38 Győri István, Hrtung Ferenc: MA1114f és MA6116 elődásjegyzet, 2006/2007 3. Mérték- és integrálelmélet 3.1. Hlmzok számosság Azt mondjuk, hogy egy véges A hlmz számosság n, h z A hlmz n db elemből áll. z zzl ekvivlens, hogy hlmz elemeit egy 1,..., n véges soroztb tudjuk rendezni, más szóvl megdhtó z {1, 2,..., n} és z A hlmz elemei között egy kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés (bijekció. Végtelen hlmzokr ily módon tudjuk számosság foglmát áltlánosítni. lőször tekintsük természetes számok hlmzánk számosságát. Jelölje N természetes számok, zz pozitív egész számok hlmzát. 3.1. Definíció. gy végtelen A hlmz megszámlálhtó vgy megszámlálhtó számosságú, h létezik természetes számok hlmz és z A hlmz között egy kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés. 3.2. Megjegyzés. Más szóvl fenti definíció zt jelenti, hogy z A hlmz megszámlálhtó számosságú, h z elemei egy 1, 2,..., n,... végtelen soroztb rendezhetők, hol z A hlmz minden eleme pontosn egyszer szerepel soroztbn. Tegyük fel most, hogy dott egy tetszőleges ( n sorozt. kkor egy elem többször is előfordulht soroztbn. Megmuttjuk, hogy mindig tlálhtó soroztnk egy olyn (esetleg véges részsorozt, melyben minden elem már csk egyszer fordul elő: legyen b 1 = 1. Tekintsük 2 -t. H 2 b 1, kkor legyen b 2 = 2, egyébként kihgyjuk 2 -t, és tekintsük 3 -t. Tegyük fel, hogy már z 1,..., n tgokt átnézve kiválsztottuk b 1,..., b m (m n számokból álló részsoroztot úgy, hogy bbn b 1,..., b m páronként különböző. kkor n+1 -t véve ellenőrizzük, hogy z előfordul-e b 1,..., b m számok között. H nem, kkor z n+1 számml folyttjuk b 1,..., b m soroztot, zz legyen b m+1 = n+1, egyéként nem bővítjük b 1,..., b m soroztot, hnem ismételjük ezt z eljárást z n+2 számml. Íly módon egyértelműen definiálhtó b 1, b 2,... (esetleg véges sorozt, hogy bbn z elemek már nem ismétlődnek. zért z A = { 1, 2,...} hlmz megszámlálhtó számosságú, h vn végtelen sok páronként különböző eleme, egyébként véges számosságú. 3.3. Péld. A nemnegtív egész számok hlmz (N 0 megszámlálhtó, hiszen φ(n = n + 1 egy bijekció N 0 és N között. 3.4. Péld. Az egész számok hlmz (Z megszámlálhtó, hiszen egy lehetséges sorbrendezése Z-nek 0, 1, 1, 2, 2,.... A { 0, n = 0, φ: N Z, φ(n = k, k, n = 2k, k N, n = 2k + 1, k N leképezés tehát egy bijekció N és Z között. 3.5. Péld. A [0, 1] intervllumb eső rcionális számokt következő végtelen háromszög lkú tábláztbn lehet felsorolni: 1 1 1 2 1 3. 2 2 2 3. 3 3....
3. Mérték- és integrálelmélet 39 H ezen táblázton soronként megyünk végig, kkor felsorolhtjuk z összes rcionális számot egy soroztbn: 1 1, 1 2, 2 2, 1 3, 2 3, 3 3,... kkor persze néhány rcionális számot többször (sőt végtelen sokszor is felsorolunk. De fenti soroztból 3.2. Megjegyzésben leírt módon kiválszthtunk egy olyn részsoroztot, melyben már minden 0 és 1 közötti rcionális szám pontosn egyszer szerepel, tehát [0, 1] intervllumb eső rcionális számok hlmz megszámlálhtó számosságú. 3.6. Péld. Megmuttjuk, hogy [0, 1] intervllum nem megszámlálhtó számosságú. Tegyük fel, hogy z összes 0 és 1 közötti vlós számot z 1, 2,..., n,... soroztb rendeztük. Vegyük z n szám tizedes tört előállítását, hol tizedes jegyeket jelölje: n = 0, (n 1 (n 2 (n 3 (n 4.... Ismert, hogy véges sok tizedesjeggyel leírhtó vlós számok megdhtók végtelen sok tizedesjegygyel is (például 0,5 = 0,49999.... Ilyen vlós számokr fenti felírásbn mindig vegyük z n végtelen tizedestörtes lkját. kkor egyértelműen hozzárendeltük 0 és 1 közötti vlós számokhoz végtelen tizedestörtes lkját. Tekintsük ezután zt z x = 0, x 1 x 2 x 3... vlós számot, melynek n-edik tizedesjegye x n = { 2, h (n n = 1, 1, h (n n 1. kkor x nem írhtó fel véges tizedestört lkbn (nem végződhet csup 0-r vgy csup 9-re, és x nem egyezik meg egyik n vlós számml sem, hiszen x és n tizedestört felírás z n-edik tizedesjegyben eltér. z z ellentmondás muttj, hogy [0, 1] hlmz nem megszámlálhtó számosságú. A [0, 1] intervllum számosságát kontinuum számosságnk hívjuk. Megmutthtó, hogy vlós számok hlmz és [0, 1] intervllum között létezik bijekció, zz R számosság is kontinuum. 3.7. Állítás. 1. gy megszámlálhtó hlmz minden végtelen részhlmz is megszámlálhtó. 2. Minden végtelen hlmznk létezik megszámlálhtó részhlmz. 3. Legyen A 1 megszámlálhtó és A 2 véges hlmz. kkor A 1 A 2 is megszámlálhtó. 4. Legyen A 1 és A 2 megszámlálhtó hlmzok. kkor A 1 A 2 is megszámlálhtó. 5. Legyen A 1 és A 2 megszámlálhtó hlmzok. kkor z A 1 A 2 = {( 1, 2 : 1 A 1, 2 A 2 } hlmz is megszámlálhtó. 6. Legyen A i megszámlálhtó hlmz minden i N-re. kkor A i is megszámlálhtó.
40 Győri István, Hrtung Ferenc: MA1114f és MA6116 elődásjegyzet, 2006/2007 Bizonyítás: Csk z utolsó állítást látjuk be, többi hsonló módon igzolhtó. Rendezzük z A i hlmz elemeit z (i 1, (i 2, (i 3,... soroztb. kkor z A = A i hlmz elemeit (1 1 (1 2 (1 3 (1 4 (2 1 (2 2 (2 3 (2 4 (3 1 (3 2 (3 3 (3 4 (4 1 (4 2 (4 3 (4 4... (jobbr és lefele is végtelen tábláztbn lehet felsorolni. kkor z összes elemet egy soroztbn fel tudjuk sorolni, h táblázt átlói mentén nyilk irányábn kezdjük felsorolni z elemeket: (1 1, (2 1, (1 2, (1 3, (2 2, (3 1, (4 1, (3 2, (2 3, (1 4, (1 5, (2 4, (3 3, (4 2, (5 1,.... zután fenti soroztból z zonos tgokt elhgyv kphtunk egy olyn részsoroztot, mely z A hlmz összes elemeit pontosn egyszer trtlmzz..... 3.8. Péld. A 3.5. Péld és 3.7. Állítás 6. pontj lpján rcionális számok hlmz (Q is megszámlálhtó, mivel Q felírhtó megszámlálhtó sok megszámlálhtó számosságú hlmz uniójként: Q = i=+ i= B i, hol B i = Q [i, i + 1]. Megjegyezzük, hogy fenti végtelen unió megszámlálhtó sok hlmz uniój, mivel 3.4. Péld szerint z egész számok hlmz megszámlálhtó számosságú. 3.9. Péld. Az előző péld és 3.7. pontok hlmz is megszámlálhtó. Állítás 5. pontj lpján síkon rcionális koordinátájú 3.2. Hlmzgyűrűk és hlmzfüggvények bben szkszbn feltesszük, hogy z itt szereplő hlmzok egy X lphlmz részhlmzi (pl. X = R, R n, stb., és H-vl jelöljük z X lphlmz részhlmzink egy hlmzát, vgy más szóvl, hlmzrendszerét. A szokásos jelölést hsználjuk hlmzműveletekre: Legyen A, B H, ekkor A B = {x: x A vgy x B}, A B = {x: x A és x B}, és A \ B = {x: x A és x / B}, z A hlmz komplementere z X \ A hlmz. Jelölje z üreshlmzt. Az A és B hlmzt diszjunktnk nevezzük, h A B =. gy A 1, A 2,... hlmzrendszert páronként diszjunktnk nevezünk, h A i A j = minden i j-re. 3.10. Definíció. A H hlmzrendszert hlmzgyűrűnek vgy röviden gyűrűnek nevezzük, h zárt z unió és különbség hlmzműveletekre, zz tetszőleges A, B H esetén A B H és A \ B H.
