J 03 0 KÍSÉRLETI MODÁLIS ELEMZÉS ÉAÜLT EMA J 03 0 JEGYZET D. Pápa Feenc 01. 3 MODELLKÉPZÉS 3. MODÁLIS PARAMÉTEREK BECSLÉSE FREKVENCIATARTOMÁNYBAN BME ÉAGT 1. KÍSÉRLETI VIZSGÁLATOK KÖRÜLMÉNYEI... 4 1.1 HARDVER ÉS SZOFTVER ESZKÖZÖK... 4 1. BEFOGOTT RÚD MODÁLIS ELEMZÉSE... 5 1.3 BEFOGOTT RÚD EMA VIZSGÁLATA KLASSZIKUS SISO FRF MÉRÉSI ÖSSZEÁLLÍTÁSA... 6. REZONANCIAHELYEK DETEKTÁLÁSA MÓDUSINDIKÁTOR FÜGGVÉNYEK... 8.1 MÓDUSINDIKÁTOR FÜGGVÉNYEK OSZTÁLYOZÁSA... 10. VÍZESÉS DIAGRAM... 10.3 ÖSSZEGZETT (ÁTLAGOLT) TELJESÍTMÉNYSPEKTRUM... 11.4 NORMÁLT TELJESÍTMÉNYSPEKTRUMOK ÁTLAGOLÁSA... 11.5 NORMÁL MÓDUS INDIKÁTOR FÜGGVÉNY... 11.6 MULTIVARIATE MÓDUS INDIKÁTOR FÜGGVÉNY... 1.7 KOMPLEX MÓDUS INDIKÁTOR FÜGGVÉNY... 13.7.1 CMIF koplex ódusndkáto alkalazása... 14 3. LOKÁLIS SDOF PARAMÉTERBECSLÉSI MÓDSZEREK... 15 3.1 SDOF GRAFIKUS MÓDSZEREK... 16 3. SDOF NUMERIKUS MÓDSZEREK... 18 4. LOKÁLIS MDOF PARAMÉTERBECSLÉSEK... 0 4.1 MDOF GRAFIKUS MÓDSZEREK... 0 4. MDOF NUMERIKUS MÓDSZEREK... 4..1 Lneás koplex göbellesztés FRF és RCNP függvéneken... 5 4.. Nelneás koplex göbellesztés FRF függvéneken... 7 5. RCNP MÓDUSINDIKÁTOR FÜGGVÉNY... 8 5.1 RCNP DIAGRAMM AGGREGÁTOR TÍPUSÚ MÓDUSINDIKÁTORKÉNT VALÓ ALKALMAZÁSA... 31 5. DIFFERENCIAFORMULÁK ALKALMAZÁSA AGGREGÁLT RCNP FÜGGVÉNYEN... 3 5.3 KOMPLEX LINEÁRIS GÖRBEILLESZTÉS RCNP DIAGRAMON... 34 5.4 KOMPLEX NEMLINEÁRIS GÖRBEILLESZTÉS RCNP DIAGRAMON... 34 Lásd ég RADES II. könv 194. oldal 10.3. feezet. A odáls paaéteek ( Λ, X, Y eleenek) becslésée az utóbb 30 évben száos ódsze keült kfelesztése. A ódszeek sokféleségének oka egészt a kísélet éés technkák különbözősége, a elfelvétel lehetősége, a fekvenca-átvtel átx és annak dőtatoánbel változatának az pulzus válasz átxának különböző analtkus alaka. A geesztés ódsze lehet pulzusgeesztés, sznuszos geesztés, ando, egségugás függvén. Bzonos esetekben a geesztés lefutása vag egáltalán ne éhető, vag éhető, de ne befolásolható. A ééseket végző laboatóu felszeeltségétől függően alkalaznak egpontos, és többpontos geesztés technkákat. Szntén labofelszeeltségtől függően válaszéések töténhetnek egdeűleg eg, vag több pontban. A paaétebecslés töténhet a elek fekvencatatoánbel, vag dőtatoánbel alaka alapán. A paaétebecslés ódszeek osztálozását több szező Alleang [Alleang_3], Allen [Allen_1], Bown et a.l [Bown_], Sas et al. [Sas_1], Lee et al. [Lee_1], Maa et al. [Maa_1], D:\papa\odal\egzetek\ EMA J 03 0 Modáls paaéteek becslése fekvencatatoánban.doc
Rchadson [Rchadson_5] több szepont szent s elvégezte; ezek a szepontok a következők lehetnek: SDOF / MDOF: Eg-szabadságfokú, vag több-szabadságfokú paaétebecslés. Elkülönült ódusoknál az egszabadságfokú endszeeknél alkalazott paaétebecslés ódszeek használhatók, átlapolt ódusoknál a ódusok ntefeencáa att egdeűleg az összes ódus becslését szultán el kell végezn. Általában elkülönültnek nevezk a ódusokat, ha azok szélességű ntevallua ne fedk át egást Cag - Bla [Cag_1]. 1 esetée a ( 1 ) (1 ) 1 1 (3.-1) elácó événessége az # és #( 1) ódus elkülönültségét elz. A ne elkülönült ódusokat ntefeáló (vag átlapolt) ódusoknak s szokásos nevezn. Eg kválasztott lokácóhoz tatozó FRF függvénen az événesülő ódusok száának eghatáozása legtöbbszö az apltúdó-fekvenca daga szeevételezésével töténk. Jól elkülönült ódusok esetén a saátfekvencák könezetében lokáls apltúdóaxu ("keelés") található. Azonban kapcsolt (közel, átlapolt) saátfekvencáknál ne ndg található egételű apltúdó-csúcs a ezonancafekvencán. A 3.-1 ábán utatuk be ezt a hatást Bélveau [Bélveau_1] alapán. a.) b.) 3.-1. ába Módusok ntefeencáa [Bélveau_1] Az 3.-1. ába a.) észén látható, hog a csllapítás növekedése, ll. a két szoszédos ezonancafekvenca közelsége hogan ódosíta a Nqust dagaot. A 3.-1. ába b.) észén vastag vonallal azoltuk eg azt a hatáhelzetet, ako a Nqust dagaon a két ódust ne választa el zát huok. Intefeáló ódusoknál a fél-telesíténhez tatozó fekvencasávok á átfedk egást, a saátfekvencát ne elz H ( ) lokáls apltúdó-csúcsa. A H ( ) függvén H( ) helettesítés étékét a saátköfekvenca helen eősen ódosíta a szoszédos ódus, a ezonancákat elválasztó huok k se alakul a Nqust síkon való ábázolásban. Lokáls / globáls becslés (SO/MO): Lokáls becslés ódszeek eg kválasztott k, l lokácóban Hˆ ( ), vag h ˆ ( t) alapán végzk a becslést, a globáls ódszeek egdeűleg több függvénen H ˆ ( ), vag h ˆ( t ). SI / MI Egpontos/ultefeencás becslés: Egpontos nput ódszeek a paaétebecslésbe a H ˆ ( ) fekvencaátvtel átxnak, vag a h ˆ( t ) pulzus válasz átxnak csak eg EMA J 03 0 Modáls paaéteek becslése fekvencatatoánban
oszlopát veszk fgelebe, a lokácók ndexpáában l ögzített, a k pedg futóndex, (egszeű szavakkal kfeezve: a geesztés hele és ána ögzített, a válaszéés lokácóa pedg éésenként változó). Multefeencás becslés ódszeeknél a geesztés lokácó l ndexe s változó. A ultefeencás becslés ne tévesztendő össze a többpontos geesztéssel. A ultefeencás paaétebecsléssel többszöös ultplctású saátétékek s eghatáozhatók. Különbséget kell tenn a éések SISO/MIMO és a paaétebecslések SISO/MIMO vonatkozása között. Modáls-odel / dekt-odell: Modáls odell képző ódszeek (ndekt ódszeek) a Λ, X, Y odálátxok eghatáozását végzk, íg a dekt odell eghatáozó ódszeek közvetlenül az M, C,K, ( G, R) egütthatóátxok becslését hatáozzák eg. Idő- / fekvencatatoán: Időtatoánbel ódszeek a geesztés és válaszelek dőtatoánbel lefutását elezk, a fekvencatatoánbel ódszeek a geesztés és válaszelek spektuát. 3 Saátétékek / Módusok: A ódsze a Λ saátéték paaéteeket, vag pedg az lengéskép adatokat s eghatáozza. X, Y Valós / koplex ódusok: Klasszkus noál ódusok esetén saátvektook valósak. Aennben a csllapítás átx ne elégít k a (-34) CM 1 K KM 1 C feltételt, vags az M 1 C és a M 1 K átxok ne felcseélhetők, a saátvektook elee koplexek. Fent csopotosítás szepontok alapán az set ódszeeket a 3.-1 táblázatban foglaluk össze. 3.-1 táblázat Becslés ódszeek áttekntő táblázata PP SDOF / MDOF SDOF MDOS Lokáls/ Globáls SI/ MI Modal/ Dekt Idő/ Fekv. Λ / X, Y LokGlob SIMI Fekv N Valós/ Koplex FRF apltúdócsúcs SDOF Lokáls SI Modal Fekv. Λ FRF Nqust SDOF Lokáls SI Modal Fekv. X, Y V / K Köllesztés SDOF Lokáls SI Modal Fekv. Λ, X, Y V / K ITD MDOF Globáls MI Modal Idő Λ, X, Y Koplex MRITD MDOF Globáls MI Modal Idő Λ, X, Y Koplex PTD MDOF Globáls MI Modal Idő Λ, X, Y CEA MDOF Lokáls MI Modal Idő Λ LSCE MDOF Globáls MI Modal Idő Λ ERA MDOF Globáls MI Dekt Idő Λ, X, Y Koplex TDPI MDOF Globáls MI Dekt Idő Λ, X, Y Koplex LSFD MDOF Globáls MI Modal Fekv. Λ, X, Y V / K ISSPA MDOF Globáls MI Dekt Fekv. Λ, X, Y Valós OP MDOF Globáls MI Modal Fekv. Λ, X, Y V / K RFP MDOF Globáls MI Modal Fekv Λ, X, Y V / K FDPI MDOF Globáls MI Dekt Fekv Λ, X, Y V / K SFD MDOF Globáls SI Modal Fekv Λ, X, Y V / K PFD MDOF Globáls MI Modal Fekv Λ, X, Y V / K MRFD MDOF Globáls MI Modal Fekv Λ, X, Y V / K CMIF MDOF Globáls MI Modal Fekv Λ, X, Y V / K EMA J 03 0 Modáls paaéteek becslése fekvencatatoánban
