Mtemtik II.
Pollck jegzetek
Fekete Mári Mtemtik II. Pécsi Tudománegetem Pollck Mihál Műszki Kr Mtemtik Tnszék Pécs, 2007
A jegzet PTE PMMK építőmérnök szk PMMANB312, PMMANB926 tntárgkódú Mtemtik II. kurzus segédletének készült. ISBN 978-963-7298-17-2 Gépelés és tördelési munkák: Kozm Beát Szerkesztette és z ábrákt készítette: Pálfi Róbert c Fekete Mári, 2007
Részletes tntárgprogrm Hét E./Gk./Lb. Témkör 1. 2/2/0 Kétváltozós függvén értelmezése, pontbeli htárértéke, foltonosság, prciális differenciálhándos értelmezése és kiszámítás. 2. 2/2/0 Kétváltozós függvén grdiensének, iránmenti deriváltjánk értelmezése és kiszámítás. 3. 2/2/0 Kétváltozós függvének szélsőértéke. 4. 2/2/0 Egváltozós függvén primitív függvéne, htároztln integrál. Alpintegrálok. f, f f α lkú függvének integrálás. 5. 2/2/0 Prciális és helettesítéses integrálás. Rcionális törtfüggvének integrálás. 6. Őszi szünet 7. 2/2/0 Trigonometrikus függvének integrálás. 8. 2/2/0 A htározott integrál értelmezése, tuljdonsági. A Newton-Leibnitz tétel. 1. Zártheli dolgozt megírás. 9. 2/2/0 Az integrálszámítás geometrii lklmzási: síkidom területe, forgástest térfogt, görbe ívhossz, forgástest felszíne. Improprius integrál. 10. 2/2/0 Kétváltozós függvén integrálás: trtománon vett- és kettős-integrál. 11. 2/2/0 Szétválszthtó változójú, változóibn homogén elsőrendű differenciálegenletek. 12. 2/2/0 Elsőrendű, lineáris inhomogén differenciálegenletek. 13. 2/2/0 Hiános másodrendű differenciálegenletek. 2. Zártheli dolgozt megírás. 14. 2/2/0 Másodrendű, állndó egütthtós, homogén differenciálegenletek. 15. 2/2/0 Pótlások
Trtlomjegzék I. Egváltozós vlós függvének integrálszámítás 9 1. A htároztln integrál 10 1.1. A primitív függvén..................................... 10 1.2. A htároztln integrál................................... 10 1.3. Alpintegrálok........................................ 11 1.4. Integrálási módszerek.................................... 12 1.5. Elemi függvének integrálás................................ 16 1.5.1. Polinom függvének integrálás........................... 16 1.5.2. Rcionális törtfüggvének integrálás........................ 16 1.5.3. Irrcionális függvének integrálás......................... 18 1.5.4. Trigonometrikus függvének integrálás...................... 18 2. A htározott integrál 20 2.1. A htározott integrál foglm................................ 20 2.2. A htározott integrál létezésének feltételei......................... 22 2.2.1. Az Riemnn-szerinti integrálhtóság szükséges feltételei............. 22 2.2.2. Az Riemnn-szerinti integrálhtóság elégséges feltételei.............. 22 2.3. Péld htározott integrál definícióvl történő kiszámításár.............. 22 2.4. A htározott integrál tuljdonsági............................. 23 2.5. A htározott integrál geometrii jelentése......................... 24 2.6. A htározott integrálr vontkozó tételek......................... 24 2.7. Az integrálfüggvén és tuljdonsági............................ 25 2.8. A differenciál- és integrálszámítás főtétele: Newton Leibniz-tétel................................... 26 3. A htározott integrál lklmzási 28 3.1. Területszámítás........................................ 28 3.2. Térfogtszámítás....................................... 29 3.3. Síkgörbe ívhossz....................................... 30 3.4. Forgástest plástjánk felszíne................................ 31 4. Numerikus integrálás 32 4.1. Tégllp módszer....................................... 32 4.2. Trpézmódszer........................................ 33 4.3. Simpson-módszer....................................... 34 6
5. Improprius integrálok 35 5.1. Véges sok pontbn nem értelmezett függvén integrálj................. 35 5.2. Integrálás végtelen intervllumon.............................. 35 5.3. Nem korlátos függvének improprius integrálj...................... 36 II. Kétváltozós vlós függvének 39 1. A kétváltozós függvének differenciálszámítás 40 1.1. A kétváltozós függvén foglm, megdás, ábrázolás.................. 40 1.2. A kétváltozós függvének htárértéke, foltonosság................... 40 1.3. A kétváltozós függvének P 0 pontbeli prciális differenciálhándosi.......... 41 1.4. A kétváltozós függvének prciális deriváltji....................... 42 1.5. A totálisn differenciálhtó függvén foglm....................... 42 1.6. Iránmenti derivált...................................... 43 1.7. A grdiens vektor....................................... 44 1.8. A felület érintősíkj..................................... 45 1.9. A teljes differenciál...................................... 45 1.10. Kétváltozós függvének lokális szélsőértéke......................... 46 2. Többváltozós vlós függvének integrálszámítás 47 2.1. Alpfoglmk......................................... 47 2.2. Kétváltozós függvén htározott vg trtománi integrálji............... 48 2.3. A trtománr vontkozó integrál kiszámítás....................... 49 III. Differenciálegenletek 53 1. Alpfoglmk 55 1.1. A differenciálegenletek osztálozás............................ 55 1.2. A differenciálegenlet megoldási, megoldástípusok.................... 55 2. Elsőrendű differenciálegenletek 58 2.1. Szétválszthtó változójú differenciálegenletek...................... 58 2.2. Szétválszthtó változójúr visszvezethető differenciálegenletek............ 59 2.2.1. H differenciálegenlet............................... 59 2.2.2. H differenciálegenlet............................... 60 2.3. Lineáris differenciálegenletek................................ 61 2.3.1. Elsőrendű, homogén differenciálegenlet...................... 61 2.3.2. Elsőrendő, lineáris, inhomogén differenciálegenlet................ 62 3. Másodrendű differenciálegenletek 65 3.1. Hiános másodrendű differenciálegenletek......................... 65 3.1.1. Tiszt másodrendű differenciálegenletek..................... 65 3.1.2. Az -bn hiános másodrendű differenciálegenletek............... 66 3.1.3. Az -ben hiános másodrendű differenciálegenletek............... 67 3.2. Másodrendű lineáris differenciálegenletek......................... 68
I. rész Egváltozós vlós függvének integrálszámítás 9
1. fejezet A htároztln integrál 1.1 A primitív függvén Definíció. Az egváltozós vlós f függvénnek H hlmzon primitív függvéne z F függvén, h f és F H hlmzon értelmezett, H hlmzon F differenciálhtó és F () = f() H esetén teljesül. Tétel. H f-nek H hlmzon primitív függvéne F, kkor bármel G() = F()+c (c tetszőleges vlós szám) lkú függvén is primitív függvéne. Bizonítás: G () = (F()+c) = F () = f() H esetén. Tétel. H z f függvénnek vlmel I intervllumon primitív függvéne z F és G függvén, kkor c R, hog I esetén G() F() = c, zz primitív függvének csk összedndó állndóbn különböznek egmástól. Bizonítás: A feltétel szerint: F ()=G ()=f(), I-re, (G() F()) =G () F ()=f() f() 0 I esetén, zz (G() F()) 0 I-re G() F() = c, hol c lklmsn válsztott vlós konstns. 1.2 A htároztln integrál Definíció. Az f függvén primitív függvéneinek összességét (hlmzát) z f függvén htároztln integráljánk nevezzük. Jelölése: f()d. Megjegzés. f htároztln integrálj eg függvénhlmz, melnek elemei f primitív függvénei. A d zt fejezi ki, hog z integrálás z változór vontkozik. H F f primitív függvéne z I intervllumon, kkor f()d = F()+c, hol c-t integrációs állndónk nevezzük. 10
PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II 11 1.3 Alpintegrálok H eg függvénnek ismerjük deriváltját, kkor z eredeti függvén deriváltfüggvénnek primitív függvéne. Ezen z lpon dódnk következő, úgnevezett lpintegrálok. Az lpintegrálok z elemi lpfüggvének deriváltjink integrálji. A következő képletek oln intervllumokon érvénesek, melek minden pontjábn jobb oldlon álló függvén értelmezett és differenciálhtó. 0 d = c 1 d = +c α d = α+1 +c, h α 1, α R α+1 1 d = ln +c e d = e +c d = ln +c cos d = sin+c sin d = cos +c 1 cos 2 d = (1+tg 2 ) d = tg +c 1 sin 2 d = (1+ctg 2 ) d = ctg +c 1 1 2 d = rcsin +c 1 = π 2 rccos +c 1 = rccos +c 2 1 1+ 2 d = rctg +c 1 = π 2 rcctg +c 1 = rcctg +c 2 sh d = ch +c ch d = sh+c 1 ch 2 d = (1 th 2 ) d = th+c 1 sh 2 d = (1 cth 2 ) d = cth +c
12 PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II 1 1+ 2 d = rsh+c = ln(+ 1+ 2 )+c 1 2 1 d = rch +c = ln(+ 2 1)+c 1 1 2 d = { rth+c, h < 1 rcth +c, h > 1 = 1 2 ln 1+ 1 +c Megjegzés. Az f függvén integrálás oln függvének keresését jelenti, melek deriváltj f függvén. Minden elemi függvén deriváltját képezhetjük deriválási szbálok lklmzásávl. Azonbn léteznek oln elemi függvének, meleknek nincs elemi primitív függvénük. Ilenek pl. e ; sin ; cos ; 1 e 2 ; ln ; 3 +1; stb. Szorzt-, tört-, összetett függvén integrálásár vontkozó szbál nincs. Csk speciális szorztokt, törteket és összetett függvéneket tudunk integrálni. 1.4 Integrálási módszerek Tétel. H f() d és g() d létezik, kkor (f()±g()) d = f() d± g() d, illetve k f() d = k f() d, hol k R tetszőleges. A bizonítás megfelelő deriválási szbálok felhsználásávl történik. Tétel. H F() függvén z f() függvén primitív függvéne, kkor hol,b R, 0. f(+b) d = F(+b) +c, Bizonítás: ( F(+b) +c) = 1 F (+b) = f(+b). Tétel. α R\{ 1} esetén f ()[f()] α d = [f()]α+1 α+1 +c.
PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II 13 Bizonítás: ( (f()) α+1 α+1 ) +c = 1 α+1 (α+1)[f()]α f () = f ()[f()] α. Tétel. f () f() d = ln f() +c Bizonítás: H f() > 0 f() = f() H f() < 0 f() = f() (ln f() +c) = (ln f()+c) = 1 f() f (). (ln f() +c) = (ln ( f())+c) = 1 f() ( f ()) = f () f(). Tétel. H F() függvén z f() függvén primitív függvéne és g() vlmel I intervllumon differenciálhtó, és ezen intervllumon létezik z f(g()) összetett függvén kkor f(g()) g () d = F(g())+c. Bizonítás: (F(g())+c) = F (g()) g () = f(g()) g (). PÉLDA: 1. e 2 d = 1 ( 2)e 2 d = 1 +c 2 2 e 2 2. e cos e d = sin e +c Tétel (Prciális integrálás). Legenek f() és g() vlmel intervllumon differenciálhtó függvének, és ugnezen intervllumon létezzen z f() g () d vg z f () g() d integrál. Ekkor f () g() d = f() g() f() g () d.
14 PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II Bizonítás: (f() g()) = f () g()+f() g () f () g() = (f() g()) f() g (), honnn mindkét oldlt integrálv f () g() d = f() g() f() g () d. PÉLDA: }{{} cos }{{ 5 } g f d = sin5 5 1 sin 5 d = 1 5 5 sin5+ 1 cos 5+c 25 Megjegzés. A prciális integrálást kkor érdemes lklmzni, h z f-nek válsztott ténezőt können tudjuk integrálni, és z f g integrálás is könnebb, mint z f g integrálás. Nég, prciális integrálásr lklms függvéntípus ) Prciális integrálásr lklmsk zok p() t(+b) (,b R; 0) lkú függvének, melekben p(): polinomfüggvén, t: sin, cos, sh, ch függvének vlmelike vg eponenciális függvén p() t(+b) }{{}}{{} g f d válsztássl. b) Ide soroljuk z α ln n lkú függvéneket, h α R; α 1, n N + α }{{} f ln n }{{} g d válsztássl. c) Ide soroljuk h(+b) k(c+d)
PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II 15,b,c,d R; 0, c 0 lkú függvéneket, h h és k: sin, cos, sh, ch, eponenciális függvének vlmelike. Ebben z esetben két prciális integrálás után kpott egenletből tudjuk z integrált kiszámítni. h(+b) k(c+d) d }{{}}{{} f g válsztássl, mindkét prciális integrálás esetén. d) Ide soroljuk p() () lkú függvéneket, h p: polinomfüggvén, : rkusz- vg re függvén. p() () }{{}}{{} f g d válsztássl. Tétel. H létezik z f() függvén primitív függvénre és h g() vlmel intervllumon differenciálhtó függvén, és itt létezik z f(g()) összetett függvén, kkor létezik z f(g()) g () d integrál és f(g()) g () d = f(t) dt, hol t = g(). (Lásd 13. oldlon lévő tételt.) Tétel. H z = g(t) szigorún monoton és differenciálhtó függvén, vlmint létezik z f(g(t)) összetett függvén, és létezik z f(g(t)) g (t) dt integrál, kkor létezik z f() d és f() d = f(g(t)) g (t) dt, hol t = ḡ() = g(t). Megjegzés. Helettesítéses integrálás során tetszőleges függvén integrálját egszerűbb, könnebben integrálhtó függvén integrálásár vezetjük vissz. Helettesítéskor gkorltilg z eredeti változó () vlmel lklmsn megválsztott függvéne (g()) helére z új változót (t), vg z eredeti változó helére z új változó tetszőleges invertálhtó függvénét (g(t)) helettesítjük. Az integrál kiszámítás után vissztérünk z eredeti változór.
16 PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II 1.5 Elemi függvének integrálás 1.5.1 Polinom függvének integrálás Polinom függvén (rcionális egész függvén) áltlános lkji: R n () = n n + n 1 n 1 + + 1 + 0 = m k k, hol k R; k = 0,...,n; n 0, n-ed fokú polinom függvén! Tgonként integrálunk! 1.5.2 Rcionális törtfüggvének integrálás Definíció. A Pn() Q m() (m 1) lkú függvént, hol P n-ed fokú, Q m-ed fokú polinom, rcionális törtfüggvénnek nevezzük. H m > n, vlódi törtfüggvénről, egébként áltörtfüggvénről beszélünk. k=0 Minden áltörtfüggvén ( számlálót elosztv nevezővel) egértelműen felbonthtó eg polinom függvén és eg vlódi rcionális függvén összegére. Tehát, h m n: P n () Q m () = R n m()+ P() Q m (), hol R n m () eg (n m)-ed fokú polinom függvén, és P() m-nél lcsonbb fokú polinom függvén. PÉLDA: 5 +3 2 1 2 + 2 = 3 2 +3 2+ 8 5 2 + 2. Integrálás szempontjából vlódi törtfüggvének érdekesek. Vlódi törtfüggvének integrálás A vlódi törtfüggvént zonos átlkításokkl elemi törtfüggvének (prciális törtfüggvének) összegére bontjuk. Elemi törtfüggvének: 1. A (+b) n, hol A,,b R; A 0, 0, n N + 2. A+B ( 2 +b+c) n, hol A,B,,b,c R; A 2 +B 2 0, 0, b 2 4c < 0, n N + Tétel. Minden vlós egütthtós vlódi törtfüggvén előállíthtó elemi törtfüggvének összegeként, mégpedig egértelműen. A vlódi törtfüggvének integrálásánk lépései 1. lépés A tört nevezőjét lehető legegszerűbb ténezők szorztár bontjuk. A szorzttá lkítás elvi lehetőségét mondj ki következő Tétel. Minden vlós egütthtós polinom egértelműen felbonthtó vlós egütthtós első és vlós egütthtós irreducibilis másodfokú polinomok szorztár.
PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II 17 Az 2 +b+c vlós egütthtós irreducibilis másodfokú polinom, h,b,c R; 0; b 2 4c < 0. Megjegzés. Ez szorzttá lkítás nem mindig egszerű! 2. lépés A vlódi törtet úgnevezett elemi törtfüggvének összegére bontjuk. (Az elemi törtek szám megegezik nevező ténezőinek számávl, és minden elemi tört nevezője különböző!) 3. lépés Kiszámítjuk z elemi törtek számlálóibn szereplő prmétereket. (Mi z egenlő egütthtók módszerével htározzuk meg ezen prmétereket.) 4. lépés Integráljuk kpott elemi törtfüggvéneket. Az elemi törtek integrálás: A 1. +b d = A ln +b +c, 0 A 2. (+b) n d = A (+b) n d = A (+b)1 n +c, n N +, n 2, 0 1 n A+B 3. ( 2 +b+c) n d, hol 2 +b+c irreducibilis polinom. Példák rcionális törtfüggvének integrálásár PÉLDA: 5 +3 2 1 ( 2 d = 3 2 8 5 ) +3 2+ d = ( ) + 2 }{{} 2 + 2 }{{} áltört függvén vlódi törtfüggvén Tehát 8 5 2 + 2 8 5 ( 1)(+2) A fenti egenlőség kkor és csk kkor teljesül, h A 1 + B +2 A(+2)+B( 1) (A+B)+(2A B) ( 1)(+2) ( 1)(+2) 8 5 ( 1)(+2) (A+B)+2A B, A,B R. ( 1)(+2) 8 = A+B 5 = 2A B } zz A = 1, B = 7. ( ) = 4 4 3 3 + 3 ( 1 2 2 2+ 1 + 7 ) +2 d = = 4 4 3 3 + 3 2 2 2+ln 1 +7ln +2 +c
18 PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II PÉLDA: 2+4 ( 1) 2 ( 2 +1) }{{} vlódi törtfüggvén d = ( 2 1 + 1 ( 1) 2 + 2+1 2 +1 ) d = ( ) 2+4 ( 1) 2 ( 2 +1) }{{} 3 ténező! A 1 + B ( 1) 2 + C+D 2 +1 A( 1)(2 +1)+B( 2 +1)+(C+D)( 1) 2 ( 1) 2 ( 2 +1) 2+4 ( 1) 2 ( 2 +1) A( 1)( 2 +1) +B( 2 +1)+(C+D)( 1) 2 ( 1) 2 ( 2 +1) 2+4 A( 1)( 2 +1)+B( 2 +1)+(C+D)( 1) 2 A két polinom kkor és csk kkor egenlő, h megfelelő htvánink egütthtói két polinombn zonosk, tehát 3-d fokú tg egütthtój: 0 = A + C 2-od fokú tg egütthtój: 0 = A+B 2C +D 1-ső fokú tg egütthtój: 2 = A 2D + C 0-d fokú tg egütthtój: 4 = A + B + D Ez z egenletrendszer A,B,C,D-re lineáris. (Mindig egértelmű megoldás vn!) Azz: A = 2, B = 1, C = 2, D = 1. ( ) = 2ln 1 1 1 + 2 2 +1 + 1 2 +1 d = = 2ln 1 1 1 +ln 2 +1 +rctg +c 1.5.3 Irrcionális függvének integrálás H nem speciális lkú függvén, gkrn helettesítést lklmzunk vg prciálisn integrálunk. 1.5.4 Trigonometrikus függvének integrálás sin m cos n lkú függvének integrálás, hol m,n N ) H m és n közül leglább egik pártln, sin 2 +cos 2 = 1 zonosság felhsználásávl z integrndusz átlkíthtó. PÉLDA: sin 5 d = sin(1 cos 2 ) 2 d = sin(1 2cos 2 +cos 4 ) d = = cos +2 cos3 3 cos5 +c 5
PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II 19 b) H m és n páros, kkor sin 2 1 (1 cos 2) 2 cos 2 1 (linerizáló formulák) (1+cos 2) 2 segítségével lkítjuk át z integrnduszt. sin n sin m, sin n cos m, cos n cos m lkú függvének integrálás (m n) A szorztokt megfelelő zonosság felhsználásávl összeggé lkítjuk, mjd tgonként integrálunk. Azonosságok: sin α sin β 1 2 (cos(α+β) cos(α β)) sin α cos β 1 2 (sin(α+β)+sin(α β)) cos α cos β 1 2 (cos(α+β)+cos(α β)) Trigonometrikus függvének rcionális törtfüggvéneinek integrálás Helettesítéssel rcionális törtfüggvének integrálásár vezetjük vissz. A helettesítés: Ugnis: tg 2 = t = 2rctg t d = 2 1+t 2 dt sin = 2t 1+t 2 tg = 2t 1 t 2 cos = 1 t2 1+t 2 ctg = 1 t2 2t sin = 2sin 2 cos 2 = 2sin 2 cos 2 sin 2 2 +cos2 2 cos = cos 2 2 sin2 2 = cos2 2 sin2 2 sin 2 2 +cos2 2 = 2tg 2 1+tg 2 2 = 1 tg2 2 1+tg 2 2 Eponenciális, logritmikus, hiperbolikus függvének integrálás Az eddigiekben ismertetett módszerekkel történik. = 2t 1+t 2 = 1 t2 1+t 2
2. fejezet A htározott integrál Az integrálszámítás egik legfontosbb foglm. A területszámítás (görbe vonlkkl htárolt síkidomok területének meghtározás) volt z első oln problém, mel htározott integrál foglmához vezetett. Síkgörbe ívhossz. Térfogtszámítás Stb. szintén htározott integrál foglmához vezet. 2.1 A htározott integrál foglm Definíció. Legen f() függvén z [, b] ( < b) intervllum minden pontjábn értelmezett, korlátos függvén. Az f függvén htározott integráljánk (Riemnn-integráljánk) z lábbi eljárás eredméneként kpott vlós számot nevezzük. 1. Az [,b] intervllumot z = 0 < 1 < 2 < < n 1 < n = b bszcisszájú pontokkl n számú tetszőleges részintervllumokr osztjuk. = 0 1 2... i 1 i... n 1 n = b 2. Mindegik részintervllumból tetszőlegesen kiválsztunk eg-eg számot. ξ 1 [ 0, 1 ];ξ 2 [ 1, 2 ];...;ξ i [ i 1, i ];...;ξ n [ n 1, n ] = 0 ξ 1 ξ 2 ξ i ξ n 1 2... i 1 i... n 1 n = b 20
PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II 21 3. Képezzük következő n tgú összeget R n = f(ξ 1 )( 1 0 )+f(ξ 2 )( 2 1 )+ +f(ξ i )( i i 1 )+ +f(ξ n )( n n 1 ) R n = n f(ξ i )( i i 1 ) = i=1 n f(ξ i ) i, hol i = i i 1.R n n-edik Riemnn összeg, n-edik Riemnn-féle integrálközelítő összeg. 4. Képezzük Riemnn-összegek htárértékét, midőn felosztások n szám végtelenhez trt, és legngobb részintervllum hossz is nullához trt: lim n m i 0 R n = lim n m i 0 i=1 n f(ξ i ) i. H z összes lehetséges beosztás és tetszőleges ξ i értékek válsztás estén felírt Riemnn-féle integrálközelítő összegeknek hátrértéke ugnz vlós szám, kkor ezt közös htárértéket z f() függvén [, b] intervllumr vontkozó htározott integráljánk nevezzük és z f() függvént z [,b] intervllumbn Riemnn szerint integrálhtónk nevezzük. Tehát: lim n m i 0 R n = lim n m i 0 n f(ξ i ) i = I i=1 i=1 - közös htárérték Jelölés: f() függvén [,b] intervllumr vontkozó htározott integráljánk jelölése. [,b] z integrációs intervllum b f() d, hol: z integrálás lsó htár b z integrálás felső htár f() intergrndusz Megjegzés. (Az b f() d definíciójához.) 1. Az [,b] intervllum n részre történő beosztás tetszőleges, egenlő részekre is oszthtjuk. 2. Az [,b] intervllum felosztását -nál kezdjük, tehát = 0,b = n. 3. Eg dott beosztás finomságán keletkezett leghosszbb intervllum hosszát értjük. 4. Megköveteljük, hogh n, kkor leghosszbb részintervllum hossz is 0-hoz trtson, zz zt mondjuk, hog beosztássorozt minden htáron túl finomodó legen. 5. A Riemnn-összeg (R n ) végtelen sok változtbn elkészíthető. A htározott integrál definíciój lpján körülménes és nehéz nnk eldöntése, hog f() függvén z [, b]-on Riemnn szerint integrálhtó-e, ezért oln feltételeket kell keresnünk, melek segítségével z integrálhtóság können eldönthető.
