4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval

4. fejezet Egyváltozós valós függvények deriválása Elm 4.. Differenciálás a definícióval A derivált definíciójával atározza meg az alábbi deriváltakat!. Feladat: f) = 6 + f 4) =? f 4) f4 + ) f4) 5 + 6 5 64 + ) + 5 5 + 6 + 5 5 + 6 + 5 = 5 + 6 5 5 + 6 + 5) = 6 5 + 6 + 5 = 6 0. Feladat: f) = + 7 f ) =? 53

54 4. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA f ) 3 f + ) f) 3 9 + 3 9 + + ) + 7 3 3 + 9 + 3 + 9 + =... = 9 + 3 + 9 + ) = 7 = 3. Feladat: f) = 3 + f ) =?... 4. Feladat: További gyakorló feladatok: A definícióval atározza meg az alábbi deriváltakat! a) f) = 3 f 3) =? b) f) = 5 c) f) = + f 6) =? f ) =? d) f) = 4 + 4 sin ) f ) =? 5. Feladat: tankonyvtar.ttk.bme.u c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

4.. A DERIVÁLÁSI SZABÁLYOK GYAKORLÁSA 55 Tétel: cos ) = sin, R Bizonyítsa be a tételt! Hasonlóan igazolató, ogy sin ) = cos ) f) := cos f ) Ugyanis: f + ) f) cos + ) cos cos cos sin sin cos = cos sin sin = sin }{{ }}{{ } 0 cos cos sin sin = sin = 0 = 0 4.. A deriválási szabályok gyakorlása Szükséges ismeretek: deriválási szabályok, összetett függvény deriválása. Továbbá: α ) = α α, sin ) = cos, cos ) = sin. 6. Feladat: Tétel: a) tg ) = cos, b) ctg ) = sin, π + kπ kπ 3 4 5 Bizonyítsa be az állításokat! konstansszoros deriváltja összeg deriváltja 3 szorzat deriváltja 4 összetett függvény deriváltja 5 inverzfüggvény deriváltja c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.u

56 4. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA A ányadosfüggvény deriválási szabályát és a függvények definícióját asználjuk fel. u ) ) = u v u v v tg ) = v ) sin = sin ) cos sin cos ) cos cos =... = cos, π + kπ ctg ) = cos ) = cos ) sin cos sin ) sin sin =... = sin, kπ 7. Feladat: Deriváljuk az alábbi vagy asonló) függvényeket! + 3 + 7, + ) + 4, + 5 3 6 + 3, 3 + ) 6, sin 3, sin 3, sin 3, sin 5 3, 3 + cos 4 ) 3 + 3 ) = ) + 7) + 3) 4 + 7 + ) + ) 4 + 7) = + ) + 4 + + ) + 4) } {{ } =+ 4 ) / = = + 4 + + 4 ) / + 4 ) }{{} =8 3 Most még ilyen részletességgel dolgozzanak! ) + 5 3 = + 5 3 ) 6 + 3 + 5 3 ) 6 + 3) 6 + 3 = 6 + 3) = + 5 ) 6 + 3 + 5 3 ) 6 + 3) / 5 6 + 3 3 + ) 6 ) = 6 3 + ) 5 3 + ) }{{} = 3 +4 tankonyvtar.ttk.bme.u c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

4.. A DERIVÁLÁSI SZABÁLYOK GYAKORLÁSA 57 sin 3 ) = cos 3 3 sin 3 ) = 3 sin sin ) }{{} cos sin 3 ) = cos 3 3 sin 5 3 ) = 5 sin 4 3 sin 3 ) }{{} cos 3 6 3 + cos 4 ) 3 ) = 3 3 + cos 4 ) 3 + cos 4 ) 3 + cos 4 ) = 3 + cos 4 cos 4 ) }{{} sin 4 4 3 8. Feladat: f) = cos 4) + 3 8 ) 4, a 0 sin 3, a < 0 7 Határozza meg a deriváltfüggvényt, aol az létezik! f ), mert a függvény nem értelmezett = -ben. ) f0 + 0) 0+0 cos 4) + 3 8 = ) 4 4 = 4 ) sin 3 sin 3 f0 0) 9 0 0 7 0 0 3 7 = 9 f0 + 0) 7 f 0), mert a függvény nem folytonos = 0 -ban nem létezik a atárérték itt). Ha 0 és, akkor f deriválató, mert deriválató függvények összetétele. f ) = cos 4 sin 4) 4 cos 4 + 3) 8 4) ) 5, a > 0 és sin 3 cos 3 3 7 sin 3 4 49 4, a < 0 c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.u

