Egyszeres és kétszeres szinuszsorok és -integrálok egyenletes konvergenciája

Egyszeres és kétszeres szinuszsorok és -integrálok egyenletes konvergenciáj Ph.D. értekezés KÓRUS PÉTER Témvezető: DR. MÓRICZ FERENC z MTA doktor professzor emeritus Mtemtik- és Számítástudományok Doktori Iskol Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informtiki Kr Bolyi Intézet Szeged 2012

Trtlomjegyzék Bevezetés 1 1. Szinuszsorok 4 1.1. Történeti áttekintés................................. 4 1.2. Új eredmények................................... 6 1.3. Az állítások igzolás................................ 7 1.4. Formális deriválás és integrálás.......................... 12 2. Kettős szinuszsorok 14 2.1. A reguláris konvergenci.............................. 14 2.2. Az NBVDS és MVBVDS osztályok......................... 15 2.3. Segédállítások.................................... 16 2.4. A 2.2.1. és 2.2.2. Tételek bizonyítás....................... 18 2.5. Az SBVDS 1 és SBVDS 2 osztályok......................... 24 2.6. A 2.5.1. és 2.5.2. Tételek bizonyítás....................... 25 3. Szinuszintegrálok 30 3.1. Előzmények..................................... 30 3.2. Új eredmények................................... 32 3.3. Az állítások igzolás................................ 33 3.4. Formális deriválás és integrálás.......................... 37 4. Kettős szinuszintegrálok 40 4.1. Kettős integrálok konvergenciáj......................... 40 4.2. Új eredmények................................... 42 4.3. Segédállítások.................................... 44 4.4. A 4.2.1. és 4.2.2. Tételek bizonyítás....................... 46 Irodlomjegyzék 54 i

Trtlomjegyzék Összefogllás 56 Szinuszsorok........................................ 56 Kettős szinuszsorok.................................... 58 Szinuszintegrálok..................................... 59 Kettős szinuszintegrálok................................. 61 Summry 63 Sine series......................................... 63 Double sine series.................................... 65 Sine integrls....................................... 66 Double sine integrls................................... 68 ii

Bevezetés Kuttásom kiindulópontj S. P. Zhou, P. Zhou és D. S. Yu 2006-os [16] cikke volt, melyben szinuszsorok egyenletes konvergenciájávl fogllkoznk szerzők. A témkörben klsszikusnk tekinthető tétel T. W. Chundy és A. E. Jolliffe nevéhez fűződik, kik 1916- os [1] cikkükben dtk szükséges és elegendő feltételt nemnegtív, monoton nemnövő együtthtójú szinuszsorok egyenletes konvergenciájár. A XX. százd második felében kvázimonoton soroztosztályok bevezetésével (CQMS,RVQMS) megmuttták, hogy klsszikus feltétel szükséges és elegendő mrd z újonnn definiált együtthtójú sorok esetében is. A 2000-es években Leindler László z RBVS osztályt új koncepció lpján definiált, sorozt változásánk korlátozás lett z együtthtók monotonitási feltételének enyhítése felé. Leindler Chundy Jolliffe-tétel kiterjesztése mellett bebizonyított, hogy z RBVS és kvázimonoton soroztosztályok nem összehsonlíthtók. Később R. J. Le és S. P. Zhou GBVS osztály már kvázimonoton soroztokt és RBVS-t is trtlmzt, ezen osztályt pedig tovább áltlánosított z NBVS és z S. P. Zhou, P. Zhou és D. S. Yu áltl 2006-bn definiált MVBVS soroztosztály. Az áltlánosított monoton soroztosztályok definícióibn pedig zt is megengedték, hogy szinuszsorok együtthtóiról nem feltétlenül nemnegtív sorozt elemei legyenek, sőt, kár komplex számok is lehetnek. Az MVBVS osztályt, Chundy Jolliffe-tétel kiterjesztéséhez megfelelő, kkori legbővebb osztályt sikerült áltlánosítnom 2009-ben [4]-ben, z SBVS és SBVS 2 foglmk definiálásávl. Az SBVS foglmt S. Tikhonov [13]-beli áltlánosított monoton soroztosztály konstrukciój ihlette, ugynkkor [13]-bn Fourier-sorok (szinuszsorok, koszinuszsorok, vgy kár komplex trigonometrikus sorok) L 1 -konvergenciáját vizsgált szerző. Trigonometrikus sorok esetében z egyenletes konvergenci és L 1 - konvergenci közti párhuzmot jól muttj z tény, hogy két témkörben lpvető tételeket, melyeket nemnegtív, monoton nemnövő együtthtójú sorokr foglmztk meg, egyránt áltlánosították MVBVS-beli együtthtójú sorokr. Az egyenletes konvergenci problémájár nemcsk szinusz-, hnem koszinuszsorok és komplex trigonometrikus sorok esetében is vnnk eredmények, zonbn dolgoztbn csk 1

Bevezetés szinuszsorokt (később szinuszintegrálokt) vizsgáljuk. Megjegyzendő, hogy [3] cikkben is bizonyítnk állításokt vlós trigonometrikus sorok egyenletes konvergenciájár, ezen cikk zonbn [4] megíráskor még nem volt számomr elérhető. [3]-bn z áltlánosított monoton soroztosztályokt áltlános esetben vizsgálják, míg [4]-ben konkrét osztályokt és soroztokt dunk meg, és zokr bizonyítunk állításokt. A Chundy Jolliffe-tétel kiterjesztéséhez megfelelő legbővebb soroztosztály [4]-beli SBVS 2 osztály. Érdemes megemlíteni zt tényt is, hogy h egy szinuszsor egyenletesen konvergens, kkor mivel z egyenletes konvergenci megőrzi folytonosságot, sor összegfüggvénye folytonos. Megfordítv, h egy folytonos függvény Fourier-soránk (szinuszsoránk) együtthtói nemnegtívk, kkor Fourier-sor egyenletesen konvergál függvényhez (lásd [7, 12]). A kettős szinuszsorok egyenletes konvergenciájár z egyszeres szinuszsorokhoz képest kevesebb eredmény ismert. Kettős sorok esetében többféle konvergencifoglom hsználtos: Pringsheim-féle konvergenci és z nnál erősebb reguláris konvergenci. A kettős szinuszsorok reguláris konvergenciájánk egyenletességére I. E. Žk és A. A. Šneider 1966-os, orosz nyelvű [14] cikke szolgáltt szükséges és elegendő feltételt nemnegtív, monoton nemnövő együtthtójú sorok esetén. Az ottni feltétel természetesen elegendő Pringsheim-féle konvergenci egyenletességéhez is, zonbn nem szükséges hhoz. 2009-ben Móricz Ferenccel közös cikkünkben, [7]-ben áltlánosítottuk Žk és Šneider tételét z MVBVDS osztály segítségével, mely z MVBVS mintájár definiált, áltlánosított monoton, kettős soroztok osztály. Ezen cikkben már reguláris konvergenci Móricz-féle [9]-beli formáját hsználjuk, nem Žk és Šneider áltl lklmzott formáját. Legfrissebb eredményként pedig MVBVDS-t tovább áltlánosítottm [6]-bn, és beláttm [14] és [7]-beli tételek eddigi (áltlm ismert) legbővebb kiterjesztését. Bár Fourier integrálokkl számos szerző fogllkozott, z egyenletes konvergenciár vontkozón kevés eredmény tlálhtó. Kuttásomt Móricz Ferenc [10] cikke indított el, melyben z R + pozitív félegyenesen definiált szinuszintegrálok egyenletes konvergenciájár dott feltételrendszer hsonló szinuszsorok esetében megfoglmzottl. A diszkrét esettel nlóg módon itt függvények változásánk korlátozás célszerű, mi áltl áltlánosított monoton függvényosztályok keletkeznek. Amellett, hogy Móricz nemnegtív, monoton nemnövő függvény áltl meghtározott szinuszintegrálok egyenletes konvergenciáját jellemezte [10]-ben, z áltl bevezetett MVBVF(R + ) áltlánosított monoton függvényosztályr is igzolt tételeket. Ezen eredményeket bővítettem ki [5]-ben z SBVF(R + ) és SBVF 2 (R + ) függvényosztályok bevezetésével. Bár z 2

Bevezetés iménti osztályok definíciói nem triviálisk, természetességüket muttj z tény, hogy olyn egyszerű függvények is od trtoznk, mint például sin x vgy cos x, mely függvények nem MVBVF(R + )-beliek. Megjegyzendő, hogy Fourier integrálok egyenletes konvergenciájár vontkozón [2] cikkben is tlálhtók eredmények, melyeket [5] cikkem megíráskor még nem ismertem. [2]-ben z áltlánosított monoton függvényosztályokt áltlános esetben vizsgálják, [5]-ben viszont konkrét függvényosztályokt és példfüggvényeket dunk meg, és zokr bizonyítunk állításokt. Az első síknegyeden definiált kettős szinuszintegrálok egyenletes konvergenciájávl [8]-bn fogllkozunk. A disszertáció négy témáj közül ez tekinthető legfrissebbnek, ezen témkör vizsgált jelenleg újdonságnk számít. A [8]-bn elért eredmények és z egyszeres szinuszintegrálokr ill. kettős szinuszsorokr kpott eredmények között természetesen felfedezhető nlógi, zonbn triviális kiterjesztésről nem beszélhetünk, elegendő például kettős integrálok esetén nem széles körben ismert reguláris konvergenci foglmár gondolni. 3