22 PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II 2.2 A htározott integrál létezésének feltételei 2.2.1 Az Riemnn-szerinti integrálhtóság szükséges feltételei Tétel. H z f() függvén z [, b]-on Riemnn-szerint integrálhtó, kkor f() [, b]-n értelmezett és korlátos. (Másképp: b f() d létezéséhez szükséges, hog f() [,b]-n értelmezett korlátos függvén legen.) 2.2.2 Az Riemnn-szerinti integrálhtóság elégséges feltételei Tétel. H f() z [,b]-n értelmezett, korlátos és monoton függvén, kkor b f() d létezik. Tétel. H f() z [, b]-n értelmezett, korlátos és véges sok szkdási hellel rendelkező függvén, kkor f() [,b]-n Riemnn-szerint integrálhtó. Tétel. H f() z [,b]-n foltonos függvén, kkor b f() d létezik. 2.3 Péld htározott integrál definícióvl történő kiszámításár 1 0 ( 1) 2 d =? Megoldás. Mivel f() = ( 1) 2 függvén [0,1]-on foltonos 1 0 ( 1)2 d létezik. Ezért ezen z intervllumon bármelik Riemnn-féle integrálközelítő összegét felírv, nnk létezik htárértéke, és htárértéke egenlő htározott integrálll. Tehát írjuk fel lehető legegszerűbb Riemnn-féle integrálközelítő összeget, hog htárértékét können ki tudjuk számítni. A [0,1]-ot n egenlő részre osszuk fel. Ekkor 1 = 2 = = i = = n = 1 n. 1 = ( 1) 2 1 A keletkezett kis részintervllumokból válsszuk z intervllum jobb végpontját, tehát ξ 1 = 1 n,ξ 2 = 2 n,...,ξ i = i n,...,ξ n = n n = 1
PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II 23 Írjuk fel R n -t. ( ) 2 1 f(ξ i ) ξ i = n 1 1 n ( ) 2 2 R n = n + n 1 1 ( ) 2 i + + n n 1 1 i=1 [ ( = 1 ) 2 ( ) 2 1 2 ( n ) ( ] 2 1 + + + 2 n n n n n + 2 n + + n +n = n) = 1 [ 1 2 +2 2 + +n 2 ] 1+2+ +n n n 2 2 +n = 1 [ 1 6 n(n+1)(2n+1) 1 n n n 2 2 = 1 [ (n+1)(2n+1) 2 n(n+1) ] +n = 1n n 6n n 2n2 +3n+1 6n 2 6n+6n 2 = 6n = 2n2 3n+1 6n 2 1 ( 1) 2 d = lim R 2n 2 3n+1 n = lim n n 6n 2 = 1 3 0 n + + ( n n 1 ) 2 1 n = 2 n(n+1) n ] +n = Megjegzés. Most n esetén i = 1 n 0 (i = 1,2,...,n), mert [0,1]-ot n egenlő részre osztottuk. 2.4 A htározott integrál tuljdonsági Definíció. Minden R szám és minden vlós f() függvén esetén, h D f, kkor f() d=0 Definíció. H b f() d létezik ( < b), kkor z f() d integrált következőképpen definiálhtjuk: b b f() d := f() d. b Tétel. H f() függvén integrálhtó z [, b]-n, kkor z [, b] intervllum bármel [c, d] részintervllumán is integrálhtó. Tétel. H f() függvén integrálhtó [, b]-n és < c < b, kkor b f() d = c f() d+ b c f() d. Tétel. H f() függvén integrálhtó [,b] és [c,b] intervllumokon, kkor [,b]-n is integrálhtó és b f() d = c f() d+ b c f() d.
24 PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II Tétel. H b f() d létezik, kkor c R esetén b c f() d = c b f() d. Tétel. H f() és g() integrálhtó [, b]-n, kkor b (f()±g()) d = b f() d± b g() d. 2.5 A htározott integrál geometrii jelentése Definíció. H f() függvén z [,b] intervllumon ( < b) integrálhtó és [,b] esetén f() 0, kkor z = f() egenletű görbe; z [,b] intervllum; z = és = b egenletű egenesek áltl htárolt síkidom görbevonlú trpéz területének számértéke z b f() d integrálll egenlő. b T = f() d = f() = f() = f() T T T b b b 2.6 A htározott integrálr vontkozó tételek Tétel. H b f() d létezik és [,b]-re, f() 0, kkor b f() d 0 Tétel. H b f() d létezik, kkor b f() d is létezik és b b f() d f() d.
PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II 25 Tétel. H f() és g() integrálhtó [, b]-n és [, b]-re f() g(), kkor b f() d b g() d. Az integrálszámítás középértéktételei Tétel. H f() függvén z [,b]-n integrálhtó, és m z f() függvén lsó htár, illetve M z f() függvén felső htár [,b]-n, kkor b m(b ) f() d M(b ). Tétel. H f() foltonos [,b]-n, kkor oln ξ [,b], melre b f() d = f(ξ)(b ). 2.7 Az integrálfüggvén és tuljdonsági Definíció. Legen f() z [, b]-n integrálhtó függvén. Értelmezzük z F függvént következő módon: D F := [,b] és [,b]-re F() := f(t) dt. F() függvént z f() függvén integrálfüggvénének nevezzük. Tétel. H f() z [,b]-on integrálhtó, kkor F() integrálfüggvéne foltonos. Tétel. H f függvén [,b]-on foltonos, kkor F integrálfüggvéne ],b[-n differenciálhtó és F ()= = f() ],b[ esetén. Bizonítás: A foltonos f() függvénnek integrálfüggvéne [,b]-n legen F(), zz F() = f(t) dt, hol ],b[. Az F() függvén helhez trtozó differencihándos: F(+h) F() h ( = 1 +h f(t) dt h f(t) dt ) = 1 h +h f(t) dt = ( ). A második egenlőségnél htározott integrál dditivitását hsználtuk fel. Az f függvén [,b]-n foltonos z [,+h]-on is foltonos z integrálszámítás középértéktétele szerint ξ [,+h], hog
26 PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II = f() f(ξ) h = +h f(t) dt. ξ +h b Ezért ( ) = 1 f(ξ) h = f(ξ). h F() differenciálhándos: F F(+h) F() () = lim = lim f(ξ) = lim f(ξ) = f(). h 0 h h 0 ξ Felhsználtuk, hog h 0 ξ, továbbá f(ξ) f(), mert z f függvén foltonos. Tehát, h ],b[, kkor F () = f(). Megjegzés. A fenti tétel szerint [, b]-n foltonos f függvén integrálfüggvéne [, b]-n primitív függvéne f-nek, hiszen F () = f(). 2.8 A differenciál- és integrálszámítás főtétele: Newton Leibniz-tétel Tétel (Newton Leibniz-tétel). H f() és F() függvének z [,b]-n foltonosk, és F() z f() függvén primitív függvéne, kkor b f() d = F(b) F(). Bizonítás: Mivel f() [,b]-n foltonos b f() d létezik. Mivel f() [,b]-n foltonos G()= = f(t) dt integrálfüggvénre G () = f(). Tehát f() függvénnek primitív függvéne [,b]-n z F() és G() függvén is, íg G() = F() + C [, b]-re. Íg G() = F()+C G() = f(t) dt = 0 C = F()
PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II 27 G(b) = F(b)+C = F(b) F() b G(b) = f(t) dt b f() d = F(b) F() Jelölések: b f() d = [F()] b = F(b) F().
3. fejezet A htározott integrál lklmzási 3.1 Területszámítás 1. H f() [, b]-n integrálhtó ( < b), f() 0, kkor: b T = f() d. = f() T b 2. H f() [,b]-n integrálhtó (<b), kkor f() függvén görbéje és z tengel áltl közbezárt síkidom területe b T = f() d. = f() c d b T Az ábrán f() függvén [,b]-on előjelet vált c-nél és d-nél. Ebben z esetben görbe és z tengel közötti síkidom területe: T = b f() d = c f() d d c f() d+ b f() d. 3. H f() és g() [,b]-n integrálhtó (<b) és [,b] esetén f() g(), kkor két függvén görbéje és z = és = b egenesek áltl htárolt síkidom területe: 28
PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II 29 = f() b T = (f() g()) d. T = g() b 4. Prméteres lkbn dott görbék esete. Legen = ϕ(t) = ψ(t) α t β hol ϕ(t), ψ(t) foltonosn differenciálhtók. t B T = ψ(t) ϕ(t) dt t A A B b Prméteres lkbn dott zárt görbék áltl meghtározott síkidom területe = ϕ(t) = ψ(t) α t β hol ϕ(t), ψ(t) foltonosn differenciálhtók. G A P b B A görbe befutási irán legen pozitív, zz G görbe kerületén sétálónk bl kézre vn terület. Miközben t befutj z [α,β]-ot P(ϕ(t),ψ(t)) befutj G zárt görbét (ϕ(α) = ϕ(β),ψ(α) = =ψ(β)), zz α-hoz és β-hoz mint prméterekhez trtozó görbepontok zonosk (ϕ(α), ψ(α)) (ϕ(β),ψ(β)). Ekkor β T = ψ(t) ϕ(t) dt = 1 β (ϕ(t) α 2 ψ(t) ψ(t) ϕ(t)) dt. 3.2 Térfogtszámítás 1. Forgástest térfogt Tétel. Legen f() z [,b]-n foltonos. Az f() függvén görbéjét z tengel körül megforgtv, kpott forgástest térfogt α
30 PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II = f() b V = π [ ] 2 f() d. b Forgástest térfogt, h körülforgtott görbe prméteres lkbn dott: = ϕ(t) = ψ(t) α t β hol ϕ(t), ψ(t) foltonosn differenciálhtók. A forgástest térfogt, menniben forgtást z illetve z tengelek körül végeztük: tb V = π [ψ(t)] 2 ϕ(t) dt illetve V = π t A tb t A [ϕ(t)] 2 ψ(t) dt 2. Oln testek térfogt, meleket lklmsn térbeli derékszögű koordinát rendszerbe helezve, [,b] esetén ismert z tengelre merőleges sík áltl létesített metszet T() területe, és T() foltonos függvén: V = b T() d. Megjegzés. Ez z áltlánosbb képlet, ennek speciális esete forgástest. 3.3 Síkgörbe ívhossz Definíció. Eg síkgörbe ívhosszánk zt htárértéket nevezzük, melhez beírt törtvonl hossz trt, h oldlink szám minden htáron túl nő, miközben legngobb oldl hossz is 0-hoz trt. L = lim n i=1 n P i 1 P i. A P 0 P 1 P 2 P n B Az oln görbéket, meleknek vn ívhosszuk ( fenti htárérték létezik) rektifikálhtó görbének nevezzük.
PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II 31 Tétel. H z f() függvén z [, b]-n foltonosn differenciálhtó, kkor z =f() függvén görbének z [,b] intervllumhoz trtozó íve rektifikálhtó, és z ív hosszúság: b L = 1+ [ f () ] 2 d. Megjegzés. Az f() függvén [,b]-n foltonosn differenciálhtó, h f () létezik és f () [,b]-n foltonos. Prméteres lkbn dott, hurokmentes görbe ívhossz = ϕ(t) = ψ(t) L = t A t B α t β [ ϕ(t)] 2 +[ ψ(t)] 2 dt. 3.4 Forgástest plástjánk felszíne hol ϕ(t), ψ(t) foltonosn differenciálhtók. (,) = (ϕ(t),ψ(t)) B Tétel. H z [,b]-n f() 0, és f () z [,b]-n foltonos, kkor z f() [,b]-hez trtozó ívének z tengel körüli forgtásávl keletkezett forgásfelület felszíne: b F = 2π A f() 1+ [ f () ] 2 d. b Prméteres lkbn dott, görbe tengel körüli forgtásávl keletkezett forgástest plástjánk felszíne = ϕ(t) α t β hol ϕ(t), ψ(t) foltonosn differenciálhtók. = ψ(t) tb [ ] 2+ [ F = 2π (t) ] 2 ϕ(t) ψ(t) dt. t A
4. fejezet Numerikus integrálás H b f() d létezik, még nem biztos, hog pontos értékét ki is tudjuk számítni, ilenkor lklmzhtunk közelítő integrálást. Numerikus vg közelítő integrálást lklmzhtunk következő esetekben: 1. H b f() d létezik, de f() függvénnek primitív függvéne nem létezik, zz f() függvén primitív függvéne nem elemi függvén. Például f() függvén: e ; sin 1 ;e 2 ; ln stb. 2. H b f() d létezik, de f()-nek nem tudjuk meghtározni primitív függvénét. (Túl bonolult z integrál vg nem vgunk elég okosk.) 3. H f függvént csk diszkrét pontokbn ismerjük, zz f függvén csk tábláztosn dott, vg f függvénnek csk grfikonj ismert. Legen f() z [, b]-n értelmezett integrálhtó függvén. Osszuk fel z [, b]-ot n egenlő részre, íg i = b n = h, = 0 < 1 < 2 < < n = b Az 0 = f( 0 ), 1 = f( 1 ), 2 = f( 2 ),..., n = f( n ), függvénértéket tekintsük ismertnek. 4.1 Tégllp módszer Legen t i z i-edik intervllum felezőpontj: t i = i 1+i 2. Az i-edik [ i 1, i ] intervllumon z integrált z f(t i ) h szorzttl közelítjük, íg b f() d h [f(t 1 )+f(t 2 )+ +f(t n )], h = b n. 32
P 1 P 2 P 3 PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II 33 = f() t i = 0 1 2 i 1 i n =b 4.2 Trpézmódszer A P i 1 és P i pontokt összekötő görbeívet P i 1 P i húrrl (egenes szksszl) helettesítjük. Ekkor trpézokt kpunk, melek közös mgsság h= b f(i 1)+f(i) n. Az i-edik trpéz előjeles területe: 2 h, ez z előjeles terület f() függvén htározott integráljánk közelítő értéke z [ i 1, i ] intervllumon. = f() = 0 1 2 i 1 i n =b P 5 P 6 Tehát Trpéz formul: b f() d f( 0)+f( 1 ) h+ f( 1)+f( 2 ) h+ + f( n 1)+f( n ) h = 2 2 2 [ ] f(0 )+f( n ) = h +f( 1 )+f( 2 )+ +f( n i ) = 2 [ ] 0 + n = h + 1 + 2 + + n 1 = T n 2 A közelítés hibáj H f() [,b]-n kétszer differenciálhtó, és f () [,b]-n foltonos f () z [,b]-n korlátos, zz K > 0 szám, hog f () K [,b] esetén, kkor b f() d T n K (b )3 12n 2.
34 PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II 4.3 Simpson-módszer H síkbeli derékszögű koordinát-rendszerben tetszőlegesen felveszünk három pontot {P 1,P 2,P 3 }, kkor egértelműen megdhtó oln görbe, mel átmeg mindhárom ponton, és görbe egenlete: = 2 +b+c (h =0, egenes; h 0, prbol). A fentiek mitt most páros számú egenlő részre osztjuk [,b]-t, 2n részre osztunk: h = b 2n. A részintervllumokt párosávl összefogjuk és eg-eg dupl intervllumon z f() függvén grfikonját, megfelelő ponthármson átmenő prbolívekkel vg szkszokkl helettesítjük. Tehát 2i 2i 2 f() d 2i 2i 2 f i () d, hol f() vg elsőfokú vg másodfokú függvén. = f() P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P6 P 7 = 0 1 2 3 4 5 6... A részintervllumokon vett integrálok közelítő értékeinek összességéből dódik Simpson-formul b f()d h 3 = h 3 [ ( ) ( )] f( 0 )+f( 2n )+2 f( 2 )+f( 4 )+ +f( 2n 2 ) +4 f( 1 )+f( 3 )+ +f( 2n 1 ) = [ ) )] 0 + 2n +2 ( 2 + 4 + + 2n 2 +4 ( 1 + 3 + + 2n 1 = S 2n A közelítés hibáj H f() [,b]-n négszer differenciálhtó és f (4) () foltonos [,b]-n, kkor K > 0 szám, hog f (4) () K [,b] esetén, ekkor b f() d S 2n K (b )5 2880n 2.
