4
4. fejezet Nemlineáris folyamatok 4.. Egy nemlineáris fehér zaj Mostantól nemlineáris modelleket fogunk vizsgálni. Ezek els ránézésre lineárisnak is t nhetnek, mert el fordulhat, hogy az els két momentum egyezik egy lineáriséval, így ha csak autokovariancia erejéig tekintjük ket, akkor nem vehetjük észre a különbséget. A következ példa is egy furcsaságot mutat be: fehér zaj, mely nem független érték. Állítás 4... Legyen e(t) i.i.d. sorozat 0 várható értékkel és véges negyedik momentummal. Ezzel legyen ε(t) = e(t) + β e(t ) e(t ). Jel.: W N(β) Ekkor ε(t) fehér zaj, de nem i.i.d. (e(t ) helyett ε(t ) kellene, hogy bilineáris legyen). Bizonyítás: Eε(t) = Ee(t) + β Ee(t ) Ee(t ) = 0 43
44 FEJEZET 4. NEMLINEÁRIS FOLYAMATOK R(0) = D ε(t) = D e(t) + β D (e(t ) e(t )) = σ e + β σ 4 e R() = Eε(t)ε(t + ) 0 = = E [e(t) + βe(t )e(t )] [e(t + ) + βe(t)e(t )] = 0, mert beszorzás után minden összeadandóban lesz els fokú, a többit l független és 0 várható érték tag. Továbbá R() = 0 + βee(t ) e(t ) = 0 ugyanúgy, mint fenn, és R(τ) = 0 τ 3 esetén. Ez utóbbi nyilvánvaló, mert nincs azonos id höz tartozó tag, azaz minden els fokon szerepel. Tehát ε(t) fehér zaj, de nem független, azonos eloszlású, mert a hármas szorzatnak nem 0 a várható értéke, azaz Eε(t ) ε(t) ε(t + ) 0. Ugyanis ez egyenl E ([e(t ) + βe(t )e(t 3)] [e(t) + βe(t )e(t )] [e(t + ) + βe(t)e(t )]) = β E ( e (t) e (t ) ) = β σ 4 e. Tehát a harmadik vegyes momentum (és mellesleg a 3. kumuláns) nem 0, így W N(β) nem független érték fehér zaj.
4.. EGY NEMLINEÁRIS FEHÉR ZAJ 45 Legyen e(t) N(0, ). Ekkor ε(t) eloszlása nyilván ugyanaz, mint a független standard normális X, Y, Z változókból el állított X + B Y Z eloszlása. Ha viszont ε(t) és ε(t ) együttes eloszlását nézzük, az már különbözik az U = X + B Y Z és V = X + B Y Z együttes eloszlásától, ahol X, Y, Z, X, Y, Z teljesen függetlenek. Tekintsük azt a folyamatot, amelynek dierenciája éppen az el z W N(β), azaz Y (t) Y (t ) = ε(t) = e(t) + βe(t )e(t ). Erre EY (t) = 0, a szórásnégyzet pedig D Y (t) = D ( t i= Y (i) Y (i ) ) = t D (Y (k) Y (k )) = = t D ε(t) = t σe( + β σe). (Ehhez Y (0) = c-nek (c = 0) teljesülnie kell valószín séggel, mert így a teleszkópos összeg után Y (t) Y (0) marad.) Ezért t esetén D Y (t) tart végtelenbe O(t) nagyságrendben, így Y (t) egy Wiener folyamat diszkretizáltjára hasonlít (de nem az, mert nem független növekmény a folyamat).
46 FEJEZET 4. NEMLINEÁRIS FOLYAMATOK 4.. A bilineáris modell Deníció 4... Bilineáris folyamat: BL(p, q, P, Q), X(t)+ p a i X(t i) = ε(t) + }{{} zaj i=0 } {{ } AR komponens q b j ε(t j) + j=0 } {{ } MA komponens P i= Q c ij X(t i)ε(t j), j= ahol ε(t) i.i.d. 0 várható értékkel, és vegyük észre, hogy az utolsó (nem lineáris) tagban a folyamat és a zaj múltbéli értékei vannak összeszorozva. A stacionárius megoldás létezésére Liu és Brockwell adtak feltételt 988- ban. Most vizsgáljuk a BL(, 0,, )-et a c, = c jelölés mellett: X(t) ax(t ) = ε(t) + cx(t )ε(t ). A bilineáris folyamat paraméterbecslése nagyon bonyolult. Ld. SubbaRao- Gabr. Meg lehet mutatni, hogy µ = EX(t) = c σ ε a konstans, m = EX (t) = σ ε( + cσε + 4acµ). a c σε Földrengések modellezésére jó, mert néha kiugrik, majd lassan lecseng, ráadásul hosszú távon stacionárius.