3. Mérték- és integrálelmélet 41 3.11. Állítás. Legyen H egy gyűrű. kkor 1. H zárt metszet műveletre is, 2. H. Bizonyítás: 1. H A, B H, kkor A \ B H, és ezért A B = A \ (A \ B H. 2. Legyen A H. kkor = A \ A H. 3.12. Péld. Legyen H = { R: véges} (z üres hlmzt is véges hlmznk tekintjük. kkor nyilván H gyűrű, hiszen véges hlmzok uniój és különbsége is véges. 3.13. Péld. Legyen H = { N: véges vgy komplementere véges}. Mutssuk meg, hogy H gyűrű! lőször megmuttjuk, hogy H zárt z unió műveletre. Legyen A, B H. Két esetet különböztetünk meg: 1. H A és B is véges, kkor A B is véges. 2. H leglább z egyik hlmz, például B nem véges, de B véges, kkor A B nem véges, de komplementere, A B = A B B véges, függetlenül A számosságától. Most legyen A, B H, és megmuttjuk, hogy A \ B H. Három esetet különböztetünk meg: 1. H A véges, kkor A \ B is véges, függetlenül B számosságától. 2. H A nem véges, de komplementere véges, és B véges, kkor A \ B = A B véges. 3. H A és B nem végesek, de A és B végesek, kkor A \ B B, így A \ B véges. Mindhárom esetben tehát kptuk, hogy A \ B H. 3.14. Definíció. A H hlmzgyűrűt σ-gyűrűnek nevezzük, h zárt megszámlálhtó unióképzésre, zz h A 1, A 2,... H, kkor A n H. A H σ-gyűrűt σ-lgebránk nevezzük, h z lphlmz is hozzátrtozik H-hoz, zz X H. 3.15. Péld. Az X hlmz összes részhlmzink hlmz mindig σ-lgebr. 3.16. Péld. Legyen H = { R : véges vgy megszámlálhtó számosságú}. kkor H σ-lgebr 3.7. Állítás szerint. 3.17. Péld. Tekintsük 3.12. Példábn definiált H hlmzrendszert. z gyűrű, de nem σ-gyűrű, hiszen hlmzrendszer nem zárt megszámlálhtó uniór. Hsonlón, 3.13. Példábn definiált H hlmzrendszer is csk gyűrű, de nem σ-gyűrű, hiszen például rcionális számok Q hlmz megszámlálhtó, ezért előáll véges hlmzok megszámlálhtó uniójként, de Q H, hiszen sem Q sem komplementere nem véges. 3.18. Megjegyzés. gy H σ-gyűrű zárt megszámlálhtó metszetképzésre is, mivel h A n H (n = 1, 2,..., kkor A n = A 1 \ (A 1 \ A n H. n=2
42 Győri István, Hrtung Ferenc: MA1114f és MA6116 elődásjegyzet, 2006/2007 Nyilván egy H σ-lgebr zárt komplementer képzésre is. 3.19. Definíció. Az F : H R b def = {+, } R függvényt hlmzfüggvénynek hívjuk, h + és egyidejűleg nem eleme F értékkészletének, és vn olyn A H, melyre F (A +. F -et dditív hlmzfüggvénynek nevezzük, h F (A B = F (A + F (B, h A, B H és A B =. H F (A 0 minden A H-r, kkor F -et nemnegtív hlmzfüggvénynek nevezzük. Megmuttjuk z dditív hlmzfüggvények lábbi tuljdonságit. 3.20. Állítás. Legyen F : H R b egy dditív hlmzfüggvény. kkor 1. F ( = 0; 2. F (A 1 A n = F (A 1 + + F (A n, h A 1,..., A n H páronként diszjunkt, zz A i A j = minden i j-re; 3. F (A 2 \ A 1 = F (A 2 F (A 1, h A 1 A 2, A 1, A 2 H és F (A 1 < ; 4. h F nemnegtív, kkor monoton is, zz F (A 1 F (A 2, h A 1 A 2, A 1, A 2 H; 5. h F nemnegtív, kkor F (A 1 A n F (A 1 + +F (A n minden A 1,..., A n H-r. Bizonyítás: 1. Az F ( = F ( = F ( + F ( = 2F ( összefüggésekből következik, hogy F ( = 0 vgy F ( = + vgy F ( =. H F ( = +, kkor F (A = F (A = F (A + F ( = +, minden A H -r, mi ellentmond hlmzfüggvény definíciójánk. Az F ( = esetben hsonló módon kpunk ellentmondást. 2. Az összefüggés teljes indukcióvl rögtön következik z dditivitási tuljdonságból. 3. Legyen A 1 A 2. kkor A 2 = A 1 (A 2 \ A 1 és A 1 (A 2 \ A 1 =, így z dditivitás mitt F (A 2 = F (A 1 + F (A 2 \ A 1, miből következik z állítás. 4. Legyen A 1 A 2. kkor z előzőhöz hsonló módon F (A 2 = F (A 1 +F (A 2 \A 1 F (A 1. 5. Legyen B 1 = A 1, B i = A i \ (A 1 A i 1. kkor B 1, B 2,..., B n páronként diszjunkt, B i A i és A 1 A n = B 1 B n. zért 2. és 4. tuljdonság szerint F (A 1 A n = F (B 1 B n = F (B 1 + + F (B n F (A 1 + + F (A n. 3.21. Péld. Legyen F egy dditív hlmzfüggvény egy H gyűrűn. Mutssuk meg, hogy tetszőleges A, B H-r F (A B + F (A B = F (A + F (B! Mivel A B = (A \ B (A B (B \ A páronként diszjunkt hlmzok uniój, ezért F dditivitás mitt F (A B = F (A \ B + F (A B + F (B \ A. Hsonlón, F (A = F (A \ B + F (A B és F (B = F (B \ A + F (A B, mikből következik z állítás.
3. Mérték- és integrálelmélet 43 3.22. Definíció. A H gyűrűn értelmezett F hlmzfüggvényt σ-dditívnk vgy megszámlálhtón dditívnk nevezzük, h minden olyn páronként diszjunkt A 1, A 2,... H esetén, melyre A n H, ( F A n = F (A n teljesül. H H σ-lgebr, és F egy σ-dditív hlmzfüggvény H-n, kkor F -et előjeles mértéknek nevezzük. H pedig F nemnegtív is ezen felül, kkor F -et egyszerűen mértéknek nevezzük. 3.23. Megjegyzés. A fenti összefüggés bl oldl hlmzok átrendezésétől független, ezért h F (A n sor konvergens, kkor bszolút konvergens is. gyébként divergens, és divergál + -hez vgy -hez. 3.24. Tétel. Tegyük fel, hogy F σ-dditív egy H σ-gyűrűn. Legyen továbbá A n H (n 1 úgy, hogy A 1 A 2 A 3 A n..., és jelölje A = A n H. kkor F (A n F (A, n + esetén. Bizonyítás: Legyen B 1 = A 1, és n = 2, 3,...-re legyen B n = A n \ A n 1. kkor B 1, B 2,... hlmzok páronként diszjunktk, zz B i B j =, vlmint Mivel F σ-dditív, ezért A n = B 1 B 2 B n és A = F (A = F (A n = F (B 1 B 2 B n = F (B j = j=1 lim n + j=1 F (B j = B n, F (B j. j=1 lim F (A n. n + i j, továbbá 3.25. Péld. Legyen H z X hlmz összes részhlmzink hlmz, x 0 X rögzített. Minden A X-re legyen { 1, x0 A, µ(a = 0, x 0 A. Mutssuk meg, hogy µ egy σ-dditív hlmzfüggvény H-n! Legyen A 1, A 2,... páronként diszjunkt részhlmz X-nek. Két esetet különböztetünk meg: 1. H x 0 eleme vlmilyen n-re A n -nek, kkor µ(a n = 1 és µ(a k = 0 minden k n-re. 2. H x 0 nem eleme egyik A n hlmznk sem, kkor pedig µ(a n = 0 minden n-re. Mindkét esetben teljesül tehát ( µ A n = µ(a n.