5. fejezet Improprius integrálok A htározott integrál értelmezésénél feltettük zt, hog mind z integrálás intervllum, mind z integrndusz korlátos, illetve z integrndusz vizsgált intervllum minden pontjábn értelmezett. Azonbn eges lklmzásoknál kívántos, hog ezeket feltételeket elhgjuk, ezért szükség vn z integrál foglmánk kiterjesztésére. 5.1 Véges sok pontbn nem értelmezett függvén integrálj Definíció. Legen f() függvén z [,b]-bn z 1 < 2 < < n pontok kivételével mindenütt értelmezett és korlátos. Legen ϕ() eg oln korlátos függvén, mel z [, b] intervllum minden pontjábn értelmezett és z i (i = 1,2,...,n) pontok kivételével legen ϕ() = f(). H b ϕ()d htározott integrál létezik, kkor z f() z [, b] intervllumon improprius értelemben integrálhtó és f() improprius integrálj: b b f() d := ϕ() d 5.2 Integrálás végtelen intervllumon Definíció. Legen f() függvén z [, [-on értelmezett és legen z f() függvén Riemnn szerint integrálhtó minden [,β[ intervllumon bármel < β esetén. H lim β f()d véges β htárérték létezik, kkor zt mondjuk, hog létezik z f() függvén [, [-r vontkozó improprius integrálj és f() d := lim β β f() d. = f() 35
36 PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II Definíció. Legen f() függvén z ],]-on értelmezett és legen z f() függvén Riemnn szerint integrálhtó minden [β,] intervllumon bármel β < esetén. H lim β f()d véges β htárérték létezik, kkor zt mondjuk, hog létezik z f() függvén ], ]-r vontkozó improprius integrálj és f() d := lim β β f() d. = f() Definíció. Legen f() függvénértelmezési trtomán R. H tetszőleges, rögzített érték esetén léteznek f()d és f()d improprius integrálok, kkor f() d := f() d+ f() d. = f() 5.3 Nem korlátos függvének improprius integrálj Definíció. Legen f() függvén z ], b] intervllumon értelmezett, de z hel körnezetében ne legen korlátos. H z f() függvén bármel [ + ε,b] (0 < ε < b ) intervllumon Riemnn b szerint integrálhtó és létezik lim f()d véges htárérték, kkor z f() függvén [,b]-on ε 0+ +ε vett improprius integrálj: b f() d := lim b ε 0+ +ε f() d. = f() b Definíció. Legen f() függvén z ], b] intervllumon értelmezett, de b hel körnezetében ne legen korlátos. H z f() függvén bármel [,b ε] (0 < ε < b ) intervllumon Riemnn szerint b ε integrálhtó és létezik lim f()d véges htárérték, kkor z f() függvén [,b]-on vett ε 0+ improprius integrálj:
PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II 37 b f() d := lim ε 0+ b ε f() d. = f() b Definíció. Legen f() függvén z ], b[ intervllumon értelmezett, de z és b pontok körnezetében nem korlátos. H f() [+ε,b δ] (0<ε<b, 0<δ <b ) intervllumon Riemnn szerint integrálhtó és létezik lim f()d véges htárérték, kkor z f() függvén [,b]-on vett improprius b δ ε 0+ +ε δ 0+ integrálj: b f() d := lim ε 0+ δ 0+ b δ +ε f() d. = f() b
II. rész Kétváltozós vlós függvének 39
1. fejezet A kétváltozós függvének differenciálszámítás 1.1 A kétváltozós függvén foglm, megdás, ábrázolás Definíció. Azt függvént, melnek értelmezési trtomán rendezett vlós számpárok (R 2 ) vlmel nem üres részhlmz, értékkészlete pedig vlós számok vlmel nem üres részhlmz, kétváltozós vlós függvénnek nevezzük. Jelölés: z = f(,); (,) f(,); D f R 2 ; R f R Kétváltozós függvént megdhtunk: táblázttl képlettel (eplicit illetve implicit lkbn), prméteresen. A kétváltozós függvént térbeli derékszögű koordinátrendszerben ábrázoljuk. A gkorltbn előforduló kétváltozós függvének képe felület. 1.2 A kétváltozós függvének htárértéke, foltonosság Kétváltozós esetben: P 0 ( 0, 0 ) pont ε>0 sugrú körnezete R 2 összes oln P(,) pontj, melre ρ(p 1,P 0 ) < ε reláció teljesül. Definíció. A P n ( n, n ) pontsorozt trt P 0 ( 0, 0 ) ponthoz, h ε > 0 számhoz létezik oln N 0 természetes szám, hog h n > N 0, kkor ρ(p n,p 0 ) < ε. (Másképp: P n ( n, n ) P 0 ( 0, 0 ), h P n pontsorozt mjdnem minden eleme beleesik P 0 pont tetszőleges kicsi ε sugrú körnezetébe.) 40
PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II 41 Adott pontbn vett véges htárérték Definíció. Legen z f(,) függvén értelmezett P 0 ( 0, 0 ) pont vlmel körnezetében, kivéve esetleg P 0 pontot. Az f(,) függvénnek P 0 pontbn htárértéke z A vlós szám, h minden oln pontsorozt esetén, hol P n D f, P n P 0 és P n ( n, n ) P 0 ( 0, 0 ), kkor f(p n ) A. Jelölés: Pontbeli foltonosság lim 0 0 f(,) = A Definíció. Az f(,) függvén foltonos P 0 ( 0, 0 ) pontbn, h lim 0 0 f(,) = f( 0, 0 ) = f(p 0 ). 1.3 A kétváltozós függvének P 0 pontbeli prciális differenciálhándosi Definíció. Legen z = f(,) függvén P 0 ( 0, 0 ) pontbn és körnezetében értelmezett. H z rögzítésével ( = 0 ) kpott z = f(, 0 ) egváltozós függvén z 0 helen differenciálhtó, kkor zt mondjuk, hog z = f(,) kétváltozós függvén P 0 ( 0, 0 ) pontbn szerint prciálisn differenciálhtó és f(, 0 ) f( 0, 0 ) f( 0 +, 0 ) f( 0, 0 ) lim lim 0 0 0 vlós htárértéket z = f(,) függvén P 0 ( 0, 0 ) ponthoz trtozó szerinti prciális deriváltjánk nevezzük. Jelölése: f(,) = f(,) P0 = z =0 = 0 = f =0 ( 0, 0 ) = f (P 0 ) = 0 Definíció. Legen z = f(,) függvén P 0 ( 0, 0 ) pontbn és körnezetében értelmezett. H z rögzítésével ( = 0 ) kpott z = f( 0,) egváltozós függvén z 0 helen differenciálhtó, kkor zt mondjuk, hog z = f(,) kétváltozós függvén P 0 ( 0, 0 ) pontbn szerint prciálisn differenciálhtó, és f( 0,) f( 0, 0 ) f( 0, 0 + ) f( 0, 0 ) lim lim 0 0 0 vlós htárértéket z = f(,) függvén P 0 ( 0, 0 ) ponthoz trtozó szerinti prciális deriváltjánk nevezzük. f(,) = f(,) P0 = z =0 = 0 = f =0 (P 0 ) = f ( 0, 0 ) = 0
42 PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II A P 0 pontbeli prciális deriváltk geometrii jelentése f(,) P0 geometrii jelentése: A z=f(,) felület és z = 0 sík metszésvonlánk Q 0 ( 0, 0,z 0 ) pontjábn húzott érintőjének irántngense, z tengelre vontkozón. f(,) P0 geometrii jelentése: A z=f(,) felület és z = 0 sík metszésvonlánk Q 0 ( 0, 0,z 0 ) pontjábn húzott érintőjének irántngense, z tengelre vontkozón. z 0 = f( 0, 0 ) z Q 0 z = f(,) 0 0 P 0 β α 1.4 A kétváltozós függvének prciális deriváltji Definíció. A kétváltozós z=f(, ) függvén szerinti (illetve szerinti) elsőrendű prciális deriváltj z kétváltozós függvén, melnek értelmezési trtomán zon P D f pontok hlmz, mel P pontokbn z = f(, ) függvén szerint (illetve szerint) prciálisn differenciálhtó, és mel kétváltozós függvén P D f (illetve P D f ) pontbn z f (P) (illetve f (P)) értéket veszik fel. Jelölések: f (,) f(,) = z illetve f (,) f(,) = z. 1.5 A totálisn differenciálhtó függvén foglm Definíció. Legen z = f(,) függvén P 0 (,) pontbn és vlmel körnezetében értelmezett. A z = f(,) függvént P 0 pontbn totálisn differenciálhtónk nevezzük, h P 0 ezen körnezetébe eső P(,) pontbn érvénes következő egenlőség: f(p) f(p 0 ) = A( 0 )+B( 0 )+(P)( 0 )+b(p)( 0 ), hol A és B konstnsok, és lim P P 0 (P) = lim P P 0 b(p) = 0. Tétel. H z = f(,) függvén P 0 ( 0, 0 )-bn totálisn differenciálhtó, kkor foltonos is P 0 -bn.
PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II 43 Tétel. H z z = f(,) függvén P 0 (, 0 )-bn totálisn differenciálhtó, kkor z = f(,) függvénnek léteznek P 0 ( 0, 0 )-bn prciális deriváltji, és f(,) f(,) = A és P0 = B. P0 Tétel. H z = f(,) függvén P 0 ( 0, 0 )-bn és körnezetében mindkét változój szerint prciálisn differenciálhtó, és prciális deriváltk foltonosk P 0 -bn, kkor z f(,) függvén P 0 -bn totálisn differenciálhtó. 1.6 Iránmenti derivált A kétváltozós függvén prciális differenciálhándosi függvén és iránú változását jellemzik. Eg tetszőlegesen megdott iránbn bekövetkező változás jellemzésére vezetjük be z iránmenti differenciálhándos foglmát, mel prciális differenciálhándos áltlánosítás. Legen z = f(,) függvén P 0 ( 0, 0 ) pontbn és körnezetében értelmezett. Vegünk fel z síkbn P 0 pontr illeszkedő, z tengel pozitív felével α szöget bezáró egenest. Legen P(,) ezen egenes P 0 -tól különböző pontj és P 0 P előjeles távolság legen t ( t R\{0}). = cos α = t cos α t = sin α = t sin α t = 0 + t cos α; = 0 + t sin α = 0 + α 0 P 0 0 t α P = 0 + Definíció. Legen z=f(,) függvén P 0 ( 0, 0 ) pontbn és körnezetében értelmezett, és legen P(,) ezen körnezet eleme (P P 0 ), és illeszkedjen P z tengellel α szöget bezáró P 0 pontr illeszkedő e egenesre. H f(p) f(p 0 ) f( 0 + t cos α, 0 + t sin α) f( 0, 0 ) lim = lim t 0 t t 0 t htárérték létezik (vlós szám), kkor ezt htárértéket z = f(,) függvén P 0 pontbeli α iránú iránmenti differenciálhándásánk nevezzük. e Jelölése: f α( 0, 0 ); z α. P0 Az iránmenti derivált geometrii jelentése Az f α(p 0 ) jelenti z=f(,) függvén áltl meghtározott felület és P 0 P α iránszögű egenesre illeszkedő z tengellel párhuzmos sík metszésvonlánk Q 0 ( 0, 0,z 0 ) pontjábn húzott érintőegenes irántngensét. f α(p 0 ) = tg δ
44 PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II z z 0 = f( 0, 0 ) Q 0 z = f(,) 0 0 + 0 + 0 α P 0 P δ Tétel. H z=f(,) függvén P 0 ( 0, 0 ) pontbn totálisn differenciálhtó, kkor P 0 -bn minden α iránbn is differenciálhtó, és f α(p 0 ) = f (P 0 )cos α+f (P 0 )sin α. 1.7 A grdiens vektor Definíció. H z =f(,) függvén P 0 ( 0, 0 ) D f pontbn mindkét változój szerint prciálisn differenciálhtó, kkor z f(,) függvén P 0 ponthoz trtozó grdiens vektor : grd f(,) = f (P 0 )i+f (P 0 )j = (f (P 0 ),f (P 0 )), P0 grd f P0 = [f (P 0 )] 2 +[f (P 0 )] 2. Tétel. H z =f(,) függvén P 0 ( 0, 0 ) pontbn totálisn differenciálhtó, kkor függvén P 0 - beli α iránú iránmenti differenciálhándos z e α = (cos α)i+(sin α)j egségvektor és grdf P0 vektor skláris szorztávl egenlő, zz f α(p 0 ) = e α grd f. P0 Bizonítás: A koordinátákkl dott vektorok skláris szorztát kiszámítv: f α(p 0 ) = f (P 0 )cos α+f (P 0 )sin α.
PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II 45 Tétel. A z = f(,) függvén f α(p 0 ) iránmenti deriváltj oln α esetén legngobb, melre e α párhuzmos grdf P0 vetkorrl. Tehát z = f(,) P 0 pontbeli iránmenti deriváltj kkor mimális értékű, zz z f(,) függvén értékei kkor változnk legngobb mértékben, h szóbn forgó irán éppen grd f P0 vektor irán. A mimális változás mértéke P 0 -bn = grdf P0. 1.8 A felület érintősíkj Definíció. Legen z = f(,) függvén P 0 ( 0, 0 ) pontbn és nnk körnezetében foltonos. H felületet P 0 ( 0, 0 ) pontr illeszkedő z tengellel párhuzmos síkokkl metszve, minden kimetszett görbe P 0 -beli érintője eg síkbn fekszik, kkor ezt síkot z=f(,) felület P 0 pontbeli érintősíkjánk nevezzük. Írjuk fel z = f(,) felület P 0 ( 0, 0 ) pontbeli érintősíkjánk egenletét! Legen z = f(,) függvén P 0 ( 0, 0 ) pontbn totálisn differenciálhtó. Ekkor P 0 pontbn függvén bármel iránbn differenciálhtó, tehát f (P 0 ) és f (P 0 ) létezik. A felület Q 0 ( 0, 0,f( 0, 0 )) pontjábn húzott z síkkl párhuzmos, érintőegenes irántngense f (P 0 ), íg ezen érintő iránvektor v =(1,0,f (P 0 )). A Q 0 pontbn húzott z síkkl párhuzmos érintő egenes irántngense f (P 0 ), tehát ezen érintő iránvektor: v = (0,1,f (P 0 )). Az érintősík normálvektor: n = v v = ( f (P 0 ), f (P 0 ),1). Az érintősík egenlete : f (P 0 )( 0 ) f (P 0 )( 0 )+z z 0 = 0. Rendezve: z z 0 = f (P 0 )( 0 )+f (P 0 )( 0 ). 1.9 A teljes differenciál Definíció. Legen z=f(,) függvén P 0 ( 0, 0 ) pontbn totálisn differenciálhtó. Ekkor dz= =df =f (P 0 ) d+f (P 0 ) d kifejezést z f(,) függvén P 0 pontbeli teljes differenciáljánk nevezzük. Megjegzés. Mivel d = = 0 és d = = 0, ezért dz = f (P 0 )( 0 )+f (P 0 )( 0 ). A teljes differenciál geometrii jelentése A teljes differenciál felület P 0 -beli érintősíkjánk emelkedésével, zz (z z 0 )-ll egenlő: dz = z z 0 = z f(p 0 ) Tehát, h P pont közel vn P 0 -hoz, zz d,d kicsi, kkor dz differenciál jól közelíti függvén megváltozását. A P 0 pont közelében felület emelkedése z érintősík emelkedésével helettesíthető, zz: f(p) f(p 0 ) dz = f (P 0 ) d+f (P 0 ) d.
46 PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II 1.10 Kétváltozós függvének lokális szélsőértéke Definíció. Az f(,) függvénnek P 0 ( 0, 0 ) pontbn szigorú lokális minimum (mimum) vn, h vn oln δ > 0 szigorú körnezete P 0 -nk, mel körnezetbe eső P P 0 esetén f(p 0 ) < f(p) (f(p) < f(p 0 )). Tétel (Szélsőérték létezésének szükséges feltétele). H z f(,) : R 2 R kétváltozós függvénnek P 0 ( 0, 0 ) pontbn heli szélsőértéke vn, és f(,) totálisn differenciálhtó P 0 -bn, kkor f = f P0 = 0. P0 Megjegzés. 1. Az f(,) függvén értelmezési trtománánk zon P 0 ( 0,) pontjit, melekre f(,) f(,) = 0, P0 = 0 P0 teljesül, z f(,) függvén stcionárius pontjink nevezzük. 2. H megoldjuk f(,) = 0, f(,) egenletrendszert z, változókr, kkor kpott P 0 ( 0, 0 ) stcionárius pontok között kell keresnünk differenciálhtó f(,) függvén szélsőértékheleit. Tétel (A szélsőérték létezésének elegendő feltétele). Tekintsük z f :D f ( R 2 ) R kétszer foltonosn prciálisn differenciálhtó kétváltozós függvént, és legen P 0 ( 0, 0 ) D f pont z f(,) függvén stcionárius pontj, zz és legen f(,) = 0, P0 f(,) = 0 = 0, P0 H = f (P 0 )f (P 0 ) [f (P 0 )] 2. ) H >0 esetén f(,) függvénnek szigorú lokális szélsőértéke vn P 0 -bn. A szélsőérték f (P 0 )>0 esetén minimum lesz, míg f (P 0 ) < 0 esetén mimum. b) H H < 0, kkor f-nek P 0 -bn nincs szélsőértéke. c) H H = 0, kkor f szélsőértékproblémáj P 0 pontbn nem dönthető el másodrendű prciális differenciálhándosi segítségével.
