INTEGRÁLSZÁMÍTÁS D (I) := {F : F D(I)} Állítás. D (I) is vektortér. Bizonyítás. Házi feladat.

INTEGRÁLSZÁMÍTÁS SIKOLYA ESZTER 1. Primitív üggvény Legyen I tetszőleges intervllm (korlátos vgy nem korlátos, nyílt, zárt, élig nyílt stb.). Jelölje C(I) z I intervllmon értelmezett olytonos üggvények hlmzát és D(I) z I intervllmon dierenciálhtó üggvények hlmzát. Ezek R elett vektorteret lkotnk. Jelölje D (I) z D(I)-beli üggvények deriváltjink hlmzát: 1.1. Állítás. D (I) is vektortér. Bizonyítás. Házi eldt. D (I) := {F : F D(I)}. 1.2. Megjegyzés. C(I) és D(I) nem csk vektortér, hnem gyűrű, sőt lgebr is ( szokásos műveletekkel). D (I) nem lkot sem gyűrűt sem lgebrát. 1.3. Deiníció. Legyen D (I) dott üggvény, zz létezik olyn F D(I), hogy F =. Ekkor minden ilyen F D(I) üggvényt z üggvény primitív (elsődleges vgy eredeti) üggvényének vgy htároztln integráljánk nevezünk. 1.4. Állítás. H D (I) és F D(I) egy primitív üggvénye, kkor bármely c R esetén (F +c) =, így -nek végtelen sok primitív üggvénye vn. Bizonyítás. Triviális. 1.5. Állítás. H F z egy primitív üggvénye, kkor -nek minden más G primitív üggvénye előáll G = F +c lkbn vlmely c R-re. Bizonyítás. Az állítás eltételeiből következik, hogy (F G) = F G = = 0, vgyis (F G) = 0 z egész I intervllmon. Legyenek x 1, x 2 [, b] tetszőleges pontok. A Lgrnge-középértéktétel eltételei nyilván teljesülnek z [x 1, x 2 ] intervllmon F G-re, tehát létezik olyn c (x 1, x 2 ), melyre (F G) (c) = 0 = (F G)(x 2) (F G)(x 1 ) x 2 x 1. Ebből (F G)(x 1 ) = (F G)(x 2 ). Mivel x 1 és x 2 tetszőleges volt, z állítást beláttk. 1.6. Deiníció. Adott üggvény esetén jelölje Dte: 2009. ebrár 27.. 1

2 SIKOLYA ESZTER ( integrál" ) z üggvény primitív üggvényeinek hlmzát I-n. H / D (I), kkor =. H D (I), kkor láttk, hogy = {F +c : c R}. H nem okoz élreértést, kkor minden elemét is z egyszerűség kedvéért -el jelöljük, tehát ( ) =. Szokásosk még z (x) és (x) dx jelölések is primitív üggvény x pontbeli helyettesítési értékére. 1.7. Péld. Legyen I = R. Ekkor cos x dx = sin x+c, c R. Alpintegrálok: ld. gykorltokon. Problém. Hogyn lehet elismerni egy :I R üggvényről, hogy vn-e primitív üggvénye I-ben, vgyis D (I)? Válsz. Sehogy! De dhtó szükséges és dhtó elégséges eltétel. 1.8. Tétel (Szükséges eltétel primitív üggvény létezésére). H D (I), kkor Drbox-tljdonságú. Bizonyítás. Ld. dierenciálszámítás: egy üggvény deriváltüggvénye Drbox-tljdonságú. 1.9. Tétel (Elegendő eltétel primitív üggvény létezésére). C(I) D (I), zz h olytonos I-n, kkor -nek létezik I-ben primitív üggvénye. 1.10. Megjegyzés. Attól, hogy vn, nem biztos, hogy számolássl megdhtó... Bizonyítás. Később. 1.11. Péld. 1 ln x z I =(1, + )-en, e x2 z I =R-en. Beláthtó, hogy nincs elemi primitív üggvényük. Primitív üggvény-keresés vgy htároztln integrálás: számolási technik (klkls), lényegében dierenciálás műveletének megordítás. 1.12. Állítás (Az integrálás ormális szbályi). I. H, g D (I), kkor +g D (I) (vektortér-tljdonság), emellett ( +g) = + g. II. H D (I), c R tetszőleges állndó, kkor c D (I) (vektortér-tljdonság), emellett c = c. 1.13. Tétel (Prciális integrálás elve). Legyenek és g dierenciálhtók z I intervllmbn, zz, g D(I), és tegyük el, hogy g D (I). Ekkor g D (I), és ez tóbbi (egy) primitív üggvénye: g = g g.

INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 3 Bizonyítás. Kell: ( g g ) D(I) ez triv, és ( g g ) = g. ( ) g g = g + g g = g. 1.14. Péld. ln x dx = }{{} 1 (x) }{{} ln x dx = g(x) x }{{} (x) ln x }{{} g(x) x }{{} (x) 1 }{{} x g (x) dx = x ln x 1 dx = x ln x x. 1.15. Tétel (Helyettesítéses integrálás elve). Legyenek I és I tetszőleges intervllmok, D (I), g D(I ) dott üggvények, úgy, hogy R(g) I. Ekkor ( g) g D (I ), és ( ) ( g) g = g. Bizonyítás. Legyen F :=, tehát F D(I) és F =. Ismeretes, hogy ekkor F g is dierenciálhtó I -bn, és Így F g = ( ) g = ( g) g. (F g) = (F g) g = ( g) g. 1.16. Megjegyzés. A gykorltbn g : I I bijektív üggvényt érdemes válsztni, mert ekkor ( = ( g) g ) g 1, vgyis z eredeti primitív üggvény meghtározhtó. Klssziks ormlizms. (x) dx x=g(t) = (g(t)) g (t) dt, dx dt = g (t) 1.17. Péld. 1 x 2 dx kiszámítás z I = [ 1,1] intervllmon. Helyettesítsünk x := = sin t-t, t [ π, π] =: 2 2 I. Ekkor dx = dt sin t = cos t. Így 1 x2 dx x=sin t = 1 sin 2 t cos t cos t dt = cos }{{} 2 t dt = (g(t))= cos 2 t cos }{{} t dt = g (t) 1 2 (1+cos 2t) dt = 1 2 1 dt+ 1 2 = 1 2 t+ 1 4 sin 2t = 1 (t+sin t cos t). 2 cos 2t dt Ebből 1 x 2 dx = 1 2 (t+sin t cos t) t=rcsin x = 1 ( ) t+sin t 1 sin 2 t t=rcsin x 2 = 1 ) (rcsin x+x 1 x 2 2.

4 SIKOLYA ESZTER 2.1. A Riemnn-integrál deiníciój. 2. Riemnn-integrál A Riemnn-integrál lényege: üggvény görbéje és vízszintes tengely áltl htárolt síkidom területe". A terület mtemtiki oglm: olyn T : M [0, + ) üggvény, hol M sík mérhető részhlmzit jelöli, és következő xiómák teljesülnek: Terület-xiómák. I. H H tégllp, oldlhosszi és b, kkor H M és T (H) = b; II. H H 1, H 2 M és H 1 H 2, kkor T (H 1 ) T (H 2 ) (monotonitás); III. H H 1, H 2 M, és vn olyn e egyenes, hogy z e áltl htárolt élsíkok egyike trtlmzz H 1 -et, másik H 2 -t, kkor H 1 H 2 M és T (H 1 H 2 )=T (H 1 )+T (H 2 ); IV. H sík egy B részhlmz teljesíti következő eltételt: minden ε > 0 esetén léteznek olyn A, C M hlmzok, hogy A B C és T (C) T (A) < ε, kkor B M. 2.1. Deiníció. Az [, b] intervllm egy elosztás egy olyn {I i = [x i 1, x i ] : i = 1,..., n} véges intervllmrendszer, melyre = x 0 < x 1 < x 2 < x n = b vlmely n N esetén. Az [, b] intervllm elosztásink hlmzát jelölje F[, b]. x 0 = x 1 x i 1 I i x i b = x n 1. ábr. Az [, b] intervllm egy elosztás 2.2. Deiníció. Legyen Φ F[, b] és Ψ F[, b] elosztások egyesítése (vgy közös inomítás) z Φ Ψ-vel jelölt elosztás, melyet úgy kpnk, hogy Φ osztópontjihoz hozzávesszük Ψ osztópontjit (vgy ordítv), és z így kpott új osztóponthlmzhoz trtozó intervllmrendszert tekintjük. 2.3. Deiníció. Adott : [, b] R korlátos üggvény és Φ = {I 1,..., I n } F[, b] elosztás esetén deiniálj Φ elosztáshoz trtozó lsó közelítőösszeget ( ) s (Φ) := in I i, I i első közelítőösszeget S (Φ) := ( hol I i := x i x i 1 z I i intervllm hossz. sp I i ) I i,

INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 5 x 0 = x 1 x 2 x n 1 b = x n 2. ábr. Egy első közelítőösszeg 2.4. Állítás. Tetszőleges : [, b] R korlátos üggvény és Φ F[, b] esetén Bizonyítás. sp Ii = in Ii ( ). S (Φ) = s (Φ). 2.5. Megjegyzés. Világos, hogy tetszőleges : [, b] R korlátos üggvény és Φ F[, b] esetén s (Φ) S (Φ). Bizonyítás. Minden i N esetén in Ii sp Ii. 2.6. Tétel. Legyen : [, b] R korlátos üggvény. Ekkor bármely Φ, Ψ F[, b] elosztások esetén s (Φ) S (Ψ). (2.1) Bizonyítás. Megmttjk, hogy bármely Φ, Ψ F[, b] elosztások esetén s (Φ) s (Φ Ψ) S (Φ Ψ) S (Ψ), (2.2) miből (2.1) nyilván következik. A 2. egyenlőtlenség 2.5. Megjegyzés lpján nyilvánvló. A következőkben zt bizonyítjk, hogy h Θ F[, b] olyn elosztás, melyet Φ-ből úgy nyerünk, hogy EGY új osztópontot hozzáveszünk, kkor s (Φ) s (Θ). (2.3) Ebből z osztópontok számár vontkozó teljes indkcióvl következik z első egyenlőtlenség (2.2)-ben. A 3. egyenlőtlenség pedig ennek és 2.4. Állításnk olyomány. Legyen tehát Θ F[, b] olyn elosztás, melyet Φ-ből úgy nyerünk, hogy nnk x i és x i+1 osztópontji közé elveszünk még egy osztópontot, vgyis Θ osztópontji in [x i,x i+1 ] = x 0 < x 1 < < x i < < x i+1 < < x n = b. A (2.3) egyenlőtlenség két oldláról z zonos tgokt elhgyv be kell látnnk, hogy ( ) ( ) ( ) (x i+1 x i ) ( x i )+ (x i+1 ). in [x i,] in [,x i+1 ] Mivel in [xi,x i+1 ] in [xi,] és in [xi,x i+1 ] in [,xi+1 ] (kisebb hlmzon vett inimm ngyobb vgy egyenlő, mint ngyobb hlmzon vett), ezért

6 SIKOLYA ESZTER ( in [x i,] ) ( ( x i )+ így z állítást beláttk. 2.7. Következmény. A in [,x i+1 ] ) ( ) (x i+1 ) in (( x i )+(x i+1 )) [x i,x i+1 ] ( ) = in (x i+1 x i ), [x i,x i+1 ] {s (Φ) : Φ F[, b]} és {S (Φ) : Φ F[, b]} hlmzok közül bl oldli hlmz minden eleme kisebb vgy egyenlő jobb oldli hlmz minden eleménél. Ebből z is következik, hogy z első hlmz elülről, második llról korlátos. 2.8. Deiníció. Deiniálj z : [, b] R korlátos üggvény Drbox-éle lsó integrálját és Drbox-éle első integrálját A 2.7. Következmény lpján := sp {s (Φ) : Φ F[, b]}, (2.4) := in {S (Φ) : Φ F[, b]}. (2.5). (2.6) 2.9. Deiníció. Egy korlátos : [, b] R üggvényt Riemnn-integrálhtónk mondnk, h = H Riemnn-integrálhtó, kkor z lsó és első Drbox-integrálok közös értékét Riemnn-integráljánk nevezzük, és z lábbi módon jelöljük: vgy. (x) dx. 2.10. Péld. A Dirichlet-üggvény nem Riemnn-integrálhtó [0,1]-en. Bizonyítás. Könnyen láthtó, hogy bármely Φ F[0,1] esetén tehát s D (Φ) = 0 és S d (Φ) = 1, 1 0 D = 0 < 1 0 D = 1.

2.11. Péld. 1 0 x 2 dx = 1 3. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 7 Bizonyítás. Rögzített n N esetén legyen Φ n elosztás z z intervllmrendszer, mit { 0, 1 n, 2 n,..., n 1 } n, 1 osztópontok htároznk meg. Ekkor ( ) 2 i 1 s (Φ n ) = 1 n n = (n 1) n (2n 1), 6n 3 ( ) 2 i S (Φ n ) = 1 n n = n (n+1) (2n+1), 6n 3 tehát s (Φ n ) 1 és S 3 (Φ n ) 1, h n. Ebből könnyen láthtó, hogy (x) = x2 3 Riemnn-integrálhtó [0,1]-en, és Riemnn-integrálj 1. 3 A továbbikbn jelölje R[, b] := { : [, b] R : korlátos és Riemnn-integrálhtó} 2.12. Deiníció. H Φ F[, b], kkor z ( Ω (Φ) := S (Φ) s (Φ) = = sp in I i I i ) I i (sp {(x) (y) : x, y I i }) I i = ω (I i ) I i számot z üggvény Φ elosztáshoz trtozó oszcillációs összegének nevezzük. Az ω (I i ) = sp in = sp {(x) (y) : x, y I i } I i I i z üggvény oszcillációj z I i intervllmon. 2.13. Állítás. H Φ, Ψ F[, b] tetszőleges elosztások, : [, b] R korlátos üggvény, kkor Ω (Φ Ψ) Ω (Φ). Bizonyítás. A (2.2) egyelőtlenségből következik. 2.14. Tétel (Leghsznosbb kritérim Riemnn-integrálhtóságr). Egy korlátos :[, b] R üggvény pontosn kkor Riemnn-integrálhtó, vgyis R[, b] pontosn kkor, h minden ε > 0 számhoz létezik olyn Φ = Φ(ε) F[, b] elosztás, melyre Ω (Φ) < ε. Bizonyítás. 1. irány: Tegyük el, hogy Riemnn-integrálhtó, és legyen ε > 0 rögzítve. A 2.9. Deiníció szerint tdjk, hogy = =.