1. fejezet Szinuszsorok 1.1. Történeti áttekintés Szinuszsornk nevezzük (1.1) c k sinkx k=1 lkú végtelen összeget, hol {c k } együtthtók komplex számok. Ezen összeg minden tgjábn 2π szerint periodikus, pártln függvény szerepel, így z (1.1) egyenletes k=1 konvergenciájánk vizsgáltkor elegendő z x [0,π] esetet figyelnünk. A {c k } jelölés fejezet során mindvégig z 1-es indexű tgtól indul, viszont szükség szerint c 0 = 0. A szinuszsorok egyenletes konvergenciájánk elméletében lpvető tételt Chundy és Jolliffe 1916-bn igzolt [1]-ben. Olyn szinuszsorokt vizsgáltk, melyek együtthtói monoton nemnövők, zz c 1 c 2..., másképpen foglmzv, c k 0 bármely k 1 esetén, hol c k = c k c k+1. 1.1.1. Tétel. [1] H {c k } R + := [0, ) monoton nemnövő, 0-hoz trtó sorozt, kkor z (1.1) szinuszsor kkor és csk kkor egyenletesen konvergens x-ben, h (1.2) kc k 0, h k. Az 1.1.1. Tételnek zót számos áltlánosítás ismert. Az áltlánosításokbn tételbeli monotonitási feltételt enyhítik szerzők úgy, hogy z (1.2) feltétel továbbr is szükséges és elegendő mrdjon. Így nemnegtív, monoton nemnövő soroztoknál bővebb soroztosztályokt definiáltk, melyek kár komplex számokt is trtlmzhtnk. Ezen osztályok közül néhány definícióját érdemes megemlíteni (további példák tlálhtók [16]-bn): 4

1. Szinuszsorok {c k } RBVS (Rest Bounded Vrition Sequences), h létezik (n-től független) C konstns, melyre c k C c n. {c k } GBVS (Group Bounded Vrition Sequences), h léteznek C, N 0 1 konstnsok, melyekre c k C mx c k. n k n+n 0 Az NBVS osztály foglmát D. S. Yu és S. P. Zhou 2006-bn vezette be [15]-ben: {c k } NBVS (Non-onesided Bounded Vrition Sequences), h létezik C konstns, melyre c k C ( c n + c 2n ). S. P. Zhou, P. Zhou és D. S. Yu ugynzon évben z MVBVS osztályt definiált [16]- bn: {c k } MVBVS (Men Vlue Bounded Vrition Sequences), h léteznek C,λ 2 konstnsok, melyek teljesítik (1.3) c k C n [λn] k=[n/λ] c k feltételt, hol [.] jelölés vlós szám egész részét jelöli. [15]-ben belátták, hogy NBVS trtlmzz z 1.1.1. Tétel áltlánosításához megfelelő, ddig legbővebbnek tekinthető soroztosztályt, GBVS-t, vlmint [16]-bn z MVBVS NBVS trtlmzást igzolták (pontos levezés tlálhtó [7]-ben). Továbbá bebizonyították következő állítást, klsszikus tétel ddigi legbővebb kiterjesztését: 1.1.2. Tétel. [16] Legyen {c k } C sorozt MVBVS-beli. (i) H (1.2) teljesül, kkor (1.1) egyenletesen konvergens x-ben. (ii) Megfordítv, h {c k } R + és (1.1) konvergenciáj egyenletes x-ben, (1.2) fennáll. Későbbi eredményeink szempontjából érdemes kiemelni z előző tétel bizonyításából két részeredményt, melyeket bizonyítás technikájánk megmuttásként be is bizonyítunk. 1.1.3. Lemm. Legyen {c k } MVBVS. Tegyük fel, hogy nc n 0, h n. Ekkor n c k 0, h n. Bizonyítás. Legyen ε > 0 tetszőleges, és n 0 = n 0 (ε) λ z pozitív egész szám, melyre bármely n > n 0 esetén n c n ε. Ekkor z (1.3) feltétel szerint bármely n > n 0 esetén c k = r =0 2 r +1 n 1 k=2 r n c k C 5 r =0 1 2 r n [λ2 r n] k=[2 r n/λ] c k

1. Szinuszsorok Cε n 1 r =0 2 r [λ2 r n] k=[2 r n/λ] 1 k 2λ2 Cε 1 n 2 r = 4λ2 Cε, n r =0 hiszen [λ2 r n] k=[2 r n/λ] 1.1.4. Lemm. Legyen {c k } R + MVBVS-beli. Ekkor 1 k 1 [λ2r n] [2 r n/λ] 2λ2 h n λ,r 0. nc n (C + 1) [λn] k=[n/2λ] hol C és λ z MVBVS-beli definícióbn szereplő, {c k }-hoz trtozó konstnsok. Bizonyítás. Legyen n tetszőleges. Ekkor bármely n + 1 ν 2n egész számr c n ν 1 c k + c ν c k, c k + c ν C n [λn] k=[n/λ] c k + c ν. Összegezve z előbb kpott egyenlőséget ν = n + 1,..., 2n-re kpjuk, hogy nc n C [λn] k=[n/λ] c k + 2n ν=n+1 c ν (C + 1) [λn] k=[n/2λ] c k. 1.2. Új eredmények Célunk z MVBVS osztály kibővítése volt úgy, hogy z 1.1.2. Tétel állítási igzk mrdjnk z új soroztosztály mellett is. A következő osztály foglmát [4]-ben vezettük be, mit S. Tikhonov [13] cikkében szereplő 6 β konstrukció ihletett (z ott szereplő mximum zonbn nem feltétlenül létezik, így szuprémum hsznált célszerű). Definíció. A {c k } C soroztot Supremum Bounded Vrition Sequence-nek nevezzük, jelben {c k } SBVS, h léteznek olyn C és λ 1 konstns számok, melyek csk {c k }-tól függnek, és (1.4) c k C n 2m m [n/λ] k=m c k fennáll minden n 1 esetén. Továbbá észrevettük, hogy z (1.4)-ben szereplő felső korlátbn z összegzést indíthtjuk kár [n/λ]-nál lentebbről is, csk z összegzés lsó htár trtson végtelenbe, h n trt végtelenbe. Így kpjuk z SBVS 2 foglmát. 6

1. Szinuszsorok Definíció. A {c k } C soroztot Supremum Bounded Vrition Sequence of 2nd typenk nevezzük, jelben {c k } SBVS 2, h létezik olyn C konstns és végtelenbe trtó {b(k)} k=1 R + sorozt, melyek csk {c k }-tól függnek, és melyekre (1.5) c k C n 2m m b(n) k=m c k. Megjegyezzük, hogy h definícióbeli {b(k)} sorozttól elvárjuk, hogy monoton nemcsökkenő legyen, kkor ugynzon {c k } soroztok mrdnk SBVS 2 -ben (hiszen tetszőleges {b(k)} sorozt helyettesíthető egy monoton nemcsökkenő {b (k) := minb(l )} sorozttl). Megmuttjuk, hogy z SBVS 2,SBVS,MVBVS osztályok között vlódi trtlmzási reláció áll fenn. 1.2.1. Tétel. [4] SBVS 2 SBVS MVBVS. Az 1.1.2. Tétel áltlánosítás következő: 1.2.2. Tétel. [4] Legyen {c k } C sorozt SBVS 2 -beli. (i) H (1.2) teljesül, kkor (1.1) egyenletesen konvergens x-ben. (ii) Megfordítv, h {c k } R + és (1.1) konvergenciáj egyenletes x-ben, kkor (1.2) fennáll. 1.2.3. Következmény. H {c k } R + sorozt SBVS 2 -beli, kkor (1.2) szükséges és elegendő feltétel z (1.1) sor x-ben vett egyenletes konvergenciájához. Végül egy észrevételt teszünk z SBVS 2 \ SBVS-beli soroztokr. 1.2.4. Állítás. [4] Bármely olyn SBVS 2 -beli soroztr, mely nem SBVS-beli, (1.2) fennáll. Azz z ilyen együtthtójú szinuszsorok egyenletesen konvergensek. l k 1.3. Az állítások igzolás Az 1.2.1. Tétel bizonyítás. Először megmuttjuk, hogy SBVS MVBVS. Legyen {c k } MVBVS C és λ konstnsokkl. Ekkor (1.3) szerint bármely n λ-r [λn] c k C k n k=[n/λ] c C n 2λ2 C n 2m m [n/λ] k=m ( 2[n/λ] 1 k=[n/λ] c k. 2λ 2 [n/λ] 1 c k +... + k=λ 2 [n/λ] ) c k 7

1. Szinuszsorok Mivel véges sok (1 n < λ) esetben nem dtunk becslést bl oldlon szereplő kifejezésre, ezért létezik C 1 konstns, melyre c k C 1 2m m [n/λ] k=m becslés érvényes minden 1 n < λ-re. Tehát {c k } SBVS mx{2λ 2 C,C 1 } és λ konstnsokkl. Második lépésben megdunk egy olyn példsoroztot, mely SBVS-beli, de nem MVBVS-beli. Ezen {c k } legyen következő: djuk meg pozitív számoknk egy nemnövő {d j } j =1 soroztát, legyen n j = 2 (22j ) (j = 1,2,...) és 0, h k < n 1, c k d j, h k = n j, c k := 0, h n j < k < n 2 j, d j, h n 2 j k < 2n2 j, 0, h 2n 2 j k < n j +1. Megmuttjuk, hogy {c k } nem MVBVS-beli. Indirekt módon bizonyítjuk állításunkt. Tegyük fel, hogy {c k } MVBVS C és λ 2 konstnsokkl. Ekkor és elég ngy j -re C 2n j 1 j c k = d j [λn j ] n j k=[n j /λ] c k = C n j d j, ez pedig ellentmont (1.3)-nk, hiszen elég ngy j -re 2n j 1 j c k = d j > C n j d j = C n j Tehát {c k } MVBVS. Másrészről, n j /2 n n j -re [λn j ] k=[n j /λ] c k. c k 2d j = 2 n 2 j 2n 2 j 2 j c k 1 n 2m m n k=m c k, n 2 j /2 n 2n2 j -re c k 2d j = 2 n 2 j 2n 2 j 2 j c k 4 n 2m m [n/2] k=m c k, 8