44 Győri István, Hrtung Ferenc: MA1114f és MA6116 elődásjegyzet, 2006/2007 3.26. Péld. Legyen H 3.13. Példábn definiált hlmzrendszer, és { 0, h A véges, µ: H R, µ(a = 1, h A végtelen, de A véges. Mutssuk meg, hogy µ dditív, de nem σ-dditív! Három esetet különböztetünk meg: 1. H A és B véges hlmzok, kkor µ(a = 0, µ(b = 0 és µ(a B = 0, hiszen A B is véges. 2. H z egyik hlmz véges, másik végtelen, pl. A véges és B végtelen, de B véges, kkor, hogy zt 3.13. Példábn láttuk, A B nem véges, de komplementere z. zért µ(a = 0, µ(b = 1 és µ(a B = 1. Végül, 3. legyen A és B mindkettő végtelen, és komplementerük véges. kkor A B = nem teljesülhet, hiszen ekkor B A, zz B nem lehet végtelen. Azz minden olyn esetben, mikor A B =, µ(a B = µ(a + µ(b is teljesül. Legyen A n = {n}, n = 1, 2.... kkor A 1, A 2,... páronként diszjunkt, µ(a n = 0, de 0 = ( µ(a n µ A n = 1, hiszen A n = N végtelen hlmz, de komplementere z üres hlmz, zz véges. 3.27. Definíció. A vlós számegyenes egy I R részhlmzát (véges intervllumnk nevezzük, h I = vgy következő hlmzok vlmelyikével egyenlő: (α, β, [α, β, (α, β], [α, β], hol α β, α, β R. (3.1 H α = β, kkor [α, β] z egy pontból álló hlmzt, (α, α, [α, α és (α, α] pedig z üreshlmzt jelöli. Az R p vektortér egy I részhlmzát p-dimenziós intervllumnk nevezzük, h I = I 1 I p = {(x 1,..., x p R p : x i I i, i = 1,..., p}, hol I i (i = 1,..., p R-beli intervllumok. 3.28. Definíció. Az R p vektortér zon részhlmzink hlmzát, melyek p-dimenziós intervllumok véges sok egyesítéseként állnk elő, elemi hlmzoknk nevezzük. Jelölje p z R p vektortér összes elemi hlmzink hlmzát. A definíció lpján könnyen ellenőrizhetők z elemi hlmzok lábbi tuljdonsági: 3.29. Állítás. 1. p gyűrű (de nem σ-gyűrű. 2. H A p, kkor A előáll véges sok diszjunkt intervllum egyesítéseként. Bizonyítás: 1. Az p hlmzrendszer uniór vló zártság közvetlenül következik definícióból. A különbségre vontkozó zártságot csk 2 dimenzióbn vizsgáljuk. Legyen I = [ 1, 2 ] [b 1, b 2 ] és J = [c 1, c 2 ] [d 1, d 2 ], és tegyük fel például, hogy 1 < c 1 < 2 < c 2 és d 1 < b 1 < d 2 < b 2, zz tégllpok elhelyezkedése:
3. Mérték- és integrálelmélet 45 b 2 d 2 b 1 d 1 kkor például I \ J = ( [ 1, c 1 [b 1, b 2 ] 1 c1 2 c2 ( [c 1, 2 ] (d 2, b 2 ], ezért I \ J p. Végig lehet gondolni, hogy bárhogy is helyezkedik el egymáshoz viszonyítv két tégllp, és bárhogy is válsztjuk zártnk illetve nyíltnk Descrtes-szorztbn szereplő egydimenziós intervllumok végpontjit, különbség mindig felbonthtó diszjunkt kétdimenziós intervllumok uniójár. 2. Legyen például A = I J, hol I és J intervllumok. kkor A = (I \ J (I J (J \ I, és hlmzok páronként diszjunktk. Nyilván I J intervllum. Az 1. pont bizonyítás szerint pedig I \ J és J \ I is felbonthtó diszjunkt intervllumok uniójár. hhez hsonló módon igzolhtó z állítás kettőnél több hlmz uniójár is. 3.30. Definíció. Az elemi hlmzok térfogtán következő m hlmzfüggvényt értjük: gy I p-dimenziós intervllumr legyen m(i = 0, h I =, h pedig I = I 1 I p, hol I i egy (3.1 lkú intervllum, melynek végpontji α i és β i, kkor legyen H z A p elemi hlmz m(i = (β 1 α 1 (β 2 α 2 (β p α p. A = I (1 I (n lkbn írhtó fel p-dimenziós intervllumok diszjunkt uniójként, kkor legyen m(a = m(i (1 + + m(i (n. A definícióból látszik, hogy egydimenziós, síkbeli ill. térbeli intervllumokr m(i z intervllum hosszát, területét ill. térfogtát dj vissz. 3.31. Állítás. 1. H A p, kkor z m(a definíciój nem függ z A felbontásától. 2. m dditív hlmzfüggvény p -n. Bizonyítás: 1. Tegyük fel, hogy z A hlmzt kétféleképpen állítottuk elő páronként diszjunkt p-dimenziós intervllumok uniójként: A = I (1 I (n = Ĩ(1 Ĩ(k. kkor z i,j = I (i Ĩ(j hlmzok (i = 1,..., n, j = 1,..., k is intervllumok, sőt páronként diszjunktk, továbbá k n I (i = i,j és Ĩ (j = i,j, j=1
46 Győri István, Hrtung Ferenc: MA1114f és MA6116 elődásjegyzet, 2006/2007 így m dditivitását lklmzv m(a = k m(i (i = m j=1 ( k n k = m i,j = j=1 j=1 i,j = m(ĩ(j. k k m( i,j = m( i,j j=1 j=1 2. Legyen A és B diszjunkt elemi hlmzok. Írjuk fel hlmzokt diszjunkt intervllumok uniójként: A = I (1 I (n, B = J (1 J (m. kkor z I (1,..., I (n, J (1,..., J (m hlmzok is páronként diszjunktk, és így A B = I (1 I (n J (1 J (m diszjunkt felbontás A B-nek. zért m(a B = m m(i (i + m(j (i = m(a + m(b. 3.32. Péld. A kockdobás lehetséges kimenetelei: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Homogén kock esetén nnk vlószínűsége, hogy lehetséges kimenetek vlmelyike teljesül: p = 1 6. Legyen Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, és H jelölje Ω összes lehetséges részhlmzink hlmzát. kkor H elemeit eseményeknek nevezzük. Definiáljuk z események vlószínűségét következő hlmzfüggvénnyel: P : H [0, 1], P (A = z A hlmz elemeinek szám, (P ( = 0. 6 kkor könnyen láthtó, hogy H gyűrű, és P egy nemnegtív, dditív hlmzfüggvény. Áltlánosbbn, legyen Ω = {ω 1, ω 2,..., ω i,...} z állpottér, hol z {ω i } hlmzokt elemi eseményeknek nevezzük, és egy {ω i } elemi esemény vlószínűsége legyen p i (i = 1, 2,..., hol p i 0, (i = 1, 2..., és p i = 1. Legyen most is H z események hlmzrendszere, zz Ω összes lehetséges részhlmzink hlmz. kkor H σ-gyűrű, P (A = p i, A H i: ω i A függvény egy nemnegtív, σ-dditív hlmzfüggvény H-n, P (Ω = 1 és P ( = 0. A P függvényt vlószínűségi mértéknek nevezzük, z (Ω, H, P hármst pedig klsszikus vlószínűségi mezőnek hívjuk. 3.33. Definíció. Azt mondjuk, hogy R p Borel-hlmz, h előállíthtó nyílt intervllumokból kiindulv, megszámlálhtón sok művelettel, melyek z egyesítés, metszet, különbség képzés és komplementum képzés műveletek soroztából áll.
3. Mérték- és integrálelmélet 47 3.34. Péld. Bármely [, b] zárt intervllum egydimenziós Borel-hlmz, hiszen ( [, b] = 1 n, b + 1. n Hsonló módon, z egy pontból álló {} hlmz is Borel-hlmz, mivel ( {} = 1 n, + 1. n A végtelen ill. félig végtelen intervllumok is Borel-hlmzok, mivel pl. ( ( [, = 1 n n (, + 1 ( + 1 n, + n. n=2 3.35. Állítás. Legyen A R p. A következő állítások teljesülnek. 1. A Borel-hlmzok osztály legszűkebb olyn σ-lgebr, mely trtlmzz z p elemi hlmzokt (zz Borel-hlmzok osztályánk vlódi részhlmzi már nem rendelkeznek ezzel tuljdonsággl. 2. H A megszámlálhtó vgy véges számosságú, kkor A Borel-hlmz. 3. H A nyílt hlmz, kkor A Borel-hlmz. 4. H A zárt hlmz, kkor A Borel-hlmz. Bizonyítás: 1. Az állítás Borel-hlmzok definíciójából és z előbbi példábn látott ötletek segítségével könnyen dódik. A részleteket nem muttjuk meg. 2. Az állítás következik bból, hogy z egy pontból álló hlmz Borel-hlmz, és A előáll A = { i} lkbn. 3. H A nyílt hlmz, kkor előáll megszámlálhtó sok nyílt intervllum uniójként, mivel minden A-hoz tlálhtó olyn I nyílt intervllum, melyre I A, és I végpontji rcionális számok. Az ilyen intervllumokból 3.7. Állítás 5. pontjából következően megszámlálhtó sok vn, ezek uniój visszdj A-t, így következik z állítás. 4. Az állítás bból következik, hogy h A zárt, kkor R p \A nyílt hlmz, ezért Borel-hlmz, így A is z. 3.3. Reguláris, dditív, nemnegtív hlmzfüggvények kiterjesztése 3.36. Definíció. Az I = (α 1, β 1 (α p, β p p-dimenziós intervllumot nyílt intervllumnk, z I = [α 1, β 1 ] [α p, β p ] p-dimenziós intervllumot pedig zárt intervllumnk nevezzük. 3.37. Definíció. Az p -n értelmezett vlmely F 0 hlmzfüggvényt regulárisnk nevezzük, h minden A p és ε > 0 esetén vn olyn H p zárt és G p nyílt hlmz, hogy H A G és F (G ε < F (A < F (H + ε. H A intervllum, kkor H és G is intervllumok.