4 A táblázat övdítése az EMA nezetköz szakodalában elteedt elöléseket tatalazzák: PP (Peak Pckng) Rezonancahelek detektálása ITD (Ibah Te Doan) Ibah dőtatoánbel ódsze [Ibah_1], [Fukuzono_1]. MRITD (Multple Refeence Ibah Te Doan) [Fukuzono_1]. PTD (Polefeence Te Doan) [Vold_], [Vold_3], [Doeblng_]. CEA (Coplex Exponental Algoth) [Alleang_] [Bown_1], [Doeblng_]. LSCE (Least Squae Coplex Exponental) Legksebb-négzetes koplex exponencáls göbellesztés [Alleang_], [Bown_1]. ERA (Egensste Realsaton Algoth) Saátendsze ealzácós algotus [Juang_1], [Longan_1], [Doeblng_]. TDPI (Te Doan Dect Paaete Identfcaton) Időtatoánbel dekt paaétedentfkácó [Leudan_1]. LSFD (Least Squaes Fequenc Doan) Nelneás legksebb négzetes fekvencatatoánbel paaéte azonosítás [Bustua_1], [Megea_1], [Doeblng_]. ISSPA (Identfcaton of Stuctual Sste Paaetes) Szekezet paaéteek dentfkácóa [Lnk_1]. OP Othogonal Polnoal [Rchadson_1], [Shh_1], [Vold_1], [Van de Auweae_], [MTSdeas_1] RFP Ratonal Facton Polnoal [Van de Auweae_4], [Doeblng_], [Puacats_1]. FDPI (Fequenc Doan Dect Paaete Identfcaton) [Lebegts_], [Coppolno_1], [MTSdeas_1]. SFD (Sultaneous Fequenc Doan) [Coppolno_1]. PFD Polefeence Fequenc Doan [Ebesbach_1], [Lebegts_3], [Leonad_1], [Leudan_1], [Natke_3], [Zhang_1]. MRFD (Mult-Refeence Fequenc Doan) [Cag_]. CMIF (Coplex Mode Indcato Functon) [Shh_1],[Shh_], [Fladung_1]. A fent összefoglaló táblázatból látható, hog napanka az ún. globáls technkák keültek előtébe. Ennek oka egészt a obb űszeezettség (sokcsatonás elfelvétel) lehetőségek, ásészt a nagobb adatfeldolgozás kapactás. A továbbakban övden áttekntük az setebb ódszeeket. 1. KÍSÉRLETI VIZSGÁLATOK KÖRÜLMÉNYEI 1.1 Hadve és szoftve eszközök A kfelesztett ódszeek ellenőzésée és alkalazás lehetőségenek behatáolásáa a következő kísélet vzsgálatokat végeztük el. Befogott úd kísélet vzsgálata o Klasszkus EMA SISO FRF pulzusgeesztéses ódsze. o Output-onl ódsze. o OMA ódsze Híddau kísélet vzsgálata o Tested Output-onl ódsze, kétcsatonás éések. o Tested Output-onl ódsze, többcsatonás éések. o OMA ódsze. EMA J 03 0 Modáls paaéteek becslése fekvencatatoánban
A befogott úd kísélet vzsgálatanak céla egészt a asszkus EMA ódszeek alkalazásának beutatása, ásészt azt ú kfelesztett EMA ódszeek kísélet gazolása, haadszo, pedg az Output-Onl ódszeeknél alkalazható geesztés ódok és adatfeldolgozás ódszeek tesztelése. A híddau kísélet vzsgálatánál a kfelesztett Output-Onl ódszeek pa köülének között való alkalazhatóságát vzsgáltuk. 5 1. Befogott úd odáls elezése A kísélet vzsgálatok első szakaszában a 3.-. ábán látható befogott údon végeztünk ééseket. Szabadvég z Befogás 3.-. ába Befogott úd A vzsgált úd egk végén befogott, ásk végén szabad pzatkus úd, elnek alapadata a 3.-3. ábán láthatók. e = 10,1 e f f = 97 L L = 1300 E =,06*10 11 N/ = 7,8*10 3 kg/ 3 z x 3.-3. ába Befogott úd alapadata A vzsgált úd a BME ÉAÜLT Tanszék EMA kísélet és deonstácós oktatás eszköze, a ata végzett beutató kíséleteken keesztül D. Rácz Konéla vezetésével a Műszak Dagnosztka tágban [Rácz_1] évente nteg 10-15 hallgató, D. Kulcsá Béla pofesszo által oktatott Robotok és vzsgálatuk tág [Kulcsá_3] gakolatan pedg, 8-10 hallgató sekedk az EMA alapaval. A beutató éésekhez D. Psták Andás és D. Vonhause Olvé [Psták_1] EMA J 03 0 Modáls paaéteek becslése fekvencatatoánban
6 által készített oktatás segédlet tatalazza a befogott úd x-z síkbel halító-lengésenek f 0 00 Hz tatoánba eső száított saátfekvencát és lengésalakat. A száítások észletezése az F8 függelékben egtalálható. A kontnuu odell saátfekvencát a 3.-. táblázat tatalazza. A vzsgált fekvencatatoánba 4 halító saátfekvenca esk. 3.-. táblázat Befogott úd saátfekvencá és lengésképenk csoóponta f [Hz] Csoópontok hele [ (1)] 1 4,96 0 31,09 0 1,018 (0,783) 3 87,06 0 0,655 (0,504) 4 170,61 0 0,465 (0,358) 0,87 (0,644) 1,18 (0,868) 1,178 (0,906) Az eges ódusokhoz tatozó száított lengésképek az alább 3.-4. ábán láthatók. 0.8 0.6 x 0.4 0. 0 0. 0.4 0 0. 0.4 0.6 0.8 1 1. z 3.-4. ába Befogott úd x-z síkbel halító lengésalaka [Psták_1] 1.3 Befogott úd EMA vzsgálata asszkus SISO FRF éés összeállítása Az alkalazott űsze-összeállítás blokkvázlata a 3.-5. ábán látható. A konzolosan befogott úd geesztését eg B&K pulzuskalapács szolgáltata. A kalapácsfeben eg pezoelektoos eőéőéő-cella van elhelezve, elnek segítségével lehet ézékeln a geesztő eőt. A szekezet válaszfüggvénét eg állandó ágnessel ögzített pezoelektoos gosulásézékelővel étük. EMA J 03 0 Modáls paaéteek becslése fekvencatatoánban
7 1,,3 B&K 635 Töltéseősítő B&K 635 Töltéseősítő CH CH1 B&K 034 csatonás FFT analzáto 16,17,18 GPIB / USB 31,3,33 3.-5. ába Klasszkus EMA SISO FRF éés összeállítás A két dőelet eg eg B&K 635-ös töltéseősítőn keesztül a B&K 034 típusú kétcsatonás fekvenca analzátoba vezetük. Az analzáto feladata a ét dőelek alapán a fekvencaátvtel függvén száítása és egelenítése. A elfelvétel enete: o Az nput csatonákon ékezett elek ntavételezése és A/D átalakítása. o Mntavételezett elek Foue tanszfoálása (Fekvencaspektu előállítása) o Az átlagolt autokoelácós és keesztkoelácós spektuok alapán a (3.1-4) összefüggés szent a H1( ) FRF függvén képzése. o Az átlagolt FRF függvén kolvasása az analzátoból, ad leezes álloánban való táolása. (Teedel okokból a B&K analzáto és a PC kounkácóának egoldását ne észletezzük) o Leezes álloán potálása WINMOD adatbázsba A 3.-6. ábán látható a 33 kelölt éés pont elhelezése a úd hossza entén. 3.-6. ába Befogott úd kísélet vzsgálat éés ponta (dótvázodell) A geesztés és a válaszel éés vízszntes (x) ánokban tötént. A éés lokácók átxa a 3.-3. és 3.-4. táblázatokban található. EMA J 03 0 Modáls paaéteek becslése fekvencatatoánban