4.. A BILINEÁRIS MODELL 47 Nyilván R(0) = m µ, továbbá S() = E(X(t)X(t + )) = am + cσ εµ, és S(s) = E(X(t)X(t + s)) = as(s ) + cσ εµ, azaz S(s) nem függ t-t l, így másodrendben stacionárius. Innen pedig R(s) = S(s) µ, S(s ) = R(s ) + µ, tehát felírhatjuk, hogy R(s) = a [ R(s ) + µ ] + cσ εµ }{{} ( a)µ µ = = ar(s ) + aµ + ( a)µ µ = ar(s ). Ezzel azt kaptuk, hogy R(s) = const a s alakban írható, vagyis ugyanolyan, mint egy els rend autoregresszió kovariancia struktúrája, így csak az els két momentum - és annak becslése - alapján nem elkülöníthet egy AR()- t l, ARMA(, )-t l. Kell a kumuláns, illetve az annak megfelel bispek- Ha a spektrumot tekintenénk, az sem segítene, hisz az is csak az autokovariancia Fouriertranszformáltja.
48 FEJEZET 4. NEMLINEÁRIS FOLYAMATOK trum 3 4. A stacionaritás, más szóval a stacionárius megoldás létének elégséges feltétele, hogy a + c. X(t) s r ségfüggvénye ekkor létezik és folytonos, kivéve a c -t, ugyanis erre f( a ) = +, és határértékben is c végtelenbe tart. Minden a 0-ra és minden pozitív A-ra f c (x) c 0 f 0 (x) egyenletesen is x < A-n. Egy ismert sejtés szerint, ha X(t) BL(p, q, P, Q), akkor stacionárius eloszlása egycsúcsú. 4... Egyszer bilineáris modell X(t) = β X(t k) ε(t l) + ε(t) diagonális, ha k=l, szuperdiagonális, ha k>l, illetve szubdiagonális, ha k<l. Az autokorrelációk számítása nem egyszer, mert nem függetlenek szorzata! Szuperdiagonális modell: EX(t) = β E [X(t k + l)e (ε(t) ε(t l))] + E E(ε(t) ε(t l)) = 0. EX(t) X(t j) = 0 hasonlóan számolható. 3 A karakterisztikus függvény logaritmusát kumulánsgeneráló függvénynek is nevezik, értelemszer en a sorfejtésének együtthatóit kumulánsoknak nevezzük. A név arra a fontos tulajdonságra utal, hogy független valószín ségi változók összegének kumulánsa a valószín ségi változók kumulánsainak összege (persze: függetlenek összegénél a karakterisztikus függvények szorzódnak, és a logaritmus hatására ebb l összeg lesz). Emiatt szokták még szemiinvariánsoknak is hívni ket. 4 A harmadik kumuláns (stacionaritás miatt csak két változós függvény) Fourier-transzformáltját bispektrumnak hívjuk. Gauss folyamatra 0. Gyakran használják linearitás tesztekre.
4.. A BILINEÁRIS MODELL 49 Diagonális modell: EX(t) = β µ, ahol µ = E ( ε(t) ε(t ) ), speciálisan µ = σε, ha ε(t) i.i.d. cov (X(t), X(t j)) = 0, ha j k és cov (X(t), X(t k)) = β µ. Tegyük fel még, hogy ε(t) i.i.d. és ahol µ 4 = Eε 4. Ekkor: Eε p = 0, p =,..., 4, β 4 µ 4 <, cov ( X (t), X (t j) ) = 0 j k. Szuperdiagonális modell: cov ( X (t), X (t j) ) = 0, ha j =,..., l, l +,..., k és j k l. Egyébként: cov ( X (t), X (t j) ) = β4 µ (µ 4 µ ) β 4 µ EX(t).
50 FEJEZET 4. NEMLINEÁRIS FOLYAMATOK Legyen Y (t) Y (t ) = X(t), ahol X(t) BL(, 0,, ). Behelyettesítve X(t) formuláját kapjuk, hogy Y (t) ( + a)y (t ) + ay (t ) = = cy (t )ε(t ) cy (t )ε(t ) + ε(t), azaz Y (t) BL(, 0,, ) lesz. De míg az el z modellben a < -re stacionárius a folyamat, az itt lév AR() "tagot" egy olyan gerjesztéssel hajtjuk meg, amely a folyamat múltjától is függ - jogos az AR() karakterisztikus polinomját nézni (bal oldal). Ez pedig a z ( + a)z + a, aminek a z = tetsz leges a mellett gyöke, így nem lesz stacionárius a folyamat. 4.3. ARCH folyamatok és általánosításaik 4.3.. Az ARCH() folyamat A most következ folyamatok és általánosításaik a pénzügyi modellezésben nagyon népszer ek. Az ARCH() folyamatot Robert F. Engle vezette be 98-ben, kés bb közgazdasági Nobel-díjat kapott érte. Az ARCH elnevezés az Autoregressive Conditional Heteroscedasticity rövidítése. 5 Legyen ε(t) GWN, ε(t) N(0, ) és i.i.d. Az X(t) folyamatot az X(t) = σ(t)ε(t) 5 Ez azt takarja, hogy a jelenlegi hiba varianciája függ a múltbeli értékekt l (általában úgy, hogy a folyamat stacionárius maradjon). a Heteroscedasticity szó alapja a görög szkedásztikosz σκεδαστ ικως szó, melynek jelentése kb. (szét)szóródni képes.
