FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy A B = B A A (B C) = (A B) C. 3. Bizoyítsuk be hogy ha X Y akkor X X Y Y X Y X Y (X X ) Y = (X Y ) (X Y ) (X Y ) (X Y ) = (X X ) (Y Y ). 4. A B X adott halmazok. Mi aak a szükséges és elegedő feltétele hogy létezze olya Y halmaz melyre a) A Y = B b) A Y = B és hogya adható meg az összes ilye halmaz? 5. Legyeek A B C X adott halmazok. Írja fel azo elemek halmazát melyek a) csak B elemei de em elemei A C ek b) potosa két halmaz elemei c) em elemei midhárom halmazak d) legfeljebb egy halmaz elemei e) legalább egy halmaz elemei f) legalább két halmaz elemei g) legfeljebb két halmaz elemei. 6. Legye A = { N páros } B = { N < 4 } C = { N > 2 } Határozza meg az X = [A (B C)] [(A B) C] halmazt! 7. Az alábbi egyelőségek közül melyek igazak mide A B C X halmazra A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) (B C) [A (A C X B)] B = A B (C X B := X B). 8. Legye adott az f : X Y függvéy és A X B Y eseté legye Bizoyítsuk be hogy f(a) := { f(a) : a A } f (B) := { x : x X f(x) B }. A f (f(a)) és egyelőség mide A X eseté akkor és csak akkor áll ha f ivertálható f(f (B)) B és egyelőség mide B Y eseté akkor és csak akkor áll ha Y = f(x). 9. Legye adott az f : X Y függvéy. Bizoyítsuk be hogy ha Y Y 2 Y X X 2 X akkor f (Y Y 2 ) = f (Y ) f (Y 2 ) f(x X 2 ) = f(x ) f(x 2 ) f (Y Y 2 ) = f (Y ) f (Y 2 ) f(x X 2 ) f(x ) f(x 2 ) f (Y Y 2 ) = f (Y ) f (Y 2 ) f(x X 2 ) f(x ) f(x 2 ).

2 FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ 0. Keressük meg az összes olya f : R R függvéyt amely mide g : R R függvéyel felcserélhető: f g = g f.. Legye A egy elemű halmaz. Háy reláció értelmezhető A A ba? 2. Bizoyítsuk be hogy a E := {(x y) (x y) R 2 x y Q} reláció ekvivalecia(reláció). 3. Bizoyítsuk be hogy a R := {(x y) (x y) N 2 x osztója y ak } reláció félig redezés. 4. Tekitsük a következő leképezéseket: F : N N 2; G : Q Q x 2x; H : R R x x 2 ; L : N N 2. Állapítsuk meg közülük melyik ijektív szürjektív ill. bijektív! 2. VALÓS SZÁMOK. Bizoyítsuk be hogy ha r Q x R Q akkor r + x és ha r 0 akkor rx R Q. 2. Bizoyítsuk be hogy x irracioális ha a) x 2 = 2 b) x 2 = 6 c) x 3 = 5. 3. Mivel egyelő if H sup H mi H max H ha H = ( {( ) ) } { 3 } N N! { m + 4 m } m N 4. Igazolja hogy [ [= és ]0 ] =. N N { m m + } m Z N. 5. Bizoyítsuk be hogy mide N re vagy a megadott ekre (8j 3) = 4 2 + 2 j = 2 + 2 j= j= j= j j! = ( + )! j= j 2 = ( + )(2 + ) 6 j= j 2 2 j= j 2 ( + ) 4 +4 > ( + 4) 4 j= + j > 3 24 ( 2) 3 < 2 + ( > 8) 3 + 2 3 4 2 2 ( + )! > 2 +3 ( 5) 3 3 + 5 5 + 7 5 egész szám 0 + 3 4 +2 + 5 osztható 9-cel 3 + 5 + 6 osztható 3-mal.