8 SIKOLYA ESZTER A 2.8. Deiníció lpján létezik olyn Φ 1 F[, b], hogy és létezik Φ 2 F[, b], hogy s (Φ 1 ) > S (Φ 2 ) < Ezekből, (2.2) elhsználásávl kpjk, hogy ε 2 = miből Φ := Φ 1 Φ 2 válsztássl ε 2, + ε 2. ε 2 < s (Φ 1 ) s (Φ 1 Φ 2 ) S (Φ 1 Φ 2 ) Ω (Φ) = S (Φ) s (Φ) < S (Φ 2 ) < + ε 2 ( + ε 2 = ε 2 ) = ε. + ε 2, 2. irány: Tegyük el indirekt, hogy tétel állításábn szereplő eltétel teljesül minden pozitív ε-r, de Legyen 0 < ε < tetszőleges, és válssznk ε-hoz Φ F[, b] elosztást úgy, hogy Ω (Φ) < ε. Ekkor Ebből viszont mi ellentmondás. s (Φ) < <. S (Φ) = s (Φ)+Ω (Φ) < s (Φ)+ε. ε = s (Φ)+ε s (Φ) > A Heine-tétel elhsználásávl láthtó be, hogy minden olytonos üggvény Riemnn-integrálhtó. 2.15. Tétel. C[, b] R[, b], vgyis minden, z [, b] intervllmon olytonos üggvény Riemnn-integrálhtó [, b]-n.,

INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 9 Bizonyítás. Legyen C[, b]. A 2.14. Tétel integrálhtósági eltételét ogjk hsználni, tehát legyen ε>0 rögzített, és keresünk hozzá olyn Φ F[, b] elosztást, melyre Ω (Φ)<ε. A Heine-tétel lpján egyenletesen is olytonos [, b]-n, tehát z ε/(b ) pozitív számhoz létezik olyn δ > 0, hogy h t, s [, b], t s δ, kkor (t) (s) < ε/(b ). Válsszk meg n N-et úgy, hogy b < δ legyen. Legyenek Φ elosztás osztópontji n x i := +i b, i = 1,..., n, n vgyis z I i = [x i 1, x i ] intervllmbn bármely két szám különbsége legeljebb 1/n, így itt üggvény oszcillációj legeljebb ε/(b ). Erre elosztásr tehát Ω (Φ) = ω (I i ) I i ε b I i = ε, mivel z állítást beláttk. 2.16. Tétel. H R[, b], kkor R[, b]. Bizonyítás. Legyen R[, b] és ε > 0 rögzítve. A 2.14. Tétel lpján ε-hoz létezik olyn Φ F[, b] elosztás, melyre Ω (Φ) < ε. Megmttjk, hogy ekkor Ω (Φ) Ω (Φ) < ε is teljesül. Mivel dott Φ elosztás esetén Ω (Φ) = ω (I i ) I i, ezért elég belátni, hogy minden i-re ω (I i ) ω (I i ). A háromszög-egyenlőtlenség mitt tetszőleges x, y I i esetén miből (x) (y) (x) (y) ω (I i ), ω (I i ) = sp { (x) (y) : x, y I i } ω (I i ). 2.17. Tétel. H, g R[, b], kkor g R[, b]. Bizonyítás. Legyen ε > 0 rögzítve, és 2.14. Tétel lpján keresünk hozzá Φ F[, b] elosztást. Deiniáljk K := mx{sp, sp g }, [,b] [,b] és válssznk ε -hoz Φ 2K, Φ g F[, b] elosztásokt, melyekre Ω (Φ ) < ε 2K és Ω g(φ g ) < ε 2K. (H K = 0, z érdektelen eset.) Tekintsük ezen elosztások egyesítését: Ekkor 2.13. Állítás lpján Ω (Φ) < Φ := Φ Φ g. ε 2K és Ω g(φ) < ε 2K