4.3. ARCH FOLYAMATOK ÉS ÁLTALÁNOSÍTÁSAIK 5 egyenlettel adjuk meg, azaz egy (nemkonstans) valószín ségi változószor egy fehér zaj. A valószín ségi változóra id t l függ szórásként gondolhatunk. Err l a szórásról azt feltételezzük, hogy a folyamat megel z értékét l (értékeit l) függ. Ezért feltételes szórásként is értelmezhetjük, feltéve, hogy a folyamat múltját ismerjük. E szórást a σ (t) = α 0 + α X (t ) egyenlet 6 határozza meg. Az egyenletben α 0, α nemnegatív valós konstansok. A feltételes szórásnégyzet D ( X(t) X(t ) = x ) = α 0 + α x az el z érték kvadratikus függvénye. A négyzet helyett más hatvány is szóba jöhet itt, de ez persze már általánosítás Power ARCH -nak szokás hívni. A fentebbi két egyenletb l kapjuk, hogy X (t) = ( α 0 + α X (t ) ) ε (t), de ez nem ekvivalens velük, mert pl. Gauss zajjal történ generálás mellett az egyesített egyenletnek akár nemnegatív X(t) megoldása is lehet, míg az eredeti két egyenlet megoldása biztos, hogy negatív értékeket is felvesz. Keressük a stacionárius megoldást. Ehhez tegyük fel, hogy létezik ilyen, és iteráljuk az egyenletet: X (t) = α 0 ε (t) + α α 0 ε (t) ε (t ) + α X (t ) ε (t) ε (t ) 6 Ebb l látszik, hogy a variancia függ a múlttól, azaz feltételes.
5 FEJEZET 4. NEMLINEÁRIS FOLYAMATOK X (t) = α 0. α j ε (t)... ε (t j). j=0 Ez utóbbi akkor írható fel így, ha α <, mert a maradéktagokban α egyre nagyobb hatványai jelennek meg, amik így nullához tartanak, miközben X(t) stacionaritása és ε(t) függetlensége, szórása miatt a valváltozók szorzata korlátos a maradéktagokban (pl. L norma szerint). Ha az összegzés és a várható érték felcserélhet, akkor EX (t) = α 0 j=0 α j Eε (t)... Eε (t j) = α 0 α, ugyanis az ε(t)-k várható értéke 0, így második momentumuk a szórásnégyzetükkel egyenl, ami, tehát egy egyszer mértani sort kellett összegeznünk. Ebb l látjuk, hogy α 0 = 0 esetén X(t) az azonosan 0 folyamat, ami nem túl érdekes. Ha az X(t) = ε(t) α0 ( + k=0 α k+ ε (t )... ε (t k ) ) ( ) felírásban a szumma konvergál, akkor stacionárius folyamatot állít el, hiszen az η(t) = ε(t + h) zaj véges dimenziós eloszlásai megegyeznek, és (X(t + h),..., X(t m + h))-t ugyanúgy állíthatjuk el η-ból, mint (X(t ),..., X(t m ))-et ε-ból, tehát az eloszlásaik megegyeznek.
4.3. ARCH FOLYAMATOK ÉS ÁLTALÁNOSÍTÁSAIK 53 Tétel 4.3.. Ha α <, akkor ( ) konvergál, és az ARCH() egyenlet egyértelm, véges szórású, stacionárius megoldását adja. 7 Ha nem követeljük meg a véges szórást, akkor α > -re is van stacionárius megoldás. Bizonyítás: Nem bizonyítjuk. Megjegyzés 4.3.. Ez a. állítás általánosítása. Következmény 4.3.3. Az ε(t) és tagok függetlensége miatt EX(t) = Eε(t) E = 0, továbbá Az autokovariancia pedig D X(t) = α 0 α. E ( X(t + h)x(t) ) = Eε(t + h) E (. ε(t) ) = 0, }{{} t+h múltja mind azaz az ARCH() korrelálatlan, stacionárius, 0 várható érték, tehát fehér zaj. 7 Ez a megoldás véges szórásának megkövetelése mellett szükséges, egyébként csak elégséges feltétel.
54 FEJEZET 4. NEMLINEÁRIS FOLYAMATOK Az ARCH() azonban nem független érték : E ( X (t) X(t ) ) = [ α 0 + α X (t ) ] E ( ε (t) X(t ) ), ahol ε (t) és X(t ) függetlenek és Eε (t) =, tehát E ( X (t) X(t ) ) = α 0 + α X (t ). Ez pedig nem konstans valószín ségi változó, mint ahogy azt a függetlent l várnánk. Tehát az ARCH() nem is Gauss-eloszlású, hiszen akkor a korrelálatlanságából már a függetlenség is következne. Ezen kívül szimmetrikus zajból generálva az ARCH() szimmetrikus eloszlású, hiszen ε(t) alakú, ami szimmetrikus eloszlású: }{{}}{{} szimm. X nemneg. Y (Biz.:) Z = X Y mellett és {Z > z} = {X < x} = így P (Z > z) = P (Z < z). { ω : Y (ω) = y > 0, X(ω) > z } y { ω : Y (ω) = y (y > 0), X(ω) > z }, y Állítás 4.3.4. Minden α (0, )-re létezik β, hogy EX β (t) =. Állítás 4.3.5. EX 4 (t) pontosan akkor véges, ha 3α <. Állítás 4.3.6. Ha EX 4 (t) <, akkor az X (t) autokorrelált és ACF-je ugyanaz, mint az AR()-nek α -gyel.