1. Szinuszsorok és mrdék n érték esetén c k = 0 1 n 2m m n k=m Tehát {c k } SBVS C = 4 és λ = 2 konstnsokkl. Érdemes megjegyezni, hogy {d j } c k. soroztot válszthtjuk úgy, hogy {c k } teljesítse (1.2)-t, de úgy is, hogy ne. Az SBVS 2 SBVS trtlmzási reláció b(n) = [n/λ] helyettesítéssel könnyen láthtó. Végül, konstruálunk egy SBVS 2 \SBVS-beli soroztot. Az előző példához hsonlón definiálunk. Legyen {d j } j =1 nemnövő, pozitív számsorozt, n j = 2 (22j ) (j = 1,2,...) és c k := 0, h k < n 1, d j n 2, j h k = n j, 0, h n j < k < n 2 j, d j +1 n 3/2 j +1, h n2 j k 2n2 j, 0, h 2n 2 j < k < n j +1. Indirekt tegyük fel, hogy {c k } SBVS C és λ konstnsokkl. Ekkor és elég ngy j -re C 2m n j m [n j /λ] k=m 2n j 1 j c k = 2 d j n 2 j c k = C { mx n j k j d k n 2 k, k>j n 1/2 k d k n 3/2 k } = C d j n 3, j ezért elég ngy j -re (1.4) nem áll fenn, ez pedig ellentmondás. Tehát {c k } SBVS. Ellenben könnyen meggondolhtó, hogy {c k } SBVS 2, csk z n j /2 n n j eset érdekes, mikor is c k 2 d j n 2 j = 2 2n1/2 j n j 1/2 j c k 2 n 2n 1/2 j 1/2 j c k. Az 1.2.2. Tétel bizonyítás előtt bebizonyítunk két, z 1.1.3. és 1.1.4.-hez hsonló lemmát. 1.3.1. Lemm. Legyen {c k } SBVS 2. H tetszőleges ε > 0-hoz létezik n 0 = n 0 (ε) úgy, hogy bármely n > n 0 esetén n c n ε, kkor létezik olyn n 1, melyre bármely n > n 1 esetén b(n) > n 0. Továbbá bármely n > n 1 -r fennáll c k 4Cε n 9

1. Szinuszsorok összefüggés. Azz h (1.2) fennáll, kkor n c k 0, h n. Bizonyítás. Mivel b(n) végtelenbe trt, n 1 létezése evidens. Hsználv (1.5)-öt, bármely n > n 1 esetén c k = r =0 Cε n 2 r +1 n 1 k=2 r n r =0 c k C 1 2 r r =0 2m m b(2 r n) k=m 1.3.2. Lemm. Legyen {c k } R + SBVS 2 -beli. Ekkor nc n C 2m m b(n) k=m 1 2 r n 1 k 2Cε n c k + 2m m b(2 r n) k=m 2n c k r =0 c k 1 2 r = 4Cε n. hol C és b(n) z SBVS 2 -beli definícióbn szereplő, {c k }-hoz trtozó konstns ill.sorozt. Bizonyítás. Hsonlón z 1.1.4. Lemm bizonyításához, világos, hogy nc n 2n ν 1 ν=n+1 c k + c ν 2n ν=n+1 c k + 2n ν=n c ν C 2m m b(n) k=m c k + 2n c k. Az 1.2.2. Tétel bizonyítás. Legyen {c k } SBVS 2 hozzátrtozó C konstnssl és b(k) sorozttl. (i) rész: Tegyük fel, hogy (1.2) fennáll. Ekkor létezik z 1.3.1. Lemm szerinti n 0 és n 1. Be fogjuk látni, hogy bármely N n > n 2 := mx{n 0,n 1 } esetén (1.6) N s(n, N ; x) := c k sinkx (4Cπ + 2π + 1)ε. Mivel s(n, N ;0) = s(n, N ;π) = 0, ezért elegendő z x (0,π) esettel fogllkoznunk. Legyen ν := [1/x]. Ekkor bármely n 2 < n N ν esetén hiszen 0 < y < 1 esetén sin y y. N s(n, N ; x) x k c k 1 ν ν ε ε, Továbbá, egy Abel-átrendezés után (lásd [17, 3. oldl]) z 1.3.1. Lemmát lklmzv kpjuk, hogy bármely mx{n 2,ν} < n N esetén N 1 s(n, N ; x) c k D k (x) + c N D N (x) + c n D n 1 (x) 10

hol D k (x) = 1. Szinuszsorok π ( ) c k + c N + c n x (4C + 2)πε, ( π n 4Cε ) n + N c N + n c n k sin jx konjugált Dirichlet-mgfüggvény (lásd [17, 2. oldl]), melyről j =1 ismert, hogy D k (x) π/x bármely k 1 és 0 < x π esetén. Végül, z n 2 < n ν < N esetben s(n, N ; x) s(n,ν; x) + s(ν + 1, N ; x) (4Cπ + 2π + 1)ε. Ezzel z (1.6) egyenlőtlenség és így z (i) rész igzolást nyert. (ii) rész: Tegyük fel, hogy {c k } R + és (1.1) egyenletesen konvergens x-ben. Legyen ε > 0 tetszőleges. Ekkor Cuchy-féle konvergencikritérium lklmzásávl kpjuk, hogy létezik olyn n 0, melyre bármely n > n 0 és tetszőleges x esetén (1.7) s(n,2n; x) = 2n c k sinkx ε. Legyen Ekkor tetszőleges n k 2n esetén x(n) := π 4n. π 4 kx(n) π 2 és így (1.8) sin(kx(n)) sin π 4 = 1 2, n k 2n. Mivel b(n), ezért létezik olyn n 1, melyre bármely n > n 1 esetén b(n) > n 0. Ekkor z 1.3.2.Lemm, vlmint (1.7) és (1.8) következtében bármely n > n 2 := mx{n 0,n 1 }-re fennáll z nc n C 2m m b(n) k=m 2(C + 1)ε c k + 2n c k 2C m b(n) ( s(m,2m; x(m)) + s(n,2n; x(n)) ) egyenlőtlenség, ezzel tétel második része is bizonyítást nyert. Az 1.2.4 Állítás bizonyítás. Tegyük fel, hogy {c k } SBVS 2 \ SBVS. Legyen B n := 2m m n k=m c k és S := limb n, n 11

1. Szinuszsorok hol B n,s [0, ]. Nyilvánvló, hogy B n nemnövő sorozt. Ezért z S = esetben B n = minden n-re, mi viszont ellentmondás, mivel (1.4) teljesül tetszőleges C,λ esetén. A második lehetőség z, hogy 0 < S <. Ekkor {B n } korlátos, tehát S < B n < T, ez viszont ellentmond {c k } SBVS feltevésnek, mivel (1.4) fennáll C T /S és tetszőleges λ konstnsokkl, hol C {c k }-hoz trtozó, (1.5)-beli konstns. Az utolsó S = 0 esetben 2n c k és B b(n) is 0-hoz trt, h n trt végtelenbe, így z 1.3.2. Lemm felhsználásávl megkpjuk (1.2)-t. 1.4. Formális deriválás és integrálás Ebben z lfejezetben (1.9) k r c k sinkx k=1 sor egyenletes konvergenciáját vizsgáljuk, hol r egész. Ezen sor r = 0 esetben z (1.1) szinuszsor, pozitív páros r esetén (1.1) r -szeres formális deriváltj, negtív páros r esetén (1.1) r -szeres formális integrálj; pártln r esetén koszinuszsor formális deriváltjáról ill. integráljáról beszélünk, ezen esetet itt most nem tárgyljuk. Az lfejezet eredményei megtlálhtók [5]-ben. Könnyen meggondolhtó, hogy h r pozitív, létezik olyn {c k } nemnegtív, monoton nemnövő sorozt, melyre {k r c k } nem trtozik monoton nemnövő soroztok közé. Ellenben z MVBVS osztály zárt k r -rel vló szorzásr (r egész), mint zt következő tétel muttj. 1.4.1. Tétel. H {c k } sorozt MVBVS-beli, kkor {d k = k r c k } szintén MVBVS-beli tetszőleges rögzített r egész szám esetén. Bizonyítás. Legyen {c k } MVBVS C és λ konstnsokkl. Elegendő megmuttnunk, hogy {d k = k r c k } MVBVS, h r = 1 vgy r = 1, hiszen ekkor teljes indukciót lklmzv minden r -re kiterjeszthető z eredmény. Az r = 1 esetben 2n míg r = 1-re d k 2n 2n 4Cλ n d k [λn] ( k ck c k+1 + c k+1 ) 2C k + k=[n/λ] c 1 n 2n [λn] k=[n/λ]k c k + 1 n 2n+1 +1 k c k 4Cλ + 1 n ( ) 1 k + 1 c 1 k c k+1 + k(k + 1) c k+1 12 2n+1 +1 [λn] k=[n/λ] k c k d k,