6. Mutassuk meg hogy FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ 3 ( ) + = k + ( ) ( ) + k k + ahol ( )! k = k!( k)!. 7. Bizoyítsuk be hogy bármely a b R és = 0 2... eseté (ez Newto biomiális tétele). (a + b) = k=0 ( k ) a k b k 8. Bizoyítsuk be hogy bármely N és x mellett teljesül a Beroulli-féle egyelőtleség: ( + x) + x. Egyelőség potosa akkor teljesül ha x = 0 vagy =. 9. Bizoyítsuk be hogy ha a a 2... a emegatív valós számok akkor teljesül a számtai és mértai k zép közötti egyelőtleség: a + a 2 + + a Egyelőség potosa akkor teljesül ha a = a 2 = = a. a a 2... a. 3. SOROZATOK. Korlátos-e (a ) ha a = 2 30 + 90 + 40 2 2 3 3!. 2. Bizoyítsuk be hogy ha (a 2+ ) és (a 2 ) korlátos akkor (a ) is korlátos. 3. Határozzuk meg 0 at úgy hogy (a ) mooto legye (> 0 ) idexekre ha a = 2 + 30 + 90 + 40 2 2 3 3! 5 + ( 4). 4. Legye adott (a ) és legye A := (a + + a ). Igazoljuk hogy a) Ha (a ) korlátos akkor (A ) korlátos de fordítva em b) Ha (a ) mooto övekvő akkor (A ) mooto övekvő de fordítva em c) Ha (a ) koverges akkor (A ) koverges de fordítva em. 5. Legyeek (a ) (b ) olya sorozatok hogy = [a b ]. Igaz-e hogy (a ) mooto övekvő (b ) mooto csökkeő? Igaz-e hogy (a ) (ill. (b ) ) koverges? 6. Az (a ) sorozat kovergesek evezzük ha létezik olya a szám amivel a következő teljesül: Mide ɛ > 0 számhoz megadható olya N(ɛ) szám hogy ha > N(ɛ) akkor a a < ɛ. Tetszőlegese adott ɛ > 0 hoz adjuk meg éháy N(ɛ) t ha a = + 2 + + ( + ) + a (a > ) ( + ).

4 FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ 7. Bizoyítsuk be hogy ha a : = + 2 + + 2 + b : = + 2 + + 2 akkor (a ) (b ) mooto és a = b ( R). 8. Ha a a ( 0) akkor bizoyítsuk be hogy a a. 9. Koverges-e (a ) (és ha az akkor meyi a határértéke) ha a = k a ( a < ) a (a > 0)! a! 0 2 + ( 2) + 3 + ( 2) + + 3 + 2 3 6 4 + + 5 3 8 + 6 2 + + 2 3 6 6 + 2 2003 + 2004 2004 + + ( ) j 2 j= 3 + 2 ( ) ( ) 3/2 ( 4 4 2 ) 2 2 [2 + ( ) ] 2 (2j ) 2 ( 4 4 2 ) j= 2 + 3 3 (2 3 2 2 ( ) + 3 ) j= j(j + ) 3 + 2 2 3 2 2 si + + 3 2 2 2 2 + ( + ) 2 ( + ) 2 ( + ) 2. 0. Mit modhatuk az (a ) sorozatról ha létezik olya a R amihez létezik olya ɛ > 0 hogy mide ( N) eseté a a < ɛ?. Vizsgálja meg az alábbi sorozatok kovergeciáját: a = a + = + a 2 a = 0 a + = 2 + a a = 0 a + = + a a = a a + = 9 (a3 + 30) (a R) 2. Legye a := + + + 2 ( N). Igazolja hogy (a ) mooto övekvő és felülről korlátosígy koverges!

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ 5 3. Legye s := j= j ha N. Igazolja hogy s 2 s 2 ( N) tehát (s ) em Cauchy sorozat (ezért em is koverges)!. 4. SOROK Legye (a ) : N R egy (valós elemű) sorozat és s := a +... +a ( N). Az (s ) sorozatot az (a ) sorozatból képezett sorak evezzük és a el jelöljük. Tehát a := (s ) =. a a sor edik tagja vagy általáos tagja s a sor edik részletösszege. A a sort kovergesek (divergesek) evezzük ha a részletösszegeiek (s ) sorozata koverges (diverges) koverges sor eseté az (s ) s határértéket a a sor összegéek evezzük és az s = = jelölést haszáljuk. Ha s (s ) akkor azt modjuk hogy a a (diverges) sor összege ( ). Az (a ) : N {0} R sorozatból képezett sor jelölésére a 0 a szimbólumot haszáljuk.. A részletösszegek kiszámítása segítségével bizoyítsuk be az alábbi egyelőségeket = ( + ) = = ( + 3) = 8 = (2 )(2 + 5) = 23 90 = j= (2 ) 2 (2 + ) 2 = 8 2 + = ( ) ( + ) = =0 x = ( x < ). x 2. Bizoyítadó hogy ha a b > 0 és a /b = c 0 < c < akkor a b vagy midkette kovergesek vagy midkette divergesek. 3. Koverges-e a ha a = (+ ) 5! + 2 (!) 2 a j (2)! 2! ( a+ ) (a > 0) + a (a > 0) 3 + 3 + 000! (!) 2 2 2 4 7... (3 + ) 2 6... (4 2) ( 2003 2004 + ) 5 2 + 3. 00 + + 4 2 000! (!) 2 2 2 2 ( 2 + ). 4. Bizoyítsuk be hogy ha a > 0 a = + akkor a koverges! 5. Bizoyítsuk be hogy ha a 2 b 2 kovergesek akkor a b (a + b ) 2 a is kovergesek.