4.3. ARCH FOLYAMATOK ÉS ÁLTALÁNOSÍTÁSAIK 55 4.3.. Az ARCH(p) folyamat Deníció 4.3.7. Kicsit általánosabban az ARCH(p) az az X(t) = σ(t)ε(t) folyamat, ahol σ (t) = α 0 + p α i X (t i). i= Megjegyzés 4.3.8. Az el z állítás AR(p)-vel igaz ARCH(p)-re. Innen a névben (ARCH) az AR. Állítás 4.3.9. Az ARCH(p) feltételesen Gauss-eloszlású, ha adott X(t ),..., X(t p). Tehát könny feltételes likelihood-ot számolni és a maximumhelyével paraméter becslést adni - de ez nem az igazi max likelihood ezért kvázi ML-nek hívják. 4.3.3. A GARCH(p, q) folyamat Deníció 4.3.0. További általánosításként bevezetjük a GARCH(p, q) 8 folyamat fogalmát, amely Bollerslev (986) nevéhez f z dik, és X(t) = σ(t) ε(t) alakban deniálható, ahol ε(t) i.i.d. 0 várható értékkel és véges negyedik momentummal 9, továbbá σ (t) = α 0 + p α i X (t i) + i= q β j σ (t j). j= 8 Generalized AutoRegressive Conditional Heteroscedasticity; a konkrét alkalmazásokban igen nagy p kellett az ARCH-ban. 9 ez utóbbit nem muszáj feltenni, de így lesz jó a Bollerslev-tételben
56 FEJEZET 4. NEMLINEÁRIS FOLYAMATOK Állítás 4.3.. A GARCH(p, q) is WN. (A bizonyítás nem nehéz.) Megjegyzés 4.3.. ε(t) általában N(0, ), de stabilis is lehet. Az α i, β j konstansok pedig pozitívak (mert a bal oldalon egy szám négyzete van). Továbbá látható a σ (t) el állításából, hogy a korábbi szórásokra és állapotokra feltételes. Tétel 4.3.3 (Bollerslev, 986.). A fenti GARCH(p, q) gyengén, azaz másodrendben stacionárius, ha p α i + i= q β j <. j= Ekkor EX(t) = 0, X(t) W N, azaz R(τ) = 0 pozitív τ-ra, továbbá R(0) = D X(t) = α 0 ( ) <. p α i + q β j i= j= Ha megköveteljük D X(t) végességét, vonatkozó fenti < feltétel szükséges is. akkor az együtthatók összegére Bizonyítás: A bizonyítás ugyanolyan folyamatos behelyettesítéssel történik, mint az ARCH() esetben.
4.4. SZTOCHASZTIKUS REKURZIÓS EGYENLETEK 57 Legyen F t = σ{x(s) : s t} ltráció. Ez megegyezik F ε t t}-vel. = σ{ε(s) : s Állítás 4.3.4. Ha valamely t 0 -ra σ(t 0 ) F t0 -mérhet, akkor σ(t 0 + ) F t0 - mérhet 0, így minden t t 0 -ra σ (t) F t -mérhet. Ezzel az ε(t)-t l való függetlenség miatt a szorzatuk várható értéke Eσ(t)ε(t) = 0, és Eσ (t) σ (t + τ) ε(t) ε(t + τ) = 0. Ez adja az R(τ) = 0-ra vonatkozó állítást. 4.4. Sztochasztikus rekurziós egyenletek Deníció 4.4.. Az X(t) = A(t)X(t ) + B(t) egyenletet sztochasztikus rekurziós egyenletnek hívjuk (SRE), ahol A(t) véletlen d d-s mátrix, B(t) véletlen d-dimenziós vektor, továbbá (A(t), B(t)) i.i.d. Szokásos módon jelölje az euklideszi normát R d -ben, pedig az operátornormát, azaz A = sup Ax. A > 0 azt jelenti, hogy A minden x = eleme pozitív. Kérdés a stacionárius megoldás létezése. Deníció 4.4.. γ = inf { n E log A... A n } -t Ljapunovexponensnek nevezzük. Determinisztikus esetben a Ljapunov-exponens inf log ), azaz a "geometriai közép" logaritmusának inmuma. ( A... A n n Megjegyzés 4.4.3. Fürstenberg és Kesten egy, a nagy számok törvényéhez hasonló tétele szerint (szubadditív ergodtétel) γ = lim n n log A... A n 0 Ez teljesül, ha adaptált megoldását nézzük a GARCH egyenletnek.