[λn] C n 2 k + k=[n/λ] c 1 n 1. Szinuszsorok 2n+1 +1 1 k c k Cλ + 1 n [λn] k=[n/λ] d k. Tehát tekintett r -ek esetén {d k } teljesíti z (1.3) feltételt, így mindkét esetben {d k } MVBVS. Az előbbi tétel és z 1.1.2. Tételt összegezve következőt kpjuk: 1.4.2. Következmény. Legyen {c k } MVBVS és r páros szám. (i) H k r +1 c k 0, kkor (1.9) egyenletesen konvergens x-ben. (ii) Megfordítv, h {c k } R + és (1.9) egyenletesen konvergens x-ben, kkor k r +1 c k 0. Az SBVS osztályr z 1.4.1. Tétel fele igz. 1.4.3. Tétel. H {c k } sorozt SBVS-beli, kkor {d k = k r c k } szintén SBVS-beli tetszőleges rögzített r pozitív egész szám esetén. Bizonyítás. Elegendő z r = 1 esettel fogllkoznunk, ekkor {d k = k r c k } SBVS, hiszen 2n d k 2n 4Cλ + 1 n ( k ck c k+1 + c k+1 ) 2C m [n/λ] k=m Az iménti tétel és z 1.2.2. Tétel összevetéséből dódik 2m 2m m [n/λ] k=m c k + 1 n 2n+1 +1 k c k d k. 1.4.4. Következmény. H {c k } SBVS és r pozitív páros szám, kkor z 1.4.2. Következmény (i) és (ii) állítási fennállnk. Meggondolhtó, hogy SBVS 2 sem pozitív, sem negtív r esetén nem zárt k r -rel vló szorzásr. 13

2. fejezet Kettős szinuszsorok 2.1. A reguláris konvergenci Legyen {c j k } j,k=1 komplex számok kettős sorozt, röviden {c j k} C. Tekintsük (2.1) c j k sin jx sink y j =1 k=1 kettős szinuszsort. Ezen kettős sor egyenletes, reguláris konvergenciáját fogjuk vizsgálni (x, y)-bn. Mivel (2.1) minden tgj x-ben ill. y-bn is 2π szerint periodikus pártln függvény, ezért z egyenletes konvergenci vizsgáltkor elegendő z (x, y) [0,π] [0,π] pontpárokkl fogllkoznunk. A {c j k } jelölés fejezet során mindvégig z 1,1 indexű tgtól indul, viszont szükség szerint c 0k = c j 0 = 0. A z j k kettős sor regulárisn konvergens, h j =1 k=1 m n z j k j =1 k=1 tégllp lkú összegek véges számhoz konvergálnk, mikor m és n egymástól függetlenül végtelenbe trt, továbbá z j n, n = 1,2,... j =1 úgynevezett "sorösszegek", vlmint z mk, m = 1,2,... k=1 "oszlopösszegek" is konvergensek. Amennyiben sor- ill. oszlopösszegek konvergenciáját nem követeljük meg, csk tégllp lkú összegek konvergenciáját, kkor Pring- 14

2. Kettős szinuszsorok sheim értelemben vett konvergenciáról beszélünk. Amely kettős sor reguláris értelemben konvergens, z Pringsheim értelemben is z, viszont fordított irányú érvelés nem igz. A reguláris konvergenci definíciójávl ekvivlens (lásd [9]) következő: z j k regulárisn konvergens, h bármely ε > 0-hoz létezik olyn pozitív m 0 = j =1 k=1 m 0 (ε) küszöbszám, melyre M N z j k < ε fennáll minden olyn m,n, M, N számokr, melyekre m+n > m 0, 1 m M, 1 n N. Az egyváltozós Chundy Jolliffe-tételhez hsonlón, kettős szinuszsorok esetében is ismert egy tétel kkor, mikor z együtthtók nemnegtív, monoton nemnövő kettős soroztot lkotnk. A nemnegtív vlós {c j k } kettős sorozt monoton nemnövő, h 10 c j k 0, 01 c j k 0, 11 c j k 0, j,k = 1,2,..., hol 10 c j k := c j k c j +1,k, 01 c j k := c j k c j,k+1, 11 c j k := 10 ( 01 c j k ) = 01 ( 10 c j k ) = c j k c j +1,k c j,k+1 + c j +1,k+1. Žk és Šneider tétele következő: 2.1.1. Tétel. [14] H {c j k } R + monoton nemnövő, kkor (2.1) reguláris konvergenciáj egyenletes (x, y)-bn kkor és csk kkor, h (2.2) j kc j k 0, h j + k. 2.2. Az NBVDS és MVBVDS osztályok A monotonitás áltlánosításképp először definiáljuk z NBVS osztály kétdimenziós megfelelőjét. Definíció. A {c j k } C kettős soroztot Non-onesided Bounded Vrition Double Sequence-nek nevezzük, röviden {c j k } NBVDS, h létezik csk {c j k }-tól függő C konstns, melyre (2.3) (2.4) 2m 1 10 c j n C ( c mn + c 2m,n ), 01 c mk C ( c mn + c m,2n ), 15

2. Kettős szinuszsorok (2.5) 2m 1 11 c j k C ( c mn + c 2m,n + c m,2n + c 2m,2n ). Könnyen meggondolhtó, hogy bármely nemnegtív, monoton nemnövő kettős sorozt NBVDS-beli. Az MVBVS osztály kétdimenziós megfelelője következő. Definíció. A {c j k } C kettős soroztot MVBVDS-belinek (Men Vlue Bounded Vrition Double Sequences) nevezzük, h léteznek C és λ 2 konstns számok, melyek csk {c j k }-tól függnek, és melyekre (2.6) (2.7) (2.8) 2m 1 2m 1 10 c j n C m 01 c mk C n 11 c j k C mn [λm] j =[m/λ] [λn] k=[n/λ] [λm] c j n, m λ, n 1, c mk, m 1, n λ, [λn] j =[m/λ] k=[n/λ] c j k, m,n λ. Megmuttjuk, hogy z MVBVDS és z NBVDS osztályok között vlódi trtlmzási reláció áll fenn. 2.2.1. Tétel. [7] MVBVDS NBVDS. A 2.1.1. Tétel áltlánosítás következő: 2.2.2. Tétel. [7] Legyen {c j k } C kettős sorozt MVBVDS-beli. (i) H (2.2) teljesül, kkor (2.1) reguláris konvergenciáj egyenletes (x, y)-bn. (ii) Megfordítv, h {c j k } R + és (2.1) reguláris konvergenciáj egyenletes (x, y)-bn, kkor (2.2) fennáll. Speciálisn, h {c j k } R + kettős sorozt MVBVDS-beli, kkor (2.2) szükséges és elegendő feltétele nnk, hogy (2.1) reguláris konvergenciáj egyenletes legyen (x, y)-bn. 2.3. Segédállítások A 2.2.1. és 2.2.2. Tételek bizonyítás előtt belátunk két lemmát, melyek z MVBVDS osztályb trtozó soroztok fontos tuljdonságit muttják meg. 2.3.1. Lemm. [7] Tegyük fel, hogy {c j k } C teljesíti (2.2) és (2.8) feltételeket. Ekkor (2.9) mn 11 c j k 0, h m + n és m,n λ. 16

2. Kettős szinuszsorok Továbbá, (2.10) mn 10 c j k 0, mn k n 01 c j k 0, j m h m + n és m,n λ. Bizonyítás. Legyen ε > 0 tetszőleges. Ekkor (2.2) szerint létezik m 0 = m 0 (ε) küszöbszám, melyre j k c j k ε bármely j + k > m 0 esetén. Így (2.8)-t felhsználv kpjuk, hogy bármely m + n > m 0 és m,n λ esetén igz következő: 11 c j k = 2 r +1 m 1 r =0 s=0 j =2 r m C Cε mn r =0 s=0 4λ4 Cε mn 1 2 r +s mn 1 2 s+1 n 1 k=2 s n 11 c j k [λ2 r m] [λ2 s n] j =[2 r m/λ] k=[2 s n/λ] [λ2 r m] [λ2 s n] r =0 s=0 2 r +s j =[2 r m/λ] k=[2 s n/λ] 1 r =0 2 r s=0 mi igzolj (2.9)-et. (2.10) első része következik 10 c j k k n k n ν=k 1 2 s = 16λ4 Cε mn, 11 c j ν c j k 1 j k 11 c j k egyenlőtlenségből, második része pedig hsonló módon beláthtó. 2.3.2. Lemm. [7] Legyen {c j k } R + MVBVDS-beli C és λ konstnsokkl. Ekkor (2.11) mnc mn (3C + 2) [λm] [λn] j =[m/λ] k=[n/λ] c j k, h m,n λ. Bizonyítás. Legyen m, n λ tetszőleges. Ekkor (2.6) szerint bármely m + 1 µ 2m és ν egész számokr c mν µ 1 2m 1 10 c j ν + c µν 10 c j ν + c µν C m [λm] j =[m/λ] c j ν + c µν. Hsonlón kpjuk, (2.7)-et lklmzv, hogy bármely µ és n + 1 ν 2n-re c µn C n [λn] k=[n/λ] c µk + c µν. Továbbá, bármely m + 1 µ 2m, n + 1 ν 2n egész számokr fennáll c mn = µ 1 ν 1 11 c j k + c mν + c µn c µν 17 µ 1 ν 1 11 c j k + c mν + c µn