10 SIKOLYA ESZTER is teljesül. Legyen I i Φ, ekkor háromszög-egyenlőtlenség lpján minden x, y I i esetén (x)g(x) (y)g(y) = (x)g(x) (x)g(y)+(x)g(y) (y)g(y) Ebből (x) g(x) g(y) + (x) (y) g(y) K ω g (I i )+ω (I i ) K = K (ω g (I i )+ω (I i )). ω g (I i ) = sp { (x)g(x) (y)g(y) : x, y I i } K (ω g (I i )+ω (I i )). Öszzegezve i = 1,..., n-re kpjk Ω g (Φ) = ω g (I i ) I i K (ω g (I i )+ω (I i )) I i = K Ω g (Φ)+K Ω (Φ) < K Mese: Az integrálhtóság Riemnn-éle eredeti deiníciój ε 2K +K ε 2K = ε. 2.18. Deiníció. H Φ = {I 1,..., I n } F[, b] egy elosztás, kkor deiniálj Φ inomságát Φ := mx { I i : i = 1,..., n}. 2.19. Deiníció. Legyen Φ F[, b], Φ = {I 1,..., I n } elosztás, és ξ = (ξ 1,..., ξ n ) R n tetszőleges, Φ elosztásr illeszkedő vektor, vgyis jelölésben: ξ Φ. Ekkor ξ i I i, i = 1,..., n, σ (Φ, ξ) := (ξ i ) I i számot z üggvény (Φ, ξ) párhoz trtozó Riemnn-összegének nevezzük. x 0 = ξ 1 x 1 x i 1 ξ i x i x n 1 ξ n b = x n 3. ábr. Felosztásr illeszkedő vektor 2.20. Megjegyzés. Tetszőleges Φ F[, b] és ξ Φ vektor esetén s (Φ) σ (Φ, ξ) S (Φ). 2.21. Tétel (Az integrálhtóság Riemnn-éle kritérim). Legyen : [, b] R korlátos. Ekkor z lábbi két állítás egymássl egyenértékű: (i) R[, b] és = A; (ii) Minden ε > 0 számhoz létezik olyn δ > 0, hogy minden Φ F[, b], Φ < δ elosztás, és minden ξ Φ esetén σ (Φ, ξ) A < ε. 2.22. Megjegyzés. A tétel z korlátosságánk eltétele nélkül is igz, vgyis bármelyik állításból következik z is, hogy korlátos [, b]-n.

INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 11 ξ 1 ξ 2 ξ n b 4. ábr. Egy Riemnn-összeg 2.2. A Riemnn-integrál ormális tljdonsági. 2.23. Állítás. R[, b] vektortér R elett szokásos üggvényműveletekre nézve. Bizonyítás. Legyen, g R[, b]. Megmttjk, hogy ekkor +g R[, b] és ( +g) = + g. (2.7) A bizonyításhoz 2.14. Tételben szereplő integrálhtósági kritérimot hsználjk. Legyen ε > 0 tetszőleges, rögzített. Ekkor ε/2-höz tlálhtók olyn Φ 1, Φ 2 F[, b] elosztások, melyekre Ω (Φ 1 ) < ε 2 és Ω g(φ 2 ) < ε 2. Véve Φ := Φ 1 Φ 2 elosztást, 2.13. Állítás mitt Ω (Φ) < ε 2 és Ω g(φ) < ε 2. Könnyen láthtók z lábbi egyenlőtlenségek: Ebből s (Φ)+s g (Φ) s +g (Φ) S +g (Φ) S (Φ)+S g (Φ). Ω +g (Φ) = S +g (Φ) s +g (Φ) S (Φ) s (Φ)+S g (Φ) s g (Φ) = Ω (Φ)+Ω g (Φ) < ε. A enti egyenlőtlenségből z is következik, hogy bármely Φ, Ψ F[, b] esetén s (Φ)+s g (Ψ) s (Φ Ψ)+s g (Φ Ψ) s +g (Φ Ψ) S +g (Φ Ψ) S (Φ Ψ)+S g (Φ Ψ) S (Φ)+S g (Ψ). Véve először Φ-ben, vgy Ψ-ben spremmot ill. inimmot, kpjk, hogy + g ( +g) ( +g) + g, miből (2.7) dódik.

12 SIKOLYA ESZTER Legyen most R[, b] és c R tetszőleges. Megmttjk, hogy ekkor c R[, b] és b c = c. (2.8) H c = 0, kkor c 0 R[, b]. H c 0, kkor válssznk ε -hoz Φ F[, b]-t, melyre c Ω (Φ) < ε c. Ekkor Ω c = c Ω (Φ) < ε. A (2.8) egyenlőség entihez hsonlón dódik. 2.24. Állítás. Legyen R[, b], α < β b. Ekkor [α,β] R[α, β]. Bizonyítás. A 2.14. Tétel szerint minden ε > 0-hoz vn olyn Φ F[, b], melyre Ω (Φ) < < ε. Véve ezen elosztás [α, β] intervllmb eső osztópontjit és z így kpott Ψ F[α, β] elosztást kpjk, hogy Ω [α,β] (Ψ) Ω (Φ) < ε. 2.25. Állítás (Intervllm szerinti dditivitás). Legyen : [, b] R üggvény, < c < b. Tegyük el, hogy [,c] R[, c] és [c,b] R[c, b]. Ekkor R[, b] és = c + Bizonyítás. Mivel korlátos [, c]-n és [c, b]-n, ezért korlátos [, b]-n is. Véve tetszőleges Φ 1 F[, c] és Φ 2 F[c, b] elosztásokt, z ezekhez trtozó részintervllmok rendszereinek egyesítéséből kpnk egy Φ F[, b] elosztást. Könnyen láthtó, hogy s [,c] (Φ 1 )+s [c,b] (Φ 2 ) = s (Φ) és S (Φ) = S [,c] (Φ 1 )+S [c,b] (Φ 2 ). Az összes Φ 1 F[, c] ill. Φ 2 F[c, b] elosztásr vett spremmr ill. inimmr kpjk, hogy c + c c. c + A eltétel szerint z egyenlőtlenségsorozt két vége megyegyezik, miből = = c + így 2.9. Deiníció lpján z állítást beláttk. c = c c + 2.26. Állítás (Integrnds szerinti monotonitás). Legyenek, g R[, b] üggvények, és tegyük el, hogy minden x [, b] esetén (x) g(x). Ekkor g. c,.

INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 13 Bizonyítás. Könnyen láthtó, hogy minden Φ F[, b] esetén miből = s (Φ) s g (Φ), g = 2.27. Következmény. Bármely R[, b] üggvényre ennáll:. Bizonyítás. Minden x [, b] esetén ( ) (x) = (x) (x) (x) = (x), miből z állítás 2.26. Állítás lpján következik. 2.28. Állítás (Integrál triviális becslése). Legyen R[, b]. Ekkor g. (in ) (b ) [,b] (sp ) (b ). [,b] Bizonyítás. A bizonyítás zonnl dódik 2.26. Állításnk z in konstns üggvény és ill. és sp konstns üggvényre vló lklmzásából. 2.29. Következmény. Legyen R[, b]. Ekkor ( ) sp (b ). [,b] Bizonyítás. Könnyen láthtó 2.27. Következmény és 2.28. Állítás lpján. Ezen becslések segítségével (olytonos üggvényekre) bizonyíthtó dierenciálszámításbn megismert középértéktétel nlógj Riemnn-integrálr. 2.30. Tétel (Integrálszámítás középértéktétele). Legyen C[, b]. Ekkor létezik olyn c [, b], melyre = (c) (b ). Bizonyítás. A 2.28. Állítás lpján és Weierstrss-tételből kpjk min [,b] = in [,b] b sp [,b] = mx. [,b]

14 SIKOLYA ESZTER A Bolzno-tétel mitt vn olyn c [, b], melyre mivel z állítást beláttk. 2.3. A Newton-Leibniz tétel. (c) = b, Az legtóbb bizonyított integrálási kritérim segítségével be tdjk látni Riemnnintegrálr vontkozó egyik legontosbb tételt. 2.31. Tétel (Newton-Leibniz tétel). H R[, b] és D [, b], vgyis -nek létezik primitív üggvénye, kkor minden F primitív üggvényére = F (b) F () = [F ] b = F b. Bizonyítás. Mivel két primitív üggvénye csk konstnsbn térhet el, jobb oldl üggetlen F válsztásától. Legyen Φ F[, b] tetszőleges. H Φ osztópontjink hlmz {x 0, x 1,..., x n }, kkor F [xi 1,x i ]-re lklmzv Lgrnge-középértéktételt létezik olyn ξ i (x i 1, x i ), melyre F (x i ) F (x i 1 ) = F (ξ i ) (x i x i 1 ) = (ξ i ) (x i x i 1 ). Nyilvánvlón s (Φ) (ξ i ) (x i x i 1 ) = (F (x i ) F (x i 1 )) = F (b) F () S (Φ). Mivel R[, b], ezért entiekből kpjk, hogy miből = F (b) F () = F (b) F (), =, és ezt krtk belátni. A Newton-Leibniz tétel eltételeit teljesítő üggvényekre bizonyíthtók primitív üggvényeknél megismert prciális és helyetettesítéses integrálás szbályi. 2.32. Tétel (Prciális integrálás Riemnn-integrálr). Legyen, g R[, b] és, g D [, b], (egy) primitív üggvényük legyen F ill. G. Ekkor G = [F G] b F g.

INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 15 Bizonyítás. Mivel F és G dierenciálhtók, így olytonosk, tehát Riemnn-integrálhtók is [, b]-n, ld. 2.15. Tétel. A 2.17. Tétel lpján pedig szorztok integrálji is léteznek. Mivel ezért 2.31. Newton-Leibniz tétel lpján (F G) = G+F g, ( G+F g) = [F G] b. Nemsokár látni ogjk 2.23. Állításbn, hogy ( G+F g) = G+ F g, mivel bizonyítás teljes. Jelölés. R[, b] esetén jelölje :=. b 2.33. Tétel (Helyettesítéses integrálás Riemnn-integrálr). Legyen I = [, b] intervllm, R[, b] és D [, b]. Legyen továbbá I = [α, β] intervllm, g : I I dierenciálhtó bijekció, melyre ( g) g R[α, β]. Ekkor = g 1 (b) g 1 () ( g) g. Bizonyítás. A eltételekből zonnl következik, hogy g vgy szigorún monoton növő vgy szigorún monoton ogyó, tehát g 1 () = α, g 1 (b) = β, vgy ordítv. Mivel (F g) = ( g) g, ezért 2.31. Newton-Leibniz tétel szerint { β ( g) g F (b) F (), = F (g(β)) F (g(α)) = F () F (b), α Másrészt, szintén Newton-Leibniz tétel lpján = F (b) F (). h g monoton novő; h g monoton ogyó. (2.9) H g monoton növő, tétel zonnl következik; h monoton ogyó, (2.9) egyenlőség mindkét oldlánk ellentettjét véve kész bizonyítás.