58 FEJEZET 4. NEMLINEÁRIS FOLYAMATOK valószín séggel, tehát "kiválthatjuk" a várható értéket valószín ség konvergenciára. Tétel 4.4.4. A t és B t független, azonos eloszlású, azaz i.i.d. Tegyük fel, hogy E log + A <, E log + B < és γ < 0. Ekkor az X n = B n + A n... A n k+ B n k k= sorozat valószín séggel konvergens, és ez az egyértelm, er sen stacionárius, oksági megoldása a sztochasztikus rekurziós egyenletnek. Ha d =, a γ-ra tett feltétel n E log A... A n = n E log ( A... A n ) = E log A < 0. Deníció 4.4.5. Reguláris változás: Az X d-dimenziós véletlen vektort reguláris változásúnak mondjuk α 0 index-szel, ha van olyan (a n ) számsorozat, hogy n P ( X > t a n, e X B S ) t α Q(B S ) n ahol e X jelöli az X irányú egységvektort és B S a d dimenziós tér egységgömbjét. [ÁBRA] Megjegyzés 4.4.6. Egydimenzióban B S pont, és n P ( X > t a n ) const t α. Legyen például a n = n, ekkor P ( X > t n) const n t α. itt az egyéggömbre, mint Borel-halmazra kell gondolnunk mármint pont, de nyilván csak a pozitív oldalon lev vel foglalkozunk, mert X -et nézzük
4.4. SZTOCHASZTIKUS REKURZIÓS EGYENLETEK 59 Tehát ez azt mondja meg, hogy elég nagy n mellett, ha elég messzir l indulunk 3, akkor a farokviselkedés t α nagyságrend, azaz hiperbolikus lecsengés. Explicite úgy fogalmazhatunk, hogy léteznek c + és c konstansok úgy, hogy t + esetén P (X > t) c + t α és P (X < t) c t α. Tétel 4.4.7 (Kesten, 973 - Vervaat, 979 - Goldie, 99). Legyen (A t, B t ) i.i.d., A t nemnegatív elemekkel van kitöltve, B t szintén és nem nulla. Tegyük fel, hogy. E A ε <, valamilyen pozitív ε-ra,. A nem degenerált, ( 3. létezik olyan pozitív κ 0, hogy E min i=,...,d j= ) κ0 d (A ) i,j d κ0/, 4. E ( A κ 0 ln+ A ) véges 5. s r csoport feltétel: Az {ln a n... a : n, a n... a > 0 and a n,..., a suppp A } halmaz egy R-ben s r csoportot generál. Ekkor a következ k teljesülnek:. Létezik κ (0, κ 0 ] egyértelm megoldása a 0 = lim n log E A n... A κ egyenletnek.. Létezik egyértelm (er sen) stacionárius oksági megoldása az SREnek. 3 tehát t még n-nél is nagyobb
60 FEJEZET 4. NEMLINEÁRIS FOLYAMATOK 3. Ha E B κ véges, akkor X(t) reguláris változású κ = α-val. Megjegyzés 4.4.8. dimenzióban 0 = log E A κ pontosan az = E A κ egyenlettel ekvivalens, tehát azt az abszolút momentumot keressük, amelyre éppen az értéke, és ez lesz a regularitási index. Felhasználtuk, hogy a függetlenség miatt log E A n... A κ = n log E A κ. 4.4.. Az els rend bilineáris modell stacionárius eloszlása Vizsgáljuk most az els rend bilineáris modellt: X(t) = ax(t ) + bx(t )ε(t ) + ε(t), ahol ε(t) i.i.d., a, b pedig valós konstansok. Tegyük fel, hogy ε(t) N(0, ). Ekkor az egyenlet átírható a következ alakba: X(t) = Y (t ) + ε(t), ahol Y (t) = (a + b ε(t))x(t) = (a + b ε(t))(y (t ) + ε(t)) = = (a + bε(t)) Y (t ) + (aε(t) + bε (t)) = A t Y (t ) + B t. Megjegyezzük, hogy az A t, B t pár független az A t, B t pártól. Ez kielégít egy sztochasztikus rekurziós egyenletet, mivel A t -k és B t -k független, azonos eloszlású sorozatok (minden egydimenziós). Ha ε(t) N(0, ), akkor A t N(a, b ). Ekkor vajon mi lesz a stacionárius megoldás?