2m 1 2. Kettős szinuszsorok 11 c j k + c mν + c µn C mn [λm] [λn] j =[m/λ] k=[n/λ] c j k + c mν + c µn egyenlőtlenség. Összegezve legutóbb kpott egyenlőtlenséget µ és ν megengedett értékeire, mnc mn C C + 2 [λm] [λn] j =[m/λ] k=[n/λ] [λm] [λn] j =[m/λ] k=[n/λ] 2m 2n µ=m+1 ν=n+1 c j k + m c j k +C 2n ν=n+1 2n c mν + n [λm] ν=n+1 j =[m/λ] c µν (3C + 2) [λm] 2m c µn µ=m+1 c j ν +C [λn] j =[m/λ] k=[n/λ] 2m [λn] c µk µ=m+1 k=[n/λ] c j k. Ezzel beláttuk (2.11)-et. 2.4. A 2.2.1. és 2.2.2. Tételek bizonyítás A 2.2.1. Tétel bizonyítás. Megmuttjuk, hogy MVBVDS NBVDS. Ehhez tekintsünk egy tetszőleges {c j k } NBVDS-beli soroztot C konstnssl. (2.3) és (2.4) szerint {c j k } j =1 NBVS MVBVS és {c j k} NBVS MVBVS, ezért (2.6) és (2.7) egyenlőtlenségek fennállnk C helyett 6C -vel és λ = 3-ml (lásd [7]). Tehát már csk (2.8)-t k=1 kell igzolnunk. Legyen m,n 6. Ekkor (2.3)-t lklmzv µ,ν párokr, hol m [m/6] µ m + [m/6], n [n/6] ν n + [n/6], kpjuk, hogy m+[m/6] n+[n/6] 2µ 1 2ν 1 µ=m [m/6] ν=n [n/6] j =µ k=ν C m+[m/6] 11 c j k n+[n/6] [m/6] [n/6] Az egyenlőtlenség bl oldlán 11 c j k leglább ([ m 6 ( c j k + c 2j,k + c j,2k + c 2j,2k ). ] )([ n ] ) + 1 + 1 mn 6 36 -szor szerepel minden m j 2m 1, n k 2n 1 indexpárr, vlmint jobb oldlon c j k lehetséges indexeire [ m ] min j m m [ n ] 6 3, mink n n 6 3, 18

2. Kettős szinuszsorok illetve c 2j,2k lehetséges indexeire ( [ m ]) ( [ n ]) mx j 2 m + 3m, mxk 2 n + 3n, 6 6 továbbá egyetlen indexpár sem szerepel egynél többször, hiszen és hsonlón k-r. Tehát [ m ] ( [ m ]) mx j m + < 2 m min2j, 6 6 mn 36 2m 1 11 c j k C így {c j k } MVBVDS 36C és λ = 3 konstnsokkl. 3m 3n j =[m/3] k=[n/3] c j k, Ezek után példát muttunk olyn soroztr, mely MVBVDS \ NBVDS-beli. Vegyünk egy olyn {c k } soroztot, mely MVBVS-beli C és λ konstnsokkl, de nem NBVS-beli, és legyen c j k := c j c k. Ekkor (2.6) teljesül, hiszen 2m 1 2m 1 10 c j n = c n és (2.7) hsonlón igzolhtó. Továbbá, 2m 1 2m 1 11 c j k = = C 2 mn [λm] c j c n C j = m j =[m/λ] c C m c j [λm] j =[m/λ] k=[n/λ] [λm] c k C j m j =[m/λ] c C n [λn] c j k, [λm] j =[m/λ] [λn] k=[n/λ] c j n, c k tehát {c j k } MVBVDS C 2 és λ konstnsokkl. Ellenben, mivel {c k } NBVS, ezért c j k definíciój mitt sem (2.3), sem (2.4) nem teljesül. A 2.2.2. Tétel bizonyítás. Legyen {c j k } C MVBVDS-beli C és λ konstnsokkl. (i) rész: Tegyük fel, hogy (2.2) fennáll. A (2.6) és (2.7) feltételek teljesülése mitt {c j n } j =1 MVBVS bármely n-re és {c mk} MVBVS bármely m-re, ezért z 1.1.2.Tétel k=1 lklmzhtó, így (2.12) c j n sin jx, n = 1,2,...; j =1 c mk sink y, m = 1,2,... k=1 sor- ill. oszlopösszegek egyenletesen konvergensek x-ben ill. y-bn, ezáltl (x, y)-bn is. Az elkövetkezőkben z s(m, M;n, N ; x, y) jelölést hsználjuk tégllp lkú összegek rövidítésére: M N s(m, M;n, N ; x, y) := c j k sin jx sink y. 19

2. Kettős szinuszsorok Mivel s(m, M;n, N ;0, y) = s(m, M;n, N ; x,0) = 0, ezért elegendő z (x, y) (0,π) (0,π) pontpárokkl fogllkoznunk. Legyen [ ] 1 µ(x) := x [ ] 1 és ν(x) :=. y Legyen ε > 0 tetszőleges. Ekkor (2.2)-ből következik, hogy létezik olyn m 1 = m 1 (ε) > λ, melyre mn c mn ε bármely m,n > m 1 esetén. Továbbá, 2.3.1. Lemm szerint létezik m 2 = m 2 (ε) > λ, melyre mn 11 c j k ε, mn 10 c j k ε, mn k n bármely m,n > m 2 esetén. Legyen m 0 := mx{m 1,m 2 }. 01 c j k ε j m Az s(m, M; n, N ; x, y) tégllp lkú összegek bszolút értékének becslésekor négy lpesetet különböztetünk meg, z m, M és µ ill. z n, N és ν viszony lpján. ezért (b) eset: mx{m 0,µ} < m M és m 0 < n N ν. Ekkor következőképpen becsülünk. () eset: m 0 < m M µ és m 0 < n N ν. Ekkor mivel 0 < j x < 1 és 0 < k y < 1, s(m, M;n, N ; x, y) x y M N c j k 1 µν µ ν ε ε. N M N s(m, M;n, N ; x, y) = sink y c j k sin jx y M k c j k sin jx 1 ν ν M k c j k sin jx. Ezután z utolsó összeget Abel-átrendezéssel átlkítv, mjd konjugált Dirichletmgfüggvény ismert becslését lklmzv hsonlón z 1.2.2. Tétel (i) részének bizonyításához kpjuk, hogy M M 1 c j k sin jx 10 c j k D j (x) + c Mk D M (x) + c mk D m 1 (x) π x M 1 Így z eredeti becslést folyttv s(m, M;n, N ; x, y) π xν 10 c j k + c Mk + c mk. ν ( M 1 ) k 10 c j k + c Mk + c mk 20

π ν 2. Kettős szinuszsorok ν z m 0 definícióját felhsználv pedig ( mk s(m, M;n, N ; x, y) π ν ) 10 c j k + Mk c Mk + mk c mk, ν 3ε 3πε. (c) eset: m 0 < m M µ és mx{m 0,ν} < n N. Ezen eset (b) szimmetrikus párj, és hhoz hsonló érveléssel dódik, hogy s(m, M;n, N ; x, y) 3πε. (d) eset: mx{m 0,µ} < m M és mx{m 0,ν} < n N. Ekkor kettős Abel-átrendezéssel dódik, hogy s(m, M;n, N ; x, y) = M 1 N 1 D j (x) D k (y) 11 c j k M 1 + D j (x) D N (y) 10 c j N N 1 + M 1 D j (x) D n 1 (y) 10 c j n N 1 D M (x) D k (y) 01 c Mk D m 1 (x) D k (y) 01 c mk + c M N D M (x) D N (y) c Mn D M (x) D n 1 (y) c mn D m 1 (x) D N (y) + c mn D m 1 (x) D n 1 (y), így s(m, M;n, N ; x, y) π2 x y Végül, z m 0 definíciój lpján ( M 1 N 1 N 1 + M 1 11 c j k + N 1 01 c Mk + M 1 10 c j N + 01 c mk ) + c M N + c Mn + c mn + c mn ( π 2 mn + 2 11 c j k + 2 10 c j k k n 01 c j k + 4 c j k j m j m,k n 10 c j n ). s(m, M;n, N ; x, y) 9π 2 ε. 21

