12. Kétváltozós függvények

Hasonló dokumentumok
l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA ÉS LOKÁLIS SZÉLSŐÉRTÉKEI

(2) A d(x) = 2x + 2 függvénynek van véges határértéke az x0 = 1 helyen, így a differenciálhányados: lim2x

8. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: dr. Nagy Zoltán egy. adjunktus; Bojtár Gergely egy. Ts.; Tarnai Gábor mérnöktanár.

Néhány pontban a függvény értéke: x f (x)

15. Többváltozós függvények differenciálszámítása

Bodó Bea, Somonné Szabó Klára Matematika 2. közgazdászoknak

Függvények határértéke és folytonossága. pontban van határértéke és ez A, ha bármely 0 küszöbszám, hogy ha. lim

DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS. 1. A differenciálhányados fogalma

5. modul: Szilárdságtani Állapotok lecke: A feszültségi állapot

Többváltozós analízis gyakorlat, megoldások

I nyílt intervallum, ( ) egyenletet közönséges (elsõrendû explicit) differenciálegyenletnek nevezzük. Az

III. Differenciálszámítás

Szerkezetek numerikus modellezése az építőmérnöki gyakorlatban

Matematika M1 Gyakorlat

4. Differenciálszámítás

1) Adja meg a következő függvények legbővebb értelmezési tartományát! 2) Határozzuk meg a következő függvény értelmezési tartományát!

4. MECHANIKA STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Triesz Péter, egy. ts.; Tarnai Gábor, mérnök tanár)

Feladatok Oktatási segédanyag

1.1 A függvény fogalma

Kétváltozós függvények differenciálszámítása

Elemi függvények, függvénytranszformációk

5. MECHANIKA STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Triesz Péter, egy. ts.; Tarnai Gábor, mérnöktanár)

Országos Szilárd Leó fizikaverseny feladatai

Mágneses anyagok elektronmikroszkópos vizsgálata

Egyváltozós függvények differenciálszámítása II.

53. sz. mérés. Hurokszabályozás vizsgálata

= x + 1. (x 3)(x + 3) D f = R, lim. x 2. = lim. x 4

Robotok irányítása. főiskolai jegyzet javított változat. írta: Tukora Balázs

= x2. 3x + 4 ln x + C. 2. dx = x x2 + 25x. dx = x ln 1 + x. 3 a2 x +a 3 arctg x. 3)101 + C (2 + 3x 2 ) + C. 2. 8x C.

RSA. 1. Véletlenszerűen választunk két "nagy" prímszámot: p1, p2

3. Lokális approximáció elve, végeselem diszkretizáció egydimenziós feladatra

HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai

Matematika A1. 8. feladatsor. Dierenciálás 2. Trigonometrikus függvények deriváltja. A láncszabály. 1. Határozzuk meg a dy/dx függvényt.

Második zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió

2. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 2014/2015 tanév első félév)

6. Határozatlan integrál

A táblázatkezelő mérnöki alkalmazásai. Számítógépek alkalmazása előadás nov. 24.

5. MECHANIKA STATIKA GYAKORLAT Kidolgozta: Szabó Tamás egy. doc., Triesz Péter egy. ts.

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag

Mezőszimuláció végeselem-módszerrel házi feladat HANGSZÓRÓ LENGŐTEKERCSÉRE HATÓ ERŐ SZÁMÍTÁSA

10. Differenciálszámítás

Teljes függvényvizsgálat példafeladatok

A cikloisív alakú felületi egyenetlenség adatai közötti összefüggésekről

Kétváltozós függvények

Írja át a következő komplex számokat trigonometrikus alakba: 1+i, 2i, -1-i, -2, 3 Végezze el a műveletet: = 2. gyakorlat Sajátérték - sajátvektor 13 6

Villámvédelmi felülvizsgáló Villanyszerelő

Elemi függvények. Nevezetes függvények. 1. A hatványfüggvény

2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x

SIKALAKVÁLTOZÁSI FELADAT MEGOLDÁSA VÉGESELEM-MÓDSZERREL

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

Modern piacelmélet. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. Selei Adrienn

Debreceni Egyetem. Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz. Határozatlan integrál

