PROGRAMTERVEZŐ MATEMATIKUS SZAK II. ÉVF. III. FÉLÉV GYAKORLÓ FELADATOK AZ II. ANALÍZIS ZH-RA Primitívfüggvéy keresés. Adja meg az f függvéy egy primitívfüggvéyét: f) = 6 8 + 3 b) f) = + 3 f) = + 5 ) / f) = tg f) = cos 5 + cos f) = +. Mutassa meg, hogy ha f) = F ) + C, akkor F a + b) fa + b) = + C a, b R. a ). a 3. Számolja ki az alábbi határozatla itegrálokat: b) + cos si 3 + 3 + ) 4 5 3 4. Határozza meg az f α f itegrált, ha f = F + C és α R. 5. Az elő feladat segítségével számolja ki a következő hatátrozatla itegrálokat si cos b) 3 + 4) 3 6 3 + 4 e e ) 3 si 3 + 3 si cos 3 h) si cos 4 cos l si
III. FÉLÉV GYAKORLÓ FELADATOK AZ II. ANALÍZIS ZH-RA 6. A feti speciális esetek felhaszálásával fogalmazzuk meg módszert a si cos k itegrálok, k N) kiszámolására. 7. Keresse meg azt a f függvéyt, amelyre f ) =, R, f4) = b) f ) =, >, f) = + f ) =, R, f) = 3, f ) = f ) =, >, f) =, f) = f ) = 3e + 5 si, R, f) =, f ) = f ) = si, R, f) =, f ) =, f ) = 8. Itegráljuk parciálisa: e b) si 5 arcsi si e 3 h) 3 4 + l l) e l arctg 3 cos + )e 3+ cosl ) cos lsi ) 9. Igazoljuk, hogy teszőleges N, eseté si = cos si + si cos = si cos + cos.
PROGRAMTERVEZŐ MATEMATIKUS SZAK II. ÉVF. 3. Itegráljuk helyettesítéssel: e b) + e + tg tg + a + b + c a, b, c R) + 5 u = + ) h) 3 + 3 l + 4. Keressük rekurziós formulát az N) itegrálra. + ). Itegráljuk parciális törtekre botással: b) ) 4) + ) 3 4 5 3 + 4) h) 4 8 + 3 3 4 + 5 5 4 + 3 + l) + 4 + ) 3 + + 3 + 4 8 ) + ) 4 + 3. Itegráljuk trigoometrikus és epoeciális függvéyek racioális kifejezéseit: + si b) cos + tg 4 ) e 4 e + 4 e + 4e + 3 + si + cos cos + cos e 3 e +
4 III. FÉLÉV GYAKORLÓ FELADATOK AZ II. ANALÍZIS ZH-RA 4. Itegráljuk az alábbi gyökös kifejezéseket: 3 5 + 3 b) 3 3 + + Határozott itegrál. Számítsa ki az, határozott itegrálokat a defiíció segítségével.. Az itegrál defiícióját felhaszálva számítsa ki az alábbi sorösszegeket: lim j k b) lim k+ + j j= j= lim ) lim + + + + + + 3. Bizoyítsuk be, hogy ha f folytoos a [, ] itervallumo, akkor f) = f ). 4. Mutassa meg, hogy ) m = m ) m, N). 5. Igazolja, hogy ha f folytoos, akkor fu) u) du = u )du. ft) dt 6. Jelölje f a [, ]-e értelmezett Riema-függvéyt. Mutassa meg, hogy f itegrálható, és f =. 7. Határozzuk meg az alábbi miimumokat: mi { c : c R }, b) mi { π/ π/ si a b) : a.b R }. 8. Keresse meg azokat az a, b valós számokat, amelyekre az b a + ) itegrál értéke maimális. 9. Mutassa meg, hogy tetszőleges f, g R[a, b] függvéyek eseté b a f g b a f b a g.. Igazolja, hogy f { D[, ], f > eseté } mi f c : c R. Keresse meg a következő határértékeket: +h lim + t3 dt, b) lim h h 3 = f f. ) 3 3 si t t ) dt. k= k 9
PROGRAMTERVEZŐ MATEMATIKUS SZAK II. ÉVF. 5. Deriválja az f) = sit ) dt függvéyt. 3. Tegyük fel, hogy f olya folytoos függvéy, amelyre si π = ft) dt R) teljesül. Meyi az f értéke a 4 potba? 4. Számolja ki az y = egyeletű egyees és a az y = + 6 egyeletű parabola által közrezárt síkidom területét. 5. Legye a R. Tekitsük a [, ] itervallum felett az y = a egyeletű egyeest és az y = egyeletű parabolát. Milye a eseté lesz a közöttük lévő síkrész területe a legkisebb? 6. Határozza meg az alábbi függvéyek grafikojáak a hosszát: f) = ), b) f) = 3 )3/ 5), f) = l 4), 8 f) + 6 + ). 7. Dötse el, hogy az alábbi improprius itegrálok kovergesek-e: e cos b) + 3 + si 8. Határozza meg az úgyevezett második szökési sebességet. 9. Dötse el, hogy az alábbi improprius itegrálok közül melyek a kovergesek. A kovergesek eseté számolja ki az itegrál értékét. 3 e l, b) l 4 h) e 3 + l l p p R)