2. Kettős szinuszsorok Az lpesetekben kpott becslések lpján belátjuk, hogy tetszőleges M m > m 0, N n > m 0 és (x, y) esetén (2.13) s(m, M;n, N ; x, y) (9π 2 + 6π + 1)ε. Legyen (x, y) tetszőleges, de rögzített számpár, ekkor µ és ν is rögzített szám, melyek m 0 -hoz vló viszony ismeretlen. Kilenc esetet tárgylunk, mi áltl z összes szükséges m, M, n, N számnégyest megvizsgáljuk. µ és ν értékétől függően előfordulht, hogy egyes esetekben nincsen olyn m, M,n, N számnégyes, mely teljesíti z dott eset feltételeit; ezzel együtt vizsgáltunk teljeskörű. Megjegyzendő, hogy z 5. eset tetszőleges µ,ν pár esetén megvlósul. 1. eset: m 0 < m M µ és m 0 < n N ν. Ez megegyezik () lpesettel, ekkor tehát s(m, M;n, N ; x, y) ε. 2. eset: mx{m 0,µ} < m M és m 0 < n N ν. Ezt z esetet tárgyltuk (b)-ben. Ekkor s(m, M;n, N ; x, y) 3πε. 3. eset: m 0 < m µ < M és m 0 < n N ν. Ekkor z () és (b) lpesetekbeli becsléseket felhsználv kpjuk, hogy s(m, M;n, N ; x, y) s(m,µ;n, N ; x, y) + s(µ + 1, M;n, N ; x, y) (3π + 1)ε. 4. eset: m 0 < m M µ és mx{m 0,ν} < n N. Ezt z esetet tárgyltuk (c)-ben (ez 2. eset szimmetrikus párj). Ekkor s(m, M;n, N ; x, y) 3πε. 5. eset: mx{m 0,µ} < m M és mx{m 0,ν} < n N. Ez megegyezik (d) lpesettel, tehát s(m, M;n, N ; x, y) 9π 2 ε. 6. eset: m 0 < m µ < M és mx{m 0,ν} < n N. A (c) és (d) lpesetekbeli becsléseket felhsználv kpjuk, hogy s(m, M;n, N ; x, y) s(m,µ;n, N ; x, y) + s(µ + 1, M;n, N ; x, y) (9π 2 + 3π)ε. 7. eset: m 0 < m M µ és m 0 < n ν < N. Ez 3. eset szimmetrikus párj, z () és (c) lpesetek figyelembe vételével s(m, M;n, N ; x, y) s(m, M;n,ν; x, y) + s(m, M;ν + 1, N ; x, y) (3π + 1)ε. 8. eset: mx{m 0,µ} < m M és m 0 < n ν < N. Ez 6. eset szimmetrikus párj, (b) és (d) lpeseteket felhsználv kpjuk, hogy s(m, M;n, N ; x, y) s(m, M;n,ν; x, y) + s(m, M;ν + 1, N ; x, y) (9π 2 + 3π)ε. 9. eset: m 0 < m µ < M és m 0 < n ν < N. Az () (d) lpeseteket összegezve dódik, hogy ekkor s(m, M;n, N ; x, y) s(m,µ;n,ν; x, y) + s(µ + 1, M;n,ν; x, y) 22

2. Kettős szinuszsorok + s(m,µ;ν + 1, N ; x, y) + s(µ + 1, M;ν + 1, N ; x, y) (9π 2 + 6π + 1)ε. Ezzel beláttuk (2.13)-t. Ahhoz, hogy igzoljuk (2.1) egyenletes, reguláris konvergenciáját, szükség vn még nnk bebizonyításár, hogy s(m, M;n, N ; x, y) elég kicsi, h m +n elég ngy. Ehhez rögzítsünk egy tetszőleges η > 0 számot. Válsszuk (2.13)-beli ε-t következőképpen: (2.14) ε := η 2(9π 2 + 6π + 1). Tudjuk, hogy (2.12)-beli első m 0 db sorösszeg és első m 0 db oszlopösszeg egyenletesen konvergens. Tehát létezik n 1 = n 1 (η), melyre s(m, M;n, N ; x, y) η 2, h (x, y) tetszőleges, vlmint n 1 < m M és 1 n N < m 0, vgy 1 m M < m 0 és n 1 < n N. Legyen n 0 := mx{m 0,n 1 }. Ekkor (2.13) és (2.14) lpján tetszőleges (x, y) esetén s(m, M;n, N ; x, y) η, h n 0 < m M, 1 n N vgy 1 m M, n 0 < n N. Mivel η tetszőleges volt, ezért z imént kpott egyenlőtlenség biztosítj számunkr (2.1) egyenletes, reguláris konvergenciáját. Ezzel beláttuk tétel első részét. (ii) rész: Tegyük fel, hogy {c j k } R + és (2.1) reguláris konvergenciáj egyenletes (x, y)-bn. Mivel {c j n } j =1 MVBVS bármely n-re, {c mk} MVBVS bármely m-re k=1 és (2.12)-beli sor- ill. oszlopösszegek egyenletesen konvergensek (x, y)-bn, ezért z 1.1.2. Tétel szerint (2.2) fennáll zon esetekben, mikor k rögzített és j ill. mikor j rögzített és k. Tehát elegendő belátnunk (2.2)-t bbn z esetben, mikor j és k is végtelenbe trt. Legyen m,n 4λ és x(m) := π 2λm Ekkor bármely [m/λ] j [λm] esetén ugynígy,, y(n) := π 2λn. π 8λ 2 = m π ( m ) 4λ 2λm 2λ 1 π j x(m) λm π 2λm 2λm = π 2, π 8λ 2 k y(n) π, h [n/λ] k [λn]. 2 A 2.3.2. Lemmbeli (2.11)-et felhsználv kpjuk, hogy [λm] [λn] j =[m/λ] k=[n/λ] c j k sin(j x(m))sin(k y(n)) sin 2 π 8λ 2 [λm] [λn] c j k j =[m/λ] k=[n/λ] 23

2. Kettős szinuszsorok sin 2 π 8λ 2 1 (3C + 2) mnc mn, hol bl oldl trt 0-hoz, h m,n, mivel (2.1) reguláris konvergenciáj egyenletes (x, y)-bn. Tehát (2.2)-t beláttuk j,k esetben is, mivel tétel második részét is igzoltuk. Ezzel 2.2.2. Tétel bizonyítást nyert. 2.5. Az SBVDS 1 és SBVDS 2 osztályok Célunk z MVBVDS osztály bővítése úgy, hogy 2.2.2. Tételt áltlánosítni tudjuk. Ehhez két új soroztosztályt definiálunk. Definíció. {c j k } j,k=1 C kettős sorozt SBVDS 1-beli (Supremum Bounded Vrition Double Sequences of 1st type), h léteznek olyn C és λ 2 konstnsok illetve {b 1 (l)} l=1, {b 2 (l)} l=1, {b 3(l )} l=1 végtelenbe trtó soroztok, melyek csk {c j k}-tól függnek, és melyekre (2.15) (2.16) (2.17) 2m 1 2m 1 2n 1 10 c j n C m 01 c mk C n 11 c j k C mn mx 2M b 1 (m) M λb 1 (m) j =M 2N mx b 2 (n) N λb 2 (n) k=n 2M M+N b 3 (m+n) j =M k=n c j n, m λ, n 1, c mk, m 1, n λ, 2N c j k, m,n λ. Definíció. {c j k } j,k=1 C kettős sorozt SBVDS 2-beli (Supremum Bounded Vrition Double Sequences of 2nd type), h léteznek olyn C, λ 2 konstnsok és {b(l )} l=1 végtelenbe trtó sorozt, melyek csk {c j k }-tól függnek, és melyekre (2.18) (2.19) (2.20) 2m 1 2m 1 2n 1 10 c j n C m 01 c mk C n 11 c j k C mn 2M M b(m) j =M 2N N b(n) k=n c j n, m λ, n 1, c mk, m 1, n λ, 2M 2N M+N b(m+n) j =M k=n c j k, m,n λ. Az egyváltozós esethez hsonlón SBVDS 2 definíciójábn is feltehetjük, hogy {b(l )} monoton nemcsökkenő, h zonbn z SBVDS 1 definíciójánál hsznált {b 1 (l )} és {b 2 (l )} soroztoktól elvárnánk, hogy monoton nemcsökkenők legyenek, kkor bizonyos {c j k } soroztokt kivennénk z SBVDS 1 osztályból. Az MVBVDS és z újonnn definiált soroztosztályok között z lábbi trtlmzási reláció áll fenn. 24

2. Kettős szinuszsorok 2.5.1. Tétel. [6] SBVDS 2 SBVDS 1 MVBVDS. A 2.2.2. Tétel áltlánosítás következő: 2.5.2. Tétel. [6] (i) H {c j k } C sorozt SBVDS 2 -beli, vlmint (2.2) teljesül, kkor (2.1) reguláris konvergenciáj egyenletes (x, y)-bn. (ii) Megfordítv, h {c j k } R + sorozt SVBVDS 1 -beli és (2.1) reguláris konvergenciáj egyenletes (x, y)-bn, kkor (2.2) fennáll. 2.5.3. Következmény. H {c j k } R + sorozt SBVDS 1 -beli, kkor (2.2) szükséges és elegendő feltétele nnk, hogy (2.1) reguláris konvergenciáj egyenletes legyen (x, y)- bn. 2.6. A 2.5.1. és 2.5.2. Tételek bizonyítás A 2.5.1. Tétel bizonyítás. Könnyen láthtó, hogy SBVDS 2 SBVDS 1, hiszen { b(l ) = min{b 1 (l ),b 2 (l ),b 3 (l )} } sorozt definiálás biztosítj számunkr, hogy bármely SBVDS 1 - beli sorozt SBVDS 2 -beli. Ezután konstruálunk egy {c j k } SBVDS 2 \ SBVDS 1 soroztot. E célból vegyünk egy tetszőleges pozitív nemnövő {d r } r =1 soroztot, vlmint legyen m r = 2 (22r ), (r =1,2,...). {c j k } első sor legyen z 1.2.1.Tétel bizonyításbeli első példsorozt megfelelője, mely SBVS-beli C = 4 és λ = 2 konstnsokkl: 0, h j < m 1, d r, h j = m r, c j 1 := 0, h m r < j < mr 2, d r, h m 2 r j < 2m2 r, 0, h 2m 2 r j < m r +1. A második sor legyen z 1.2.1. Tétel bizonyításbeli második példsorozt megfelelője, mely SBVS 2 -beli C = 4 konstnssl és b(l ) = l 1/2 sorozttl: 0, h j < m 1, d r nr 2, h j = m r, c j 2 := 0, h m r < j < mr 2, Végül, mrdék sorok álljnk c 0-ból: d r +1 mr 3/2 +1, h m2 r j 2m2 r, 0, h 2mr 2 < j < m r +1. c j k := 0, j 1, k 3. 25

