l.ch TÖBBVÁLTOZÓS ÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA ÉS LOKÁLIS SZÉLSŐÉRTÉKEI A kétváltoós üggvénk úg működnk hog két valós sámho rndk hoá g harmadik valós sámot másként ogalmava sámpárokho rndk hoá g harmadik sámot. Ekt a sámpárokat tkinthtjük úg mint g sík pontjainak koordinátáit. A kétváltoós üggvénk nnk a síknak a pontjaiho rndk hoá g harmadik koordinátát g magasságot. A értlmési tartomán mindn pontjáho hoárndlv t a harmadik magasság koordinátát kirajolódik a sík ltt a üggvén ami g lült. A gváltoós üggvénk bionos tulajdonságai átörökíthtők a kétváltoós str míg vannak olan tulajdonságok amik nm. Nincs értlm például kétváltoós stbn monotonitásról bséi g lültről uganis nhé n ldöntni hog éppn nő- vag csökkn. P A minimum és maimum ogalma visont már átörökíthtő. Eg kétváltoós üggvén maimumát úg kll lképünk mit g hgcsúcsot míg a minimumát pdig úg mint g völgt. matking.hu Lássunk néhán kétváltoós üggvént. LOKÁLIS MINIMUM NYEREGPONT LOKÁLIS MAXIUM bmbmnb A ladatunk a ls hog kidrítsük hol van a kétváltoós üggvénknk minimuma maimuma vag éppn i nrgpontja. A gváltoós üggvénkh hasonlóan most is drivái kll majd itt visont van és is íg hát srint és srint is ogunk drivái ami kétsr olan sórakotató ls. Ekt a driváltakat parciális driváltaknak nvük. Lássuk a parciális driváltakat.
PARCIÁLIS DERIVÁLTAK AZ ÜGGVÉNY SZERINTI PARCIÁLIS DERIVÁLTJA AZ ÜGGVÉNY SZERINTI PARCIÁLIS DERIVÁLTJA a driválás során -t driváljuk és csak konstans a driválás során -t driváljuk és csak konstans 6 6 srint driválunk most csak konstansnak sámít ha önállóan áll akkor driváltja nulla ha sorova van valami -ssl akkor marad srint driválunk most csak konstansnak sámít ha önállóan áll akkor driváltja nulla ha sorova van valami -ossal akkor marad matking.hu MÁSODIK DERIVÁLTAK Mindkét lső rndű parciális driváltat tovább driválhatjuk srint is és srint is. Íg nég darab második driváltat kapunk: 6 srint srint 6 srint srint srint srint 6 6 Young-tétl: Ha kétsr totálisan dirnciálható akkor
KÉTVÁLTOZÓS ÜGGVÉNYEK LOKÁLIS SZÉLSŐÉRTÉKE. PARCIÁLIS DERIVÁLTAK driválunk. MEGOLDJUK AZ EGYENLETRENDSZERT MEGOLDÁSAI A STAC. PONTOK mgoldjuk a gnltrndsrt p ; p ;. MÁSODIK DERIVÁLTAK matking.hu JACOBI-MÁTRIX HESSE-MÁTRIX lássuk a második driváltakat 6 A Jacobi-mátri: 6 6 6. A STAC. PONTOK VIZSGÁLATA HA A JACOBI-MÁTRIX POZITÍV DEINIT AKKOR SZIG. LOK. MINIMUM VAN HA A JACOBI-MÁTRIX NEGATÍV DEINIT AKKOR SZIG. LOK. MAXIMUM VAN HA A JACOBI-MÁTRIX INDEINIT AKKOR NYEREGPONT VAN néük mg hog a stac. pontok köül mlik minimum mlik maimum lősör néük mg a p pontot. ; X és hlér is nullát írunk: E g indinit vagis ; atán lássuk p pontot ; X és hlér is gt írunk: 6 6 p nrgpont E g poitív dinit vagis lokális minimum
HÁROMVÁLTOZÓS ÜGGVÉNYEK LOKÁLIS SZÉLSŐÉRTÉKE. PARCIÁLIS DERIVÁLTAK driválunk. MEGOLDJUK AZ EGYENLETRENDSZERT MEGOLDÁSAI A STAC. PONTOK. MÁSODIK DERIVÁLTAK matking.hu JACOBI-MÁTRIX HESSE-MÁTRIX mgoldjuk a gnltrndsrt 6 két stac. pont: lássuk Jacobi-mátriot: p ;; és p ;;. A STAC. PONTOK VIZSGÁLATA HA A JACOBI-MÁTRIX POZITÍV DEINIT AKKOR SZIG. LOK. MINIMUM VAN HA A JACOBI-MÁTRIX NEGATÍV DEINIT AKKOR SZIG. LOK. MAXIMUM VAN HA A JACOBI-MÁTRIX INDEINIT AKKOR NYEREGPONT VAN lássuk a stac. pontokat! lősör néük mg a p pontot. ;; X és hlér is nullát írunk: E g indinit vagis ;; atán lássuk p pontot ;; p nrgpont X és hlér -t hlér nullát írunk: E g poitív dinit vagis lokális minimum