6 FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ 6. Ha a > 0 és 0 a + a q < akkor bizoyítsuk be hogy a m q a 0. m= 0 7. A Cauchy féle kodezációs teszt segítségével bizoyítsuk be hogy akkor és csak akkor p koverges ha p > továbbá a 2 sor akkor és csak akkor koverges ha p >. (log ) p 8. Az alábbi sorok közül melyek abszolút kovergesek melyek feltételese kovergesek és melyek divergesek? ( ) 2 + ( ) 2 + ( )! 9. Igazolja hogy 0 0. Az x <. =0 ( ) + ( ) 3+ 2 2 ( ) + ( ) l. ( ) + koverges de ömagával való Cauchy szorzatsora diverges. x = x ( x < ) egyelőség alapjá bizoyítsa hogy. Határozza meg a) az összes olya x [0 2π[ értéket melyre a =0 ( + )x = ( x) 2 ha ( 3 cos x) sor koverges b) összes olya valós x értéket melyre a e x sor koverges. 2. Határozza meg az alábbi sorok kovergeciasugarát: x p (p R) x a (a > 0) (3 + ( 2) )(x ) ( a + b 2 ) x (a b > 0) (x + ) a + b (a b > 0) 0 (2 + ( ) ) x. 5. FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA. Bizoyítsa be hogy f(x) := /x (x ]0 ]) folytoos de em egyeletese - folytoos ]0 [ e. 2. Hol em folytoos a ha x > 0 sg x := 0 ha x = 0 ha x < 0 függvéy? 3. Legye { 0 ha x irracioális f(x) := x ha x racioális. Bizoyítsa be hogy f csak az x = 0 potba folytoos. 4. Lehet-e f + g fg folytoos egy a potba ugy hogy f g egyike sem folytoos a-ba?

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ 7 5. Adjuk meg olya f :]0 [ R függvéyt mely folytoos ]0 [-e de a) amely em korlátos b) amely korlátos de em veszi fel a szuprémumát (ifimumát) c) amely em egyeletese folytoos. 6. Adjuk meg olya f :]0 [ R függvéyt mely folytoos ]0 [-e de a) amely em korlátos b) amely korlátos de em veszi fel a szuprémumát (ifimumát). 7. Bizoyítsa be hogy ha f : R R folytoos R-e és f értéke mide racioális potba ulla akkor f mide potba ulla. 8. Bizoyítsa be hogy mide páratla fokszámú valós együtthatós poliomak va legalább egy valós zérushelye! 6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE. Va-e bal- és jobboldali határértéke az f függvéyek a megadott x 0 potba ha f(x) := [x] (x R) x 0 Z f(x) := /x (R {0}) x 0 = 0 f(x) := sg x (x R) x 0 = 0 f(x) := [x 2 ] (x R) x 0 = 2 Z. 2. Határozza meg az alábbi függvéyek szakadási helyeit és e potokba a bal- és jobboldali határértéket! f(x) := (sg x) 2 (x R) f(x) := [x] + [ x] (x R) f(x) := [ x ] x (x [0 [) f(x) := x (x R) ahol N f(x) := /x 2 (x R) ha x 0 f(0) = 0. 3. Dötse el hogy az alábbi függvéyekek létezik-e határértéke + -be és -be: f(x) := x2 (x R) f(x) := x [x] (x R) + x2 f(x) := x (x R) ahol N f(x) := x (x R {0}) ahol N. 4. Határozza meg az alábbi határértékeket: x 2 2x 3 x 3 x 2 5x + 6 x 0 x 3 x x 3 + x 2 + x 2 x x 5 x 2 25 x x 2 x 2 x x x + 4x 2 x x 2 + 5x x) x ( ) x + 2 +2x ( ) x 3 x 3 x x x 3.