48 Győri István, Hrtung Ferenc: MA1114f és MA6116 elődásjegyzet, 2006/2007 3.38. Állítás. Az m elemi hlmzok térfogt hlmzfüggvény (lásd 3.30. definíciót reguláris. Bizonyítás: Legyen A p és ε > 0 rögzített. kkor A = I (1 I (n, hol I (i I (j = (i j, és z I (i p-dimenziós intervllum előllítás I (i = I (i 1 I p (i, hol z I (i j (3.1 egyenletben felsorolt vlmelyik típusú egydimenziós intervllum, hol z intervllum végpontjit jelölje α (i j és β (i j. kkor m(i (i = p k=1 ( β (i k α(i k. Nyilván minden i = 1,..., n-re (kicsit csökkentve z I (i intervllum méreteit tlálhtó olyn Ĩ (i p-dimenziós zárt intervllum, hogy Ĩ (i I (i, Ĩ (i Ĩ (j =, (i j, és m(ĩ (i > m(i (i ε n. Legyen H = Ĩ(1 Ĩ(n. kkor nyilván H A, H zárt hlmz, és m(h = m(ĩ(i > ( m(i (i ε = m(a ε. n Hsonló módon, minden i = 1,..., n-re tlálhtó olyn Î(i p-dimenziós nyílt intervllum, hogy I (i Î(i, és m(î(i < m(i (i + ε n. Megjegyezzük, hogy z Î(i hlmzok már nem biztos, hogy páronként diszjunktk lesznek. Legyen G = Î(1 Î(n. kkor A G, G nyílt hlmz, és 3.20. Állítás 5. pontj szerint ( n m(g = m Î (i (Î(i ( ( m < m I (i + ε = m(a + ε. n gy reguláris hlmzfüggvény tehát bizonyos értelemben z m hlmzfüggvény áltlánosításánk tekinthető. A következő példábn megdunk egy z m függvénytől eltérő reguláris hlmzfüggvényt. 3.39. Péld. Legyen g : R R egy rögzített monoton növekvő függvény. Definiáljuk µ g függvényt z egydimenziós intervllumokr következő módon: µ g ( = 0, µ g ([α, β = g (β g (α, µ g ([α, β] = g (β+ g (α, µ g ((α, β] = g (β+ g (α+, µ g ((α, β = g (β g (α+. zután µ g -t 3.30. Definícióhoz hsonló módon egyértelműen kiterjeszthetjük 1 -re, zz z egydimenziós elemi hlmzokr. Világos, hogy µ g egy nemnegtív és dditív hlmzfüggvény 1 -n. H g folytonos, kkor µ g ([α, β = µ g ([α, β] = µ g ((α, β] = µ g ((α, β = g(β g(α, és ekkor µ g reguláris is. Másrészt, h g olyn monoton növő függvény, mely nem folytonos egy α pontbn, kkor µ g ({α} > 0.
3. Mérték- és integrálelmélet 49 Megmuttjuk, hogy minden reguláris hlmzfüggvény kiterjeszthető egy z elemi hlmzokt trtlmzó σ-gyűrűre úgy, hogy kiterjesztés σ-dditív legyen. Szükségünk lesz következő foglmkr. 3.40. Definíció. Legyen R p dott hlmz. Az U = {U γ R p : γ Γ} hlmzrendszer z lefedése, h γ Γ U γ. H minden U γ nyílt intervllum, kkor U-t nyílt lefedésnek hívjuk. H Γ indexhlmz megszámlálhtó, kkor zt mondjuk, hogy U megszámlálhtó lefedése -nek, h pedig Γ véges hlmz, kkor U-t véges lefedésnek nevezzük. 3.41. Definíció. gy A hlmzt kompktnk hívunk, h bármely nyílt lefedéséből kiválszthtó véges lefedése is. Az nlízisben lpvető fontosságú következő állítás. 3.42. Tétel. gy A R p hlmz kkor és csk kkor kompkt, h korlátos és zárt. 3.43. Definíció. Legyen µ egy dditív, reguláris, nemnegtív és véges hlmzfüggvény p -n. kkor µ áltl generált külső mértéken { } µ ( = inf µ(a n : A n p-dimenziós nyílt intervllum, A n, R p hlmzfüggvényt értjük, hol z infimumot z összes lehetséges megszámlálhtó, nyílt intervllumokkl történő {A n } n 1 lefedéseire kell venni. A külső mérték tehát z R p tér bármely részhlmzán definiált, értéke lehet + is. 3.44. Állítás. µ egy nemnegtív monoton hlmzfüggvény, zz minden 1 2 -re 0 µ ( 1 µ ( 2. Bizonyítás: Az állítás bból következik, hogy 2 bármely megszámlálhtó lefedése egyben z 1 hlmznk is megszámlálhtó lefedése, így µ ( 1 kiszámításkor bővebb hlmznk kell z infimumát venni, mint µ ( 2 -nél. 3.45. Péld. Tekintsük z m áltl generált m egydimenziós külső mértéket. Megmuttjuk, hogy rcionális számok Q hlmzánk külső mértéke null, zz m (Q = 0. A 3.8. Péld szerint Q elemei egy r 1, r 2,... soroztb rendezhetők. Rögzítsünk egy ε > 0 számot, és definiáljuk z A i = ( r i ε 2 i+1, r i + ε 2 i+1 nyílt intervllumokt i = 1, 2,...-re. kkor nyilván {A n : n = 1, 2...} nyílt lefedése Q-nk, és m (Q m(a n = ε 2 i = ε.
50 Győri István, Hrtung Ferenc: MA1114f és MA6116 elődásjegyzet, 2006/2007 Mivel ε > 0 tetszőleges volt, ezért m (Q = 0. hhez hsonló módon be lehet látni, hogy bármely megszámlálhtó R p hlmz m külső mértéke mindig null. 3.46. Definíció. Legyen F egy hlmzfüggvény, mely R p összes részhlmzán értelmezve vn. kkor F -et szubdditív hlmzfüggvénynek nevezzük, h ( F n F ( n. 3.47. Tétel. Legyen µ egy dditív, nemnegtív, reguláris véges hlmzfüggvény p -n, µ z áltl generált külső mérték R p -n. kkor 1. µ µ kiterjesztése, zz minden A p -re µ (A = µ(a; 2. µ egy szubdditív hlmzfüggvény. Bizonyítás: 1. Legyen A p tetszőleges rögzített hlmz. kkor legyen A = I 1 I n, hol I 1, I n páronként diszjunkt p-dimenziós intervllumok. kkor µ dditivitás mitt µ(a = µ(i 1 + + µ(i n. Legyen ε > 0 rögzített. Mivel µ reguláris, ezért minden i = 1,..., n-re létezik olyn J i p- dimenziós nyílt intervllum, hogy Másrészt µ definíciój szerint miből I i J i, µ(i i µ(j i < µ(i i + ε n. µ (A µ(j i < ( µ(i i + ε, n µ (A < µ(a + ε (3.2 dódik. Másrészt ugyncsk µ definíciój lpján vn olyn nyílt intervllumokból álló (A n sorozt, hogy A és A n µ(a n < µ (A + ε. (3.3 A µ mérték reguláris, ezért A trtlmz olyn F zárt elemi hlmzt, melyre µ(f > µ(a ε. Mivel F korlátos és zárt, ezért 3.47. Tétel lpján z {A n : n = 1, 2,...} lefedéséből kiválszthtó egy véges lefedés is, zz léteznek olyn k 1,..., k N indexek, hogy F A k1 A kn. Tehát 3.20. Állítás 5. pontj és (3.3 lpján ( N N µ(a < µ(f + ε µ A kn + ε µ(a kn + ε µ(a n + ε < µ (A + 2ε.