4.4. SZTOCHASZTIKUS REKURZIÓS EGYENLETEK 6 Az, hogy E log A t < 0 - azaz a Ljapunov-exponens negatív -, átírható az ekvivalens log x e (x a) b dx < 0 πb alakba. Kesten tételéb l azt kapjuk, hogy ha κ kielégíti az E a + b ε(t) κ = egyenletet, akkor létezik stacionárius megoldás, és az reguláris változású κ -gyel. (Ezt a κ -et persze nem könny kiszámolni.) A feltételb l πb x κ e (x a) b dx = π 0 (by + a) κ e y dy =, ahol fontos feltételezésünk az a = 0, hiszen a 0 esetén nem végezhet el ilyen formában a helyettesítéses integrálás, f ként az integrálandó függvény nem páros (és az x = a egyenesre sem szimmetrikus) volta miatt. Viszont ha a = 0, akkor már páros a függvény, így els lépésben a 0-tól végtelenig való integráljának a kétszerese írható, majd erre az x = by helyettesítés. Ezután az y = t, dy = dt helyettesítéssel t = π bκ 0 t κ e t = bκ κ + π bκ dt = t π 0 0 z κ e z dz, t κ e t dt = ahol ez utóbbi lépésben a t = z, dt = dz áttérést alkalmaztuk. Itt az intergrál éppen a Γ függvény alakját öltötte a κ + helyen. Azaz ( b) κ ( ) κ + Γ =. π
6 FEJEZET 4. NEMLINEÁRIS FOLYAMATOK Ebb l pedig felhasználva a Γ ( ) = π azonosságot kapjuk, hogy ( ( Γ κ ) + Γ ( ) ) κ = b. Például b = -re Γ ( κ ) ( + = Γ ), így κ = 0. Ekkor pedig nem lesz reguláris változású a megoldás, azaz a stacionárius megoldás a polinomiálisnál gyorsabban lecseng eloszlású. Most b = -re nézve Γ ( ( ) ) 3 = π -t felhasználva kapjuk, hogy Γ( 3 ) = Γ( ), tehát κ =. b = π -re κ = ; b = 4 3 -re κ = 4; b = 6 π 3 -re κ = 3. Ez utóbbinál érdemes megjegyezni, hogy 6 π 3 = 6 8 6 π 4 = 6 π 4 <. Tehát a b = nem határa a "reguláris változásúságnak". Ha a 0, akkor igencsak reménytelennek látszik az integrálás elvégzése. 4.4.. A GARCH(p, q) modell stacionárius megoldása és eloszlása Ha X(t) GARCH folyamat, akkor (a denícióban szerepl ) X (t) és σ (t) beágyazható egy sztochasztikus rekurziós egyenletbe, azaz az X(t) = A t X(t ) + B t vektorérték folyamatokra vonatkozó egyenletbe. X(t) = ( ) σt+,..., σt q+, Xt,..., Xt p+
4.4. SZTOCHASZTIKUS REKURZIÓS EGYENLETEK 63 α ε (t) + β β... β q β q α α 3... α p 0... 0 0 0 0... 0 0... 0 0 0 0... 0............. A t = 0 0... 0 0 0... 0, B t = ε (t) 0... 0 0 0 0... 0 0 0... 0 0 0... 0............. 0 0... 0 0 0... 0 (α 0, 0,..., 0) Tétel 4.4.9. Tegyük fel, hogy az SRE Ljapunov-exponense γ < 0, valamint α 0 > 0. a) Tegyük fel, hogy E log + ε() véges. Ekkor létezik egyértelm, oksági, er sen stacionárius megoldása a GARCH egyenletnek. b) Tegyük fel, hogy ε() abszolút folytonos eloszlású, mindenütt pozitív s r ségfüggvénnyel, valamint E ε() h < minden h < h 0 -ra, de E ε() h 0 = valamely 0 < h 0 -re. Ezen kívül nem t nik el az összes α i, β i. Ekkor létezik olyan pozitív κ, és w(x) véges érték függvény, hogy minden x R d \{0}-ra lim u u κ P ( x, X > u) = w(x) létezik, azaz x, X reguláris változású κ indexszel. Továbbá ha κ nem páros, akkor X reguláris változású κ indexszel. c) Ha az ε() s r ségfüggvénye a 0 egy környezetében pozitív, akkor X(t) er sen kever geometriai sebességgel (gyakorlatilag geometrikusan ergodikus lesz).
