTÁSAI Most lklmzzuk prméteres integrál deriválásáról szóló 5.23. Tételt. A prméter ezúttl x j, z j. változó lesz. Így folyttv számolást: ( 1 p ) D j F (x) = {D j f i (c + t(x c)) t} (x i c i ) + f j (c + t(x c)) 1 dt, 0 hiszen h i j, kkor D j (x i c i ) = 0. Most hsználjuk ki, hogy D j f i = D i f j. Így kpjuk, hogy Tekintsük D j F (x) = 1 0 ( p ) {D i f j (c + t(x c)) t} (x i c i ) + f j (c + t(x c)) dt. (5.8) Φ : R R, Φ(t) := f j (c + t(x c)) t függvényt! A feltevések mitt Φ differenciálhtó (mivel f j z), és 3.9. Kompozíciófüggvény deriválási szbály, vlmint z egyváltozós szorztfüggvény deriválási szbály lpján Φ (t) = f j(c + t(x c)), (x c) t + f j (c + t(x c)) p = D i f j (c + t(x c)) t (x i c i ) + f j (c + t(x c)). Vegyük észre, hogy z (5.8) integrál ltt éppen Φ (t) áll. Ezért: D j F (x) = 1 0 Φ (t) dt = [Φ(t)] 1 0 = Φ(1) Φ(0) = f j (c + x c) 0 = f j (x). Tehát D j F (x) = f j (x). Mivel f j folytonos Ω-n, ezért D j F folytonos minden j-re, miből már következik, hogy F differenciálhtó. Így vlóbn F z f primitív függvénye. (ii) (i) Az állítás már bizonyított 5.18. Tétel. 5.6. A Newton-Leibniz tétel további áltlánosítási Láttuk, hogy z 5.14. Tétel Riemnn-integrál elméletéből ismeretes Newton-Leibniz tétel áltlánosítás vonlintegrálr. Ebben fejezetben olyn, differenciálgeometriábn és fizikábn fontos szerepet játszó összefüggéseket ismertetünk (bizonyítás nélkül), melyek szintén felfoghtók mint Newton-Leibniz tétel áltlánosítási. Az 5.28. Green-tétel tuljdonképpen Newton-Leibniz tétel kétváltozós, z 5.34. Tétel pedig háromváltozós vriáns. Ez utóbbink fontos következménye z 5.35. Guss-Osztrogrdszkij és z 5.36. Stokes-tétel. 5.6.1. Green tétele A tétel kimondásához szükségünk lesz egy görbén értelmezett vlós értékű függvény úgynevezett ívhossz szerinti vonlintegráljánk foglmár. 5.26. Definíció (22.52). Legyen g : [, b] R p görbe, f : R(g) R(!). Azt mondjuk, hogy z f ívhossz szerinti vonlintegrálj g görbe mentén f ds R, h minden ε > 0 számhoz létezik z [, b] intervllumnk olyn g = t 0 < t 1 < < t n = b felosztás és ehhez t i 1 < c i < t i, i = 1,..., n számok, melyekre n f ds f(g(c i )) g(t i ) g(t i 1 ) < ε. g A következő állítás z 5.8. Tétel megfelelője ívhossz szerinti vonlintegrálr. 45
5.6. A NEWTON-LEIBNIZ TÉTEL TOVÁBBI ÁLTALÁNOSÍTÁSAI ÖTÖDIK FEJEZET 5.27. Állítás (22.53). Legyen g : [, b] R p görbe differenciálhtó és minden j = 1,..., p esetén g j R[, b] (pl., g folytonosn differenciálhtó), továbbá f : R(g) R folytonos. Ekkor b f ds = f(g(t)) g (t) dt. (5.9) g A Green-tétel rról szól, hogy h f : R 2 R vlós értékű, folytonosn differenciálhtó függvény, kkor f -nek egy g : [, b] R 2 sim görbe áltl htárolt trtományon vett területi integrálj előáll mint z f n leképezésnek trtomány htárán vett (ívhossz szerinti) vonlintegrálj. Itt n trtomány htáránk kifelé muttó normális, vgyis h g sim görbe, kkor n : [, b] R 2, n(t) = 1 g (t) (g 2(t), g 1(t)). 5.28. Tétel (Green, 22.47, 22.54). Legyen g : [, b] R 2 pozitív irányítású egyszerű (zz, [, b)-n injektív) zárt síkgörbe, mely véges sok folytonosn differenciálhtó ívből áll. Jelölje g áltl htárolt (korlátos) trtományt A R 2, és legyen A G nyílt. H f : G R folytonosn differenciálhtó, kkor fn ds = f, g hol n(t) = 1 g (t) (g 2(t), g 1(t)) görbe t pontbeli ún. külső normális. Így fenti formul z 5.27. Állítás lpján b b f(g(t)) g 2(t) dt = D 1 f, f(g(t)) g 1(t) dt = D 2 f. A A A Green-tétel joggl tekinthető z egyváltozós Newton-Leibniz-tétel kétváltozós áltlánosításánk. Ugynis, z utóbbi rról szól, hogy egy f függvény [, b] intervllumon vett Riemnn-integrálj egyenlő f(b) f()-vl. Nyilván nevezhetjük z 1 vektort (számot) z [, b] intervllum b pontjábn vett külső normálisánk, 1 vektort pedig z pontbn vett külső normálisánk, és így f(b) f() = f(b) n(b) + f() n(). 5.6.2. Felület, felszín A felületet tekinthetjük görbe kétváltozós áltlánosításánk. 5.29. Definíció. Legyen A R 2 mérhető. A g : A R p leképezés R p -beli (prméterezett) felület. A felület folytonos/(folytonosn) differenciálhtó, h g z. Speciális felület: g : A R 3, g(x, y) = (x, y, f(x, y)), hol f : A R függvény. Ekkor R(g) = grph (f). 5.30. Péld. Gömbfelület prméterezése: g : [0,2π] [0, π] R 3, g(α, β) = (R sin β cos α, R sin β sin α, R cos β). A 5.6. ábr. Felszín közelítése A felület felszínét techniki nehézségek elkerülése végett egy felületi integrálll definiáljuk. A képlet hsonlít folytonosn differenciálhtó görbe ívhosszár vontkozó (5.2) formulár. 46