3. Mérték- és integrálelmélet 51 Megmutttuk tehát, hogy µ (A ε < µ(a < µ (A + 2ε minden rögzített pozitív ε-r. H most ε 0+, kkor µ (A µ(a µ (A dódik, és ezzel bebizonyítottuk, hogy µ(a = µ (A minden A p -re. 2. Legyen = n és tegyük fel, hogy µ ( n < minden n 1-re. llenkező esetben nincs mit bizonyítnunk, ugynis szubdditivitás triviálisn teljesül. Legyen ε > 0 tetszőlegesen rögzített. kkor µ definíciój lpján vn z n hlmznk olyn elemi nyílt intervllumokból álló {A n,k : k N} lefedése, hogy µ(a n,k µ ( n + 2 n ε, n N. (3.4 k=1 kkor ( = n A n,k. k=1 Másrészt µ ( definíció szerint lehetséges lefedések áltl generált összegek infimum, ezért ( µ ( µ(a n,k. k=1 z z egyenlőtlenség összevetve (3.4 becsléssel zt jelenti, hogy µ ( (µ ( n + 2 n ε = µ ( n + 2 n ε = µ ( n + ε minden ε > 0 -r. H most ε 0+, kkor kívánt µ ( µ ( n egyenlőtlenséget kpjuk és ezzel tétel bizonyítás teljes. 3.48. Definíció. Tetszőleges A, B R p hlmzok szimmetrikus differenciáját A B-vel jelöljük és z A B def = (A \ B (B \ A képlettel definiáljuk. Könnyen ellenőrizhetők szimmetrikus különbség hlmzművelet lábbi tuljdonsági: 3.49. Állítás. Legyen A, B, C, A 1, A 2, B 1, B 2 X tetszőleges. kkor 1. A B =, kkor és csk kkor, h A = B, 2. A B = B A, 3. A B (A C (C B,
52 Győri István, Hrtung Ferenc: MA1114f és MA6116 elődásjegyzet, 2006/2007 4. (A 1 A 2 (B 1 B 2 (A 1 B 1 (A 2 B 2, 5. (A 1 A 2 (B 1 B 2 (A 1 B 1 (A 2 B 2, 6. (A 1 \ A 2 (B 1 \ B 2 (A 1 B 1 (A 2 B 2. 3.50. Definíció. Legyen µ egy dditív, nemnegtív, reguláris véges hlmzfüggvény p -n, µ z áltl generált külső mérték R p -n. Az A és B hlmzok µ áltl generált távolságát d(a, B-vel jelöljük és definíciój: d(a, B def = µ (A B. Azt mondjuk, hogy z (A n hlmzsorozt konvergál A-hoz (A n A, h d(a n, A = µ (A n A 0, h n +. 3.51. Állítás. Legyen A, B, C, A 1, A 2, A n, B 1, B 2 R p. kkor 1. d(a, B = 0, kkor és csk kkor, h µ (A \ B = 0 és µ (B \ A = 0; 2. d(a, B = d(b, A; 3. d(a, B d(a, C + d(c, B; 4. µ (A µ (B µ (A B. 5. Legyen A n A. kkor µ (A n µ (A. 6. d(a 1 A 2, B 1 B 2 d(a 1, B 1 + d(a 2, B 2. 7. d(a 1 A 2, B 1 B 2 d(a 1, B 1 + d(a 2, B 2. 8. d(a 1 \ A 2, B 1 \ B 2 d(a 1, B 1 + d(a 2, B 2. Bizonyítás: 1. A µ szubdditivitásából és z A B definíciójából következik. 2. A 3.49. Állítás 2. pontjából rögtön következik. 3. A 3.49. Állítás 3. pontj, vlmint µ monotonitás és szubdditivitás lpján µ (A B µ ( (A C (C B µ (A C + µ (C B. 4. Az előbbihez hsonló módon µ (A µ (B (A B µ (B + µ (A B, és ugynígy µ (B µ (A + µ (A B is teljesül, miből következik z állítás. 5. A 4. pont következménye. 6. A 3.49. Állítás 4. pontját, vlmint µ monotonitását és szubdditivitását felhsználv teljesül. A 7. és 8. pontok bizonyítás hsonló. Megjegyezzük, hogy d nem távolság z 5.80. Definíció értelemében (lásd z 5.7. szkszt, hiszen, 3.51. Állítás 1. pontj szerint d(a, B lehet 0 kkor is, h A és B nem zonos. Az 5.80. Definíció többi pontj viszont teljesül. nnek következtében konvergenci fenti definíciój szerint egy konvergens hlmzsorozt htárértéke nem egyértelmű: Például, h A n A, és h B és A egy olyn pontbn különbözik egymástól, melynek külső mértéke null, kkor könnyen ellenőrizhető, hogy A n B is teljesül. 3.52. Definíció. Legyen µ egy dditív, nemnegtív, reguláris véges hlmzfüggvény p -n, µ z áltl generált külső mérték R p -n. H z A R p hlmzhoz vn olyn elemi hlmzokból álló (A n sorozt, melyre A n A, kkor zt mondjuk, hogy A végesen µ-mérhető. A végesen µ-mérhető hlmzok osztályát M F (µ jelöli.
3. Mérték- és integrálelmélet 53 3.53. Tétel. Legyen µ egy dditív, nemnegtív, reguláris véges hlmzfüggvény p -n, µ z áltl generált külső mérték R p -n, M F (µ végesen µ-mérhető hlmzok osztály. kkor M F (µ gyűrű R p -n és µ z M F (µ-n értelmezett dditív nemnegtív hlmzfüggvény. Bizonyítás: Legyen A, B M F (µ. kkor léteznek olyn elemi hlmzokból álló (A n és (B n hlmzsoroztok, hogy A n A és B n B. A 3.51. Állítás 6. pontj lpján d(a B, A n B n d(a, A n + d(b, B n 0, és mivel A n B n elemi hlmz, ezért A B M F (µ. A 3.51. Állítás 8. pontj mitt d(a \ B, A n \ B n d(a, A n + d(b, B n. zért A n \ B n A \ B, és így A \ B M F (µ. Beláttuk tehát, hogy M F (µ gyűrű. Megmuttjuk, hogy µ dditív M F (µ-n. Legyen A, B M F (µ diszjunkt hlmzok, és legyen A n A és B n B, hol A n és B n elemi hlmzok. kkor A n B n = (A n \ B n (B n \ A n (A n B n, és z utóbbi három hlmz páronként diszjunkt. Mivel z elemi hlmzokon µ = µ, és µ dditív, ezért µ (A n B n = µ (A n \ B n + µ (B n \ A n + µ (A n B n = µ (A n + µ (B n µ (A n B n. Mivel A B =, ezért A n B n = (A B (A n B n, és így 3.49. Állítás 5. pontját és µ monotonítását felhsználv µ (A n B n = µ ( (A B (A n B n µ ( (A A n (B B n µ (A A n +µ (B B n 0. zért µ (A B = lim n µ (A n B n ( = lim µ (A n + µ (B n µ (A n B n n = lim n µ (A n + lim n µ (B n lim n µ (A n B n = µ (A + µ (B, zz µ dditív M F (µ-n. 3.54. Megjegyzés. Az M F (µ gyűrű áltlábn nem σ-gyűrű. hhez tekintsük R-en z m hlmzfüggvényt és z M F (m gyűrűt. Tegyük fel, hogy R M F (m. kkor létezik olyn elemi hlmz, hogy m (R <. Viszont R = R \, ezért m (R = m ( (R \ m ( + m (R \ <, emi ellentmond nnk, hogy m (R m ([ n, n] = 2n tetszőleges n-re. zért R M F (m. Másrészt R = ( n, n és ( n, n M F (m. A következő eredmény szerint µ σ-dditív z M F (µ gyűrűn (mely z előző péld szerint nem σ-gyűrű. 3.55. Tétel. Az µ külső mérték σ-dditív z M F (µ gyűrűn.
54 Győri István, Hrtung Ferenc: MA1114f és MA6116 elődásjegyzet, 2006/2007 Bizonyítás: Legyen A i M F (µ (i = 1, 2,... páronként diszjunkt, legyen A = A i, és tegyük fel, hogy A M F (µ. Mivel µ szubdditív, ezért µ (A µ (A i. Megmuttjuk, hogy fordított egyenlőtlenség is teljesül. µ monotonitás mitt, és mivel µ dditív M F (µ-n, ezért minden n-re ( n µ (A µ A i = µ (A i, tehát zz µ σ-dditív M F (µ-n. µ (A µ (A i, A következő tétel szerint M F (µ zárt hlmzok htártéréke műveletre. 3.56. Tétel. Legyen (A n olyn sorozt, melyre A n M F (µ minden n-re, és A n A. kkor A M F (µ. Bizonyítás: Legyen ε > 0 tetszőleges. kkor létezik olyn N, hogy d(a, A N < ε 2. Mivel A N M F (µ, ezért létezik olyn N p elemi hlmz, hogy De ekkor 3.51. Állítás 3. pontját felhsználv d(a N, N < ε 2. d(a, N d(a, A N + d(a N, N < ε, miből következik, hogy A M F (µ. 3.57. Definíció. H A = B n, hol B n végesen µ-mérhető minden n-re, kkor A-t µ- mérhetőnek nevezzük. A µ-mérhető hlmzok osztályát M(µ jelöli. A következő tétel szerint µ-mérhető hlmzok között pontosn z M F (µ hlmzhoz trtozóknk véges µ külső mértéke. 3.58. Tétel. M F (µ = {A M(µ: µ (A < } Bizonyítás: Tegyük fel először, hogy A M F (µ. kkor bármely ε > 0-hoz létezik olyn p, hogy µ (A < ε. De ekkor A (A, ezért µ szubdditivitás mitt µ (A µ ( + µ (A <.
3. Mérték- és integrálelmélet 55 Most fordítv, tegyük fel, hogy A M(µ és µ (A <. Legyen A = A n, hol A n M F (µ. Legyen B 1 = A 1, és B n = A n \ ( n 1 A i, n = 2, 3,.... kkor A = B n, és B 1, B 2,... hlmzok páronként diszjunkt végesen µ-mérhető hlmzok. Mivel m B n A, M F zárt véges uniór, és µ dditív z M F gyűrűn, ezért ( m m µ (B n = µ B n µ (A. A fenti becslés minden m-re teljesül, így µ (B n <. Legyen C N = N B n. kkor C N M F (µ, és ( d(a, C N = µ (A C N = µ B n n=n+1 zért 3.56. Tételből következik, hogy A M F (µ. n=n+1 Most már kimondhtjuk ennek szksznk fő tételét: µ (B n 0, h N. 3.59. Tétel. Legyen µ egy dditív, nemnegtív, reguláris véges hlmzfüggvény p -n, µ z áltl generált külső mérték R p -n, M(µ µ-mérhető hlmzok osztály. kkor M(µ σ-lgebr R p -n és µ z M(µ-n értelmezett mérték. Bizonyítás: 1. Legyen A i M(µ (i = 1, 2,..., és legyen A = A i. kkor minden i-re léteznek olyn A ij M F (µ hlmzok, hogy A i = j=1 A ij. De ekkor A = j=1 A ij, és mivel z unió megszámlálhtó, ezért A M(µ. zzel beláttuk, hogy M(µ σ-gyűrű. 2. Most zt indokoljuk, hogy M(µ zárt különbség képzésre. Legyen A, B M(µ. kkor léteznek olyn A i, B i M F (µ hlmzok, hogy A = A i és B = B i. De ekkor ( A \ B = A i \ B = (A i \ B. Megmuttjuk, hogy A i \ B M F (µ minden i-re, miből következik, hogy A \ B M(µ. Legyen ( j 1 C i1 = A i B 1, C ij = A i B j \ B k, j = 2, 3,.... kkor C ij A i minden j-re, C i1, C i2, C i3,... hlmzok páronként diszjunktk, és k=1 ( A i \ B = A i \ C ij. Legyen N 1 tetszőleges. Mivel ( N (A i \ B A i \ j=1 j=1 C ij = j=n+1 C ij,
56 Győri István, Hrtung Ferenc: MA1114f és MA6116 elődásjegyzet, 2006/2007 ezért Másrészt és így ( N d A i \ B, A i \ µ ( j=n+1 j=1 j=n+1 C ij = µ ( C ij A i, j=n+1 C ij µ (A i <, C ij. ezért 3.58. Tétel szerint j=n+1 C ij M F (µ, tehát 3.55. Tételt lklmzv bből viszont következik, hogy µ ( ( N d A i \ B, A i \ j=n+1 j=1 C ij = C ij = j=n+1 j=n+1 µ (C ij <. µ (C ij 0, h N, ( N így 3.56. Tétel szerint A i \ B M F (µ, hiszen A i \ j=1 C ij M F (µ. 3. Másrészt R p = [ n, n] [ n, n], ezért Rp M(µ, zz M(µ σ-lgebr. 4. Megmuttjuk, hogy µ σ-dditív. Legyen A i M(µ (i = 1, 2,... páronként diszjunkt, A = A i. H A M F (µ, kkor 3.58. Tétel szerint µ (A <, de ekkor µ (A i µ (A <, és így A i M F (µ minden i-re. De ekkor µ (A = µ (A i (3.5 következik 3.55. Tételből. H A M F (µ, kkor 3.58. Tétel szerint µ (A =. zért µ szubdditívitás mitt = µ (A µ (A i, így (3.5 most is teljesül. 3.60. Megjegyzés. bben szkszbn kiindulv z elemi hlmzokon értelmezett µ hlmzfüggvényből, vettük z áltl generált µ külső mértéket, melyet M(µ σ-lgebrár megszorítv mértéket kptunk. zt mértéket is µ-vel jelöljük, ezzel is hngsúlyozv zt, hogy ez µ hlmzfüggvény kiterjesztése. A mérhető hlmzok körét következő lépésekben bővítettük ki egyre bővebb hlmzrendszerekre:
3. Mérték- és integrálelmélet 57 1. intervllumok 2. elemi hlmzok gyűrűje: p (intervllumok véges uniói 3. végesen mérhető hlmzok gyűrűje: M F (µ (elemi hlmzok htárértékei 4. mérhető hlmzok σ-lgebráj: M(µ (végesen mérhető hlmzok megszámlálhtó uniói 3.4. A Lebesgue-mérték 3.61. Definíció. Az m (p-dimenziós elemi hlmzok térfogt hlmzfüggvény kitejesztését z M(m σ-lgebrár p-dimenziós Lebesgue-mértéknek nevezzük, és z M(m σ-lgebr elemeit Lebesgue-mérhető hlmzoknk nevezzük. 3.62. Definíció. Az R p hlmzt µ-nullmértékű, ill. µ = m esetben egyszerűen csk nullmértékű hlmznk nevezzük, h µ ( = 0. A µ definíciójából következik: 3.63. Állítás. gy R p hlmz µ-nullmértékű kkor és csk kkor, h bármely ε > 0 számhoz léteznek olyn {I 1, I 2,...} nyílt intervllumok, hogy I i és µ (I i < ε. A következő állítás segítséget nyújt nnk elképzeléséhez, hogy milyen hlmzok Lebesguemérhetők. 3.64. Állítás. Legyen m Lebesgue-mérték R p -n, M(m p-dimenziós Lebesgue-mérhető hlmzok σ-lgebráj. kkor: 1. Minden véges és megszámlálhtó hlmz Lebesgue-mérhető és mértéke 0. 2. H A Borel-hlmz, kkor A M(m, zz A Lebesgue-mérhető. 3. Minden nullmértékű hlmz Lebesgue-mérhető, zz h m (A = 0, kkor A M(m. 4. H A Lebesgue-mérhető és B nullmértékű hlmz, kkor A B is Lebesgue-mérhető.
58 Győri István, Hrtung Ferenc: MA1114f és MA6116 elődásjegyzet, 2006/2007 5. H A M(m és ε > 0, kkor vn olyn zárt H és nyílt G hlmz, melyre H A G és m(g \ A < ε, m(a \ H < ε. 6. H A M(m, kkor léteznek olyn H és G Borel-hlmzok, hogy H A G és m(g \ A = m(a \ H = 0. 7. H A Lebesgue-mérhető, kkor minden b R p -re z A + b def = { + b R p : A} hlmz is Lebesgue-mérhető és m(a = m(a + b (zz Lebesgue-mérték invriáns z eltolásr. Bizonyítás: 1. Legyen = ( 1,..., p R p, és ( n = 1 1 n, 1 + 1 n ( p 1 n, p + 1. n kkor n p-dimenziós nyílt intervllum, melyre m( n = (2/n p. zért d({}, n = m ({} n m( n 0, h n, zz {} M F (m M(m és m({} = lim n m( n = 0. H A megszámlálhtó, kkor elemeit rendezzük egy ( n soroztb. kkor A = { n}, ezért A M(m. Másrészt ( m(a = m { n } = m({ n } = 0. 2. Az állítás 3.35. Állítás 1. pontjából következik. 3. Legyen A olyn, hogy m (A = 0. Mivel p, ezért d(a, = m (A = m (A = 0, és így A M F (m. 4. A 3. pont szerint B Lebesgue-mérhető, ezért A B is z. 5. Tegyük fel először, hogy A M F (m, zz m (A <, és rögzítsünk egy tetszőleges ε > 0-t. A külső mérték definíciój szerint léteznek olyn I 1, I 2,... nyílt p-dimenziós intervllumok, hogy A és m(i i < m (A + ε. Legyen G = I i. kkor G nyílt hlmz, I i A G és m (G m(i i < m (A + ε. kkor, hsználv, hogy m = m Lebesgue-mérhető hlmzokon, következik z állítás. Legyen ezután A M(m, és A = A i, hol A i M F (m minden i-re. kkor z előző eredmény mitt minden i-re létezik olyn G i nyílt hlmz, hogy Legyen G = A i. kkor G nyílt hlmz, A i G i és m(g i \ A i < ε 2 i. ( A G és m(g \ A m (G i \ A i m(g i \ A i < ε 2 i = ε.
3. Mérték- és integrálelmélet 59 A zárt hlmzokr vontkozó állítást visszvezethetjük nyílt hlmzokr igzolt eredményre: Legyen A M(m. kkor Ā M(m, ezért z előbbi eredmény szerint tetszőleges ε > 0-hoz létezik olyn G nyílt hlmz, hogy Legyen H = Ḡ. kkor H zárt hlmz, Legyen Ā G és m(g \ Ā < ε. H A és m(a \ H = m(g \ Ā < ε. 6. Az 5. pont szerint minden n-re léteznek olyn G n nyílt és H n zárt hlmzok, hogy H n A G n és m(a \ H n < 1 n, m(g n \ A < 1 n. H = H n és G = G n. kkor H és G Borel-hlmzok, melyekre teljesül z állítás. 7. Az állítás intervllumokr nyilván teljesül. zután lépésenként megmutthtó, hogy elemi hlmzokr, végesen mérhető és végül mérhető hlmzokr is teljesül z eltolásr vontkozó invrinci. A részleteket itt elhgyjuk. 3.65. Megjegyzés. Az előbbi állítás 2., 4. és 6. pontj szerint tehát Lebesgue-mérhető hlmzok és Borel-hlmzok nullmértékű hlmzokbn térnek el egymástól. Az előbbi állítás szerint minden megszámlálhtó hlmz Lebesgue-mérhető (és mértéke 0. Most megmuttjuk, hogy létezik olyn nullmértékű végtelen hlmz, mely nem megszámlálhtó számosságú. 3.66. Péld. Az 0 = [0, 1] intervllumból kiindulv definiálunk egy ( n hlmzsoroztot: Legyen 1 = 0 \ (1/3, 2/3. kkor 1 két, 1/3 hosszú zárt intervllum( uniój. zután hgyjuk el 1 -ből is két intervllum középső hrmdát: legyen 2 = 1 \ (1/9, 2/9 (7/9, 8/9. kkor 2 4 db 1/9 hosszú zárt intervllum uniój. zután újr mindegyik intervllum középső (nyílt hrmdát elhgyv kpjuk 3 -t, mely 8 db 1/27 hosszú zárt intervllum uniój lesz. Így definiáljuk z n hlmzsoroztot, melyben n 2 n db 1/3 n hosszú zárt intervllum uniój lesz. Nyilván n Lebesgue-mérhető, és m( n = (2/3 n. Definiáljuk C = n hlmzt, melyet Cntor-hlmznk nevezünk. nnek legfontosbb tuljdonsági: 1. C Borel-hlmz. 2. C mérhető és nullmértékű hlmz. 3. C zárt hlmz. 4. C kontinuum számosságú. Az 1. tuljdonság nyilvánvló Cntor-hlmz definíciójából. Mivel C Borel-hlmz, ezért mérhető is (mit definíciójából is nyilván láthtunk. Jelölje F n z n komplementerét [0, 1] intervllumr, zz F n = [0, 1] \ n. Mivel 1 2, ezért F 1 F 2. De ekkor 3.24. Tétel szerint ( m F n = lim m(f n, n
60 Győri István, Hrtung Ferenc: MA1114f és MA6116 elődásjegyzet, 2006/2007 és ezért ( ( ( ( ( m(c = m n = m ([0, 1] \ F n = m [0, 1] \ F n = 1 m F n = 1 lim n m(f n = 1 lim n m([0, 1] \ n = lim n m( n = 0. zzel 2. állítást is beláttuk. A 3. állítás következik bból, hogy végtelen sok zárt hlmz metszete is zárt hlmz. A 4. tuljdonság vázltos indoklás következő: Úgy mint tizes számrendszerben (lásd 3.6. Példát, hárms számrendszerben is felírhtunk minden x [0, 1] számot z x = (0, x 1 x 2 x 3... 3 = x 1 3 + x 2 3 2 + x 3 3 3 + (3.6 végtelen tört lkbn, hol x i {0, 1, 2}. Akár tizes számrendszerben, itt is vnnk olyn számok, melyeket felírhtunk véges sok (nem null tört jeggyel és végtelen sok tört jeggyel is. Például (0,1 3 = (0,02222... 3. Ilyen esetekben mindig vegyük végtelen tört jeggyel felírhtó lkját számnk. kkor egy kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést dtunk [0, 1] intervllum pontji és (3.6 lkú végtelen törtek között. Az 1 hlmz definíciójából következik, hogy pontosn zok [0, 1]-beli számok nem trtoznk 1 -hez, melyek (3.6 előállításábn x 1 = 1, zz z 1 -beli számokr x 1 = 0 vgy 2. Hsonlón, zokt számokt hgyjuk el 1 -ből z 2 generáláskor, melyekre x 2 = 1. Megmutthtó tehát, hogy zon [0, 1]-beli számok trtoznk Cntor-hlmzhoz, melyekre (3.6-ben x i = 0 vgy 2 minden i-re. Megdunk most egy kölcsönösen egyértelmű leképezést C és [0, 1] között: z x C számhoz rendeljük hozzá zt kettes számrendszerben felírt y = (0,y 1 y 2 y 3... 2 számot, melyre y i = 0, h x i = 0 és y i = 1 h x i = 2. Könnyen ellenőrizhető, hogy ez egy kölcsönösen egyértelmű leképezés lesz, zz C számosság megegyezik [0, 1] számosságávl, zz kontinuum számosságú. A következő pélábn megmuttjuk, hogy nem minden R p -beli hlmz Lebesgue-mérhető, zz hossz, terület ill. térfogt foglmát nem lehet természetes módon kiterjeszteni z összes R-beli, síkbeli ill. térbeli hlmzr. 3.67. Péld. Megmuttjuk, hogy létezik olyn részhlmz [0, 1 intervllumnk, mely nem Lebesgue-mérhető. Vezessük be [0, 1-en z összedás modulo 1 műveletet: legyen tetszőleges x, y [0, 1-re { x + y, h x + y < 1, x y = x + y 1, h x + y 1. [0, 1-re jelölje y def = {x y [0, 1 : x }. Legyen [0, 1 mérhető, y [0, 1, és definiáljuk z 1 = [0, 1 y és 2 = [1 y, 1 hlmzokt. kkor = 1 2, 1 és 2 diszjunkt és mérhető, így m( = m( 1 + m( 2. Mivel 1 y = 1 +y és 2 y = 2 +(y 1 és mivel Lebesgue-mérték eltolás invriáns (3.64. Állítás 7. pont, ezért 1 y és 2 y is mérhető és diszjunkt hlmzok, és m( 1 = m( 1 y, m( 2 = m( 2 y. Másrészt y = ( 1 y ( 2 y, így y is mérhető, továbbá m( y = m( 1 y + m( 2 y = m( 1 + m( 2 = m(. Vezessük be következő ekvivlencirelációt. Jelölje x y, h x y Q. nnek segítségével ekvivlenciosztályokr bontjuk [0, 1 hlmzt: egy osztályb zok számok trtoznk, melyek ekvivlensek, zz különbségük egy rcionális szám. Legyen P [0, 1 olyn hlmz, mely
3. Mérték- és integrálelmélet 61 minden ekvivlenciosztályból pontosn egy számot trtlmz. Indirekt bizonyítássl megmuttjuk, hogy P hlmz nem Lebesgue-mérhető. Tegyük fel tehát, hogy P Lebesgue-mérhető. Legyen r 1, r 2,... rcionális számok egy soroztb rendezése, és tekintsük P i = P r i hlmzokt (i = 1, 2,.... Legyen x P i P j vlmely i j-re. kkor x = p i + r i = p j + r j lkú, hol p i P i, p j P j, miből következik, hogy p i p j = r j r i Q, mi ellentmond nnk, hogy P minden ekvivlenciosztályból csk egy elemet trtlmz. zért P 1, P 2,... hlmzok páronként diszjunktk. De mivel [0, 1 = P i, ezért ( 1 = m([0, 1 = m P i = m(p i = m(p, mi ellentmondás. zért P nem lehet Lebesgue-mérhető. 3.5. Mértékterek A 3.3. szkszbn p-dimenziós vektortér elemi hlmzi gyűrűjén megdott µ nemnegtív, dditív, reguláris hlmzfüggvényeit terjesztettük ki z M(µ σ-lgebrár úgy, hogy kiterjesztett függvény mérték legyen M(µ-n. Az ilyen mértékeknek legfontosbb példáj Lebesgue-mérték volt. Más kiindulási feltételekkel (pl. nem z R p tér részhlmzin megdott hlmzfüggvényből, vgy például nem reguláris hlmzfüggvényből kiindulv is lehet z lphlmz vlmely σ-lgebrájár kiterjesztve mértékeket definiálni, illetve bizonyos esetekben direkt módon is meg tudunk dni egy σ-lgebrát és zon egy σ-dditív hlmzfüggvényt (lásd pl. 3.32. Példát. zért tekintsük következő definíciót. 3.68. Definíció. Legyen X tetszőleges hlmz, M z X részhlmziból álló σ-lgebr és µ z M-n értelmezett nemnegtív σ-dditív hlmzfüggvény. kkor z (X, M, µ hármst mértéktérnek nevezzük, és z M hlmz elemeit mérhető hlmzoknk nevezzük. A következőkben rr dunk egyszerű példákt, hogy tetszőleges hlmzon definiálhtunk mértékteret. 3.69. Péld. Legyen X egy tetszőleges hlmz, M z X összes részhlmzink hlmz és legyen tetszőleges véges A X esetén µ(a = z A elemeinek szám, h pedig A végtelen számosságú hlmz, kkor legyen µ(a =. kkor ellenőrizhető direkt módon, hogy µ mérték (z ú.n. számosság mérték, és így (X, M, µ mértéktér. 3.70. Péld. Legyen X egy tetszőleges hlmz, x 0 X rögzített. Legyen M z X összes részhlmzink hlmz, és µ 3.25. Példábn vizsgált { 1, x0 A, µ(a = 0, x 0 A σ-dditív hlmzfüggvény. kkor (X, M, µ egy mértéktér. zt µ mértéket triviális mértéknek nevezzük. A vlószínűségszámítás elméletében vlószínűségi mező ismeretében tudunk következtetéseket levonni, zz feltesszük, hogy dott egy (Ω, H, P mértéktér, hol H z Ω részhlmziból
62 Győri István, Hrtung Ferenc: MA1114f és MA6116 elődásjegyzet, 2006/2007 álló σ-lgebr, P : H [0, 1] mérték, zz σ-dditív nemnegtív hlmzfüggvény, és melyre P (Ω = 1, P ( = 0. Megjegyezzük, hogy ebben z áltlános esetben Ω nem minden részhlmz mérhető, zz nem minden részhlmzhoz (eseményhez rendelhetünk vlószínűséget. 3.71. Definíció. Adott egy (X, M, µ mértéktér. Legyen T egy pontbeli tuljdonság vlmely hlmzon (például: egy függvény z dott pontbn folytonos, vgy egy függvény z dott pontbn nem zéró. Azt mondjuk, hogy T tuljdonság egy dott hlmzon µ-mjdnem mindenütt teljesül, h zoknk pontoknk hlmz, hol T nem teljesül vgy hol T nincs értelmezve, µ-mérhető hlmz és µ-mértéke null. Pl.: Azt mondjuk, hogy z f, g X R függvények z A X hlmzon µ-mjdnem mindenütt egyenlőek (rövidítve f = g µ-m.m., h z {x A : f(x g(x} hlmz µ-mérhető és µ-mértéke null. (H f és/vgy g egy dott pontbn nincsen értelmezve, kkor zt úgy tekintjük, hogy f és g nem egyenlő ebben pontbn. H fenti definíciókbn µ = m, kkor z m-mjdnem mindenütt helyett egyszerűen mjdnem mindenütt kifejezést hsználjuk. 3.72. Péld. H f és g definíciój közös értelmezési trtományukon véges sok pontbn tér csk el egymástól, kkor f mjdnem mindenütt megegyezik g-vel, mert véges sok pontból álló hlmz Lebesgue-mértéke 0. Legyen most { 1, h x [0, 1] rcionális, f(x = 0, h x [0, 1] irrcionális, és legyen g z zonosn null függvény [0, 1]-en. kkor f mjdnem mindenütt egyenlő g-vel, mert z {x [0, 1]: f(x g(x} = Q [0, 1] hlmz nullmértékű. 3.6. Mérhető függvények bben szkszbn feltesszük, hogy dott egy (X, M, µ mértéktér, így mérhető hlmzokon mindig z M elemeit, mérhetőségen µ-mérhetőséget, mértéken pedig µ mértéket értjük. Olyn függvényeket vizsgálunk, melyek X-en értelmezettek és értékeiket kibővített vlós számok def hlmzából, R b = R {, }-ből veszik fel. 3.73. Definíció. Legyen f : X R b. Azt mondjuk, hogy f mérhető függvény, h z hlmz minden vlós esetén mérhető. {x X : f(x > } 3.74. Tétel. A következő állítások ekvivlensek: 1. {x X : f(x > } M minden R-re, 2. {x X : f(x } M minden R-re, 3. {x X : f(x < } M minden R-re, 4. {x X : f(x } M minden R-re.
3. Mérték- és integrálelmélet 63 Bizonyítás: Az egyes implikációk következnek z lábbi összefüggésekből: 1. 2.: {x X : f(x } = { x X : f(x > 1 n} ; 2. 3.: {x X : f(x < } = X \ {x X : f(x }; 3. 4.: {x X : f(x } = { x X : f(x < + 1 n} ; 4. 1.: {x X : f(x > } = X \ {x X : f(x }. 3.75. Tétel. H f mérhető, kkor f is mérhető. Bizonyítás: Az állítás következik z {x X : f(x > } = {x X : f(x > } {x X : f(x < } összefüggésből. 3.76. Tétel. H f és g mérhető függvények, c R, kkor cf, f, mx {f, g}, min {f, g}, f + g, f g függvények szintén mérhetők. H µ({x X : g(x = 0} = 0, kkor 1/g és f/g is mérhető. Bizonyítás: Tekintsük például z f + g függvény mérhetőségét. Legyen r 1, r 2,... rcionális számok egy soroztb rendezése (lásd 3.8. Példát. kkor {x X : f(x + g(x > } = ( {x X : f(x > r i } {x X : g(x > r i } M. 3.77. Tétel. Legyen f, g : X R mérhető, vlós értékű függvények, és legyen F vlós és folytonos függvény R 2 -n, és legyen kkor h mérhető. h(x = F (f(x, g(x, x X. 3.78. Tétel. Legyen {f n } mérhető függvények sorozt. kkor z sup f n, n 1 függvények szintén mérhetők. inf f n, n 1 lim sup f n és lim inf f n n 1 n 1 Bizonyítás: Legyen például g(x = sup n 1 f n (x. kkor supremum definíciój mitt {x: g (x > } = {x: f n (x > }, így g mérhető. Legyen például h(x = lim sup n 1 f n (x. kkor így z előbbiekből következik z állítás. h(x = inf sup f n (x, m 1 n m
64 Győri István, Hrtung Ferenc: MA1114f és MA6116 elődásjegyzet, 2006/2007 3.79. Következmény. 1. H f és g mérhető, kkor mx {f, g} és min {f, g} szintén mérhető. Speciálisn h kkor f + és f mérhető. f + def = mx {f, 0} f def = min {f, 0}, 2. Mérhető függvények konvergens soroztánk htárértéke is mérhető. 3.80. Tétel. H X R p, f : X R folytonos, kkor Lebesgue-mérhető. Bizonyítás: Legyen R tetszőlegesen rögzített, és tekintsük z {x : f(x > } hlmzt. z nyílt hlmz, hiszen h egy tetszőleges x 0 {x : f(x > } pontot veszünk, f folytonosságából következik, hogy létezik olyn δ > 0, hogy f(x > teljesül minden x-re, melyre x x 0 < δ, hol z euklideszi távolság R n -en. A 3.64. Állítás szerint minden nyílt hlmz Lebesguemérhető, hiszen nyílt hlmzok Borel-hlmzok is, tehát f Lebesgue-mérhető függvény. 3.81. Tétel. Legyen X R p, f, g : X R, f Lebesgue-mérhető és f = g mjdnem mindenütt. kkor g is Lebesgue-mérhető. Bizonyítás: A mjdnem mindenütt definíciójából következik, hogy z {x: g(x f(x} hlmz Lebesgue-mérhető, és m({x : g(x f(x} = 0. kkor persze z {x : g(x = f(x} hlmz is Lebesgue-mérhető lesz. Mivel {x: g(x > } {x: g(x f(x} {x: g(x f(x}, és minden m-nullmértékű hlmz részhlmz is Lebesgue-mérhető, ezért z ( ( {x: g(x > } = {x: f(x > } {x: f(x = g(x} {x: g(x > } {x: g(x f(x} hlmz is Lebesgue-mérhető. 3.82. Megjegyzés. Megjegyezzük, hogy z előbbi tétel áltlánosíthtó olyn (X, M, µ mértékterekre is, hol minden olyn M hlmznk, melynek µ-mértéke 0, bármely részhlmz is mérhető hlmz. Az ilyen tuljdonságú mértéktereket teljes mértéktérnek nevezzük. Például Lebesgue-mértékhez trtozó (R p, M(m, m mértéktér teljes (lásd 3.64. Állítást. 3.83. Megjegyzés. A mérhető függvények osztály csk z M σ-gyűrűtől függ ( konkrét mértéknek nincs szerepe definícióbn. Például R p -n beszélhetünk Borel-mérhető függvényekről: Azt mondjuk, hogy f Borel-mérhető, h bármely R-re z {x: f(x > } hlmz Borel-hlmz. 3.84. Péld. Legyen P [0, 1 3.67. Példábn definiált olyn hlmz, mely nem Lebesguemérhető, és legyen { 1, h x [0, 1 P, f(x = 0, h x [0, 1 \ P. kkor f nem Lebesgue-mérhető függvény, mivel pl. z {x [0, 1 : f(x > 0, 5} = P hlmz nem Lebesgue-mérhető.
3. Mérték- és integrálelmélet 65 3.7. gyszerű függvények 3.85. Definíció. Legyen s z X-en értelmezett vlós értékű függvény. H s értékkészlete véges hlmz, kkor zt mondjuk, hogy s egyszerű függvény. 3.86. Definíció. Legyen X. Az hlmz krkterisztikus függvényének nevezzük { 1, x χ (x = 0, x / egyszerű függvényt. Az egyszerű függvényeket mindig felírhtjuk krkterisztikus függvények lineáris kombinációjként. Legyenek z s egyszerű függvény értékkészletének z elemei c 1,..., c n, és legyen i = {x: s(x = c i } (i = 1,..., n. kkor s = c i χ i. 3.87. Állítás. Az s egyszerű függvény kkor és csk kkor mérhető, h z 1,..., n hlmzok mérhetők. Bizonyítás: Az állítás z és vlmely kis ε > 0-r z {x: s(x > } = i: c i > i i = {x: s(x > c i ε} {x: s(x < c i + ε} összefüggésekből rögtön következik. A következő tétel szerint bármely függvény közelíthető egyszerű függvényekkel. 3.88. Tétel. Legyen f : X R b. kkor létezik olyn egyszerű függvényekből álló (s n sorozt, hogy minden x X-re s n (x f(x, h n +. H f mérhető, kkor (s n mérhető függvényekből álló soroztnk válszthtó. H f 0, kkor (s n monoton növekvő soroztnk válszthtó. Bizonyítás: Legyen n,i = f 0 és { x: i 1 2 n f(x < i 2 n n = 1, 2,...; i = 1, 2,..., n2 n. Definiáljuk z s n függvényt z s n = n2 n }, F n = {x: f(x n}, i 1 2 n χ n,i + nχ Fn képlettel. kkor s n egyszerű függvény minden n-re, s n s n+1, és s n 0, n 1. H z f függvény mérhető, kkor z n,i és F n hlmzok mérhetők, így s n is mérhető függvény 3.76. Tétel szerint.