58 4. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA 4.3. A deriválási szabályok + definíció gyakorlása 9. Feladat: f) = 3 Mutassuk meg, ogy f 0)! f f) f0) 0) Teát f 0). 3 0 3 = 0. Feladat: f) = 3 sin 3 f ) =? = 0 -ban a definícióval dolgozzon!) Ha 0, akkor deriválató függvények összetétele és f ) = 3 /3 sin 3 + 3 cos 3 ) 3 /3 Ha = 0, akkor a definícióval dolgozunk: 3 3 sin f 0) 0 3 sin 3 3 3 =. Feladat: f) = 5 3 tg 5 ), < 5 a) f ) =?, a 0 b) A derivált definíciója alapján atározza meg f 0) értékét! tankonyvtar.ttk.bme.u c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

4.3. A DERIVÁLÁSI SZABÁLYOK + DEFINÍCIÓ GYAKORLÁSA 59 a) Ha 0, akkor létezik a derivált, mert deriválató függvények összetétele: f ) = 3 tg 5 ) /5) = 5 3 tg 5 ) 4/5 3 tg 5 ) 3 tg 5 ) = 3 tg 5 + 3 cos 5 b) f 0) f) f0) 5 3 sin 5 5 5 3 5 0 5 3 tg 5 0 5 5 5 cos 5 = 5 5 5 5 = 5 5 sin 5 3 cos 5 5 5 =. Feladat: f) = sin ) f ) =? g) := ) sin ) Ez egy mindenütt deriválató függvény: g ) = sin ) + ) cos ) g felasználásával: { g), a f) = g), a < Ezért { g f ) = ), a > g ), a < = -ben legjobb a definícióval ellenőrizni a deriválatóságot. Használató lenne a segédlet 6. oldalán kimondott tétel is, de talán jobb ilyenkor a definíció.) f ) f) f) sin ) 0 sin ) ) = 0 = 0 c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.u =

60 4. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA 3. Feladat: f ) =? f) = 3 sin, a 0 0, a = 0... 4. Feladat: További gyakorló feladatok: a) f) = 9 sin 3), f ) =? b) f) = 3 3, f ) =? c) f) = 5 sin 5 3, f ) =? d) f) = f ) =? e) f) = sin 7, a > 0 ), a 0 3, a a + b, a < Adja meg a és b értékét úgy, ogy f ) létezzen! tankonyvtar.ttk.bme.u c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

4.4. ELEMI FÜGGVÉNYEK 6 4.4. Elemi függvények 5. Feladat: Rajzolja fel a tg és az arctg függvények grafikonját! Határozza meg értelmezési tartományukat, értékkészletüket, deriváltjukat! Elm 6 7 8 9 6. Feladat: a) 0 arctg =? b) arctg 3+0 3 =? arctg 3 0 3 =? arctg 3 =? c) 0 arctg =? d) 3 arctg 3 3 9 =? e) arctg + 3 =? 6 atványfüggvények 7 eponenciális függvények 8 trigonometrikus függvények 9 iberbolikus függvények c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.u

6 4. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA a) = tg u, u = arctg elyettesítéssel : 0 arctg u 0 u tg u u 0 b) arctg = π 3+0 } 3 {{ }, mert / 0 alakú arctg = π 3 0 } 3 {{ }, mert /+0 alakú arctg 3 = arctg 0 = 0 u sin u cos u = c) 0 arctg = 0, mert 0 korlátos) alakú. d) 3 arctg 3 3 9 e) arctg + 3 = 3 arctg 3 3 3 = arctg = π 4 arctg ) + 3 = π }{{} 7. Feladat: f) = 3 arctg, f ) =? = 0 -ban a definícióval dolgozzon!) Fel kell asználni, ogy 0 arctg Adjuk fel ázi feladatnak, mert nincs benne már új dolog! = az előző példában látottak alapján. tankonyvtar.ttk.bme.u c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