16 SIKOLYA ESZTER 2.4. Integrálüggvények. 2.34. Deiníció. Az R[, b] üggvény integrálüggvényei z [, b] intervllmon értelmezett [, b] x c+ üggvények, hol c R tetszőleges. (A 2.24. Állítás lpján [,x] R[, x]). 2.35. Tétel. Bármely R[, b] bármely integrálüggvénye Lipschitz-tljdonságú, így olytonos (sőt, egyenletesen olytonos) [, b]-n. x Bizonyítás. Legyen F (x) := c+ és x, y [, b]. Ekkor 2.25. Állítás lpján F (x) F (y) = x x y = y x. Felhsználv 2.29. Következményben szereplő becslést kpjk, hogy ( ) F (x) F (y) sp [,b] miből L := sp [,b] válsztássl tétel következik. x y, 2.36. Tétel. H R[, b] és D [, b], vgyis kielégíti Newton-Leibniz-tétel eltételeit, kkor primitív üggvényeinek hlmz megegyezik integrálüggvényeinek hlmzávl. Ez zt is jelenti, hogy ekkor integrálüggvényei dierenciálhtók, és deriváltjk éppen. Bizonyítás. Legyen F egy primitív üggvénye, vgyis F =. Ekkor 2.31. Newton- Leibniz tétel szerint bármely x [, b] esetén x = F (x) F (), tehát F egy integrálüggvény c := F () válsztássl. Fordítv, legyen x F (x) := c+. Rögzítsük egy F 0 primitív üggvényét ez eltétel lpján létezik. A 2.31. Newton- Leibniz tétel lpján F (x) c = x = F 0 (x) F 0 (), miből F (x) = F 0 (x)+d, d = c F 0 (), tehát F is primitív üggvénye -nek. Annk idején z 1.9. Tételt, vgyis hogy minden olytonos üggvénynek vn primitív üggvénye, bizonyítás nélkül mondtk ki. Most elérkeztünk od, hogy ezt tételt igzoljk. Mivel egy olytonos üggvény Riemnn-integrálhtó is, most belátott tétel lpján primitív üggvénye csk integrálüggvénye lehet, és innen bizonyítás könnyen dódik.

INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 17 2.37. Tétel. H R[, b] és olytonos z [, b] helyen, kkor bármely F integrálüggvénye dierenciálhtó -bn, és deriváltj F () = (). Bizonyítás. Legyen x F (x) = c+, x [, b]. Megmttjk, hogy minden ε > 0-hoz létezik olyn δ > 0, hogy h x [, b], x < δ, x, kkor F (x) F () () x < ε. Ebből már következik, hogy F (x) F () lim = F () = (). x x Mivel olytonos -bn, ezért ε-hoz létezik olyn δ > 0, hogy h x [, b], x < δ, kkor (x) () < ε. Megmttjk, hogy ez δ jó lesz. Legyen x [, b], x < δ rögzítve, és tegyük el, hogy x. A F üggvény deiníciój és 2.25. Állítás szerint F (x) F () x () = 1 x x (t) dt 1 x x () dt = 1 x A 2.29. Következményből kpjk, hogy F (x) F () () x sp { (t) () : t [, x]} ε. Az x eset hsonlón bizonyíthtó. x ((t) ()) dt 2.38. Következmény. H C[, b], kkor -nek vn primitív üggvénye [, b]-n (éspedig bármely integrálüggvénye z). 2.39. Alklmzás. Riemnn-integrálás lklmzásávl igzolhtó z ún. Wllis-orml : [ ] 2 2 4 2n π = lim 1 n 1 3 (2n 1) n Bizonyítás. Lczkovich-T. Sós: Anlízis II. 13.11. és 13.12. Tételek. A kövekező tételek pontos bizonyítás megtlálhtó Lczkovich-T. Sós: Anlízis II. 14. ejezetében, de vizsgár csk kimondni kell tdni őket, bizonyítást nem kérem. 2.40. Tétel. H 0 és R[, b], kkor z síkidom területe T (A ) = A := {(x, y) : x [, b],0 x (x)}. 2.41. Deiníció. Az A R 2 hlmzt normáltrtománynk nevezzük, h hol, g R[, b] és g z [, b]-n. A = {(x, y) : x [, b], (x) y g(x)},