KOD: B , egyébként

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok)

5. MECHANIKA STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Triesz Péter, egy. ts.; Tarnai Gábor, mérnöktanár)

Függvények ábrázolása, jellemzése II. Alapfüggvények jellemzői

Rockfall lejtésképző elemek

FIZIKA BSc, III. évfolyam / 1. félév Optika előadásjegyzet POLARIZÁCIÓ. Dr. Barócsi Attila, Dr. Erdei Gábor,

CÉLEGYENESBEN! Nyertek a horgászok

Kétváltozós függvények ábrázolása síkmetszetek képzése által

7. Kétváltozós függvények

Fizika A2E, 1. feladatsor

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET

Injektív függvények ( inverz függvény ).

Függvények. 1. Nevezetes függvények A hatványfüggvény

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. alapfüggvény (ábrán: fekete)

1. Vizsgazárthelyi megoldásokkal 1997/98 tél I. évf tk.

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.

A Mozilla ThunderBird levelezőprogram haszálata (Készítette: Abonyi-Tóth Zsolt, SZIE ÁOTK, , Version 1.1)

Integrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november

Analízis IV. gyakorlat, megoldások

Másodfokú függvények

6. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS. Írjuk fel a következő függvények primitív függvényeit ( ): 6.1. f: f ( x) = f: f ( x) = 4x f: f x x x.

n 1 1 n sehova szám (DÖNTETLEN) 1 0 k n n n 1 IZÉ HA a sorozat is lim akkor n NEVEZETES SOROZATOK HATÁRÉRTÉKEI ÖSSZEG HATÁRÉRTÉKE IZÉ

Aktív lengéscsillapítás. Másodfokú lengrendszer tesztelése.

Hozzárendelések. A és B halmaz között hozzárendelést létesítünk, ha megadjuk, hogy az A halmaz egyes elemeihez melyik B-ben lévő elemet rendeltük.

Ábrahám Gábor: Az f -1 (x)=f(x) típusú egyenletekről. típusú egyenletekről, Megoldás: (NMMV hivatalos megoldása) 6 x.

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és

Figyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait!

1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?

A differenciálegyenlet általános megoldása az összes megoldást tartalmazó halmaz.

A szelepre ható érintkezési erő meghatározása

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló

Inverz függvények Inverz függvények / 26

LEMEZ KIHAJLÁS VIZSGÁLATA

DOMUSLIFT KATALÓGUS IV. RESET homeliftek

4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval

Teljes függvényvizsgálat

1.) = grafikont kell ábrázolnunk. Megj.: 5 1+ A = 1 ill. B = 10 -szeresei. Ábrázolás Függvénytranszformációval :

Függvény differenciálás összefoglalás

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

Egyenletek, egyenlőtlenségek XV.

Feladatok matematikából 3. rész

Matematika III előadás

FORGÓRÉSZ DINAMIKUS KIEGYENSÚLYOZÁSA I. Laboratóriumi gyakorlat elméleti útmutató

lim 2 2 lim 2 lim 1 lim 3 4 lim 4 FOLYTONOSSÁG 1 x helyen? ( 2 a matek világos oldala Mosóczi András 4.1.? 4.5.? 4.2.? 4.6.? 4.3.? ? 4.8.?

A központos furnérhámozás néhány alapösszefüggése

13. gyakorlat Visszacsatolt műveletierősítők. A0=10 6 ; ω1=5r/s, ω2 =1Mr/s R 1. Kérdések: uki/ube=?, ha a ME ideális!

Kalkulus II., harmadik házi feladat

Átírás:

. Kétváltoós üggvénk Értlmés: a = képlt g kétváltoós üggvént ad mg ha a sík bárml pontjáho és üggtln váltoók a üggő váltoó lgljbb g érték tartoik. Ha g sm akkor a üggvén nm értlmtt abban a pontban ha g akkor értlmtt. A kétváltoós üggvén graikonja g lült a -dimniós térbn értlmési tartomána pdig g kétdimniós halma pl. g vag több síkidom a -síkban a lült vtült a síkra. Példa. A origó köéppontú gségsugarú gömb lült a + + = gnlttl adható mg; nm g üggvén graikonja mrt bionos pontokho kétél is tartoik uganis -r mgoldva két mgoldás is létht:. Ha csak a poitív mgoldást vssük a a lső gség-élgömb gnltét adja és a már üggvént diniál:. Ennk a üggvénnk a értlmési tartomána: vagis a origó köéppontú gségsugarú árt körlm a -síkban t úg ábráoljuk hog bsatírouk. Ábráolás: síkmtstk sintvonalak. Mivl -dimniós graikont nm tudunk késítni a kétváltoós üggvénk réslgs ábráolásáho -dimniós síkmtstkt hasnálunk ahol lrögítjük a gik váltoó értékét és mlltt a maradék két váltoó össüggés már ábráolható a síkban. Ha pl. a üggtln váltoó értékét g adott állandó értékr rögítjük a mgll = lült és a -tnglr mrőlgs = sík mtsésénk a kapott = gváltoós üggvén csak -tól ügg mrt állandó ábráolható a síkon a graikonra odaírjuk hog =. Ha g -tnglr mrőlgs = síkkal mtsünk a sintén gváltoós = üggvént kapjuk ahol a üggtln váltoó ml a síkon ábráolható. Ha a üggő váltoó értékét rögítjük g adott állandó értékr a a = lült és a üggőlgs -tnglr mrőlgs = vísints sík mtsésénk ll mg a kapott = gnlt g kétváltoós rláció graikonja a síkon ábráolható; nm kll hog üggvén graikonja lgn bár lht. A üggő váltoó rögítésévl nrt síkmtstkt sintvonalaknak nvük a graikonra ráírjuk a sintvonal magasságát =. Mgjgés: a sintvonalak a síkon mindig a értlmési tartománon blül vag a határán haladnak! Példa. a -síkmtst Maradva a lső gségélgömb-üggvén példájánál a üggvén = = 6 síkkal való mtsés pl. a 6; 6 8 gváltoós üggvént adja aml g origó köéppontú 8 sugarú lső élkör a síkon.

b -síkmtst=sintvonal A = = 8 vísints síkmtsth tartoó sintvonal gnlt: 8 mlt négtr mlv és átrndv: 6 adódik pdig g origó köéppontú 6 sugarú tljs körvonal ls a síkon nm g üggvén graikonja!. Hasonlóképpn könnn blátható hog a = értékkh rndr a kövtkő sintvonalak tartonak: = : ürs halma = : origó köéppontú gségkör = : origó gtln pont sugarú kör = : ürs halma. Parciális driváltak sélsőértékk Parciális driválás: pl. srint úg driválunk parciálisan hog a ismrt gváltoós driválási sabálokat alkalmauk d a többi üggtln váltoót pl. -t konstansként kljük a driválási sabálok alkalmaása során. = lső parciális drivált üggvénink jlölési: srinti: srinti:. Második parciális driváltak. Mivl lső parciális driváltjai maguk is kétváltoós üggvénk még ha nm is üggnk plicit valamlik üggtln váltoótól ért újból parciálisan dirnciálva őkt kapjuk második parciális drivált üggvénit: Mgjgés: ha a második driváltak mind oltonosak akkor a vgs második parciális driváltak és indűk gnlők vagis lcsrélhtő a és srinti driválás sorrndj. Tétl hli sélsőérték sükségs ltétl. Ha a üggvén parciálisan dirnciálható a pont g körntébn és -ban hli sélsőérték van akkor sükségképpn és. Vagis a gváltoós sth hasonlóan a lhtségs sélsőértékkt úg krssük hog a üggvén driváltjait nullával tssük gnlővé; d itt két gnltünk és két ismrtlnünk van. Tétl hli sélsőérték légségs ltétl. Tgük l hog a üggvén kétsr parciálisan dirnciálható a pont g körntébn és össs második parciális driváltja oltonos a pontban. Ha pontban tljsül a és akkor ott a üggvénnk hli sélsőérték van mégpdig stén minimum stén maimum. Ha a második driváltakra vonatkoó gnlőtlnség ordítottja tljsül > hltt < akkor -ban nincs sélsőérték.