Válasz hel,. 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 3 4 5 6 7 8 9 30 31 3 33 Válasz hele ána 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 3 4 5 6 7 8 9 30 31 3 33 8 3.-3 táblázat Befogott úd X ánú geesztés lokácó (006_) Geesztés ána: X Geesztés pont soszáa 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 3 x x 4 x x 5 x x 6 x x 7 x x 8 x x.... 9 x x 30 x x 31 x x 3 x x 33 x x 3.-4 táblázat Befogott úd Y ánú geesztés lokácó (006_) Geesztés ána:y Geesztés pont soszáa 1 10 11 Mét lokácók összes száa 153. Mnden eges lokácóban 7 FRF éést végeztünk, az FRF adatbázsban ezek átlagát táoluk. A kétékelés hatáfekvencáa f ax 00Hz.. REZONANCIAHELYEK DETEKTÁLÁSA MÓDUSINDIKÁTOR FÜGGVÉNYEK A ezonancahelek (saátfekvencák) detektálása (PP) a vzsgált fekvencatatoánban événesülő ódusok száának a eghatáozását elent, továbbá ezen túlenően eg duva kezdet becslést a saátfekvenca étékeke. A 3.-1. táblázatban felsoolt paaétebecslés ll. odellképzés technka ndegkének fontos pobléáa a vzsgált fekvencatatoánban événesülő ódusok száának a eghatáozása. Ez polnoos közelítéseknél a polno fokszáának a egadását, globáls szngulás éték (SVD) szent felbontáson alapuló ódszeeknél a egtatott szngulás étékek száának a egadását, észlettötekkel (3.-1) való közelítésnél, pedg a észlettötek száának a egadását elent. Íg a odell képzés enetének legalább eg fázsában nden esetben nteaktív opeáto beavatkozása van szükség, aelet célszeű függvéngafkus ábázolással táogatn. Tekntsük a asszkus SISO FRF éés ódszet. Ennél a ódszenél egpontos geesztéssel egpontos válaszéésekkel különböző lokácókban (geesztés hele, ána; válaszéés hele ána) FRF ééseket végzünk, tehát az FRF átxnak eg MIMO dataset-e áll endelkezése. EMA J 03 0 Modáls paaéteek becslése fekvencatatoánban
9 H 13 H 3 H 31 H 3 H 33 H 33 3.-7. ába FRF Méés lokácók elhelezés változata [Avtable_1] a. Válaszéés pont eg adott lokácóban, geesztés lokácó változk b. Válaszéés pont lokácó változk, geesztés eg adott lokácóban A 3.-7. ábán látható lokácó elhelezés egoldások a elű változatánál a H( ) fekvencaátvtel átx eg soát éük, íg a b elű változatánál annak eg oszlopát. A agaázó ábán egfgelhető az s hog a -es soszáú szekezet ponthoz tatozó éések FRF függvéneben csak két lokáls apltúdó-axu található, íg az 1-es és 3-as éés pontokhoz tatozó lokácókban háo apltúdó-axu van. Ennek oka, hog a -es soszáú pont a szekezet egk ódusának csoóponta. Valael ódus detektálhatósága az FRF függvénben lokácótól függő. Rchadson [Rchadson_1] előszö göbellesztést végez az eged FRF függvéneken, ad a göbellesztések eedéneként kapott saátétékek paaéteet endez és átlagola. Ezt a, k, l ódszet ne tatuk paktkusnak, et dőgénes, a endezés átteknthetetlen. Legegszeűbb egoldásként úg áhatnánk el, hog nden eges FRF függvénen elvégezzük a koplex göbellesztést, de csak az első néhán legkeelkedőbb ódust vesszük nlvántatásba. Ezekből táblázatot készíthetnénk lásd Rchadson [Rchadson_1] - például íg: 3.-5. táblázat Rchadson ódus-endezés ódszee Lokácó Módusok ExPo ExD RePo ReD f f 1 1 1 X 1 X 15 Y 3 Z fn n A lokáls göbellesztések donáns ódusanak táblázata alapán átlagképzéssel lennének eghatáozhatók a globáls saátéték becslések. A táblázat átteknthetőnek látszk, azonban összeállítása endkívül fáadságos. 1. A saátfekvencák ne pontosan az apltúdó-axuon vannak, ezét eősen ntefeáló ódusoknál a ódus detektálása nehéz.. A nag száú éés att anuálsan nehézkes, hosszadalas az összeendezés, (vags annak egoldása, hog eg talált ódust elk oszlopba s helezzünk el). Esetleg nuekus endező ódsze bevezethető, de nagon közel ódusoknál ne gaantált, hog skee vezetne. EMA J 03 0 Modáls paaéteek becslése fekvencatatoánban
10.1 Módusndkáto függvének osztálozása Ez olan ódus-ndkáto (aggegáto) függvén alkalazását tesz szükségessé, aelben az összes ódus detektálható, felsehető. Módus-ndkáto függvénként az alább egoldások setek, ezek ndegke fekvencatatoánbel függvén: 1. Vízesés daga. Összegzett (átlagolt) telesíténspektu. 3. Noált telesíténspektuok átlagolása 4. Noál ódus ndkáto függvén 5. RCNP daga 6. Multvaate ódus ndkáto függvén 7. Koplex ódus ndkáto függvén A kísélet odáls elezés gakolat ódszeének fontos lépése a szekezet - a vzsgált fekvenca tatoánban événesülő - ódusa száának eghatáozása. A ódusndkáto függvének száítás ódszeük alapán az alább 3.-8. ábán láthatóan háo osztálba soolhatók. Módus ndkáto függvének Lokáls Aggegáto típusú Tétatoán típusú FRF Abszolút étéke. Teesíténspektu. NPevel Vízesés daga Összegzett telesíténspektu. Noált telesíténspektuok átlagolása Noál ódus ndkáto függvén RCNP daga 3.-8. ába Módusndkáto függvének osztálozása Multvaate MIF Koplex MIF Lokáls ódusndkáto függvének csopotába a hagoános függvének tatoznak, elek segítségével a ódusdetektálást egetlen lokácó ét Hˆ ( ) FRF függvénének dagaa alapán végzk Aggegáto típusú ódusndkáto függvének, elek a ét FRF függvének valalen összefüggés szent összegét/átlagát képezk, elnek eedéne egetlen spektu. Az összegzőképletek ne tatalaznak lokácóa vonatkozó nfoácókat globáls endszeellezőknek teknthetők. Tétatoán típusú ódusndkáto függvének a ét FRF függvének lokácóa (általánosított koodnáták teée) vonatkozó nfoácókat egtaták, az általánosított koodnáták teében keesnek saátfekvencáa vonatkozó szélsőétéket. A fent felsoolás első öt ódszee aggegáto típusú függvénnek teknthető, et a különböző lokácókban ét FRF függvének lokácóa ellező adata a függvén képzéseko ne keülnek felhasználása. Az utóbb két ndkátofüggvén száítás ódánál a lokácó egőződk, ezek tétatoánbel ódszeeknek nevezhetők.. Vízesés daga Az összes ét FRF függvén apltúdó-fekvenca függvénének ábázolása eg közös dagaon. EMA J 03 0 Modáls paaéteek becslése fekvencatatoánban
0,00 7,50 15,50 3,75 31,75 39,75 48,00 56,00 64,5 7,5 80,50 88,50 96,50 104,80 11,80 11,00 19,00 137,00 145,30 153,30 161,50 169,50 177,50 185,80 193,80 11 006_benchak4 All FRFs Mode #3 1E-01 1E-0 1E-03 1E-04 3.-9. ába Vízesés daga (47 FRF függvén) WINMOD A 3.-9 ábán 47 ét FRF függvén apltúdó-spektuának vízesésdagaát utatuk be. A dagaseegen 6 saátfekvenca detektálható. A akánsan keelkedő apltúdó-axuok ellenée a vízesésdaga csupán a saátfekvencák detektálásáa és a fekvencafelbontásból adódóan f hbával az f becslésée alkalas, göbellesztése ne..3 Összegzett (átlagolt) telesíténspektu A teles szekezeten événesülő összes ódus detektálásáa az összes elvégzett éés FRF függvénének telesíténspektuát képezzük, ad ezeket összeaduk (/átlagoluk). A telesíténspektuok ne tatalaznak fázsnfoácót, ezét a ódusok különböző lokácókban egelenő ellenfázsú apltúdó eg összegzett telesíténspektuban ne olták k egást, a detektálása alkalas. NO NI N O N I * H k, l ( ) H k, l ( ) H k, l ( ) k1 l1 k1 l1 SUMPOWER ( ) : (3.-).4 Noált telesíténspektuok átlagolása A telesíténspektuokat az összegképzés előtt 1-e noálák (Ren [Ren_1])..5 Noál ódus ndkáto függvén (NMIF, Noal Mode Indcato Functon) EMA J 03 0 Modáls paaéteek becslése fekvencatatoánban
1 NMIF( N N O I Re H ( ) H ( ) k 1 l1 ) : (3.-3) NO N I H ( ) k 1 l1 A noál ódus ndkáto függvén két összeg hánadosa. A száláló a valós észek abszolút étékének és az apltúdók szozatának összege, a nevező, pedg az apltúdók négzetének összege. Elkülönült ódusok detektálásáa alkalas. Elkülönült noál ódusoknak azt a tuladonságát használa k, hog saátfekvencán geesztve a endszet a válaszel 90 -ot késk a geesztéshez képest Re( H( ) -nak nua van. Ks apltúdóú ódusok s detektálhatók, vel a NMIF ( ) függvénétékek a 0 1 ntevallua noáltak [Ata_1], nuhele ndkálák a ódus saátfekvencáát..6 Multvaate ódus ndkáto függvén (MvMIF),(MMIF) [Alleang_4] A ultvaate ódus ndkáto függvént Wllas et al. [Wllas_1] vezette be 1985-ben. Elkülönült ódusok detektálásáa alkalas. A ódsze teknthető a NMIF tétatoánbel változatának. Annak analógááa ost nden eges vzsgált köfekvencáa keessük azt a tébel fzka ánt, ele egségn apltúdóú köfekvencáú geesztő eő esetén a ahol: T T T f Re( H ) Re( H ) f f A f R( f, ) (3.-4) T f T T T Re( H ) Re( H ) I( H ) I( H ) f f B f N I H H ) O N H C A B ( T N I Re( H ) Re( H ) N A R T T N I Re( H ) Re( H ) I( H ) I( H ) N B R ennségnek (v.ö. NMIF függvén) nua van. Az R( f, ) ennség az köfekvencán éppen eg Ralegh hánados [Rózsa_1, 04.old]. Az MMIF ( ) függvén íg az köfekvencán a ( B A ) f 0 általánosított saátétékfeladat saátétéket ábázola az függvénében. A 3.-10. ábán [Alleang_4] eg MMIF ) függvéne látható N 7 esete. ( I EMA J 03 0 Modáls paaéteek becslése fekvencatatoánban
3.-10 ába Multvaate ódus ndkáto függvén [Alleang_4] 13 Az MMIF ( ) függvén nu hele detektálák a saátfekvencákat f pontossággal. Az MMIF ( ) függvén egegezk a SDTools Vbaton Softvae & Consultng cég által a MATLAB -hoz felesztett Stuctual Dnac Toolbox -ának _f függvénével..7 Koplex ódus ndkáto függvén (CMIF, Coplex Mode Indcato Functon) A koplex ódus ndkáto daga (CMIF) az FRF átx szngulás étékenek logatusát ábázola a fekvenca függvénében. A ódszet a H ( ) FRF átx fekvencatatoánbel dekopozícóának s nevezk (Fequenc Doan Decoposton = FDD). A CMIF( ) függvént úg képezk, hog a H ( ) ét FRF átx köfekvencákon vett helettesítés étéket a H ( ) átxokat nden eges köfekvencáa H( ) U Σ V (3.-5) szngulás éték szent felbontás (SVD = Sngula Value Decoposton) alá vetk, ad a Σ ; szngulás étékeket ábázolák függvénében. H 3.-11. ába CMIF Koplex ódus ndkáto függvén [Alleang_4] A CMIF ( ) függvén az köfekvencán H ( ) összes szngulás étékét tatalazza, ezek közül az első szngulás éték axuhele elzk a saátköfekvencákat. A CMIF ( ) daga alkalazásával többszöös ultplctású pólusok köfekvencáa s detektálható. Alleang [Alleang_4] szent többszöös ultplctást az elz, hog a dagaon a ásodk szngulás étéknek s lokáls axuhele van. Eléletleg az első szngulás éték axuhele saátfekvencát elez, a ásodk szngulás éték axuhele kétszees ultplctású saátétéket elez, a haadké háoszoos, stb. [Sas_1, A.6.33 old]. A 3.- 11. ábán 7 ódus detektálható, ezek közül a ásodk egszees, a hetedk háoszoos, a több pedg kétszees ultplctású saátétéket elent. A H () FRF átx (SVD) dekopozícóával a CMIF ( ) daga száaztatásán túl a odáls odell skálázott saátvektoa s eghatáozhatók. EMA J 03 0 Modáls paaéteek becslése fekvencatatoánban
0.000 5.000 10.500 15.750 1.50 6.750 3.000 37.500 4.750 48.50 53.750 59.000 64.500 70.000 75.50 80.750 86.000 91.500 97.000 10.50 107.750 113.50 118.500 14.000 19.50 134.750 140.50 145.500 151.000 156.500 161.750 167.50 17.500 178.000 183.500 188.750 194.50 199.500 14.7.1 CMIF koplex ódusndkáto alkalazás példa A befogott úd EMA kísélet éés adatan a ódusndkácó (3.-5) összefüggéssel defnált set ódszeét s alkalaztuk. Az alkalazás soán azt tapasztaltuk, hog SISO FRF ééseknél az FRF átx szngulás éték szent felbontása Alleang [Alleang_4] egállapításától eltéő eedéneket ad. A befogott úd kísélet éésenél a (3.-5) felbontásban a ét H ˆ ( ) átx éete a 6.-3 táblázat alapán. H H ˆ ( ) UΣV (3.-6) ahol N O N I H ˆ ( ) C FRF átx (koplex eleű), N 66 output lokácók száa (33 pont án), O N I 66 nput lokácók száa (33 pont án), köfekvenca ( 0,,800). A szngulás éték szent dekopozícót D. Poppe Gög [Poppe_3] algotusa alapán pleentáltuk a WINMOD endszebe. Elvégezve nd az 0,, 800 fekvencaponta a 66x66-os koplex FRF átx szngulás éték szent felbontását a 3.-1. ába dagaát neük, el a fekvenca függvénében ábázola (logatkus léptékben a H ˆ ( ) átx Σ szngulás étéket. A 006_ FDD FRF/TRF 1.0E-01 1.0E-0 1.0E-03 1.0E-04 1.0E-05 1.0E-06 Fekvenca [Hz] 3.-1. ába Befogott úd EMA SISO ét FRF átxának szngulás étéke a fekvenca függvénében A dagaot tekntve egállapításank a következők: o EMA SISO ééseknél ne csak az első, de tovább (az ábán., 3.,4.) szngulás étékek s lokáls axuot vesznek fel a saátfekvencán (pl. f 31Hz ). o A szngulás étékek soende antezonancában vált. (lásd 3.-1. ába A -val elzett fekvencaétéke). Ez telesen éthető, et az első szngulás étékhez az adott fekvencán donáló (3.-33) szent U átx első (donáló) oszlopa tatozk. Teedel okokból a szngulás éték szent felbontáson alapuló lengéskép-eghatáozással tt ne foglalkozunk. Továbbfelesztésképpen célszeű lenne egvzsgáln, hog eg saátfekvencán keelést adó szngulás étékek száa len összefüggésben van o a ódusok lneás függetlenségével, vag o az outband ódusok ezen a fekvencán événesülő ezduaval, ugans az ábán látható ( ánú halítólengéshez tatozó) ~ 41.5Hz -es keelés csak az első szngulás éték fekvencafüggvénén található, aele bzonosan ne hatnak a szoszédos ódusok. EMA J 03 0 Modáls paaéteek becslése fekvencatatoánban
Nuekus Gafkus 15 3. LOKÁLIS SDOF PARAMÉTERBECSLÉSI MÓDSZEREK A fekvencatatoánbel lokáls paaétebecslés ódszeek valael kválasztott k, l lokácóban eghatáozott foltonos, vag FFT-vel képzett dszketzált H ( ) FRF függvén ellező alapán végzk a saátéték és/vag a ezíduok becslését. Ezen ódszeek köében elkülönülnek az SDOF és az MDOF becslés ódszeek. A ezonancák ellege szent osztálozásnál az ntefeencát elhanagoló (ún. SDOF) ódszeek azokat a ellező tuladonságokat használák fel paaétebecslése, elek az egszabadságfokú endszeek FRF függvénenek ellező; íg az ntefeencát fgelebe vevő (ún. MDOF) ódszeek eg valael # ódusa ellező paaéteeket úg hatáozzák eg, hog á kküszöbölk a szoszédos #( 1) és #( 1) ódusok tozító hatását. Az alkalazott ódszeeket a fent ódusntefeenca att két szepont szent csopotosíthatuk: A ezonancák ellege szent - SDOF Intefeencát elhanagoló - MDOF Intefeencát fgelebe vevő A kétékelés óda szent - Gafkus - Nuekus. Ezt az osztálozást utatuk be a 3.-13. ábán. SDOF Ne ntefeáló ódusok MDOF Intefeáló ódusok 3.-13. ába Modáls paaéteek lokáls becslés ódszeenek osztálozása Gafkus ódszeeknek azokat az eláásokat nevezzük, aeleknél az FRF függvén valalen gafkus alakban adott (pl. egsztátu), továbbá aeleket akko alkalazhatunk, ha a EMA J 03 0 Modáls paaéteek becslése fekvencatatoánban
16 kétékelést éés közben végezzük, tehát lehetőség van aa, hog valael tetszőleges geesztés fekvencán pontosító ééseket végezzünk. (Léptető sznuszos ódsze.) "Nuekus" ódszeek közé sooltuk azokat a becslés eláásokat, aelek akko használhatók, ako az FRF függvén ét ponta dszkét (legtöbbszö ekvdsztáns) geesztés fekvencákhoz lettek eghatáozva és a kétékelést utólag kell elvégezn. 3.1 SDOF gafkus ódszeek Aennben a ódusok ól elkülönültek (3.-1), az FRF függvén valael # ódus könezetében ól közelít az eg-szabadságfokú endsze FRF dagaát, ekko a odáls ellezők gakolat szepontból egfelelő pontossággal eghatáozhatók az egszabadságfokú endszeek ellező segítségével. Az következő ódszeek seetesek. Saátezgés köfekvenca A f [ ad / s] saátezgés köfekvenca közelítő eghatáozásánál a következő tuladonságokat valaelkét használhatuk fel: 1. H ( ) lokáls apltúdó-axu hele (köfekvencá). Az apltúdó-axu pontos hele az köfekvencán, Ludvg Gőző [Ludvg_1]. d. ac( H ( )) fázsszög változás axáls d 3. I( H ( )) képzetes ész axáls 4. Re( H ( ) 0 Valós ész zéus = fázskésés 90º Zave [Zave_1] alapán a 3.-14. ábán utatuk be ezeknek a ktéuoknak a elatív elhelezkedését eg Nqust göbe entén. 3.-14. ába Saátfekvenca ktéuok Csllapítás becslése [ ad / s] A csllapítás becslése legáltalánosabban a féltelesíténhez tatozó elatív sávszélesség eghatáozása alapán töténk. Az íg kapott eedén 0, 1 esetén ad egfelelő pontosságot. A ódsze előne, hog kzáólag az apltúdó-fekvenca daga alapán (fázséések nélkül s) alkalazható. Pontosabb becslés éhető el Kenned-Pancu [Kenned_1] ódszeével, el a ezonáló ódusa vonatkozó EMA J 03 0 Modáls paaéteek becslése fekvencatatoánban
* P P H ( ) (3.-7) * FRF összetevő ásodk tagát elhanagola és az első tag alapán a ét FRF függvén Nqust göbéée a ezonanca könezetében köt lleszt (3.-15. ába). 17 3.-15. ába A Kenned-Pancu ódsze [Kenned_1] Az lleszkedő kö C és D pontahoz tatozó C és D köfekvencákat teknt a féltelesíténhez tatozó sávszélesség két hatá-köfekvencáának. A csllapítást íg a D C [ ad / s] (3.-8) vag a C D 100 % (3.-9) B összefüggéssel száíthatuk. Az ábából kolvasható, hog az OA pontokat összekötő vekto utata a szoszédos ezonancák tozító hatását. Az ntefeencát ez a ódsze ne küszöböl k, et feltételez, hog az llesztett 0 odal kö 180 szögben sul a ét göbée. A P Q Z apltúdó-paaéteek (ezduok) becslése. 1. Apltúdó-fekvenca daga alapán töténő duva becslést nehetünk [P37] az alább összefüggésekkel: ahol: A Z F Ns ; Q 0 (3.-10) LEHR féle csllapítás a becsült saátezgés köfekvenca (lokáls apltúdó axuhoz tatozó köfekvenca) ad / s A Az köfekvencán ét elozdulás-apltúdó [] F Geesztő eő apltúdóa [N]. Kenned-Pancu ódszee EMA J 03 0 Modáls paaéteek becslése fekvencatatoánban
18 ahol: Q Z a c ( b d) Ns (3.-11) LEHR féle csllapítás, a saátezgés köfekvenca (lokáls apltúdó axuhoz tatozó köfekvenca) ad / s, a b a ét FRF függvén koplex étéke az köfekvencán [ / N], c d az lleszkedő odál kö középpontának koodnátá a Nqust síkon [ / N]. 3. SDOF nuekus ódszeek Ebbe a ódszecsaládba tatozó összefüggéseket előszö Rchadson [Rchadson_1] publkálta 1975-ben. Valael # -edk ódus saátéték és P ezduának becslésée Rchadson P dffeencafoulákat vezetett be. Ezek az # -edk ódus FRF függvéne H ( ) közelítő alakának segítségével képezhetők. Saátétékek becslése Az # -edk ódus FRF függvéne következő azonosságot: ahol: f ( ) H P ( ) közelítő alakának segítségével képezzük a H ( ) ( ) H ( ) H ( ) H ( ) (3.-1) köfekvenca felbontás ad / s H #-edk ódus közelítő FRF függvéne az köfekvencán / N H ( ) #-edk ódus közelítő FRF függvéne az köfekvencán / N Ezt az azonosságot becslésée úg használhatuk fel, hog H ( ) és H ( ) helébe az és ( ) köfekvencákon ét H ˆ ( ) és H ˆ ( ) FRF étékeket helettesítük be, az köfekvenca helébe az detektált saátköfekvencát helettesítük. A saátéték paaéteek kezdet becslésée a (3.-1) összefüggés szent dffeencafoula ódosított változatát alkalazzuk. A dffeencafoulát ne csak a detektált saátköfekvenca étékée száítuk, hane annak néhán szoszédos pontáa s, ad a kapott étékek átlagát képezzük. Az átlagképzést a éés hbák (za) csökkentése ndokola. Tehát a saátéték becslés ódosított változata Nq q Hˆ q q Hˆ 1 ( ) ( ) ( q ) : (3.-13) N q 1 qnq Hˆ ( ) Hˆ ( ) ahol detektált saátköfekvenca, köfekvenca felbontás, Hˆ ( q ) FRF ét étéke az q ( q) köfekvencán, EMA J 03 0 Modáls paaéteek becslése fekvencatatoánban q N q 1 becslésnél fgelebevett pontok száa. q
0 10 0 30 40 50 60 70 80 90 100 110 10 130 140 150 160 170 180 190 00 Az átlagképzést a éés hbák (za) csökkentése ndokola. 19 Koplex apltúdó-paaéteek becslése A ezdupaaéteek becslésée a H P Q P Z ( ) közelítő összefüggés segítségével ost a H ( ) H ( ) P (3.-14) H ( ) H ( ) azonosságot használuk fel. A ezíduok kezdet becslésée a (3.-14) dffeencafoula ódosított változata alkalazható: Nq Hˆ q Hˆ 1 ( ) ( q ) P :. (3.-15) N q 1 qnq Hˆ ( ) Hˆ ( ) ahol a elölések egegeznek (3.-1) elölésevel. Kísélet éések FRF függvénen végzett kezdet becslésenek tapasztalata alapán a saátfekvenca könezetében N étékkel 5 éés pont elegendő olan pontosságú kezdet becslés eghatáozásához, aelből eg teatív göbellesztés á konvegens. N étékét célszeű úg egválasztan, hog az átlagképzésnél q fgele be vett pontok a féltelesíténhez tatozó sávszélességen belüle (a odáls félkö keületée essenek). A kezdet becslés szoftvees egvalósításának eg példáát utata a 3.-16. ába. Ezen a befogott úd eg lokáls EMA SISO éésének (loc:1x1x) FRF dagaa és kezdet becslése látható. q q q ExPo:1 ExD:1 RePo:1 ReD:1 FRF [/s]/[n] Magntude-Fequenc 1.00E-01 Measued Ftted LOC Mét FRF 1.00E-0 Kezdet becslés 1.00E-03 Local Estates:5 f [Hz] ksz[%] 1. 5.00000E+0 1.08406E+1. 3.1500E+1 1.13353E+0 3. 8.75000E+1 4.0084E-1 4. 1.5750E+.78716E-1 5. 1.71750E+.18895E-1 Fekvenca [Hz] 3.-16. ába Kezdet becslés ódosított dffeencafoulákkal lokáls FRF függvénen. WINMOD Az ábán egfgelhető, hog az f1 5Hz -es kezdet becslés a ezíduoka pontatlan. A gakolat éés kétékelés feladatoknál a kezdet becsléseket a lneás koplex göbellesztéssel kobnálva célszeű elvégezn úg, hog EMA J 03 0 Modáls paaéteek becslése fekvencatatoánban
0 o a kezdet becsléseket az FRF-en található apltúdó axuok csökkenő soendében kell végezn, o nden eges ódus becslés után eg lneás göbellesztést célszeű belleszten. 4. LOKÁLIS MDOF PARAMÉTERBECSLÉSEK Azokban az esetekben, ako a szoszédos ódusok ntefeálnak, az eg szabadságfokú feltételezésen alapuló becslések eősen hbás becsléseket eedéneznek. Ekko többszabadságfokú paaéteazonosítás technkát kell alkalazn, elek fgelebe veszk a szoszédos ódusok tozító hatását. 4.1 MDOF gafkus ódszeek Saátezgés köfekvenca f [ ad / s] becslése Intefeáló ódusoknál a féltelesíténhez tatozó sávok á átfedk egást 1 ) (1 ), sok esetben H ˆ ( ) függvénen a saátezgés köfekvenca ( ( ) 1 1 könezetében ne s található a lokáls apltúdó-csúcs, sőt előfodul olan eset, ako a ezonancákat elválasztó huok k se alakul a Nqust síkon való ábázolásban (lásd 3.-1 ába). Nqust keület sebesség A Nqust keület sebesség (Nqust pepheal veloct) daga alkalazását Bélveau [Bélveau_1] vezette be egetlen lokácóa vonatkozó skalá FRF függvénnél a ezonancák detektálásáa és a saátezgés fekvenca becslésée. Ezt eg kválasztott lokácóa a NYPERVEL n n dh ( ) d P P ( ) : (3.-16) d d 1 1 kfeezéssel defnála. Kutata, hog 0. 1 esetén ég ntefeáló ódusoknál s a Nqust keület sebesség axuhelének és az köfekvencának az eltéése ksebb, nt 0.5%. A NYPERVEL ( ) függvén (apltúdó-fekvenca) dagaa ól keel a közel ódusokat s. A 3.-17. ábán eg az ábán látható paaéteű kétódusú endsze H ( ) és NYPERVEL ( ) dagaát utatuk be. A két ódus átlapolt, et (féltelesítén) sávszélességek átfedk egást. A 3.-17a ábán egfgelhető, hog az apltúdóaxu ne alkalas a ódus detektálása, és a Nqust-dagaon se különül el a két ódus. A 3.- 9b ábán utatott NYPERVEL dagaon uganezek a ódusok ól egkülönböztethetők, íg ellenőzhető a NYPERVEL daga ó óduskeelő tuladonsága. EMA J 03 0 Modáls paaéteek becslése fekvencatatoánban
1 1 100 P1 0 10 1 10 P 1 6 0 a. H( ) H1( ) H( ) 4 I( H( )) I( H1( )) I( H( )) 4 0 60 80 100 10 140 6 4 0 Re( H( )) Re( H1( )) Re( H( )) 5 4 b. WDER ( ) I( W DER( )) 0 0 60 80 100 10 140 5 5 0 5 Re( W DER( )) 3.-17. ába NYPERVEL daga óduskeelő tuladonsága. a. H ( ) b. NYPERVEL ( ) A NYPERVEL ( ) daga egfata ételezésben ódusndkáto függvénnek s teknthető. Azonban Bélveau eedetleg lokáls FRF függvéneken alkalazta odálcsúcsok detektálásáa ezét a dagaot a lokáls ódszeek közé sooltuk. Csllapítás becslése [ ad / s] A Kenned-Pancu ódszet ntefeáló ódusoka Maples [Maples_1] általánosította. 3.-18. ába Csllapítás becslése Maples szent [Maples_1] A 3.-18. ába elölésevel Maples képlete: ahol: f f 1 tg tg f 1 (3.-17) f 0 saátfekvenca [Hz] f 1 lleszkedő kö belépés pontához tatozó fekvenca [Hz] f lleszkedő kö épés pontához tatozó fekvenca [Hz] 0 EMA J 03 0 Modáls paaéteek becslése fekvencatatoánban
0 f f1 Ez az összefüggés 1 90 esetén a ól set képlete egszeűsödk. A f 0 P Q Z koplex apltúdó becslése ntefeenca esetén egesszós kö llesztéssel (az lleszkedő tatoánban), ad az lleszkedő kö adataból a (3.-11) Kenned-Pancu ódszeel töténhet. Megegzés: A (3.-17) összefüggést ntefeáló ódusok csllapítás étékének eghatáozásáa első ízben [P35]-ben alkalaztuk CNC palástköszöűgép pototípusvzsgálatánál (lásd 3.1-7 ába). 4. MDOF nuekus ódszeek Ezen ódszeek alapelve, hog a ét FRF függvének azon ntevalluáa, ahol közel ódusok találhatók a többszabadságfokú endszeek FRF kaaktesztkáát leíó analtkus függvént llesztenek. Az llesztés általában a legksebb négzetek ódszeével töténk. A ét FRF függvéne lleszkedő analtkus függvént (3.-1) felhasználásával választák. A ét Hˆ ( ) és az llesztett H ( ) FRF függvén négzetes eltéését nalzáló funkconál általános alaka: ahol: ( p) 1 ˆ ˆ * * H ( ) H (, p) H ( ) H (, p) (3.-18) a vzsgált köfekvenca ntevallu dszkét köfekvenca étékenek száa, dszkét köfekvenca étékek, 0,, Hˆ ( ) az FRF függvén ét étéke az köfekvencán, H (, p) az llesztő analtkus függvén helettesítés étéke az köfekvencán, p N Q 1, QN, Z1, Z N, 1 N 1 a eghatáozandó paaéteek oszlopvektoa, a detektált ódusok száa. A p paaétevekto eleenek száa 4N. Az (p) funkconál eg 4N változós függvén, nálása a p paaétevekto eleee nézve nelneás egenletendszee vezet. A lokácót elölő k, l ndexeket elhagva az ( p) n, 4N változós függvén szélsőéték létezésének feltétele, hog a p elee szent pacáls deváltak eltűnenek: ( p) 0 q 1,,4N. (3.-19) p q Ebből a legksebb-négzetes közelítéshez egoldandó egenletendsze: ( ) ˆ * ( p) H Re H( ) H(, p) 0 q 1,,4N (3.-0) pq 1 pq Ennek Jacob átxa: ( p) J( p) (3.-1) p q p s N R T EMA J 03 0 Modáls paaéteek becslése fekvencatatoánban
J( p) 1 Re * H H ˆ (, p) ( ) H(, p) p q p s 1 H (, p) H Re ps * (, p) p q 3 (3.-0) nelneás egenletendsze a p paaétevekto eleee nézve, egoldása teácós ódszeekkel töténhet. Az teácóhoz szükség van p eleenek valalen kezdet becslésée, elet a 3.. feezetben setetett SDOF becslés ódszeek valaelkének alkalazásával nehetünk. A nelneás egenletendsze egoldása nag ennségű száítás unkát génel. Száos ódsze seetes, elek bzonos egszeűsítéseket tesznek a száítás dő csökkentése édekében. Ezek a ódszeek abban különböznek, hog a legksebb négzetes közelítésnél o el paaéteeket vonák az teácóba és eleket taták a kezdet becslésnél eghatáozott étéken, o az llesztést a koplex apltúdóa végzk, vag pedg a csak a képzetes észe, esetleg a telesíténspektua, o koplex P Q Z, avag tszta képzetes P Z odál apltúdókat vesznek fgelebe, o a Jacob átx száításánál tesznek-e egszeűsítést, vag se, o az llesztést az elozdulás-válasz/eő, vag a gosulásválasz/eő spektua végzk. Gaukoge [Gaukoge_1] az elozdulás-válasz/eő spektua, koplex apltúdókat fgelebe vevő ódszeénél a Gauss-Newton ódszet alkalazza. Ennek lénege, hog az (p) ásodk pacáls deváltanak képzésénél feltéve, hog a közelítő analtkus FRF függvén és a ééssel eghatáozott csak ks étékben té el egástól a H(, p) ásodk pacáls deváltat tatalazó tagokat elhanagola. Ekko a Jacob átx közelítő alaka: * ˆ H H Jˆ (, p) (, p) J( p) q, s ( p) Re q, s 1,,4N. (3.-) 1 pq ps Wang és Sato [Wang_1] háo különböző eláást utat be. Ezek ndegke a göbellesztést a gosulásválasz/eő spektuon végz, valant feltételez a asszkus noál ódusokat. 1. Az MSSE elű ódszee a gosulás-átvtel függvénen végez legksebb négzetes göbellesztést Newton teácóval úg, hog az első lépésben csak a képzetes észeket vesz fgelebe. Az teácó befeezése után a kapott eedéneket kezdet becslésként használa a valós-észeke felít legksebb négzetes funkconál nalzálásához.. A COLP elű ódsze a nalzálandó funkconált ne a négzetes eltéések összegée ía fel, hane az eltéések összegée 1 I( A(, )) I( ˆ p A( )) EMA J 03 0 Modáls paaéteek becslése fekvencatatoánban ( p ), (3.-3) 1 ahol: p Q T, Z,, keesett paaéteek vektoa 1, N, A(, p) a közelítő analtkus gosulás-átvtel függvén helettesítés étéke az köfekvencán, A ˆ ( ) a ét gosulás-átvtel függvén étéke az köfekvencán, továbbá nden ezonanca könezetében csak 3-3 éés pontot használ fel az llesztése. Newton teácóval nalzál, ad a kapott eedéneket az MSSE elű ódszeéhez hasonlóan a valós-észeke töténő nalzáláshoz kezdet becslésként használa. 3. A haadk ódsze az előző kettőhöz képest lénegesen gosabb és ksebb száítógép eóagénű, ezáltal alkalasabb nag száú fekvencacsúcs esetée. Első lépésben elvégz
MDOF NUMERIKUS GRAF. NUM. SDOF GRAFIKUS 4 a göbellesztést az első ezonancáa a (3.-3) összefüggés szent ételeben, a több ezonanca hatásának fgelen kívül hagásával. Másodk lépésben a ásodk saátfekvencáa végez göbellesztést, de ennél á fgelebe vesz az első saátfekvencának az előző lépésben eghatáozott paaéteevel a tozító hatását. A tovább lépésekben nden eges tovább saátfekvencáa elvégz a göbellesztést úg, hog a koább lépéseknél az alacsonabb saátfekvencáknál kapott paaéteekkel a tozító hatásokat fgelebe vesz az éppen soon lévő saátfekvenca paaéteenek száításánál. Mután az összes saátfekvencáa az első enetben eghatáozta a paaétebecsléseket, uganezt az eláást foltata a saátfekvencák csökkenő soendében. Ezt az oda-vssza becsléssoozatot addg foltata, íg a becsült paaéteek étéksoozata konvegens ne lesz. Végül egsétl az eláást a valós észeke. A fentekben setetett lokáls becslés ódszeek összefoglalása a 3.-6. táblázatban található. 3.-6. táblázat Lokáls becslés ódszeek összefoglaló táblázata Saátéték Modal apltúdó P Q Z f f 1 f 0 ( 10%) ahol Q, H ( ) ax : 0 ( ) ax d Z Z H( ) d P H( ) C I( H ( )) ax Re( H ( )) 0 ˆ H Hˆ Hˆ f f1 1 tg tg f 0 1 Hˆ 1 1 NYPERVEL ( ) ax F ax ahol: C az lleszkedő kö középponta Hˆ P Hˆ Hˆ Hˆ Kö-egesszó T T T T ( p) n p [ Q ] [ Z ] [ ] [ ] T 1, 4N 1 I( A(, )) I( ˆ p A( 1 ( p ) )) J (p) teles [Wang_1, MSSE] 1 Re( A(, )) Re( ˆ p A( ( p ) )) 1 1 I( A(, )) I( ˆ p A( )) ( p ) J (p) teles [Wang_1, COLP] 1 H(, )) ˆ p H( )) ( p ) J ˆ( p ) csonkolt [Gaukoge_1] 1 H(, )) ˆ p H( )) ( p ) J (p) teles [6. feezet] 1 1 EMA J 03 0 Modáls paaéteek becslése fekvencatatoánban
4..1 Lneás koplex göbellesztés FRF és RCNP függvéneken 5 Ant a 3..3 feezetben beutattuk, az FRF ééseken alapuló, ntefeencát fgelebe vevő nuekus ódszeek a göbellesztése a H ( ) FRF közelítő függvént leggakabban a (3.- 1) szent pacáls töt alakban íák fel. Ezt a függvént eleezve belátható, hog a legksebb négzetes funkconál nalzálásáa szolgáló (3.-0) egenletendsze lneás egenletendszeé edukálódk, ha a endszee nézve globáls ( 1,, N ) saátéték paaéteeket konstans étéken tatuk, és a p paaétevektoba csak a lokácótól függő Q, Z, R paaéteeket, valant az effektív töeg ecpokát az 1/ paaéteeket vonuk be. A lneás koplex göbellesztéssel eghatáozandó paaéteek vektoa (elhagva a lokácóa vonatkozó ndexeket) tehát: T p Q 1 Q QN Z1 Z Z R N (N eleű ). (3.-4) Az (p) funkconál eg N változós függvén, elnek nálása a p paaétevekto eleee nézve lneás egenletendszee vezet. A legksebb-négzetes közelítéshez egoldandó egenletendsze: ( ) * ( p) H Re H( ) H(, p) 0 q 1,,N pq 1 pq (3.-5) A (3.-5) egenlőséget tovább kfetve, a következő lneás egenletendszee utunk: A11 A1 a13 a14 b1 T A1 A a 3 a 4 b p T T a 13 a 3 a33 a34 b3 T T a14 a 4 a43 a44 b4 (3.-6) ahol 1 S, S, 3 S, A 11 11, A 1 1, 4 S EMA J 03 0 Modáls paaéteek becslése fekvencatatoánban, 1 1 3 4 3 4 A S S S S S S S S 1 3 4 1 1 3 4 A S S S S S S S S 1 1 1 a 13 S S 1 1 1 a 13, 1,, N, 1 a 14 (1 S S 14 ) 1 A A, 1 a, 1,, N, 3 4 3 4 1 1 S S S S S S S S 1 3 4 a 3 S S 1 1 a 3, 1,, N, 3 4 a 4 (1 S S 4 ) 1 a, 1,, N, a 33 1 1, 1, 1,, N,,, 1,, N,,, 1,, N,,
0 10 0 30 40 50 60 70 80 90 100 110 10 130 140 150 160 170 180 190 00 6 a a 1 (1), 34 1 44 (1)(1) 1 a, 43 a 34, 1 3 4 b 1 b 1 Re Hˆ S S I Hˆ S S, 1,, N, 1 3 4 1 b b Re Hˆ S S I Hˆ S S, 1,, N, 1 1 b 3 Re Hˆ 1, b Hˆ 4 (1) 1 Re, Hˆ ˆ H( ). A göbellesztés (3.-6) szent ódszee azét nevezhető koplex lneás göbellesztésnek, et a egesszóhoz o a ét FRF függvén valós és képzetes észét s felhasznála koplex o a funkconál nálása lneás egenletendszee vezet. lneás A koplex lneás göbellesztés ezen ódszeét a WINMOD pogaendszebe bellesztettük és sokoldalúan teszteltük. Példaként a 3.-16. ába szent kezdet becslésekkel a befogott úd EMA SISO 1X1X lokácóában ét FRF-e a lneás koplex göbellesztés eedéne a 3.- 19. ábán látható. ExPo:1 ExD:1 RePo:1 ReD:1 FRF [/s]/[n] Magntude-Fequenc Measued Ftted LOC 1.00E-01 1.00E-0 1.00E-03 1.00E-04 Local Estates:5 f [Hz] ksz[%] 1. 5.00000E+0 1.08406E+1. 3.1500E+1 1.13353E+0 3. 8.75000E+1 4.0084E-1 4. 1.5750E+.78716E-1 5. 1.71750E+.18895E-1 Fekvenca [Hz] 3.-19. ába Befogott úd EMA SISO 1X1X koplex lneás göbellesztése. A J3. feezetben eddg elvégzett feladatokat összefoglalva tehát ódszeeket felesztettünk k a o Módusndkácóa o A saátéték és ezdupaaéteek kezdet becslésée EMA J 03 0 Modáls paaéteek becslése fekvencatatoánban
0 10 0 30 40 50 60 70 80 90 100 110 10 130 140 150 160 170 180 190 00 o A ezdupaaéteek pontos eghatáozásáa A következő feezetben a saátéték és ezdupaaéteek egüttes pontosításának eláását utatuk be. 7 4.. Nelneás koplex göbellesztés FRF függvéneken A ne-lneás koplex göbellesztés eláása a (3.-0) legksebb négzetes egenletendszebe bevona a saátéték paaéteeket s. Ekko a eghatáozandó paaéteek vektoa (elhagva a lokácóa vonatkozó ndexeket) tehát: T T T T T p p p p R ( 4N eleű p. (3.-7) Q Z ) A nelneás egenletendsze egoldásáa a asszkus Gauss-Newton ódszet alkalazzuk. A Jacob átxot a (3.-1) szent képezzük. A Jacob átx feltöltését teedel okokból ne észletezzük, elvekben egegezk a (3.-1)-ben egfogalazottal, azzal a különbséggel, hog H ( ) H ( ) a Jacob átxot a pacáls deváltakkal s k kell egészíten. A Jacob átx feltöltésének dőgéne a a száítástechnka eszközöket használva elhanagolható. A kísélet póbafuttatások tapasztalata azt utatták, hog a Jˆ ( q, s 1,,4 ) eleenek qs N feltöltésénél az összegképzés csonkolható, sőt a konvegenca-tuladonságokat s avíta ha a Jˆ ( q, s 1,,4 eleeke vonatkozó (3.-1) szent összegképzést ne a teles vzsgált qs N ) fekvencantevallua végezzük, hane csak a p, p paaéteeknek egfelelő saátköfekvenca ögzített (például sugaú) könezetée. Ezt a fekvencasávot a továbbakban Jacob sávszélességnek nevezzük. A Ĵ qs összeg Jacob sávszélességen kívül taga a vzsgált feladatoknál elhanagolhatóan kcsnek voltak. Az ( effektív töeg ) és R ( aadó halékons ág) paaéteekkel kapcsolódó összegképzéseket ( q 4N 1, 4N, és s 4N 1, 4N ) a teles n, ax ntevallua el kell végezn, et különben az teácó dvegenssé válk. Tovább általános tapasztalat, hog az teácó elkülönült ódusoka gosan konvegál, íg az egással ntefeáló ódusoknál elatíve lassú a konvegenca. A koplex nelneás göbellesztés alkalazás példáaként tekntsük a 3.-0. ábát, el a befogott úd lokáls FRF RCNP göbellesztésének eedénet utaták. q s ExPo:1 ExD:1 RePo:1 ReD:1 FRF [/s]/[n] Magntude-Fequenc Measued Ftted LOC 1.00E-01 1.00E-0 1.00E-03 1.00E-04 Fekvenca [Hz] 3.-0. ába Befogott úd EMA SISO 1X1X koplex nelneás göbellesztése. Valael lokáls FRF függvén koplex göbellesztése a hagoános EMA odellképzés feladatok közé tatozk, ant azt a 3..3. feezetben áttekntettük. Ú eedénnek tekntük azt EMA J 03 0 Modáls paaéteek becslése fekvencatatoánban
8 a nuekus tapasztalatot, szent az ( effektív töeg ) és R ( aadó halékons ág) paaéteeke vonatkozó összegképzést a konvegenca bztosítása édekében a teles vzsgált fekvencasáva el kell végezn. Továbbfelesztésként célszeű egvzsgáln, hog a göbellesztés R aadó halékonság paaétee o koplex étékűként (esetleg lneás függvénként) kezelve avít-e a göbellesztés nőségén o szekezetdnaka ódosításnál töténő tovább felhasználása avíta-e az SDM pontosságát. Lásd ég [Rades_1, 194. old. 10.3. feezet]. 5. RCNP MÓDUSINDIKÁTOR FÜGGVÉNY A következőkben eg ú, aggegáto típusú ódusndkátot vezetünk be. A 3.-1 feezetben setettük a ódusok detektálás pobléáát. A nag száú fekvenca-átvtel függvén a saátétékek detektálását valóában egnehezít, vel a különböző lokácókban ás és ás apltúdóval vannak elen az eges ódus-koponensek. Valael lokácóhoz tatozó éés FRF függvénében ne feltétlenül elenk eg apltúdó-csúcs foáában nden keesett saátfekvenca. Gondot elent a nag száú éés áttekntése ll. annak egítélése, hog el koponensek fontosak, elek ne. Uganakko az eged FRF függvének koplex göbellesztése gos konvegencával ó adatokat podukál. A Nqust keület sebesség (NYPERVEL) apltúdó fekvenca dagaa ól keel a közel ódusokat s. Nuekus kísélet és gakolat éés tapasztalatok alapán a kfelesztendő ndkátoal szeben a következő ktéuok fogalazhatók eg: o Legen globáls, tehát az összes ét FRF függvénből képezhető valael összegképzéssel (vag átlagképzéssel) úg, hog tatalazza a.saátétékekkel nt globáls ellezőkkel kapcsolatos nfoácókat. o o Hodozza a (3.-16) alatt defnált Nqust keület sebesség óduskeelő tuladonságat. Koplex alakú, valael ódus odáls kö foáában elenen eg, tehát alkalazható á a koplex göbellesztés eláása, annak édekében, hog a saátéték becslése a köfekvenca felbontásnál pontosabban becsülhető legen. Ee a céla ne alkalas az összes koplex FRF függvén egszeű átlaga, hszen azok bzonos esetekben (lokácótól függő fázs / ellenfázs) kolták egást. A koplex Nqust keület sebesség dagaok összegzése uganezt eedénezné. Olan függvéne van tehát szükség, el az összes ódus (odal köének) fázshelzetét uganaa a szöghelzete fogata, továbbá a odáls apltúdókat ( P, ezíduokat) P 1 noála., dh ( ) Képezzük ehhez valael k, l lokácóa a (koplex) Nqust keület sebesség és a d H ( ) FRF függvén hánadosát úg, hog valael -edk ódusa elhanagoluk a ne ezonáló ódusokat és a ezonáló -edk ódusnak csak az első (fő-) tagát tatuk eg. Nevezzük eatt Relatív Koplex Nqust Keület Sebesség daganak (RCNP =Relatve Coplex Nqust Pepheal Veloct). Az RCNP daga ekko az alább összefüggéssel defnálható: EMA J 03 0 Modáls paaéteek becslése fekvencatatoánban
00 190 180 170 160 150 140 130 10 110 100 90 80 70 60 50 40 30 0 10 0-0.1-0.05 0 0.05 0.1 0.15 0. RCNP dh ( ) P d ( ) : (3.-8) H P ( ) Az RCNP daga képzésénél tehát eg adott fekvencaponthoz tatozó koplex Nqust keület sebességet osztuk az FRF függvén uganazon fekvencaponthoz tatozó koplex függvénétékével. Ez a ódusok detektálásával és globáls becslésével kapcsolatos fent feltételeket kelégít, ezen kívül pedg, azzal a tuladonsággal s endelkezk, hog az összes ódust (ezduot) P -e noála. Tehát az eges ódusokhoz tatozó odal köök átéőe csak a ( ) csllapítástól függ, a odal kö középpontának 9 90 -tól való elfodulása pedg ac szögtől sn( ). AZ RCNP függvén űszak elnevezése a következő s lehet: "Noalzált FRF daga". Az RCNP daga ódusndkátoként való alkalazását száos analtkus FRF függvénen teszteltük, és egállapítottuk, hog az RCNP daga ódusok detektálásáa alkalas. Illusztácóként a 3.-7. táblázat adataval geneált FRF függvénen való alkalazást utatuk be. 3.-7. táblázat Analtkus FRF teszt paaétee Módusok száa Fekvencafelbontás Maxáls fekvenca N 4 f 0. 5 Hz f 00 Hz ax Modáls paaéteek Rezdu Saátéték P Q Z ad s N s Q Z 1 1. 0 1. 0 0 00. 5 0. 5 0 40 3 6. 0 3. 0 60 600 4. 0 1. 0 10 900 A táblázat adatat úg választottuk, hog átlapolt ódusok 1;, ks csllapítású ódus 4 és nag csllapítású ódus 3 s egtalálható legen. A 3.-1. ábán utatuk be a 3.-7. táblázat analtkus FRF teszt függvénének gafkonat, a 3.-. ábán pedg ennek RCNP dagaat. FRF Measueents FRF Magntude-Fequenc FRF Measueents FRF Nqust plot.00e-01 1.50E-01 1.00E-01 5.00E-0 Measued.00E-01 1.00E-01 0.00E+00-1.00E-01 Measued Fekvenca [Hz] Valós ész 3.-1. ába Analtkus FRF teszt függvén gafkona EMA J 03 0 Modáls paaéteek becslése fekvencatatoánban