4.4. ELEMI FÜGGVÉNYEK 63 8. Feladat: f) = arctg, a 0 a, a = 0 g) = arctg, a 0 b, a = 0 a) Határozza meg az a és b paraméterek értékét úgy, ogy az f és g folytonos legyen = 0 -ban! b) f 0) =?, g 0) =? a) arctg 0 = 0, Hasonlóan g) = 0 0 0 korlátos alakú) Teát a = f0) := 0, b = g0) := 0. Vagyis arctg, a 0 f) = 0, a = 0 függvények már mindenütt folytonosak. b) f 0) f) f0) ) f +0) = π, f 0) = π g) = arctg 0 arctg, a 0 0, a = 0 arctg g 0) g) g0) arctg 0 arctg = 0 9. Feladat: c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.u

64 4. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA f) = arctg +, a β, a = a) Megválasztató-e β értéke úgy, ogy az f függvény folytonos legyen = -ben? b) f ) =?, a c) f ) =? Létezik-e f )? a) arctg + = π +0 } {{ } arctg + = π 0 } {{ } Mivel = -ben = -ben. b) Ha : f ) = + ) + = a atárérték, ezért nincs olyan β, melyre f folytonos lenne ) + ) =... = + ) + ) ) ) = + ) ) c) f ) =, de f ), mert az f függvény nem folytonos = -ben. 0. Feladat: Ismertesse az arcsin függvény tulajdonságait értelmezési tartomány, értékkészlet, ábra, derivált)! tankonyvtar.ttk.bme.u c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

4.4. ELEMI FÜGGVÉNYEK 65. Feladat: f) = 3π arcsin 3 ) a) D f =?, R f =?, f ) =? b) Írja fel az 0 = 7 4 pontbeli érintőegyenes egyenletét! c) Indokolja meg, ogy f -nek létezik az f inverze! f ) =?, D f =?, R f =? a) 3... = D f = [, ] [ 3 [, ] = arcsin 3 ) π, π ] = arcsin 3 ) [ π, π] = R f = [π, 4π] f ) = b) y é = f ) 7 4 3 ) ) = 4 3 ) + f 7 4 ) 7 ) 4 = 0 3 π + 8 7 ) 3 4,, ) c) f ) > 0, a, ) és f folytonos [, ] -ben, ezért f szigorúan monoton nő D f - en, így a teljes értelmezési tartományban invertálató. y = 3π arcsin 3 ) =... f ) = 3 sin 3π ) D f = R f = [π, 4π], R f = D f = [, ]. Feladat: c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.u

66 4. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA a) D f =?, R f =? f) = arccos 4 π b) Adja meg a 5 pontot tartalmazó azon legbővebb intervallumot, melyen f invertálató! f ) =?, D f =?, R f =? a) f páros függvény. ÉT.: 4 = 0 < 4 miatt arccos 4 [ 0, π ) = R f = [ π, 0 ) b) f ) = ) 8 = 4 3 ) 4 8, a >. 3 f ) < 0, a, ) és f folytonos I =, ] -n = f szigorúan monoton csökken I -n, teát invertálató I -n. 5 I) y = arccos 4 π =... f ) = D f = R f = [ π ), 0, R f = D f =, ] cos + π ) 3. Feladat: Deriválja az alábbi függvényeket! c 5, a 0 f) = s 3, a < 0 ; g) = + 4 ) tankonyvtar.ttk.bme.u c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

4.4. ELEMI FÜGGVÉNYEK 67 Rajzoljuk fel az s, c függvényeket! f0 + 0) = f0) = c 0 = f0 0) = 0 = f nem folytonos = 0 -ban = f 0) Egyébként f deriválató függvények összetétele és így deriválató: 0 s 5, a > 0 f ) = c 3, a < 0 g eponenciális atványfüggvény, ennek megfelelően deriváljuk: g) = e ln +4 ) = e ln +4 ) ) g ) = e ln +4) ln + 4 )) = + 4 ) ln + 4 ) + 43 + 4 4. Feladat: e ), a > f) = c ) 3, a Írja fel f ) értékét, aol az létezik!... 5. Feladat: f) = arctg π Hol és milyen szakadása van a függvénynek? Írja fel f ) értékét, aol az létezik! Adjon meg egy intervallumot, melyen létezik f! f ) =?, D f =?, R f =?... c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.u