8 FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. Bizoyítsa be hogy bármely x y R-re 7. ELEMI FÜGGVÉNYEK sih(x + y) = sih x cosh y + cosh x sih y cosh(x + y) = cosh x cosh y + sih x sih y. 2. Bizoyítsa be hogy bármely x R-re si x cos x. 3. Igazolja hogy arsh x = l(x + x 2 + ) (x R) arth x = 2 l x + x ( x > ). 4. Rajzolja fel az f függvéy gráfját ha f(x) = x + x x 0 x2 + x x 0 2x (x R) + x2 x x = x2 x + x (x 2 )(9 x 2 ) x + arctg x si 4 x + cos 4 x. Ha ics az értelmezési tartomáy megadva ugy határozza meg azt is (a maximális lehetséges értelmezési tartomáyt). 8. DIFFERENCIÁLSZÁMITÁS. Határozza meg f (x)-et ha f(x) = 2x + x 2 x x 3 3 + x 3 x 3 tg x 3 tg 3 x si ( cos 2 ( tg 3 x) ) ( e x2 e x + ctg x ) e x + e ex + e eex 2 x a + a x + x ax (a > 0) l (l(l x)) l ( l 2 (l 3 x) ) l(x + x + ) l tg x ( 2 l arccos ) x l x x 2 x 6 x 2 arctg (x + + x 2 ) x xa + x ax + a xx (a > 0) log x 2(cos x) x tg x).

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ 9 2. Határozza meg dy dx -et ha x = si 2 t y = cos 2 t; x = e 2t cos 2 t y = e 2t si 2 t; x = arcsi t y = arccos t. + t 2 + t 2 3. Határozza meg az alábbi implicit alakba adott függgvéyek differeciálháyadosát! x 3 + 2xy y 2 = 2x arctg y x = l x 2 + y 2. 4. Mekkora szögbe metszi az f(x) = l x gráfja az x tegelyt? 5. Határozza meg f (x)-et ha f(x) = x + x 2 x l x e x2 arctg x/( + x 2 ). 6. Határozza meg d2 y dx 2 -et ha x = 2t t2 y = 3t + t 3. 7. Határozza meg f () (x)-et ha f(x) = 2x cos 2 x si 4 x + cos 4 x e x cos x. 8. Bizoyítsa be hogy bármely x y mellett si x si y x y arctg x arctg y x y. 9. Mely szakaszoko szigorúa mootook az alábbi függvéyek? f(x) = 2 + x x 2 f(x) = 2x f(x) = x + si x. + x2 0. Határozza meg hogy az alábbi függvéyek mely szakaszoko kovexek/kokávok és hol vaak iflexiós potjaik! f(x) = 3x 2 x 3 f(x) = l( + x 2 ) f(x) = + x 2.. Határozza meg az alábbi határértékeket! x 0 ch x cos x x 2 x 0 x ctg x x 2 x 0 cos x 2 x 2 si x 2 a x a si x x 0 x 3 (a > 0) x 0+ xx l(cos ax) x 0 l(cos bx) x x + l x x 0 ( x ) ( e x x l x ). x

0 FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ 2. Alkalmazható-e a L Hospital szabály a x si x x x + si x x 2 si x x 0 si x határértékekre? 3. Irja fel a P (x) = + 3x + 5x 2 2x 3 poliomot x + hatváyai szerit (emegatív egész kitevőkkel)! 4. Határozza meg az alábbi függvéyek szélsőértékeit! f(x) = 2x x 2 f(x) = xe x f(x) = x l x f(x) = l2 x x. 5. Határozza meg az alábbi függvéyek szélsőértékeit a megadott itervallumo! f(x) = x 2 4x + 5 [ 3 0] f(x) = x + /x [0 0 00]. 6. Határozza meg az f(x) = + x2 függvéy ifimumát és szuprémumát a ]0 [ itervallumo! + x4 7. Egy d átmérőjű kör alakú fatörzsből geredát faragak melyek keresztmetszete b alapú és h magasságú téglalap. Mikor lesz a gereda (bh 2 -tel aráyos) szilárdsága a maximális? 8. Az R sugarú gömbbe írjuk maximális térfogatú hegert! 9. Határozzuk meg azt a legagyobb térfogatú kúpot amelyek alkotója adott l hosszúságú! 20. Egymással ϑ szöget bezáró egyeesek meté egy-egy hajó halad álladó u ill. v sebességgel. Határozzuk meg a hajók közti legrövidebb távolságot ha egy adott időpillaatba a hajók távolsága az egyeesek metszéspotjától számítva a ill. b!