AZ ÉRINTŐSÍK EGYENLETE P üggvént a P A pontban érintő sík gnlt: n vktor könnn látsik A érintősík normálvktora a ha a érintősík gnltébn -t átvissük a jobb oldalra. matking.hu A DERIVÁLT-VEKTOR ÉS AZ IRÁNYMENTI DERIVÁLT A drivált-vktorának hívunk. Ím a drivált-vktor: üggvén és srinti driváltjaiból álló vktort a rövidn. üggvén A drivált-vktor sgítségévl tudjuk kisámítani a iránmnti driváltat. E a iránmnti drivált at jti hog g általunk mgadott ttsőlgs v irán mntén mi mrdkn mlkdik a üggvén lült. Arról van thát só hog van g hgmásó aki a P pontban áll a lültn és úg dönt hog a v iránban indul l. A iránmnti drivált at mondja mg hog mi mrdkn kll mnni. v A iránmnti drivált kisámolása nagon gsrű a drivált-vktor és a v gségni hossú pontban: vktor skaláris sorata. A üggvén v iránmnti driváltja a v v Lássunk rr g példát! itt v gségvktor
Sámoljuk ki a iránmnti driváltját a a R pontban. A képlt srint a iránmnti drivált v v v irán srint Itt a ura jl a driválás jl és d-nk kll mondani d van g kicsit barátságosabb jlölés is v. a iránmnti driváltra: A drivált-vktor kisámolásáho klk a parciális driváltak. bhlttsítjük a R pont koordinátáit A drivált-vktor thát A iránmnti driváltat úg kapjuk hog a drivált-vktort mgsorouk a csakhog nm gségni hossúságú hanm matking.hu v Úg csinálunk blől gségni hossúságú vktort hog lostjuk saját hossával: v v vktorral A iránmnti drivált thát v 8 8 v 6 thát i mrdkn mg a hgmásó IMPLICIT ÜGGVÉNY DERIVÁLÁSI SZABÁLYA g plicit üggvén driváltja annak rndj és módja srint A Eg üggvén akkor implicit ha nincs kijv vagis nm = alakú. Implicit üggvént kapunk ha a üggvént lrontjuk mondjuk úg hog például a -t és a -at átvissük: sőt még gököt is vonunk Na g implicit üggvén. 6
Ha most a íg kapott implicit üggvént driváunk kén t kétélképpn thtjük mg. Driválhatjuk a gnlt mindkét oldalát úg hog -t g üggvénnk tkintjük lvégr a is hisn. Vag driválhatjuk a implicit üggvén driválási sabálával. Ha gsrűn driválunk akkor a bal oldal össttt üggvén és itt g üggvén a jobb oldalon álló driváltja : / thát a drivált. jük bből ki -t. / thát / / mivl pdig matking.hu / vagis éppn a plicit drivált. ha t bírjuk hlér: / Vannak atán olan üggvénk amlknk nincs plicit alakjuk. Itt van például : Ebbn shog sm jhtő ki ért sajna csak implicit módon tudunk drivái. Vagis mindkét oldalt driváljuk d n ljtsük l hog itt g üggvén. Thát például g össttt üggvén amink driváltja a össttt üggvén driválási sabála srint Ha mindkét oldalt driváljuk: Nkünk driváltjára van sükségünk ért a gik oldalon össgűjtjük a össs -t a többikt átküldjük a másik oldalra: Atán kimljük -t. 7
8 matking.hu és végül lostunk: E thát a implicit módon mgadott üggvénünk driváltja. A implicit driválási sabál g olan módsr ami t a lőbbi driválgatást lgsrűsíti. At mondja hog ha g implicit üggvén akkor driváltja: és Estünkbn a implicit üggvén amit nullára rndünk: Milőtt végts tévdésk áldoatául snénk tistáuk hog itt nm kétváltoós üggvén hanm implicit üggvén. A és a köötti különbség uganis óriási. Lássuk mi is a különbség! ténlg kétváltoós üggvén és sabadon mgadható ám nm kétváltoós mrt próbáljuk csak mg hlér -t és hlér a -t bírni. A jön ki hog = ami nm iga vagis itt és köül csak a gik adható mg sabadon a másik nm. Thát és köül csak a gik váltoó csak a gikt adhatjuk mg ttsés srint a másikat nm. Na ért ls a üggvén gváltoós. A driváltja a implicit driválás képlt srint a sokásos parciális driválással: Ha mgnéük mi jött ki korábban látsik hog ugan csak most íg sokkal gsrűbbn. Err jó a implicit driválási sabál.