2. fejezet Többváltozós vlós függvének integrálszámítás 2.1 Alpfoglmk Legen T R 2, T. T z tengelre nézve normál trtomán. D ϕ1 = D ϕ2 = [,b] ϕ 1 (),ϕ 2 () foltonosk és ϕ 1 () ϕ 2 (). T = ϕ 1 () = ϕ 2 () P(,) b R 2 zon P(,) pontji, meleknek koordinátáir fennáll z b ϕ 1 () ϕ 2 () egenlőtlenségrendszer, tengelre nézve normál trtománt lkotnk. A trtomán lehet több oldlról nílt, h z egenlőtlenségrendszerben z egenlőséget eg vg több esetben kizárjuk. T z tengelre nézve normál trtomán. D ψ1 = D ψ2 = [c,d], ψ 1 (),ψ 2 () foltonosk és ψ 1 () ψ 2 (). d =ψ 1 () c T P(,) = ψ 2 () 47
48 PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II D ψ1 =D ψ2 =[c,d], ψ 1 (),ψ 2 () foltonosk és ψ 1 () ψ 2 (). R 2 zon P(,) pontji, meleknek koordinátáir fennáll ψ 1 () ψ 2 () c d egenlőtlenségrendszer, tengelre nézve normál trtománt lkotnk. A trtomán lehet több oldlról nílt. H T normál trtomán, kkor vn területe. H T normál trtomán, kkor korlátos. 2.2 Kétváltozós függvén htározott vg trtománi integrálji Definíció. Legen T R 2,T és T véges számú normáltrtománr bonthtó. Legen z =f(,) függvén T trtománon értelmezett korlátos függvén. A z = f(, ) függvén T trtománr vontkozó (vg Riemnn-szerinti) integrálj következő lépésekben értelmezhető: 1. Felosztjuk T trtománt n db T 1,T 2,...,T n részre T 1 T 2... T n =T és T 1 T 2... T n = (nincs közös belső pont). A résztrtománok területe legen T 1, T 2,..., T n. 2. Mindegik résztrtomán belsejében vg htárán válsztunk eg P i (ξ i,η i ) pontot (i=1,...,n). 3. Képezzük következő összeget: S n = f(p 1 ) T 1 +f(p 2 ) T 2 + +f(p n ) T n = n f(ξ i,η i ) T i 4. Képezzük ennek z összegnek htárértékét, midőn n és m T i 0. lim n m T i 0 S n = lim n m T i 0 i=1 n f(ξ i,η i ) T i H ez htárérték létezik, függetlenül T felosztásától és P i pontok válsztásától, kkor zt mondjuk, hog z = f(,) függvén T trtománon Riemnn-szerint integrálhtó és ez véges htárérték z f(,) függvén T trtománon vett Riemnn-integrálj : lim n m T i 0 n i=1 f(ξ i,η i ) T i = T f(,) dt. i=1 (Formális jelölés, számolásr nem lklms.) Tétel. Legen T véges számú normáltrtománr bonthtó (T,T R 2 ). H z =f(,) függvén T trtománon értelmezett foltonos függvén, kkor f(, ) dt létezik. Megjegzés. Kétváltozós függvén trtománi integrálj (Riemnn-integrálj) hsonló tuljdonságokkl rendelkezik, mint z egváltozós függvénre. T
PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II 49 1. cf dt = c f dt T T 2. (f +g) dt = f dt + g dt T T T 3. f dt = f dt + f dt T 1 T 2 T 1 T 2 A Riemnn-integrál (trtománi integrál) geometrii jelentése. Legen z = f(,) függvén T trtománon foltonos, és P T esetén f(p) 0. Ekkor f(, ) dt zon test térfogtánk számértéke, melet T trtomán, kerületére illeszkedő z T tengellel párhuzmos lkotójú hengerfelület és z = f(,) áltl meghtározott felület zár közre. 2.3 A trtománr vontkozó integrál kiszámítás Kétváltozós függvén tégllpon vett integrálj. T = {(,) R 2, b, c d} d c T b Tétel. H z = f(, ) függvén T tégllpon foltonos, kkor f(,) dt = d ( ) b f(,) d d = b c c T ( ) d f(,) d d. Megjegzés. A tétel szerint f(, ) függvén T-n vett integrációját z eges változók szerinti egváltozós integrálok egmás utáni kiszámításávl, zz úgnevezett szukcesszív integrálássl kiszámíthtjuk. PÉLDA: Számítsuk ki z= 2 függvén integrálját T ={(,) R 2, 2 5, 1 3} tégllpon. MEGOLDÁS: d c T b
50 PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II T 2 dt = 3 1 = 117 3 ( 5 2 3 1 ) 2 d d = [ 2 d = 39 2 ] 3 1 3 1 ( [ 3 3 ] 5 2 ) d = 3 1 ( ) 5 3 3 23 3 ( 9 = 39 2 1 ) = 156 Térfogtot jelent. 2 d = Fordított sorrendben is integrálhtunk. T 2 dt = = 4 5 2 5 2 ( 3 1 ) 2 d [ 2 3 d = 4 3 d = ] 5 2 5 2 = 156 ( [ 2 2 2 ] 3 1 ) d = 5 2 ( 9 2 2 1 ) 2 2 d = Kétváltozós függvén normál trtománon vett integrálj Az tengelre nézve normál trtomán ϕ 1 (),ϕ 2 () foltonosk [,b]-n és ϕ 1 () ϕ 2 (). T = ϕ 1 () = ϕ 2 () b Az tengelre nézve normál trtomán ψ 1 (),ψ 2 () [c,d]-n foltonosk és ψ 1 () ψ 2 (). d =ψ 1 () c T = ψ 2 () Tétel. Legen z = f(,) függvén foltonos T-n, mel T z tengelre nézve normál trtomán. Ekkor ( b ) ϕ2() f(,) dt = f(,) d d. ϕ 1() T
PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II 51 Tétel. Legen z = f(,) függvén foltonos T-n, mel T z tengelre nézve normál trtomán. Ekkor ( d ) ψ2() f(,) dt = f(,) d d. c ψ 1() T PÉLDA: Legen z = f(,) = 3 2 + 2. MEGOLDÁS: f(,) dt =? T ) A T most tengelre nézve normál trtomán, 3 = T = 2 3 6 melre ψ 1 () =,ψ 2 () = 2, hol 0 3. (3 2 + 2 ) dt = T = 3 ( 2 0 3 0 ) (3 2 + 2 ) d d = (8 3 +2 3 3 3 ) d = 3 3 0 0 [ 3 + 2 ] 2 d 8 3 d = [ 2 4] 3 = 2 81 = 162 0 b) Cseréljük fel z integrálás sorrendjét, mjd számítsuk ki újból z integrált. Ekkor z tengelre nézve normál trtománnl (trtománokkl) dolgozunk. Most T-t z = 3 egenessel T 1 -re és T 2 -re bontjuk. 3 = T 1 = 3 T 2 = 2 3 6 T 1 és T 2 tengelre nézve normál trtománok.
52 PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II T ( 3 ) (3 2 + 2 ) dt = (3 2 + 2 ) dt + (3 2 + 2 ) dt = (3 2 + 2 ) d 1 0 2 T 1 T 2 ( 6 ) 3 3 ] 6 ] 3 + (3 2 + 2 ) d d = [3 2 + 3 d+ [3 2 + 3 1 3 2 0 3 1 2 3 3 3 = (3 3 + 3 1 ) 6 ) 1 3 32 3 d+ (9 2 2 12 3 +9 3 d = 2 24 3 24 3 43 6 ( = 24 3 d+ 9 2 +9 37 ) 24 3 d = 43 [ ] 4 3 [ 24 3 3 +9 37 4 24 4 4 0 = 43 24 81 4 + 3 ( 3 6 3 +54 37 24 64 4 34 27+ 37 24 34 4 + 0 ) = 162 d+ d = 1 2 ] 6 3 =
III. rész Differenciálegenletek 53
54 PMMANB312 PMMANB926 MATEMATIKA II Sok fiziki, geometrii, műszki problém megoldásához bizonos változó menniségek közötti függvénkpcsoltot kell meghtároznunk. Gkrn problém ismert feltételei lehetővé teszik, hog z ismeretlen függvén, nnk változój és z ismeretlen függvén első, második, stb. differenciálhándos között bizonos összefüggést állpítsunk meg (például egenletet írjunk fel). PÉLDA: Nehézségi erő htásár szbdon eső testekre levegő ellenállás oln fékező erőt fejt ki, mel kis sebesség esetén egenesen rános mozgó test sebességével. Keressük meg zt z s(t) függvént, mel test áltl megtett utt dj meg z idő függvénében. MEGOLDÁS: Newton II. törvéne: F = m = m d2 s dt (*), hol F testre htó erők eredője. 2 Most F = m g k v(t) = m g k ds }{{}}{{} dt. nehézségi erő fékező erő Rendezve: Ellenőrzihető, hog függvén kielégíti fenti egenletet. ( )m g k ds dt }{{} F eredő erő = m d2 s dt 2 }{{} d 2 s dt 2 + k m ds = g s(t) =? dt s(t) = s 1 e k m t + m k gt+s 2
1. fejezet Alpfoglmk Definíció. Az oln egenletet, melben z ismeretlen vlmel függvén (vg függvének), és mel egenlet z ismeretlen függvén eg vg több differenciálhándosát trtlmzz, differenciálegenletnek nevezzük. Definíció. H differenciálegenlet csk egváltozós függvén deriváltját vg deriváltjit trtlmzz (zz z ismeretlen függvén egváltozós függvén), kkor közönséges differenciálegenletről beszélünk. H differenciálegenlet prciális deriváltkt is trtlmz, mert z ismeretlen függvén többváltozós függvén, kkor prciális differenciálegenletről beszélünk. Megjegzés. Mi csk közönséges differenciálegenletekkel fogllkozunk és nem fogllkozunk megoldások egzisztenciájánk és unicitásánk vizsgáltávl. 1.1 A differenciálegenletek osztálozás 1. Rendűség szerint: A differenciálegenlet rendje, z egenletben szereplő legmgsbbrendű derivált rendjével egenlő. 2. Lineritás szerint: A differenciálegenlet lineáris, h z ismeretlen függvén és deriváltji z egenletben csk első htvánon fordulnk elő, és z egenletben ezek szorzti nem szerepelnek, ellenkező esetben differenciálegenlet nemlineáris. 3. Homogenitás szerint: Homogén differenciálegenlet, h z egenletben szereplő minden tg trtlmz ismeretlent (zz z ismeretlen függvént vg deriváltját), ellenkező esetben differenciálegenlet inhomogén. 1.2 A differenciálegenlet megoldási, megoldástípusok Megjegzés. A továbbikbn differenciálegenletek megoldását z egváltozós függvének körében keressük. A differenciálegenlet megoldásánk nevezünk minden oln függvént, mel deriváltjivl egütt zonosn kielégíti differenciálegenletet. 55