Egváltozós függvének differenciálszámítása II.. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Végezzen teljes függvénvizsgálatot! A függvénvizsgálat szokásos menete:. Értelmezési tartomán, tengelmetszetek 2. Szimmetriatulajdonságok: paritás, periodicitás 3. Foltonosság, határértékek 4. Monotonitás, lokáis szélsőértékek ( f () segítségével) 5. Konveitás, infleiós pontok ( f () segítségével) 6. Grafikon 7. Értékkészlet, globális szélsőértékek (a) f () 4 4 ( + ) 2 Megoldás: D f R \ { } Tengelmetszetek: -tengelen (zérushelek): f () 0 4 4 0 -tengelen: f (0) 4 4 } D f f nem páros, nem páratlan. D f f -nek eg zérushele van, ezért nem periodikus. f foltonos függvének hánadosa, ezért maga is foltonos függvén. 4 4 f () + + ( + ) 8 2 0 + 4 4 f () ( + ) 8 2 0 + 4 + 4 f () 2 + 2 + 4 + 4 + 2 + 4 0 4 + 4 f () 2 + 2 + 4 + 4 + 2 + 4 0+
Megj.: az utóbbi két határértéket, mivel is számolhatjuk: f () f () 4 + 4 2 + 2 + 4 + 4 2 + 2 + Monotonitás, szélsőértékek: ( ) 4 4 f () 4( + )2 (4 4)2( + ) ( + ) 2 ( + ) 4 4 4 8 + 8 ( + ) 3 4 2 ( + ) 3 f () 0 4 2 0 3. ill. típusúak, L Hospital-szabállal 4 2 + 2 4 0 4 2 + 2 4 0+ 4( + ) 2(4 4) ( + ) 3 Kaptuk: az 3 helen lehet f -nek lokális szélsőértéke (máshol nem). Akkor van itt lokális szélsőérték, ha itt f előjelet vált. Ezt táblázatos formában vizsgáljuk meg. A táblázat felső sorában f értelmezési tartomána szerepel f és f szakadási helei, továbbá f zérushelei által meghatározott osztópontok szerinti felbontásban. I. II. III. < < < 3 3 3 < f () + 0 + f () lok.min. A táblázat második és harmadik sorában szereplő adatok meghatározásához vegünk eg-eg számot a keletkező intervallumokból, és vizsgáljuk meg ott f előjelét: I. pl. 2 f ( 2) 20 + f szig. mon. nő a ], [ int.-on II. pl. 0 f (0) 2 f szig. mon. csökkenő a ], 3[ int.-on III. pl. 4 f (4) + + f szig. mon. nő a ]3, [ int.-on + Kaptuk: f -nek az 3 helen lokális minimuma van. Ennek értéke: f (3) 8 6 2 Konveitás, infleiós pontok f () ( ( ) f () ) 4 2 4( + )3 (4 2)3( + ) 2 ( + ) 3 ( + ) 6 4 + 4 2 + 36 ( + ) 4 8 + 40 ( + ) 4 f () 0 8 + 40 0 5 4( + ) 3(4 2) ( + ) 4 Kaptuk: az 5 helen lehet f -nek infleiója (máshol nem). Akkor van itt infleió, ha itt f előjelet vált. Ezt táblázatos formában vizsgáljuk meg. A táblázat felső sorában f értelmezési tartomána szerepel f és f szakadási helei, továbbá f zérushelei által meghatározott osztópontok szerinti felbontásban. I. II. III. < < < 5 5 5 < f () + + 0 f () infl. 2
A táblázat második és harmadik sorában szereplő adatok meghatározásához vegünk eg-eg számot a keletkező intervallumokból, és vizsgáljuk meg ott f előjelét: I. pl. 2 f ( 2) 56 II. pl. 0 f (0) 40 + f szig. konve a ], [ int.-on + f szig. konve a ], 5[ int.-on f szig. konkáv a ]5, [ int.-on III. pl. 6 f (6) 8 + Kaptuk: f -nek az 5 helen infleiója van. Itt a helettesítési érték: aszimptoták: f (5) 6 36 4 9 0, 44 f valódi racionális törtfüggvén, ezért aszimptotái az -tengel (az 0 egenes képe) ill. a szakadási helénél szaggatottal jelölt egenletű egenes. f aszimptotái: a : a 2 : 0 A számolt összefüggések alapján felvázolhatjuk f grafikonját: 4 4 ( + ) 2 4 3 5 A grafikonról leolvassuk f értékkészletét, és globális szélsőértékeit: R f [ 2, [ f (3) 2 globális minimum. (b) f () ln Megoldás: ( ) + D f meghatározása: 3
a nevezőben nem állhat 0 ; a logaritmusfüggvén miatt: + > 0 > és < vag < és < Kaptuk: D f ], [ Tengelmetszetek: { < < } + > 0 és > 0 vag + < 0 és < 0 -tengelen (zérushelek): ( ) + f () 0 ln 0 + + 2 0 0 -tengelen: f (0) ln 0 f grafikonja tehát átmeg az origón. paritás-vizsgálat: i) D f D f ( ) + ( ) ii) f ( ) ln ln ( ) ( ) ln + ( ) + ln ( ) + f () i)-ii) f páratlan függvén (grafikonja szimmetrikus az origóra). f -nek eg zérushele van, ezért nem periodikus. (Másképp: D f korlátos, ezért f nem periodikus.) f foltonos függvének kompozíciója, ezért maga is foltonos függvén. ( ) + f () ln ln 0+ + + 2 ln 0+ ( ) + f () ln ln 2 ln 0 + Monotonitás, szélsőértékek: ( f () ln ( + f () 0 2 0 )) ( ) + ( + ) + ( ) 2 + 2 ( ) 2 2 ( + )( ) Kaptuk: f -nek nincs lokális szélsőérték-hele, és íg lokális szélsőértéke sem. A táblázat felső sorában f értelmezési tartomána szerepel f és f szakadási helei, továbbá f zérushelei által meghatározott osztópontok szerinti felbontásban. Most tehát nincs osztópont! < < f () + f () A táblázat második és harmadik sorában szereplő adatok meghatározásához vegünk eg számot az (egetlen) intervallumból, és vizsgáljuk meg ott f előjelét: pl. 0 f (0) 2 + f szig. mon. nő a ], [ int.-on. Kaptuk: f szig. mon. nő az egész értelmezési tartománán. 4
Konveitás, infleiós pontok ( ) ( f 2 () ( + )( ) f () 0 4 0 0 ) 2 0 2( 2) 2 ( 2 ) 2 4 ( 2 ) 2 Kaptuk: az 0 helen lehet f -nek infleiója (máshol nem). A táblázat felső sorában f értelmezési tartomána szerepel f és f szakadási helei, továbbá f zérushelei által meghatározott osztópontok szerinti felbontásban. Most tehát eg osztópont van, 0. I. II. < < 0 0 0 < < f () 0 + f () infl. A táblázat második és harmadik sorában szereplő adatok meghatározásához vegünk eg-eg számot a keletkező intervallumokból, és vizsgáljuk meg ott f előjelét: I. pl. f ( ) 2 f szig. konkáv a ], 0[ int.-on 2 2 + II. pl. f ( ) 2 + f szig. konve a ]0, [ int.-on 2 2 + Kaptuk: f -nek az 0 helen infleiója van. Itt a helettesítési érték: f (0) 0 A számolt összefüggések alapján felvázolhatjuk f grafikonját: ln ( ) + R f R f -nek nincs globális szélsőértéke. (c) f () ln Megoldás: D f R + ]0, [ Tengelmetszetek: 5
0 (0 D f ) -tengelen (zérushelek): f () 0 ln 0 -tengelen: f (0) (0 D f, a grafikon nem metszi az -tengelt.) } D f f nem páros, nem páratlan. D f f -nek eg zérushele van, ezért nem periodikus. f foltonos függvének szorzata, ezért maga is foltonos függvén. f () ln 0 + 0 + }{{} 0 f () ln }{{} ln 0 + ln 0 + ( ) Monotonitás, szélsőértékek: ( f () ln ) ln ( + ) 2 ( ) L H 2 0 + 0+ 0 + 2 ( ln ) f () 0 ln e e 0, 36. Kaptuk: az helen lehet f -nek lokális szélsőértéke (máshol nem). Akkor van itt lokális e szélsőérték, ha itt f előjelet vált. Ezt táblázatos formában vizsgáljuk meg. A táblázat felső sorában f értelmezési tartomána szerepel f és f szakadási helei, továbbá f zérushelei által meghatározott osztópontok szerinti felbontásban. I. II. 0 < < < e e e f () + 0 f () lok. ma A táblázat második és harmadik sorában szereplő adatok meghatározásához vegünk eg-eg számot a keletkező intervallumokból, és vizsgáljuk meg ott f előjelét: I. pl. e 2 f ( e 2 ) ln e 2 2 + f szig. mon. nő a ] 0, e [ int.-on II. pl. e f (e) ln e f szig.mon.csökk. az ] e, [ int.-on f -nek az helen lokális maimuma van, aminek értéke: e f ( ) e ln e 0, 36 e e e Konveitás, infleiós pontok f () (( ln ) ) ( ) 2 f () 0 0 f -nek nincs infleiós hele. A táblázat felső sorában f értelmezési tartomána szerepel f és f szakadási helei továbbá f zérushelei által meghatározott osztópontok szerinti felbontásban. 6
Most tehát nincs osztópont! f () f () 0 < A táblázat második és harmadik sorában szereplő adatok meghatározásához vegünk eg számot a keletkező intervallumból, és vizsgáljuk meg ott f előjelét: pl. f () f szig. konkáv a ]0, [ int.-on f tehát szigorúan konkáv az egész értelmezési tartománán. A számolt összefüggések alapján felvázolhatjuk f grafikonját: ln R f ], ] e ( ) f globális maimum. e e (d) f () e Megoldás: D f R \ {0} Tengelmetszetek: -tengelen (zérushelek): f () 0 (0 D f, e > 0) -tengelen: f (0) f ( ) e f () e (0 D f, a grafikon nem metszi az -tengelt.) f ( ) f () f ( ) f () f -nek eg szakadási hele van, ezért nem periodikus. f nem páros, nem páratlan. f foltonos függvének szorzata, ezért maga is foltonos függvén. 0 e e }{{} 0 + 0 e 0 e 0 0 + 0 e 0 + ( ) e L H 2 0 + e 0 + 2 7
e Monotonitás, szélsőértékek: f () ( ) e ( ) ( ) e + e e 2 ( ) f () 0 e 0 I. II. III. < < 0 0 0 < < < f () + 0 + f () lok.min. I. pl. f ( ) 2 + e f szig. mon. nő a ], 0[ int.-on II. pl. 2 f ( ) 2 e2 ( ) f szig. mon. cs. a ]0, [ int.-on III. pl. 2 f (2) e 2 + f szig. mon. nő a ], [ int.-on 2 f -nek az helen lokális maimuma van, aminek értéke: f () e e 2, 7 Konveitás, infleiós pontok f () ( ( )) e ( ) ( ) e 2 + e e 2 + e 2 + e 3 e 2 3 f () 0 e 3 0 I. II. < 0 0 0 < f () + f () I. pl. f ( ) (+) ( ) f szig. konkáv a ], 0[ int.-on II. pl. f () (+) (+) + f szig. konve a ]0, [ int.-on e R f ], 0[ [e, [ R \ [0, e[ f -nek nincs globális szélsőértéke. 8