68 4. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA Elm 4.5. L Hospital szabály 6. Feladat: a) 0 arctg 3 ars 5 3 =? e) ) ln =? b) 0 arcsin 3 tg =? f) +0 tg =? c) e 5 =? g) e 8 e 3 e 5 + e 3 =? d) +0 ln 7 =? ) s 3 ) c 3 + 4) =? a) 0 arctg 3 ars 5 3 b) 0 arcsin 3 tg c) e 5 = L H 0 L H 0 6 + 3 ) 5 0 5 + 53 ) 3 ) tg L H e5 cos 6 0 3 L H 5 e5 + 3 ) + 53 ) = 5 9 4 5 e 5 = 0 sin cos3 = 3 d) +0 ln 7 = +0 ln 7 +0 7 ln / L H +0 7 3/ = +0 4 = 0 tankonyvtar.ttk.bme.u c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

4.6. FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT 69 e) ) ln ln + ) ln L H ln + ln + ) ln ln + L H = + = f) +0 tg = +0 tg ln +0 eln tg +0 ln ctg +0 etg ln = e 0 =, mert L H +0 sin +0 sin sin = 0 g) A L Hospital szabály alkalmazása most nem vezetne eredményre. e 8 e 3 e 5 + e 3 e 3 e 3 e e 8 + = 0 0 + = ) Itt sem vezet eredményre a L Hospital szabály. Beírva a függvények definícióját, az előző pédáoz asonlóan járatunk el: s 3 ) c 3 + 4) = e 3 e 3 ) e 3+4 + e 3+4) e 3 e 3 e e 6+ e 4 + e 6 4 = e e 4 4.6. Intervallumon deriválató függvények tulajdonságai, függvényvizsgálat 7. Feladat: Elm f) = 3) 3 + 5) 4 a) Adja meg azokat a legbővebb intervallumokat, melyeken a függvény szigorúan monoton! b) Hol van lokális szélsőértéke? c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.u

70 4. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA f ) = 3 3) +5) 4 + 3) 3 4+5) 3 =... = 3) + 5) + 5)7 + 3) }{{}}{{} 0 rajzoljuk fel!, 5) 5 5, 3 ) 3 37 ) 7 7, 3 3 3, ) f + 0 0 + 0 + f Teát f szigorúan monoton nő:, 5) és 37 ), intervallumokon, f szigorúan monoton csökken: 5, 3 ) -en. 7 = 5 -ben lokális maimum van, mert f növekvőből csökkenőbe megy át. = 3 -ben lokális minimum van, mert f csökkenőből növekvőbe változik. 7 8. Feladat: f) = ln + + ) Keresse meg azokat az intervallumokat, melyeken a függvény - monoton nő, illetve monoton csökken; - alulról konve, alulról konkáv. f) = ln + + ) = ln + ) + ) }{{} f + ) = + + = D f = R, ), ) f 0 + f Teát f szigorúan) monoton csökken, ) -en és szigorúan) monoton nő, ) - en. f ) = + + ) + ) + ) + ) = + + ) + + ) tankonyvtar.ttk.bme.u c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

4.6. FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT 7 A nevező, a számlálóban levő parabolát pedig rajzoljuk fel!, ), 0) 0 0, ) f 0 + 0 f infl. pont) infl. pont) 9. Feladat: f) = e 3 Hol monoton növő, illetve csökkenő az f függvény? Hol van lokális szélsőértéke? f ) = e 3 + e 3 3) = 3) e 3 = 0, a = 3., ) ) 3 3 3, f + 0 f lok.ma. f ) = 3 3 e 30. Feladat: f) = 6 5 5 + 0 4 Hol konve, ol konkáv a függvény? Hol van infleiós pontja? f ) = 5 75 4 + 80 3 f ) = 60 4 300 3 + 40 = 60 }{{} 0 5 + 4) }{{} ) 4), 0) 0 0, ), 4) 4 4, ) f + 0 + 0 0 + f infl.p. infl.p. c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.u

7 4. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA 3. Feladat: f) = e Keresse meg azokat az intervallumokat, amelyeken az f függvény konve, illetve konkáv! Hol van infleiója az f függvénynek? f ) = e + e ) = e e f ) = e ) 4 e e ) = e 4 3 6) = e 3) Ábrázoljuk vázlatosan a 3) függvényt, mert így könnyebb az előjelvizsgálat! 3 3 Harmadfokú polinom, nullaelyek:, 0, ; + -ben + -ez tart a függvény és -ben -ez tart a függvény.) Ennek alapján: ) 3, 3 ) 3, 0 0 0, ) 3 3 ) 3, f 0 + 0 0 + f infl.p. infl.p. infl.p. 3. Feladat: Hol konve, ol konkáv az függvény? Van-e infleiós pontja? f) = ln e ) D f = 0, ) f ) = ln e ) + e = ln e ) + e f ) = ln e ) + e + = ln e ) + 3 = 0 e = ln e ) = 3 = e = e 3/ = = e 5/ tankonyvtar.ttk.bme.u c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

4.6. FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT 73 0, e 5/ ) e 5/ e 5/, ) f 0 + f infl. pont) 33. Feladat: Vizsgálja meg és vázlatosan ábrázolja az f) = ln e ) függvényt? Konve-konkáv tulajdonságot, infleiót most ne vizsgáljon! D f = 0, ) Nullaely: e = = = e +0 ln e ) }{{ } +0 alakú = ln e ) }{{ } alakú L H = 0 f ) =, f) = ln e ) = ln e ) = 0 = ln e ) = = = 0, ), ) f + 0 f lok. ma. A függvény grafikonja a 4. ábrán látató. 34. Feladat: Végezzen függvényvizsgálatot és vázlatosan ábrázolja a függvényt! a) f) = 3 e c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.u

74 4. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA 4.. ábra. Az f) = lne ) függvény grafikonja. lne)/ 0 - - -3-4 -5 0 4 6 8 0 b) f) = + a) f) = 3 e D f = R ; Nullaely: = 0 3 e = 3 e Nem páros, nem páratlan, nem periodikus. f ) = 3 e 3 e = e 3 ) L H =... = 0 3 e =, 0) 0 0, 3) 3 3, ) f + 0 + 0 f lok. ma. f3) = 7 e 3 = 7 e 3 f ) = 6 e 3 e 3 e + 3 e = e 6 + 6) }{{} =0 : =3± 3 tankonyvtar.ttk.bme.u c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

4.6. FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT 75, 0) 0 ) 0, 3 3 3 3 ) 3 3, 3 + 3 3 + 3 3 + 3, ) f 0 + 0 0 + f infl.p. infl.p. infl.p. R f =, 7 ] e 3 A függvény grafikonja a 4..a) ábrán látató. 4.. ábra. A két vizsgált függvény grafikonja. a) b).5 3 e - 8 6 +-)/ + 4 0.5 0 0-0.5 - - -4 -.5-6 - - 0 4 6 8 0-8 -8-6 -4-0 4 6 8 b) f) = + D f = R \ {0} ; ± + ) = + ) + ) = + ) +0 = ± Nullaelyek: =, = f ) = + ) = + > 0, 0) 0 0, ) f + + f szak.. = ; 0 + ) = + c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.u

76 4. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA f ) = 4 3, 0) 0 0, ) f + f szak.. A függvény grafikonja a 4..b) ábrán látató. Megjegyzés: ± ) f) + )) = 0 = A függvény, a ± ± egyre közelebb kerül az y = + lineáris függvényez lineáris aszimptota). 35. Feladat: Van-e lineáris aszimptotája az alábbi függvénynek + -ben? a) f) = + sin b) f) = 4 + 3 c) f) = 3 + + 3 Elm 4.7. Abszolút szélsőérték 36. Feladat: f) = 3 + 48 a) Végezzen függvényvizsgálatot és vázlatosan ábrázolja a függvényt! b) Beszéletünk-e a függvény maimumáról illetve minimumáról az [, 3] intervallumon? Ha igen, akkor mennyi ezek értéke? tankonyvtar.ttk.bme.u c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

4.7. ABSZOLÚT SZÉLSŐÉRTÉK 77 a) D f = R \ {0} ; 3 + 48 0 = + f) = +, f) = Nem páros, nem páratlan, nem periodikus. Nullaely: f) = 5 + 48 = 0 = f 5 48) = 0 f ) = 3 96 3 = 3 5 3) 3 = 0 = =, f) = 0, 0) 0 0, ), ) f + 0 + f szak.. lok. min. f ) = 6 + 3 96 4 = 6 5 + 48 4 = 0 = = 5 48, f 5 48) = 0), 5 48) 5 48 5 48, 0) 0 0, ) f 0 + + f infl.p. szak.. A függvény grafikonja a 4.3 ábrán látató. b) Mivel f folytonos [, 3] -ban zárt!) = min., ma. Weierstrass II. tétele) Mivel f az intervallumon mindenütt deriválató, a szóbajöető pontok: - a lokális szélsőérték: f) = 0, - az intervallum végpontjai: f) = 49, f3) = 7 + 48 9 = min {f)} = 0, ma [,] {f)} = 49 [,] 37. Feladat: f) = e 3 Van-e minimuma, illetve maimuma az f függvénynek a [0, ] intervallumon? Indokoljon!) Ha igen, atározza meg! c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.u

78 4. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA 60 4.3. ábra. A vizsgált függvény grafikonja. 40 0 0-0 -40 3 +48 - -60-4 -3 - - 0 3 4... f ) = e 3 3)... min {f)} = f0) = 0, ma [0,] {f)} = f [0,] 3 ) = 4 9 e Elm 4.8. Implicit megadású függvények deriválása 38. Feladat: Az y) függvény az 0 = e pont környezetében differenciálató és kielégíti az ln y + y ln = implicit függvénykapcsolatot. Határozza meg ezen függvény e,) pontjabeli érintő egyenesének egyenletét! tankonyvtar.ttk.bme.u c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi

4.8. IMPLICIT MEGADÁSÚ FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA 79 Ellenőrizzük a pontot! e ln + ln e? = Igaz. Teát az y) valóban átmegy az adott ponton: ye) =. ln y) + y) ln = Mindkét oldalt szerint deriváljuk: ln y) + y) y ) + y ) ln + y) = 0 Beelyettesítve = e -t ye) = ), kapjuk y e) -t: ln + e y e) + y e) ln e + e = 0 = y e) = Az érintőegyenes egyenlete: y é = ye) + y e) e) = e e + ) e) e e + ) 39. Feladat: egy környezeté- A differenciálató y = y) átmegy az 0 =, y 0 = ponton és 0 ben kielégíti az alábbi implicit egyenletet: y + y 5 + e ) 4 = 0 Van-e ennek a függvénynek lokális szélsőértéke az 0 = pontban? Van-e infleiója a függvénynek ugyanitt? + 0 =? 0 Igaz. Az -től való függést már nem jelölöm, így áttekintetőbb: y y + 0y 4 y + e 4 ) 3 = 0 Beelyettesítés: =, y = y ) + 0y ) + 4 0 = 0 = y ) = 4 c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi tankonyvtar.ttk.bme.u

80 4. FEJEZET: EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA Mivel y ) 0 = nincs lokális szélsőértéke = -ben nem teljesül a szükséges feltétel). y y + y y + 40y 3 y y + 0 y 4 y + 4e ) = 0 =, y =, y = 4 : 8 y ) 40 6 + 0 y ) + 4 0 = 0 Elég csak felírni, ogy ebből y ) = 3 a igaz). 64 Mivel y ) 0 = nincs infleiós pontja = -ben nem teljesül a szükséges feltétel). Elm 4.9. Paraméteres megadású görbék 40. Feladat: Legyen = t + sin 4t, y = t + sin t a) Indokolja meg, ogy a fenti paraméteresen megadott görbének van y = f) előállítása a t 0 = π 8 paraméterez tartozó 0 = t 0 ) pont egy környezetében! b) f 0 ) =?, f 0 ) =? Van-e lokális szélsőértéke, illetve infleiója az f függvénynek az 0 pontban? c) Írja fel a t 0 paraméterű pontban az érintő egyenes egyenletét! Descartes koordinátákkal.) a) ẋt) = + 4 cos 4t π ) π ẋ = > 0 és ẋt) folytonos = 8 8 δ, π ) 8 + δ = itt t) szigorúan monoton nő = inverze : t = t) és így f) = yt))., aol ẋt) > 0 tankonyvtar.ttk.bme.u c Fritzné, Kónya, Pataki, Tasnádi