18 SIKOLYA ESZTER 2.42. Tétel. Az előbbiekben deiniált normáltrtomány területe T (A) = 2.43. Tétel. H 0 és R[, b], kkor z (g ). Γ() := {(x, (x)) : x [, b]} grikonjánk z x tengely körüli megorgtásávl kpott A orgástest térogt V (A) = π 2.44. Tétel. H :[, b] R olytonosn dierenciálhtó, kkor z grikonjánk ívhossz Γ() = 2. 1+( ) 2. 3. Impropris integrál Ki szeretnénk terjeszteni Riemnn-integrál oglmát nyílt, élig nyílt és nem korlátos intervllmokr. 3.1. Deiníció. Legyen I nemeljló intervllm, : I R üggvény. Azt mondjk, hogy lokálisn integrálhtó I-n, h [,b] R[, b] minden [, b] I esetén. Jelölés: R loc (I). 3.2. Megjegyzés. Könnyen láthtó, hogy h I = [, b], kkor R loc [, b] = R[, b]. 3.3. Deiníció. H R loc (I),kkor integrálüggvényei z I-n értelmezett lkú üggvények, hol c R, I. I x c+ 3.4. Deiníció. Legyen I nemeljló intervllm, : I R üggvény. Azt mondjk, hogy improprisn integrálhtó I-n, h R loc (I) és -nek létezik olyn F integrálüggvénye I-n, melyre lim F R és lim F R. in I+0 sp I 0 Ekkor impropris integrálj I-n: I := sp I in I = x lim F lim F. sp I 0 in I+0 3.5. Megjegyzés. H enti eltételek mellett lim in I+0 F és lim sp I 0 F htárértékek léteznek, de egyikük végtelen, másik véges; vgy ellenkező előjelű végtelenek, kkor szokás zt mondni, hogy impropris integrálj (+ vgy ) végtelen.

3.6. Péld. I. I := [0, + ), : I R, (x) = e x II. I := [1, + ), : I R, (x) = 1 x α III. I := (0,1], : I R, (x) = 1 x α INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 19 3.7. Megjegyzés. H R[, b], kkor 2.35. Tétel szerint F integrálüggvénye olytonos z és b végpontokbn, ezért htárértékei is léteznek, és megegyeznek helyettesítési értékkel. 3.8. Lemm (Függvény htárértékére vontkozó Cchy-kritérim). Legyen F értelmezve z I \ {x 0 } hlmzon, hol I intervllm, x 0 I (vgy x 0 = + vgy x 0 = ). Ekkor F -nek pontosn kkor vn véges htárértéke z x 0 helyen, h következő eltétel teljesül: minden ε > 0 számhoz létezik δ > 0 úgy, hogy h x x 0 < δ és y x 0 < δ, x, y x 0 (ill. x, y > δ, x 0 = + esetén; x, y < δ, x 0 = esetén), kkor F (x) F (y) < ε. Bizonyítás. Következik üggvény-htárértékre vontkozó átviteli elvből. 3.9. Tétel (Cchy-éle szükséges és elégséges eltétel impropris integrálhtóságr). Legyen I nemeljló intervllm, R loc (I). Ekkor pontosn kkor improprisn integrálhtó I-n, h minden ε > 0 esetén léteznek olyn, b I, in I < b < sp I számok, hogy h in I < < v <, kkor < ε, és h b < < v < sp I, kkor < ε. Bizonyítás. Következik bból, hogy h F integrálüggvénye -nek I-n, kkor = F (v) F (). Alklmzzk z előbbi tételt F -re. 3.10. Péld. Prciális integrálássl kpjk: : [1, + ) R, (x) = sin x x sin t t [ cos t dt = t ] v cos t t 2 dt.

20 SIKOLYA ESZTER Ebből h 2 ε < < v. sin t t dt = cos v v + cos cos t t 2 dt cos v v + cos + cos t t 2 dt 1 v + 1 v + 1 v + 1 [ + 1 ] v = 2 t < ε, 1 t 2 dt 3.11. Tétel (Összehsonlító kritérim). Legyen R loc (I). Tegyük el, hogy léteznek α, β I, in I < α β < sp I számok és g 1 : I (, α] [0, + ), g 2 : I [β, + ] [0, + ) üggvények, melyek impropris integrálhtók, és mjorálják -et, vgyis x D(g 1 ) : (x) g 1 (x) és x D(g 2 ) : (x) g 2 (x). Ekkor impropris értelemben integrálhtó I-n. Bizonyítás. A enti 3.9. Tétel szerint léteznek, b R, in I < < α és β < b < sp I számok, hogy h in I < < v <, kkor g 1 = g 1 < ε, és h b < < v < sp I, kkor g 2 = g 2 < ε. Ebből 2.26. Állítás és 2.27. Következmény lpján in I < < v < esetén g 1 < ε, és b < < v < sp I esetén Így z állítás 3.9. Tételből következik -re. 3.12. Péld. g 2 < ε. : (, + ) R, (x) := e x2 x (, 1] : e x2 e x, x [1, + ) : e x2 e x 3.13. Következmény. H R loc (I) és impropris értelemben integrálhtó I-n, kkor is impropris értelemben integrálhtó I-n.

INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 21 Bizonyítás. Alklmzzk enti 3.11. Tételt tetszőleges α, β I, in I < α β < sp I számokr és g 1 := I (,α] és g 2 := I [β,+ ] üggvényekre. 3.14. Alklmzás. Impropris integrál lklmzásávl igzolhtó z ún. Stirling-orml : n! n n e n 2πn. Bizonyítás. Lczkovich-T. Sós: Anlízis II. 16.20 és 16.23. tételek.