9.. Adjuk mg a kövtkő üggvén lokális sélsőértékhlit és nrgpontjait. 6.. Adjuk mg a kövtkő üggvén lokális sélsőértékhlit és nrgpontjait... Adjuk mg a kövtkő üggvén lokális sélsőértékhlit és nrgpontjait... Adjuk mg a kövtkő üggvén lokális sélsőértékhlit és nrgpontjait. matking.hu IMPLICIT ÜGGVÉNY DERIVÁLÁSI SZABÁLYÁNAK ÁLTALÁNOSÍTÁSA Lgn a... n g n váltoós implicit üggvén. n+ darab van bnn d a gnlőségjl miatt csak n db adható mg sabadon ahog a lőő példában és stét láttuk kkor a i mint implicit üggvén driváltja a j váltoó srint:...... n i n j j i Néünk rr g példát! E g kétváltoós implicit üggvén. Ugan három btű van bnn és d köülük csak kttő adható mg sabadon a gnlőség miatt. A kétváltoós üggvénkbn és sokott ni a váltoó thát loghatjuk t a üggvént úg hog és valami Driváljuk akkor most és srint!
.. Adjuk mg a kövtkő üggvén lokális sélsőértékhlit és nrgpontjait..6. Határouk mg a alábbi kétváltoós üggvén lokális sélsőértékhlit és nrgpontjait! 6.7. Határouk mg a alábbi kétváltoós üggvén lokális sélsőértékhlit és nrgpontjait! 6.8. Határouk mg a alábbi kétváltoós üggvén lokális sélsőértékhlit és nrgpontjait!.9. Határouk mg a alábbi kétváltoós üggvén lokális sélsőértékhlit és nrgpontjait!.. Határouk mg a alábbi kétváltoós üggvén lokális sélsőértékhlit és nrgpontjait!. Határoa mg a alábbi kétváltoós üggvén lokális sélsőértékhlit és nrgpontjait!.. Határoa mg a alábbi kétváltoós üggvén lokális sélsőértékhlit és nrgpontjait! 8.. Határoa mg a alábbi kétváltoós üggvén lokális sélsőértékhlit és nrgpontjait! 6.. Határouk mg a alábbi üggvén lokális sélsőértékhlit és nrgpontjait!.. Határouk mg a alábbi üggvén lokális sélsőértékhlit és nrgpontjait!
.. Határouk mg a alábbi üggvén lokális sélsőértékhlit és nrgpontjait!.6. Írjuk öl a érintősík gnltét a P pontban!.7. Írjuk öl a érintősík gnltét a 6 P pontban!.8. Írjuk öl annak a érintősíknak a gnltét aml párhuamos a 7 síkkal és a üggvént érinti!.9. Mi paramétr stén halad át a P pontban a üggvénh húott érintő a R ponton?.. Mi paramétr stén halad át a P pontban a üggvénh húott érintő a R ponton?.. Mi paramétr stén halad át a P pontban a üggvénh húott érintő a R ponton?