(e) f () 3 + 4 2 + 3 Megoldás: D f R Tengelmetszetek: -tengelen (zérushelek): f () 0? f zérusheleit elemi úton nem tudjuk meghatározni. Ld. még később! -tengelen: f (0) 3 f ( ) 6 f ( ) f () f () 8 f ( ) f () f nem páros, nem páratlan. f harmadfokú racionáis egész függvén, ezért zérusheleinek száma eg vag három, tehát nem periodikus. f racionális egész függvén, ezért foltonos függvén. 3 + 4 2 + 3 3 3 + 4 2 + 3 3 Monotonitás, szélsőértékek: f () ( 3 + 4 2 + 3 ) 3 2 + 8 f () 0 3 2 + 8 0 (3 + 8) 0 0 vag 8 2, 67. 3 I. II. III. < < 8 8 8 < < 0 0 0 < 3 3 3 f () + 0 0 + f () lok.ma. lok.min. I. f ( 3) 3 + II. f ( ) 5 III. f () + f -nek az 8 helen lokális maimuma van, aminek értéke: 3 f ( 8 3) 337 27 2, 5 f -nek az 0 helen lokális mimimuma van, aminek értéke: f (0) 3 Konveitás, infleiós pontok f () ( 3 2 + 8 ) 6 + 8 f () 0 6 + 8 0 4 3 I. II. < 4 3 4 3 4 3 < f () 0 + f () infl. 9
I. f ( 2) 4 II. f (0) 8 + f -nek az 4 helen infleiója van, és itt a helettesítési érték f ( 4) 209 7, 74 3 3 27 Visszatérve f zérusheleinek kérdésére: a monotonitás-vizsgálat alapján annit mondhatunk, hog f -nek eg zérushele van, mégpedig a ], 8[ intervallumon. 3 3 + 4 2 + 3 3 R f R f -nek nincs globális szélsőértéke. (f) f () 2 + 7 + 3 Megoldás: D f R \ { 3} Tengelmetszetek: -tengelen (zérushelek): f () 0 2 + 7 0 Nincs zérushel. -tengelen: f (0) 7 2, 33 3 } 3 D f f nem páros, nem páratlan. 3 D f f -nek eg szakadási hele van, ezért nem periodikus. f foltonos függvének hánadosa, ezért maga is foltonos függvén. 2 + 7 3 + + 3 6 0 + 2 + 7 3 + 3 6 0 2 + 7 + 3 L H 2 0
2 + 7 + 3 Monotonitás, szélsőértékek: L H 2 f () ( 2 + 7 + 3 ) 2( + 3) (2 + 7) 2 + 6 7 ( + 3) 2 ( + 3) 2 f () 0 2 + 6 7 0,2 6 ± 36 + 28 2 2 7 I. II. III. IV. ], 7[ 7 ] 7, 3[ 3 ] 3, [ ], [ f () + 0 0 + f () lok.ma lok.min. I. f ( 8) 9 + + II. III. f ( 4) 5 + f (0) 7 + IV. f (2) 9 + + f ( 7) 56 4 4 lokális maimum, f () 8 4 2 lokális minimum. Konveitás, infleiós pontok ( ) 2 f + 6 7 () (2 + 6)( + 3)2 ( 2 + 6 7) 2 ( + 3) ( + 3) 2 ( + 3) 4 (2 + 6)( + 3) 2(2 + 6 7) ( + 3) 3 22 + 6 + 6 + 8 2 2 2 + 4 ( + 3) 3 f () 0 32 0 (Nincs infleiós pont.) I. II. ], 3[ 3 ] 3, [ f () + f () I. f ( 4) 32 II. f ( 2) 32 + 32 ( + 3) 3 f nem valódi racionális törtfüggvén, íg a nem-függőleges aszimptotáját polinomosztással határozzuk meg. ( 2 + 7) : ( + 3) 3 3 + 7 6
f aszimptotái: a : 3 a 2 : 3 a 2 + 7 + 3 7 a 2 4 R f ], 4] [2, [ Nincs globális szélsőérték. (g) f () ( 2 3)e Útmutató: (2 3)e (2 3)e } {{ } 0 f () ( 2 + 2 3)e 2 3 e f () ( 2 + 4 )e L H 2 L H 2 e e 2 0+ 2
( 2 3)e 3 (h) f () ln( 2 + 2 2) Útmutató: Értelmezési tartomán: 2 + 2 2 > 0 < 3 vag > + 3 D f ] ; 3[ ] + 3 ; [ f () 2 + 2 2 + 2 2 f () 2(2 + 2 + 4) ( 2 + 2 2) 2 ln( 2 + 2 2) 5 3 3