Példa. Maradjunk a lső gségélgömb-üggvén példájánál: vagis = a gtln lhtségs lokális sélsőérték-hl. A második driváltak: = ha = = ha = = ha = A = pontra tljsül a sélsőérték létésér vonatkoó lgndő ltétl mrt és miatt maimumhl a kupola csúcspontja.. FELADAT ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY ÉS SZINTVONALAK Határoa mg és ábráolja a kétváltoós üggvén értlmési tartománát és a = magasságokho tartoó sintvonalakat! a b c d g h i j cos k l sin m n* o* p q* 4 4 r* cos π s* π sin. FELADAT PARCIÁLIS DERIVÁLÁS Adja mg a üggvén lső és második parciális drivált üggvénit! a b c d sin cos cos sin g ctg tg ln h i j k ln l sin m tg n 9

sin o ln p lg. FELADAT SZÉLSŐÉRTÉKEK Krss mg a üggvén lhtségs sélsőérték-hlit és ha vannak llnőri a sélsőérték légségs ltétlét ill. sámítsa ki a hli sélsőértékt! a b c d 4 5 6 g h i* 4 5 4 4 j sin ln k ctg l tg m ln n ln o Mgoldókulcs. ladat a ÉT={: > és > vag < és < vag = vag =}. és. síkngd plus a tnglk; SV: = : ürs = : = vag = tnglk = : / hiprbolák b ÉT={: > és > vag < és <}. és. síkngd tnglk nélkül; SV: = / /4 gnsk a origó pontját kivév c ÉT={: } alsó élsík plus -tngl; SV: = ordított parabolák d ÉT={: } tljs sík mínus -tngl; SV: = /+ hiprbolák ÉT= tljs sík; SV: = ln :: = : ürs = : = ln gnsk ÉT= ; SV: = + g ÉT={: +} parabola plus a ölött lévő trült; SV: = : ürs : = ++ parabolák h ÉT= ; SV: = : = = : = = : = = : = i ÉT={: } kivév a = parabolát; SV: = ÉT={: } lső élsík plus -tngl; SV: = ürs ktttt parabolák j k π k π k π ürs ÉT={: > } görbéj ölötti trült a görb nélkül; SV: = + l ÉT={: sin > } = {: k +k< <+k > +k< <+k < k }; SV: = sin kivév a -tnglll való mtséspontokat m ÉT={: > } jobb élsík kivév a tnglkt; SV: = : ürs = : = n ln ln ÉT={: > > }. síkngd a tnglkt és a = gnst kivév; SV: = > o ha ÉT={: > } jobb élsík a tnglkt és a = gnst kivév; SV: = / = ürs >: vísints élgnsk a = pontot kivév k

p = ÉT= ; SV: = vísints gnsk q = = ha ÉT={: = } csak g gnsn értlmtt íg a graikonja nm valódi lült csak g térgörb a sintvonalak pdig csak pontok; SV: pontok: - r = + ha ÉT={: + = k k } origó köéppontú gés sám sugarú koncntrikus körvonalak a graikon nm valódi lült; SV: = : ürs = : pont = : + = gségkör = : ürs s ÉT=={: }= \{} tljs sík kivév a origót; SV: = : ürs = : = = : = ± = : =. ladat a b c 4 d sin cos cos sin cos cos sin sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin cos ln ln ln ln g cos h cos sin sin sin cos i ln ln ln ln j ln ln 4 ln k l cos cos sin cos sin sin m n cos 8 9 8 9 tg cos 7 7 7 7 o ctg sin p ln ln

. ladat a nincs krit.hl b min.hl: min.érték: = c krit.hl: nm SÉ-hl d min.hl: min.érték: = 5 ma.hl: ½ ma.érték: = ½ min.hl: ⅓ ⅓ min.érték: = ⅔ g krit.hl: ; 6 nm SÉ-hl h krit.hl: 4 5 nm SÉ-hl i krit.h.: ; 4 nm SÉ-hl; min.hlk: ± min.ért.: = 4 j nincs krit.hl k nincs krit.hl sin cos ln l nincs krit.hl ln m nincs krit.hl n min.hl: ½ min.érték: 4 4 ln o ma.hl: ½ ma.érték: