ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add tovább! 3.0 Uported Licec feltételeiek megfelelőe szabado felhaszálható. 1

1. Hogya szól a Beroulli-egyelőtleség? Mikor va egyelőség? Legye 1 N és 1 h R. Ekkor: (1 + h) 1 + h és = = 1 h = 0 2. Fogalmazza meg a számtai és a mértai közép közötti egyelőtleséget! Mikor va egyelőség? Def.: Legye 1 N 0 x 1... x R. Ekkor x 1 x 2...x ( x 1+x 2...+x ) és = x 1 = x 2 =... = x 3. Írja le a valós számok közötti redezés és műveletek kapcsolatára voatkozó axiómákat! - x y x + z y + z x, y, z R - x y xz yz x, y R, z 0 4. Mit mod ki a teljességi axióma? Ha A, B R, A, B, a b a A, b B, akkor ξ R: a ξ b 5. Fogalmazza meg a szuprémum elvet = H R felülről korlátos halmaz felső korlátai között va legkisebb. A legkisebb felső korlát a szuprémum. Jele: sup H 6. Mit jelet az, hogy a H R halmaz iduktív? = H R iduktív halmaz, ha - 0 H - x H x + 1 H 7. Hogya értelmezi a természetes számok halmazát? Természetes számok halmaza a legszűkebb iduktív halmaz, azaz N = H H R H iduktív 8. Fogalmazza meg a teljes idukció elvét! Legye A egy állítás. N Tfh.: A 0 igaz Ha A igaz, akkor A +1 is igaz N Ekkor A igaz N-re. 9. Mikor va egy = A R halmazak maximuma(miimuma)? = A R halmazak maximuma(miimuma), ha α A x α x A α A x α x A 10. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt, hogy a = A R halmazak ics miimuma! = A R ics miimuma, ha α A : x A x < α 2

11. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt, hogy a = A R halmazak ics maximuma! = A R ics maximuma, ha α A : x A x > α 12. Mikor felülről (alulról) korlátos egy = A R halmaz? = A R felülről (alulról) korlátos, ha ξ R : x ξ (x ξ) x A 13. Fogalmazza meg pozitív állítás formájába azt, hogy egy = A R halmaz felülről em korlátos! = A R felülről em korlátos, ha ξ R : x A : x > ξ 14. Legye = A R, ξ R. Mit jelet az A elemeire ézve az, hogy ξ = sup A? = A R felülről korlátos, akkor sup A = ξ - x A : x ξ - ε > 0 x A : x > ξ ε 15. Legye = A R, ξ R. Mit jelet az A elemeire ézve az, hogy ξ = if A? = A R alulról korlátos, akkor if A = ξ - x A : x ξ - ε > 0 x A : x < ξ + ε 16. Mit jelet az, hogy a valós számok halmaza redelkezik az arkhimédeszi tulajdosággal? a, b R, a > 0 N : b < a 17. Mit jelet az, hogy a valós számok halmaza redelkezik a Cator-tulajdosággal? Legye [a, b ] R korlátos zárt itervallum Ha [a +1, b +1 ] [a, b ] N-re, akkor [a, b ]. N 18. Defiiálja a következő fogalmakat: reláció, reláció értelmezési tartomáya, és értékkészlete! reláció: r A B részhalmaz reláció értelmezési tartomáya: D r = {a A b B : (a, b) r} reláció értékkészelete: R r = {b B a A : (a, b) r} 19. Adja meg a függvéy defiicíóját! f A B függvéy, ha x D f! y R f : (x, y) f. 20. Hogya értelmezzük halmaz függvéy által létesített képét? f : A B, C A C halmaz képe: f[c] := {f(x) : x C} B. 21. Hogya értelmezzük halmaz függvéy által létesített ősképét? f : A B, D B D halmaz ősképe: f 1 [D] := {x A : f(x) D} A. 3

22. Mikor evezük egy függvéyt ivertálhatóak? f : A B ivertálható(ijektív), ha x, y D f, x y eseté f(x) f(y). 23. Defiiálja az iverz függvéyt! Tegyük fel, hogy f : A B függvéy ijektív, azaz y R f! x D f : f(x) = y! Az f iverze f 1 : R f D f, y x. 24. Mi a bijekció defiicíója? f : A B bijekció, ha f ijektív és R f = B. 25. Írja le az öszetett függvéy fogalmát! Tegyük fel, hogy f : A B, g : C D olya függvéyek, melyekre R g D f Ekkor a két függvéy kompoziciója: f g = {x D g g(x) D f } B (f g)(x) := f(g(x)). 26. Defiiálja a következő fogalmakat: valós sorozat, sorozat -edik tagja, idex! Valós számsorozatok: a : N R függvéy a ( N) = (a ) a sorozat -edik tagja, az -edik tag idexe. 27. Mit jelet az, hogy egy (a ) : N R sorozat korlátos? Az a = (a ) sorozat: - felülről korlátos, ha k R : a k N - alulról korlátos ha k R : a k N - korlátos, ha alulról és felülről is korlátos. 28. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt, hogy az (a ) sorozat em korlátos! (a ) sorozat em korlátos k R N : a > k 29. Mit jelet az, hogy egy (a ) számsorozat idexsorozat? (a ) : N N sorozat idexsorozat, ha szigorúa mooto ő. 30. Egy (a ) sorozatról mikor modjuk, hogy a (b ) sorozat részsorozata? Azt modjuk, hogy (a ) sorozat a (b ) sorozat részsorozata, ha ν : N N idexsorozat, hogy a = b ν, azaz (a i ) = (b νi ) 31. Mit ért egy sorozat részsorozatá? a : N R sorozat, ν : N N idexsorozat Az a ν = (a ν ) sorozat az a részsorozata. a 0 32. Mi a defiíciója aak, hogy egy valós számsorozatak va csúcsa? az (a ) sorozat csúcsa, ha 0 : a 0 a 33. Defiiálja az A R elem ε > 0 sugarú köryezetét! Az A R ε > 0 sugarú köryezete: k ε (A) = (A ε, A + ε) itervallum. Az A = ε > 0 sugarú köryezete: k ε (+ ) = ( 1, + ) itervallum. ε Az A = ε > 0 sugarú köryezete: k ε ( ) = (, 1) itervallum. ε 34. Mikor evezük egy (a ) valós sorozatot kovergesek? Az (a ) sorozat koverges, ha A R, ε > 0 0 N, 0 : a A < ε 4

35. Mit jelet az, hogy egy (a ) sorozat diverges? Az (a ) sorozat diverges, ha em koverges, azaz A R, ε > 0, 0 N, 0 : a A ε 36. Tegyük fel, hogy az (a ) : N R sorozat határértéke az A R szám. Igaz- e az hogy 0 N, hogy ε > 0-ra és 0 -ra a A < ε? (válaszát idokolja!) Ebből az következe, hogy mide 0 eseté a = A. Az állítás em igaz, mert létezik olya sorozat, amelyek a határértéke A R, de em igaz, hogy a sorozat értéke mide 0 -ra egyelő A-val. 37. Tegyük fel, hogy az A R szám mide köryezete az (a ) sorozatak végtele sok tagját tartalmazza. Következik-e ebből az, hogy az (a ) sorozat koverges? Nem, pl. az (a ) = ( 1) sorozat diverges, de az A = 1 szám mide köryezetébe a sorozatak végtele sok tagja esik. 38. Mit jelet az, hogy az (a ) sorozat (+ )-hez tart? (a ) sorozat a (+ )-hez tart, ha P R, 0 N, 0 : a > P 39. Mi a defiíciója aak, hogy az (a ) sorozatak a határértéke? (a ) sorozat határértéke, ha P R, 0 N, 0 : a < P 40. Mit jelet az, hogy az (a ) sorozatak va határértéke? Az (a ) sorozatak határértéke, ha A R, ε > 0, 0 N, 0 : a K ε (A) 41. Adott (a ) : N R, A R eseté mi a defiíciója a lim(a ) = A egyelőségek? ε > 0 0 N N, 0 : a K ε (A) 42. Fogalmazza meg a sorozatok kovergeciájára voatkozó szükséges feltételt! Ha (a ) koverges (a ) korlátos. 43. Fogalmazza meg a sorozatokra voatkozó közrefogási elvet! (a ), (b ), (c ) sorozatok. Tegyük fel, hogy: N N, N a b c ha lim a = lim c, akkor lim b = lim a 44. Milye állításokat ismer a határérték és a redezés között? 1. Közrefogási elv(redőr elv): (a ), (b ), (c ) sorozatok. Tegyük fel, hogy: N N, N a b c ha lim a = lim c, akkor lim b = lim a 2. (a ), (b ) sorozatok, A = lim a, B = lim b i, A > B N N, N : a > b ii, N N, N : a b A B 45. Igaz-e, az hogy, ha az (a ) és a (b ) sorozatokak va határértéke és a > b mide -re, akkor lim(a ) > lim(b )? Nem, em igaz. Ellepélda: (a ) := 1, (b ) := 1, Ekkor (a ) > (b ), de lim a = lim b = 0 Megj.: A feltevés csak a másik iráyba igaz: (a ) és (b ) sorozatok, létezik határértékük, ekkor: lim(a ) > lim(b ) N, N : a > b 5

46. Modja ki a mooto sorozatok kovergeciájára és határértééke voatkozó állításokat! Ha (a ) mooto ő, és felülről korlátos, akkor koverges is, és lim a = sup{a : N} Ha (a ) mooto fogy és alulról korlátos, akkor koverges is, és lim a = if{a : N} Ha (a ) mooto ő, és felülről em korlátos, akkor diverges, és lim a = Ha (a ) mooto fogy és alulról em korlátos, akkor diverges, és lim a = 47. Milye műveleti tételeket ismer koverges sorozatokra? Tfh. (a ) és (b ) koverges sorozat, és lim a = A, lim b = B (A, B R). Ekkor: i, (a + b ) is koverges és lim(a + b ) = A + B ii, (a b ) is koverges és lim(a b ) = AB iii, ha ( b ) 0 ( N) B 0, ekkor: a is koverges és lim a = A b B b 48. Igaz-e az, hogy ha (a ) koverges és (b ) diverges, akkor (a + b ) is diverges? Ige, igaz, mert ha (a + b ) koverges lee, akkor (a + b a ) = (b ) is koverges lee. 49. Fogalmazza meg a sorozatok összegéek határértékére voatkozó állítást! Tfh. lim a = A R, lim b = B R! Ha A + B értelmes, akkor lim(a + b ) = A + B 50. Táblázattal szemlétetsse a sorozatok szorzatáak a határértékére voatkozó állítást! A > 0 A = 0 A < 0 A = A = B > 0 A B A B A B + B = 0 A B A B A B B < 0 A B A B A B + B = + + B = + + 51. Fogalmazza meg a Bolzao-Weierstrass-féle kiválasztási tételt! korlátos sorozatak koverges részsorozata. 52. Defiálja a Cauchy-sorozatot! (a ) Cauchy-sorozat, ha ε > 0 0 N,, m 0 (, m N) : a a m < ε 53. Fogalmazza meg pozitív állítás formájába azt, hogy egy (a ) : N R sorozat em Cauchy-sorozat! (a ) sorozat em Cauchy-sorozat, ha ε > 0 0 N,, m 0 (, m N) : a a m ε 54. Fogalmazza meg a sorozatokra voatkozó Cauchy-féle kovergeciakritériumot! (a ) : N R sorozat koverges (a ) Cauchy-sorozat. 55. Hogya értelmezzük az e számot? Az a = (1 + 1 ) sorozat korlátos, és mooto ő, ezért koverges és e := lim(1 + 1 ) 2, 71 6

56. Milye állítást ismer a (q ) mértai sorozat határértékvel kapcsolatosa? 0, ha q < 1 lim q 1, ha q = 1 =, ha q > 1, ha q 1 57. Fogalmazza meg egy valós szám m-edik gyökéek a létezésére voatkozó tételt! Tfh. m 2 m N! Ekkor i, A > 0!α > 0 : α m ( = A ) A ii, Ha a 0 > 0, a +1 = 1 + (m 1)a m a m 1 sorozat koverges és lim a = α 58. Legye A > 0, 1 < m N. Melyik az a sorozat, amelyek határértéke m A? a 0 > 0 ( ) A a +1 = 1 + (m 1)a m a m 1 sorozat határértéke: lim a = α, ahol α = m A. 59. Mi a végtele sor defiíciója? Az (a ) sorozat által meghatározott a végtele soro az s sorozatot értjük, ahol s = a 0 + a 1 +... + a 60. Mit jelet az, hogy a a végtele sor koverges, és hogya értelmezzük az összegét? a koverges, ha (s ) koverges és a = lim s R a végtele sor összege 61. Milye tételt ismer q R eseté a q geometriai sor kovergeciájáról? q sor koverges q < 1 Ekkor q = 1 1 q 62. Mi a teleszkópikus sor és mi az összege? Teleszkópikus sor: 1 (+1) 1 Összege: = 1 (+1) 63. Fogalmazza meg a sorokra voatkozó Cauchy-féle kovergreciakritériumot! a sor koverges ε > 0 0 N, m > 0 (, m N) : a +1 + a +2 +... + a m < ε 64. Ismer-e sorok kovergeciájára voatkozó szükgséges feltételt? Ha a koverges, akkor lim a = 0. 65. Igaz-e az, hogy ha lim(a ) = 0, akkor a a sor koverges? Nem, em igaz: lim a = 0 a koverges Ellepélda: a = 1 : lim 1 = 0, de 1 diverges. 7

66. Fogalmazza meg a em-egatív tagú sorok kovergeciájára voatkozó tételt! a pozitív tagú sor koverges (s ) korlátos. 67. Fogalmazza meg a végtele sorokra voatkozó összehasolító kritériumot! Tekitsük a a és b pozitív tagú sorokat és tfh.: N N, N : 0 a b Ekkor: i, Ha b koverges, akkor a is koverges ii, Ha a diverges, akkor b is diverges. 68. Fogalmazza meg a végtele sorokra voatkozó gyökkritériumot! (Cauchy-féle gyökkritérium) Tekitsük a a sort és tegyük fel, hogy lim a = A határérték. Ekkor: i, Ha 0 A < 1, akkor a abszolút koverges ii, Ha A > 1, akkor a diverges iii, Ha A = 1, akkor a lehet koverges vagy diverges is. 69. Fogalmazza meg a végtele sorokra voatkozó háyadoskritériumot! (D Alambert-féle háyados kritérium) Tekitsük a a sort, a 0, ( N). Tegyük fel, hogy lim a +1 a = A határérték. Ekkor: i, Ha 0 A < 1, akkor a abszolút koverges ii, Ha A > 1, akkor a diverges iii, Ha A = 1, akkor a lehet koverges vagy diverges is. 70. Mik a Leibiz-tipusú sorok és milye kovergeciatételt ismer ezekkel kapcsolatba? Leibiz tipusú sorok : Legye 0 a +1 a N. Ekkor a ( 1) +1 a Leibiz tipusú sor. Tétel: Tegyük fel, hogy ( 1) +1 a Leibiz tipusú sor. Ekkor: i, ( 1) +1 a koverges lim a = 0 ii, Ha α = ( 1) +1 a és s = ( 1) k+1 a k, akkor s α a ( 1) k=1 71. Adjo meg egy olya végtele sort, amelyik koverges, de em aboszulút koverges! ( 1) +1 koverges, de em abszolút koverges, hisze 1 diverges. 72. Adjo meg egy olya végtele sort, amelyikek az összege az e szám! 1 = e! 8

73. Modja ki a tizedestörtekről a tételeket! i, Tfh (a ) : N {0, 1,..., 9} Ekkor a koverges és α = a [0, 1] 10 10 ii, Ha α [0, 1], akkor (a ) : N {0, 1,..., 9}, hogy α = 74. Mit evez egy számsor zárójelezett soráak? Legye (m ) : N + N + idexsorozat, azaz szigorúa mooto övekvő és m 0 = 0. Legye α = (a m 1 +1 + a m 1 +2 + + a m ) Ekkor α a a sor egy zárójelezése. 75. Hogya szólak a végtele sorok zárójelezésére voatkozó tételek? i, Ha a koverges, akkor (m ) : N + N + idexsorozatra α is koverges, és a = α ii, Tegyük fel, hogy (m ) : N + N + idexsorozat. 1, (m m 1 ) sorozat korlátos 2, lim a = 0 3, α koverges Ekkor a is koverges, és a = α 76. Mit evez egy végtele sor átredezéséek? Ha (p ) : N + N + bijekció, akkor a p a a sor átredezése. 77. Fogalmazza meg a feltételese koverges sorok átredezésére voatkozó Riematételt! Tegyük fel, hogy a sor feltételese koverges. Ekkor: i, A R (p ) : N + N + bijekció hogy A = ii, (p ) : N + N + bijekció, hogy a p diverges. a p 78. Milye állítást ismer abszolút koverges sorok átredezésévével kapcsolatba? Ha a abszolút koverges, akkor (p ) : N N bijekcióra a p is abszolút koverges és a = a p. 79. Defiiálja a a, b sorok tégláyszorzatát! a és b két sor. Ekkor a t sort tégláyszorzatak evezzük, ahol t := 80. Defiiálja a a, b sorok Cauchy-szorzatát! a és b két sor. Ekkor a c sort Cauchy-szorzatak evezzük, ahol c := max(i,j)= i+j= a 10 a i b j a i b j 9

81. Adjo meg olya végtele sorokat, amelyek Cauchy-szorzata diverges! ( 1) 1 sorak ömagával vett Cauchy-szorzata diverges. 82. Fogalmazza meg az abszolút koverges sorok szorzatára voatkozó Cauchytételt! Ha a és b abszolút koverges, akkor t tégláy-szorzat és c Cauchy-szorzat is abszolút koverges, és t = c = ( a )( b ) 83. Fogalmazza meg a Mertes-tételt! Ha a abszolút koverges, és b koverges, akkor c Cauchy-szorzat koverges és c = ( a )( b ). 84. Írja le a hatváysor defiícióját! α, a R A α (x a) sort a közepű hatváysorak evezzük. 85. Fogalmazza meg a hatváysorok kovergecia sugaráról az általáosított Cauchy- Hadarmard-tételt! Tekitsük a α (x a) hatváysort! Ekkor a következő 3 tulajdoság egyike áll fet: i, 0 < R <, hogy x a < R eseté α (x a) sor abszolút koverges. Ha x a > R, akkor a α (x a) sor diverges. ii, A hatváysor csak x = a eseté koverges. Ekkor R = 0. iii, A hatváysor x R eseté abszolút koverges. Ekkor R =. Ahol R a hatváysor kovergeciasugara. 86. Fogalmazza meg a Cauchy-Hadamard-tételt! Tekitsük a α (x a) hatváysort. Tegyük fel, hogy lim α = A R (A 0) Legye 1 : 0 < A < A R := : A = 0 0 : A = Ekkor x a < R eseté α (x a) abszolút koverges és x a > R eseté α (x a) diverges. 87. Adjo meg egy olya hatváysort, amelyikek a kovergeciahalmaza a ( 1, 1) itervallum! (x ) hatváysor kovergeciahalmaza a ( 1, 1) itervallum. Kovergeciasugara pedig 1. 10

88. Adjo meg egy olya hatváysort, amelyikek a kovergeciahalmaza a ( 1, 1] itervallum! ( ( 1) x ) hatváysor kovergeciahalmaza a ( 1, 1] itervallum. Kovergeciasugara pedig 1. 89. Adjo meg egy olya hatváysort, amelyikek a kovergeciahalmaza a [ 1, 1) itervallum! ( x ) hatváysor kovergeciahalmaza a [ 1, 1) itervallum. Kovergeciasugara pedig 1. 90. Adjo meg egy olya hatváysort, amelyikek a kovergeciahalmaza a [ 1, 1] itervallum! ( x 2 ) hatváysor kovergeciahalmaza a [ 1, 1] itervallum. Kovergeciasugara pedig 1. 91. Adjo meg egy olya hatváysort, amelyik csak az a = 2 potba koverges! (x 2). 92. Defiiálja az exp függvéyt! Expoeciális függvéy: exp(x) := x! = 1 + x + x2 2! + x3 3! +... 93. Defiiálja a si függvéyt! Sziusz függvéy: si(x) := ( 1) x2+1 = x x3 +... (2+1)! 3! 94. Defiiálja a cos függvéyt! Kosziusz függvéy: cos(x) := ( 1) x2 = 1 x2 (2)! 2! + x4 4!... 95. Írja fel a si (x + y)-t si x, cos x, si y, cos y segítségével! si(x + y) = si x cos y + cos x si y 96. Mit jelet az, hogy a R torlódási potja a H R halmazak? Az a R pot a H R halmaz torlódási potja, ha ε > 0-ra H K ε (a) végtele halmaz. 97. Mivel egyelő az R, a Q és az ({ 1 N}) halmaz? R = R, Q = R, { 1 N} = {0} 98. Adott f R R, a D f, A R eseté mi a defiíciója a lim a f = A egyelőségek? Az f R R függvéyek az a D f potba va határértéke, ha A R, ε > 0 δ > 0, x D f (K δ (a) \ {a}) : f(x) K ε (A) és a határérték egyértelmű. lim f = A. a 99. Adja meg egyelőtleségek segítségével a végesbe vett véges határérték defiícióját! a R, A R : ε > 0 δ > 0, x D f, 0 < x a < δ : f(x) A < ε 11

100. Adja meg egyelőtleségek segítségével a végesbe vett plusz végtele határérték defiícióját! a R, A = : P R δ > 0, x D f, 0 < x a < δ : f(x) > P 101. Adja meg egyelőtleségek segítségével a végesbe vett míusz végtele határérték defiícióját! a R, A = : P R δ > 0, x D f, 0 < x a < δ : f(x) < P 102. Adja meg egyelőtleségek segítségével a plusz végteelbe vett véges határérték defiícióját! a =, A R : ε > 0 x 0 R, x D f, x > x 0 : f(x) A < ε 103. Adja meg egyelőtleségek segítségével a míusz végtelebe vett véges határérték defiícióját! a =, A R : ε > 0 x 0 R, x D f, x < x 0 : f(x) A < ε 104. Adja meg egyelőtleségek segítségével a plusz végtelebe vett plusz végtele határérték defiícióját! a =, A = : P R x 0 R, x D f, x > x 0 : f(x) > P 105. Adja meg egyelőtleségek segítségével a plusz végtelebe vett míusz végtele határérték defiícióját! a =, A = : P R x 0 R, x D f, x > x 0 : f(x) < P 106. Adja meg egyelőtleségek segítségével a míusz végtelebe vett plusz végtele határérték defiícióját! a =, A = : P R x 0 R, x D f, x < x 0 : f(x) > P 107. Adja meg egyelőtleségek segítségével a míusz végtelebe vett míusz végtele határérték defiícióját! a =, A = : P R x 0 R, x D f, x < x 0 : f(x) < P 108. Írja le a határértékre voatkozó átviteli elvet! f R R, a D f Ekkor lim f = A (x ) : N D f \ {a}, lim x = a : lim f(x ) = A a 109. Mit tud modai a hatváysor összegfüggvéyéek a határértékéről? α (x a) hatváysor kovergeciasugara R > 0, f(x) = α (x a) x K R (a), b K R (a). Ekkor lim b f = f(b) 110. Mit lehet modai mooto övekedő függvéy határértékéről? Legye = (α, β) R korlátos, vagy em korlátos itervallum. f : (α, β) R mooto övekedő függvéy. Ekkor lim f és lim f, a (α, β) : a+0 a 0 lim f = if{f(x) x < a, x (α, β)} a+0 lim f = sup{f(x) a 0 x < a, x (α, β)} 12

111. Mit lehet modai mooto csökkeő függvéy határértékéről? Legye = (α, β) R korlátos, vagy em korlátos itervallum. f : (α, β) R mooto csökkeő függvéy. Ekkor lim f és lim f, a (α, β) : a+0 a 0 limf = if{f(x) a+0 x > a, x (α, β)} limf = sup{f(x) a 0 x > a, x (α, β)} Felhaszált irodalom - ELTE IK programtervezői iformatikus szak 2012 tavaszi féléves Aalízis I. előadás alapjá írt órai jegyzetem - Szili László: Aalízis Feladatokba I. - Wikipédia 13