2. Kettős szinuszsorok Ekkor meggondolhtó, hogy semmilyen C és λ esetén sem definiálhtó olyn {b 1 (l )} sorozt, mely teljesítené (2.15) feltételt minden m λ-r, mert elég ngy m esetén vgy z n = 1, vgy z n = 2 esetben kívánt egyenlőtlenség nem álln fenn ( logikusnk tűnő {b 1 (l )} = [l /2] esetén z m = m r,n = 2 esetben elég ngy r -et véve sérül (2.15), míg másik logikusnk tűnő {b 1 (l)} = l 1/2 esetén z m = mr 2,n = 1 esetben sérül (2.15), h r elég ngy). Tehát {c j k } SBVDS 1. Másrészről, {c j k } összes sor SBVS 2 -beli C = 4 konstnssl és b(l ) = l 1/2 sorozttl. Továbbá, (2.19) és (2.20) is fennáll tetszőleges C és {b(l )} válsztássl, h λ értékét 3-nk definiáljuk. Tehát (2.18) (2.20) feltételek teljesülnek, h C = 4, λ = 3 és b(l ) = l 1/2, így {c j k } SBVDS 2. Az imént említett péld {c j k }-r igen egyszerű volt, hiszen csk két sorábn volt nem null elem, de könnyen megdhtó jóvl komplikáltbb SBVDS 2 \ SBVDS 1 -beli sorozt is, melynek több sorábn is vn nem null elem (kár mindben). Annk belátásához, hogy SBVDS 1 MVBVDS, tekintsünk egy tetszőleges {c j k } kettős soroztot, mely MVBVDS-beli C és λ konstnsokkl. Ekkor (2.15) fennáll C = ([λ 2 ] + 1)C, λ = [λ 2 ] + 1 és b 1 (l) = [l /λ] válsztássl, hiszen (2.6) szerint 2m 1 [λm] 10 c j n C j n m j =[m/λ] c C m C m mx [m/λ] M λ [m/λ] λ 2r [m/λ] r =1 j =r [m/λ] 2M j =M c j n c j n, m λ, n 1. Hsonlón, (2.7) lklmzásávl megkphtó, hogy (2.16) szintén fennáll C, λ és b 2 (l) = b 1 (l ) esetben. A (2.17) feltétel pedig (2.8)-ból következik: 2m 1 11 c j k C mn λ 2 C mn [λm] j =[m/λ] [λn] k=[n/λ] c j k C mn M+N [m/λ]+[n/λ] 2M 2N j =M k=n λ λ 2r [m/λ] 2s[n/λ] r =1 s=1 j =r [m/λ] k=s[n/λ] c j k, m,n λ. c j k Tehát {c j k } SBVDS 1 C = ([λ 2 ] + 1) 2 C, λ = [λ 2 ] + 1, b 1 (l ) = b 2 (l) = [l /λ] és b 3 (l) = [l /λ] 1 válsztássl. Végül, könnyű belátni, hogy h {c j k } olyn, hogy első sor, {c j 1 }, SBVS 2 \ MVBVSbeli és c j k = 0, h j 1, k 2, kkor {c j k } SBVDS 1 \ MVBVDS. Nyilvánvlón léteznek z előző példánál bonyolultbb SBVDS 1 \ MVBVDS-beli soroztok is, de most csk zt mutttuk meg, hogy ilyen soroztok léteznek. Mint 2.2.2. Tétel bizonyítás előtt tettük, most is bebizonyítunk két lemmát. 2.6.1. Lemm. Tegyük fel, hogy {c j k } C teljesíti (2.2) és (2.20) feltételeket. Ekkor 2.3.1. Lemm (2.9) és (2.10) állítási fennállnk. 26

2. Kettős szinuszsorok Bizonyítás. Legyen ε > 0 tetszőleges. Ekkor (2.2) szerint létezik m 0 = m 0 (ε) küszöbszám, melyre j k c j k ε bármely j + k > m 0 esetén. Továbbá létezik olyn m 1, melyre bármely j > m 1 esetén b(j ) > m 0. Így bármely m + n > m 1, m,n λ-r 11 c j k = 2 r +1 m 1 r =0 s=0 j =2 r m r =0 s=0 Cε mn 4Cε mn C 2 r +s mn r =0 s=0 r =0 s=0 2 s+1 n 1 k=2 s n 10 c j k M+N b(2 r m+2 s n) 1 2 r +s M+N b(2 r m+2 s n) 1 16Cε 2r +s mn, 2M 2N j =M k=n 2M 2N j =M k=n c j k 1 j k ezzel (2.9)-et igzoltuk. Innen (2.10) korábbn látott módon következik. 2.6.2. Lemm. Legyen {c j k } R + SBVDS 1 -beli C és λ 2 konstnsokkl, vlmint {b 1 (l )}, {b 2 (l )}, {b 3 (l )} soroztokkl. Ekkor (2.21) mnc mn C 2M 2N M+N b 3 (m+n) j =M k=n 2m 2λb 2 (n) 2m +C k=b 2 (n) c j k + 2 c j k +C 2n 2λb 1 (m) 2n c j k j =b 1 (m) c j k, h m,n λ. Bizonyítás. Legyen m,n λ tetszőleges. Ekkor (2.15) szerint bármely m + 1 µ 2m és ν egész számokr 2m 1 c mν 10 c j ν + c µν C m C m 2λb 1 (m) j =b 1 (m) c j ν + c µν. mx 2M b 1 (m) M λb 1 (m) j =M c j ν + c µν Hsonlón, (2.16)-ot hsználv dódik, hogy bármely µ és n + 1 ν 2n-re c µn C n 2λb 2 (n) k=b 2 (n) c µk + c µν. (2.17) szerint bármely m + 1 µ 2m, n + 1 ν 2n egész számokr fennáll következő: c mn 2m 1 C mn 11 c j k + c mν + c µn 2M 2N M+N b 3 (m+n) j =M k=n 27 c j k + c mν + c µn.

2. Kettős szinuszsorok Ezt összevetve z előbb kpott két egyenlőtlenséggel dódik, hogy c mn C mn 2M 2N M+N b 3 (m+n) j =M k=n c j k + C m 2λb 1 (m) j =b 1 (m)c j ν + C n 2λb 2 (n) k=b 2 (n) c µk + 2c µν. Behelyettesítve z előbb kpott egyenlőtlenségbe µ = m + 1,...,2m, ν = n + 1,...,2n értékeket, mjd összedv megfelelő oldlkt kpjuk, hogy mnc mn C + 2M 2N M+N b 3 (m+n) j =M k=n 2m 2λb 2 (n) µ=m+1 C k=b 2 (n) c µk + 2 c j k + 2m 2n ν=n+1 2n C µ=m+1 ν=n+1 2λb 1 (m) c j ν j =b 1 (m) c µν, miből következik (2.21), ezzel lemm állítását beláttuk. A 2.5.2. Tétel bizonyítás. (i) rész: Legyen {c j k } SBVDS 2, és tegyük fel, hogy (2.2) fennáll. Ekkor (2.18) és (2.19) feltételek teljesülése mitt {c j n } j =1 SBVS 2 bármely n- re és {c mk } k=1 SBVS 2 bármely m-re, így z 1.2.2. Tétel szerint (2.12)-beli sor- és oszlopösszegek egyenletesen konvergensek x-ben ill. y-bn. Ezen észrevétel után (2.1) egyenletes, reguláris konvergenciáj 2.2.2. Tétel bizonyításánk megismétlésével igzolhtó, cán 2.3.1. Lemm helyett 2.6.1. Lemmát kell lklmznunk. (ii) rész: Ezúttl tegyük fel, hogy {c j k } R + SBVDS 1 -beli és (2.1) reguláris konvergenciáj egyenletes (x, y)-bn. Mivel {c j n } j =1 sorok és {c mk} k=1 oszlopok is SBVS 2- beliek, ezért (2.12)-beli sor- és oszlopösszegek egyenletesen konvergensek (x, y)-bn, és így z 1.2.2. Tétel szerint (2.2) fennáll, h j és k rögzített illetve h j rögzített és k. Annk igzolásához, hogy (2.2) teljesül kkor is, mikor j és k is végtelenbe trt, legyen m,n 4λ és x 1 (m) := π 4m, x 2(m) := π 4λm, y 1(n) := π 4n, y 2(n) := π 4λn. Ekkor ( korábbn már látott módon) megmutthtó, hogy sin(j x 1 (m)), sin(k y 1 (n)) 1 2, h m j 2m, n k 2n, sin(j x 2 (m)), sin(k y 2 (n)) sin π, h m j 2λm, n k 2λn. 4λ A 2.6.2. Lemm szerint (2.22) C 2M 2N M+N b 3 (m+n) j =M k=n 2λb 1 (m) 2n +C j =b 1 (m) c j k sin(j x 1 (M))sin(k y 1 (N )) c j k sin(j x 2 (m))sin(k y 1 (n)) 28

+C +2 2m 2λb 2 (n) k=b 2 (n) 2m 2n C 2 2. Kettős szinuszsorok c j k sin(j x 1 (m))sin(k y 2 (n)) c j k sin(j x 1 (m))sin(k y 1 (n)) 2M 2N M+N b 3 (m+n) j =M k=n +C 1 ( π 2m sin 2 4λ) 2λb 2 (n) k=b 2 (n) ( π ) 1 2λb 1 (m) c j k +C sin 4λ 2 c j k + C 2 min{ sin π } 4λ, 1 mnc mn. 2m 2n c j k 2n c j k j =b 1 (m) Mivel bármely x, y esetén M N c j k sin jx sink y 0, h m,n, k=n ezért (2.22) bl oldl 0-hoz trt, h m,n trt végtelenbe, hiszen {b 1 },{b 2 } és {b 3 } soroztok végtelenbe trtnk. Így (2.2) teljesül kkor is, mikor j, k trt végtelenbe. Ezzel 2.5.2. Tétel második részét is beláttuk. 29

3. fejezet Szinuszintegrálok 3.1. Előzmények Legyen f : R + C Lebesgue-mérhető függvény, hol R + := (0, ). A fejezet során z (3.1) f (x)sin t x dx 0 lkú szinuszintegrálok t-ben vett egyenletes konvergenciáját vizsgáljuk, hol t R. Mivel szinusz függvény pártln, és 0 helyen eltűnik, ezért z áltlánosság megszorítás nélkül feltehetjük, hogy t R +. A (3.1) integrál konvergenciáj z b 0 f (x)sin t x dx improprius részletintegrálok konvergenciáját jelenti, hol b trt végtelenbe. Annk érdekében, hogy biztosítsuk z iménti részletintegrálok létezését (véges értékét), továbbikbn feltesszük, hogy x f (x) lokálisn integrálhtó z R + zárt félegyenesen: (3.2) x f (x) L 1 loc (R +), ekkor ugynis b 0 b f (x)sin t x dx t x f (x) dx <, b, t > 0. 0 A (3.2) feltétel egyben zt is biztosítj, hogy f 0-n kívül lokálisn integrálhtó, zz f (x) L 1 loc (R +), hiszen b f (x) dx 1 b x f (x) dx <, > 0. 30

3. Szinuszintegrálok Összevetve (1.1) és (3.1) lkját, megállpíthtjuk, hogy (3.1) (1.1) nem diszkrét megfelelője ( szinuszsorbeli x szerepét z integrálbeli t veszi át), ezt z ezután következő tételek is látámsztnk. Az nlógiát zonbn árnylj z tény, hogy míg szinuszsorok esetében z összegfüggvény 2π szerint periodikus, ddig szinuszintegrálok nem feltétlenül periodikus függvények, ez például z L 1 -konvergenci vizsgáltkor jelent problémát (z áltlunk vizsgált egyenletes konvergenci esetében nem). Elsőként nemnegtív, monoton nemnövő f függvények áltl meghtározott (3.1) integrálokr bebizonyított tételt ismertetjük. Ezen tétel z 1.1.1. Tétel nem diszkrét, nem periodikus megfelelője. 3.1.1. Tétel. [10] Legyen f (x) : R + R + monoton nemnövő, melyre (3.2) fennáll. Ekkor (3.1) szinuszintegrál kkor és csk kkor egyenletesen konvergens t-ben, h (3.3) x f (x) 0, h x. Az iménti tétel áltlánosításához lpötletet nyújt z 1.1. lfejezetben tgllt áltlánosított soroztosztályok foglm. Ennek megfelelően áltlánosított monoton függvényosztályokt fogunk definiálni. A diszkrét esetben hsznált kifejezést (mi változást jelöl), felváltj derivált foglm. Ezen célll z f függvényről zt is fel fogjuk tenni, hogy lokálisn bszolút folytonos R + -on, jelölésben f (x) AC loc (R + ), hiszen ekkor f -nek mjdnem mindenütt létezik deriváltj, f, és f lokálisn Lebesgueintegrálhtó, vlmint b f (x)dx = f (b) f (), b > > 0. Az áltlánosított függvényosztályok közül z NBVS és z MVBVS soroztosztályok megfelelői következők: Definíció. Az f (x) AC loc (R + ) függvényt NBVF(R + )-belinek (Non-onesided Bounded Vrition Function-nek) nevezzük, h léteznek C, A > 0 konstnsok, melyekre f teljesíti z 2 f (x) ( ) dx C f () + f (2), > A feltételt. Definíció. Az f (x) AC loc (R + ) függvényt MVBVF(R + )-belinek (Men Vlue Bounded Vrition Function-nek) nevezzük, h léteznek C, A > 0 és λ 2 konstnsok, melyek 31

3. Szinuszintegrálok csk f -től függnek, és melyekre (3.4) 2 f (x) C dx λ /λ f (x) dx, > A. [10]-ben belátták, hogy MVBVF(R + ) NBVF(R + ). MVBVF(R + )\NBVF(R + )-beli függvényre péld z 1 1+x sin( π ln2 ln x) függvény (lásd 4.2.1. Tétel bizonyítás). Továbbá következő tétel is bebizonyítást nyert: 3.1.2. Tétel. [10] Tegyük fel, hogy f (x) MVBVF(R + ), és (3.2) fennáll. (i) H f : R + C és (3.3) teljesül, kkor (3.1) integrál egyenletesen konvergens t-ben. (ii) Megfordítv, h f : R + R + és (3.1) konvergenciáj egyenletes t-ben, kkor (3.3) fennáll. Mivel nemnegtív, monoton nemnövő függvények nem feltétlenül lokálisn bszolút konvergensek, de z MVBVF(R + )-beli függvények igen, ezért MVBVF(R + ) nem trtlmzz nemnegtív, monoton nemnövő függvények osztályát, zz 3.1.2. Tétel nem 3.1.1. Tétel áltlánosítás. H zonbn z f nemnegtív, monoton nemnövő függvényről feltesszük, hogy f AC loc (R + ), kkor f (x) 0 mitt világos, hogy f NBVF(R + ) (és így f MVBVF(R + )), ezért lokálisn bszolút konvergens függvények körében 3.1.1. Tételt áltlánosítj 3.1.2. Tétel. 3.2. Új eredmények Célunk 3.1.2. Tétel kiterjesztése MVBVF(R + )-nál bővebb függvényosztály(ok)r. Ehhez segítséget jelentenek z 1.2. lfejezetben definiált soroztosztályok. diszkrét megfelelőit következőképpen definiáljuk. Azok nem Definíció. Az f (x) AC loc (R + ) függvényt SBVF(R + )-belinek (Supremum Bounded Vrition Function-nek) nevezzük, h léteznek C, A > 0 és λ 2 konstnsok, melyek csk f -től függnek, és melyekre (3.5) 2 f (x) C dx b /λ b 2b f (x) dx, > A. Definíció. Az f (x) AC loc (R + ) függvény SBVF 2 (R + )-beli (Supremum Bounded Vrition Function of 2nd type), h léteznek C, A > 0 konstnsok és B(x) R + végtelenbe trtó függvény, melyek csk f -től függnek, és melyekre (3.6) 2 f (x) C dx b B() b 2b f (x) dx, > A. 32

3. Szinuszintegrálok A diszkrét esethez hsonlón, h z előbbi definícióbn szereplő B(x) függvényről megszbjuk, hogy monoton nemcsökkenő legyen, SBVF 2 (R + ) trtlm változtln mrd. Megmuttjuk, hogy z MVBVF(R + ), SBVF(R + ) és SBVF 2 (R + ) osztályok között vlódi trtlmzási reláció áll fenn. 3.2.1. Tétel. [5] H f (x) MVBVF(R + ), kkor f (x) SBVF(R + ). A fordított irányú állítás nem igz, zz létezik olyn f (x) SBVF(R + ), mely nem MVBVF(R + )-beli. Röviden, SBVF(R + ) MVBVF(R + ). 3.2.2. Tétel. [5] SBVF 2 (R + ) SBVF(R + ). Továbbá, h f (x) SBVF 2 (R + )-beli, de nem SBVF(R + )-beli, kkor (3.3) fennáll. 3.2.3. Tétel. [5] H f (x) SBVF 2 (R + ) és (3.2) fennáll, kkor 3.1.2. Tétel (i) és (ii) állítási teljesülnek f (x)-re. 3.2.4. Következmény. H f : R + R + SBVF 2 (R + )-beli, kkor (3.3) szükséges és elegendő feltétele nnk, hogy (3.1) egyenletesen konvergens legyen t-ben. 3.3. Az állítások igzolás A 3.2.1. Tétel bizonyítás. Annk igzolásához, hogy bármely MVBVF(R + )-beli függvény SBVF(R + )-beli is, legyen f MVBVF(R + ) hozzá trtozó C, A > 0 és λ 2 konstnsokkl. Továbbá jelöljük µ-vel zt z egész számot, melyre 2 µ λ 2 < 2 µ+1. Ekkor (3.4) szerint bármely > A esetén 2 f (x) C dx λ /λ (µ + 1)C f (x) dx C b /λ b 2b { 2/λ /λ + f (x) dx. 4/λ 2/λ Tehát f SBVF(R + )-beli (µ + 1)C, A és λ konstnsokkl. +... + 2 µ+1 /λ 2 µ /λ } f (x) dx Ezután megdunk egy olyn f függvényt, mely SBVF(R + )\MVBVF(R + )-beli. Bebizonyítjuk, hogy z f 1 (x) = sin x/ln(1+x) nullához trtó függvény ilyen. Egyrészről, bármely > 2π-re igz z 2 f 1 (x) 2 dx = cos x ln(1 + x) sin x (1 + x)ln 2 (1 + x) dx 33