64 FEJEZET 4. NEMLINEÁRIS FOLYAMATOK Megjegyzés 4.4.0. Nehéz formulát kapni a Ljapunov-exponensre, így feltételt a stacionaritásra is. Tegyük fel, hogy α 0 > 0, Eε() = 0 és Eε (t) =. Ekkor i) γ < 0 szükséges és elégséges feltétel az egyértelm, er sen stacionárius, oksági megoldás létezéséhez. q ii) β j < szükséges γ < 0-hoz iii) j= p α i + q β j < elégséges γ < 0-hoz (ez egy nagyon er s feltétel) i= j= iv) ha ε(t) véges tartójú, nincs atomja 0-ban, α i, β j > 0, akkor q β j = elégséges γ < 0-hoz. j= p α i + 4.4.3. Az ARCH() modell er s stacionaritása Nézzük az ARCH() esetét! Láttuk, hogy X(t) = σ(t) ε(t), négyzetre emelve pedig X (t) = σ (t) ε (t), ahol σ (t) = α 0 + α X (t ). Ezt behelyettesítve X (t) = ( α 0 + α X (t ) ) ε (t) = A t X (t ) + B t, ahol A t = α ε (t) és B t = α 0 ε (t), tehát (A t, B t ) i.i.d. Összehasonlítva, az ARCH()-et X (t) = α X (t ) ε (t) + α 0 ε (t), és a bilineáris modellt X(t) = bx(t ) ε(t ) + ε(t) + ax(t ), i=
4.4. SZTOCHASZTIKUS REKURZIÓS EGYENLETEK 65 láthatjuk, hogy lényeges különbség van a kett között 4. A γ Ljapunovexponens negativitásához az kell, hogy E log A = E log α ε (t) = log α + E log(ε (t)) < 0 legyen. Mivel ε(t) standard normális eloszlású, így E log(ε (t)) = E log(ε(t)) = log(ε(t)) e ε (t) dε(t), π ahonnan ε(t) = X helyettesítéssel kapjuk, hogy log(x) e x π x dx = log() Γ ( )e x x dx+ log(x) Γ ( )e x x dx ahol felhasználtuk, hogy π = Γ ( ). Vegyük észre, hogy Γ( ) e x x éppen a Γ, eloszlás s r ség-függvénye, tehát X ilyen eloszlású. Így az el z tovább egyenl Felhasználva, hogy Γ (y) = log + Γ ( ) e x (x y ) dx = log(x)e x x dx-szel. e x log(x)x y dx 0 0 kapjuk, hogy log + Γ( ) Γ ( ). Γ (z) Γ(z) pedig deníció szerint a digamma függvény, ami az helyen C log(), ahol C az Euler-konstans5. Így végül E log(ε (t)) = log() C log() = log() C. 4 X(t ) az egyikben t-t l függ vel van szorozva, másikban meg (t )-t l függ vel ( n ) ( ) 5 C = lim n k log n = [x] x dx k=
66 FEJEZET 4. NEMLINEÁRIS FOLYAMATOK Innen α > 0-ra E log A = log α log C < 0, ami pontosan akkor teljesül, ha 0 < α < e C 3, 5686. Tehát ezen tartományban a Ljapunovexponens negatív. Nyilván E log + A <, továbbá belátható, hogy minden pozitív α 0 -ra E log + B is véges. 4.4.4. Az ARCH() modell stacionárius eloszlásának regularitása Nézzük a regularitás kérdését 0 < α < e C mellett. Keressük azt a κ-t, amely kielégíti az E A t κ = egyenletet. E α ε (t) κ = α κ Eε κ 6 = α κ π 0 x κ e x dx = Most helyettesítsünk a következ képpen: legyen t = x, ezzel dx = dt = t dt, így az egyenl ség a következ képpen folytatható = α κ π 0 κ t κ e t dt = (α ) κ t π 0 t t (κ+ ) e t dt = (α ) κ ( κ + ) = π Γ Ezzel (α ) κ Γ ( κ + ) = π. Speciálisan α = -re κ = jó választás, mert π = Γ ( 3). Állítás 4.4.. h(κ) szigorúan konvex függvény, így létezik egyértelm megoldása h(κ) = -nek. Továbbá erre a megoldásra κ >, ha α (0, ) κ =, ha α = 6 páros függvényt integrálunk
4.4. SZTOCHASZTIKUS REKURZIÓS EGYENLETEK 67 κ <, ha α (, e C ) Megjegyzés 4.4.. X -es egyenletb l indultunk ki, tehát pontosan akkor nincs κ-adik momentum, ha X-nek nincs κ-adik momentuma. Ezen kívül az egyenlet explicite nem oldható meg, de a következ ket ismerjük: α 0, 0,3 0,5 0,7 0,9,0,5,0,5 3 3,5 κ 3,4 4,8,37,59,5,0 0,54 0,3 0,7 0,075 0,007 Tétel 4.4.3. Ha α 0 > 0, 0 < α < e C, és ε(t) N(0, ) Gauss-féle fehér zaj, akkor az ARCH() egyenletnek létezik er sen stacionárius megoldása, amelynek négyzete regulárisan változó eloszlású κ indexszel. Legyen p a κ-nál szigorúan kisebb legnagyobb egész szám. Ekkor m =,..., p-re az EX(t) m momentumok végesek. Továbbá, ha X(t) stacionárius ARCH() folyamat, ε(t) GWN, és α 0 > 0, 0 < α <, akkor egyrészt X második momentuma α 0 α, másrészt α < 3 esetén a negyedik momentum is véges, méghozzá EX 4 = 3α 0 + α 3α, α innen a lapultság (kurtosis). 7. r X (t) = corr(x t, X 0) = α t minden t-re. Tehát az ARCH() α = 0-ra GWN. 0 < α < -re stacionárius véges szórással. α < e C -re stacionárius végtelen szórással. 7 Kurt X = E(X(t)4 ) = 3 α (E(X(t) )) > 3 3α
68 FEJEZET 4. NEMLINEÁRIS FOLYAMATOK Tétel 4.4.4. Legyen X(t) ARCH(), α 0 > 0, 0 < α < e C, ε(t) GWN és κ a h(κ) = egyenlet megoldása. Ekkor P (X(t) > x) d x κ, ha x. 8 Az ARCH-GARCH folyamat néhány jellemz je: Az adatok nem korreláltak, és a szórás változik az id vel. Az eloszlás vastag farkú. A négyzetek és az abszolútértékek er sen korreláltak. A nagy értékek meghaladása klaszterekben történik (a kiugró értékek klaszterekben jelennek meg). 4.5. További nemlineáris modellek 4.5.. Véletlen együtthatós autoregresszió Deníció 4.5.. Véletlen együtthatós AR(p) modellt deniál a következ : p X(t) = A i X(t i) + ε(t), i= ahol A i -k valószín ségi változók. Példa 4.5.. Els rend véletlen együtthatós autoregressziós modell: X(t) = (α + A t )X(t ) + ε(t), ahol A(t) i.i.d. 0 várható értékkel és σa szórásnégyzettel, továbbá A t és ε(t) függetlenek, ε(t) N(0, σε) i.i.d., α pedig valós konstans. A stacionárius (ergodikus) oksági megoldás létezéséhez elégséges feltétel, hogy α +σa <. 8 d kiszámolható pozitív konstans
4.5. TOVÁBBI NEMLINEÁRIS MODELLEK 69 4.5.. Küszöb modellek Deníció 4.5.3. Küszöb modellek: osszuk fel R p -t k db diszjunkt részre, k azaz hozzunk létre egy partíciót, így R i = R p. Ha X(t ),..., X(t p) R i akkor az i-edik autoregressziós AR(p) modell legyen érvényes rá. i= Ilyen például a SETAR (Self Exciting Threshold AR) modell, ahol a partíciót különböz, a megoldás folyamat által elért küszöbszintek hozzák létre. Példa 4.5.4. SETAR(,,): α X(t ) + ε(t) ha X(t ) > 0 X(t) = α X(t ) + ε(t) ha X(t ) 0 Erre X(t) geometrikusan ergodikus, ha α <, α < és α α <. Petrucelli és Woolford 984-ben megmutatták, hogy az ergodicitásnak ez szükséges és elégséges feltétele. Deníció 4.5.5. EXPAR: X(t) = p j= Ezt pl. vibrációs jelenségek leírására használták. [ ] α j + β j e δx (t ) X(t j) + ε(t) 4.5.3. Multiplikatív autoregresszió Deníció 4.5.6. Product AR(p): ahol ε(t) i.i.d. X(t) = ε(t) p µ i X(t i), i= Pl. viharkárok modellezésére bizonyult hasznosnak.
70 FEJEZET 4. NEMLINEÁRIS FOLYAMATOK Deníció 4.5.7. Nemlineáris AR(p): X(t) = f(x(t ),..., X(t p)) + ε(t) Megjegyzés 4.5.8. A bilineáris modellnél spektrálsugár-feltétel van a stacionaritásra, méghozzá egy bonyolult operátor spektrálsugarának kell -nél kisebbnek lennie. Deníció 4.5.9. Nemlineáris Wold-felbontás. X(t) = f(ε(t), ε(t ),...) végtelen mozgóátlag helyett egy tetsz leges, akár végtelen sok változós függvény van (végtelen sok ε-os taggal). 4.6. Egyéb kiegészítések Tétel 4.6. (Herglotz). Az R(τ) (τ Z) sorozat pontosan akkor lesz egy stacionárius Gauss-folyamat kovarianciafüggvénye, ha létezik szimmetrikus véges F mérték [ π, π]-n, amelyre (i) R(τ) = π π e iτλ df (λ). Ha még F abszolút folytonos is a Λ Lebesgue-mértékre, akkor (ii) R(τ) = π π e iτλ ϕ(λ)dλ alakban írható, ahol (i) a kovariancia spektrálel állítása, F a spektrálmérték, ϕ(λ) pedig a spektrál-s r ségfüggvény. (ii)-nek megfelel en létezik olyan φ(dλ) véletlen spektrálmérték, hogy X(t) = π π e itλ φ(dλ).
4.6. EGYÉB KIEGÉSZÍTÉSEK 7 Tétel 4.6.. A stacionárius AR(p) folyamatnak létezik spektráls r ségfüggvénye, és az ϕ(λ) = σ π P (e iλ ) = σ π P (e iλ ) P (e iλ ). Állítás 4.6.3. A fehér zaj spektráls r sége ϕ = π, azaz konstans a [ π, π] intervallumon. Tétel 4.6.4. A stacionárius M A(q) folyamat spektráls r sége ϕ(λ) = π Q(eiλ ). Tétel 4.6.5. Az ARMA folyamat spektráls r sége π Speciálisan AR()-re R(0) = σx, a spektráls r ség pedig ϕ(λ) = R(0) { + π k= r(k) e ikλ } = Q(eiλ ) P (e iλ ) Itt a szimmetria miatt e ikλ -ban és e i( k)λ -ban a szinuszos tagok kiesnek, így ez tovább = σ X π ( + ) α k cos(kλ) k= = σ X π Re ( + ( ( )) = σ X α e iλ π + Re = α e iλ. ) (αe iλ ) k = k= = σ ε π( α cos λ + α ) = σ ε π αe iλ.